LaLa ElipseElipseDurante muchos siglos se consideró que las orbitas de los planetas eran Durante muchos siglos se consideró que las orbitas de los planetas eran

circunferenciales, con la Tierra como centro. Pero estudiando las circunferenciales, con la Tierra como centro. Pero estudiando las observaciones hechas por Tycho Brahe sobre el movimiento del observaciones hechas por Tycho Brahe sobre el movimiento del planeta Marte, Kepler descubrió en 1610, que los planetas giran planeta Marte, Kepler descubrió en 1610, que los planetas giran

alrededor del Sol de modo que sus trayectorias son elípticas y el sol alrededor del Sol de modo que sus trayectorias son elípticas y el sol ocupa uno de los focosocupa uno de los focos

LA ELIPSELA ELIPSELa elipse es el lugar geométrico de todos los La elipse es el lugar geométrico de todos los

puntos P(x,y) cuya ubicación en el plano es tal puntos P(x,y) cuya ubicación en el plano es tal que , la suma de sus distancias a dos puntos que , la suma de sus distancias a dos puntos fijos de él es constante. Estos dos puntos fijos fijos de él es constante. Estos dos puntos fijos

del plano, se llaman FOCOS y se designan del plano, se llaman FOCOS y se designan por y por y 1F 2F

P(x,y)

X

Y

O1F 2F

1V 2V1 2( , ) ( , ) tanP F d P F cons te

Elementos de la elipseElementos de la elipse

Los elementos más importantes de la elipse son:Los elementos más importantes de la elipse son: FOCOSFOCOS: Los puntos fijos: Los puntos fijos

RECTA FOCALRECTA FOCAL: La recta a la que pertenecen los : La recta a la que pertenecen los focosfocos

RECTA SECUNDARIARECTA SECUNDARIA: La simetral del segmento: La simetral del segmento

CENTROCENTRO: Punto de intersección de las rectas focal y : Punto de intersección de las rectas focal y secundaria y que equidista de los focos .secundaria y que equidista de los focos .

VÉRTICES : VÉRTICES : Puntos de intersección de la elipse con la Puntos de intersección de la elipse con la recta focal. Se designan: recta focal. Se designan:

1 2F yF

1 2VV

1 2B B 1 2F F

1 2V yV

• EJE MAYOREJE MAYOR:: Segmento que se considera de Segmento que se considera de longitud longitud 2 a2 a: a es el valor del semieje mayor .: a es el valor del semieje mayor .

• EJE MENOREJE MENOR: Segmento de la recta : Segmento de la recta secundaria interceptada por la elipse . Se secundaria interceptada por la elipse . Se considera de longitud considera de longitud 2b2b : b es el valor del semieje : b es el valor del semieje menor.menor.

• DISTANCIA FOCALDISTANCIA FOCAL: Medida del segmento : Medida del segmento Se considera de longitud Se considera de longitud 2c.2c.

LADO RECTOLADO RECTO : Cuerda focal perpendicular a : Cuerda focal perpendicular a la recta focal o eje de simetría . Su medida, como la recta focal o eje de simetría . Su medida, como veremos más adelante, es veremos más adelante, es

1 2VV

1 2B B

1 2F F

1 2C C

22b

a

Elementos de la elipseElementos de la elipse

1B

2B

1V2V 1F 2F

1C

2C

a a

c c

b

Valor de la constante y Valor de la constante y excentricidad de la elipseexcentricidad de la elipse

A toda elipse se le asocia un número real que A toda elipse se le asocia un número real que llamamos llamamos EXCENTRICIDAD DE LA ELIPSE,EXCENTRICIDAD DE LA ELIPSE, designado por la letra e, y cuyo valor es :designado por la letra e, y cuyo valor es :

cea

Dado que la excentricidad depende de las medidas de c y a, su valor está asociado con la forma de la respectiva elipse , es así que tenemos elipses ”más o menos achatadas.La excentricidad de la elipse es un número menor que 1.

Si c tiende a cero, entonces e también tiende a cero, por lo tanto se forma una circunferencia

c

a

1F 2F2F

4

-4

-3 3

o5

1F

-4 45

Elipse de excentricidad e =3

5Elipse de excentricidad e=

4

5

o

Ejemplo:

ECUACIÓN CANÓNICA DE LA ECUACIÓN CANÓNICA DE LA ELIPSEELIPSE

2 2

2 21; ,

x ya b R

a b

y

X0 (a,0)(-a,0)

(0,b)

(0,-b)

P(x,y) La ecuación canónica de la elipse es :

(eje focal en el eje X)

1F2F

1( ,0)F c

2 ( ,0)F c

Ecuación canónica de la elipseEcuación canónica de la elipse

1(0, )F c

2 (0, )F c

1F

2F

Y

X

(0,a)

(0,-a)

1V

2V

(b,0)(-b,0)

( Eje focal en el eje Y )

2 2

2 21

x y

b a

Ejemplo 1Ejemplo 1 Determinar la ecuación de la elipse con Determinar la ecuación de la elipse con

focos (0,6) y (0,-6) y semieje menor 8focos (0,6) y (0,-6) y semieje menor 8

Solución: Solución: eje focal coincide con el eje Yeje focal coincide con el eje Y

Luego Luego 2 2

2 21

x y

b a c =6 ; b = 8 y a = 10

La ecuación pedida es :

2 2

164 100

x y

Ejemplo 2Ejemplo 2Encontremos los elementos de elipse de ecuaciónEncontremos los elementos de elipse de ecuación

2 2

125 9

x y

Tenemos a = 5 y b = 3, además 2 2

2 21;

x ya b

a b 2 2 2b c a

C = 4, los elementos de la elipse son :

FOCOS: 1 2(4,0) ( 4,0)F yF

EJE MAYOR : 2 a = 2·5 = 10

EJE MENOR : 2b = 2·3 = 6

LADO RECTO :

22 2·9 18

5 5

b

a

EXCENTRICIDAD:EXCENTRICIDAD: 4

5

c

a

VERTICES: (5,0) y ( -5,0)

y

X

3

-3

5-5 4-4

1F2F1V2V

ECUACIÓN PRINCIPAL DE LA ECUACIÓN PRINCIPAL DE LA ELIPSEELIPSE

Sea el centro de la elipse el punto C(h,k) y el Sea el centro de la elipse el punto C(h,k) y el eje focal paralelo al eje Xeje focal paralelo al eje X

1F

h

k O

Y

X

2F

La ecuación principal de la elipse con centro en C(h,k) es:

2 2

2 2

( ) ( )1

x h y k

a b

ECUACIÓN GENERAL DE LA ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSEELIPSE

Al desarrollar los cuadrados de binomio, ordenando la Al desarrollar los cuadrados de binomio, ordenando la ecuación principal de la elipse e igualando a cero, ecuación principal de la elipse e igualando a cero, encontramos la ecuación equivalente , llamada encontramos la ecuación equivalente , llamada ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSEECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE

2 2 0Ax By Cx Dy F A<B

EJEMPLO 1EJEMPLO 1

Dada la ecuación principal de la elipse Dada la ecuación principal de la elipse 2 2( 3) ( 1)1

8 9

x y

Determine la ecuación general de la elipse

Solución : 2 29 8 54 16 17 0x y x y

Ejemplo 2Ejemplo 2

Determinemos los elementos de la elipse de ecuación: Determinemos los elementos de la elipse de ecuación:

Ordenamos la ecuación para completar los cuadrados de Ordenamos la ecuación para completar los cuadrados de binomiobinomio

2 25 9 80 54 221 0x y x y

2 2

2 2

2 2

2 2

5 80 9 54 221

5( 16 ) 9( 6 ) 221

5( 16 64) 9( 6 9) 221 320 81

15( 8) 9( 3) 180 /·

180

x x y y

x x y y

x x y y

x y

2 2( 8) ( 3)1

36 20

x y

Luego: h=8 y k =-3, (8,-3)Luego: h=8 y k =-3, (8,-3)

además además 2

2

2 2 2 2

36 6

20 20 2 5

: 16 4

a a

b b

como a b c c c

Como esta elipse ha sido trasladada con respecto a su posición canónica, su eje focal también se ha trasladado en h=8 unidades. Por lo tanto, las coordenadas de los focos son: 1 2

2

cos : (12, 3) (4, 3)

: 2 2·6 12

: 2 2·2 5 4 5

2 2·20 40 20Re

6 6 34 2

:6 3

Fo F yF

EjeMayor a

EjeMenor b

bLado cto

ac

Excentricidada

)3,2(

)3,14(

2

1

V

V

)3,2(

)3,14(

2

1

V

V

En forma grafica tenemos:En forma grafica tenemos:

1F2F8

-3

412

C(8,-3) 1V2V

X

Y