INTEGRACIÓN - Universidad Nacional de Colombia ... · Históricamente la teoría clásica de la integral de Lebesgue está ... Definición 5.2.1 Sean Q ... efectúen las integrales

Captulo 5

INTEGRACIN

Histricamente la teora clsica de la integral de Lebesgue est basada en la teora de la medida en IRn . Ms genera l, una teora general de integracin puede ser desarrollada para funciones definidas en un espacio de medida abstracto. Para eso es necesario desarrollar mtodos para constru ir medidas como puede ser intr uducir primero el concepto de medida exterior y a continuacin, por un procedimiento debido a Caratheodory, los conjuntos medibles y su medida. Es ste el mtodo clsico para introducir el concepto de integral de una funcin . La teora de med idas exteriores, de la medida y de los conjuntos medibles es importante en s misma y no slo til para obtener una teora de integrac in .

Por otro lado se observa que en ciertas ramas del Anlisis es de mayor inters el concepto de la integral que el de la med ida. Por lo tanto es natural elaborar una teora centrada de entrada en el concepto de funci n y su integral s in desarrollar previamente una teor a de la medida la cual requiere cierta extens in en su elaboracin.

Esta teora "directa" de la integra l fu creada por P.J. Dan iell en 1916 y profundizada y refinada posteriormente por M.H. Stone. Para una presentacin de la teora de P.J. Daniell as como su relac in con la teora cl s ica de integracin se puede consultar [Ta 85 ], as como el Captulo XII en [La 691

Para el Captulo 6 el concepto de la integral es central, el teorema de cambio de variables, el teorema de Fubini y los teoremas de intercambio de lmites son bsicos. Se desarrollar en lo siguiente una variante del mtodo de Daniell que se basa en ideas de M. H. Stone, para introducir la integra l. De las presentac iones en [Ka 001 y [Ka 99] seguiremos la de la segunda referencia .

293

294 CAPTULO 5. INTEGRACIN

El punto de partida para obtener la integral de Lebesgue en lR71 y posteriormente la int.egral de Lebesgue sobre variedades, ser el espacio de las funciones continuas de soporte compacto en lRn denotadas por Cc(lRn) y como integral elemental la integral iterada de tales funciones en el sentido de Cauchy-Riemann. El espacio de las funciones continuas de soporte compacto t iene ventajas tcnicas sobre el espacio de las fun ciones escalonadas en lRn . La integral elemental as definida resulta continua en un cier to sentido en Cc(lRn ) . Se introduce a continuacin, con la integral elemental, un espacio seminormado (espacio base) de funciones con dominio en lR'\ lo suficientemente grande como para contener el espacio de las funciones absolutamente integrables. La integral se obtiene por extensin lineal y continua, en la seminorma del espacio base , de la integral elemental.

Para obtener la integral de Lebesgue sobre variedades sin consideraciones adicionales es conveniente tomar un punto de partida levemente ms general y considerar funciones continuas con soporte compacto sobre un espacio mtr ico localmente compacto separable (caso particular lRn ) y como integral elemental un funcional lineal positivo con cierta propiedad de continuidad sobre es te espacio de funciones.

5.1. El espacio Cc(X)

Para lo siguiente ser bsico el espacio Cc(X) := Cc(X ,q de las funciones continuas de soporte compacto sobre un espacio mtrico loca lmente compacto y separable X. Un caso particular importante lo constituye X = lRn. Para propiedades bsicas de los espacios mtricos localmente compactos ver Captulo 1.

Observacin 5.1.1 Y Definiciones: (a) Cc(X) es, con la adicin y multiplicacin definida puntualmente, un lgebra. Como una propiedad importante del subespacio Cc(X, iR) e Cc(X) se tiene: Para f, 9 E Cc(X, iR) tambin

f 1\ 9 := mn {J, g } y f V 9 := mx {J, g}

pertenecen a Cc(X, iR). Esto equivale a decir: f E Cc(X, iR) implica Ifl E Cc(X, iR). En efecto, sto se sigue con las definiciones

f + := mx {J, O} (parte positiva de f) f-:= mn{-f,O} (parte negativa de f)

5.1. EL ESPACIO Cc( X )

y las relaciones

If l = f+ + r f = f+ - f mx {J,g} = ~((f + g) + If - gl) mn {J,g} = ~(f + 9 - If - gl) (b) Sucesiones truncantcs: Para procesos de a proximacin con elementos de Cc(X) se in t roducen funciones de t runcac in : Sea K e X un conjunto no vaco. Entonces con la funcin distancia de , K ) : X ---> ~ , dada por XI-------> dk(x) := d(x, K ), la cual es uniformemente continua (Captulo 1), se define pa ra a > O y x E X la funcin r~< : X ---> ~ por

I) {1 - ld (:r;, K ) , si d( .x, K ) ~ re; x := e; O , si d( :r , K) > .

C laramente r{ es una funcin continu a con O ~ r{ ~ 1 Y pa ra la cual sop r{ e Ve;(K) := {x E X Id(x, K ) ~ }. Si X = ~n y K es compacto es claro (Heine-Borel) que se tiene r{ E C- (~n) p ara todo > O. Si X es un espac io mtrico localmente compacto y K e X compacto, dado que todo x E K tiene como vec indad una bola centrada en X relativamente compacta, se obtiene fc ilmente que r{ E C-(X) pa ra > O sufi cientemente pequeo.

Se defi ne a hora pa ra = 1 en C- (1

296 CA PTULO 5. INTEGRACIN

En X = ~n podemos tomar una suceslon de bolas compactas con radio e centradas en o. Claramente Cc(X) e B(X ), el espacio de las funciones acotadas en X con la mtr ica del supremo. Observe que para la sucesin (Ke) en (*) podemos construi r funciones trun

o

cantes re: = rfee E C-(X) con sop re e Ke+l tal que O ~ re ~ 1 Y re (x) TI para todo x E X.

5.2. Integral mltiple en Cc(1R.n)

n

Sea ahora Q: = n [ak, bkl e ~n, n E N, ak ~ bk E~, un rectngulo k=l

compacto. El volumen n-dimensional de Q se define por

n

IQI := V,l(Q) := TI (bk - ad (5.1) k=1

Definicin 5.2.1 Sean Q = n [ak, bkl e ~n un rectngulo compacto y rjJ E C(Q) una funcin continM; se define la ltegml de rjJ sobre Q por

/ j .b l ( (/b" ) ) (5.2).J rjJ(x) dx := al . .. .Ja" rjJ(X I , ) Xn) dXn ... dXl Q

Observacin 5.2.2 (a) Sabemos de Observacin 2.1.95 que la integral en (5.2) es t bien definida y adems es independiente de l orden en que se efecten las integrales iteradas unidimensionales. (b) En el caso n = 2 Y rjJ ?: O se puede interpretar el nmero JQ 0 dx como el volumen del conjunto en ~3

{(X ,Z)E ~31 XE Q , O~z ~1>(x)},

es decir el conjunto entre el plano {(x, O) E ~3 Ix E ~2} Y la grfica de 0

Definicin 5.2 .3 Para rjJ E Cc(~n) se define

.JlRn rjJ(.x) dx = ./ rjJ(x) dx Q

donde Q e ~n es un rectngulo compacto con sop rjJ e Q. Se escribe tambin J~" rjJ: = Je;;"

5.2. INTEGRAL MLTIPLE EN Cc(~N)

Es fcil ver que .f~ " c/J dx es independiente del rectngulo Q que se use en la definicin , siempre y cuando sop c/J e Q.

Construimos en lo siguiente la integral de Lebesgue en ~n a partir del funcionaJ lineal (funcional de Lebesgue)

(5.3)

sobre el espac io de las funciones cont.inuas de soporte compa.cto en ~n. Como el mtodo se aplica, con las mismas demostraciones, al caso general de un funcional lineal positivo

(* *)

donde X es un espacio mtrico localmente compac to y separable consideraremos, en un principio, esta s itu ac in ms general. Los resultados as obtenidos, sin complicacin ad icional al ca.so del funcional 1\, resultarn particularmente tiles cuando se defina la int.egral de Lebesgue sobre variedades en ~n.

Para lectores que solo estn int.eresados en la integral de Lebesgue en ~n basta leer los resu lt.ados siguientes para X = ~n y el funcional A = 1\.

Nota 5.2.4 (Propiedades de 1\). (a) 1\: Cc(~n) --4

298 CAPTULO 5. INTEGRACI6N

5.3. Funciones integrables y la integral

Se introduce primero un espacio de funciones .C(X, >.), dotado de una seminorma 11 ILx, con subespacio Ce(X) e .c(X, >.) y tal que el funcional positivo>. : Ce --> te resulta continuo con respecto a la seminorma 1111>.'

5.3.1. El espacio seminormado ('c(X, >'),11 IU Definicin 5.3.1 (a) Sea f : X --> te una funcin dada. Decimos que una se1'e de funciones cjJk con cjJk E C-(X) es una >.-mayorante de f, si

00 00

L >.(cjJk) < 00 y 1 f(x)1 :s L cjJk(X), Vx E X. (*) k=l k=l

El nmero r=l >.(cjJk) se llama una suma supe1'or de f. (b) Sea .c(X):= .c(X;>') = {Jlf tiene una >.-mayorante} (c) Para f E .c(X) se define (la seminorma) f Ilfll>. como el nfimof-t de todas las sumas supe1'ores de f, es decir

IIfllA ,= nf {~'$~k) ~ ~k '\-mayomnte de f } (5.6) Observacin 5.3.2 (a) Para una serie ~l aA: , ak 2: O, que no sea convergente se pone ~l ak = +00. ~l cjJdx) en (*) no puede ser divergente para muchos x E X por la primera condicin en (*). Solo podr ser divergente sobre un conjunto que se llamar un conjunto de medida cero.

(b) Claramente se tiene para f : X --> te

fE .c(X, >.) {=} Ifl E .c(X, >.) yadems Ilfll>. = Illflll>. (5.7) (c) Para O < a < 00 las funciones no acotadas fn(x) = x-n si O < x < 1, fn(x) = O para x E IR" (0, 1), pertenecen a .c(IR, 1$ si O< a < 1 Y las funciones con soporte no acotado, gn (x) = x- n si 1 < x < 00 gn (x) = O si x E IR" (1,00) pertenecen a .c(IR, 1\) si a > 1. Omitimos la simple prueba. (Sugerencia: aproximar por escalonadas y stas por funciones en Ce(IR)).

(d) Si f : X --> te es acotada y de soporte compacto K, entonces la funcin cjJ := 11 flloo rA:,!: pertenece a Cc(IRn) para > o y es una mayorente de un solo sumando. Por lo tanto f E .c(X, >.). Si X = IRn y K = Q es un cubo y usamos la funcin truncante 1)j de Observacin 5.1.1 (b), entonces cjJj := Ilflloo 1)j es una mayorante y para j --> 00 se obtiene

Ilfll>. :s Ilflloo Vn(Q) = IIflloo IQI (5.8)

5.3. FUNCIONES INTEGRABLES Y LA INTEGRAL

Veamos ahora que por (5.6) se define en realidad una seminorma sobre 'c(X, >.) . En la prueba usaremos un simple y conocido resultado sobre reordenamiento de series dobles con trminos no negativos.

Proposicin 5.3.3 Sean a : N x N -----+ IR+, a(k,j) =: akj una sucesin doble y r : N --> N x N una biyeccin. Entonces la serie ~=I ar(n) converge s y slo si las series

00 00

y akj k=1 j=1

son convergentes. Si es el caso, se tiene ~I j:I akj = :'=I ar(n)

El siguiente teorema es fundamental para lo siguiente

Teorema 5.3.4 Sea (gk) 'U,na sucesin en 'c(X, >.) tal que ~I IlgkllA< 00 y f : X --> IR una funcin con

00

I f(x)1 :::; I gk(x)1 para x E X. k=1

00

Entonces f E 'c(X, >.) y IlflIA:::; IlgkllA k=1

Demostracin. Sea > O. Como gk E 'c(X, >.) para k E N, gk tiene una mayorante j:I cp;k) tal que j:I >.(cp;k)) :::; I!gkllA + ;k para k E N. Se sigue

(*)

Con la proposicin anterior reordenamos cp;k ) en una sucesin simple 'ljJn E

C:(X) con

para x E IRn . 'ljJn es una >.-mayorante de f y as f E 'c(X, >.). Con la definicin de IIIIA se obtiene IlfllA:::; k IlgkllA + Y con --> O se sigue la otra afirmacin. _

Como caso particular obtenemos

299


Corolario 5.3.5 Sea (gk)kEN una sucesin en L(X , A) con 2:k IIgkllA< oo. Entonces 2: gk E L(X, A) y

(5.9)E9'!I, ~ EII9'k es decir una triangular "contable" para 11 II A

La condicin 2:~1 IlgkllA< 00 implica tambin que la serie 2:~1 gk(X) solo puede ser divergente sobre un conjunto "pequeo" que ser, posteriormente llamado de medida cero con respecto a A.

Lema 5.3.6 (a) Para fE L(X, A) y 9 : X --+ IR acotada f . 9 E L(X, A) y Ilf .gllA ::; Ilglloo IIfIIA (b) L(X, A) es un espacio vectorial y 11 II A una seminorma sobre L(X, A).

Demostracin. (a) Si 2: (j)k es una mayorante de f , entonces If gl ::; 2:k(llgll oo (j)k), 2:k A(1191100' (j)k) ::; Ilgll oo 2:k A((j)k), con la definicin de 11 IIA se obtiene lo afirmado. (b) Claramente IlfllA2.: O Y la triangular se sigue como caso particular del Corolario 5.2.5. Sea ahora o: E te. Con (a) se sigue II00fllA::; 10:1 IlfllAy para o: i O, 10:1 IIfllA= 10:1 11 ~o:fllA ::; 10:11~1 II00fllA= II00fIIA Por lo tanto 1I00fllA= 10011IfllAsi o: i O. El caso o: = Oes trivial. _

5.3.2. Funciones integrables e integral

Definicin 5.3.1 El espacio L1 (X, A) de las funciones integrables en X (o funciones A-integrables) es la clausura de Cc(X) e L(X, A) en el espacio seminormado (L1(X, A) , 11 II A). En el caso A = A, X = IRn , decimos tambin Lebesgue integrables.

Ejemplo 5.3.8 Las funciones fa (respectivamente go 1).

Para poder extender la integral A : Cc(X) --+ IR, por continuidad, al espacio Ll(X,A) se prueba ahora que A es continua en (L(X,A),II II A). Para eso es fundamental la siguiente propiedad de continuidad de A sobre Cc(X).

Teorema 5.3.9 Para todo compacto I< e X y ((j)n) 'una sucesin en Cc(X) con sop CPn e I

5.3. FUNCIONES INTEGR.ABLES y LA INTEGRAL

Demostracin. Sea > O. Con la funcin truncante r := 'lk, de Observacin 5.l.1 se obtiene, -111>nlloo r ::; rPn ::; II1>nlloo . r para todo n E N. Con Lema 5.3.6 (a) sc sigue

y as A( rPn) ---+ O, para n ---+ oo. _

Es fcil ver, con un ejemplo en IR , quc sin la hiptesis sobre el soporte de la sucesin (rPn) ,la afirmacin del teorema es, en general, falsa.

Podemos probar ahora la propiedad de la continuidad

Teorema 5.3.10 Pam el funcional lineal A : Cc(X) ---+ e se tiene

(5.10)IA( 1))1 ::; A(l rP)1 = IlrPll "

Demostracin. Sea rP E Cc( X) , entonces 1J ::; IrPl y por monotona de A se sigue IA( 1J)1 ::; A( lrPl). Falta probar que A( I1JI) = IlrPll ,, Sea rP E Cc(X) . Entonces claramente IrPl es una mayorante de un sumando para rP y as 111J11" ::; A( I1JI) Para obtener la otra desigualdad sea L 1Jk una mayorante arbitraria de rP . Entonces para 'l/Jn := 11J1/\ LZ=1 rPk se sigue 'l/Jn E C:(X) de Observacin 5.l.2 (c). Adems de la definicin es claro que sop'l/Jn e soprP y 'l/Jn ---+ 11>1 puntualmente. Como la sucesin ('l/Jn) es montona creciente podemos aplicar el teorema de Dini (Captulo 1) y se obtiene que 'l/Jn ---+ IrPl uniformemente en sop


Demostracin. Como todo operador lineal continuo es Lipschitz con constante IIAII , se sigue la existencia y unicidad de una extensin A: D ---> F de Proposicin 1.3.29. Dado que D es un subespacio lineal, la continuidad de la adicin en E implica que D es un subespacio lineal. Como A es lineal (continuo) tambin A es un operador lineal (continuo) . Finalmente de Proposicin 1.3.29 tenemos tambin que IIAII = IIA II

Recordemos que A est definida para x E D " D por Ax:= lm AXn n--+oo

para toda sucesin (x n ) en D con X n --- x, n ---> oo.

Nota 5.3.12 Si ponemos D := Cc(X) e .e(X, >') = : E, con seminorma IIIIA ' F = e y aplicamos el anterior teorema a >. : Cc(X) ---> e, 1>'(: : .el (X, >') ---> e con 11>:11 = 1. Por construccin de >. se tiene:

Vf E .el (X) y toda sucesin (n) E Cc(X) tal que Ilf - nlIA ---> O paTa n ---> 00

>:(1) =: j' f(x) d>'(x) = lm >'(n) (5.11)X n~oo

Definici6n 5.3.13 (de la integral) La nica extensin lineal continua del funC'ional positivo>. : Cc(X) ---> e al espacio seminormado (.el (X, >') , 11 IIJ con 11>:11 = 1 Y denotado por - se llama la >'-integral en X. En el caso X = ]Rn y >. = A la A-integral en IR.n se llama integral de Lebesgue en IR.n . Para f E .el (X, >') decimos que J~ f(x) d>.(x) := >:(1) es la integral de f respecto a >. en X y la integral de Lebesgue de f en IR.n si >. = A.

Notaci6n: En el caso de la integral de Lebesgue en IR.n se escribe tambin

l f dx:= l f(x) dx:= l f(x) ~x:= l f(x) dA(x).iR" iR" iR" iR"

5.3.3. Propiedades bsicas de LI(lRn , >') y de la integral

Teorema 5.3.14 En .e1(X, >') se tiene: (a) Si f E .el (X,.\) entonces Ifl E .e(X, >.) . (b) Para f,g E .e1(X, >') se sigue que tambin

f 1\ g E .el (X, >') y f V g E .el (X , >') (e) Sean f E .el (X,.\) y 9 acotada en IR.n. Si adems 9 es continua o bien 9 E .el (X, >') entonces f . 9 E .el (X, >')


Demostracin. (a) Trivialmente Ifl E .e(X, J\) . Si ('l/Jn) e Ce(X) con Ilf - 'l/Jn 11 A --+ O entonces, aplicando 1 Ifl -I'l/Jnll :::; If - 'l/Jn l , se sigue claramente Illfl-l 'l/Jn IIIA :::; Ilf - 'l/Jn 11 A --+ O, para n --+ oo. (b) Aplicar (a) y la Definicin en 5.1.2 (e). (e) Por hiptesis, ('l/Jn) e Ce(lR.n) con Ilf - 'l/JnlIA --+ O, para n --+ 00 y por Lema 5.2.6 (a) se sigue Ilf . 9 - 'l/!ngIIA :::; Ilg ll oo Ilf - 'l/Jn lIA --+ O, n--+ oo. Si 9 es continua es claro que 'l/Jn . 9 E Ce(X) y as f . 9 E .e (X). Para

9 E .e(X) , si 'l/Jn =1= o, tomamos J';n E Ce(X) con Ilg - J';n lIA :::; nll,p~lIoo y si 'l/Jn = O, entonces J';n = OY obtenemos II'l/Jng - 'l/Jn .J';nll.\ :::; ~ lo cual, con la triangular, implica Ilf . 9 - 'l/JnJ';nIIL --+ O, para n --+ oo .

Teorema 5.3.15 La integral X : .e (X, J\) --+ e satisface: (a) Vf E .el (X, J\) Y (In) e .e (X, J\) con Ilf - fnll A --+ O, n --+ 00, se sigue

./~n fn(x)dJ$x) --+ .~ f( x)dJ\(x), n --+ 00 (b) Pam f E .e(X, J$ se tiene

I.L f(x) dJ$X)1 :::; .Ix If(x)1 dJ\(x) = IIfll.\ (5.12) (e) VfE .e (X, J$ con f 2 O: .J~ f(x) dJ$x) 2 O. (d) Sean f E .el (X, J$ Y 9 acotada en jR,n. Si 9 es continua o bien se tiene 9 E .e1(X,J\) entonces

I.L f( x)g(x) dJ$X)1 :::; Ilglloo.1x If(x)1 dJ\(x) (5 .13) Demostracin. (a) Como Xes lineal con IIXII = 1 se obtiene

(b) Para . E Ce (jR,n) la afirmacin (5.12) es (5.10). Si f E .el (X, J$ tomamos sucesin ('l/Jn) e Ce (jR,n) con Ilf - 'l/Jn 11 A --+ O. Como en la demostracin de Teorema 5.3.14 (a) se sigue Illfl-l'l/JnIIIA :::; IIf - 1Pn ll.\ y la parte (a), con (5.8) y n --+ 00, da la afirmacin. (e) De (b) es inmediato

.Ix f(x) dJ\(x) = .L If(x)1 dJ\(x) = IlfllA2 O

303
http:Ilglloo.1x


(d) Por Teorema 5.3.14 (c) tenemos f . 9 E LI (X, A). Con la parte (b) y Lema 5.3.6 se sigue de

IA(fg)1 :::; A(lfgl) = 11 fg 11 " :::; IIgll oo IIfll"

la afirmacin (5.13) .

De los dos teoremas anteriores es claro:

(a) f : X ~ e es de Ll (X, A) s y slo si Re f e 1m f pertenecen a Ll(X, A) . Si es el caso se tiene

J~ f(x)dA(x) = J~ Re f(x)dA(x) + i Jx 1m f(x)dA(x)

(b) fE Ll (X, A) s y slo si f+ y f- E Ll (X, A). Si es el caso

j. f(x)dA(x) = j' f+(x)dA(x) - j' f-(x)dA(x) x x x Lo anterior permite a menudo restringirse al caso f 2 O en demostraciones.

5.3.4. Conjuntos de medida cero

Definicin 5.3.16 (a) Un conjunto N e X se dice un conjunto de Amedida cero (o de medida cero con respecto a A) si para la funcin caracterstica del conjunto N , XN , se tiene IIxNII" = O. Se designa con N,,(X) a la coleccin de los conjuntos de A-medida de cero en X. En el caso A = -11. escribimos N(lRn) := NI\(IRn) y A e N(X) se dice de medida de Lebesgue cero. (b) Decimos que una propiedad se da en A-casi todas partes (A - e.t.p.) en X si se cumple en el complemento de un conjunto de A-medida cero.

Observacin 5.3.17 (a) Para N e IRn es claro con (5.12) que N E N,,(IRn) si XN E Ll(X,A) y J~ XN(X) dA(x) = O. (b) Un subconjunto N e X , de una reunin contable de conjuntos de Amedida cero, N e UNk, es de A-medida cero. En efecto, como XN :::; L XN, se sigue la afirmacin de Teorema. 5.3.4. (c) Para un rectngulo Q:= n~=1 [ak,bkl e IRn se tiene

n

IIXQII A ~ Vn(Q) = TI (bk - ak) . (5.14) k=1

Ms adelante se ver que en (5.14) se tiene, en realidad , igualdad.


Ejemplo 5.3.18 (1) Para Q e IRn se tiene con (5.14), Q E N(IRn ) si Q es un rectngulo degenerado, es decir para el cual ak = bk para algn k con 1 :S k :S n. En particular los conjuntos de un solo punto tienen inedida cero. (2) Con Observacin 5.3.17 (b) Y (1) se sigue que N E N(IRn ) para N e IRn contable. Tambin el conjunto IR~ := {(x, O) E IRn Ix E IRn-l} y con eso tambin cualquiera de sus subconjuntos, es de medida cero en IRn dado que IR~ es reunin contable de rectngulos degenerados. Ms adelante se ver que toda m-va.riedad de clase Cl en IR n con m :S n - 1 tiene medida cero en IRn .

Notacin: Sea B e X y f : B ~ C. Si A e B entonces se designa por fA la extensin trivial de f lA a todo X, es decir fA(X) = f(x) para x E A Y f A(X) = O para x E X" A.

Proposicin 5.3.19 Y Definicin: (a) Sea h : X ~ IR una funcin nula (con respecto a A),es decir sea IIhllA = O; entonces

N := {x E X Ih(x)::j:. O} E NA(X).

(b) Si N E NA (X) Y h : N ~ IR , entonces la extensin trivial de h a IR't, hN , es una funcin nula.

Demostracin. (a) Sea hj = Ihl,j E N . Como XN :S L::l hj =: L:j:l Ihl se sigue con Teorema 5.2.4 que IIxNII A = O. (b) Teorema 5.2.4 tambin implica que IIhNllA= Opor ser IhNI :S L:j:l XN .

Ejemplo: La funcin de Dirichlet XQ : IR ~ IR es una funcin nula.

El siguiente resultado dice que una funcin integrable puede ser modificada o redefinida sobre un conjunto de A-medida cero sin cambio en la integrabilidad ni en el valor de la integral.

Teorema 5.3.20 (de modificacin). Sean f,g : X ~ e con f integrable y f = 9 A - c.t.p. Entonces tambin 9 es integrable con

.Ix f(x) dA(x) = ./~ g(x) dA (x) Demostracin. f = 9 A - c.t.p. equivale a decir que

N:= {x E X Ig(x) - f(x)::j:. O} 'E NA(X).

305


Sea h : N -----+ e con h(x) = g(x)-1(x), x E N. Claramente hN = g-1. Por Proposicin 5.3.19 IlhNll A= OY hN E C(X, A) . Para 1 E C1(X, A) existe sucesin ('l/Jk) e C(X) con 111 - 'l/JklI A -----+ Opara k -----+ oo. De Ig - 'l/Jkl ::; 11 - 'l/Jkl + IhNI en X se sigue con Teorema 5.3.4 y IlhNllA = O, Ilg - 'l/JklI A ::; 111 - 'l/JklI A --> Opara k --> oo. Por lo tanto 9 E C1(X, A) y Ix g(x) dA(X) = lm J~ 'l/Jk(X) dA (x) = J~ 1(x) dA(X) .

k---.oo

El subespacio (lineal) de C1(X, A) de las funciones nulas se denota por

A := (X, A) := {h : X --> IR. h(x) = O, A-e.t.p.} (5 .15)1

= {h E C(X,A) IlhllA = O}1

En teora de integracin es conveniente, como indica Teorema 5.3.20, identificar las funciones que son iguales salvo un conjunto de A-medida cero. Mas preciso, para 1, 9 E C(lR, A) se define por

1'" 9 :~ 1 - 9 E A ~ 111 - gllA = O~ 1 = 9 A-e.t .p. en X (5.16)

una relacin de equivalencia sobre C(X, A) cuyas clases de euivalencia son los espacios normados cuocientes

L(X, A) := C(X, A) / A, Ll (X, A) := C l (X , A) / NA (5.17)

Observacin 5.3.21 Vemos ahora que el Teorema 5.3.4 es tambin vlido si solo se cumple

11(x)1 ::; L00

Igk(X)1 para A - e.t .p. x E X (5.18) k=l

En efecto, si N e X es el conjunto donde no se cumple la desigualdad se modifica la funcin 1 en esos puntos con valor cero , para obtener 1. Entonces 1 = 1+_1 . XN donde h := 1XN es una funcin nula. Se aplica Teorema 5.3.4 a 1 y con lo anterior obtenemos la validez de Teorema 5.3.4 para 1.

Convencin: Cuando en lo siguiente se tenga una funcin, obtenida por ejemplo como lmite de una sucesin o serie de funciones, definida para casi todo x E X , se la considerar, extendida a X por valores arbitrarios en el conjunto de excepcin, por ejemplo con valor O.

5.4. TEOREMAS DE CONVERGENCIA

5.4. Teoremas de convergencia

Los teoremas de este numeral son de los ms importantes de la teora. Muestran, respecto al intercambio de lmites, la gran superioridad de la integral de Lebesgue sobre la integral de Riemann.

Teorema 5.4.1 (Beppo Levi). Sea (gk) una sucesin en L(X, A) tal que ~ I!gkll.x < oo. Entonces (a) La serie ~ Igk(X)1 converge para A - C.t. x E X. (b) Si 9 : X --> ~ es tal que g(x) = ~ gdx) para A - C.t. x E X, entonces 9 E L(X, A) y

n

9 - gk --> O, n --> 00 k=! .x

(c) Si se tiene (.9k) e L(X,A) entonces 9 E L(X,A) y

./~ g(X)dA(X) = ~ .Ix gk(X) dA(X) (5.19) Demostracin. (a) Para D := {x E X I~= Igdx)1 = oo} se tiene XD ::; ~n+1 Igkl para n E N y con el Teorema 5.3.4 se sigue IIXDII.x = O ya que IIXDII.x ::; ~n+1 IIgkliA --> O para n --> O. (b) Con Teorema 5.3.4 y Observacin 5.3.21 se sigue 9 E L(X, A) dado que 9 - ~=I gk = ~n+1 gk para A - C.t. x E X y se sigue tambin

n 00

9 - gk ::; IIgkll.x --> O para n --> oo. k= .x k=n+1

(c) Es inmediatoo de la parte (b) y Teorema 5.3.15 (a) .

Con lo anterior podemos decir que series absolutamente convergentes en L(X, A) son convergentes.

Corolario 5.4.2 Los espacios seminormados L(X, A), 12 1 (X, A) Y los espacios normados L(X, A) y LI (X, A) son completos.

Demostracin. Basta probar que una sucesin de Cauchy tiene una subsucesin convergente. Sea (fn) e L(X, A) una sucesin de Cauchy. Recursivamente se obtiene unasubsucesin (fnk) con ~ IIInk - Ink-II.x < oo. Se escribe

j

In] = Inl + (fnk - Ink_l) para j E N. ( 5.20) k=2

307


Por Beppo Levi se obtiene que (ln j) es convergente en L(X, >') y con eso tambin (In). Se siguen las afirmaciones con Beppo Levi y las definiciones de L(X, >') y Ll (X, >.) .

En particular se obtiene que (el espacio de funcines) .el (X, >') es un completado de (Cc(X), II II ,J. La demostracin de Corolario 5.4.2 sirve para probar :

Corolario 5.4.3 (a) Toda sucesin (In), convergente en L(X , >'), tiene una subsucesin (ln j) convergente para >.-casi todo x E X. (b) f: X --> ([: pertenece a .e1(X , >') s y slo si existe una sucesin Nk) en Cc(X) tal que

00 00 .

f(x) = L '1fJk(x) >. - C.t. x E X ~.lx I'I/!kl (5.21)y d>'( x) < oo. k=l

Demostracin. (a) Tmese la subsucesin (In,) de (5.20). (b) ==}: Sea f E .el (X, >.). Entonces existe ( O, para n --> oo. Aplicamos el procedimiento de la demostracin del Corolario 5.4.2 a (') una sucesin montona creciente, para >.-casi todo x E X , tal que la sucesin de las integrales sea acotada superiormente, es decir

C := sup j' fn( x) d>.(x) < oo. (5.22) nEl\I X

Entonces (In) converge, para >.- casi todo x E X, a una funcin f E .el (X, >') y se tiene

.Ix f(x) d>.(x) = l1~OO.lX fn(x ) d>'(x) . (5.23)
http:l1~OO.lX

5.4. TEOREMAS DE CONVERGENCIA

Demostraci6n. Ponemos gl := JI y gk := Jk - Jk-l si k 22. Para n E N se sigue

t Ilgkll,\ = Ilhll,\ + t /' (fk - Jk - ) (.r)dx k=l k=2' X

= Ilh 11,\ + .Ix Jn(x) dA(X) - .Ix h (X)dA(X) ::; 211h 11,\ + C. Por lo tanto I:r:l Ilgk ll,\ < 00 y con Jn=I:~= 1 gk se siguen las afirmaciones con el Teorema de Beppo Levi. _

Observaci6n 5.4.5 (a) Claramente vale un teorema de convergencia montona para sucesiones montonas decrecientes si la sucesin de sus integrales es acotada inferiormente.

(b) Sea K e X un compacto. Para la sucesin truncante (r/j) de Observacin 5.l.1 se tiene Tij E C-(X) y Tij ~ Xk. Como A(Tij) 2 O para todo j E N se sigue de Teorema 5.4.4 que XK E .el (X, A). (c) Para un rectngulo compacto Q = n~= l [ak, bk ) e lR." se tiene para la sucesin truncante (19 j ) de Observacin 5.l.1 que 19 j ~ XQ y IRn 't3 j (.r)dx = n~=1 ((bk - ak) + }). Con (5.23) se sigue

Como Jr(Q) es un conjunto de medida cero en lR. n es claro que (5 .24) tambin vale para rectngulos abiertos QO y todo conjunto B e lR.n con QO e B e Q. (d) Sea T(lR. n ) el espacio de las funciones escalonadas en lR.n , es decir

T(lR.n ) := span {XQ IQ ~ lR.n rectngulo compacto} (5.25)

Entonces, si t = I:j:l ajXQ) E T(lR. n ) se sigue con (c)

(5.26)

Observe que t puede tener diferentes representaciones.

309


Integracin sobre sobconjuntos

Definicin 5.4.6 Para A e X sea

.e(A , A):={J:A--->1R IfAE.e(X , A) } (5.27){ J~ f(x) dA(X) := J~ fA(X) dA(X) si fE .e(A , A)

Anotamos como aplicacin de Teorema 5.4.4 el caso ms interesante donde X = IRn y A = A:

Teorema 5.4.7 Sea U e IRn abierto y acotado y sea f : U ---> e continua y acotada. Entonces f es Lebesgue integrable en U.

Demostracin. Descomponiendo f en parte real e imaginaria y entonces en parte positiva y negativa, basta considerar el caso f 2': O. Tomamos una sucesin de compactos (Ke)eE N con Ke e U, Ke e KeH, e2': 1, U~ Ke = U y una sucesin (re) de funciones truncantes re := r~~t E C+ (l~n) con

o sop( re) e K eH para e E N. Entonces O ::; re :::; 1 Y re (x) T 1 para todo x E U (ver Observacin 5.1.1 (c)) . Entonces si fu es la extensin trivial de fa]Rn y fe := fure E Cc (lRn), es claro que fe(x) T fu(x), "Ix E ]Rn. Adems f e E .el (]Rn) , eE N. Sea M una cota para f y Q un rectngulo compacto en ]Rn con U e Q. Entonces fe:::; M en IRn y J~n fedn(x) :::; Mvoln(Q) , ve EN. Por Teorema 5.4.5 fu es Lebesgue integrable en IRn es decir .J~ f(x) dn(x) existe. _

Con este resultado podemos probar fcilmente

Teorema 5.4.8 Sea K e ]Rn un compacto y f K ----> e continua. Entonces f es integrable en K.

Demostracin. Con el Teorema de Tietze (Capitulo 1) reducimos el problema al caso del Teorema anterior. Sea : ]Rn ---> e una extensin con-0.nua (acotada) de f a IRn y Q un rectngulo abier~ (ac~tado ) con K e Q. f es ac~tada y continua sobre Q y se tiene f K = fQ - fQxq::.K. Las funciones fQ y XQ, K son integrablels por el teorema anterior y fQ' XQ , K por Teorema 5.3.14 (c) . Por lo tanto f< es integrable. _

Ambos resultados se generalizan claramente al caso localmente compacto.

5.4. DE CONVERGENCIA 311

de Cauchy-Riemann e integral de Lebesgue.

Sea R [a, b] el de las funciones en el intervalo compacto [a, b] e es decir las funciones acotadas en [a, b] que son lmite uniforme de sucesiones de funciones escalonadas en b]. Claramente C [a, b] e R[a,b], Para I R b]la ntegral de I denotada por ./: I(x)dx se llama integral de de I y est por

j'b

lm dx T b] 71---+00 a

tal que 11I 0, para n ----> 00 y d,y; est definido como en (5.26). Dicho de otra manera R b] es la clausura del funcional lineal continuo

s, .lb t(x) dx en el b], 11 11 00 ) de las acotadas y que claramente

T b],

< lb 1dx (b - 11.fa

La integral de ser una extensin de la de

Teorema 5.4.9 (Integral de Cauchy-Riemann e Integral de Lebesgue). Para intervalos compactos en iR se tiene R b] Ll b] con

'b

dA (x) = . a I (x) dx para lE R [a,b]. /

Demostracin. Por Observacin 5.4.5 claro T [a, b] e b] y con para funciones escalonadas. Para

existe sucesin ~ T b] de escalonadas 11I - O para n ---> oo. Es claro que con Teorema 15 l1li

Este resultado es importante dado que, junto con el teorema de Fubini, permitir tcnicas de Anlisis en una variable para evaluar inte

de en ffi:n, Se puede que el teorema anterior tambin es vlido para la integral de Riemann en b]


Teorema 5.4.10 Sean An e X con XAn E 12 1(X) tal que An e An+1 para n E N, A := U~=I An Y f : A ----t C. Entonces f E 12 1(A,'x) si y slo si Vn E N fAn E 12 1(An,'x) Y sUPn J~" If(x)1 d,X(x) < oo. Si es el caso, entonces

J~f(x)d'x(x) = l~mJ~J (x)d'x(x) (5.29)

Demostracin. ===}: Por Teorema 5.3.14 (c) se tiene fA = fAXA n E 12I(X , 'x) y J~n If(x)ld'x(x) = J>IfAnld'x (x):::; J~ IfA ,,(x)ld'x(x), Vn E N. {::=: Por la descomposicin, primero en parte real e imaginaria, y despus en funciones no negativas podemos suponer f 2: O. Como f An T fAse sigue del Teorema de Convergencia montona que fA E 12I (lRn,'x) y (5.29) .

Integral de Cauchy-Riemann impropia e integral de Lebesgue

Se obtiene de forma inmediata de Teorema 5.4.10

Teorema 5.4.11 Si 1 = (a, b) e lR es un intervalo abierto, f : (a, b) ----t lR una funcin regulada localmente integrable, es decir integrable sobre todo intervalo compacto [c, d] e (a, b),entonces: f E 12 1(lR) := 12 1 (lR, A) si y slo si la integral impropia J: If (x) Idx es convergente. Si es el caso se tiene

J(a ,b)f(x)dA(x) = J: f(x) dx

Probaremos a continuacin el Lema de Fatou. Para eso, antes un resultado auxi liar.

Lema 5.4.12 Sean 9 E 12 1(X, A) y (in) e 12 1 (X, A), de valor real, una sucesin con g(x) :::; fn(x) pam A - C.t. x E X Y todo n E N. Entonces existe para A casi todo x E X, F(x) := nfn fn(x) y se tiene F E 12(X, A).

Demostracin. Con Teorema? se obtiene Fn (x) := nfk= fk(X) pertenece a 12(X , A). Claramente F 2: F2 2: ... 2: 9 para A-casi todo x E lRn y as J~Fn(x)dA (X) 2: J'xg(x)dA(x) > -00 para todo n E N. Por el Teorema de convergencia montona existe F(x) = lmFn(x ) = nffn(x) para A - C.t x E

n n

X y FE 12I(X,A) .

Lema 5.4.13 (Fatou). Sea (in) e 12 1(X,'x) de vo.lorreal con

C := SUP(yfn(x)dA(X) < 00 (5.30) n Ef\:!

5.4. DE CONVERGENCIA

y exista 9 E 12 1 A), de valor con A-C.t. x E X Y para todo 17, E N. Entonces e.Tiste .- lm nf para A-c.t. x, se tiene lE 12(X, A), y se cumple

S lm nf (5.31)

Demostracin. Por Fatou existe para A C.t.X y se tiene Fn E 12 1 A) de valor real. Como Se para todo 17, E N. Como 1 existe por teorema de montona para A-d. E]Rn lm = Im nf (x) =; E

n-+oo tiene lmix S lm nf.lx In l1li

El siguiente Teorema es, sin el recurso que ms frecuentemente se usa en la de sucesiones;

Teorema 5.4.14 (de convergencia dominada). Sean e 12 1 A) una sucesin con en 12A), es decir existe 9 E A) tal que

\/17, E N: IS para A-cL x E X (5.32) y adems exista lm para A-c.t. x E X. Entonces se

I E A), lm =y

Demostracin. Una del Lema de Fatou a en forma inmediata I E A). Como -l/n - I1 otra aplicacin del Lema 5.4.13 da O S lm nf( -.rx 1/11. as las ltimas dos afirmaciones. l1li

Como ilustracin al ]Rn y apliquemos el teorema de con-dominada para obtener un criterio de existencia til (ver tambin

Teorema 5.4.

Definicin 5.4.15 Un si es reunin de un nmero contable de

5.4.16 Todo abierto en ]R11.. Todo cerrado en]R11. (basta intersecar el conjunt.o con una sucesin de bolas cerradas de radio 17, E ~ centradas en ). (c) Todo mtrico localmente y

313


Definicin 5.4.17 I : A ------> e, donde A e ~n es a-compacto se dice localmente integrable si es integmble sobre todo conjunto compacto K e A.

Ejemplo 5.4.18 (1) Toda funcin continua sobre un conjunto a-compacto, es localmente integrable. (2) Sea J1 : A ------> e acotada e integrable sobre el conjunto a-compacto A e ~n. Entonces, para todo a E ~n y ' < n la funci n x I:~:u es localmente integrable en A (se probar msf---> adelante).

Teorema 5.4.19 (Criterio de la mayorante). Sea I : A ------> e localmente integrable sobre el conjunto a -compacto A e ~n. Entonces si 1I1 $ F sobre A con F integrable en A, tambin I es integrable sobre A. F se dice una mayorante integrable para l .

Demostracin. De A a-compacto se sigue que existe sucesin de compactos (Ad en A con A = UAk y Ak e Ak+ l La sucesin I Ak = I . XAk converge puntualmente alA. Adems, claramente I Ak es integrable en ~n por hiptesis y se tiene IIAkl $ FA. Por el Teorema 5.4.14 se sigue que lA es integrable en ~n y as I sobre A. _

Corolario 5.4.20 Sean I : A ------> e integmble, 9 acotada y localmente integrable en A con A a -compacto. Entonces 19 es integrable sobre A.

Demostracin. 19 es localmente integrable y si M es una cota superior para 191 entonces F := Ili . M es una mayorante integrable.

Ejemplo 5.4.21 Si I es integrable sobre ~n, entonces para todo x E ~n tambin y ------> I (y )e-i(x,y), lo es. La funcin dada por

f(x) = ~J~nl(y)e-i(X'Y) dY, x E ~n

se llama la transformada de Fourier de I en ~n.

Apliquemos el Criterio de la mayorante a un caso particular que generaliza Teorema 5.4.7

Teorema 5.4.22 Sea I : U ------> e continua sobre el abierto U ~ ~n y tenga sobre U una mayorante (integrab le) F. Entonces I es integrable sobre U.

5.4. TEOREMAS DE CONVERGENCIA 315

Demostracin. Por Teorema 5.4.19 basta probar que f es localmente integrable. Tambin podemos suponer f ~ o. Sea ahora K e U compacto y veamos que f K es integrable sobre K. Limitando sus valores por eE N se define fe := f K 1\ e. Claramente fe ----+ f K puntualmente . Adems cada f e es trivialmente acotada sobre K y continua y asf, por Teorema 5.4.8, es integrable . Adems es claro que Ifel :s: Fu para todo e E N. Por el teorema de convergencia dominada f K es integrable en IRn

5.4.1. Integrales con parmetros: continuidad y diferenciacin

Podemos generalizar ahora con Teorema 5.4.14, resultados de Capftulo 2 sobre la continuidad y la diferenciabilidad de integrales que dependen de parmetros .

Teorema 5.4.23 (continuidad). Sean T un espacio mtrico, EE T dado, f : X ----+ e satisfaga x >-------> f (E, x) E .el (X, A) Y sea

F(t) := j' f (t, x)dA(X), Vt E T. (5.34 ) .X

Sea adems t >-------> f(t , x) continua en E para A-c.t. x E X Y exista una funcin 9 E .el (X, A) tal que para todo tE T

If(t, xl :s: g(x) pa.ra A-c.t. x E X. (5.35)

Entonces F es continua Pon E.

Demostracin. Aplicacin del teorema de convergencia dominada implica F(tk) ----+ F(E) para tk ----+ E.

Teorema 5.4.24 (de diferenciacin). Sean T e IRk un abierto, la funcin f : T x X ----+ e satisfaga x >-------> f(t , x) E .el (X, A) Y sea

F(t) := j' f (t, x)dA(X), Vt E T. .X

Adems supongamos: existe N E NA (IRn ) tal que g[]

(t, x) exista para todo

t E T Y x E X " N Y se satisfaga

::Jh E .el (X, A) tal que Vt E T, V.I; E X" N : I~~ (t, x) I :s: h(x) (5 .36)

" NrvEIlS N - /DAD "'CIONAr; DE

UOh" "tilI.lH OL~'f~ ' JE PTO. DE BIEL

':/ /0 I ()TF'(' \ " FPE~OTEC'"s r,) 1 fEZ


Entonces F tiene derivada parcial hacia tj y se cumple

aF (t) = af (t,x)d'$x), para tE T . ( 5.37)j.atj . x at)

Demostracin. Sean B (a; r) tal que B (a; 2r) e T y t E B(a; r). Sea (hk) una sucesin en ]R. con O < Ihk I < r . Entonces para k ----t 00

1 f 6k(t, x) := h (f(t + hk ej, x) - f(t, x)) aa (t, x) y ]R.n " N.----t

k 0

ConelteoremadevalormediosetieneI6k(t,x)1 = 1 ~(t+ehkej,x) l :::; h(x) para x E X" N Y con eso para tE B(a;r) se sigue g[ (t , ) E .c(X,'$ as

)

como

1 j. ;. ath (F(t + hkej) - F (t)) = x 6dt , x)d'\(x) . x at (t, x)d'\(x)----t

k

Se sigue el teorema.

Ejemplo 5.4.25 Para ex > O probemos que

FCt(t) := .f~e-x2 /4Cte--ixtdx = 2,;:;r:o. e-Ctt2 , tER

En efecto, con f(t , x) := e- x2/YCt e- ;xt se tiene ~{ (t, x) = _ixe-x2/YCte - ixt y con Corolario 5.4.20 se dan las hiptesis de Teorema 5.3.24. De (5.37) se sigue para t E ]R.

F' (t) = -iJ x e-x2/4Cte-ixtdxCt iR

= 2exi e-x2/4Cte-ixt I~oo - 2ext.JlRe-x2/4Cte-ixtdx = -2ext FCt (t)

una ecuacin diferencial de primer orden. Su solucin es F(t ) = C. e- Ctt2 con C = F(o ) = J~e-x2 /4Ctdx = 2J7ffi.

5.5. Funciones y conjuntos medibles o

Sea Ke, E N una sucesin de compactos en X con Ke e K (+1 Y tal que UeEN = X. Adems (re) una sucesin truncante asociada a Ke con re := r~e, E N tal que s0P'l7e e Ke+1 Entonces re E C(X), O:::; re:::; 1 Y re T1.

5.5. FUNCIONES Y CONJUNTOS MEDIBLES 317

5.5.1.

5.5.1 Para el >. : una 1 : lRn ----> ([', dice >.- medible (o medible con a >') si existe una sucesin ) e (X) para >.-cas todo x E IRn . Denotamos por >') al >.-medibles sobre X.

Ejemplo 5.5.2 (1) Por Corolario 5.4.3 se c..o(X, >.). Toda funcin continua 1 E es decir 1 E c..o(X, >.).

Para eso, basta observar que 1 . 17e E ) Y 1 . 1JR ----> 1 puntualmente. (3) J"", 1m E F E entonces tambin E Lo(X, >.). En ----> se

>.-c.t.p.

Teorema 5.5.3 Para 1 . X ----> IR con 1 2: O son (1) 1 E Lo (X,>' )

11\ 9 E (X, >') gEl >.). (3) 11\ e 7)e (X, >') para todo eE N. Demostracin. Sea ) con ---->

Entonces ----> 11\g e.t.p. y el teorema de ,,("'VPrln' dominada da 11\9 E c.. l

es trivial. Veamos ==> (1): Claramente lm(f 1\

e para todo E x. 1 1\ e17e E existe E Cc(X) tal que 111 1\ erle 'lj!e 11 A S ;fr. Con el teorema de Levi se 1 1\ e T/e

--; O para e----> 00 y con eso ----; 1 c.t.p. 111 Teorema 5.5.4 Para 1 ; jRrt ---> ([', son (1) 1EL (2) 1 E Y 1 E c..(X, (3) 1 E c..o(X, >') y 111 S h con h E Ll >')

Demostracin. (1) ==> es trivial. (2) ==> ; Si de 1 (Definicin 5.3.1) entonces por Levi tornar

E , >.). : Podemos suponer 1 2: O. Entonces 11\hE

Observacin 5.5.5 Pertenecer a c..o(X, se ver corno una condicin dbil de regularidad de 1 y a L(X,'x) corno una condicin de crecimiento para una funcin 1 : X ----> C. En ese sentido 1 es integrable s y slo si se dan esas dos condiciones para 1 (( 1)


Podemos generalizar un resultado anterior (Teorma 5.3.15) (d)):

Lema 5.5.6 Sea 9 : X -----> e acotada y 9 E Lo(X, A). Entonces si I E L l(X, A) tambin Ig E L(X , A) .

Demostracin. Se sigue Ig E Lo( X, A) por Ejemplo 5.5.2 (3) Y Ig E L (X, A) de Lema 5.3.6.

El espacio Lo(X , A) es cerrado con respecto a convergencia puntual en A-C. t .p.

Proposicin 5.5.7 Sea I E X -----> e y (In) una sucesin en Lo(X, A) con In -----> I para A - c.t.p . Entonces I E Lo (X, A).

Demostracin. Podemos suponer I 2: O. Por Teorema 5.5.3 se sigue In 1\ 9 E Lt(X, A) y se tiene In 1\ 9 -----> I 1\ 9 para A-C.t.p. Por el teorema de convergencia dominada se obtiene entonces 1 1\ 9 E Lt(X, A) y con eso l E Lo(X, A) por Teorema 5.5.3.

Definicin 5.5.8 Para I E Lo(X, A) " Ll(X, A) sea J~/(x)dA(x):= +00

5.5.2. Conjuntos medibles y su medida

Definicin 5.5.9 (a) Un conjunto A e X se dice A-medible (o medible con respecto a A) si XA E Lo( X, A). Denotamos por M ,x.(X) la coleccin de los conjuntos A-medibles en X. (b) Para A E M,x.(X) se define la medidacon respecto a A de A , m,x. : M,x. (X) -----> [0,00) por

m,x.(A) := .1~XA(x) dA(x) (5.38)

Teorema 5.5.10 (Propiedades de M,x.(X) y m,x.). (a) Pam la coleccin de conjuntos M,x.(X) se tiene:

(1) X E M,x.(X) . (2) A E M,x.(X) ==} N := X " A E M,x.(X). (3) Si (Ak) es una sucesin en M,x.(X) entonces tambin A = UAk

pertenece a M,x. (X). (b) Para la medida m,x. se tiene:

Si (Ak) es una sucesin disjunta en M,x.(X) y A = UA k entonces

m,x.(A) = ~lm,x. (Ak) ( 5.39)

Se dice que m,x. es a-aditiva.

5.5. FUNCIONES Y 319

Demostracin. Para (1) basta observar que Xx = 1 E Lo( X, A) Y as X E M,\(X) y para (2) se obtiene de XA E Lo(X, A) que XAC = 1 - XA E Lo(X, A). Ahora (3)' XA V XA2 se Al U Az E M,\(X) y con eso por reeurrencia U '" U E M,\(X), n E N.Por Proposicin 5.5.7 se con XB" / XA que A E M,\(X). (b) Claramente XA = . Si m,\(A) < 00 y con eso XA E L1 (X, A) se sigue (Ak)


Proposicin 5.5.14 Sean E e X con m~ (E ) < 00 y > O. Entonces, (a) Existe abierto U e X con E e U y m)..(U) < m~ ( E) + . (b) Si E es A-medible entonces m)..(U " E) <

Demostracin. (a) Sea O < < 1 con l~ (m~ (E ) + ) < m~ (E) + . Tomamos una A-mayorante L ifJk de XE con L A(ifJk) < m~(E) + y definimos U := {x E X I L ifJk (x) > 1 - }. Entonces, para Xo E U existe n E N con L~=l ifJk( Xo ) > 1 - . Como L~= l ifJk es continua la anterior desigualdad vale para x cercanos a X o y as U resulta abierto. Claramente E e U y Xv :::; l~ L~l ifJk y por lo tanto m)..(U) :::; l~ L~l A(ifJk) Y con lo anter ior m).. (U) < m~(E) + . (b) Si E es medible , la lt ima desigualdad en (a) d a m).. (U) - m)..(E) < . Con esto , U = E U U " E y la aditividad de m).. se sigue la a firm acin _

Teorema 5.5.15 Pam todo A E M)..(X) y > O existe un conjunto abierto U e X y un conjunto cerrado C con C e A e U y m).. (U " C) < .

Demostracin. Sea > O. Si (Ke)eEi'i es una sucesin de compactos con Ke e K e+l Y U~l K e = X entonces m).. (A n K e) < 00, e E N. Por la proposicin anterior existen abiertos Ue :J A n K e con m)..(Ue " (A n K e)) < /2e+l . Entonces U := uUe es un abierto en X con A e U y U " A e U~l (Ue " (A n Ke)) Por lo tanto m)..(U " A) < /2 por monotona y subaditividad . Si aplicamos ahora lo anterior a ACse obtiene un abierto V e X con AC e V y m)..(V - AC ) < / 2. Entonces se cumple para el co njunto cerrado C := V C, C e A y m).. (A " C) = m)..(V " N) < / 2. Se obt iene as C e A e U ym)..(U " C)

5.5. FUNCIONES Y CONJUNTOS MEDIBLES 321

Dado > O existe C e A cerrado con mA(A " C) ::::; Y as mA (A) - ::::; mA(C). Con una sucesin (Ke)eE. de conjuntos compactos tal que Ke e Ke y adems UKe = X se tiene Ce := C n Ke es compacto, Ce e Ce+l y C = uCe . Con Teorema 5.5 .12 (b) se sigue mA(Ce) ---+ m A (C) y con eso (5.43) .

El teorema anterior dice, en particular, que se puede aproximar tan exacto como se quiera la medida de un conjunto medible en X por la medida de un conjunto abierto adecuado.

Definicin 5.5.17 Sea [;(E ) una coleccin de subconjuntos de un conjunto E. Decimos que [;(E) es una CJ-lgebra sobre E, si para [;(E) se tienen las propiedades (1), (2) , (3) del Teorema 5.5.10. Una aplicacin CJ-aditiva .t : [;(E) ---+ [0,00] se llama una medida (positiva) sobre (E, [;(E)) Y (E, [; (E), .t) un espacio de medida.

Observacin 5.5.18 Y Definiciones: (a) Si [; es una coleccin dada de subconjuntos de un conjunto E, entonces la coleccin que se obtiene tomando la interseccin de todas las CJ-Algebras que contienen la coleccin [; es una CJ-Algebra, llamada la CJ-Algebra generada por [; en E . (b) Si E es un espacio mtrico, la CJ-Algebra generada por los conjuntos abiertos en E se llama la CJ-Algebra de Borel en E, denotada por B(E). Si E = X entonces, con Ejemplo. 5.5 .11 (c), es claro para la CJ-AIgebra de Borel, B(X) e MA(X) para todo funcional positivo ,\ : Cc(X) ---+


Demostracin. (a) ==> (b): Sea f e Lo(X, >') y a E R Se define hn := n(f V (a + ~) - f V a) que pertenece a Lo(X , >'). Es claro que hn(x) -- O para f( x) > a y hn(x ) -- 1 para f( x) ~ a. Se sigue XJ - 1((-oo,aJ) = lf?hn E Lo(X , >' ) por Proposicin 5.5.7 .

(b) ==> (c): Como (-00, a) = UG1 (-00 ,a - -1], para a E ~ , se sigue que f-l((-oo ,a)) E M,\(X) y tomando complemento f-l((a,oo)) E M,\(X) y f-l([a,oo)) E M,\(X) de la hiptesis. Como todo intervalo acotado es interseccin de dos interva los no acotados se obtiene (c). (c) ==> (a): Para n E N Y j E {-n2n + 1, ,n2n }

5.5. FUNCIONES Y CONJUNTOS 323

{;:::::::;;} (b)' Se de , A E , Teorema.5.5.19

::::; a}, SI a < O ::::; a} U si a O

Veamos Por y existe sucesin con (X)----.fA(X) A-eL EXybastaponergj: 1jJjIA.. veamos (e) lR.) el conjunto {x E Al

en A y por tanto con un cerrado C en {x E A I f

) e Finalmente

::::; a} es AnC.

A, C E M,\ para f y con "b ==> a". se es decir fA E ahora f : A lR. Y sea con gj ----. e.t. x E A. Por lo anterior se tiene y como A fA A e.t. E X, se tambin con Proposicin 5.5.7 que fA E Lo(X, A) lo cual, por es fE Lo(A, l1li

5.5.5. Integral y sumas de Riemann

Del Anlisis en una variable se sabe de una funcin continua sobre un intervalo con exactitud arbitraria por sumas de si la del intervalo es suficientemente fina. Veamos ahora que tenemos una propiedad similar para la A la de en ;Rn) de una funcin continua sobre un Con eso la introducida tambin satisface Como en Teorema se existe.

d la mtrica de X. Decimos que un nmero finito de conjuntos Al, ... , es una particin del conjunto A e X con 15 > O si se

(a) U ... U = A, los untos n ,i ::j:. j son de A-medida cero, (e) , 1 ::::; k ::::; r es medible y ::::; 15.

Teorema 5.5.21 Sean K e X compacto y f : J( ----4 re continua. Entonces para todo > O existe 15 O tal que para toda Al, ... , de J( con ::::; 8, 1 k::::; m, y toda eleccin de ~k Ak se

Decimos que 1 f 'U.na suma de Remann asociada a la. Al,''', y los puntos ~J,""~T'


Demostracin. Sea d la mtrica de X y A e X compacto. Es claro que j es integrable en A. Podemos suponer que A no tiene medida cero. Dado ro > O sea 6 > O tal que para x, y E A (compacto) con d(x, y) :S 6 se tiene, por continuidad uniforme , Ij( x) - j(y )1 < m>.E(Al Si para la particin A, ,Ar tenemos diam(A k) :S 6, 1 :S k:S r, entonces con ~k E Ak, se sigue Ij(x) - j(~k)1 < m>.E(A ) para todo x E Ak. Por lo tanto para todo k

ILk j(x)d),(x) - j(~k)m,,(Ak)1 :S Lk Ij(x) - j(~k)1 d)'(x) (*) ro

:S --. m,,(Ak)m,, (A)

Ahora como m,,(A n Aj) = O para i =f. j es fcil ver que J~Aj j (x)d )'(x ) = 2:1= J~j j( x)d )'(x) y se obtiene finalmente del est imativo (*), sumando sobre k,

lA j(x) d)'(x) - ~j(~k)m,,(Ak)l:s m,,~A) ~m,,(Ak) = ro es decir, se obtuvo la afirmado. _

Probamos ahora una frmula general de cambio de variables en el marco de los espacios mtricos localmente compactos separables bajo el supuesto que ya se tiene una tal frmula para funciones continuas de soporte compacto. Este resultado ser importante para obtener la frmula de cambio de variables en IRn y tambin para obtener la integral de Lebesgue, con todas sus propiedades, sobre variedades. Primero una proposicin auxiliar.

Proposicin 5.5.22 Sea Y e X un subconjunto localmente compacto, (caso particular un abierto o un cerrado en X J. Entonces (a) Cc( Y ) es un subespacio denso de .e (y , ),). (b) Para todo j E .e (y, ),) y ro> O existe sucesin (CPk) en C(Y) con

00

Ijl :S L CPk y ~l~ cpk(y)d )'(y) :S LIf(y ) 1 d),(y) + E. (5.47) k=

Demostracin. De Y E M,,(X) se sigue C(Y) e .eo(Y,),) por Teorema 5.5.20. Para fr E Cc (Y),se sigue con (5.8), que fry e Cc(Y) E .e(X, ),) y con Teorema 5.5.4 se tiene fry E .e (X , ),). Para j E .et" (Y, ),) se obtiene de (5.21) que jy = 2:~ 'l/Jk en ), -c.t.p.para una sucesin ('l/Jd e Cc(X, IR) con

5.5. y.cONJUNTOS

I =: 9 E Ll . En X existe sucesin truncante e con O :::; ae :::; 1 yae(Y) 1 para todo y E Y. Entonces

+

'PI ,~ IY) A e."1 E C y --;.

para A C.t. x se de dominada que --;. O, para e 00, lo que prueba (b) Por definicin de la

< pe E E N, como en = pe -pe-I

para e:::: 2. 111

para funciones continuas de

Teorema 5.5.23 Sean Z separables, y A : ) --;. fJ : lineales tivos. Sean adems U e Z y V e X localmente compactos nrlTIII

CAPTULO 5. INTEGRACI6N326

Demostracin. (1) Sea f E L 1(U, fL ). Por la Proposicin anterior existe una sucesin ('ljJe) e Cc(U) con J~ If (u ) - 'ljJe(u ) IdfL (u) < l /e y tambin funcion es rp~k) E c;t(U) con

If(u ) - 'ljJe(u) I ~ ~ rp~k ) (u) , u E U y ~.fu rp~k ) (u)dfL(U ) < ~.

Claramente 'ljJe o'ljJ j E Cc(V) y rp~k ) o'ljJ . j E c;t(V). Para v E V se sigue

If('ljJ(v))j(v) - 'ljJe('ljJ(u))j(v) I ~ L00

rp~k)('ljJ( u))j(v) k=1

y aplicando (5.49) obtenemos

~ Iv f~k)(,p(v))j(v) d>' (v) ~ ~ fu f~k\u)d"(u) < ~ . Se sigue as (f o 'ljJ) . j E LI (V, A) Y obtenemos (5.49) como consecuencia de

(5.48) y

.f('ljJ (v))j(v)dA(V) = lm /" 'ljJe('ljJ(V) )dA(V) . v e--oo lv = lm /" 'ljJe(u)d~(u) = /" f (u)dfL (U).

e--oo l u .fu

La otra implicacin en (a) se sigue fcilmente con lo anterior. En efecto aplicando 'ljJ -I en (5.49) se obtiene

1/" r (V) dA(V) = j' r ('ljJ-l(u )) [j o 'ljJ - l r (u) dfL(U) para r E Cc(V)

lv . U (5.52) 1

Por la primera parte se sigue 9 E Ll (V, A) ~ 9 o 'ljJ - l (jo'ljJ-lr E Ll (U, fL ), en particular (f o 1/)) . j E LI (V, A) ~ f E Ll (U, fL ) y estamos listos con (a). (2) Se sigue aplicando (1) y Proposicin 5.2.19 a la funcin f := X''(A)' (3) Para f E Lt (U, fL) existe sucesin ('ljJ j) en Cc( Z ) con 1/)e ---> f fL - e.t.p. y truncando con una sucesin j . O:j como en (5.48) podemos suponer ('ljJj) e Cc(U), Con (2) se sigue tambin ('ljJi o 'ljJ) e Cc(V) y 'ljJj o'ljJ ---> f o 'ljJ A-e.t .p. Similarmente se deduce el recproco en (3). (4) Se obtiene aplicando (3) y (1) a la funcin f := X''(A)'

5.5. FUNCIONES Y CONJUNTOS

Nota 5.5.24 Las dos UJll'""'''''J'''OL> que daremos ms adelante de Teorema 5.5.23 sern las

X = Z = ]R?l, U, V abiertos en ]R11, '!j; : V -----. U un dfeomorfismo de V sobre j = det I,.A A donde (5.49) se ha probado.

X = ]Rm, Z 1 una m-variedad de clase en ]rtn, V e X abierto en JR;.m) U e Z abierto yo:: V ---> U una local de

(]rtn), j la determinante de A y f.l un funcional positivo que se ha definido sobre ) usando una particin de la unidad y "subiendo" el funcional A a la variedad de tal manera que localmente valga

Anotamos finalmente otro caso particular de Teorema donde Z U V, '!j; = id Y j l.

Corolario 5.5.25 Sean X mtrico localmente .A. ) ---Jo ce un lineal y V un

de X. Entonces si define

(v) para if; E (V), (5.53)

se obtiene un '1}(}';I.I:n'IIJ I" : [1 .A) Y

para f .A).Iv Aplicacin 5.5.26 V. Q c]rt11 : X) Q un cubo compacto. Entonces Q mtrico localmente compacto el . Para if; E (e incluso if; E f.l. ce por

iterada sobre Q

Este funcional positivo induce el

para f p} Por otro lado tenemos el que genera el ,A) y la de

J~n se tiene para f E

r = integral iterada de f sobre QJQ Por lo tanto se da (5.53) para los funcionales {l y A y se tienen las conclusiones del Corolario.

327


5.6. La integral y la medida de Lebesgue en JRn

Hasta ahora se ha definido la integral de una funcin y la medida asociada a un conjunto en el marco general de un espacio mtrico localmente compacto y separable. Ahora analizamos en ms detalle el caso particular del ]Rn, que tiene la estructura adicional de ser un espacio vectorial dotado con la integral y medida inducida por el funcional positivo A (integral de Lebesgue y medida de Lebesgue en ]Rn). La medida de Lebesgue tiene la propiedad de asociar a los subconjuntos bsicos del]Rn como son los rectngu los, su volumen "natural" definido en (5.1) y que permite obtener (definir) el volumen de conjuntos en ]Rn de acuerdo a nuestra intuicin

Notacin 5.6.1 Denotamos en lo siguiente por m = m n la medida o volumen n-dimensional de Lebesgue que genera el funcional positivo >. = A introducido en (5.2), es decir la aplicacin m = m n : M\(]Rn) ---> [0,00] Y para la integral las escrituras tradicionales

t f(x)dx:= t f (x)dnx: = t f(x)dA(x) ~n JR" J~n

Adems sea .c1 (A) := .c1(A,A) para A e ]Rn y N(]Rn) := N\(]Rn) y M(]Rn) := M\(]Rn).

Como consideraremos en adelante cas i exclusivamente la A-medida, es decir la medida de Lebesgue en ]Rn , escribiremos a menudo simplemente

medible.

Propiedades bsicas del espacio (]Rn, .co(]Rn), m n )

Para la medida de Lebesgue, m = m n , se han verificado:

(MI) Si Q = f1~= 1 [ak , bk] e ]Rn es un rectngulo, se tiene Q E M(]Rn) y m(Q) = f1~=1 (bk - ak)'

(M2) Los conjuntos medibles Mo(]Rn) , forman una u-Algebra en ]Rn y m = m n es u-aditiva sobre Mo(]Rn).

Se probarn en lo siguiente las propiedades adicionales

(M3) m = m n es invariante a translaciones, es decir s i A e M(]Rn) y h E ]Rn, entonces para la aplicacin Th : ]Rn ----> ]Rn, X ---> Th(X) := x + h, se tiene n(A) = A + h E M(]Rn).

5,6. LA INTEGRAL Y LA MEDIDA DE LEBESGUE EN]RN

(M4) m = m rl es invariante a transformaciones lineales ortogonales, es decir si S: ]Rn -. ]Rn es una aplicacin lineal, con Idet SI = 1, entonces

A E M(]RrI) => S(A) E M(]Rn) y m(S(A)) = m(A)

La propiedad (M4) ser consecuencia del Teorema de Cambio de Variables que se probar ms adelante.

Observacin 5.6.2 F'u H. Lebesgue el primero que, en 1902 construy, de manera diferente a como lo hacemos aqu, una medida que satisface (M1)(1\114). Se puede probar que m est determinada en forma unica por (Ml)(M3), sobre la -Algebra de Borel B(]RTI) y no se puede extender con estas tres propiedades al conjunto P(]RrI) de las partes de ]Rn. Para esto ltimo no es slo suficiente sino tambin necesario usar el axioma de eleccin.

Invarianza a translaciones de la medida y la integral.

(5.55)

La verificacin de (M3) y la invarianza de la integral a translaciones se sigue de

(5.56)

(2) Para A E JV((]Rn) tambin A + hE .A-1(]Rn) y m(A + h) = m(A).

Demostracin. La afirmacin (1) es clara de Observacin 5.1.5 (b) para toda rjJ E Cc(]RrI) y se sigue en forma inmediata de Teorema 5.5.23 para 1 E .e1 (]Rn). La afirmacin (2) es caso particular de (1).111

Con lo anterior es claro que para todo h E ]Rn el operador lineal de translacin Th : .el (]Rn) --> .e 1 (]Rn) es una isometra lineal del espacio (.e(]Rn), 11.11 1 ) con 11111 1 = .I[ii.n 11(x)1 dx, sobre si mismo y adems h f----> Th (1) es continua para todo 1 E .el (]Rn):

329


Teorema 5.6.4 Para todo fE LI (IRn ) se tiene

lm /' If(x) - f(x - h)1 dx = O (5.57) h---O JlR.n

Demostracin. Sea primero f = c/J con c/J E Cc (lRn ) y sopc/J e [a, bt . Entonces, para Ihl ::; 1, se sigue SOp(Thc/J) e [a - 1, b + l ]n y de la continuidad uniforme de cP se sigue 11 c/J - Thc/Jll ----> Opara h ----> O. Con el Teoremaoo 5.2.9 se obtiene (5.57) para c/J. Si f E L1 (IRn ) y > O sea c/J E Cc (lRn ) con J~n If(x) - c/J(x)1 dx < (por construccin de la integral). Con eso J~n I(ThJ) (x) - (Thc/J) (x) Idx < para todo h E IRn , y se estima

/' If(x) - f(x - h)1 dx::; /' Ic/J(x) - c/J(x - h)1 dx + 2 ::; 3 JTR7l JIRn

para Ihl pequeo por la primera parte.

Surge la pregunta, mencionada en Observacin 5.6. 2, si todos los subconjuntos de IRn son Lebesgue medibles. La respuesta es negativa como prob Vitali con un ejemplo clsico: con la propiedad de invarianza a translacin de la medida de Lebesgue y con el axioma de seleccin se puede construfr un conjunto en IRn que no es Lebesgue medible. Adems se puede probar (Sol 70) que no es posible construir un tal conjunto si se descarta el uso del

axioma de seleccin. Reunimos en el siguiente teorema otras propiedades de (IRn , M (1Rn.), m n )

que ya fueron probadas.

Teorema 5.6.5 Para el espacio (IRn , M(lRn ) , m) se tiene (a) (IRn , M(lR n ), m ) es espacio u-finito, es decir IRn es reunin contable de conjuntos con medida finita ; adems es completo, es decir, todo subconjunto de IRn que sea subconfunto de un con.junto de medida cero es tambin de medida cero. (b) B(lRn ) e M(lRn ), es decir, todo confunto de Borel en IRn es Lebesgue medible. Adems se tiene la descomposicin

M(lRn ) = {B U N I B E B(lRn ) , N E N(IRn.)}

(c) Para todo rectngulo compacto Q = [a , b]n , si A e IRn con QO e A e Q, entonces A E M(lR n ) y

n

mn(A) = Vn(Q) = I1 (bj - aj) (5.58) j=1

5.6. LA INTEGRAL Y LA MEDIDA DE LEBESGUE EN]RN

(d) Todo conjunto compacto en]Rn pertenece a M(]Rn) y tiene medida finita. (e) Todo conjunto contable en ]Rn y todo conjunto contenido en un subespacio ]Rk x {O} e ]Rn, 1 :S k < n tiene medida cero. (f) m es una medida reguLar, es decir para todo A E M (]Rn) se tienen las propiedades de aproximacin

m(A) = nf {m(U ) IU c]Rn. abierto y U ~ A} (5.59)

= sup {m(K) IK e ]Rn compacto K e A}

y LocaLmente finita , es decir para todo x E ]Rn e.Tiste vecindad abierta U e ]Rn de x con m(U) < oo.

Utilicemos la regularidad de la medida de Lebesgue y Teorema 5.3.8 para un criterio prctico de integrabilidad.

Teorema 5.6.6 Sea K e ]Rn un compacto y f : K ----> e una func in acotada. En K exista un conjunto de medida cero N tal que la restriccin de f a K " N sea continua. Entonces f es integrable sobre K.

Demostracin. Sea > O dado y Ifl :S Ni en K. Por regularidad de la medida, existe un abierto U en ]Rn con N e U y Ni m(U) < . Por hiptesis y Teorema 5.4.9 la fun cin continua f IK " U ----> e es integrable. Por lo tanto existe 1/J E Cc(]Rn) con Ilf IK " U -1/J 11" < . Como Iful :S MXu y IIMxull/\ = M m(U) < se sigue IlfullA :S M . m(U) < por Teorema 5.3.4. Por lo tanto

y con eso fl< es integrable en ]Rn, es decir f integrable sobre K .

Definicin 5.6.7 Si X es un espacio mtrico, decimos que F e X es un conjunto Fa si F es la reunin contable de conjuntos cerrados y G e X un conjunto G si es la interseccin contable de conjuntos abiertos. Decimos que B e X es u -compacto si B es la reunin contable de conjuntos compactos en X.

Con la propiedad de regu laridad , se puede ser ms preciso con la descomposicin en (b). Para eso se prlleba primero:

Lema 5.6.8 Sea A e Jvt (]Rn) . Entonces existe un conjunto Fa, denotado por F,y un conjunto G , denotado por G, con F e A e G y mn(F) mn(A) = mn(G). Si A es acotado tambin G puede ser elegido acotado.

331


Demostracin. (a) Sea mn(A) < oo. Como m = m n es regular , para cada k E N existe un compacto Kk y un abierto Uk con Kk e A e Uk y

m(A) - l / k ~ m(Kk) ~ m(A) ~ m (Uk) ~ m(A) + l / k (*)

Se definen F := UkKk y G := nkUk y claramente F e A e G. Se sigue m(A " F) ~ m(A " Kk) ~ t, m(G - A) ~ m(Uk " A) ~ l / k para todo k E N. Por lo tanto m(A " F) = m(G " A) = O y se obtiene la afirmacin por m(A) < 00 y aditividad. (b) Si m(A) = +00 existe, por regularidad de m , para todo k E N, un compacto K con Kk e A y k ~ m (Kk) . Basta poner F = UkKk y G :=]Rn para obtener lo deseado. La ltima afirmacin es obvia. _

Teorema 5.6.9 Para A ~ ]Rn son equivalentes: (a) A Lebesgue medible (b) Existe un conjunto u-compacto B E B(]Rn) y un conjunto de m edida cero N con A = B U N.

Demostracin. (a) =} (b): Como (]Rn, M(]Rn), m) es u-finito y A medible, existe sucesin (A j ) e M(]Rn) con A = UA j y m(Aj ) < 00 para j E N. De la demostracin del Lema 5.6 .8 es claro que para j E N existe conjunto ucompacto Bj e ]Rn con Bj e Aj y m(Bj ) = m (Aj). Por lo tanto Nj := Aj - Bj es de medida cero con Aj = Bj U Nj . Basta ahora poner B := UBj y N:= UNjo (b) =} (a): Por B(]Rn) e M(]Rn) todo conjunto u-compacto en ]Rn es Lebesgue medible. Como N E M(]Rl1) se sigue (a) . _

La propiedad (f), de regularidad, permite aproximar, con exactitud arbitraria, la medida de A por conjuntos abiertos en ]RT. Probemos ahora que todo conjunto abierto U e ]Rn es la reunin contable de cubos disjuntos de la forma [a, b) e ]Rn con a, bE ]Rn.

Sea In := (1, . . , 1) E ]Rn y (Wm)m>O la sucesin dada por

na a+1 } m m nW m := W=IV2~ , ~)lajEZ = {a+[O,T l n )laE2- Z }{

para m E N. Se verifica fcilmente:

(1) 't/m ~ O los cubos en Wm son disjuntos y recubren ]R'\

(2) Para j > k ~ O, W E W j y W' E W k se tiene W e w' o W n W' = ifJ.

5.6. LA INTEGRAL Y LA MEDIDA DE LEBESGUE EN]RN

Se dice que (Wm)m~O es una descomposicin didica de ]Rn. Se observa que cada cubo en Wm tiene arista de longitud 2-m cuya coordenada "izquierda inferior" es un punto de la -red 2-m Z del ]Rn

Teorema 5.6.10 Todo conjunto abierto U en ]Rn es la reunin contable y disjunta de cubos de la coleccin W := U {Wm I m 2': O}. Si (Vj )jEN es un conteo de esa reunin disjunta entonces

m(U) = L00

m(Vj) j=1

Demostracin. Sea U e ]Rn abierto. Por las propiedades (1) y (2) de (Wm)m~O podemos definir Ua := {W E Wa IW e U} Y para m 2': 1

Um := {W E W m I Wc U " U {W' I w' E Ua U U Um - 1 }}.

Entonces U := U:=o Um es una reunin contable de cubos disjuntos en W cont.enidos en U. Veamos ahora que U = U; en efecto , dado a E U existe > O tal que para el cubo abierto centrado en a con longitud arista 2 se tiene

{x E]Rn I IIx - all < } e U.oo Para j E N con 2-j < existe W E W j con a E W y W e U. Por construccin se tie~e W E Uj o bien W e w' para W' E Uk con 1 :S k :S j-1 y se obtiene U e U lo que bastaba probar. _

Con la anterior aproximacin del volumen (medida) de conjuntos abiertos en ]Rn, el concepto de volumen tambin satisface las expectativas de nuestra intuicin y da una manera prctica de aproximar dicho volumen.

Tenemos ahora la siguiente importante caracterizacin de los conjuntos de Lebesgue medida cero que no usa el concepto de integral ni el de medibilidad y se toma a menudo como una definicin .

Teorema 5.6.11 Un conjunto IV e ]Rn tiene medida de Lebesgue cero s y slo si para todo > Oexiste u.na S1tcesin de cubos de la forma [a , b), (Wkl e W con N e U~1 W k y 2::~ 1 m(Wk) < .

Demostracin. O. De la hiptesis claramente XN :S 2::%"=1 Xwk Con Teorema 5.3.4 se sigue IlxNII\ :S 2::~1 Ilxwkll\ = 2::~1 m(Wk ) < . Como > Oera arbitrario IlxN!I\ = O es decir N E N(lR n ). ==>: Como m es regular, existe un abierto U en ]Rn con N e U y m(U) < . La afirmacin se sigue con Teorema 5.6.10 y la a-aditividad de m. _

333


Observacin 5.6.12 Es claro de la prueba rn;m una fun cin localmente Lipschitziana con m ~ n. entonces tambin f(N) tiene medida cero .

Demostracin. (a) Supongamos pr imero que f : N --> rn;m es globalmente Lipschitz en N. Entonces existe un C > O tal que

I f(x) - f(y )l ::; C Ix - yloo x,y E N (*)oo

Sea O < < cm. Por Teorema 5.6.11 existe una sucesin (h)kEN de cubos de una descomposicin didica (We )e~o de rn;n que recubre N y tal que 2:~1 mn (h) < /cm. Sea ak la longitud de arista de h .. Entonces, por (*), f (N n h) est contenido en un cubo .h e rn;m con longitud de arista Cak que tiene volumen

1Hn(Jk) = (Cak)m = C"'m( h)m/n , k ~ O (**)

Por lo tanto obtenemos f(N) = ukf(N n h) e UkJk y para el volumen de ese recubrimiento de f(N)se tiene con (**)

00 00 00

I:mn(Jk) = Cm I:m n(IdYl. /n ::; Cm I:mn(h) < k=O k=O k=O

dado que, por hiptesis, se tiene el estimativo

m n(h) ::; I:00

mn(Ij) < . C-m < 1 j=O

y as, con m ~ n, mn(h)m/n ::; mn(h) Como O < < cm era arbitrario se sigue de lo anterior que f (N) tiene medida cero en rn;m.

5.6. LA INTEGRAL Y LA MEDIDA DE LEBESGUE EN]R.N

(b) Supongamos ahora que f es localmente Lipschitziana en N. Entonces existe, para todo x E N, una vecindad abierta Ux de x tal que fiN n V x es Lipschitz. Como]R.n es segundo contable y con eso Lindelof, existe un subrecubrimiento contable (Vj )jE~ del recubrimiento abierto {Vx n N Ix E N} de N. Como la medida de Lebesgue es completa se sigue que todo Vj tiene medida cero en ]R.n. Por la primera parte, se sigue que f (Vj) tiene medida cero en ]R.m y tambin f(N) = Uf(Vj) como reunin contable. _

Corolario 5.6.14 Sea U e ]R.n abierto y f E el (V, ]R.m) con m 2: n. Si N e U es conjunto de medida cero en ]R.n, entonces tamb'in f (N) es de medida cero en ]R.n .

Demostracin. Como la hiptesis implica que f es localmente Lipschitz (Ver captulo 2) la afirmacin se sigue con Teorema 5.6.13 _

Corolario 5.6.15 Sea M una m-variedad con o sin borde de clase el en ]R.n con m ~ 11,-1. Entonces M E N(]R.n) , es decir es de medida de Lebesgueen ]R.n. Demostracin. De Teorema 3.2.18 obtenemos, dado a E NI, que existe una vecindad abierta Va en ]R.n y un difeomorfismo de clase el, cfa : Va -> Va sobre un rectngulo abierto en ]R.n tal que

cfa(MnVa) = {x E Va IXp+1 = . .. = X n = O} e ]R.Px {O} e ]R.n-I x {O} e ]R.n.

Por Ejemplo 5.3.18 (2) se sigue que rPa(M n Ua ) e Va tiene medida de Lebesgue cero en ]R.n. Como cf;;I, el difeomorfismo inverso de clase el, es localmente Lipschitz , se sigue M n Va , un abierto en M, tiene medida cero en ]R.n . Como M es Lindelof, M es recubierto por un nmero contable de conjuntos de la forma NI n Va con a E NI. Se obtiene m n(M) = _ Observacin 5.6.16 (a) Si N es de medida cero en ]R.n y f : N -> ]R.m continua con m 2: n entonces, en general, f(N) no es de medida cero en ]R.n. Un ejemplo para 11, = 1, m = 2 lo dan las curvas de Peana j : [0,1] -> [O, 1f que son continuas y sobre. (b) Si N es de medida cero en ]R.n, f localmente Lipschitz , pero m < 11, entonces, en general, f(N) no es de medida cero. En efecto, sea N := (0,1) x {O} e ]R.2 y f la proyeccin sobre el primer factor, f = prl E eOO(N,]R.). Claramente m2(N) = y mi (f(N)) = mi (0 , 1) = l. Como la imagen continua de un conjunto a-compacto es a-compacto obtenemos con Teorema 5.6.9 y Teorema 5.6.13 fcilmente

335


Teorema 5.6.17 Sean A E M(~n) y f : A ~ ~m localmente Lipschitz con TI'/, :::: n. Entonces tambin f(A) E M (~n).

Demostracin. Por Teorema 5.6.9 tenemos la descomposicin A = B U N con B o--compacto y N E N(~n). Entonces f (B) es o--compacto y por Teorema 5.6.13, f(N ) E N(~m).Por lo tanto f(A) = f(B ) U f (N) y se sigue la afirmacin. _

Observacin 5.6.18 Es fcil ver que la propiedad de ser Lebesgue medible en ~n es una propiedad local , es decir A E M (~n) s y slo si para todo x E A existe vecindad abierta Ux con A n Ux E M(~n ).

5.7. El Teorema de Fubini

El teorema de Fubini reduce la integracin de una funcin sobre un producto ~n = ~p X ~q a la integracin sobre los factores ~p y ~q; la integracin sobre ~n, de esta forma, a integraciones sobre ~

Con este teorema se pueden aplicar las tcnicas de integracin en una variable para integraciones sobre subconjuntos del ~n. Recordemos para eso que se ha probado que la integral de Lebesgue en ~ coincide con la integral de Cauchy-Riemann, tanto para integrales propias como impropias absolutamente convergentes.

Notacin 5.7.1 Si n > 1, p + q = n, identificamos ~n con ~p+q, ~n = ~p X ~q Y para f : ~n ~ e, (x,y) E ~p x ~q, (x,y) t----> f (x, y ) se consideran las aplicaciones parciales

fx:=f(x,) :~q~e sixE~P, fY :=fC)y):~p---+e siyE~q.

Si B e ~p x ~q y (a, b) E ~p x ~q los conjuntos

Ba:= {y E ~q I(a,y) E B}, B b := {x E ~p I(x , b) E B},

se llaman el corte de B respecto a E ~p Y el corte de B respecto b E ~q respectivamente. Pam el conjunto B se tiene claramente

(XB)x = XA x (XB)Y = XAY (5 .60)

y la seminorma de f E .C(~m) := .C(~m , Am), m :::: 1, se escribe entonces

Ilfllm := Ilfll Am . Recordamos que una funcin 9 : x t----> g( x), definida para casi todo x E ~m, se considera extendida con valor O sobre el conjunto de excepcin de medida de Lebesgue cero.

5.7. EL TEOREMA DE FUBINI 337

Proposicin 5.7.2 Para f E .c (l~n) se tiene: (a) fx := f (x,) E .c(IRq) para c.t. x E IRP (b) La funcin //f : x >----t Ilf xllq' definida para c.t . x E IRP, pertenece a

.c (IRP) y (c) II//fll p ::; Ilflln

nDemostracin. Sea f E .c (IRn ) y > O. Por definicin de .c(IR ) y 11 Iln existe sucesin (1)k) e C(IRn ) tal que

f (x, y)1 ::; L00

1>dx , y) ~ ./~n 1>k(X, y)dn(x, y ) ::; Ilfll n + 1 y k=!

Para las funciones, definid as sobre IRP,

JY(1)k): x>----t t 1>dx,y)dq(y) E C-(IRP) (*) ./[?q

se sigue (Definicin 5.l.4)

~L1' (~k)(X)d"(x) ~ ~ .1.. ~"x , y)d"(x, y)


Teorema 5.7.3 (Pubini). Para f E .el (IRn ), n = p + q, se tiene (a) fx:= f (x, ) E .el (IRq) para C.t. x E IRP

fY := f (-, y) E .el (IRP) para c.t. y E IRq

(b) para las funciones, definidas en c.t.p. , JY(f): x >---> J~" f (x , y)dq(y) pertenece a .el (IRP) Jx(f) : y >---> J~" f( x , y)dP(x) pertenece a .el (IRq)

(c) J~" f( x,y)dn(x , y) = .I~J (J~q f(x , y)dq(y)) dP(x) = J~q (J~p f( x ,y)dP(x)) dq(y)

Demostracin. Si f E .el(IRn), existe una sucesin ('!/Jj) en Cc(IRn) con II '!/Jj - fll

n -> O, para j -> oo. De la Proposicin anterior deducimos,

fx := f(x ,) E .e(IRq) para c.t. x E IRP Y para las funciones

Vj : X >---> II ('!/Jj)x - fxllq' j E N (+)

definidas para c.t. x E IRP, el estimativo Ilvjllp ::; II'!/Jj - fll n y con eso IIVj IIp -> O para j -> oo. Por Corolario 5.4.3 se sigue que (Vj )jEN tiene una subsucesin (Vjk) con Vjk(X) -> O, k -> 00, para C.t. x E IRP. Por definicin de .e(IRq) se sigue as fx E .el (IRq) para C.t x E IRP. Hemos probado la afirmacin (a) para f x. Claram~nte las funciones Jy('!/Jjk) E Cc(IRP) en (*) de la Proposicin 5.7.2 y donde Vj est dado por (+), sat isfacen

I(JY'!/Jjk)(X) - Y(f )(x)1 ::; Vj k(X) para C.t. x E IRP.

Se sigue IIJY('!/Jjk) - JY(f)ll ::; IlvJk IIp-> O, k -> oo. Por lo tanto se tiene p JY(f) E .el (IRP), II"l/Jj - flln -> 00 , y se deduce

l JY(f)(x)dP(x) = lm l JY('!/Jjk) (x)dP(x) }RP k-----.oo ./~P

= lm l '!/Jjk(x,y)dn(x,y) = .I~" f(x,y)~(c, y)k~oo .IJR1I

y hemos probado as (b) para JY(f) y la primera igualdad de (c). Las otra.s afirmaciones se siguen por simetra. _

Por iteracin se obtiene para una permutacin arbitraria. (jl,' .. , jm) de (1, , m)

Corolario 5.7.4 Si f E .el (IRn) entonces

i~" f (x)~x = iR (.IR'" (jR f (XI,'" ,Xn) dX j) ... dX jm_) dXjm'
http:k-----.oo

5.7. EL TEOREMA DE FUBINI

Observacin 5.7.5 (a) En general se suprimen los parntesis en

y se escribe .f~p .f~q f(x, y)dxdy. Esta notacin se debe entender en el sentido de que la evaluacin se hace desde "adentro"" es decir para y fijo se evala la integral IRq f(x, y)dx y despus se integra sobre y E IRP.

(b) Las integrales en el Teorema de Fubini en el lado derecho de (c) se llaman integrales iteradas y que deben ser distinguidas de la primera integral n-dimensional en (c).

(c) El cambio de orden en una integral iterada puede dar un resultado diferente si f no es integrable sobre el espacio producto como se muestra calculando en el ejemplo:

/,1 (t x - y d ) d i= j'1 (j'1 X- Y d ) d.lo .lo (x + y)3 X Y . O . O (x + y)3 Y x

(d) Para f E .e(IRn ) la funcin fx := f(x,) E .e1 (IRq) no estar definida en general para todo x E IRP. Por ejemplo si p = q = 1 Y f = X = XQxIR entonces IIfll 2 = O ya que Q x IR es un conjunto de medida cero en IR2 para fx = 1 ti- .e1 (IR) para todo x E Q un conjunto de medida cero en IR. En este caso fx es una funcin medible. Si reemplazamos IR por E, un conjunto no medible, como en el ejemplo de Vitali, entonces, para f = XQx E, obtenemos IIfl1 2 = O, es decir una funcin nula, pero fx = XE no es ni siquiera medible para x E Q.

(e) Existe en JR2 una funcin f, medible pero no integrable, tal que

/ / f(x, y)dxdy = /' /' f(x, y)dydx = O,.k.lR .IR.lR

es decir ni la existencia e igualdad de las dos integrales iteradas garantizan que f E .e1 (IR2 ) . Es decir el recproco del Teorema de Fubini es, en general, falso. Considrese para eso f : IR2 -4 IR definida por

xy (x, y) i= (O, O)f(x , y) := (X2~y)2

{ (x, y) = (O, O)

Claramente f E .eo (IR2) y para cada y E IR converge la integral impropia de Cauchy-Riemann absolutamente. Como fY := fe ,y) es impar para todo

339


y E IR, J~ I (x, y)dx = O. Con I (x, y) = I(y, x) se sigue lo afirmado sobre las integrales iteradas. Ahora, si I E .e l (~2) entonces , por Fubini , la funcin x f---t J~ II (x, y)1 dy sera tambin integrable lo cual es imposible por

/' Ixyl d _ 1 x~OJ~ (x2 + y2)2 Y - ~

Como "recproco" del Teorema de Fubini se tiene

Teorema 5.7.6 ( Tonelli): Sea I una funcin m edible, n = p + q y exista una de las integrales iteradas

/' /' II(x, y)1 dqydPx /' /' II (x, y)1 dPxdqy.J~P J~q .flRq J~P

Entonces I E .e l (~n) y se tienen las afirmaciones del Teorema de Fubini.

Demostracin. Basta probar, por Teorema 5.5.4, que 1I1 E .e l (IRn). Usamos una s ucesin truncante (17e) asociada a la sucesin de bolas compactas (I{e)

o centradas en O con radio f! E N ta l que sop 17e e K e+ 1, j E N. Entonces con Teorema 5.5.3, l e := 111 /\ e 17e E .el (~n) . Aplicando el Teorema de Fubini se deduce

/' l e(x, y)"(x, y) = /' /' l e(x, y)dqy dPx J~" JIRP J~q

< /' /' II (x, y)1 dqy dPx .f~P J~q

y como l e i 1I1 para e ----> 00 se sigue, con el teorema de convergencia montona, 1I1 E .el (~n) .

El siguiente Corola rio permite ap licar tcnicas de in tegrac in en una var iable para calcular integrales mltiples.

Corolario 5.7.7 Para I E .eo(lRn ) exista la integral iterada

/' .. , /' II (x I,'" ,xn)1 d.xI ... dXnJ~ J~

Entonces I E .eJ(~n) y se tiene lalrmula de Corolario 5.7.4 para cualquier permutacin de las coordenadas en IRl1.

Anotemos todava el siguiente res ultado til cuya demostracin (Teorema de Tonelli) dejamos como ejercicio.

5.7. EL TEOREMA DE FUBINI 341

Teorema 5.7.8 Sean IRn = IRP x IRq, f : IRP --> e y 9 : IRq --> C. (a) Si f E .e l(IRP) Y 9 E .el(IRq) , entonces la funcin definida por f 9 : (x, y ) f-----> f (x)g(y) para (x, y ) E IRP x IRq, es integrable en IRn = IRP x IRq y se tiene

/'n f (x)g( y )dn(x, y ) = (/' f (X)~X) (/' 9(Y )dqy) ./fR ./fRp ./fRq

(b) Si f g E .e l(IRn) y 9 no es fun cin nula entonces f es integrable.

Integracin sobre subconjuntos de IRn = IRP x IRq

Definicin 5.7.9 Un conjunto m edible B E M (IR n) se dice conjunto simple con respecto a Xn si tiene la f orma

B = { (x' , xn ) E IR n I x' E A , a(x' ) :S Xn :S b(X' ) } donde A E M (IRn- l ) y a, b son fun ciones con a :S b Y a, b : A ---; [- 00, ooJ

An logamente se defi nen conjuntos s imples con respect.o a las otras coordenadas . Claramente, si B es simple con respecto a X n entonces, para todo x' E A el corte A x' es un intervalo en IR.

Teorema 5.7.10 Sea B medible en IRn, simple con respecto a Xn y f E .el(B ) . Entonces

j. /. j' b(X')f (x) dnx = f (x' , xn) dx n d"- l (x' ) = f (x' , xn) dxn dx' l. B . A. A:c' . A . a(x') donde la integral interna exis te para C.t . x' E A .

Demostracin. Es inmedi ato del teorema de Fubini ,

Observacin 5.7.11 (a) Sea Q = n:=l [ak, bkJ = Q' X[a n, bnJ Y f E C(Q ). Q es si mple con respecto a X n y con el Teorema 5.7.10 se sigue:


donde , por continuidad de f, resulta para x' g( x') = Jb f(x' ,xn)dxnt--------; " an con x' E Q' que 9 E C(Q'). Recursivamente obtenemos por lo tanto

/ J'bl ( (/bn ) ).lQf(x)dnx = . .. Jan f(XI,'" , xn)dxn .. . dXI'. al

Vemos as que la integral .JO f(x )dnx obtenida por el funcional lineal positivo A : Ce (lRn) ------>


Para X.E x(B) se tiene fa(x , y) = (fx)a", (y), y E ~q Y para x E ~p con Bx = cP, fa(x,y) = O. Se sigue para x E ~p con Bx =f. cP

Por Fubini y (**) se obtiene que F : ~p --> e, dado por

SI X E x(B ) F (x) .= { fa x f (x, y )dqy . O si x tt x(B )

es integrable y con (*), (**) obtenemos la frmula del teorema. _

Por simetra se sigue un resultado similar intercambiando y con x en las afirmaciones del teorema anterior.

Ejemplo: Sea B := {x E ~3 II.rl 'S 1, Xi ~ O, 1 'S i 'S 3}. Calculemos la integral faX3d3x: Se tiene .f~x3d3x = .fol (.fa", x3dx2dx3) dXI. Para O 'S Xl 'S 1 se obtiene

Por lo tanto

j. 1 !r. I 1 !r.n/2

x3d3x = 3" (1 - .r~)3/2dxI = - cos4 y dy . a . o 3 . o

1 !r.n /2 1 = - cos2y dy = - [y + cosy sen y)~/3 = -7r 4 . O 8 16

Observacin 5.7.13 Si N e ~n es un conjunto nulo en ~n es decir se tiene IlxN II A = O, entonces por la Proposicin 5.7.2 que los cortes N x e ~q son conjuntos nulos en ~q para c.t x E ~q Recprocamente, si N E M(~n ) es un conjunto medible, es decir XN E .co (~n, A) con cortes N x EN( Rq ), es decir conjunto nulo para c.t. x E ~P, entonces, por el teorema de Tonelli, se tiene que N es conjunto nulo. Aqu

343


la hiptesis N E M(~n) no se puede suprimir como muestra un ejemplo de Sierpinski (ver B. Gelbaum - J. Olmsted: Counter examples in Analysis) . Esto muestra que la hiptesis de medibilidad en el teorema de Tonelli es necesaria.

El principio de Cavalieri y el clculo de volmenes

Sea A e ~P x ~q = ~n con A E M (~n), es decir para la funcin caracterfstica se tiene XA E .eo(~n ). Entonces se prueba fcilmente que los cortes Ax son conj untos medibles para casi todo x E ~p. Aplicando Fubini a la funcin caracterfstica de XA en el caso XA E .el (~n),es decir mn(A) = J~nXA dnx < 00 o bien Tonelli si una de las integra les iteradas

.f~P (j~qXA(x , y)dqx) dPy , .J~q (j~PXA( ;1:,y)dPy) dqx

existe, se obtiene para el volumen o la medida de Leb('::;gue de A

mn(A) = .f~pmq(Ax) dPx = JlRqmp(AY)dqy < 00 (5.61)

Es sto lo que se conoce como el principio de Cavalieri y el cual precisa la intuicin geomtrica que la medida (volumen) de A se puede obtener "descomponiendo" a A en delgados discos paralelos y sumndolos en forma continua, es decir integrando los volumenes de esos discos.

En el caso de dos conjuntos A, B O. El conjunto Z := Z(B, h ) := B x [O, h] e ~n-l X ~ = ~n se llama un cilindro (recto) con base B y altura h . Claramente como compacto es un conjunto medible. Adems Bx = [O, h] para todo x E B Y Bx = c/J para x 1:. B. Con el principio de Cavalieri resulta

mn(Z) = h . mn-l (B).


Ejemplo 5.7.15 (Volumen de un cono). Sea E e ]R.n~l un conjunto compacto (por simplicidad), a' E ]R.n~l y h > O. Designamos por (x', xn) los puntos de IRn = IRn- 1 x IR. El conjunto

C(E , h) := {(1 - t)(x', O) + t(a' , h) Ix' E E, O:::; t :::; 1} e ]R.n

se llama un cono con base E y altura h. Es claro que C(E, h) es un compacto en ]R.n y con eso medible. Para O:::; X n :::; h se tiene para los cortes C( E, h )Xn

C(B , h)X n = {(1- x;)x' + xhna'l x' E E} e IRn~1 (*)

Para X n = h este conjunto (medible) tiene claramente medida O. Sea O :::; X n < h. Entonces (*) es la imagen (en ]R.n-l) de E e ]R.n~l bajo la aplicacin afin x' Sx' = Dx' + b con b = !f-a' y D = diag(d1,oo. ,dn~) conf---> di = 1- xhn , 1 :::; i :::; n-l. Con Observacin 5.2.4 (c) y Teorema (5.5.23) se sigue que DE es medible, mn~ l (DE) = (1- ~)n~lmn~l (E) y con Teorema 5.6.3 (2) finalmente

O:::; X n < h

Lo que tambin es cierto para Xn = h. La aplicacin x f---> mn-l (C(E, h)X n ) es continua en [O, h], independiente de la posicin de a' E IRn~ l. Por el principio de Cavalieri se obtiene finalmente

'h Xn n-l hmn(C(E, h)) = mn~l (E) (1 - -) dXn = -mn~l (E) .

.!rO h n Ejemplo 5.7.16 (Arqumedes y el volumen de la bola en ]R.3). Sea A e ]R.3 el cuerpo (compacto) que se obtiene, si se extrae del cilindro circular Z con radio T' y altura T', un cono C que tiene su punta en el centro de la base del cilindro Z y cuya base es la parte superior del cilindro Z. Adems sea E la media bola superior de radio T'. Se trata de calcular el volumen de una bola eucldea de radio T' en IR3 . El corte AY a la altura y > O del cilindro Z es un anillo circular con rea 7f(r2 - y2) Y el corte EY de la semiesfera un circulo con la misma rea. Por lo tanto se tiene, segn Cavalieri en la citada versin geomtrica,

Arqumedes obtuvo de esta manera para el volumen de la bola en ]R.3 el volumen 17fT'3, un gran logro para su tiempo.

345


Ejemplo 5.7.17 (Volumen de la bola unitaria eucldea en IRn ). Sea Bn := Bn(O; 1) la bola eucldea unitaria cerrada en IRn . Para n E N se tiene con la funcin gamma r:

" 71"2 Wn := mn(Bn) = r(l + ~)

- 4En particular ml(B) = 2, m2(B2) = 71", m3(B3) = 371" En efecto, sea Wn := mn(Bn ) para n E N. Para los cortes de Bn tenemos B~n = Bp(O, xn )

12con p2 = - x~ para Ixnl ~ 1 Y B~" = cp para Ix,,1 > 1. Es decir los cortes tambin son bolas eucldeas. Se puede aplicar Cavalieri: Para n ;::: 2

_ J'I -=Xn ) - J' ( ~-Wn - _lmn-I(Bn dXn - _Imn-I VI - XBn-)dxn = .J~I (JI - x~)"- lmn_I(Bn_)dxn = Wn-d~1 (1 - x;) "2

1

dXn

donde la tercera integral se justifica como en el ejemp lo anterior (invarianza a homotetias de la medida de Lebesgue). Se obtiene as la formula de

recurrenCla

= Wn- I' Cn n;:::2 WI = mi [-1,1] = 2Wn

Se calculan las integrales en una var iable

Cn := J~I (1 - y2) "2 1 dy = 2 .J~(l- y2) n 21 dy 11 = 2,3 ...

Con la substitucin y = cos x, se obtiene Cn = .f~7r sennx dx , n = 2, ... la cual se deja calcular fcilmente en forma explcita. Se obtiene para 11. E N

2n - 1 2n - 3 3 1C2n = --- . --- ... - . - 71"

271. 271. - 2 4 2 ' 2n 2n - 2 4 2

C2n+1 = --- . --- . .. - . - . 2 2n + 1 2n - 1 5 3

con lo cual se obtiene Cn . Cn - I 2; y con eso

271" Wn = CnWn-1 = CnCn- IWn-2 = -Wn-2 (*)71.

Con WI = 2 se sigue W2 = C2WI = 2C2 = 71" Y con eso de (*)

71"n (271")n-1 2 71.;:::1W2n - n! W2n-1 = 1.3.5.... (2n 1)

Esto lo podemos escr ibir con la funcin Gamma que satisface r(n + 1) = n! y r(n + 3/2) = 2!:1 1 3 ... (2n + 1) en la forma unificada de la afi rmacin .

5.8. EL TEOREMA DE CAMBIO DE VARIABLES EN lR N

Observacin: Claramente Bn(O; r) = rBn(O; 1), r> 0, es decir Bn(O, r) es la imagen de Bn(O, 1) bajo una aplicacin lineal con matriz diagonal D = diag(r,r, ,r) y con eso

5.8. El teorema de cambio de variables en JRn

En este numeral se analiza el comportamiento de la integal de Lebesgue de una funcin bajo un cambio de variables . La introduccin de "nuevas variables", es decir la eleccin de coordenadas adecuadas en un caso dado, tiene en lR n , como en el caso de una variable, gran importancia. La prueba del teorema de cambio de variables no es fcil , cualquiea sea el mtodo que se utilice. Sin duda este teorema, junto con el teorema de Fubini, es la herramienta ms importante para calcular integrales. Adems el teorema de cambio de variables es fundamental para introducir la int.egral de Lebesgue sobre variedades.

En el caso n = 1 Y un integrando continuo el teorema de cambio de variables se obtiene fcilmente del teorema fundamental del clculo:

'b 'O(b) f(a(y))c/(y)dy = f(x)dx (5.62) . a . o(a)

con la convencin I:(~i f(x)dx = -.I~~) f(x)dx si a(b) < a(a) y donde para a : [a, b] ---> ~, a E Cl [a, b] y a([a, b]) e dom f. Adems a no tiene que ser 1 - 1 ni a([a, b]) estar en el intervalo determinado por a(a) ya(b).

Es fcil ver que (5.62) se de.ia escribir, si suponemos a : [a, b] ---> [a', b'] de clase Cl,biyectiva, a(a) = a', a(b) = b' si a' ~ O y a(a) = b', a(b) = a' si a' ::; O, en la forma

/' f(a(y)) la'(Y)1 dy = /' f(x)dx (5.63)./,a,b) ./Ia ,b]

donde la integral es ahora una integral no orientada. Se sigue de (5.63), si aplicamos que todo abierto en lR es reunin contable

de intervalos abiertos y disjuntos, para funciones f E Cc(lR):

Teorema 5.8.1 Sea a : G ---> G', y ---> x = a(y), un difeomorfismo de clase C l entre abzerlos en R Para ljJ E Cc(G') se tiene

.lIT? ljJ(x)dx = .I~ ljJ(a(Y))la'(Y)1 dy (5.64)

347


En lo siguiente generalizamos, en un primer paso , Teorema 5.8.1 al caso donde e, e' son abiertos en IRn A continuacin obtendremos con este resultado la forma general del teorema de cambio de variables.

Inicialmente probamos la generalizacin del Teorema 5.8.1 a difeomorfismos que cambian solo una coordenada (difeomorfismos primitivos). Como es usual, usaremos la notacin

Jh(y) := det h'(y) = det dh(y), y E domh (5.65 )

para la determinante de la matriz jacobiana, respectivamente la derivada de h si h es una funcin diferenciable.

Definicin 5.8.2 Sean e, e' e IR" abiertos, m E N, 1 :s 'n? :s n. Una aplicacin Pm : e ----> e' de clase C l se llama un difeomorfiamo primitivo si tiene la forma

Pm (y ) = (YI,'" ,Ym-l , a(y), Ym+l,'" ,Yn ), Y E e (5.66) Claramente Pm es de clase el s y slo si a E el(e). Para la ma

triz jacobiana de Pm resulta P'm (y) = (Oij) para i - m y para la entrada (m,j), (P'm)mj = Dja(y). Por lo tanto

Jpm(Y) = detp'm(Y) = Dma(y) (5.67)

Se prueba ahora con facilidad para difeomorfismos primitivos

Proposicin 5.8.3 Sea Pm : e ----> e' , 1 :s m :s n , un difeomorfismo primitivo entre abiertos de IRn. Para q; E ec ( e') se tiene

./~n q;(x) dx = ./JJ?"q;(Pm(Y)) I Jpm(y)1 dy (5.68)

Demostracin. Para x E ~n sea x' := (Xl,'" ,Xm-l, Xm+l,'" , X n ) y escribimos, por asuntos de notacin , (xm, x') para X E ~n. Entonces por Fubini

{" q;(x) dx = {" {" q;(xm, x')dxmdx' . JlRn JlRn - IJIR

Ahora dado x' = y' la funcin Ym a(Ym, y') es un difeomorfismo de clase f-------> Iel del corte (abierto) e y l e ~ sobre el corte (abierto) (e')X e R Con (5.67) y Teorema 5.8.1 se sigue

{" q;(x)dx = {" {" q;(a(Ym, y'), y') IDma(Ym, y')1 dYmdy' JJJ?n JlRn- IJIR

= .lnq;(Pm(Y)) IJpm(y)1 dy

5.8. EL TEOREMA DE CAMBIO DE VARIABLES EN]RN

Observacin 5.8.4 Dado que las integraciones iteradas en

IIR"cjJ(x)dx = .f~ (- " (J~cjJ(Xl," . , xn)dxn) .,. ) dXI se pueden hacer en cualquier orden (y las integrales son integrales de Lebesgue y de Cauchy-Riemann ) es claro que la

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