Profesora: Rosa N. Llanos Vargas

LA INTEGRAL DE LINEA1.LA INTEGRAL DE LINEA SOBRE CAMPOS ESCALARES Si la funcin f : IR3 IR es tal que f ( x,y ,z ) representa la densidad de un alambre en el punto P( x ,y , z ) . Si el alambre tiene longitud finita y est descrito por la curva C : , donde R

X Y(x,y,z).F(x,y,z)f

0t

ba

Dividiendo la curva en n sub arcos originados por una particin P P : }Cada sub arco tiene longitud muy pequea entonces la densidad ser constante en cada sub arco , de all que la masa del i simo arco ser, es un elemento arbitrario del i-simo sub arco.La masa del alambre es aproximadamente Definicin. Si f : IR3 IR es una funcin continua sobre un conjunto S ,el cual contiene a la curva suave C descrita por C: ; entonces la integral de lnea de f a lo largo de la curva C es :

Es decir Donde

OBSERVACIONES . 1. SI f ( x,y ,z)= 1 entonces = longitud de la curva C.2. Si C es una curva cerrada, la integral de lnea se denota 3. Si se tiene la curva C representada por es la curva representada por PROPIEDADES 1) 2) Ejemplo 1. Evaluar la integral de lnea del campo escalar sobre la trayectoria descrita por SolucinSea la curva C descrita por x = cost, y = sent , z =t ; Por definicin

Ejemplo 2. Evaluar si C = ; donde: es el segmento de recta que une los puntos (0,0) y (1 ,1): es el arco de la parbola y = x2 desde el punto (1 , 1) hasta el origen de coordenadasSolucin(1,1)

Parametrizando las curvas y segn el sentido de cada una :

y=x2y=xx

Area de una vallaSea f: A , continua y positiva sobre A , C es una curva parametrizada por , entonces la integral representa el rea de la valla levantada desde la curva plana C hasta la funcin f.z

Yx

Ejemplo 3. Encontrar el rea de la valla sobre la recta x+y= 1, limitada superiormente por el paraboloide f(x,y) = x2 + y2 , en el primer cuadrante del plano XY.SolucinComo se observa en el grfico, se trata de encontrar el rea de la valla XYx+y=1

Parametrizando la recta , se tiene x=t , y = 1-t , sobre [0,1] ( primer cuadrante de XY)Luego A(valla) = dt = Ejemplo 4.Un alambre delgado se dobla en forma de la circunferencia . Hallar la masa (m) y centro de masa del alambre si su densidad es igual a x.SolucinSe trata de la semicircunferencia derecha de centro(0,0) y radio 2Una parametrizacin de C es x= 2cost , y = 2sent ; t

Entonces m = 8Por otro lado

Toda vez que C es simtrica con respecto al eje X el centro de masa se ubica sobre ese eje , es decir es de la forma (. Calculamos

Luego el centro de masa es (2. LA INTEGRAL DE LINEA SOBRE CAMPOS VECTORIALES Presentamos grficamente algunos tipos de curvas en R3

=

Cuando la curva es abierta, se asume orientacin positiva hacia arriba y hacia la derecha; hacia abajo y hacia la izquierda ser orientacin negativa.Cuando la curva es cerrada la orientacin se asume positiva cuando es en sentido contrario a la rotacin de las manecillas del reloj ; cuando la rotacin es en sentido horario,la orientacin de la curva es negativa.

Si una partcula P( x , y ,z ) se desplaza desde un punto A hasta otro punto B a lo largo de una trayectoria descrita por una curva suave por tramos determinada por C: Por la accin de una fuerza variable en magnitud y direccin a medida que P se desplaza sobre C . El problema es Cul es el trabajo que realiza la fuerza para desplazar la partcula P desde A hasta B?.C: A=

B=

a bt

Si P es una particin de [ a , b ] , ella genera una particin sobre la curva dando lugar a n-arcos de longitud

Como el arco es pequeo, entonces la fuerza es constante a lo largo de cada arco es igual a y la partcula se mueve a lo largo de C desde Pi-1 hasta Pi siguiendo la direccin del vector tangente unitario T () ; entonces el trabajo que realiza la fuerza es:

Donde adems Luego,

Si entonces

Definicin. Si C es una curva suave por tramos descrita por la funcin : [ a , b ] IRn y si es un campo vectorial definido y acotado sobre la curva C, entonces la integral de lnea o curvilnea del campo a lo largo de la curva C es ;

PROPIEDADES

2. , siendo entonces

; si ambas curvas tienen sentidos contrarios4.Si C es una curva cerrada la integral se llama circulacin de a lo largo de la curva C.Ejemplo 1. Calcular si F(x , y) = ( desde el punto (0,0) hasta (1,1); a lo largo de :a) La recta L: x=t , y = t ; t b) X=t2 , y = t3 , t Solucina)C: adems F[x(t), y(t) ] = ; entonces

b)C : (2t , 3t2 ) , t , Como F(x , y) = ( , entonces F(x(t), y(t)) = (

NOTA. Este ejemplo muestra que la integral de un punto a otro depende generalmente del camino que los une.Si en la parte b) del ejemplo 1 representamos a la curva mediante otra parametrizacin , por ejemplo C:

Esto muestra que el valor de la integral es independiente de la representacin paramtrica utilizada para la curva.Ejemplo 2. Dado F(x,y,z) = ( x, y , z) . Calcular la integral de lnea en el segmento de la recta que une a los puntos (0, 1 ,0 ) y (1 , 2,2 ), parametrizndola positivamente y luego reparametrizando de tal manera que cambie su orientacinSolucinUna parametrizacin positiva del segmento de recta que une los puntos (0,1,0) y ( 1,2,2) es :C: = ( t, t+1 ,2t ) ; 0, entonces = (1,1,2)F(x(t), y(t),z(t)) = ( t, t+1 ,2t ) ,

Ahora reparametrizando de tal manera que cambie su orientacinC: = (1- t, 2 - t ,2- 2t ) ; 0, entonces = (-1,-1,-2)

Ejemplo 2. Dado el campo de fuerzas F(x,y,z) = ( 2x+2y , 2x, 3z2). Encontrar el trabajo que realiza la fuerza al mover una partcula a travs de los puntos (0,0,0) a ( 1, 2, 0) y hasta (1,2, 5 ).SolucinLa partcula debe desplazarse desde el punto (0,0,0) pasando por (1,2, 0 ) y llegando a (1, 2, 5 ). La curva C que une estos puntos es seccionalmente continua como se observa en el siguiente grfico As que la curva se dividir en dos :C1 es el segmento de recta que va desde (0,0,0 ) hasta (1,2,0,)Y C2 el segmento de recta que va desde (1,2,0) hasta (1,2,5).Representadas paramtricamente en forma positiva por:C1: 0 C2 : 0

Calculando el trabajo como la integral

Ejercicios . Calcular la circulacin , en cada caso:1. F(x,y ,z ) = ( y2-x2 ,2yz , - x2 ) a lo largo del camino descrito por C: r(t) = ( t , t2 , t3 ) ; 0 t12. F(x,y ,z ) = ( y2+x2 , x2 y2 ) ; C : y = desde (0,1 ) hasta (2 ,1 ).3. ; C es el cuadrado con vrtices A(1, 0 ) , B( 0,1) , C(-1 , 0 ), D( 0,-1 ).TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA INTEGRAL DE LINEA Sea C una curva suave a trozos dada por es un campo conservativo definido sobre una regin R que contiene a la curva C entonces

Donde f es la funcin potencial de Pruebadt= = = =

RECUERDE 1) 2) NOTA.- El teorema afirma que cuando el campo es conservativo, el valor de la integral solo depende de los puntos inicial y final y no depende de la forma de la curva.Ejemplo3 . Evaluar si C es una curva suave que empieza en el punto (1 , -2 ,3 ) y su otro extremo es el punto ( 3 ,4 ,0) y si

SolucinSe observa que es un campo conservativo, es decir , donde f(x,y,z) = x2y + 8yz3 x y 2z , entonces

[ 32.(4) + 8(4)(0) -3(42)(0)] - [12(-2) + 8(-2) (33) - 1(-2)2(3) ]= 482Ejemplo4 . Sea F(x,y,z)= ( 2xyz + senx )i + x2z j + x2 y k . a) Si Ces el segmento de recta que une los puntos (0,0,0) y (1,2,3). Calcular b) Calcular , donde C es el segmento de recta que une los puntos (0,0,0) ,(1,0,0), (1,2,0) y (1,2,3)SolucinVeamos si el campo F es conservativo; en efecto,

Por consiguiente F es un campo gradiente, es decir existe un campo escalar f, talque F =

Integrando ambos miembros de 1) con respecto a x, se tiene:f(x,y,z) = cosx + k(y,z) (4) entonces . Integrando con respecto a y , resulta

Reemplazando en (4), se tendr f(x,y,z) = cosx + k(z) (5)

Luego la funcin potencial f es,f(x,y,z) = cosx + Ca)Como F es conservativo, entonces el valor de la integral de lnea se obtiene evaluando su funcin potencial en el punto final, menos su valor en el punto inicial: b)Se procede como en el caso a)CONJUNTO CONEXO.El conjunto abierto D de IRn se llama conexo si todo par de puntos en D puede unirse mediante un camino ( o curva ) suave a trozos contenido en D .DD

BB

A

Fig2Fig 1A

Definicin . Un conjunto abierto D de IRn se llama simplemente conexo si para toda curva cerrada C en D , la regin encerrada por C est totalmente contenida en D ( D es simplemente conexo si no presenta hoyos). El conjunto D de la fig.2 no es simplemente conexo.Definicin . Una curva C : es cerrada si el punto inicial coincide con el punto final C1: curva de A hasta H , C2: curva de H hasta A

A

B.

C

. H

Si es un campo conservativo entonces

Luego

Como el campo es conservativo el valor de la integral solo depende de los valores inicial y final, entonces

Por consiguiente,

INDEPENDENCIA DE TRAYECTORIASi C1 y C2 son dos curvas suaves a trozos ( trayectorias o caminos ) que empiezan en el punto A y terminan en el punto B y estn contenidas en un conjunto D. SI es un campo vectorial continuo sobre D, se dice que la integral de lnea es independiente de la trayectoria si para dos curvas cualquiera contenidas en D que tengan el mismo punto inicial y el mismo punto final.NOTA- Las integrales de lnea de campos conservativos son independientes de la trayectoria.Teorema. La integral de lnea es independiente de la trayectoria en D si y solo si =0 ,para toda trayectoria cerrada C en D.Teorema. Si es un campo vectorial continuo sobre una regin abierta conexa D, entonces la integral de lnea sobre la curva C , C contenida en D , es independiente de la trayectoria si y solo si es un campo conservativo sobre D.Ejemplo. Para el campo de fuerzas dado por probar que es independiente del camino y calcular el trabajo realizado por el campo sobre un objeto que se mueve sobre una curva C desde . Solucin. es un campo conservativo desde que rot( . Luego si f es la funcin potencial, entonces

De 1) f(x,y,z) = derivando f con respecto a y , se tiene

De donde (5 )Reemplazando (5 ) en ( 4 ) y derivando ambos miembros con respecto a z,

Por consiguiente ,f(x,y,z) = Adems ,W = eW = 4 e .CONDICIONES EQUIVALENTES Si tiene primeras derivadas parciales continuas en una regin abierta conexa D y C es una curva cualquiera suave a trozos en D , las siguientes condiciones son equivalentes : es conservativo es independiente del camino es conservativo = 0 ,para toda curva cerrada C en D.Ejemplo. Calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas (x,y,z )= (6xy3 +2z2 , 9x2 y2 , 4xz + 1) para mover una partcula desde el punto P (0 ,0 ,2 ) hasta el punto Q ( 2 , 0 ,0 ) siguiendo la curva C que es la interseccin de x2 + y2 + z2 = 4 , z 0 , x2 + y2 = 2x siendo recorrida en sentido horario si se observa desde el origen SolucinEl campo es conservativo y la funcin potencial es f(x,y,z) = 3x2 y3 + 2xz2 + z + kEntonces Asimismo ,siendo conservativo la integral de lnea es independiente de la trayectoria, su valor ser el mismo si se sigue el segmento que va desde P(2, 0 ,0 ) hasta Q( 0 ,0, 2) o la curva de interseccin de las superficies dadas.Una parametrizacin del segmento PQ es P= P+ t(Q P) (x,y,z) = (2,0,0) + t(0,0,2) ; 0 t 1 , 0 t 1Luego TEOREMA DE GREEN.Si R es una regin simplemente conexa , cuya frontera C es una curva cerrada suave a trozos y orientada positivamente ( R queda siempre a la izquierda cuando un punto recorre C). Si P(x,y) y Q(x , y ) tienen derivadas parciales continuas sobre una regin abierta que contiene a R, entonces

AREA DE R. Si R es una regin plana limitada por una curva suave y cerrada C entonces el rea de R , es A(R) = Ejemplos. Calcular:1.2. la regin anular que recorre la semicircunferencia superior de empezando en (2, 0) , luego el segmento que va desde ( -2 , 0) hasta (- 1 ,0) , luego la semicircunferencia superior y desde el punto (1 , 0 ) hasta ( 2 , 0 )3.4. El rea de la regin limitada por la curva PARA REGIONES SIMPLEMENTE CONEXASSi la curva C es la frontera de la regin D, C es la unin de dos curvas suaves por trozos C1

D1

D 2C2

C = C1 C2 est orientada positivamente.En este caso la regin D se divide en dos regiones D1 y D2 de modo que cada uno tiene su propia frontera, entonces

Al integrar a lo largo de la frontera comn ,como ellas tienen sentidos contrarios ,las integrales se anulan ; de all que Ejemplo. Calcular , C es la curva orientada que encierra la regin limitada por x2 + y2 = 1 ,y , 4x2 + 9y2 = 36.Solucin.

Y

2

1-3X

3

Ejemplo. Verificar el teorema de Green en la integral

Siendo C el contorno del tringulo con vrtices en (1,1), (2,2) y (1,3).SolucinComo podemos observar en la figura siguiente, el problema es calcular la integral de lnea a lo largo de una curva cerrada que limita una regin plana

Cada una es parametrizada como sigue

Resolvemos la integral de lnea por definicin

Aplicando el teorema de Green, se tendr=- 4/3Ejemplo. Calcular el rea encerrada por el hipocicloide SolucinSe trata de determinar el rea de la regin plana limitada por una curva cerradaUna parametrizacin de la curva es .C: x= a cos3t , Y = a sen3t , 0Aplicando el teorema de Green para el clculo de reas,

PRACTICA

1. Encontrar una parametrizacin para la curva dada por cada uno de los siguientes casos:

a) La curva con ecuacin y = 3 - 2x b) La interseccin de la esfera x + y + z = 4 con el plano y = x .c) La interseccin del cono z = x + y con el plano x + 2z = 1.d) La interseccin de 2x + y = 4x , 2x + y = 2z.

2. Calcular la integral de lnea en cada caso:

a) , donde C es la mitad superior de la circunferencia x + y = 16b) , C : x = 2t , y = 3sen t , z = 3 cos t , 0 t c) , C : 4 sen t , y = 4 cos t , z = 3t , 0 t d) , C : e) , C : f) , C :

3. Calcular , donde C es la porcin de la curva con ecuacin y = x en el plano z = 2 que inicia en el punto ( 1 , 1 , 2 ) y termina en el punto ( 2 , 4 , 2 ) .

4. Calcular , C es la interseccin de las superficies x + y + z = a , x = y

5. Calcular , C es la parte de la interseccin de la superficie x + y + z = 2 ( x + y ) con el plano x + y = 2 ; que se encuentra sobre el plano XY .

6. Hallar las coordenadas del centro de masa del alambre homogneo que tiene la forma de la curva dada en cada caso:

a) El cuadrado b) La porcin de la catenaria y = cosh ( x ) , x c) Los lados del tringulo issceles con vrtices A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) y C ( 1 , h)

7. Hallar la masa de un alambre que tiene la forma de la curva dada en cada caso : a) C : x = cos t , y = sen t , z = t ; t , densidad f ( x , y , z ) = 2xy b) C : x = t , y = cos t , z = sen t ; , la densidad en cualquier punto P( x, y,z ) es igual al cuadrado de la distancia de dicho punto al origen de coordenadas . c) C es la interseccin de las grficas de las superficies x + y + z = 1 , y = z ; si la densidad es f ( x , y , z ) = x d) C: es la interseccin del cilindro parablico z = 4 y , z 0 con el plano x = 2 y , si la densidad en cada punto del alambre es f ( x , y , z ) = e) C es la parte de la interseccin de las superficies z = x , x + y = 2 que se encuentra en el primer octante . Hallar adems la primera componente del centro de masa de dicho alambre sabiendo que la densidad en cada punto P(x, y , z ) de dicho alambre es f ( x, y , z ) =

8. Calcular el valor de , C es la interseccin de las superficies x + y + z = 2 ( x + y ) , x + y = 2

9. Calcular C es la curva generada por la funcin

10. Sea C la interseccin del paraboloide x + 2y = 4 z con los planos coordenados en el primer octante. Hallar el trabajo realizado por la fuerza F(x, y,z ) = (y , x , (xyz)3 ) Para mover una partcula alrededor de la curva C , una sola vez , partiendo del punto ( 2 , 0 , 0 ) en sentido horario visto desde el origen de coordenadas .

11. Si C es la curva definida por la ecuacin x 0 y el campo es ; Hallar

12. Calcular el valor de la integral

Donde C es la curva recorrida en sentido anti horario una sola vez.

13. Calcular el valor de , donde F( x,y,z ) = (xy, yz, xz) , C es la interseccin de las superficies , x + y + z = 1 recorrida en sentido antihorario vista desde la parte positiva del eje Z.14. Evaluar la integral 15. Calcular el trabajo que realiza el campo de fuerzas a) F(x,y) = (2xcos(xy)- para trasladar una partcula desde el origen de coordenadas hasta elpunto (2, 0 ) a lolargo de la curva C: y = 1 - |1-x| b)Para mover una partcula desde el origen de coordenadas hasta el punto (1, 1, ),siendo la curva C, interseccin de las superficies

16. Calcular el trabajo que realiza el campo de fuerzas Para trasladar una partcula desde el punto A ( 3 , ,2 ) al punto B ( 2, 2, 2 ) a lo largo de la curva C:

17. Calcular el trabajo que realiza el campo de fuerzas Para mover una partcula desde el punto P(2,0,0) hasta el punto Q( 0, 0 , 2 ),siendo la curva cerrada C,interseccin de la semiesfera y el cilindro siendo recorrida en sentido antihorario si se observa desde el origen de coordenadas.18. Usando el teorema de Green, calcular la integral de lnea a lo largo de la curva dada , orientada positivamente,a) ; C es el tringulo de vrtices (0,0) , ( 1 ,1 ) , ( 2, 0)b) ; C es la frontera de la regin comprendida entre las parbolas y = , c) ; C es la frontera de la regin comprendida entre , d) ; C es el crculo unitario centrado en el origen de coordenadas.e) ; C es el arco de la curva - = 9 , entre los puntos A(3,0) y B( 5, 4 ).f) ; C es la frontera orientada positivamente, de la regin en el primer cuadrante acotada por las rectas y=x, y = 4x y las hiprbolas xy = 1 , xy=2 g) ; C es el arco de la circunferencia unitaria centrada en el origen de coordenadas, orientada en sentido antihorario, comprendido en el primer cuadrante.h) ; C es + = 1.i) ; C es la semielipse 4 + = 1 , y , recorrida desde (1/2 , 0 ) hasta el punto (-1/2, 0 ).

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