enseñanza de la matematica

Volumen 12 al 16 Nmero Extraordinario

Enseanza de la Matemtica

Asociacin Venezolana de Educacin Matemtica

Diciembre 2007

Enseanza de la Matemtica; Volmenes 12 al 16, Nmero Extraordinario, Diciembre 2007

Enseanza de la Matemtica Editor Fredy Gonzlez Comisin Editorial: Junta Directiva Nacional de ASOVEMAT (2007-2010) Martha Iglesias Fredy Gonzlez Jos Ortiz Sandra Castillo Carmen Valdiv

La Revista Enseanza de la Matemtica es la revista oficial de la Asociacin Venezolana de Educacin Matemtica (ASOVEMAT). Esta revista es publicada semestralmente en los meses de Mayo y Noviembre respectivamente. Uno de sus fines es abrir un espacio de intercambio entre profesores de aula, investigadores, formadores de docentes y estudiantes de pregrado y de postgrado. Enseanza de la Matemtica es una revista dedicada a la divulgacin de trabajos de investigacin y desarrollo en el campo de la educacin matemtica. Para publicacin se considerarn:

Investigaciones empricas Investigaciones tericas Revisiones de la literatura en reas

especficas de investigacin Ensayos Resea de libros Experiencias de aula y Propuestas didcticas Cualquier otro tipo de contribuciones sern

sometidas a la consideracin del editor y de la Comisin Editorial.

Los artculos deben tener una extensin no mayor de 20 pginas a doble espacio en hoja tamao carta letra Times New Roman tamao12. Todo el documento debe ser a doble

espacio, no coloque espacio extra entre los prrafos. Las normas para las citas y referencias aceptadas por esta revista son las de la American Association of Psychology (APA). Las contribuciones deben ser enviadas en tres copias en papel. La primera pgina debe contener el nombre de los autores, su afiliacin profesional, as como su direccin completa. La segunda pgina debe contener un resumen de una extensin mxima de cien palabras1 Las copias del trabajo deben ser enviadas en papel tamao carta e impresas por una sola cara. Adems, debe venir acompaada de una versin electrnica elaborada preferiblemente en Word for Windows.

El proceso de revisin de los trabajos enviados est estimado en unos tres meses. Es decir, en un lapso no menor de tres meses, una vez recibida la contribucin, estimamos razonable para enviar una respuesta sobre el estatus de la misma a sus autores.

Est permitida la reproduccin parcial o total de los artculos publicados en la revista para fines acadmicos. Solicitamos que nos notifiquen si realizan una reproduccin total de un artculo y que se indique la fuente.

Las opiniones expresadas por los (as) autores(as) en sus contribuciones son de su nica responsabilidad. Estas no representan la opinin de la ASOVEMAT.

Enve sus contribuciones para la Revista Enseanza de la Matemtica (Tercera Etapa) a: Para trabajos de investigacin [email protected] Para trabajos de reflexion y divulgacin fundamentada (experiencias de clases, etc.) [email protected] Para reseas de tesis [email protected]

1 En esta edicin extraordinaria, de manera excepcional, se han permitido resmenes ms extensos.

Enseanza de la Matemtica Volmenes 12 al 16, Nmero Extraordinario, Diciembre 2007

Contenidos pp Editorial 2

Artculos

Ensear Matemtica a los No Matemticos: Propuesta Didctica para el Aprendizaje Significativo de la Matemtica en Bioanlisis basada en la contextualizacin de los contenidos Mara Victoria Moroo; Maide Rodrguez (Universidad de Carabobo) .

3

Un Recorrido de lo Certero a lo Probable por los Caminos de la Ciencia y de Nuestra Accin Ciudadana Nelly Amatista Len Gmez, UPEL, Instituto Pedaggico de Maturn..

19

Algunas Configuraciones Epistmicas de la Integral en una Variable Real Desde su Origen hasta su Consolidacin Luis Capace IUT La Victoria (Venezuela) Mario Arrieche (UPEL Maracay, Venezuela) .

35

Las Actitudes Hacia la Estadstica en los Futuros Docentes Julia Elena Sanoja (UPEL-Maracay) Oscar Alberto Ramrez (UNESR-Maracay) .

53

Principios Didcticos a Seguir en el Proceso de Enseanza y Aprendizaje de la Geometra en la UPEL El Mcaro Roco Bez (UPEL EL Mcaro) Martha Iglesias (UPEL Maracay) .....

67

Sistemas de Clculo Simblico y Resolucin de Problemas en la Formacin Inicial de Docentes de Matemtica. Zoraida Paredes (UPEL Maracay) Martha Iglesias Inojosa (UPEL Maracay) Jos Ortiz Buitrago (UC Ncleo Aragua) ..

89

Los Formadores en Bsqueda de la Realidad Social del Futuro Docente de Matemticas Rosa Becerra Hernndez (UPEL IPC) ..

109

Modelizacin Matemtica en la Formacin de Ingenieros. La Importancia del Contexto Arnaldo Mendible (UNEFA); Jos Ortiz (UC NA)

133

Enseanza de la Matemtica, Vols. 12 al 16; N Extraordinario; 2003 2007 2

Editorial

Nos sentimos complacidos por poner a su entera disposicin este nmero extraordinario de Enseanza de la Matemtica - revista oficial de la Asociacin Venezolana de Educacin Matemtica (ASOVEMAT) - correspondiente a los volmenes 12 - 16, aos 2003 2007. Con este nmero cerramos la segunda etapa de la revista; etapa que se inici bajo la direccin del Prof. Julio Mosquera con la publicacin del volumen 7, nmero 1, Julio 1998 y que tambin cont con la direccin de los Profesores Yolanda Serres y Walter Beyer. Adems, de esta manera, le estamos dando continuidad al trabajo iniciado, en el ao 1992, por las Profesoras Iraida de Aguilera y Nelly Len, quienes fueron las responsables de la direccin de la revista durante su primera etapa. Por ello consideramos que esta ocasin es propicia para agradecer el apoyo brindado por la comunidad iberoamericana de educadores matemticos en cuanto a la publicacin de reportes de investigacin, resea de libros, experiencias de aula y propuestas didcticas; asimismo, es importante reconocer a aquellas instituciones que contribuyeron al diseo, impresin y distribucin de la revista, destacando - en los ltimos aos el apoyo brindado por el Centro Nacional para el Mejoramiento de la Enseanza de la Ciencia (CENAMEC) y Casio Acadmico de Venezuela.

Este nmero extraordinario ha estado bajo la responsabilidad de los integrantes de la actual Junta Directiva de la ASOVEMAT, quienes a partir de la revisin de las ponencias in extenso publicadas en las Memorias del VI Congreso Venezolano de Educacin Matemtica (VI COVEM) decidimos invitar a un grupo de ponentes a preparar un artculo de 15 a 20 pginas para ser sometido a consideracin de la comisin editorial. Cabe destacar que las ponencias fueron seleccionadas en funcin a los resultados del arbitraje realizado en su

oportunidad - por los evaluadores designados por el Comit Acadmico del VI COVEM. Los artculos recibidos fueron revisados por la comisin editorial, atendiendo a ciertos criterios de evaluacin previamente establecidos.

En este nmero extraordinario, se presentan artculos relacionados con diversas reas temticas de sumo inters para la comunidad de educadores matemticos y que guardan relacin con formacin docente, educacin estadstica, pensamiento geomtrico y didctica de la geometra, pensamiento numrico y algebraico, uso de software de clculo simblico y geometra dinmica, modelizacin matemtica, entre otros. Adems, los mismos constituyen una muestra sobre lo que se investiga y se ha venido investigando en nuestro pas en el campo de la Educacin Matemtica, aunque estamos conscientes que mucho de lo que se est haciendo no ha sido debidamente divulgado.

Por ello, con el cierre de esta segunda etapa de nuestra revista, tambin le estamos dando la bienvenida a una nueva etapa: Enseanza de la Matemtica, a partir del volumen 17, nmero 1, correspondiente al ao 2008, estar a cargo de la Dra. Sabrina Garbin, quien contar con el apoyo de destacados educadores matemticos venezolanos, entre quienes destacan los colegas Martn Andonegu, Blanca Quevedo, Fredy Gonzlez y Jos Ortiz. Es oportuno manifestar la confianza que tenemos depositada en el Comit Editorial que asumir la gestin acadmica y tcnica de nuestra revista a partir del ao 2008. Slo nos queda desearle el mayor de los xitos y nuestro apoyo desde la ASOVEMAT. Martha Iglesias Inojosa Presidenta Junta Directiva Nacional ASOVEMAT

Enseanza de la Matemtica; Volmenes 12 al 16, Nmero Extraordinario, Diciembre 2007; pp 3-18

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ENSEAR MATEMTICA A LOS NO MATEMTICOS

Propuesta Didctica para el Aprendizaje Significativo de la Matemtica en Bioanlisis basada en la contextualizacin de los contenidos

Mara Victoria Moroo; Maide Rodrguez, Universidad de Carabobo

RESUMEN El propsito principal del presente estudio consisti en disear una propuesta didctica dirigida a los docentes de Matemtica en carreras vinculadas con el rea de Ciencias de la Salud, especficamente Bioanlisis, sustentada en la contextualizacin como elemento facilitador de aprendizajes significativos. El diseo utilizado correspondi a la modalidad de proyecto factible. El estudio se desarroll en tres fases las cuales sirvieron para diagnosticar la necesidad de disear la propuesta, analizar su factibilidad y finalmente elaborarla. Se aplic un instrumento a la totalidad de los profesores que dictan la asignatura en las escuelas de Bioanlisis de la Universidad de Carabobo (cinco sujetos) y los resultados indicaron que un porcentaje alto (80%) de los docentes consultados privilegian: la abstraccin y el formalismo matemtico, los conceptos matemticos elaborados y los ejercicios de repeticin. No incluyen en sus clases elementos contextuales significativos para el estudiante. Se examinaron un total de cinco textos de matemtica y un texto de matemtica para biocientficos y se encontr que mayoritariamente no presentan los conceptos, ejemplos y ejercicios vinculados a fenmenos o situaciones relacionadas con la salud. Las implicaciones de estos resultados para la prctica pedaggica de los profesores de Matemtica que forman profesionales en reas no vinculadas directamente con esta asignatura sugieren la necesidad de evolucionar desde modelos didcticos tradicionales a formas innovadoras de enseanza que incorporen elementos contextuales extrados de la realidad sociocultural de sus estudiantes que les sirvan a stos a aprender significativamente. Palabras Clave: aprendizaje matemtico significativo, enseanza contextualizada, educacin matemtica, Bioanlisis.

INTRODUCCION

Tradicionalmente el aprendizaje de la Matemtica se vincula con procesos intelectuales altamente complejos y en muchos casos inaccesibles para la mayora de los estudiantes; ms an cuando se estudia esta asignatura en carreras universitarias o tcnicas que forman profesionales en reas no vinculadas directamente con ella, como es el caso del Bioanlisis. En tales carreras, sus estudiantes

(que no sern matemticos profesionales) perciben los contenidos matemticos sin utilidad prctica y sin sentido para su vida cotidiana y futuro desempeo profesional.

Coincidiendo con el planteamiento anterior, algunos autores indican que una de las principales deficiencias del proceso educativo de la Matemtica en estas carreras es la falta de claridad por parte del estudiante, en cuanto al papel y relevancia que tiene sta en su carrera, su valor instrumental y formativo, su baja

Mara Victoria Moroo; Maide Rodrguez

Enseanza de la Matemtica, Vols. 12 al 16; N Extraordinario; 2003 2007, pp 3-18 4

articulacin con el ciclo profesional y en general la poca o ninguna conexin que le encuentran los estudiantes, con las situaciones y problemas cotidianos (Lecich y Esteibar, 2004; Azcrate citado por Mora, Rivera, Reverand, Beyer, Serrano, Brito y Torres, 2004).

Enmarcado en este contexto, se encuentra el presente estudio que considera el caso particular del bionalista cuya formacin profesional implica la necesaria inclusin de asignaturas como la Matemtica, cuyas conexiones y/o vinculaciones con la carrera no son claramente explicitables por el docente y menos an percibidos por el estudiante.

Vale agregar a lo expuesto hasta ahora, que esta situacin podra estar vinculada a las formas de ensear la Matemtica no slo en esta carrera, sino que de manera general en otros escenarios de formacin profesional, persiste un modelo de enseanza que no atiende a la necesidad de vincular esta asignatura con situaciones reales, prximas al estudiante. En este sentido, algunos estudios realizados plantean que existe un predominio de la enseanza bajo un esquema repetitivo, memorstico y descontextualizado con la realidad sociocultural del estudiante. Tal como lo plantea Gonzlez (1997), cuando seala que el paradigma tradicional para ensear Matemtica se basa en la transmisin de conocimientos ya elaborados; el cual tiene como deficiencias, que se hace una presentacin reduccionista del conocimiento matemtico sin tomar en cuenta los aspectos histrico-sociales asociados al contenido y las preconcepciones de los alumnos.

Otros autores comparten el planteamiento anterior en cuanto a las dificultades que acarrea una enseanza desvinculada con la realidad. Lange (citado por Mora et al., 2004) plantea que un defecto del enfoque actual de la enseanza de la Matemtica es que frecuentemente los contenidos matemticos no se presentan relacionados con el mundo real, lo que segn Alvarado (1989) podra resumirse como la tendencia a descontextualizar los conocimientos y a hacerles perder su valor formativo. Este autor seala que el estudiante se limita a aprender un cmulo de hechos sin perspectiva, lo cual muchas veces se reduce al estudio de una serie de frmulas y recetas algortmicas de carcter procedimental que desestiman la temporalidad y espacialidad de la ciencia; el por qu se estudia un determinado contenido y cul es su contexto histrico de origen.

Las consideraciones anteriores hizo posible que las autoras reflexionaran acerca de la enseanza de la Matemtica en contextos significativos, sustentada en un enfoque didctico constructivista que privilegie la significatividad lgica y psicolgica de lo que se aprende, y de este modo se formularon las siguientes interrogantes: Es necesaria una metodologa de enseanza de la Matemtica basada en elementos contextualizadores? Es posible recrear espacios de discernimiento en los cuales los conceptos sean presentados al alumno contextualizados a su propia realidad, intereses y/o motivaciones intrnsecas?, Qu situaciones o fenmenos biolgicos pueden ser matemticamente adaptados a los contenidos que se dictan en la asignatura?, Cules

Ensear Matemtica a los No Matemticos


elementos deben ser considerados para la elaboracin de una propuesta que tome en cuenta la contextualizacin de los contenidos matemticos en reas de inters para los estudiantes de Bioanlisis?.

La experiencia docente de quienes participaron en esta investigacin fue propicia para dar respuesta a las interrogantes anteriores, intentando aportar una solucin al desempeo deficitario de los estudiantes de carreras no especficamente matemticas, como es el caso de Bioanlisis, es por ello que se plante como propsito general: disear una propuesta didctica dirigida a los docentes de Matemtica en carreras vinculadas con el rea de Ciencias de la Salud, especficamente Bioanlisis, sustentada en la contextualizacin como elemento facilitador de aprendizajes significativos.

El desarrollo de la investigacin y fundamentalmente la elaboracin de la propuesta supuso la necesidad de tomar como referentes tericos algunas nociones y aportes provenientes de los siguientes enfoques educativos:

- Teora del Aprendizaje Significativo: se considera que el aprendizaje humano puede ser significativo cuando el individuo es capaz de relacionar sustancialmente la nueva informacin con conocimientos previamente adquiridos, lo aprendido entonces tendr sentido para l, por el contrario puede ser memorstico o repetitivo si el alumno no puede vincular lo nuevo con lo ya existente en su estructura cognoscitiva, en este caso la informacin nueva ser incorporada mecnicamente a sta de forma arbitraria y mecnica (Ausubel, Novak y Hanesian

,1983; Ausubel y Sullivan, 1983; De Zubira, 1994). Algunos investigadores del aprendizaje significativo (De Posada y Gadanidis citados por Rioseco y Romero, 1997) plantean que esta forma de aprendizaje podra facilitarse si los contenidos son presentados en conexin con la realidad prxima del estudiante, lo que conlleva la posibilidad de que ste la identifique como propia y sienta deseos de apropiarse de ella.

- Perspectiva Socio-Cultural y el Paradigma de la Cognicin Situada: se ha tenido en cuenta que aprender Matemtica es hacer Matemtica. Esto quiere decir que la actividad matemtica no puede ser reducida a un conjunto de algoritmos, reglas y frmulas vacas de significado, por el contrario, aprender Matemtica, lleva consigo una necesidad implcita de encontrar significado y aplicacin a los conceptos matemticos, esto le plantea al docente la necesidad de situar la informacin dentro de un significado compartido, por medio de la recreacin de situaciones tomadas del contexto sociocultural del estudiante, que incrementen su motivacin y disposicin al aprendizaje significativo. Del mismo modo al estudiante le corresponde echar mano de la situacin, para aprender del contexto sociocultural, ms all del simple conocimiento neutral, sin significado ni inters alguno (Brown, Collins y Duguid, 1989; Daz-Barriga, 2003).

- Matemtica contextualizada: la contextualizacin en los procesos de enseanza y aprendizaje de la Matemtica plantea la vinculacin de los objetos matemticos con situaciones extra matemticas o tomadas del mundo real



(DAmbrosio; Gerdes; Mora y Bishop citados en Mora, 1999). Algunos investigadores sealan que la didctica matemtica centrada en la utilizacin de tales contextos extra matemticos (matematizacin, modelacin matemtica basada en aplicaciones, Matemtica realista) despiertan en el estudiante el inters y la motivacin hacia su estudio y adems contribuyen a desarrollar la competencia matemtica (Ruiz, 2001; Lange citado por Mora et al., 2004; Informe Pisa, 2003). En este trabajo la contextualizacin tiene la finalidad de presentar al estudiante una visin ms humana, prxima y utilitaria de la Matemtica, en correspondencia con la realidad que los circunda y las necesidades que como estudiantes y ciudadanos tienen de la misma.

METODOLOGA

El presente estudio se inscribe en la modalidad de proyecto factible, y el mismo se llev a cabo por medio de una investigacin de campo y una documental. Sujetos participantes del Estudio

En este estudio se trabaj con dos grupos de sujetos: -Grupo 1. Conformado por la poblacin total de cinco profesores que dictaron la asignatura Matemtica en las Escuelas de Bioanlisis de la Universidad de Carabobo, Venezuela en los Estados Carabobo y Aragua, en el perodo 2006, sin incluir a las autoras del presente proyecto. -Grupo 2.

Poblacin: Conformada por los diecinueve profesores de la Escuela de Bioanlisis sede Carabobo, que dictaron en

el perodo 2005 o 2006, las siguientes asignaturas: Fsica, Qumica Analtica, Fisicoqumica, Anlisis Instrumental, Fisiologa, Citologa y Microbiologa General y Bacteriologa y Hematologa.

Muestra: Se trabaj con una muestra estratificada con afijacin simple, en la que los estratos son las distintas asignaturas de la poblacin (del grupo 2), y se seleccion un profesor de cada una de ellas, con la cual la muestra qued constituida por 8 profesores, que representan el 42% de la poblacin. En este estudio, la seleccin del profesor de cada asignatura no se hizo aleatoria, la misma fue intencional, considerando apropiado el que los profesores fuesen los coordinadores de la asignatura respectiva.

Fuentes de carcter documental

Fueron seleccionados seis libros de Matemtica: cinco de Clculo Diferencial e Integral, a nivel general, y uno dirigido a biocientficos. Respecto a las otras asignaturas consideradas en el estudio, se trabaj con diversas fuentes, entre las que se encuentran: libros, guas de clase elaboradas por profesores de la Escuela, informes de laboratorio de estudiantes y artculos hallados en Internet.

Descripcin de los Instrumentos

- Instrumento 1. Consisti en un cuestionario

estructurado, con una parte de 26 tems de seleccin simple con cuatro opciones (Siempre, casi siempre, algunas veces, nunca) y una columna de observaciones para cada tem (para el caso de que el docente quisiera agregar algn comentario y/o sugerencia) y otra parte, con tres tems de



seleccin simple con dos opciones y preguntas abiertas. Para su construccin se establecieron las siguientes dimensiones: (1) manera en que se presentan los conceptos matemticos; (2) ejemplos que el profesor utiliza en clases; (3) ejercicios que el profesor propone a los estudiantes; (4) cierre de los temas de Matemtica; (5) intercambio entre pares acadmicos y (6) posibilidad de incorporacin de elementos contextualizadores para ser utilizados en las clases de Matemtica.

- Instrumento 2 Es una ficha de registro que se utiliz para guiar la revisin de textos de Matemtica. All se incluyeron datos como: (a) forma como se presentan diferentes conceptos o temas matemticos correspondientes al programa de Matemtica de la Escuela de Bioanlisis (Sede Valencia), y (b) los fenmenos, situaciones y ejercicios de reas relacionadas con Bioanlisis.

- Instrumento 3 El instrumento 3, es una ficha que se

utiliz para registrar las situaciones o fenmenos biolgicos presentes en libros de otras reas del conocimiento relacionadas con Bioanlisis, que pudieran ser adaptados a los contenidos que se dictan en la asignatura Matemtica en la Escuela de Bioanlisis (Sede Valencia)

Validez y confiabilidad

En el cuestionario elaborado (Instrumento 1), se estableci su validez de contenido en forma externa, por medio del juicio de tres expertos. Los instrumentos 2 y 3 tambin fueron presentados a los expertos que evaluaron el instrumento 1, a fin de que los revisaran y corrigieran. La confiabilidad

del instrumento 1 se midi por test-retest, obtenindose un coeficiente de 0.95.

Procedimiento Metodolgico

Fase I. Diagnostico de la necesidad Para el diagnstico se consideraron

los elementos tericos que apoyan la contextualizacin y adems se llevaron a cabo las siguientes actividades: 1) Aplicacin de un cuestionario (Instrumento 1) a los profesores que dictaron la asignatura Matemtica en las escuelas de Bioanlisis de la Universidad de Carabobo, Venezuela en los estados Carabobo y Aragua, en el perodo 2006 (grupo 1). 2) Revisin de textos de Matemtica de nivel y contenido similar al que tiene la asignatura Matemtica en la carrera de Bioanlisis en la Universidad de Carabobo, para conocer de qu manera son presentados los contenidos matemticos y si en ellos se plantea la aplicabilidad de los conceptos matemticos en reas vinculadas con el Bioanlisis.

Fase II. Anlisis de la factibilidad Las autoras de este trabajo consideran

en principio, imprescindible, dado el alto ndice de fracaso que experimentan los estudiantes en el aprendizaje de la Matemtica, as como tambin por la tendencia que exhiben mayoritariamente los profesores de esta asignatura, de presentarla desvinculada de la realidad del estudiante (Lecich y Esteibar, 2004; Azcrate citado por Mora, et. al., 2004; Gonzlez, 1997; De Lange citado por Mora et al., 2004) que se produzca un replanteamiento de las formas tradicionales de enseanza hacia otras ms efectivas. Por ello se plante una propuesta didctica, que segn el anlisis realizado de los recursos humanos y materiales



necesarios para disearla, es factible de elaborar.

Fase III. Elaboracin de la propuesta. Se elabor la propuesta la cual

incluy: fundamentacin, justificacin, objetivos, estrategia propuesta, ejemplificacin y un banco de situaciones. Para elaborar el banco de situaciones se realizaron las siguientes actividades: revisin minuciosa de cinco ejemplares de textos de Clculo, uno de Matemtica dirigido a biocientficos, y textos de las asignaturas: Fsica, Fisicoqumica, Anlisis Instrumental, Fisiologa, Microbiologa General y Bacteriologa y Hematologa, a fin de ubicar en ellos relaciones entre los contenidos de Matemtica y reas de la salud o biolgicas.

RESULTADOS

A continuacin se presentan los resultados obtenidos:

Resultados de la Aplicacin del Instrumento 1 a los profesores de Matemtica de la Escuela de Bioanlisis, sedes Carabobo y Aragua

Dicho instrumento se aplic a fin de identificar algunos rasgos caracterizadores de la prctica docente de los profesores de Matemtica que imparten clases en las escuelas de Bioanlisis de la Universidad de Carabobo (Sedes Valencia y Aragua). A continuacin se presentan los resultados y discusiones asociados a las dimensiones de esta variable.

Segn la opinin de los profesores de Matemtica consultados, cuando ellos

presentan los conceptos matemticos hacen una introduccin (100%), dentro de la cual slo en escasas ocasiones incluyen elementos de aplicacin en el rea de la salud y en otras reas distintas de sta. Otro aspecto que un porcentaje importante (80%) de los consultados seal es que se le presenta el concepto matemtico ya elaborado al estudiante, haciendo uso principalmente de trminos exclusivamente matemticos, y en muy pocas ocasiones se parte de situaciones del rea de la salud o de la Biologa.

Con respecto a los ejemplos que el profesor utiliza en clases y a los ejercicios y problemas que proponen en clase o asignan para que sean trabajados fuera del aula, la mayora de los docentes consultados (80%) respondieron que siempre presentan ejemplos para ilustrar los conceptos matemticos, y no siempre se resuelven ejercicios y/o problemas en clase, sin embargo tanto para los ejemplos como para los ejercicios y/o problemas, el total de los profesores coincidieron en que slo algunas veces involucran situaciones o fenmenos biolgicos o de salud, notndose que algunos profesores utilizan ms ejemplos de otras reas de conocimiento no relacionadas con Bioanlisis como economa, ingeniera, etc.

Se observa adems que el 40% de los consultados reconoci que pocas veces propone ejercicios y/o problemas para que los estudiantes resuelvan fuera de clases, y tambin en muy raras ocasiones o nunca tales ejercicios y/o problemas estn relacionados con reas de conocimiento afines a la carrera de Bioanlisis como Biologa, Fsica, Qumica, Fisiologa entre otras.



Relacionado al cierre de los temas en las clases de Matemtica, los docentes consultados opinaron mayoritariamente (60%) que siempre hacen un cierre del tema tratado en la clase, sin embargo muy raramente o nunca llevan a cabo esta actividad utilizando elementos de aplicacin en el rea de la salud. Por el contrario se observa una marcada tendencia (80% de los consultados) a cerrar los temas de la clase, con elementos predominantemente matemticos.

Otras preguntas que se hicieron a los docentes pretendan complementar la informacin dada por ellos con los otros tems, en relacin a la bsqueda y al uso de situaciones biolgicas o de salud en las clases de Matemtica. En stas se evidencia por una parte que el 60% de los consultados slo en algunas oportunidades considera la realidad sociocultural del estudiante, tanto para la planificacin de las actividades de enseanza y aprendizaje como para su utilizacin en la construccin de situaciones de aprendizaje. Es importante destacar que un porcentaje alto (80%) de los consultados sealan que slo en escasas ocasiones encuentran en los libros de texto u otros medios instruccionales, situaciones o fenmenos vinculados con el rea de la salud, que pudieran ser utilizados por ellos en sus clases.

Otros aspectos relacionados con la propuesta fueron consultados a los profesores, quienes opinaron en su totalidad que era necesario avanzar siguiendo una

orientacin constructivista y significativa del aprendizaje, que le aporte al estudiante la posibilidad de establecer relaciones entre la Matemtica y el rea de conocimiento de su futuro desarrollo profesional y as mismo consideran que las estrategias didcticas que privilegian la vinculacin de los contenidos matemticos y la realidad de los estudiantes, contribuyen a despertar su inters y motivacin por el estudio de la Matemtica. De igual manera manifestaron su disposicin a implementar estrategias didcticas que utilicen la contextualizacin de los contenidos matemticos, sin embargo plantearon la necesidad de recibir previamente algn entrenamiento u orientacin de naturaleza didctica para la ejecucin de la propuesta. Tambin sugieren llevar a cabo estudios comparativos (cualitativos y cuantitativos) que permitan evaluar la efectividad de tales estrategias. Resultados de la Revisin de textos de Clculo

Se revisaron cinco libros de Clculo Diferencial e Integral, y de ellos se seleccionaron 210 secciones correspondientes al contenido que se dicta en la asignatura Matemtica en la Escuela de Bioanlisis. En la tabla 1 se presenta el porcentaje de las secciones consultadas que en cada libro presentan ejemplos y ejercicios en el rea de la salud o Biologa, notndose que el porcentaje de secciones con estas caractersticas es inferior a 22 % en los libros revisados



Tabla 1. Secciones de los libros de Matemtica que presentan ejemplos y ejercicios en las

reas de la salud y/o Biologa.

Libro Secciones del libro

Consultadas

Nmero de secciones con ejemplos en el

rea de la salud o

biolgica

Porcentaje Nmero de secciones con ejercicios en el rea de la salud

o biolgica

Porcentaje

1 33 2 6.06 % 5 15.15 % 2 45 8 17,78 % 9 20 % 3 25 0 0 % 0 0 % 4 37 7 18.92 % 8 21.62 % 5 70 0 0 % 0 0 %

Fuente: datos de la presente investigacin

En la revisin de los libros se encontr que en apenas 8 de 210 (3.81%) secciones consultadas, se hace referencia a la relacin de los temas con reas vinculadas a la salud o a la Biologa. Tambin se analiz la manera en que en cada texto consultado se presentan los contenidos a los lectores, y se encontr que en la mayora de las secciones consultadas (75,71%) se presenta el contenido en forma abstracta, esto es en lenguaje matemtico o como una descripcin verbal sin que se presenten ejemplos, un 18.10% presenta el contenido a partir de un ejemplo matemtico, el cual en algunos casos es una funcin o grfica sin que se mencione su significado y en otros casos tiene un significado tal cmo rea o volumen pero en un problema matemtico, y en un porcentaje inferior, 6.19% (13 de 210 secciones consultadas) se utiliza una situacin con sentido para introducir el concepto

matemtico correspondiente, de estas secciones slo dos (2) tienen relacin con la salud o la Biologa, que constituyen un 0,95 % del total. Discusin de los resultados

De los resultados obtenidos con la aplicacin del instrumento 1, se aprecia que la mayora de los docentes consultados ensean la Matemtica desvinculada de la realidad socio-cultural del estudiante. Esto quiere decir que prcticamente no se incorporan elementos contextualizadores en los contenidos matemticos, por el contrario se ensea la asignatura privilegiando el rigor formal y la abstraccin. Sin embargo se encuentra que tales docentes valoran positivamente el aprendizaje significativo y contextual de la Matemtica, mostrando una tendencia favorable a incorporar estrategias metodolgicas innovadoras que respondan positivamente a sus expectativas.



De los resultados obtenidos en la revisin de los textos, se encuentra que en tales libros no se enfatiza sobre la importancia que tienen los temas matemticos en reas que puedan resultar de inters para los lectores. Este sesgo se presenta de forma ms acentuada en las relacionadas con Bioanlisis. Adems, se aprecia que la modalidad ms utilizada de presentar los nuevos contenidos es a partir de otros conocimientos matemticos, y en muy escasas ocasiones se encontr que se partiera de una situacin relacionada con algn aspecto de la vida.

Los resultados obtenidos sugieren la necesidad de crear una propuesta orientada a los docentes de Matemtica, basada en la contextualizacin de los contenidos de esta asignatura en reas relacionadas al Bioanlisis, y tambin de brindarles un conjunto de situaciones, ejercicios y/ o problemas que les faciliten la aplicacin de la misma. Tal propuesta constituye la produccin central de este proyecto factible. A continuacin se presenta un resumen de la propuesta.

PROPUESTA DIDCTICA PARA EL APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO DE LA MATEMTICA EN BIOANLISIS

BASADA EN LA CONTEXTUALIZACIN DE SUS CONTENIDOS

Objetivo General

Esta propuesta pretende proporcionar a los docentes que dictan la asignatura Matemtica en contextos de formacin vinculados con el rea de Ciencias de la Salud, una estrategia metodolgica sustentada en referentes tericos provenientes del Aprendizaje Significativo y las perspectivas socioculturales del aprendizaje, que considere con nfasis especial la presentacin de contenidos matemticos contextualizados, considerando

para ello los mbitos de inters de los estudiantes.

Estrategia Metodolgica

Organizacin de las actividades de clase:

La estrategia se organizar siguiendo un esquema de cuatro momentos y la implementacin por parte del docente depender de los objetivos de la clase. .

Enseanza de la Matemtica; Volmenes 12 al 16, Nmero Extraordinario, Diciembre 2007; pp 3-18 12

- Primer Momento o Introduccin: se presentarn los conceptos a partir de una situacin y/o fenmeno biolgico, fsico, fsico-qumico o bioqumico, ligados a la naturaleza, al comportamiento del cuerpo humano o relacionado con tareas propias del quehacer diario de los estudiantes. En este caso se sugiere utilizar problemas de contexto evocado introductorios (segn la clasificacin que hace Font, 2006) ya que

stos se disean especialmente para que queden dentro de la zona de desarrollo prximo y sirvan de ese modo a que el estudiante sea capaz de construir adecuadamente el concepto matemtico nuevo que corresponde con el objetivo de la clase

- Segundo Momento o Formalizacin: el docente progresivamente descontextualizar



el objeto matemtico, introduciendo smbolos, signos, grficas, ecuaciones algebraicas, algoritmos y frmulas, que tanto representan formalmente a tal objeto, as como tambin hacen posible operar matemticamente en abstracto diferentes situaciones que no implican necesariamente una vinculacin directa y ostensible con la realidad.

- Tercer Momento o Prctica: se propondrn a los estudiantes situaciones problemticas dentro de un contexto de argumentaciones y contrastes en las alternativas de solucin. Las situaciones problemticas propuestas sern del tipo evocado de aplicacin o de consolidacin (Font, 2006) para que el estudiante aprecie la utilizacin del concepto en contextos cercanos a su realidad o para consolidar stos. La dinmica de la clase se desarrollar de la siguiente manera: se presenta el problema, se le asigna un tiempo para la resolucin. Tales prcticas se harn segn las siguientes modalidades: segn el nmero de resolutores: (a) prctica individual, (b) prctica en pareja; (c) prctica en grupo total. Segn la intervencin del docente: (a) independiente (no concurrentemente mediada); (b) dirigida (concurrentemente mediada).

- Cuarto Momento o Cierre: ser mediado por el profesor, se iniciar despus de concluidas las prcticas, procurando crear un escenario dentro del cual, se abra un espacio para el intercambio de experiencias en los procesos resolutorios seguidos por los participantes, construccin (a cargo del docente-experto) de un discurso de carcter interpretativo y sinttico que considere los aportes, opiniones, ideas, observaciones que

emiten los estudiantes, enriquecido por el criterio experto del docente. Se asignarn trabajos (individual o por parejas) que contemple: resolucin de problemas, indagacin de conceptos, situaciones o fenmenos biolgicos y/o relacionados con la salud, posibles conexiones con la Matemtica y reflexiones personales acerca de lo estudiado y/o vivenciado durante la sesin de prctica.

El banco de situaciones de la propuesta presentada a los docentes dispone de una tabla que contiene la fuente bibliogrfica de la que fue obtenida la situacin o fenmeno biolgico, descripcin de stos, concepto matemtico vinculado, problemas relacionados y en algunos casos se incluye la ejemplificacin didctica. A continuacin se presenta una de las situaciones/modelo que se incluyen en la propuesta.

.



Ejemplo 2. Crecimiento de una poblacin de bacterias y Ecuaciones Diferenciales

1. Informacin del fenmeno biolgico

Situacin 7 Tomada de: Prescott y otros (2004). Microbiologa. McGraw-Hill. Madrid. (5 ed). Phillips, H. (1967). Ecuaciones Diferenciales. Leithold, L. (1978). El Clculo con Geometra Analtica Situacin o concepto: Microorganismos (Crecimiento exponencial simple) Matemtica: Funcin exponencial Algunos conceptos, frmulas y procedimientos relacionados con la situacin Prescott y otros (2003). Microbiologa Crecimiento microbiano p.115 - Cuando se cultivan microorganismos en un medio lquido cerrado (no se incorporan ms medio), las concentraciones de nutrientes disminuyen y los residuos aumentan. - El crecimiento de los microorganismos que se multiplican por fisin binaria puede representarse en una curva del log del nmero de bacteria con el tiempo, la cual presenta cuatro fases: de latencia, de crecimiento exponencial (logartmico), estacionaria y de muerte.

- Fase de latencia: al introducir microorganismos en un medio de cultivo normalmente no se produce un aumento inmediato del nmero de clulas o masa (en este perodo las clulas estn sintetizando nuevos componentes pero no hay divisin celular). La duracin de esta fase es variable en funcin del microorganismo y el medio, y la misma no se produce o se acorta cuando se transfiere un cultivo en fase exponencial). - Fase exponencial o logartmica: los microorganismos crecen y se dividen hasta el mximo posible, la velocidad de crecimiento es constante durante la fase exponencial (los microorganismos se dividen y duplican en nmero a intervalos regulares) - Fase estacionaria: la limitacin de nutrientes y la acumulacin de residuos txicos provoca la fase estacionaria, en que se mantiene constante el nmero de microorganismos viables (puede ser por equilibrio entre divisin y muerte o por que la poblacin deje de dividirse aunque siga activa metablicamente). Las bacterias llegan normalmente a esta fase cuando tienen aproximadamente 109 cel/ml. - Fase de muerte: luego de la fase estacionaria ocurre la fase de muerte en la cual disminuyen las clulas viables, de forma logartmica (muere una cantidad constante de clulas en cada unidad de tiempo).



Curva del crecimiento microbiano de un sistema cerrado (fig 6.1, p.115)

En la fase exponencial No= nmero inicial de la poblacin Nt= nmero final de clulas en un tiempo t n= nmero de generaciones en un tiempo t k= constante de velocidad media del crecimiento (nmero de generaciones por unidad de tiempo) g= tiempo medio de generacin o duplicacin.

Nt=No.2n aplicando logaritmo n= 301.0

loglog NoNt , k=tn (n=k.t) , g=

k1

Tiempos de generacin para microorganismos seleccionados (Tabla 6.2. Pg.118)

Microorganismo Temperatura C

Tiempo de generacin

(h)


Tiempo de generacin (h)

Bacterias Algas Beneckea natriegens

37 0.16 Chlorella pyrenoidosa

25 7.75

Escherichia coli 40 0.35 Scenedesmus quadricauda

25 5.9

Bacillus subtilis 40 0.43 Asterionella formosa

20 9.6

Clostridium botulinum

37 0.58 Skeletonema costatum

18 13.1

Mycobacterium tuberculosis

37 12 Ceratium tripos 20 82.8

Contina

Log

nm

ero

de c

lul

as

viab

les

tiempo

******************



Tiempos de generacin para microorganismos seleccionados (Tabla 6.2. Pg.118) (continuacin) Microorganismo Temperatura

C Tiempo de generacin

(h)


Tiempo de generacin (h)

Anacystis nidulans 41 2 Euglena gracilis 25 10.9 Nabaena cilndrica 25 10.6 Protozoos Rhodospirillum rubrum

25 4.6-5.3 Acanthamoeba castellanii

30 11-12

Hongos Paramecium caudatum

26 10.4

Sacchoromyces ceravisae

30 2 Tetrahymena geleii

24 2.2-4.2

Monilinia fructicola

25 30 Leishmania dovonavi

26 10-12

Giardia lamblia 37 18 Nt= No. 2k.t en la fase exponencial Si asumimos que las bacterias llegan normalmente a la fase estacionaria cuando tienen aproximadamente 109 cel/ml. entonces habra que calcular el tiempo en la fase exponencial para as tener el dominio de t para esa fase. Faltara averiguar cuanto puede durar la fase de latencia, para tener el dominio completamente restringido desde el inicio de la siembra del cultivo. Por ejemplo en el caso de la bacteria bacillus subtilis en la tabla 6.2. p. 118, dice que a los 40C, g= 0.43, por lo tanto k=1/0.43=2,33. Ahora si asumimos que No=102 y que el medio de cultivo tiene 4 ml, entonces la fase exponencial terminar cuando hayan 4*109 cel y esto ocurrir en un tiempo te Nt= No. 2k.t entonces 4*109 = 102 x 22,33t al despejar t, te= 10,84 h. Esto es importante para el clculo de lmites, ya que a partir de este tiempo la frmula vara porque la variacin de la poblacin entra en otra fase (es una funcin por trozos)

CONCLUSIONES

A la luz de los resultados obtenidos se concluye lo siguiente:

- Sin pretender generalizar respecto a la poblacin de los profesores de Matemtica que ensean esta asignatura en carreras universitarias vinculadas al rea de la salud como el caso particular estudiado (Bioanlisis) y lo que acontece en sus aulas, este trabajo permiti conocer algunas tendencias y caractersticas de su prctica

didctica cotidiana. En cuanto a los elementos de naturaleza contextual utilizados en sus clases, ellos mismos opinaron que son escasos lo que dificulta que el estudiante pueda sino aplicarla, al menos sentir inters y motivacin por su estudio.

La metodologa que segn los propios docentes, es utilizada por ellos en las clases de Matemtica, refleja un predominio de las formas tradicionales de ensear Matemtica.



El privilegio asignado por los docentes consultados al formalismo y a la abstraccin matemtica, en desmedro tanto de sus aplicaciones en otros campos del conocimiento como a sus vinculaciones con situaciones prximas a la realidad de los estudiantes, podra responder a varias razones, por una parte se evidenci que existe un bajo volumen de publicaciones disponibles (textos, materiales instruccionales, etc.) dirigidas concretamente a la enseanza de la Matemtica en Bioanlisis y tambin se encontr que los docentes no conocen el contexto cientfico interdisciplinario de esta asignatura, es decir no conocen en tales programas de estudio, dnde el estudiante va a utilizar los contenidos matemticos, cmo los va a utilizar, qu contenidos son para aplicarse y qu contenidos tienen que estar ah para darle la estructura lgica al conocimiento de tal programa de estudio. Sin embargo resulta interesante y por dems prometedor la disposicin favorable de los docentes consultados a incorporar en sus clases estrategias metodolgicas innovadoras como las que se proponen en este trabajo.

- El examen minucioso y pormenorizado de los textos consultados sirvi, como se pretenda, para poner en evidencia las limitaciones que confrontan los docentes de Matemtica que forman profesionales de reas no afines con esta asignatura, en cuanto al bajo volumen detectado de ejercicios y problemas vinculados (en este caso concreto) con el rea de la salud. Asimismo se encuentra que en tales textos, se presentan los conceptos matemticos desvinculados de la realidad, es

decir se privilegia la abstraccin y el formalismo matemtico.

En atencin a lo planteado anteriormente se espera llevar prontamente esta propuesta a su implementacin didctica en las aulas de Matemtica en Bioanlisis para su respectiva evaluacin y revisin a fin de proseguir el arduo camino de conseguir que la actividad matemtica escolar sea decididamente significativa y en contexto vinculado a la realidad del estudiante.

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UN RECORRIDO DE LO CERTERO A LO PROBABLE POR LOS CAMINOS DE LA CIENCIA Y DE NUESTRA ACCIN CIUDADANA

Nelly Amatista Len Gmez, UPEL, Instituto Pedaggico de Maturn Durante mucho tiempo predomin una visin netamente determinista del mundo segn la cual el universo se comportaba como una mquina cuyos engranajes calzaban a la perfeccin, lo que llevaba a negar la posibilidad a fenmenos fortuitos al considerar el azar como una manifestacin de ignorancia. Poincar cuestion esta argumentacin y diferenci los fenmenos fortuitos, de los cuales la probabilidad informa sobre las posibilidades de ocurrencia y los no fortuitos, de los que no puede decirse nada hasta tanto no se lleguen a conocer las leyes que los gobiernan. As, para Poincar la nocin de azar no se debe tanto a la ignorancia sino ms bien a la falta de soporte emprico. Sus observaciones lo llevaron a sealar la existencia de sistemas inestables, nocin que fue retomada hacia principios del siglo XX generando una crisis en los cimientos de la fsica que alcanz a la mecnica, cuyo soporte estaba fuertemente enraizado en las leyes de Newton. Del determinismo laplaciano se pas a considerar que los fenmenos naturales gozan de mltiple determinacin donde prevalece el principio de interdependencia entre las partes y el todo y entre las partes entre s, siendo el azar una expresin de las mismas y la probabilidad una formulacin matemtica del azar. Al romperse la visin determinista imperante, nuevas categoras como incertidumbre, caos, desorden y complejidad comienzan a emerger, y lo certero dio paso a lo probable y a lo incierto. Ahora las premisas de la ciencia estipulan que si las premisas son ciertas y el razonamiento es correcto, la conclusin slo es probable. Igualmente se acepta que la aleatoriedad existe como una caracterstica inherente a los fenmenos, lo que le da relevancia al estudio de la probabilidad en sus diversas connotaciones, entre ellas: la probabilidad matemtica y la probabilidad como grado de credibilidad. En este trabajo exploramos las categoras mencionadas en un intento de destacar el papel del azar y la probabilidad en la interpretacin de la complejidad de los fenmenos, donde reina la incertidumbre con la cual debemos convivir y saber actuar con propiedad, por lo que convenimos con Edgar Morin en ubicarla como una de los saberes fundamentales de la educacin presente y futura. Palabras Clave: Educacin Estadstica; Historia de la Matemtica; Pensamiento Probabilstica.

INTRODUCCIN

El enigma sobre el origen del universo y la aparicin del hombre sobre la tierra ha estado presente en los seres humanos desde los tiempos ms remotos. El hombre siempre ha buscado explicacin tanto para los fenmenos que ocurren en su entorno como para aquellos vinculados con

el principio de la vida y la constitucin del mundo. Esta bsqueda de conocimientos ha estado signada por las concepciones filosficas y cientficas que se han considerado vlidas en cada momento histrico. As vemos que durante el largo perodo entre los siglos XVI y XIX prevaleci el paradigma determinista orientado hacia las leyes deductivas, de

Nelly Amatista Len Gmez


causa, de reversibilidad, de determinismo, donde lo inesperado, lo incierto, lo aleatorio no tiene cabida. No obstante, como veremos en el desarrollo del tema, ya desde principios del siglo XIX, a partir de ciertos descubrimientos en el campo de la fsica inicialmente y posteriormente en el mbito social, esta concepcin comenz a cambiar por otra donde, nada es simple, el orden se oculta tras el desorden, lo aleatorio est siempre en accin, lo imprevisible debe ser comprendido. (Balandier, 1999, p. 9)

Revisar este proceso de cambio paradigmtico es fundamental en el desarrollo del tema central de este trabajo donde tratar de contextualizar las situaciones que han evidenciado la presencia irrefutable de lo aleatorio en el funcionamiento del universo y de la vida toda, para luego pasar a referir las diversas concepciones que se manejan sobre azar, cules son las leyes que lo rigen, el papel ha cumplido la probabilidad dentro de las matemticas que se aplican a los nuevos modelos que explican el funcionamiento del universo y su concepcin como gua de la vida, cmo la incertidumbre est presente en nuestras vidas y cmo debemos prepararnos para convivir con ella. Finalmente se abordar el papel de la educacin en la formacin de individuos aptos para desenvolverse exitosamente en el mundo complejo e incierto que le corresponde vivir en los tiempos actuales. CONTEXTUALIZACIN DEL TEMA

DE ESTUDIO

Comencemos por decir que se supone que en el principio de todo fue el caos o

estado amorfo que precedi no se sabe cmo ni por cunto tiempo a la organizacin del cosmos que conocemos actualmente (Diccionario de la Real Academia de la Lengua Espaola, 2001), la cual tuvo su detonante en el Big Bang, teora que seala que la materia estaba algo as como encapsulada y una gran explosin se produjo simultneamente, no en punto especfico sino en todas partes a la vez, provocando que las partculas se separaran, se alejaran unas de otras, comenzndose la expansin del universo y originndose con el correr del tiempo diversas formas de vida desde las ms simples hasta las ms complejas, entre ellas la especie humana.

Esta explicacin sobre el origen y la evolucin del universo es relativamente reciente y aun en nuestros das no es aceptada por todos. Por mucho tiempo las explicaciones sobre la conformacin del universo y sobre la aparicin del hombre sobre la tierra fueron de naturaleza mitolgica y teolgica. Por ejemplo, muchos de los fenmenos que ocurran se tomaban como respuestas de los dioses a las acciones de los humanos; las tormentas, los terremotos y cualquier otra catstrofe eran consecuencia de la ira de los dioses; a su vez, stos eran invocados para subsanar las calamidades como la sequa y en virtual de lo cual se hacan sacrificios en honor a las deidades. Por supuesto, tales explicaciones no satisfacan todas las interrogantes que se planteaban al respecto y ha correspondido a la Filosofa, desde su nacimiento, la tarea de buscar respuestas a las preguntas claves de la vida: Quines somos?, De dnde venimos y hacia donde vamos?, Cmo se form el universo?, Existe Dios o algo que rige los

Un Recorrido de lo Certero a lo Probable


destinos del mundo? y muchas, muchas otras que han ido surgiendo a medida que se reflexiona ms profundamente sobre estos temas. (Gaarder, 2002)

Con el transcurrir de los tiempos diversas corrientes filosficas dieron respuestas alternas a estas interrogantes y cada vez encontraban ms preguntas sobre las que no tenan respuestas inmediatas; pero lo que si pareca estar claro es que exista cierta regularidad en muchos fenmenos de la naturaleza: la salida del sol, el movimiento de los planetas, el comportamiento de las mareas, el clima. La observancia de esta regularidad llev a filsofos y cientficos a preguntarse si el universo estaba sometido a leyes y en tal caso cules eran esas leyes. Surgieron entonces cuestiones como si estara todo predeterminado, incluso lo referido al hombre, o por el contrario, habra situaciones que ocurran por azar y en consecuencia no podan estar sometidas a tales leyes. Esto nos lleva entonces a adentrarnos un poco en la concepcin determinista del universo.

DETERMINISMO CLSICO

Seala Capra, en su libro El Punto Crucial (1996a), que hasta el siglo XV d.C. la naturaleza de la ciencia se basaba en la razn y en la fe, su objetivo era, no predecir o controlar los fenmenos y las cosas, sino simplemente comprenderlos y conocer la importancia de stos para la vida. Para el siglo XVI, esta visin medieval del mundo basada en la filosofa aristotlica y en la teologa cristiana gir hacia una

concepcin mecanicista del universo. Esto fue propiciado por los avances en astronoma, fsica y matemtica que condujeron a las teoras de Coprnico, Galileo, Descartes y Newton (Capra, 1996 b).

Coprnico (1473-1543) formul la primera teora heliocntrica donde explica que no es el sol el que gira alrededor de la tierra sino al contrario; el sol est en el centro del universo y orbitndolo se encuentran los planetas en este orden: Mercurio, Venus, la Tierrra, Marte, Jpiter, Saturno. Esta teora cre una gran revolucin en su tiempo provocando una remocin en los cimientos de la ciencia.

Galileo (1564-1642) redujo la ciencia al estudio de aquellos fenmenos que pudieran ser medidos y cuantificados, excluyendo lo accesorio de lo fundamental de cada suceso, siendo esto ltimo lo que se basaba en las leyes conocidas; as, de alguna manera exclua lo cualitativo del contexto cientfico. Era tanta la fe de Galileo en lo mensurable que lleg a expresar que Las Matemticas son el alfabeto con que Dios ha escrito el universo

Descartes (1596-1650) cre el mtodo analtico que consiste en descomponer el todo en sus partes y estudiarlas por separado para tener un conocimiento de ese todo. Este mtodo analtico imper durante muchsimo tiempo en el proceso de produccin cientfica derivndose de all la comprensin de los fenmenos tanto naturales como culturales de una manera fragmentada. Descartes cre, adems, el sistema de coordenadas cartesianas que abri



la senda que llevara a la creacin del clculo infinitesimal dando un gran impulso al desarrollo de la Matemtica. Es clave sealar que dio una explicacin unificada de mltiples fenmenos en Fsica, Qumica y Biologa, sentando las bases del determinismo clsico.

As, Galileo y Descartes fomentaron una visin del mundo como una mquina cuyo funcionamiento poda ser estudiado a travs de la matemtica mediante frmulas precisas. Entre los siglos XVII y XVIII, Newton (1642-1727) termin de consolidar esta visin mecanicista, la cual tuvo plena vigencia hasta principios del siglo XX.

Simultnea e independientemente, Leibniz y Newton crearon el clculo infinitesimal, proveyendo al infinito de una definicin matemtica precisa y promoviendo de esta manera un avance significativo en la comprensin matemtica de muchos fenmenos naturales. En el siglo XVIII, Newton estudi el movimiento de los cuerpos slidos y estableci una serie de ecuaciones conocidas como las Leyes Newtonianas del Movimiento. Las utiliz para estudiar el movimiento de los cuerpos celestes, llegando a conocer las caractersticas fundamentales del sistema solar.

Seala Capra (1996 b) que para la poca, los fenmenos eran descritos de manera precisa por ecuaciones diferenciales lineales, reversibles en el tiempo es decir, donde presente y futuro eran una misma cosa. De tal manera que tiempo y espacio eran absolutos y la naturaleza perfectamente

predecible al estar regida por estas leyes universales.

Posteriormente, hacia la segunda mitad del siglo XVIII, Laplace (1749-1827) redefini las ecuaciones de Newton y logr desentraar el comportamiento de los planetas, satlites, cometas y de algunos fenmenos relacionados con la gravedad como las mareas. Esto llev a que los primeros aos del siglo XIX se caracterizaran por una euforia propiciada por la multiplicidad de posibilidades derivadas de las leyes de Newton para explicar el comportamiento del universo, afianzndose aun ms la visin mecanicista del mismo, segn la cual se poda determinar su estado en cualquier momento si se conocan las leyes respectivas y los datos y condiciones para la aplicacin de las frmulas y a la vez se era capaz de realizar los clculos respectivos (Ubiqumonos en un tiempo donde el desarrollo matemtico era limitado y no se dispona de computadoras).

Deca Laplace (1974), que al observar el universo en un momento determinado, ste deba considerarse como una consecuencia del estado anterior y a su vez como causa de lo que ocurrira despus. Es ampliamente conocida su afirmacin en cuanto a que, si existiera

.una inteligencia superior que pudiera comprender todas las fuerzas que animan la naturaleza y su respectiva situacin, junto con la de los seres que la componen una inteligencia suficientemente vasta para someter estos datos al anlisis - ; esta incluira en la misma frmula los movimientos de los grades



cuerpos del universo y de los tomos ms ligeros; nada sera incierto para ella y tanto el futuro como el pasado estaran ante si (P. 12)

En tiempos actuales, con los avances de

la ciberntica, podramos considerar altamente probable esa inteligencia superior, llamada por algunos, entre ellos Prigogini (1997), el diablo de Laplace; sin embargo contrario a esto, ha sido precisamente con el trabajo realizado por computadoras que se ha llegado a develar con claridad la complejidad del universo y de los fenmenos que en l ocurren, mostrando la imposibilidad de reducir su funcionamiento a simples ecuaciones lineales.

Las consideraciones de Laplace son la mxima expresin de la concepcin determinista del mundo; entendiendo por determinismo la orientacin filosfica-cientfica que afirma la condicionalidad causal y universal de todos los fenmenos. As, conociendo la causa se puede determinar con absoluta certeza el efecto que sta producir, descartando la posible intervencin del azar y la existencia del libre albedro.

Al respecto Kojeve (citado por Palacios 1998) seala que:

La idea del determinismo clsico revesta generalmente la forma del principio llamado principio de causalidad: en el mundo fsico nada es fortuito, todo all es previsible; todo fenmeno tiene una causa que le precede necesariamente, de manera que conociendo la causa se conoce igualmente el efecto; nada se pierde, nada se crea, la causa se conserva en el efecto (S/P)

Este modelo, vigente durante

muchsimo tiempo, orient el proceso de produccin de conocimientos hacia la determinacin de relaciones causales expresadas lgica y matemticamente mediante una proposicin de la forma P Q, donde P es el antecedente o causa y Q es el consecuente o efecto; de tal forma que, si esta proposicin se acepta como cierta y ante la ocurrencia de P, no queda ms que esperar que ocurra Q; cualquier otra cosa aparte de P que pueda suceder se considera como ruido y debe eliminarse o controlarse.

Hoy aceptamos que las cosas no son tan simples y que en la bsqueda de relaciones causales, tal como atae a la ciencia, debemos considerar otras posibilidades como las que presentamos a continuacin siguiendo la esquematizacin de Behar (2007).

:


Q

P Q

Q

P

P Q

P

Q

P Q

P

Figura A Figura B Figura C

Q

P Q

Q

Q

P Q

Q

P Q

Q

P

P Q

P

P

P Q

P

Q

P Q

P

Q

P Q

P

Figura A Figura B Figura C

La Figura A refleja que Q es

precedida por P, pero que sin embargo puede ocurrir P sin que ocurra Q; la Figura B muestra que P siempre precede a Q, pero que Q puede ocurrir sin que ocurra P y, la Figura C indica que aun cuando P est relacionado con Q, Q puede ocurrir sin que suceda P y P no necesariamente deriva en Q.

Estos diagramas muestran en parte la complejidad de la relacin causal que aumenta ante la presencia de factores aleatorios o de ruido y de las interacciones de mltiples causas posibles que hacen difcil encontrar patrones de naturaleza determinista que sirvan para explicarlos matemticamente.

Pero llegar a esto no ha sido fcil. El modelo newtoniano determinista permaneci vigente e intocable durante largo tiempo, y el hecho de que sus leyes tuvieran validez para el estudio de fenmenos fsicos a nivel macro hizo pensar que sta se extenda al mundo de los tomos y a otros campos como el de la Qumica y la Biologa. El mundo se concibi entonces como una mquina cuyos

engranajes estaban perfectamente acoplados y cuyo comportamiento estaba sujeto a leyes de cumplimiento inexorable, muchas de ellas quizs aun desconocidas para el hombre. El determinismo se constituy en el paradigma cientfico durante siglos, la falta de previsibilidad no se deba a la no aplicabilidad de las leyes sino a la falta de datos o a la ignorancia respecto al fenmeno, que se tomaba como explicacin para lo azaroso y lo fortuito. En este sentido es famosa la sentencia de Einstein: Dios no juega a los dados con la que no deja duda sobre su apego al determinismo.

POINCAR Y SU VISUALIZACIN DEL AZAR

Cabe destacar en este momento que

Poincar (1854-1912) de entrada define el azar como la medida de nuestra ignorancia: El mismo seal que Los fenmenos fortuitos son, por definicin, aquellos cuyas leyes ignoramos (Poincar, 1974, p. 69); pero luego, l mismo sostiene que esta definicin no es completamente satisfactoria: Es preciso, pues, que el azar sea algo ms que el nombre que damos a



nuestra ignorancia y que entre los fenmenos de los cuales ignoramos las causas distingamos los fenmenos fortuitos, sobre los cuales el clculo de probabilidades nos informar provisionalmente , y los que no son fortuitos, sobre los cuales no podemos decir nada hasta que no hayamos determinado las leyes que los rigen (P. 69).

Hacia finales del siglo XIX, plant una sombra de duda sobre la vigencia universal de las leyes de Newton al preguntarse si el sistema solar sera estable para siempre y al dejar ver que sistemas formados aun por un reducido nmero de elementos podra evolucionar de manera impredecible, convirtindose en el primero en visualizar la posibilidad del caos as como sus caractersticas principales. (Briggs y Peat, 1989). Esto queda claro al tratar de caracterizar el azar a travs de un ejemplo sobre el equilibrio inestable cuando seala que:

Una causa pequesima que se nos escapa, determina un efecto considerable, que no podemos dejar de ver, y entonces afirmamos que ste es debido al azar. Si conocisemos exactamente las leyes de la naturaleza y la situacin del universo en el instante inicial, podramos predecir la situacin de ese mismo universo en un instante posterior. Aun cuando las leyes naturales no tuviesen secretos para nosotros, solo podramos conocer la situacin inicial aproximadamente. Si esto nos permitiera prever la situacin posterior con la misma aproximacin, no necesitaramos ms, diramos que el fenmeno ha sido previsto, que est regido por leyes; pero no siempre es as, puede suceder que pequeas diferencias en las condiciones

iniciales engendren grandes diferencias en los fenmenos finales; un pequeo error en las primeras producira un error enorme en los ltimos. La prediccin resulta imposible, y tenemos un fenmeno fortuito. (Poincar, 1974, p. 70)

Como ejemplificacin de esta

connotacin del azar, toma el caso de un como que se sostiene sobre su vrtice. Se espera que al soltarlo ste se caiga, pero no se sabe de que lado lo har, pensamos entonces que esto ocurre por azar. Seala que si el cono fuera perfectamente simtrico, si su eje fuera perfectamente vertical, si no actuara ninguna otra fuerza aparte de la gravedad, el cono no se caera; pero, la ms mnima desviacin de la simetra hara que se caiga, igualmente un imperceptible soplo de brisa, igualmente hara caer el cono. Estamos ante una situacin donde pequeas diferencias en las causas producen grandes efectos.

En otra caracterizacin del azar introduce la idea de la complejidad de los sistemas fsicos y naturales. En una situacin donde las causas son, aunque pequeas, complejas y numerosas, los resultados llegan a ser terribles e imposibles de predecir con exactitud, se le considera entonces como un fenmeno aleatorio.(Op. Cit., p. 73). Como ejemplificacin para esta otra connotacin de eventos fortuitos, seala el caso de barajar un mazo de cartas; en un principio podemos saber la ubicacin de una carta cualquiera, despus de barajarlas unas pocas veces todava podemos decir con bastante precisin el lugar que ocupa la carta en el mazo, sobre todo si se trata de personas



experimentadas en el asunto; sin embargo, al repetir el proceso un gran nmero de veces, se llega a tal nivel de complejidad que es prcticamente imposible atinar sobre la posicin de la carta. Decimos entonces que este es un fenmeno regido por el azar.

En esencia, lo que hizo Poincare fue destacar la existencia de fenmenos que no es que fueran completamente aleatorios, sino que no se regan por las leyes de naturaleza lineal conocidas hasta entonces y puso de manifiesto la inestabilidad de ciertos sistemas. No obstante, sus observaciones no fueron tomadas muy en cuenta, debido quizs a la autoridad de Isaac Newton y a lo que significaba para el mundo cientfico el posible derrumbe de leyes cuya validez no admita duda.

DE LO DETERMINSTICO A LO PROBABILSTICO Y LO

ESTADSTICO No obstante los planteamientos de Poincar, fueron algunos sucesos y descubrimientos ocurridos hacia finales del siglo XIX y principios del siglo XX, los que echaron por tierra la validez universal de las leyes de Newton y del paradigma determinista de las ciencias. Entre estos, Martnez (2000) destaca los siguientes: la creacin del electromagnetismo por Faraday y Maxwell; la reformulacin de la segunda ley de la termodinmica, introduciendo la idea de procesos irreversibles y la llamada flecha del tiempo, que van del orden al desorden y la introduccin por Clausius del concepto de entropa que expresa numricamente el estado de la evolucin de

los sistemas fsicos y, ante la imposibilidad de explicar mediante las leyes de la fsica clsica el aumento de la entropa, Boltzmann introdujo el concepto de probabilidad para describir el comportamiento de un sistema mecnico complejo en trminos estadsticos.

Posteriormente, en las primeras dcadas del siglo XX, Einstein propuso su teora de la relatividad que introduca la nocin espacio-tiempo y Max Plank la mecnica cuntica que plante que las leyes de la fsica atmica son leyes estadsticas segn las cuales la probabilidad de que ocurra cierto fenmeno a nivel atmico no est determinado por cada uno de los componentes del sistema, sino por la dinmica del sistema como un todo. Afirma Prigogine (1997, p.81) que cuando encaramos sistema inestables, debemos formular las leyes de la dinmica en el nivel estadstico y que los objetos fundamentales de la fsica ya no son trayectorias o funciones de ondas sino probabilidades (p. 81). Esto significa que la descripcin en trminos de trayectorias individuales pierde valor y se suplanta por una estrictamente estadstica en trminos de promedios modelada mediante una funcin de probabilidad. Igualmente seala que las leyes del caos asociadas a descripciones regulares y predictivas de los sistemas caticos igualmente se encuentran en el nivel estadstico. (p. 40). Esta visin transforma de plano la forma de describir la naturaleza; la formulacin tradicional contrapona leyes atemporales a la consideracin de situaciones desde una perspectiva fenomenolgica donde la nocin de tiempo



cobra relevancia. Se insiste, entonces, en que los sistemas ya no son lineales sino que tienen un comportamiento dinmico que induce al caos. El caos es, por lo tanto, una consecuencia de la inestabilidad de los sistemas, siendo inestable un sistema en el cual una pequea perturbacin inicial se acrecienta rpidamente en el tiempo (Prigoginy, 1999), coincidiendo esto con los argumentos de Poincar, al tratar de caracterizar fenmenos de naturaleza fortuita.

Habiendo argumentado ya que el azar es algo ms que la manifestacin de nuestra ignorancia y asomado su papel y por lo tanto el de la probabilidad en los cambios conceptuales ocurridos en el campo de la fsica, podemos preguntarnos Qu es realmente el azar?, Se puede dar una definicin precisa de l?. Hemos sealado que el azar est presente en los acontecimientos que no siguen ninguna ley, pero l mismo estar sometido a leyes? Y en tal caso Cules son esas leyes?. A continuacin pasaremos a abordar estas inquietudes. EL AZAR Y SUS LEYES: LA TEORA

DE LA PROBABILIDAD

La comprensin del azar es algo que ha preocupado al hombre desde tiempos remotos. En principio se le ha utilizado para explicar fenmenos desconocidos asociados a fuerzas sobrenaturales, a la suerte, a la mala suerte. Comnmente se vincula el azar a los hechos que ocurren de manera no deliberada, indeterminada o imprevista, lo que no puede explicarse (Batanero y Serrano, 1996; Len, 1998). Se ha dicho

tambin que el azar es de alguna manera lo que lleva a lo posible a hacerse realidad.

Se le ha vinculado tambin a aquellos fenmenos cuyas causas desconocemos; es decir, se le ha tomado como expresin de nuestra ignorancia. Bajo esta concepcin cabra preguntarse si es que entonces el azar es subjetivo; es decir, si lo que es aleatorio para uno, dado que no conoce las causas, no lo es para otro quien si las conoce. Por ejemplo, en tiempos remotos, cuando no se conoca la regularidad en la aparicin del cometa Halley, Podra decirse que esto ocurra de manera fortuita?. La respuesta a esta pregunta es claramente negativa.

Ya hemos visto que se ha tomado el azar como esa condicin de un acontecimiento que siendo determinado por ciertas leyes presenta la caracterstica de que diferencias pequeas en las causas originan grandes diferencias en los efectos o tambin la de acontecimientos en los que aparecen mltiples causas que de manera individual producen pequeos efectos pero que en conjunto imprimen tal complejidad al proceso que hace insospechables los efectos que se pueden originar. Pero, Qu significa diferencias pequeas, o cuando las causas son complejas?, tienen estos conceptos igual significado para todos?. Esto plantea nuevamente una inquietud sobre la objetividad o no del azar.

Poincare (1974) argumenta al respecto, por una parte, que lo de muy pequeo es relativo, pero no a las personas sino al estado del mundo en un momento determinado, por lo que se mantiene un sentido de objetividad; y en cuanto a la



complejidad, argumenta que sta no afecta la nocin de objetividad porque todos los hombres tienen ms o menos los mismos sentidos para percibir la esencia de las cosas en sus mnimos detalles y cuando ya no pueden hacerlo usan similares instrumentos de medicin cuyo poder tambin es limitado. (pp 79-80).

Ahora bien, si se le puede asignar cierta objetividad al azar, es factible suponer la existencia de leyes que lo rigen. En efecto, la matematizacin del azar est expresada en la teora de la probabilidad, cuyo estudio se vio estimulado en el siglo XVII por el planteamiento de problemas interesantes en el contexto de los juegos de azar. Es generalmente aceptado que la teora matemtica de la probabilidad fue iniciada por Blaise Pascal (1623-1662) y Pierre Fermat (1601-1665) al tratar de resolver los problemas planteados por el Caballero de Mere. (Degroot, 1998). Adems de ellos, muchos de los grandes matemticos dedicaron parte de sus esfuerzos intelectuales al desarrollo de la teora matemtica de la probabilidad. Laplace hizo importantes aportes en su Theorie Analytique des Probabilites, publicado en 1812, donde plante los principios y aplicaciones de la llamada geometra del azar . Hilbert plante la necesidad de unificar la fsica y la probabilidad. Kolmogorov hizo importantes aportes en la modelizacin del azar y en la formalizacin de modelos para la entropa vinculada a los sistemas caticos. Laplace, Legendre y Gauss fundaron la teora de errores que no es ms que una aplicacin de la probabilidad al problema de las variaciones entre medidas repetidas de la misma variable. Maxwell,

basndose en la distribucin de probabilidad de las velocidades de las molculas, dedujo las leyes de los gases; y Max Planck, en 1990, present la teora cuntica en trminos de probabilidades. (Wadsworth y Bryan, 1979).

A pesar de ser Laplace uno de los principales propulsores del determinismo clsico, se considera que ha sido el matemtico que ha hecho el mayor aporte individual al desarrollo de la teora de la probabilidad, destacando la definicin clsica o laplaciana de probabilidad. Para l, la probabilidad se relaciona en parte con nuestra ignorancia y en parte con nuestro conocimiento. Es decir, conocemos todas los casos posibles en una situacin dada, pero desconocemos cul de ellas ocurrir; por lo que, en esencia, el clculo de la probabilidad permite asignar un grado de creencia racional a los acontecimientos cuyas causas desconocemos y que por tanto atribuimos al azar (Laplace, 1974). Para l Es una verdad cierta que, cuando no est en nuestras manos el determinar lo que es verdad, debemos seguir lo que es ms probable (p. 47)

Para Laplace, la teora de la probabilidad no es otra cosa que el sentido comn expresado en nmeros y a la vez reconoce que los problemas ms importantes de la vida, en su mayora constituyen solamente problemas de probabilidades

Al explicar su definicin de probabilidad, Laplace parte de considerar que la teora del azar consiste en reducir todos los acontecimientos de la misma ndole a un cierto nmero de casos



igualmente posibles; es decir, tales que estemos igualmente inseguros de su acaecimiento, y en determinar el nmero de casos favorables a un acontecimiento cuya probabilidad se indaga (p. 13). Bajo estas premisas define la probabilidad como el cociente entre el nmero de casos favorables y el nmero de casos posibles.

Segn esta definicin cuando todos los casos son favorables, la probabilidad toma el valor de la unidad, en cuyo caso, pareciera que probabilidad se transforma en certeza. No obstante sigue habiendo una delicada lnea de separacin entre ambas nociones. La ltima slo se logra a partir de una demostracin rigurosa mientras que la primera aun deja la posibilidad de aunque sea un mnimo e imperceptible error.

La definicin de Laplace tiene una limitante en lo referido a la suposicin de simetra, la cual es fcil advertir en los juegos de azar, pero no en la mayor cantidad de situaciones prcticas, por ejemplo la probabilidad de que llueva un da determinado. La estadstica viene entonces a ofrecer una va para el clculo de probabilidades. Gracias a la acumulacin de grandes cantidades de datos y fundamentados en el principio de regularidad estadstica se ha podido analizar y calcular probabilidades de eventos que escapan de la equiprobabilidad. Al disponer de estas series de datos es posible establecer correlaciones y estudiar las tendencias que llevan a estimar la probabilidad de ocurrencia de un suceso. Claro est que el conocimiento que se deriva de este proceso es un conocimiento probable pues depende

de los datos en que se ha sustentado el estudio.

Quiere decir esto que a un mismo suceso se le pueden asignar diferentes probabilidades?. La respuesta es si y no. Si, en caso que se hagan las asignaciones de probabilidades con base en series reducidas de datos; pero, en la medida que la cantidad de stos se incrementa, la regularidad estadstica dar cuenta de la asignacin de una probabilidad cada vez ms mejor, aunque sin embargo nunca llegar a la certeza. Vale sealar lo dicho por Voltaire: El que ha odo una misma cosa relatada por 12.000 testigos oculares tiene slo 12.000 posibilidades, lo que equivale a una fuerte probabilidad, la cual dista mucho de la certeza.

El principio manejado en el prrafo anterior, corresponde a la primera gran ley del azar conocida como la Ley de los Grandes Nmeros, referida al comportamiento promedio y de la cual se deriva la definicin frecuencialista de la probabilidad.

Otra gran ley del azar se centra en la variabilidad de los fenmenos y tiene su formulacin matemtica en el Teorema del Lmite Central para el caso de variaciones pequeas y en el Teorema de los Grandes Desvos cuando hay grandes fluctuaciones.

Existen otras leyes del azar vinculadas a la nueva fsica. Una, que ya hemos mencionado, expresa el comportamiento de los sistemas dinmicos en su tendencia hacia la complejidad y el desorden. Otra, est reflejada en el principio



de incertidumbre establecido por Heisenberg, segn el cual toda observacin perturba el objeto observado .

No es mi intencin adentrarme en estas teoras fsicas (mi conocimiento sobre ellas es bastante limitado), lo que quiero es reflejar el papel del azar y de su formulacin matemtica - la probabilidad - en la forma de acercarse a la comprensin de los fenmenos de la naturaleza. Como seala Prigogine (1983), estamos ante una nueva racionalidad que ya no identifica la ciencia con certeza y el azar con ignorancia. Ahora aceptamos que el universo, la naturaleza, el ser humano son tan complejos que el conocimiento que podemos tener de ellos slo es probable y esta aseveracin se deriva de una de las dos concepciones de probabilidad que pasamos a considerar.

DOS INTERPRETACIONES DE LA PROBABILIDAD

En palabras de Bertrand Russell

(1983) hay dos conceptos que de acuerdo con el uso que se les da pueden ser denominados Probabilidad, pero que en esencia son bastante diferentes, siendo stos la probabilidad matemtica y el grado de credibilidad en relacin a un suceso.

Al hablar de la probabilidad matemtica nos estamos refiriendo a algo que puede ser objeto de cuantificacin a travs de un nmero, que de acuerdo a los axiomas de la teora de probabilidad, puede estar entre 0 y 1, ambos inclusive, aun cuando estos dos valores extremos, como ya lo expresramos pudieran vincularse con situaciones de certeza de la no ocurrencia o

de la ocurrencia de un determinado evento, respectivamente. Seala Russell (1983), que esta forma de interpretacin de la probabilidad es del tipo asociado al uso de la Estadstica y se encuentra en aplicaciones a la Fsica, la Biologa o las Ciencias Sociales, y tambin en los razonamientos inductivos.

La teora asociada a esta concepcin de la probabilidad, como ya lo hemos sealado, ha sido desarrollada por grandes matemticos; sus fundamentos se encuentran en el clculo, el anlisis, la teora de la medida; se le vincula a funciones proposicionales que tienen sentido en el nivel estadstico, ms no es aplicable a proposiciones aisladas y situaciones particulares.

En estos ltimos casos impera la segunda concepcin de probabilidad que tiene que ver con el grado de credibilidad que, en efecto aplica a proposiciones individuales, para las cuales no es pertinente calcular una probabilidad como la dada por el cociente entre el nmero de casos favorables y el nmero de casos posibles; sino que ms bien conviene asignar una probabilidad como medida de creencia, no necesariamente numrica, sobre la base de nuestra expectacin en cuanto a alguna de las alternativas que pueden darse en un fenmeno que nos interesa o nos ocupa.

Viene al caso la mxima del Obispo Buttler quien afirma que la probabilidad es la gua para la vida. En esta sentencia, la probabilidad no tiene una connotacin matemtica, sino ms bien refleja la posicin que se suele tomar cuando no se est seguro de lo que va a suceder, que es lo usual en



nuestra vida cotidiana; pero, en estos casos se deben manejar diversas hiptesis y elegir entre ellas la que sea ms probable. Se sugiere entonces tomar en cuenta la probabilidad, como grado de credibilidad, al adoptar una decisin.

Que la probabilidad como gua para la vida no es de naturaleza matemtica es sustentado por Russell (1983, p. 348), cuando seala que:

La probabilidad como gua para la vida no es del tipo matemtico, no solo porque no es relativa a datos arbitrarios sino a todos los datos atinentes a la cuestin, sino tambin porque debe tomar en cuenta algo que est totalmente fuera del mbito de la probabilidad matemtica y que podramos llamar . Esto es lo importante cuando se dice que todo nuestro conocimiento slo es slo es probable

La ltima afirmacin de esta cita que,

como ya hemos sealado, ha quedado al descubierto a raz de los avances de la ciencia, especialmente de la fsica, expresa una doctrina que viene de la antigedad segn la cual todo conocimiento humano es dudoso en mayor o menor grado. Ya hemos visto a lo largo de la historia caer teoras que se crean ciertas contra todo pronstico.

Esto no debe llevarnos a pensar que todo conocimiento es dudoso per se; ms bien podramos decir que todo conocimiento tiene inherentemente asociado algn grado de duda y consiguientemente algn grado de credibilidad, derivado de la fiabilidad de los

datos que lo sustentan, y en consecuencia, para algn tipo de conocimiento este grado de credibilidad ser mayor o menor que para otros, siendo posible en algunos casos asignar el grado de credibilidad a partir del valor numrico de la probabilidad matemtica y en otros no.

Seala Keynes (1974) que el conocimiento probable es aquel en el que podemos creer de manera racional: pues no es racional que creamos que lo probable es verdadero; solamente es racional tener una creencia probable en ello o creerlo con preferencia a creencias alternativas (p. 47).

Esta afirmacin es vlida no slo en cuanto al conocimiento cientfico, sino tambin para el conocimiento del que disponemos en la toma de decisiones en circunstancias de nuestra vida cotidiana. Cuando manejamos varias hiptesis, la situacin no es simplemente una dicotoma: una de las hiptesis es verdadera o ms probable y las otras son falsas o menos probables; sino que adems intervienen otros factores como la preferencia de una hiptesis sobre las otras, sobre todo cuando la diferencia entre sus grados de credibilidad es poco significante, o cuando una de las hiptesis menos probables es ms conveniente en trminos de los beneficios que puede aportar.

En todo caso, la probabilidad de las hiptesis, expresada bien sea en forma matemtica o como nivel de credibilidad, es una de las cosas que se debe determinar y tener en cuenta en el momento de actuar. (Keynes, 1974, p. 47).



AZAR Y PROBABILIDAD EN EL COMPORTAMIENTO DEL HOMBRE

Habiendo dedicado buena parte de

este escrito a la confrontacin de las nociones de determinismo y azar en el mundo fsico y natural y las interpretaciones del azar y la probabilidad, para finalizar resaltar el papel que estos dos ltimos juegan en la vida del ser humano.

En nuestra vida diaria aceptamos muchas cosas como ciertas slo porque siempre han sido de esa manera; por ejemplo no dudamos de que el sol saldr todos las maanas por el este, desde que nacimos es

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