La frequenza angolare di una particella che gira in un sincrotrone è data da:

Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleSincrotroni: oscillazioni e stabilità dei fasci

La presenza della radiofrequenza fa sί che le particelle si raggruppano in pacchetti (bunch). Questo è vero anche in un acceleratore circolare

In un acceleratore circolare si innestano inoltre, ogniqualvolta la particella passa nella cavità a RF con la fase F non giusta (ma comunque molto vicina a FS ) delle oscillazioni di sincrotrone o oscillazioni longitudinali ( oscillazioni di fase o di energia), così come in un acceleratore lineare.

Nel caso di piccoli movimenti si innescano delle oscillazioni identiche a quelle dell’oscillatore armonico e con frequenza proporzionale ( in genere minore) alla frequenza di rivoluzione.

Marisa Valdata Dottorato 2014 1


Per avere stabilità (ovvero soluzione dell’equazione dell’oscillatore armonico (sin e cos)) la particella deve passare nella RF quando questa ha una fase FS<p/2 per un acceleratore circolare a focalizzazione forte (con quadrupoli) quando la particella accelerata è non relativistica ( g ~1 ), mentre per g più elevato deve essere p/2<FS<p.

Questo comporta che all’iniezione ho una certa fase, che cambia per g più elevato devo spegnere la RF si spacchetta il fascio posso perdere il fascio.Ricorda: in un LINAC la fase FS<p/2 sempre (cioè indipendentemente dell’energia della particella)



La frequenza angolare di una particella che gira in un sincrotrone è data da:

Con t periodo di rivoluzione e L circonferenza dell’orbita.

Differenziando ln(w) otteniamo:

Ricorda p=gbc

Dove ap è chiamato fattore di compressione dell’impulso, ed è definito come ap=(dL/L)/(dp/p)

L’espressione fra parentesi è normalmente scritta come:

Si osserva che htr<0 quando l’energia del fascio è maggiore di Utr=gtrmc2 mentre è >0 per sincrotroni all’iniezione (bassa energia) o sempre per acceleratori lineari.

È questo il momento in cui bisogna cambiare la fase del campo elettrico.


Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleSincrotroni: oscillazioni di sincrotrone

Le quantità fisiche della particella generica sono connesse a quelle della particella sincrona ( indicata con l’indice s) tramite le seguenti relazioni:

Energia totale U = Us+dU

Impulso p = ps+dp

Frequenza angolare w = ws+dw

Periodo di rivoluzione t = ts+dt

( dw e dt hanno segno opposto). Siccome la particella sincrona deve arrivare alla RF in fase possiamo scrivere:

wrf = hws

Con h intero. h è chiamato numero armonico e rappresenta il numero di cicli che fa la RF durante un giro della particella sincrona. Se indichiamo con fs la fase del voltaggio della RF quando la particella sincrona arriva alla cavità RF e con f quella della particella generica avremo:

j= df = f – fs



Il guadagno di energia per giro della particella generica e di quella sincrona sarà (si assume che il voltaggio non cambi quando la particella attraversa la cavità a RF):

DU = qV sinf

DUs = qV sinfs

Se all’ inizio del giro n la differenza in energia della particella generica rispetto alla particella sincrona è (dU)n=U-Us alla fine del giro n sarà:

(dU)n+1=(U+DU)-(Us+D Us)

Dopo un giro avremo che dU cambia di

D(dU)=DU- DUs=qV(sinf-sinfs)

Nell’ipotesi di oscillazioni lente possiamo scrivere:

Che diventa definendo W=-dU/wrf=-(U-Us)/wrf



Sempre nell’ ipotesi di oscillazioni lente dopo un giro abbiamo:

Dj(dj/dt)ts=wrfdt

Dove dt è la differenza nei tempi di arrivo della particella generica e di quella sincrona alla RF.

Dopo un giro dt cambia di:

D(dt)=t-ts=dt=-htrt(dp/p)

Dove

Derivando rispetto al tempo e sostituendo la dW/dt nella d2j/dt2 otteniamo per le oscillazioni di fase della particella generica:



Per piccole variazioni della fase possiamo scrivere:

ed otteniamo così l’equazione di un oscillatore armonico:

Ws è la frequenza delle oscillazioni di sincrotrone.

Osserviamo che htrcosfs deve essere positivo per avere frequenze di oscillazione reali e per assicurare la stabilità di fase.

Ricordando che per ogni giro si guadagnano pochi MeV nella RF avremo che Ws/ws<<1.(meno di un’oscillazione per giro).


Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleSincrotroni: oscillazioni di betatrone

Abbiamo visto che le particelle vengono mantenute sull’orbita circolare con dei magneti bipolari ed il fascio viene focalizzato tramite l’uso di quadrupoli (e sestupoli per abolire le aberrazioni cromatiche) che funzionano quali lenti convergenti (divergenti).

Oscillazioni anche nel piano trasverso chiamate oscillazioni di betatrone



Oscillazioni di btrone.Consideriamo un acceleratore circolare con solamente magneti bipolari.

Sul piano orizzontale ho una focalizzazione geometrica (se B è uniforme e verticale in direzione).

P1 dista da P2 ½ circonferenza e la particella fa quindi un’oscillazione completa per giro. (numero di oscillazioni = nx=Q=1).

Attenzione: un angolo di deviazione a=1 mrad (rispetto alla particella di riferimento) dà una deviazione =ar (r raggio dell’acceleratore), ma se r=1 km ar=1m tubo a vuoto enorme ed apertura del magnete enorme.


P2P1 P1 P2s


Se la deflessione è nel piano // a B, la particella spiralizza e se ne va.

Anche con l’inserzione di quadrupoli, le particelle con posizione trasversa o direzione leggermente diverse da quella della particella di riferimento (quella sul piano mediano) fanno un moto oscillatorio attorno alla particella di riferimento (nel piano trasverso xy)

Oscillazioni di betatrone


Inserzione di quadrupoli ( focheggiamento forte)


Nel caso di un acceleratore circolare a focalizzazione forte le oscillazioni di betatrone sono di frequenza molto maggiore di quelle di sincrotrone ( SPS(CERN) Tsinc 100000 Tbtrone (radiali) ).

Inoltre le oscillazioni di betatrone radiali (x) sono disaccoppiate da quelle verticali (y) e da quelle di sincrotrone (longitudinali).

Normalmente le oscillazioni di betatrone radiali (x) sono di ampiezza > di quelle verticali, in quanto su quelle radiali influisce anche la dispersione in impulso.

Tubo a vuoto ellittico


Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleOscillazioni e stabilità del fascio

Consideriamo il sistema di coordinate:

Si puo’ mostrare che:

Discorso del tutto analogo per le x.


sxy

y’=dy/ds

x’=dx/ds


L’equazione:

è l’equazione di un’ ellisse di area pR2=pss’ con s e s’ = semiassi dell’ellisse.

L’ area dell’ellisse è una costante, ma la forma puo’ cambiare al variare di s, in quanto a, b, g dipendono da s.

b (funzione di ampiezza) dipende dall’ottica della macchina e

b=s/s’



b=s/s’

In un anello di collisione conviene avere b basso, ovvero focalizzare nel punto d’interazione.


<b>arc=80 m bI.P.=0.5 m

LHC

Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleEmittanza ed accettanza

Emittanza: se i punti rappresentativi y ed y’ del 90% delle particelle del fascio sono contenuti in pR0 (area ellisse), pR0 è per definizione l’emittanza del fascio.

Abbiamo quindi un’emittanza verticale e radiale che restano costanti.

Per definire l’ellisse di area costante abbiamo assunto che l’impulso delle particelle non varia (in modulo) durante il movimento nel piano trasverso. Questo è quasi vero, comunque se varia adiabaticamente (ovvero molto lentamente), l’invariante diventa:


msR

psR

bg)()(cost ==




Inviluppo delle traiettorie (x o y, x’ o y’)

Fondamentale conoscere yB in quanto determina le dimensioni sia del tubo a vuoto che l’apertura dei magneti, necessarie a far passare il fascio di accettanza nota.


y’

y

By’B

yB

L’inviluppo delle traiettorie delle particelle del fascio non è altro che l’ascissa del punto B (quello con la y maggiore) in funzione di s


Accettanza.L’accettanza è per definizione l’emittanza massima accettata dalla camera a vuoto all’iniezione.

Accettanze ed emittanze si esprimono in p (mmxmrad)

Accettanza tipica di un sincrotrone è:

~ 30 p (mmxmrad)


Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleRadiazione di sincrotrone

Una particella accelerata irraggia.

La radiazione di sincrotrone è importane in maniera particolare negli anelli di collisione.

Se gli anelli di collisione sono costruiti per generare luce di sincrotrone questo è un vantaggio.

Se invece sono costruiti per mantenere i fasci a lungo (ricerca di fisica subnucleare) è un male e bisogna rifornire energia alle particelle accelerate e circolanti negli anelli (in maniera particolare se sono elettroni) .



Una particella accelerata irraggia.Se la particella carica è accelerata, ma osservata in un sistema di riferimento dove la sua velocità è piccola se paragonata a quella della luce, il campo delle accelerazioni è (nel sistema di riferimento dell’osservatore):


E = campo elettrico

R =distanza carica-osservatore

n = versore carica-osservatore

b = velocità della particella


Il flusso di energia istantanea è dato dal vettore di Poynting:

La potenza irraggiata per angolo solido unitario è (formula di Larmor):


dv/dt

nq


La potenza totale istantanea si ottiene integrando su tutto l’angolo solido:


Formula di Larmor


La formula di Larmor può essere generalizzata al caso relativistico osservando che la potenza irraggiata è un invariante di Lorentz e facendo una trasformazione di Lorentz a dp/dt

Formula di Lienard



La generalizzazione invariante per Lorentz della formula di Larmor è :


=

==

=

=

=

22

62

22

222

2

2

32

2

32 Lienard di formula

e che ricordando 1

so.quadrimpul vettore e proprio tempodi elemento con 32

dtd

dtd

ceP

mcpmcEddp

dpd

ddE

cdpd

ddp

ddp

pdtdddp

ddp

cmeP

bbbg

bggt

bttttt

gttt


•Caso di accelerazione lineareIn questo caso abbiamo a che fare con acceleratori lineari dove l’accelerazione è dovuta esclusivamente alle RF.

Abbiamo :

La velocità di cambiamento dell’impulso è uguale al cambiamento in energia della particella per unità di distanza



Siccome la velocità di cambiamento di p è uguale al guadagno di energia per unità di distanza (dW/ds), si ha che il rapporto fra la potenza irraggiata e la potenza fornita dalla RF (sorgente esterna) è:

Dove v=c, la forza acceleratrice F=dW/ds e r0 è il raggio classico dell’elettrone.



• La potenza irraggiata dipende solo dalle forze esterne (RF) e non dall’energia della particella.

• A meno che la velocità di guadagno di energia sia paragonabile alla massa dell’elettrone (0.511 MeV) in una distanza dell’ordine del raggio dell’elettrone (2.8x10-13 cm), la perdita di energia è trascurabile (idem se abbiamo a che fare con particelle più pesanti, come il protone).

• Quale esempio consideriamo un gradiente di accelerazione di 100 MeV/m che fa irraggiare ~1.1 KeV/s ad un elettrone se consideriamo un acceleratore da 1 TeV, lungo 10 km si ha P ≤ 0.04 eV.



Caso di accelerazione centripeta.Il discorso cambia drasticamente nel caso di acceleratori circolari. In tali macchine l’impulso p cambia rapidamente in direzione mentre la particella ruota, ma il cambiamento di p durante una rivoluzione, dovuto alla RF, è piccolo. (possiamo trascurare il termine (db/dt)2)

Dove r è il raggio di curvatura.La potenza irraggiata è sempre molto piccola ( 7W in LEP(200)), ma la perdita di energia per giro è tutt’altro che trascurabile.



Per b~1 la perdita di energia per giro va come g4

Poca nel caso di acceleratori per protoni, considerevole in acceleratori di elettroni (al di sopra di una certa energia).



• e+e- (utilizzati per la fisica subnucleare)



• pp (utilizzati per la fisica subnucleare)



Acceleratori circolari per elettroni (utilizzati per la fisica subnucleare)

Bisogna inserire molte RF per mantenere l’energia al valore nominale (la radiazione di sincrotrone va come g4) Fattore limitante per la costruzione di acceleratori circolari per elettroni (LEP 100+100 aveva 128 RF superconduttrici).

Sistema a vuoto.

I fotoni che urtano la pipe producono fotoelettroni che a loro volta strappano molecole di gas dalle superfici. (H2, CO, CO2, CH4) sale la pressione del gas residuo la vita media del fascio diminuisce per pulire le pareti molte pompe a vuoto in funzione.

Radiation shielding (schermi)

Quando l’energia critica dei fotoni emessi e’ alta i fotoni escono dal tubo a vuoto (Al o Fe) e causano danni da radiazione agli avvolgimenti dei magneti, all’elettronica, producono ozono e acido nitrico si corrode il tubo a vuoto

Hera usa un tubo a vuoto di rame-bronzo.

LEP scherma il tubo a vuoto con 3-6 mm di Pb.



Acceleratori circolari per protoniIn pratica nessun limite alla max energia, ma non bisogna trascurare la potenza emessa. Ad LHC è 9 KW.

In LHC si usano magneti superconduttori (a freddo). La potenza della radiazione emessa deve essere assorbita a temperature criogeniche e riscalda il sistema criogenico di raffreddamento dei magneti. Per evitare questo problema si usano schermi a temperatura più alta di quella criogenica e si assorbe in maniera più efficiente la radiazione.

Inoltre l’energia critica è 63 eV degassamento pompe a vuoto ovunque.



Al giorno d’oggi la maggioranza dei Sincrotroni per elettroni sono utilizzati per produrre luce di sincrotrone.



circa 40 beam lines intorno all’anello






La radiazione è emessa in un ampio spettro fino ad una frequenza critica:

ed un angolo critico:

ed un’ energia critica:

Per frequenze molto maggiori della frequenza critica ed angoli molto maggiori dell’angolo critico la radiazione di sincrotrone è trascurabile.











Utilizzando un ondulatore si amplifica la radiazione di sincrotrone tramite un’interferenza positiva.


Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleRaffreddamento dei fasci

Ad un’energia cinetica è sempre associata una temperatura mediante la relazione:

La velocità <v2> indica la varianza della velocità di un singolo ione rispetto alla velocità media di tutti gli ioni. Quindi la temperatura di un fascio è da intendersi come una misura del disordine, ovvero della dispersione in energia del fascio. Siccome spesso il fascio non è isotropo è opportuno definire una temperatura longitudinale T// ed una trasversale T┴. In pratica, per misurare la temperature T// e T┴ del fascio, si utilizzano l’emittanza trasversa ed il Dp/p longitudinale.Raffreddare un fascio vuol dire ridurre la sua temperatura ovvero ridurre la dispersione in energia e le dimensioni trasverse del fascio.


Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleRaffreddamento dei fasci

Si raffreddano i fasci per molti scopi:• Accumulo di particelle stabili, ma rare (e.g. antiprotoni)• Ridurre il Dp/p (fasci monocromatici e collimati)• Mantenere la qualità del fascio (aumento della vita media)• Aumentare il rate di interazioni e la risoluzione• Produzione di ioni pesanti

La temperatura finale del fascio è il risultato dell’equilibrio fra il processo di raffreddamento ed i vari processi di riscaldamento e dipende fortemente dal metodo di raffreddamento usato.

I principali metodi di raffreddamento utilizzati sono: Raffreddamento a radiazione di sincrotrone Raffreddamento stocastico Raffreddamento con elettroni Raffreddamento tramite laser


Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleTeorema di Liouville

Enunciato:In un fluido continuo sotto l’influenza di forze conservative la densità dello spazio delle fasi è costante.Ad esempio se il letto di un fiume si restringe l’acqua va più veloce (se consideriamo come spazio delle fasi la dimensione trasversa del fiume e la velocità)Nel campo della fisica degli acceleratori il teorema di Liouville può essere così enunciato:La densità di particelle nello spazio delle fasi è costante purché le particelle si muovano in un campo magnetico esterno o in un campo in cui le forze non dipendono dalla velocità (forze conservative).Questo teorema sembra dimostrare che, dato un fascio di particelle, non c’ è alcun modo di aumentare la densità di particelle del fascio.La realtà non è così tragica e ci sono molti modi per aggirare il teorema di Liouville.


Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleForze dissipative

Questo metodo, valido unicamente per acceleratori circolari di elettroni (positroni), usa la radiazione di sincrotrone (forza dissipativa per cui non vale Liouville).i. Effetto della radiazione di sincrotrone sull’energia.

















Dalla A2=z2+ (bz’)2 ne consegue che il cambiamento dell’ampiezza delle oscillazioni è:

AdA=b2z’dz’=-b2z’2(dE/E)Mediando su tutte le possibili fasi delle oscillazioni di betatrone nel tempo in cui l’elettrone passa nella cavità a RF si ha:

(<dA>/A)= -½(dE/E)Poiché il guadagno di energia è piccolo (se paragonato all’energia dell’elettrone) possiamo mediare su un giro:

DA/A=-U0/2E (U0= guadagno di energia/giro)

Il moto diventa smorzato esponenzialmente e l’ampiezza delle oscillazioni si riduce.

Lo stesso avviene anche nel piano radiale (anche se la trattazione è più complessa).


Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleFasci di H-


Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleFasci di e-

Un altro sistema di raffreddamento è tramite e-. Si usa un fascio di elettroni freddo, cioè denso e monocromatico. Questo fascio viene iniettato in una zona diritta (senza magneti) dove circola un fascio caldo di protoni (antiprotoni) con la stessa velocità media degli elettroni.Il fascio caldo di p interagisce con il fascio freddo di e- (forza di Coulomb) e si raffredda. Lo spazio delle fasi totale (p+e-) si conserva, ma il fascio di p aumenta di densità. Alla fine della zona diritta un magnete deflettore separa i p dagli e-.Da un punto di vista termodinamico è equivalente a passare calore da una sorgente calda ad una fredda.


Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleRaffreddamento stocastico


Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleRaffreddamento stocastico

Il raffreddamento stocastico a prima vista viola Liouville. Per questo motivo pur essendo stato scoperto da Van der Meer nel 1969, fu applicato per la prima volta 10 anni dopo (SPS Collider).Il trucco consiste nel fatto che il volume quantistico di una particella è molto più piccolo del volume medio occupato da una particella in un fascio. Con un fascio con alcune particelle qua e là i “buchi” fra le particelle possono essere riaggiustati in modo da mettere lo spazio vuoto alla periferia del fascio. Se le particelle sono molte il pick up ed il kicker devono funzionare sempre più velocemente.Quando il kicker lavora sempre più veloce serve più potenza per farlo funzionare, si dissipa più energia nel fascio, il fascio tende a riscaldarsi di nuovo.


Documents

La frequenza angolare di una particella che gira in un sincrotrone è data da: