Unidad 4. integral de lebesgue

Análisis matemático II Unidad 4. Integral de Lebesgue

Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

1

Universidad Abierta y a Distancia de México

Licenciatura en Matemáticas

8° cuatrimestre

Análisis Matemático II

Unidad 4. Integral de Lebesgue

Clave:

050930829



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Índice Unidad 4. Integral de Lebesgue ............................................................................................... 3

Presentación de la unidad ........................................................................................................ 3

Propósitos de la unidad ........................................................................................................... 3

Competencia especifica de la unidad ...................................................................................... 3

4.1. Antecedentes ..................................................................................................................... 3

4.1.1. Definición de la integral de Lebesgue ........................................................................ 6

4.1.2. Propiedades ............................................................................................................... 10

4.1.3. Comparación contra la integral de Riemann ........................................................... 12

Actividad 1. Integral de Lebesgue. ........................................................................................ 15

4.2. Integral de Lebesgue de una función acotada sobre un conjunto de medida finita ... 16

4.2.1. Lema de Fatou ........................................................................................................... 16

Actividad 2. Cálculo de Integrales. ........................................................................................ 22

Autoevaluación ....................................................................................................................... 22

Evidencia de Aprendizaje. Aplicaciones de la integral de Lebesgue .................................. 22

Autorreflexiones ..................................................................................................................... 23

Cierre de la unidad .................................................................................................................. 23

Para saber más: ...................................................................................................................... 23

Referencias Bibliográficas ..................................................................................................... 23



3

Unidad 4. Integral de Lebesgue

Presentación de la unidad

Para desarrollar la teoría de integrabilidad es indispensable definir la integral de Lebesgue para

funciones medible no negativas, así como establecer unas de sus propiedades fundamentales.

Además de hacer la comparación con la integral de Riemann. Observarás que la colección de

funciones semicontinuas superiormente es un espacio de funciones y este conjunto son las

funciones Lebesgue integrables.

Propósitos de la unidad

Definirás la integral de Lebesgue

Compararás la integral de Lebesgue con los conceptos previos de medida y de integral

de Riemann

Establecerás propiedades básicas de la integral de Lebesgue

Competencia especifica

Aplicar el concepto de integral de Lebesgue para calcular integrales sobre dominios no

tradicionales mediante la identificación de sus características

4.1. Antecedentes

Para poder explicarte las ideas que motivaron la teoría de integración será necesario que

conozcas algunos conceptos, los cuales serán tomados en gran parte del libro Lebesgue theory

of integration. Its origins and development.

Se puede decir que Lebesgue creo la primera teoría de la integración. Hay varias definiciones,

teoremas y ejemplos que existían antes de su trabajo, pero carecían de la estructura y

sistematización de una verdadera teoría, por ejemplo, la noción de integración introducida por

Bernhard Riemann en 1854 se deriva de las ideas presentadas por Cauchy (1760-1848); en

ésta Riemann define la condición de integrabilidad para una función sobre un intervalo de

la siguiente manera:

La función es integrable en si y sólo si las sumas de Cauchy



4

∑

donde y , se aproximan a un único valor límite cuando

el tamaño de la partición del intervalo se aproxima a . Este único valor es por definición

∫

.

Históricamente esto represento una gran innovación, ya que se involucraba el concepto de

función como una asignación diferente a la idea que se tenía en esos días. A

continuación se definen algunos conceptos que permiten dar un breve panorama histórico de la

integral de Lebesgue

Sea un conjunto acotado de números reales. Sean un conjunto finito de intervalos

que cubren . El contenido externo de , , es el ínfimo de números reales de la forma

∑ , donde cubre a , y es la longitud del intervalo . Análogamente, el

contenido interno de , , se define como el supremo de ∑ , donde y

⋃ . Se dice que un conjunto es Jordan-medible si .

Estas nociones sugirieron dos nuevas caracterizaciones de la condición de integrabilidad de

Riemann. La primera de ellas adopta una visión geométrica, considerando la integral de una

función en términos del área delimitada por su gráfica. Dada una función definida y acotada

en el intervalo , sea el conjunto de puntos del plano delimitado por la gráfica de , el eje

de abcisas y las rectas y . Entonces es Riemann-integrable si y sólo si el

conjunto es Jordan-medible, y

∫| |

∫

donde denotan el semiplano positivo y negativo, la segunda caracterización de la

condición de integrabilidad de Riemann consiste en que las integrales superior e inferior de f

sean iguales, esto es,

∫

∫

siendo el supremo ∫

∫

el supremo y ínfimo, de

∑ ∑

donde denotan una partición de , y denotan, el infimo y

el supremo de en .

Las dos caracterizaciones expuestas anteriormente hacen ver que una generalización de los

conceptos de medida y medible permitiría una extensión de los conceptos de integral e



5

integrabilidad. En otras palabras, supon que denota la clase de conjuntos medibles que

contiene la clase de conjuntos Jordan-medibles, y que una medida, , ha sido definida para

todos los elementos de de tal manera que coincide con cuando es Jordan-

medible. Con estas dos caracterizaciones surgen conceptos más amplios sobre medida, que

representan la generalización de la integral de Riemann; cuando denota la clase de

conjuntos Lebesgue-medibles, las definiciones resultan ser la de la integral de Lebesgue para

funciones acotadas. Fue a través de estas consideraciones que Lebesgue obtiene su

generalización para la integral.

Con el nacimiento de medida atribuido a Emile Borel, el cual seguiré las propiedades que una

medida debía tener, con lo que Borel da la definición de premedida, nombre que más adelante

asignaría Lebesgue. Borel no probó la existencia y unicidad de dicha definición, sin embargo,

gracias a las aportaciones de Lebesgue al trabajo de Borel, es que queda incluido en la integral

de Lebesgue. A los conjuntos que se refería Borel, Lebesgue los llamó borelianos.

Dos de los problemas más importantes que motivaron una nueva definición de integral son las

series trigonométricas y el teorema fundamental del cálculo. El primero de estos problemas lo

presento Fourier en 1822: si una función se puede representar como una serie trigonométrica.

Es decir cuando es cierto que:

∫ (∑

)

∑ ∫

Fourier asumió que la respuesta es „siempre‟. Hacia finales del siglo se demostró que no se

podía integrar término a término ya que ∑ no tiene por qué ser Riemann

integrable. Otro gran problema fue el teorema fundamental del cálculo:

∫

El trabajo de Ulisse Dini y Vito Volterra mostró que existen funciones con derivadas acotadas

pero no integrables. Más adelante se encontraron nuevas funciones, como las monótonas

integrables, tales funciones sirvieron como ejemplo para probar que el teorema a tales

funciones no es aplicable. El trabajo de Lebesgue en el teorema fundamental del cálculo fue

muy importante en el descubrimiento de que una función continua con variación acotada posee

una derivada finita salvo quizás en un conjunto de medida cero.

Hoy en día todavía se siguen generando consecuencias de la teoría de Lebesgue, y enumerar

las consecuencias sería muy difícil, tan solo se puede decir que los dos campos donde ha

tenido mayor repercusión, son el cálculo y la probabilidad.



6

4.1.1. Definición de la integral de Lebesgue

En el capítulo 3.2 se describen conceptos y algunas aplicaciones para las funciones medibles,

sin embargo se retomaron los conceptos y teoremas más relevantes para este capítulo, ya que

son fundamentales y además son de gran importancia para el desarrollo de esta unidad.

Definición 1. [Espacio medible] Un espacio medible es una pareja en la que es un

conjunto no vacío y es una - álgebra de subconjuntos de .

Definición 2. [Función medible] Sean y dos espacios medibles. Una función

se llama función medible relativa a las -álgebras y si , esto quiere

decir , para todo . Si y (donde es el álgebra de Borel en ),

entonces diremos que es medible si .

Proposición 1. Sean y dos espacios medibles y una función.

Supongamos que existe tal que

Demostración. Si es una función y una -álgebra, entonces:

es una -álgebra de subconjuntos de . Ahora sea es una -álgebra

que por hipótesis contiene a . Así , por lo tanto

∎

Notación. Si es un espacio de medida, entonces se dice que una relación se mantiene

casi en donde quiera (abreviado c.d.q.), cuando la relación se mantiene en casi todas partes

con respecto a la medida exterior generada por . Las relaciones que se van a utilizar en

esta sección se resumen a continuación. Suponemos que es un espacio de medida

dada y que y denotan funciones reales definida en .

a) c.d.q. si

b) c.d.q. si

c) c.d.q. si

d) c.d.q. si c.d.q. para toda y c.d.q.

e) c.d.q. si c.d.q. para toda y c.d.q.

Para el especial en el que y se obtiene:

Corolario 1. Sean un espacio medible y una función. Entonces las siguientes

afirmaciones son equivalentes:

a) es -medible.

b) ( ) pertenece a para todo .



7

c) ( ) pertenece a para todo .

d) ( ) pertenece a para todo .

e) ( ) pertenece a para todo .

Demostración.

a) .

b) c) ( ) pertenece a , para todo .

c) d) ( ) ⋃

pertenece a , para todo .

d) e) ( ) pertenece a , para todo .

e) a) Sea , entonces existe una -álgebra tal que .

Entonces es una -álgebra, y además se cumple que . ∎

Teorema 1. Si es una función medible y satisface c.d.q., entonces es una

función medible.

Demostración.

Si , entonces por hipótesis (recuerda que es la medida

exterior), por lo que es medible. Ahora, sea un subconjunto abierto de . Como es una

función medible, es medible, y por lo tanto, es un conjunto

medible. Además, dado que tiene medida exterior cero, es medible. Por lo tanto,

es un conjunto medible, por lo tanto es una función medible.

∎

Se continuará con más propiedades de las funciones medibles.

Teorema 2. Si y son funciones medibles, entonces los tres conjuntos

a) ,

b) y

c)

son todos medibles.

Demostración.

a) Si es una enumeración de los números racionales de , entonces

⋃

que es medible, ya que es una unión numerable de conjuntos medibles.

b) Se nota que , el cual es un conjunto medible por

el inciso anterior (a).



8

c) Se observa que

los cuales son medibles por el inciso anterior (b).

∎

Definición 3. [Parte positiva y parte negativa] Sea una función , se definen los

conjuntos

| |

La función es llamado la parte positiva, a se le llama la parte negativa, y a | | el valor

absoluto de .

El siguiente teorema recordara algunas propiedades de funciones medibles, estudiadas

anteriormente, con el fin de observar que la combinación de funciones medibles produce

funciones medibles.

Teorema 3. Para dos funciones medibles y las siguientes afirmaciones son validas

a) es una función medible.

b) es una función medible.

c) | |, y son funciones medibles.

Recordar que dada una sucesión acotada de , el límite superior de se define como

[

]

y el límite inferior de por

[

]

Por lo tanto y ambos existen en . Por consiguiente, y

, de la sucesión de funciones esta definido para cada como

y

Teorema 4. Para una sucesión de funciones medibles, la siguiente afirmación es válida:

Si , entonces es una función medible.

Demostración.

Sea . Dado que c.d.q., se sigue que . Entonces

es medible y por lo tanto, también lo es el conjunto . Ahora sea . Se observa la

siguiente igualdad:



9

( ) [⋃⋂ ((

))

]

y como cada es medible se tiene que es un conjunto medible. Además,

( ) es un conjunto medible ya que es un subconjunto de un conjunto de medida

cero. Por lo tanto,

( ) [ ( )]

es un conjunto medible. Esto se sigue directamente del teorema 1, por lo tanto es una función

medible.

∎

Definición 4. [Conjuntos de -medibles] Sea es un espacio de medida fijo.

Denotamos por

y

al conjunto de funciones reales que son -medibles y al subconjunto de éste consiste

de las funciones no-negativas, respectivamente. De manera análoga definimos

y

para funciones extendidas que son -medibles.

Definición 5. [ -simple] Sea un espacio medible. Una función se llama -simple si

toma solamente un número finito de valores y es -medible.

A continuación se describe a estas funciones. Sea una función -simple y

todos los valores (diferentes) tomados por ; si

entonces

⋃

∑

3.1

Inversamente, si es una combinación lineal de funciones características de conjuntos ajenos

en , entonces es -medible. Concretamente si ∑

entonces para todo :

{

⋃

por lo tanto es - medible. Así, es -simple si y sólo si es una combinación lineal de funciones

características de conjuntos ajenos en . A la descripción de como en 3.1 con los

diferentes y con los ajenos, la llamaremos canónica.



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Definición 6. [Integral de funciones simples no negativas] Sea una función simple

y no negativa. Sea ∑

su descripción canónica. Definimos la integral de con

respecto a la medida , denotada por ∫ como el número real, dado por:

∫ ∑

La definición anterior tiene la desventaja de requerir la descripción canónica de , sin embargo

será posible eliminar esta restricción en cuanto se establezcan las siguientes propiedades.

Definición 7.[Función escalonada] Una función es llamada función escalonada si tiene

una representación de la forma ∑

, donde cada es un conjunto que tiene medida

finita, esto quiere decir que ( ) .

Definición 8.[Función superior] Una función es llamada función superior si existe

una sucesión de funciones escalonadas tal que:

a) c.d.q. y,

b) ∫

La colección de todas las funciones superiores se denota por .

Definición 9.[Integral de Lebesgue ] Sea una función función semicontinua superiormente

tal que es convergente. Entonces la integral de Lebesgue (o simplemente integral) de

se define por

∫

∫

Una vez más, se hace hincapié en el hecho de que el valor de la integral de Lebesgue de

función superior es independiente de la sucesión de funciones escalonadas.

4.1.2. Propiedades

Proposición 2. Sean y dodos, entonces:

a) ∫ ∫

b) ∫ ∫ ∫

Demostración.

1) Si , entonces , así que ∫ ∫

Si y ∑

es la descripción canónica de , entonces

∑



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es la descripción canónica de , así que:

∫ ∑ ( ) ∑ ( ) ∫

2) Se escribe a y en su forma canónica:

∑

∑

luego entonces admite la siguiente representación:

∑ ∑( )

la cual podría ser no ser la canónica. Sean los distintos números reales del conjunto

y

⋃

Se observa que ∑ , en donde la notación ∑ significa que la suma se

extiende sobre las parejas tales que . En estos términos, la descripción

canónica de esta dada por:

∑

por lo que

∫ ∑

∑∑

∑∑( ) ( )

∑ ∑( ) ( )

∑

∑

∑

∑

∑ ( ) ∑

∫ ∫

Por inducción, es posible generalizar a proposición 2 b) para cualquier numero finito. ∎



12

Teorema 5. Si y son funciones superiores tales que c.d.q., entonces ∫ ∫ .

En particular si y satisface c.d.q., entonces ∫ .

Demostración.

Sea y sucesiones para y , respectivamente, entonces min c.d.q., y así ,

min es una sucesión que genera a . Entonces se tiene ∫ ∫

| | para cada Por lo tanto,

∫

∫

∫

| | ∫

con lo que se obtiene la desigualdad. ∎

Teorema 6. Sea una función. Si existe una sucesión de funciones superiores tal

que , c.d.q. y el ∫ , entonces es una función superior y ∫

∫ .

Demostración.

Para cada se elige una sucesión de funciones superiores, tal que

c.d.q. Ahora

para cada sea,

, y hay que notar cada es una función escalonada tal

que c.d.q. Además, observar que para cada , y en consecuencia, ∫

∫ Ahora, dada cualquier se tiene para toda , se sigue que

∫ ∫ ∫ para todo .

∫

∫ ∫ ∎

4.1.3. Comparación contra la integral de Riemann

Se revisa la relación que existe entre la integral de Lebesgue y la integral de Riemann,

limitándonos al caso más sencillo de la medida lineal de Lebesgue en la recta.

Teorema. Si existe la integral de Riemann

∫

entonces es integrable según Lebesgue y

∫

Demostración. Para cada se considera la partición del segmento en

intervalos mediante los puntos



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Para el cálculo de la integral de Riemann se toman:

La sumas inferior y superior de para esta partición del intervalo están dadas

respectivamente por:

∑

∑

Como es Riemann integrable, se cumple que:

Se eligen

En el punto las funciones y pueden ser definidas arbitrariamente. Se deja como

practica el ejercicio de probar que las integrales de Riemann son:

∫

∫

Como la sucesión { } es no creciente y la sucesión { } no decreciente, se tiene que en casi

todos los puntos

Esto ocurre por las propiedades de las sucesiones.

Por las propiedades de la integral de Lebesgue tenemos que:

∫

∫

∫

∫

De manera que:

∫ | |

∫ [ ]

y por consiguiente en casi todos los puntos de se cumple que:



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es decir,

y por lo tanto

∫

∎

Las siguientes observaciones se darán para mostrar algunas diferencias respecto a estos dos

tipos de integrales.

Existen funciones acotas que son integrables según Lebesgue, pero no integrables según

Riemann, como se verá en el siguiente ejemplo.

Ejemplo.

La función de Dirichlet dada por:

{

Es Lebesgue integrable, pero no integrable según Riemann;

Las funciones no acotadas no son integrables según Riemann, pero muchas de ellas son

integrables según Lebesgue. En particular cualquier función para la cual la integral de

Riemann

∫

existe para cada y tiene un límite finito cuando , es integrable en según

Lebesgue y

∫

∫

Se puede ver las integrales impropias

∫

∫

en el caso en que

∫ | |

no existen en el sentido de Lebesgue, ya que la integrabilidad de implica la integrabilidad

de | |. Por ejemplo, la integral



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∫

existe como integral impropia de Riemann (convencionalmente convergente), pero no existe

como integral de Lebesgue.

Si una función se considera en toda la recta (o en una semirrecta), su integral de Riemann

puede existir solamente en el sentido impropio. Si esta integral converge absolutamente,

también existirá en este caso la correspondiente integral de Lebesgue teniendo el mismo valor.

En cambio, si esta integral converge convencionalmente, la función no será integrable en el

sentido de Lebesgue. Por ejemplo, la función

no es integrable según Lebesgue en toda la recta ya que

∫ |

|

Sin embargo, como se sabe, la integral impropia

∫ |

|

existe y es igual a .

Actividad 1. Integral de Lebesgue.

La finalidad de esta actividad es comparar la integral de Riemann, con la integral de

Lebesgue, e Identificar las diferencias y similitudes entre las dos definiciones. Para ello.

1. Revisa la definición de las Integrales de Riemann y de Lebesgue , a partir de ello,

primeramente contesta la siguiente pregunta:

¿Qué relación se puede establecer entre las funciones Riemann integrables y las funciones

Lebesgue integrables?

2. A partir de las definiciones y tu respuesta, realiza un análisis sobre el impacto que

tienen los refinamientos sobre las particiones en el dominio en cada Integral la de

Riemann y la de Lebesgue. El análisis debe incluir la condición de medibilidad en el

caso de la Integral de Lebesgue.

3. Establece y analiza las condiciones de integrabilidad en cada caso para funciones

acotadas e integrabilidad de sucesiones de funciones monótonamente crecientes



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4. Ingresa al foro y tomando en cuenta las definiciones, condiciones de integrabilidad,

anota tus conclusiones.

5. Revisa aportaciones de tres de tus compañeros, aceptando o rechazando sus

respuestas.

Nota: Antes de participar en el foro, recuerda consultar la Rúbrica general de participación en

foros que se encuentra en la sección Material de apoyo.

4.2. Integral de Lebesgue de una función acotada sobre un conjunto de

medida finita

El teorema de convergencia monótona tiene la desventaja de ser aplicable sólo bajo

condiciones muy restrictivas, sin embargo un color ario de éste, conocido como el Lema de P.

Fatou (1878-1929), puede ser usado con sucesiones de funciones no necesariamente

convergentes. Es interesante hacer notar que este resultado fue probado por Fatou en el

contexto de series trigonométricas.

4.2.1. Lema de Fatou

Definición 1. [Lebesgue integrable] Una función es llamada Lebesgue integrable (o

simplemente integrable) si existen dos funciones superiores y tales que . La

integral de Lebesgue se define por

∫ ∫ ∫

Cabe señalar que el valor de la integral es independiente de la representación como una

diferencia de dos funciones superiores. De hecho, si c.d.q. tal que las

funciones y son funciones superiores, entonces c.d.q. y por las

propiedades de la integral se tiene ∫ ∫ ∫ ∫

Teorema 1. La colección de todas las funciones Lebesgue integrable es un espacio de

funciones.

Demostración.

Sea y dos funciones integrables con representación c.d.q. y c.d.q.

Entonces se cumplen las siguientes igualdades



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expresar las funciones anteriores como las diferencias de dos funciones superiores. Esto

demuestra que la colección de todas las funciones integrables es un espacio de funciones.

∎

Teorema 2. Si y son dos funciones integrables, entonces

∫ ∫ ∫

para toda

Teorema 3. Sea una función de medida que satisface c.d.q. para toda .

Entonces existe una sucesión de funciones simples tal que y para

toda .

Demostración.

Para cada sea para cada , y

obsérvese que

si . Dado que es medible, todas las

son conjuntos

medibles.

Ahora, para cada defínase ∑

, y nota que es una sucesión de

funciones simples. Además, se verifica que se cumple para todo y

toda . Más aún, si es fijo, entonces la igualdad vale para aquellas

sufientemente grandes. Por lo tanto, se cumple para todo , y prueba del teorema

ésta terminado. ∎

da finalizado el teorema.

Teorema 4. Si una función integrable satisface c.d.q., entonces es una función

superior.

Demostración.

Sean y funciones superiores tales que c.d.q. Así como y son límites de una

sucesión de funciones escalonadas c.d.q., existe una sucesión de funciones escalonadas

tal que c.d.q. Dado que c.d.q., se sigue que c.d.q.

Por el teorema 3, existe una sucesión de funciones simples que satisfacen que

c.d.q. Ahora, para cada sea , entonces es una sucesión

de funciones escalonadas tales que c.d.q. Basta mostrar que ∫ es acotado.

En efecto, de c.d.q. y de la monotonía y la linealidad de la integral se sigue

que ∫ ∫ ∫ , y además ∫ ∫ ∫ para toda . La prueba

del teorema está completa. ∎



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Si es una función integrable, entonces por el teorema pasado y son ambas funciones

superiores, y también es una descomposición de como una diferencia de dos

funciones superiores positivas. En particular,

∫ ∫ ∫

Usualmente esta fórmula es usada por algunos autores para definir la integral de Lebesgue.

Teorema 5. Sea una función medible. Si existen dos funciones integrables y tal que

c.d.q., entonces es también una función integrable.

Demostración.

Se escribe la desigualdad en la forma c.d.q., se puede suponer sin pérdida

de generalidad que casi donde quiera.

Por el teorema 4, es una función superior. Entonces existe una sucesión de funciones

escalonadas tal que c.d.q. Por el teorema 3 existe una sucesión de funciones

simples tales que c.d.q. Pero entonces es una sucesión de funciones

escalonadas tal que c.d.q. y ∫ ∫ ∫ para

toda . Así , por lo tanto es una función integrable. ∎

Teorema 6. [Levi] Supón que una sucesión de funciones integrables satisface c.d.q.

para cada y ∫ . Entonces existe una función tal que c.d.q. (i por lo tanto

∫ ∫ es válido).

Demostración.

Sustituyendo por si es necesario. Se asume sin pérdida de generalidad que

c.d.q para cada Además, se asume que para toda . Sea

∫ . Para cada sea , se considera el conjunto

Entonces,

, y entonces es un conjunto medible. Así, se

observa que . Nota que cada función es una función superior. Así, para cada

existe una sucesión de funciones escalonadas tal que

c.d.q.

Para cada sea , y nótese que es una sucesión de funciones escalonadas

tal que c.d.q. y el ∫ ∫ . En particular, para cada la sucesión de

funciones escalonadas satisface c.d.q esto se sigue que

y ∫ para cada Entonces .

Partiendo de la definición por si y si . Entonces

c.d.q. y el resultado se sigue de teorema 6 de la sección de propiedades. ∎



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Teorema 7. Sea una secuencia de funciones integrables no negativas tal que

∑ ∫ . Entonces ∑

define una función integrable y

∫(∑

) ∑ ∫

Demostración.

Para cada sea ∑ , y nótese que es una función tal que ∑

c.d.q. Ahora,

por el Teorema de Levi, ∑ define una función integrable, y

∑ ∫

∫ ∫(∑

)

con lo que termina la prueba. ∎

Teorema 8. [Lema de Fatou] Sea una sucesión de funciones integrables tal que

c.d.q. para cada y ∫ . Entonces define una función integrable, y

∫ ∫

Demostración.

Sin pérdida de generalidad, se puede suponer que para toda y y toda . Dada una

, defínase para cada . Entonces cada es una función medible, y

para toda . Entonces por el teorema 5 existe una función integrable tal que

c.d.q. Se deduce que c.d.q., entonces el limite define una función

integrable. Más aún

∫ ∫

∫ ∫

y la prueba termina. ∎

Ahora estás en condiciones de afirmar y probar la convergencia dominada de Lebesgue uno

de los teoremas más importantes de la teoría de la integración.

Teorema 9. [Convergencia dominada de Lebesgue] Sea sea una sucesión de funciones

integrables que satisfacen | | c.d.q. para toda y alguna función fija e integrable . Si

c.d.q. entonces define una función integrable y

∫ ∫

∫

Demostración. Nota que | | c.d.q. y la integrabilidad de se sigue del teorema 5. Observa

que la sucesión satisface las hipótesis del Lema de Fatou y por otra parte,

c.d.q. Así,

∫ ∫ ∫ ∫



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∫ ∫ ∫

y por lo tanto,

∫ ∫

Del mismo modo, el Lema de Fatou aplica a la sucesión produce

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

y así

∫ ∫

Entonces el límite existe en , y el ∫ ∫ es válido. ∎

El siguiente teorema caracteriza las funciones Lebesgue integrables en términos de alguna

propiedad dada. Se emplea generalmente para demostrar que todas las funciones Lebesgue

integrables poseen una propiedad determinada.

Teorema 10. Sea un espacio de medida y sea una propiedad que puede o no tener

una función integrable. Asúmase que:

a) Si y son funciones integrables con la propiedad , entonces y para toda

tienen la propiedad .

b) Si es una función integrable de manera que para cada existe una función

integrable con la propiedad satisface ∫ | | , entonces tiene la

propiedad .

c) Para cada tal que , la función característica tiene la propiedad .

Entonces, cada función integrable tiene la propiedad .

Demostración.

Supón primero que es una -álgebra tal que . Así, existe una sucesión de conjuntos

disjuntos de tal que ⋃ . Hacer ⋃

para cada y nótese que .

De ∑

y de los incisos (c) y (a), puedes ver que

tiene la propiedad para

cada . Dada ∫ | | , se deduce a partir de (b) que tiene a la

propiedad .

Después, supón que es un conjunto medible de medida finita y sea . Entonces Existe

una -álgebra de medida finita tal que y . Esto implica ∫ |

| . De lo anterior y de , se infiere que satisface la propiedad .

Ahora, de observa que cada función escalonada satisface la propiedad . Pero entonces,

se sigue de que toda función superior satisface la propiedad . Dado que cada función



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integrable es la diferencia de dos funciones superiores, usando , se infiere que en efecto

cada función integrable satisface la propiedad .

∎

Teorema 11. Cada función integrable es integrable sobre cada subconjunto medible de .

Además,

∫

∫

∫

para cada subconjunto medible de .

El resto de esta sección trata de una observación relativa a las integrales de Lebesgue infinitas.

Si ∑

es la representación estándar de una función positiva simple, entonces la

suma ∑

tiene sentido como un número real extendido no-negativo. Si ∑

, entonces se acostumbra escribir ∫ y se dice que la integral de Lebesgue de es

infinita.

Supón ahora que es una función donde existe una sucesión de funciones

positivas simples tal que c.d.q. Entonces ∫ existe como un número real

extendido, y puedes ver que ∫ es independiente de la sucesión elegida. En caso

de que ∫ , escribimos ∫ y se dice que la integral de Lebesgue de es

infinita, pero no puede decirse que es una función integrable. En este sentido cada función

positiva medible tiene una integral de Lebesgue (finita o infinita) simplemente porque, por el

teorema 3, existe una sucesión de funciones positivas simples tal que c.d.q.

Además, si define una función medible, entonces se puede escribir y por

lo anterior, ambas integrales ∫ y ∫ existe como números reales extendidos (no-

negativos). Si una de estas integrales es un número real, entonces la integral de se define

como el número real extendido

∫ ∫ ∫

De esta manera, es posible asignar una “integral” a una clase mucho más grande de funciones

medibles de valores reales extendidos.

Una ventaja de la extensión por arriba de la integral es que una serie de teoremas puedes

expresarla sin asumir la integrabilidad de Lebesgue en las funciones. Por ejemplo, el lema de

Fatou puede ser escrito como sigue:

Si es una sucesión de funciones medibles tales que c.d.q. para cada n, entonces:

∫ ∫

donde, por lo anterior, uno o ambos lados de la desigualdad puede ser infinito.



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Actividad 2. Cálculo de Integrales.

A través de esta actividad, podrás resolver ejercicios de integrales de Lebesgue y la

aplicación del Lema de Fatou. Para ello:

1. Descarga el documento “Act. 2. Cálculo de integrales”

2. De acuerdo al planteamiento, resuelve las integrales de Lebesgue y los ejercicios

relacionados con la aplicación de Fatou.

3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MAMT2_U4_A2_XXYZ.

4. Envía tu documento a tu facilitador y espera su retroalimentación.

*Recuerda consultar la Escala de evaluación de la actividad para saber qué aspectos se

tomarán en cuenta para su revisión.

Autoevaluación

Para reforzar los conocimientos relacionados con los temas que se abordaron en esta unidad

del curso, es necesario que resuelvas la autoevaluación.

Ingresa al Aula virtual para realizar tu actividad.

Evidencia de Aprendizaje. Aplicaciones de la integral de Lebesgue

Es momento de realizar tu evidencia de aprendizaje, donde tendrás que aplicar tus

conocimientos sobre aproximación de funciones continuas.

Instrucciones:

1. Descarga el documento “ EA. Aplicaciones de la integral de Lebesgue”

2. Lee las instrucciones y resuelve los problemas que se plantean, tomando en cuenta se

debes presentar su demostración o resultado.

3. .Guarda y envía tu reporte al portafolio de evidencias con la nomenclatura

MAMT2_U4_EA_XXYZ.

4. Envía tu reporte al portafolio de evidencias y espera la retroalimentación de tu

Facilitador(a). Una vez que la tengas, atiende sus comentarios y reenvía la nueva versión



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de tu evidencia.

Nota: No olvides consultar la Escala de evaluación para conocer los criterios con que será

evaluado tu trabajo.

Autorreflexiones

Como parte de cada unidad, es importante que ingreses al foro Preguntas de autorreflexión y

leas los cuestionamientos que formuló tu Facilitador(a), ya que a partir de ellos debes elaborar

tu Autorreflexión y enviarla mediante la herramienta Autorreflexiones. No olvides que también se

toman en cuenta para la calificación final.

Cierre de la unidad

La integral de Lebesgue es de alguna forma la generalización natural del concepto de integral

de funciones medibles en los conjuntos medibles. Una importancia fundamental es la que se

manifiesta en Lema de Fatou: que argumenta la monotonía de la integral bajo sucesiones de

funciones medibles. El contenido de esta unidad es fundamental para el desarrollo de la Teoría

de Integración que es una de las ramas más importantes de la matemática con una aplicación

directa en la estadística y probabilidad. El dominio esta materia permitirá al alumno la resolución

de problemas planteados en ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales con un

entendimiento profundo de las propiedades y teoremas involucrados en la obtención de tales

resultados.

Para saber más:

Un resumen histórico de la Teoría de la medida de 1887 a 1990:

http://www.lps.uci.edu/~johnsonk/CLASSES/FoundationsOfMeasurement/Diez.AnHistoricalIntro

ductionToMeasurementTheoryPartOne.pdf

El blog de Terence Tao, uno de los matemáticos más notables de nuestra época, entre otras

secciones presenta: libros, resúmenes de artículos, apps, etc. sobre Matemáticas en general

en particular en Teoría de la Medida

http://terrytao.wordpress.com/

Referencias Bibliográficas

Charalambos A.D. (1998). Principles of Real Analysis. USA. Academic Press.

De Barra, G. (2000). Measure Theory and Integration. India. New Age International.

http://www.lps.uci.edu/~johnsonk/CLASSES/FoundationsOfMeasurement/Diez.AnHistoricalIntroductionToMeasurementTheoryPartOne.pdf

http://www.lps.uci.edu/~johnsonk/CLASSES/FoundationsOfMeasurement/Diez.AnHistoricalIntroductionToMeasurementTheoryPartOne.pdf

http://terrytao.wordpress.com/



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Folland, G. (1999). Real Analysis: Modern Techniques and their Applications. USA. Wiley.

Galaz, F. (2002). Medida e Integral de Lebesgue en .México. University Press.

Grabisnky, G. (2011). Teoría de la Medida. México. Facultad de Ciencias UNAM.

Halmos, P. (1991). Measure Theory. USA. Springer Verlag.

Hawkins T. Lebesgue theory of integration. Its origins and development, 1970, Chelsea

Publishing Company.

Royden, H; Fitzpatrick, P. (2010). Real Analysis. USA. Pearson.

Sánchez, C. C. (2004). De los Bernoulli a los Bourbaki. España. Nivola.

Schram, M. (1996). Introduction to Real Analysis. USA. Prentice Hall.

Education

Unidad 4. integral de lebesgue