“Unidad Educativa Fisco misional”

San Francisco

Autores:

Katy Calva

Elen Lavanda

Melisa Beltrán

Joana Idrovo

Índice

Historia de la matemática ………………………….……………….......... 03

Resta……………………………………………………..………………………..…..06

Multiplicación…………………………………….………………………….……09

Suma………………………….………………………………………………………..14

División……………………………………………………………………………….18

INTRODUCCION

LA MATEMATICA

Hasta el latín hay que marcharse para poder encontrar el origen etimológico del término matemáticas, ya que emana de “mathematicalis”. No obstante, esta palabra a su procede del griego, de “mathema”, que puede traducirse como “estudio de un tema”La matemática es la ciencia deductiva que se dedica al estudio de las propiedades de los entes abstractos y de sus relaciones. Esto quiere decir que las matemáticas trabajan con números, símbolos, figuras geométricas, etc.A partir de axiomas y siguiendo razonamientos lógicos, las matemáticas analizan estructuras, magnitudes y vínculos de los entes abstractos. Esto permite, una vez detectados ciertos patrones, formular conjeturas y establecer definiciones a las que se llegan por deducción.

 http://definicion.de/matematicas/#ixzz3ONd3j9lt

HISTORIA DE LA MATEMÁTICA

La historia de las matemáticas es el área de estudio que abarca las investigaciones sobre los orígenes de los descubrimientos en matemáticas, de los métodos matemáticos, de la evolución de sus conceptos y también en cierto grado, de los matemáticos involucrados. El surgimiento de la matemática en la historia humana está estrechamente relacionado con el desarrollo del concepto de número, proceso que ocurrió de manera muy gradual en las comunidades humanas primitivas. Aunque disponían de una cierta capacidad de estimar tamaños y magnitudes, no poseían inicialmente una noción de número. Así, los números más allá de dos o tres, no tenían nombre, de modo que utilizaban alguna expresión equivalente a "muchos" para referirse a un conjunto mayor.1

El siguiente paso en este desarrollo es la aparición de algo cercano a un concepto de número, aunque muy incipiente, todavía no como entidad abstracta, sino como propiedad o atributo de un conjunto concreto.1 Más adelante, el avance en la complejidad de la estructura social y sus relaciones se fue reflejando en el desarrollo de la matemática. Los problemas a resolver se hicieron más difíciles y ya no bastaba, como en las comunidades primitivas, con solo contar cosas y comunicar a otros la cardinalidad del conjunto contado, sino que llegó a ser crucial contar conjuntos cada vez mayores, cuantificar el tiempo, operar con fechas, posibilitar el cálculo de equivalencias para el trueque. Es el momento del surgimiento de los nombres y símbolos numéricos.1

Antes de la edad moderna y la difusión del conocimiento a lo largo del mundo, los ejemplos escritos de nuevos desarrollos matemáticos salían a la luz solo en unos pocos escenarios. Los textos matemáticos más antiguos disponibles son la tablilla de barro Plimpton 322 (c. 1900 a. C.), el papiro de Moscú (c. 1850 a. C.), el papiro de Rhind (c. 1650 a. C.) y los textos védicos Shulba Sutras (c. 800 a. C.). En todos estos textos se menciona el teorema de Pitágoras, que parece ser el más antiguo y extendido desarrollo matemático después de la aritmética básica y la geometría.

Tradicionalmente se ha considerado que la matemática, como ciencia, surgió con el fin de hacer los cálculos en el comercio, para medir la Tierra y para predecir los acontecimientos astronómicos. Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma a la subdivisión amplia de la matemática en el estudio de la estructura, el espacio y el cambio.[cita requerida]

Las matemáticas egipcias y babilónicas fueron ampliamente desarrolladas por la matemática helénica, donde se refinaron los métodos (especialmente la introducción del rigor matemático en las demostraciones) y se ampliaron los asuntos propios de esta ciencia.2 La matemática en el islam medieval, a su vez, desarrolló y extendió las matemáticas conocidas por estas civilizaciones ancestrales. Muchos textos griegos y árabes de matemáticas fueron traducidos al latín, lo que llevó a un posterior desarrollo de las matemáticas en la Edad Media.

Desde el renacimiento italiano, en el siglo XV, los nuevos desarrollos matemáticos, interactuando con descubrimientos científicos contemporáneos, han ido creciendo exponencialmente hasta el día de hoy.

Los inicios de la matemática

Prehistoria

Mucho antes de los primeros registros escritos, hay dibujos que indican algún conocimiento de matemáticas elementales y de la medida del tiempo basada en las estrellas. Por ejemplo, los paleontólogos han descubierto rocas de ocre en la Cueva de Blombos en Sudáfrica de aproximadamente 70.000 años de antigüedad, que están adornados con hendiduras en forma de patrones geométricos.3 También se descubrieron artefactos prehistóricos en África y Francia, datados entre el 35.000 y el 20.000 a. C.,4 que sugieren intentos iniciales de cuantificar el tiempo.5

Hay evidencias de que las mujeres inventaron una forma de llevar la cuenta de su ciclo menstrual: de 28 a 30 marcas en un hueso o piedra, seguidas de una marca distintiva. Más aún, los cazadores y pastores empleaban los conceptos de uno, dos y muchos, así como la idea de ninguno o cero, cuando hablaban de manadas de animales.6 7 El hueso de Ishango, encontrado en las inmediaciones del río Nilo, al noreste del Congo, puede datar de antes del 20.000 a. C. Una interpretación común es que el hueso supone la demostración más antigua conocida4 de una secuencia de números primos y de la multiplicación por duplicación.

Primeras civilizaciones

En el periodo predinástico de Egipto del V milenio a. C. se representaban pictóricamente diseños espaciales geométricos. Se ha afirmado que los monumentos megalíticos en Inglaterra y Escocia, del III milenio a. C., incorporan ideas geométricas tales como círculos, elipses y ternas pitagóricas en su diseño.8

Las primeras matemáticas conocidas en la historia de la India datan del 3000 - 2600 a. C., en la Cultura del Valle del Indo (civilización Harappa) del norte de la India y Pakistán. Esta civilización desarrolló un sistema de medidas y pesas uniforme que usaba el sistema decimal, una sorprendentemente avanzada tecnología con ladrillos para representar razones, calles dispuestas en perfectos ángulos rectos y una serie de formas geométricas y diseños, incluyendo cuboides, barriles, conos, cilindros y diseños de círculos y triángulos concéntricos y secantes. Los instrumentos matemáticos empleados incluían una exacta regla decimal con subdivisiones pequeñas y precisas, unas estructuras para medir de 8 a 12 secciones completas del horizonte y el cielo y un instrumento para la medida de las posiciones de las estrellas para la navegación. La escritura hindú no ha sido descifrada todavía, de ahí que se sepa muy poco sobre las formas escritas de las matemáticas en Harappa. Hay evidencias arqueológicas que han llevado a algunos a sospechar que esta civilización usaba un sistema de numeración de base octal y tenían un valor para π, la razón entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.9 10

Por su parte, las primeras matemáticas en China datan de la Dinastía Shang (1600 − 1046 a. C.) y consisten en números marcados en un caparazón de tortuga.11 Estos números fueron representados mediante una notación decimal. Por ejemplo, el número 123 se escribía, de arriba a abajo, como el símbolo para el 1 seguido del símbolo para 100, luego el símbolo para el 2 seguido del símbolo para 10 y, por último, el símbolo para el 3. Este era el sistema de numeración más avanzado en su tiempo y permitía hacer cálculos para usarlos con el suanpan o el ábaco chino. La fecha de invención del suanpan no se conoce con certeza, pero la mención escrita más antigua data del 190 d. C., en Notas suplementarias sobre el Arte de las Cifras, de Xu Yue's.

Egipto

Artículo principal: Matemáticas en el Antiguo Egipto

Papiro de Moscú.

Las matemáticas en el Antiguo Egipto se refieren a las matemáticas escritas en las lenguas egipcias. Desde el periodo helenístico, el griego sustituyó al egipcio como el lenguaje escrito de los escolares egipcios y desde ese momento las matemáticas egipcias se fundieron con las griegas y babilónicas para dar lugar a la matemática helénica. El estudio de las matemáticas en Egipto continuó más tarde bajo el influjo árabe como parte de las matemáticas islámicas, cuando el árabe se convirtió en el lenguaje escrito de los escolares egipcios.

Sistema chino de numeración con varillas.

Antiguo Oriente Próximo (c. 1800 a. C.–500 a. C.)

Tablilla de arcilla YBC 7289.

Mesopotamia

Artículo principal: Matemática babilónica

Las matemáticas babilónicas hacen referencia a las matemáticas desarrolladas en Mesopotamia, el actual Irak, desde los días de los primeros sumerios, hasta el inicio del periodo helenístico. Se llaman matemáticas babilónicas debido al papel central de Babilonia como lugar de estudio, que dejó de existir durante el periodo helenístico. Desde este punto, las matemáticas babilónicas se fundieron con las matemáticas griegas y egipcias para dar lugar a las matemáticas helenísticas. Más tarde, bajo el Imperio árabe, Mesopotamia, especialmente Bagdad, volvió a ser un importante centro de estudio para las matemáticas islámicas.

En contraste con la escasez de fuentes en las matemáticas egipcias, el conocimiento sobre las matemáticas en Babilonia se deriva de más de 400 tablillas de arcilla desveladas desde 1850. Labradas en escritura cuneiforme, fueron grabadas mientras la arcilla estaba húmeda y cocidas posteriormente en un horno o secadas al sol. Algunas de ellas parecen ser tareas graduadas.

Resta

«5 - 2 = 3» (verbalmente, «cinco menos dos es igual a tres»).

La resta o la sustracción es una operación matemática que se representa con el signo (-), representa la operación de eliminación de objetos de una colección. Está representada por el signo menos (-). Por ejemplo, en la imagen de la derecha, hay 5-2 manzanas—significando 5 manzanas con 2 quitadas, con lo cual hay un total de 3 manzanas. Por lo tanto, 5 - 2 = 3 Además de contar frutas, la subtracción también puede representar combinación otras magnitudes físicas y abstractas usando diferentes tipos de objetos: números negativos, fracciones, números irracionales, vectores, decimales, funciones, matrices y más.

La sustracción sigue varios patrones importantes. Es anti conmutativa, lo que significa que el cambio de la orden cambia el signo de la respuesta. No es asociativa, lo que significa que cuando se restan más de dos números, importa del orden en el que se realiza la resta. Restar a 0 no cambia un número. La sustracción también obedece a reglas predecibles relativas a las operaciones relacionadas, tales como la adición y la multiplicación. Todas estas reglas pueden probarse, a partir de la sustracción de números enteros y generalizarlas mediante los números reales y más allá. Las operaciones binarias generales que siguen estos patrones se estudian en el álgebra abstracta.

Realizar sustracciones es una de las tareas numéricas más simples. La sustracción de números muy pequeños es accesible para los niños pequeños. En la educación primaria, los estudiantes se les enseña a restar números en el sistema decimal, comenzando con un solo dígito y progresivamente abordando problemas más difíciles. Las ayudas mecánicas van desde el antiguo ábaco a la computadora moderna.

Resta básica: números enteros

Imagine un segmento de recta de longitud b con el extremo izquierdo etiquetado a y el extremo derecho etiquetado c. Partiendo de a, se toma b posiciones a la derecha para llegar a c. Este movimiento hacia la derecha se modela matemáticamente mediante la adición:

a + b = c.

De c, se toman b posiciones a la izquierda para volver a a. Este movimiento a la izquierda se modela por sustracción:

c − b = a.

Ahora, un segmento de la línea marcada con los números 1, 2 y 3. Desde la posición 3, no se toma ningún paso hacia la izquierda para permanecer en el 3, por lo que 3 − 0 = 3. Se necesitan 2 pasos a la izquierda para llegar a la posición 1, por lo que 3 − 2 = 1. Esta imagen es inadecuada para describir lo que sucedería después de pasar 3 pasos a la izquierda de la posición 3. Para representar dicha operación, la línea debe extenderse.

Para restar números naturales arbitrarios, uno comienza con una línea que contiene cada número natural (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...). Del 3, se toma 3 pasos a la izquierda para llegar a 0, por lo que 3 - 3 = 0. Pero 3 − 4 todavía es inválido, puesto

que una vez más sale de la línea. Los números naturales no son un contexto útil para la resta.

La solución es considerar la línea numérica entera (..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...). Del 3, se toma 4 pasos a la izquierda para llegar a −1:

3 − 4 = −1.

Resta como adición

Hay algunos casos donde resta como una operación separada se vuelve problemática. Por ejemplo, 3 - (-2) (es decir, restar -2 de 3) no es inmediatamente obvia desde un punto de vista del número natural o una vista de línea de números, porque no está claro de inmediato lo que significa mover -2 pasos a la izquierda o para quitar -2 manzanas. Una solución es ver a la resta como la suma de números con signo. Un signo menos extra simplemente denota inversión aditiva. Entonces tenemos 3 - (-2) = 3 + 2 = 5. Esto también ayuda a mantener el anillo de los enteros "simple" al evitar la introducción de "nuevos" operadores como la resta. Por lo general un anillo solo tiene dos operaciones definidas en el mismo; en el caso de los números enteros, éstos son la suma y la multiplicación. Un anillo ya tiene el concepto de inversiones aditivas, pero no tiene ninguna noción de una operación de sustracción separada, así que el uso de la suma como la resta firmada nos permite aplicar los axiomas de anillo para la resta sin necesidad de demostrar nada.

Algoritmo de la resta

Hay varios algoritmos para la resta, y difieren en su idoneidad para diversas aplicaciones. Para el cálculo a mano, se adaptan un número de métodos; por ejemplo, al hacer el cambio, no se realiza la resta real, sino más bien sigue subiendo el cambio de cuentas.

Para cálculo en máquina, se prefiere el método de complementos, por lo que la resta se sustituye por una adición en una aritmética modular.

La enseñanza de la resta las escuelas

Los métodos utilizados para enseñar la resta para la escuela primaria varían de país en país, y dentro de un país, están de moda diferentes métodos en diferentes momentos.

Algunas escuelas europeas emplean un método de sustracción llamado método austriaco, también conocido como el método de adiciones. En este método, no hay préstamo. En cambio, si existen muletas (marcas para ayudar a la memoria), que varían de acuerdo al país.1 2

Este método separa la sustracción como un proceso de sustracciones de un dígito por valor de posición. A partir de un dígito menos significativo, una sustracción de sustraendo:

sj sj−1 ... s1

desde el minuendo

mk mk−1 ... m1,

donde cada si y mi es un dígito, procediendo a escribir abajo m1 − s1, m2 − s2, y así sucesivamente, siempre y cuando si no exceda mi. En caso contrario, mi se incrementa en 10 y algunos otros dígitos se modifica para corregir de este aumento. El método americano lo corrige intentando disminuir el dígito minuendo mi+1 por uno (o continuar el préstamo hacia la izquierda hasta que no sea un dígito distinto de cero desde el que presta). El método europeo corrige incrementado el dígito sustraendo si+1 por uno.

Ejemplo: 704 − 512.

El minuendo es 704, el sustraendo es 512. Los dígitos del minuendo son m3 = 7, m2

= 0 y m1 = 4. Los dígitos sustraendo son s3 = 5, s2 = 1 y s1 = 2. Comenzando en el lugar de las unidades, 4 es no menos de 2 por lo que se escribe 2 la diferencia en el lugar del resultado. En el lugar de las decenas, 0 es menor que 1, por lo que el 0 se incrementa en 10, y la diferencia con 1, que es 9, se escribe en lugar de las decenas. El método americano corrige el aumento de diez reduciendo el dígito en el lugar de la centena del minuendo en uno. Es decir, el 7 está tachado y se sustituye por un 6. Entonces, la resta procede en el lugar de las centenas, donde 6 no es inferior a 5, lo que la diferencia se reduce en el lugar del resultado de cien. Ahora hemos terminado, el resultado es 192.

El método austriaco no reduce la 7 a 6. Más bien aumenta el dígito de las centenas del sustraendo en uno. Se hace una pequeña marca cerca o por debajo de esta cifra (dependiendo de la escuela). A continuación, la restas procede por preguntar qué número cuando aumenta en 1, y 5, se añade a la misma, hace 7. La respuesta es 1, y se anota el resultado en el lugar de las centenas.

Hay una sutileza adicional en que el estudiante siempre emplea una tabla de sustracción mental en el método americano. Muchas veces, el método austriaco alienta al estudiante a usar mentalmente la tabla de sumar a la inversa. En el ejemplo anterior, en lugar de la adición de 1 a 5, consiguiendo 6, y resta este desde el 7, el estudiante se le pide que considere qué número, cuando aumenta en 1, y 5, se añade al mismo, haciendo 7.

Multiplicación

La multiplicación es una operación matemática que consiste en sumar un número tantas veces

como indica otro número. Así, 4×3  (léase «cuatro multiplicado por tres» o, simplemente,

«cuatro por tres») es igual a sumar tres veces el valor 4 por sí mismo (4+4+4). Es una

operación diferente de la suma, pero equivalente; no es igual a una suma reiterada, sólo son

equivalentes porque permiten alcanzar el mismo resultado. La multiplicación está asociada al

concepto de área geométrica.

La potenciación es un caso particular de la multiplicación donde el exponente indica las veces

que debe multiplicarse un número por sí mismo.

El resultado de la multiplicación de varios números se llama producto. Los números que se

multiplican se llaman factores o coeficientes, e individualmente: multiplicando (número a

sumar o número que se está multiplicando) y multiplicador (veces que se suma el

multiplicando). Aunque esta diferenciación en algunos contextos puede ser superflua cuando

en el conjunto donde esté definido el producto se tiene la propiedad conmutativa de la

multiplicación (por ejemplo, en los conjuntos numéricos), pero puede ser útil cuando se ocupa

para referirse al multiplicador de una expresión algebraica (ejemplo: en «a2b + a2b + a2b» ó

«3a2b», 3 es el multiplicador o coeficiente, mientras que el monomio «a2b» es el multiplicando).

En álgebra moderna se suele usar la denominación «cociente» o «multiplicación» con su

notación habitual «·» para designar la operación externa en un módulo, para designar también

la segunda operación que se define en un anillo (aquella para la que no está definido

el elemento inverso del 0), o para designar la operación que dota a un conjunto de estructura

de grupo. La operación inversa de la multiplicación es la división.

Propiedad conmutativa: 3×4 = 12 = 4×3 doce elementos pueden ser ordenados en tres filas de cuatro, o cuatro columnas de tres.

Notación La multiplicación se indica con un aspa (×) o el punto medio (·). En ausencia de estos

caracteres se suele emplear el asterisco (*), sobre todo en computación (este uso tiene su

origen en FORTRAN), pero está desaconsejado en otros ámbitos y sólo debe utilizarse cuando

no hay otra alternativa. A veces se utiliza la letra equis (x), pero esto es desaconsejable porque

crea una confusión innecesaria con la letra que normalmente se asigna a una incógnita en

una ecuación. Por último, se puede omitir el signo de multiplicación a menos que se

multipliquen números o se pueda generar confusión sobre los nombres de las incógnitas,

constantes o funciones (por ejemplo, cuando el nombre de alguna incógnita tiene más de una

letra y podría confundirse con el producto de otras dos). También suelen utilizarse signos de

agrupación como paréntesis (), corchetes [] o llaves { }. Esto mayormente se utiliza para

multiplicar números negativos entre sí o por números positivos.

Si los factores no se escriben de forma individual pero pertenecen a una lista de elementos con

cierta regularidad se puede escribir el producto mediante una elipsis, es decir, escribir

explícitamente los primeros términos y los últimos, (o en caso de un producto de infinitos

términos sólo los primeros), y sustituir los demás por unos puntos suspensivos. Esto es

análogo a lo que se hace con otras operaciones aplicadas a infinitos números (como las sumas).

Así, el producto de todos los números naturales desde el 1 hasta el 100 se puede escribir:

Mientras que el producto de los números pares del entre 1 y 100 se escribiría:

.

Esto también se puede denotar escribiendo los puntos suspensivos en la parte media

de la línea de texto:

En cualquier caso, deben estar claros cuáles son los términos omitidos.

Por último, se puede denotar el producto mediante el símbolo productorio, que

proviene de la letra griega  (PiΠ  mayúscula).

Esto se define así:

El subíndice   indica una variable que recorre los números enteros desde un

valor mínimo ( , indicado en el subíndice) y un valor máximo ( , indicado

en el superíndice).

Definición

La multiplicación de dos números enteros n y m se expresa como:

Ésta no es más que una forma de simbolizar la expresión «sumar m a sí mismo n veces».

Puede facilitar la comprensión al expandir la expresión anterior:

m·n = m + m + m +...+ m

tal que hay n sumandos. Así, por ejemplo:

5×2 = 5 + 5 = 10

2×5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

4×3 = 4 + 4 + 4 = 12

m·6 = m + m + m + m + m + m = 6m

m·5 = m + m + m + m + m = 5m

El producto de infinitos términos se define como el límite del producto de

los n primeros términos cuando n crece indefinidamente.

Definición recursivaUna definición recursiva de la multiplicación puede darse según estas reglas:

x·0 = 0

x·y = x + x·(y-1)

Donde x es una cantidad arbitraria e y es un número natural. Una vez el

producto está definido para los números naturales, se puede extender a

conjuntos más grandes, como ya se ha indicado anteriormente.

Propiedades

Para los números naturales, enteros, fracciones y números reales y complejos, la

multiplicación tiene ciertas propiedades:

Propiedad clausuraría

La multiplicación de dos o más números naturales nos dá como resultado otro número natural

ejemplo: 33*2=66

Propiedad conmutativa

El orden de los factores no altera el producto.

Propiedad asociativa

Únicamente expresiones de multiplicación o adición son invariantes con respecto al

orden de las operaciones.

Propiedad distributiva

El total de la suma de dos números multiplicado por un tercer número es igual a la

suma de los productos entre el tercer número y cada sumando.

Elemento identidad (neutro)

La identidad multiplicativa es 1; el producto de todo número multiplicado por 1 es sí

mismo. Esto se conoce como la propiedad de identidad.

Elemento cero (absorbente)

Cualquier número multiplicado por cero da como producto cero. Esto se conoce como

la propiedad cero de la multiplicación.

Negación

Menos uno multiplicado por cualquier número es igual al opuesto de ese número.

Menos uno multiplicado por menos uno es uno.

El producto de números naturales no incluye números negativos.

Elemento inverso

Todo número x, excepto cero, tiene un inverso multiplicativo,  , tal

que  .

Producto de números negativos

El producto de números negativos también requiere reflexionar un poco. Primero, considérese

el número -1. Para cualquier entero positivo m:

(-1)m = (-1) + (-1) +...+ (-1) = -m

Éste es un resultado interesante que muestra que cualquier número negativo no es más

que un número positivo multiplicado por -1. Así que la multiplicación de enteros

cualesquiera se puede representar por la multiplicación de enteros positivos y factores -1.

Lo único que queda por definir es el producto de (-1)(-1):

(-1)(-1) = -(-1) = 1

De esta forma, se define la multiplicación de dos enteros. Las definiciones pueden

extenderse a conjuntos cada vez mayores de números: primero el conjunto de

las fracciones números racionales, después a todos los números reales y finalmente a

los números complejos y otras extensiones de los números reales.

es.wikipedia.org/wiki/Multiplicación

Tabla de multiplicar

Ejemplos

SUMA

1. La suma o adición es una operación básica por su naturalidad, que se representa con el signo "+", el cual se combina con facilidad matemática de composición en la que consiste en combinar o añadir dos números o más para obtener una cantidad final o total. La suma también ilustra el proceso de juntar dos colecciones de objetos con el fin de obtener una sola colección. Por otro lado, la acción repetitiva de sumar uno es la forma más básica de contar.

2. En términos científicos, la suma es una operación aritmética definida sobre conjuntos

de números (naturales, enteros, racionales, reales y complejos), y también sobre

estructuras asociadas a ellos, como espacios vectoriales con vectores cuyas

componentes sean estos números o funciones que tengan su imagen en ellos.

3. En el álgebra moderna se utiliza el nombre suma y su símbolo "+" para representar

la operación formal de un anillo que dota al anillo de estructura de grupo, o la

operación de un módulo que dota al módulo de estructura de grupo abeliano. También

se utiliza a veces en teoría de grupos para representar la operación que dota a un

conjunto de estructura de grupo. En estos casos se trata de una denominación

puramente simbólica, sin que necesariamente coincida esta operación con la suma

habitual en números, funciones, vectores, etc.

PROPIEDADES DE LA SUMA

Propiedad conmutativa: si el orden de los sumandos cambia no altera el

resultado: a+b=b+a.

Propiedad asociativa: Propiedad que establece que cuando se suma tres o más números, la

suma siempre es la misma independientemente de su agrupamiento.2 Un ejemplo es: a+

(b+c) = (a+b)+c.

Elemento neutro: Es 0 porque todo número sumado por el 0 da el mismo sumando.

Ejemplo: *a + 0 = a *0 + 3 = 3 *7 + 0 = 7

Elemento opuesto: Es la misma cifra solo cambia el signo. Ejemplo: a + (-a)= 0 7 + (-7)=0

Propiedad distributiva: La suma de dos números multiplicada por un tercer número es

igual a la suma del producto de cada sumando multiplicado por el tercer número. Por

ejemplo, (6+3) * 4 = 6*4 + 3*4.

Propiedad de cerradura:Cuando se suman números naturales el resultado es siempre un

número natural. Por ejemplo a+b=c.

Estas propiedades pueden no cumplirse en casos del límite de sumas parciales cuando tienden

al infinito.

TABLA DE SUMAR

Tabla del 11 + 0 = 11 + 1 = 21 + 2 = 31 + 3 = 41 + 4 = 51 + 5 = 61 + 6 = 71 + 7 = 81 + 8 = 91 + 9 = 101 + 10 = 111 + 11 = 121 + 12 = 13

Tabla del 22 + 0 = 22 + 1 = 32 + 2 = 42 + 3 = 52 + 4 = 62 + 5 = 72 + 6 = 82 + 7 = 92 + 8 = 102 + 9 = 112 + 10 = 122 + 11 = 132 + 12 = 14

Tabla del 33 + 0 = 33 + 1 = 43 + 2 = 53 + 3 = 63 + 4 = 73 + 5 = 83 + 6 = 93 + 7 = 103 + 8 = 113 + 9 = 123 + 10 = 133 + 11 = 143 + 12 = 15

Tabla del 44 + 0 = 44 + 1 = 54 + 2 = 64 + 3 = 74 + 4 = 84 + 5 = 94 + 6 = 104 + 7 = 114 + 8 = 124 + 9 = 134 + 10 = 144 + 11 = 154 + 12 = 16

Tabla del 55 + 0 = 55 + 1 = 65 + 2 = 75 + 3 = 85 + 4 = 95 + 5 = 105 + 6 = 115 + 7 = 125 + 8 = 135 + 9 = 145 + 10 = 155 + 11 = 165 + 12 = 17

Tabla del 66 + 0 = 66 + 1 = 76 + 2 = 86 + 3 = 96 + 4 = 106 + 5 = 116 + 6 = 126 + 7 = 136 + 8 = 146 + 9 = 156 + 10 = 166 + 11 = 176 + 12 = 18

Tabla del 77 + 0 = 77 + 1 = 87 + 2 = 97 + 3 = 107 + 4 = 117 + 5 = 127 + 6 = 137 + 7 = 147 + 8 = 157 + 9 = 167 + 10 = 177 + 11 = 187 + 12 = 19

Tabla del 88 + 0 = 88 + 1 = 98 + 2 = 108 + 3 = 118 + 4 = 128 + 5 = 138 + 6 = 148 + 7 = 158 + 8 = 168 + 9 = 178 + 10 = 188 + 11 = 198 + 12 = 20

Tabla del 99 + 0 = 99 + 1 = 109 + 2 = 119 + 3 = 129 + 4 = 139 + 5 = 149 + 6 = 159 + 7 = 169 + 8 = 179 + 9 = 189 + 10 = 199 + 11 = 209 + 12 = 21

Tabla del 1010 + 0 = 1010 + 1 = 1110 + 2 = 1210 + 3 = 1310 + 4 = 1410 + 5 = 1510 + 6 = 1610 + 7 = 1710 + 8 = 1810 + 9 = 1910 + 10 = 2010 + 11 = 2110 + 12 = 22

FORMAS DE REALIZAR UNA SUMA

El procedimiento estándar para efectuar sumas de varios números, llamados "sumandos", es el

siguiente:

1. Los sumandos se colocan en filas sucesivas ordenando las cifras en columnas,

empezando por la derecha con la cifra de las unidades (U), a la izquierda las decenas

(D), la siguiente las centenas(C), la siguiente los millares (M), etc.

La suma de los números 750 + 1583 + 69 se ordenarían de la siguiente forma:

2. Se suman en primer lugar las cifras de la columna de las unidades según las tablas

elementales, colocando en el resultado la cifra de unidades que resulte; cuando estas

unidades sean más de 10 las decenas se acumulan como un sumando más en la fila

de acarreo.

En este caso 3 más 9 son 12, el 2 del 12 se pone en la parte inferior y el 1 se pasa como

acarreo en la columna siguiente.

3. En la columna de las decenas, procediendo entonces a la suma de esa columna como si

fueran unidades.

Sumamos el 1 del acarreo más 5, 8 y 6 que dan un total de 20, el 0 de 20 se pone en la

parte inferior como resultado y el 2 se pasa como acarreo a la columna siguiente.

División

En matemática, la división es una operación aritmética de descomposición que consiste en

averiguar cuántas veces un número (divisor) está contenido en otro número (dividendo). El

resultado de una división recibe el nombre de cociente. De manera general puede decirse que

la división es la operación inversa de la multiplicación.

Debe distinguirse la división «exacta» (sujeto principal de este artículo) de la «división con

resto» o residuo (la división Euclides). A diferencia de la suma, la resta o la multiplicación, la

división entre números enteros no está siempre definida; en efecto: 4 dividido 2 es igual a 2

(un número entero), pero 2 entre 4 es igual a 1/2 (un medio), que ya no es un número entero.

La definición formal de «división», «divisibilidad» y «conmensurabilidad», dependerá luego del

conjunto de definición.

Notación

En álgebra y ciencias, la división se denota generalmente a modo de fracción, con el dividendo

escrito sobre el divisor. Por ejemplo   se lee: tres dividido cuatro. También puede emplearse

una barra oblicua:  ; este es el modo más corriente en los lenguajes de programación por

computadora, puesto que puede ser fácilmente inscrito como secuencia simple del

código ASCII.

Otro modo indicar una división es por medio del símbolo óbelo ( ) (también llamado "signo

de la división"). Este símbolo también se usa para representar la operación de división en sí,

como es de uso frecuente en las calculadoras. Otras variantes son los dos puntos (:) o el punto

y coma (;).

Propiedades

La división no es propiamente dicho una "operación" (es decir, una ley de composición

interna definida por todas partes), sus «propiedades» no tienen implicaciones estructurales

sobre el conjunto de números, y deben ser comprendidas dentro del contexto de los números

fraccionarios.

no-conmutativa, contraejemplo:  ;

no-asociativa, contraejemplo:  ;

pseudo-elemento neutro a la derecha: 1

;

pseudo-elemento absorbente a la izquierda: 0

;

fracciones equivalentes:

.

Algoritmos para la división

Ejemplo de una división.

Hasta el siglo XVI fue muy común el algoritmo de la división por galera, muy similar a la

división larga y al postre (sustituido por ésta como método predilecto de división). El proceso

usual de división (división larga) suele representarse bajo el diagrama:

También se usa un diagrama equivalente con la línea debajo del dividendo

Y también se usa otro diagrama equivalente

Otro método consiste en la utilización de una «tabla elemental», similar a las tablas de

multiplicar, con los resultados preestablecidos.

División de númerosDivisión de números enteros

La división no es una operación cerrada, lo cual quiere decir que, en general, el resultado de

dividir dos números enteros no será otro número entero, a menos que el dividendo sea

un múltiplo entero del divisor.

Existen criterios de divisibilidad para números enteros (por ejemplo, todo número terminado

en 0,2,4,6 u 8 será divisible entre 2), utilizados particularmente para descomponer los enteros

en factores primos, lo que se usa en cálculos como el mínimo común múltiplo o el máximo

común divisor.

División de números racionales

En los racionales, el resultado de dividir dos fracciones es otra fracción (siempre y cuando el

divisor no sea 0). Se puede definir de la manera siguiente: dados p/q y r/s,

Esta definición demuestra que la división funciona como la operación inversa de la

multiplicación.

División de números reales

El resultado de dividir dos números reales es otro número real (siempre y cuando el

divisor no sea 0). Se define como a/b = c si y solo si a = cb y b ≠ 0.

División entre cero

Artículo principal: División por cero

La división de cualquier número entre cero es una «indefinición». Esto resulta del hecho

que cero multiplicado por cualquier cantidad finita es otra vez cero, es decir que el cero no

posee un inverso multiplicativo.

División de números complejos

El resultado de dividir dos números complejos es otro número complejo (siempre y

cuando el divisor no sea 0). Se define como

En donde r y s ≠ 0.

En forma polar:

es.wikipedia.org/wiki/División_(matemática)