01 la regla del trapecio

MÉTODOS NUMÉRICOS

CAPÍTULO 6: INTEGRACIÓN

NUMÉRICA.

LA REGLA DEL TRAPECIO.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Junio de 2015.

Capítulo 6. Integración Numérica. La regla del trapecio.

Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 1

PRESENTACIÓN.

La presente es una Guía de Ejercicios de Métodos Numéricos para estudiantes de

Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería Ambiental, Civil, de

Computación, Eléctrica, Electrónica, Industrial, Mecánica, de Petróleo, de Sistemas y

Química de reconocidas Universidades en Venezuela.

El material presentado no es en modo alguno original, excepto la inclusión de las

respuestas a ejercicios seleccionados y su compilación en atención al contenido

programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos.

Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente las guías de ejercicios y

exámenes publicados en su oportunidad por Profesores de Métodos Numéricos para

Ingenieros en los núcleos de Monagas y Anzoátegui de la Universidad de Oriente, además

de la bibliografía especializada en la materia y citada al final de cada capítulo, por lo que el

crédito y responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma

integrada de información existente en la literatura.

Adicionalmente es conveniente mencionar que este trabajo ha sido realizado con

fines estrictamente académicos y su uso y difusión por medios impresos y electrónicos es

libre, no representando ningún tipo de lucro para el autor.

Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta

contribución en la enseñanza y aprendizaje de los Métodos Numéricos, así como las

sugerencias que tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar

directamente a través de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, PIN:

2736CCF1 ó 7A264BE3, correo electrónico: [email protected] ó

[email protected], twitter: @medinawj ó personalmente en la sección de Matemáticas,

Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas.

Ing. Willians Medina.



ACERCA DEL AUTOR.

Willians Medina es Ingeniero Químico, egresado de la Universidad de Oriente,

Núcleo de Anzoátegui, Venezuela. Durante el transcurso de su carrera universitaria se

desempeñó como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y

Termodinámica Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad.

En el año 1996 ingresó a la Industria Petrolera Venezolana, Petróleos de Venezuela

(PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Producción de

Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el año 1998, momento en el cual

comenzó su desempeño en la misma corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el

Complejo Operativo Jusepín, al norte del Estado Monagas hasta finales del año 2000.

Durante el año 2001 formó parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé,

Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de preparación integral en las áreas de producción

y manejo de petróleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte

del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento

químico anticorrosivo de gasoductos de la zona de producción de petróleo y gas hasta

finales del año 2002. Desde el año 2006, forma parte del Staff de Profesores de

Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Básicos del Núcleo

de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas

tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial), Matemáticas II (Cálculo Integral),

Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV (Ecuaciones diferenciales), Métodos

Numéricos, Termodinámica y Fenómenos de Transporte para estudiantes de Ingeniería. Es

autor de compendios de ejercicios propuestos y formularios en el área de Matemáticas,

Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística,

Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería

Económica. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.



6.1.- GENERALIDADES.

Con frecuencia surge la necesidad de evaluar la integral definida de una función que

no tiene una antiderivada explícita o cuya antiderivada tiene valores que no son fácilmente

obtenibles. El método básico involucrado para aproximar b

axdxf )( se conoce como

cuadratura numérica y usa una suma del tipo

n

i

ii xfa0

)( para aproximar b

axdxf )( .

Los métodos de cuadratura que discutiremos en esta sección se basan en los

polinomios interpolantes dados en el capítulo 3. Para comenzar, primero seleccionamos un

conjunto de nodos distintos },,,{ 110 nn xxxx de un intervalo a ],[ ba . Si nP es el

polinomio interpolante de Lagrange

n

i

iin xfxLxP0

)()()( (3.14)

Entonces:

!)1(

))(()()()()(

)1(

00

n

xfxxxfxLxf

nn

i

i

n

i

ii

(3.18)

Integramos nP y su término de error de truncamiento sobre ],[ ba para obtener la fórmula

de cuadratura

b

a

nn

i

i

b

an

b

axd

n

xfxxxdxPxdxf

!)1(

))(()()()(

)1(

0

b

a

nn

i

i

b

a

n

i

ii xdn

xfxxxdxfxL

!)1(

))(()()()(

)1(

00

b

a

nn

i

i

n

i

ii xdxfxxn

xfa ))(()(!)1(

1)( )1(

00

donde )(x está en ],[ ba para cada x y b

aii xdxLa )( , para ni ,,1,0

6.2.- FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN DE NEWTON – COTES.



Las fórmulas de Newton – Cotes son los tipos de integración numérica más

comunes. Se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o datos tabulados

por un polinomio de aproximación que es fácil de integrar:

b

an

b

axdxPxdxfI )()( (6.1)

donde )(xPn = un polinomio de la forma

n

n

n

nn xaxaxaxaaxP

1

1

2

210)(

donde n es el grado del polinomio. Por ejemplo, en la figura 6.1a se utiliza un polinomio de

primer grado (una línea recta) como aproximación. En la figura 6.1b, se emplea una

parábola con el mismo propósito.

(a) (b)

Figura 6.1. La aproximación de una integral mediante el área bajo a) una sola línea recta y b) una parábola.

La integral también se puede aproximar usando un conjunto de polinomios

aplicados por pedazos a la función o datos, sobre segmentos de longitud constante. Por

ejemplo, en la figura 6.2, se usan segmentos de línea recta para aproximar la integral.

Aunque pueden utilizarse polinomios de grado superior con los mismos propósitos.



Figura 6.2. La aproximación de una integral mediante el área bajo tres segmentos de línea recta.

Existen formas cerradas y abiertas de las fórmulas de Newton – Cotes. Las formas

cerradas son aquellas donde se reconocen datos al inicio y al final de los límites de

integración (figura 6.3a). Las formas abiertas tienen límites de integración que se extienden

más allá del intervalo de los datos (figura 6.3b).

(a) (b)

Figura 6.3. La diferencia entre las fórmulas de integración a) cerradas y b) abiertas.

Por lo general, las formas abiertas de Newton – Cotes no se usan para integración definida.

Sin embargo, se utilizan para evaluar integrales impropias y para obtener la solución de

ecuaciones diferenciales ordinarias. Este capítulo se enfatiza las formas cerradas. No



obstante, se presenta brevemente una introducción a las formulas abiertas de Newton –

Cotes.

Fórmulas cerradas de Newton – Cotes de grado superior.

Algunas de las fórmulas se resumen en la tabla siguiente, junto con el error de

truncamiento.

Segmentos Puntos Nombre Fórmula Error de

truncamiento

1 2 Método

del

trapecio 2

)()()( 10 xfxf

ab

)(3

121 fh

2 3

Regla

de

Simpson

1/3 6

)()(4)()( 210 xfxfxf

ab

)()4(5

901 fh

3 4

Regla

de

Simpson

3/8 8

)()(3)(3)()( 3210 xfxfxfxf

ab

)()4(5

803 fh

4 5 Regla

de

Boole 90

)(7)(32)(12)(32)(7)( 43210 xfxfxfxfxf

ab

)()6(7

9458 fh

5 6 288

)(19)(75)(50)(50)(75)(19)( 543210 xfxfxfxfxfxf

ab

)()6(7

12096275 fh

Fórmulas abiertas de Newton – Cotes de grado superior.

Segmentos Puntos Nombre Fórmula Error de

truncamiento

2 1

Método

del

punto

medio

)()( 1xfab )(3

31 fh

3 2

2

)()()( 21 xfxf

ab

)(3

43 fh

4 3

3

)(2)()(2)( 321 xfxfxf

ab

)()4(5

4514 fh

5 4

24

)(11)()()(11)( 4321 xfxfxfxf

ab

)()4(5

14495 fh

6 5 20

)(11)(14)(26)(14)(11)( 54321 xfxfxfxfxf

ab

)()6(7

14041 fh

Así, no sólo permite la evaluación de datos con segmentos desiguales. De esta manera,

representa un algoritmo básico, para todo propósito en la determinación de la integral de

datos tabulados.

6.3.- LA REGLA DEL TRAPECIO.



La regla del trapecio es la primera de las fórmulas cerradas de integración de

Newton – Cotes. Corresponde al caso donde el polinomio de la ecuación (6.1) es de primer

grado.

b

a

b

axdxPxdxfI )()( 1

Para derivar la regla del trapecio para aproximar b

axdxf )( , sean ax 0 , bx 1 ,

abh . Usando el polinomio de interpolación de Lagrange de primer grado:

)()()( 1

01

0

0

10

11 xf

xx

xxxf

xx

xxxP

(3.16)

Por lo tanto,

1

0

)()()( 1

01

0

0

10

1x

x

b

axdxf

xx

xxxf

xx

xxxdxf

Al efectuar la integración:

1

0

)()(2

)()(

)(2

)()( 1

01

2

0

0

10

2

1

x

x

b

axf

xx

xxxf

xx

xxxdxf

Al aplicar el teorema fundamental del cálculo:

)()(2

)()(

)(2

)()( 0

10

2

10

1

01

2

01 xfxx

xxxf

xx

xxxdxf

b

a

)(2

)(2

0

10

1

01 xfxx

xfxx

)(2

)(2

0

01

1

01 xfxx

xfxx

)]()([2

01

01 xfxfxx

ó

)]()([2

)( 10 xfxfh

xdxfb

a (6.2)



La razón por la cual esta fórmula se llama la regla del trapecio es que, cuando f es una

función con valores positivos, b

axdxf )( se puede aproximar calculando el área del

trapecio mostrado en la figura 6.4.

Figura 6.4. Representación gráfica de la regla del trapecio.

Error de la regla del trapecio.

Cuando empleamos la integral bajo un segmento de línea recta para aproximar la integral

bajo una curva, obviamente se tiene un error que puede ser importante (Figura 6.5).

Figura 6.5. Ilustración de la importancia del error en una sola aplicación de la regla del trapecio.



Una estimación al error de truncamiento local para una sola aplicación de la regla del

trapecio se deduce a continuación.

Aplicando el término del error para un polinomio interpolante de Lagrange (Ecuación

3.19):

n

i

i

n

a xxn

xf

0

)1(

)(!)1(

))(( (3.19)

Para un polinomio interpolante de Lagrange de grado 1 ( 1n ).

)()(2

))((10 xxxx

xfa

1

0

x

xat xdE

1

0

)()(2

))((10

x

xxdxxxx

xf

1

0

)()(2

))((10

x

xxdxxxx

xf

1

0

])([2

))((1010

2x

xxdxxxxxx

xf

1

0

10

210

3

2

)(

32

))((x

x

xxxxxxxxf

)()(

2

)(

32

))((0110

2

0

2

1

10

3

0

3

1 xxxxxxxxxxxf

1

2

0

2

10

1

2

0

3

1

3

0

2

10

3

0

3

1

2222332

))((xxxx

xxxxxxxxxf

22662

))(( 1

2

0

2

10

3

0

3

1 xxxxxxxf

6

33

2

))(( 1

2

0

2

10

3

0

3

1 xxxxxxxf

)33(12

))(( 3

0

2

101

2

0

3

1 xxxxxxxf



3

01 )(12

))((xx

xfEt

ó

))((12

)( 3

xfab

Et

(6.3)

donde está en algún lugar en el intervalo de a a b. La ecuación (6.3) indica que si la

función sujeta a integración es lineal, la regla del trapecio será exacta. Nótese que la regla

del trapecio dará el resultado exacto cuando se aplique a cualquier función cuya segunda

derivada sea idénticamente cero, o sea, cualquier polinomio de grado uno o menor. De otra

manera, para funciones con derivadas de segundo orden y de orden superior (es decir, con

curvatura), puede ocurrir algún error.

Ejemplo 6.1.

[WM] Use la regla del trapecio para aproximar

3

1

2 )( xdex x. Compare la aproximación

con el valor real y encuentre una cota para el error, si esto es posible.

Solución.

3

1

2 )( xdex x

1a

3b

xexxf 2)(

Aplicando la ecuación 6.2.

)]()([2

)( 10 xfxfh

xdxfb

a (6.2)

10 ax

31 bx

213 abh

6321206.01)1()1()( 1)1(2

0 eefxf

9502129.89)3()3()( 3)3(2

1 eefxf



La gráfica de estos puntos se ilustra en la figura 6.6.

Figura 6.6. Representación gráfica del empleo de una sola aplicación de la regla del trapecio para aproximar

la integral de xexxf 2)( de 1x a 3x .

Valor aproximado de la integral (Área rayada en la figura 6.6).

)9502129.86321206.0(2

2)(

3

1

2 xdex x

5823335.9

Valor exacto de la integral (Área sombreada en la figura 6.6).

3

1

3

31

3

1

2 )( xx exxdex

])1([])3([ )1(3

31)3(3

31 ee

1

3139 ee

13

326 ee

3485742.8

Error absoluto de aproximación.

aproximadoValor exactoValor t

5823335.93485742.8

2337593.1



Cota de error.

))((12

)( 3

xfab

Et

(6.3)

La segunda derivada de la función xexxf 2)( es xexf 2)( . Al evaluar en 1x

y en 3x tenemos:

6321206.12)1( 1 ef

9502129.12)3( 3 ef

9502129.112

)13( 3

tE

3001420.1

Observamos que la estimación se encuentra entre los límites del error.

Cálculo de integrales definidas mediante la calculadora.

Algunas calculadoras científicas modernas disponen de la opción para calcular

numéricamente integrales definidas, tales como la CASIO fx-570ES PLUS. En este sentido

conviene conocer la secuencia de teclas que se deben presionar para obtener el valor

numérico de la integral.

El procedimiento es el siguiente:

Encender la calculadora presionando la tecla ON.

Presionar la tecla ʃ. El display muestra:

xd R Math

Ingresar la función teniendo en cuenta que la “x” se ingresa presionando las teclas ALPHA

). Para ingresar la función xexxf 2)( , la secuencia de teclas es:

ALPHA , ) , 2x , – , SHIFT , ln , (–) , ALPHA , ). El display muestra:

xdex x2

R Math

Ingresar el límite inferior de integración. Presionar la tecla e introducir el valor 1.



1

2 xdex x R Math

Ingresar el límite superior de integración. Presionar la tecla e introducir el valor 3.

3

1

2 xdex x R Math

Presionar la tecla =. Al cabo de unos segundos, la calculadora muestra en el display:

3

1

2 xdex x R Math

8.348574294

De esta manera hemos determinado el valor numérico exacto de la integral.

Ejemplo 6.2.

[WM] Use la tabla de abajo para encontrar una aproximación a 5.1

1.1xde x

.

x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 xe 3.0042 3.3201 3.6693 4.0552 4.4817

Compare la aproximación con el valor real y encuentre una cota para el error, si esto es

posible.

Solución.

5.1

1.1xde x

1.1a

5.1b

xexf )(


)]()([2

)( 10 xfxfh

xdxfb

a (6.2)

1.10 ax

5.11 bx

4.01.15.1 abh

0042.3)1.1()( 0 fxf



4817.4)5.1()( 1 fxf


Figura 6.7. Representación gráfica del empleo de una sola aplicación de la regla del trapecio para aproximar

la integral de xexf )( de 1.1x a 5.1x .

Valor aproximado de la integral.

)4817.40042.3(2

4.05.1

1.1 xde x

4971800.1

Valor exacto de la integral.

5.1

1.1

5.1

1.1

xx exde

1.15.1 ee

4775230.1



4971800.14775230.1

0196570.0

Cota de error.



))((12

)( 3

xfab

Et

(6.3)

La segunda derivada de la función xexf )( es xexf )( . Al evaluar en 1.1x y en

5.1x tenemos:

0042.3)1.1( 1.1 ef

4817.4)5.1( 5.1 ef

4817.412

)1.15.1( 3

tE

0239024.0

Observamos que la estimación se encuentra entre los límites del error.

Ejemplo 6.3.

[BF, WM] Dada la función f en los valores tabulados abajo:

x 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6

)(xf 3.12014 4.42569 6.04241 8.03014 10.46675

Aproxime 6.2

8.1)( xdxf usando la regla del trapecio.

Solución.

6.2

8.1)( xdxf

8.1a

6.2b


)]()([2

)( 10 xfxfh

xdxfb

a (6.2)

8.10 ax

6.21 bx

8.08.16.2 abh

12014.3)8.1()( 0 fxf

46675.10)6.2()( 1 fxf




)46675.1012014.3(2

8.0)(

6.2

8.1 xdxf

4347560.5

Ejercicios propuestos.

1. [BF, CC] Use la regla del trapecio para aproximar las integrales siguientes. Compare la

aproximación con el valor real y encuentre una cota del error en cada caso, si esto es

posible.

a) 2

1ln xdx b)

1.0

0

3

1

xdx c) 3/

0

2)sen (

xdx

d) 4.0

2.0

3 2cos xdxe x e)

4/

0tan

xdx f) 4/3

2/cot

xdx

g)

5.1

0

1)1( xdx h)

3

0)1( xde x

i) 4

2

52 )41( xdxxx

j) 2/

0)sen 48(

xdx k) 1

0

215 xdx l)

0)sen 35( xdx

2. [CC] Evalúe la integral 5.0

0)( xdxf de los siguientes datos tabulados usando la regla del

trapecio:

x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

)(xf 1 7 4 3 5 2

3. [CC] Evalúe la integral 11

3)( xdxf de los siguientes datos tabulados usando la regla del

trapecio:

x –3 –1 1 3 5 7 9 11

)(xf 1 –4 –9 2 4 2 6 –3

La regla del trapecio de aplicación múltiple.

Una forma de mejorar la precisión de la regla del trapecio consiste en dividir el

intervalo de integración de a a b en varios segmentos, y aplicar el método a cada uno de

ellos (Figura 6.8). Las áreas de los segmentos se suman después para obtener la integral en

todo el intervalo. Las ecuaciones resultantes se llaman fórmulas de integración, de

aplicación múltiple o compuestas.



Figura 6.8. Ilustración de la regla del trapecio de aplicación múltiple. a) Dos segmentos, b) tres segmentos, c)

cuatro segmentos y d) cinco segmentos.

La figura 6.9 muestra el formato general y la nomenclatura que usaremos para

obtener integrales de aplicación múltiple.

Hay 1n puntos igualmente espaciados },,,{ 110 nn xxxx . En consecuencia, existen n

segmentos del mismo ancho:

n

abh

(6.4)



Figura 6.9. Formato general y nomenclatura para integrales de aplicación múltiple.

Si a y b se designan como 0x y nx , respectivamente, la integral completa se representará

como

n

n

x

x

x

x

x

x

b

axdxfxdxfxdxfxdxf

1

2

1

1

0

)()()()(

Sustituyendo la regla del trapecio en cada integral se obtiene

2

)()(

2

)()(

2

)()()( 12110 nn

b

a

xfxfh

xfxfh

xfxfhxdxf

(6.5)

o, agrupando términos,

)]()(2)([2

)(1

1

0 n

n

i

i

b

axfxfxf

hxdxf

(6.6)

o, usando la ecuación 6.4

)]()(2)([2

)(1

1

0 n

n

i

i

b

axfxfxf

n

abxdxf

promedio Altura

1

1

0

Ancho2

)()(2)(

)()(n

xfxfxf

abxdxfn

n

i

ib

a

(6.7)

Como la sumatoria de los coeficientes de )(xf en el numerador dividido entre n2 es igual

a 1, la altura promedio representa el promedio ponderado de los valores de la función. De



acuerdo con la ecuación (6.7), a los puntos interiores se les da el doble de peso que a los

dos puntos extremos )( 0xf y )( nxf .

Algoritmo de la regla del trapecio de aplicación múltiple.

Para aproximar b

axdxfI )( :

ENTRADA: puntos extremos a, b; entero positivo n.

SALIDA: aproximación XI de I.

Paso 1 Tomar n

abh

Paso 2 Tomar )()(0 bfafXI

).)( de Suma(;01 ixfXI

Paso 3 Para 1,,1 ni seguir los pasos 4 y 5.

Paso 4 Tomar hiax

Paso 5 )(11 XfXIXI

Paso 6 Tomar 2/)120( XIXIhXI

Paso 7 SALIDA ( XI )

PARAR.

Error de la regla del trapecio de aplicación múltiple.

Se tiene un error con la regla del trapecio de aplicación múltiple al sumar los errores

individuales de cada segmento, así

n

i

t xfn

abE

13

3

))((12

)( (6.8)

donde ))(( xf es la segunda derivada en un punto i , localizado en el segmento i. Este

resultado se simplifica al estimar la medida o valor promedio de la segunda derivada en

todo el intervalo como n

xf

f

n

i

1

))((

.

Por lo tanto, la ecuación 6.8 se escribe como



fn

abEa

2

3

12

)( (6.9)

El valor promedio de la segunda derivada en todo el intervalo se puede escribir como

ab

xdxff

b

a

)(

Ejemplo 6.4.

[WM] Use la regla del trapecio compuesta con 8n para aproximar

3

1

2 )( xdex x .

Compare la aproximación con el resultado exacto.

Solución.

3

1

2 )( xdex x

1a

3b

xexxf 2)(


n

xfxfxf

abxdxfn

n

i

ib

a 2

)()(2)(

)()(

1

1

0

(6.7)

10 ax

3 bxn

25.08

13

n

abh

Se debe evaluar la función desde 1x hasta 3x con un paso de 25.0h . Los resultados

se muestran en la tabla siguiente:

i x xexxf 2)(

0 1.00 0.6321206

1 1.25 1.2759952

2 1.50 2.0268698

3 1.75 2.8887261



4 2.00 3.8646647

5 2.25 4.9571008

6 2.50 6.1679150

7 2.75 7.4985721

8 3.00 8.9502129


Figura 6.10. Representación gráfica del empleo de la regla del trapecio de aplicación múltiple con n = 8 para

aproximar la integral de xexxf 2)( de 1x a 3x .

La tabla anterior se completa con una columna que incorpore el doble del valor de la

función en los puntos intermedios:

i x xexxf 2)( )(2 xf

0 1.00 0.6321206

1 1.25 1.2759952 2.5519904

2 1.50 2.0268698 4.0537397

3 1.75 2.8887261 5.7774521

4 2.00 3.8646647 7.7293294

5 2.25 4.9571008 9.9142016

6 2.50 6.1679150 12.3358300

7 2.75 7.4985721 14.9971443

8 3.00 8.9502129

Total 57.3596875




)8(2

9502129.83596875.576321206.0)13()(

3

1

2

xdex x

16

66.94202102

3677526.8



3677526.83485742.8

0191784.0

El error de aproximación es menor que cuando se utiliza la regla del trapecio en un solo

intervalo.

Ejemplo 6.5.

[WM] Use la tabla de abajo para encontrar una aproximación a 5.1

1.1xde x

.

x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 xe 3.0042 3.3201 3.6693 4.0552 4.4817

Use la regla del trapecio con 2n y 4n . Compare la aproximación con el resultado

exacto.

Solución.

5.1

1.1xde x

1.1a

5.1b

xexf )(


n

xfxfxf

abxdxfn

n

i

ib

a 2

)()(2)(

)()(

1

1

0

(6.7)

1.10 ax



5.11 bx

Aplicación de la regla del trapecio con 2n .

2.02

1.15.1

n

abh

Se debe evaluar la función desde 1.1x hasta 5.1x con un paso de 2.0h . Los

resultados están mostrados en la tabla siguiente.

x 1.1 1.3 1.5 xe 3.0042 3.6693 4.4817

Obsérvese que se han tomado de la tabla dada en el planteamiento del problema sólo los

valores de x espaciados en 0.2 que delimitan 2 intervalos dentro de los límites de

integración (1.1 – 1.5). En caso de no disponerse de la tabla, procederíamos como en el

ejemplo 6.5 puesto que es conocida la función que genera los datos de la tabla, xexf )( .



aproximar la integral de xexf )( de 1.1x a 4.1x .


Utilizando los datos seleccionados:

)2(2

4817.4)6693.3(20042.3)1.15.1(

5.1

1.1

xde x



4

14.82454.0

4824500.1



4824500.14775230.1

0049270.0

Aplicación de la regla del trapecio con 4n .

1.04

1.15.1

n

abh


resultados están mostrados en la tabla proporcionada.



aproximar la integral de xexf )( de 1.1x a 4.1x .


Utilizando los datos de la tabla proporcionada:

)4(2

4817.4)0552.46693.33201.3(20042.3)1.15.1(

5.1

1.1

xde x



8

4.4817(11.0446)23.00424.0

8

29.57514.0

4787550.1



4787550.14775230.1

0012320.0

Obsérvese que al aumentar el número de segmentos, disminuye el error absoluto de

aproximación.

Existen infinitas posibilidades en cuanto al número de segmentos para determinar el valor

de la integral 5.1

1.1xde x

, puesto que se conoce la función y no estamos limitados a los datos

proporcionados en la tabla dada en el planteamiento del problema. En caso de especificarse

por ejemplo, 5n procederíamos como en el ejemplo 6.5 con la función xexf )( ,

1.1a , 5.1b y 5n .

Ejemplo 6.6.

[BF, WM] Dada la función f en los valores tabulados abajo:

x 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6

)(xf 3.12014 4.42569 6.04241 8.03014 10.46675

Aproxime 6.2

8.1)( xdxf usando la regla del trapecio compuesta.

Solución.

6.2

8.1)( xdxf

8.1a

6.2b

Puesto que los extremos (1.8 – 2.6) incluyen entre ellos tres puntos, tenemos un total de

cinco puntos. La subdivisión es entonces de cuatro intervalos, por lo cual 4n .



Adicionalmente observamos que el paso en este caso es 2.0h , pues es la diferencia

constante entre dos x consecutivos.


n

xfxfxf

abxdxfn

n

i

ib

a 2

)()(2)(

)()(

1

1

0

(6.7)

8.10 ax

6.2 bxn


resultados están mostrados en la tabla proporcionada.


Utilizando los datos:

)4(2

46675.10)03014.804241.642569.4(212014.3)8.16.2()(

6.2

8.1

xdxf

8

10.46675(18.49824)23.120148.0

8

50.583378.0

058337.5

Para resolver este ejemplo 6.6, se pudieron tomar también 2 intervalos con 4.0h y los

puntos que se indican a continuación:

x 1.8 2.2 2.6

)(xf 3.12014 6.04241 10.46675

En cuyo caso el valor de la integral, de acuerdo con la ecuación 6.7 es:

)2(2

46675.10)04241.6(212014.3)8.16.2()(

6.2

8.1

xdxf

4

25.671718.0

134342.5



No existe otra posibilidad en cuanto al número de segmentos para determinar el valor de la

integral 6.2

8.1)( xdxf , puesto que no se conoce la función y estamos limitados a los datos

proporcionados en la tabla dada en el planteamiento del problema.

Como regla general, si se debe utilizar la regla del trapecio de aplicación múltiple, cuando

se da una tabla de valores sin especificar la función a integrar (integrando), el número de

segmentos indicados para aproximar b

axdxf )( debería ser un múltiplo del número de

segmentos que dividen los datos de la tabla dada en el intervalo ],[ ba , a menos que se

deseen aplicar métodos de interpolación como los indicados en el capítulo 5, lo cual

representa un trabajo laborioso, ajeno a los objetivos de este manual. Como ejemplo, si

tenemos 11 datos incluyendo los límites de integración, éstos proporcionan 10 segmentos.

Podríamos aplicar el método de los trapecios en 1, 2, 5 y 10 segmentos. Evidentemente, los

límites de integración son los mismos, pero el espaciamiento (h) es diferente en cada caso.

Ejemplo 6.7.

Considere 4/

0tan

xdx .

a) Use la regla del trapecio extendida con 4n y 8n para aproximar la integral.

b) Encuentre una cota al error en cada caso de a) y compare las aproximaciones con el valor

real.

c) Determine los valores de n y h necesarios para que la aproximación tenga 10–8

de

precisión.

Solución.

4/

0tan

xdx

0a

4b

xxf tan)(

a) Regla del trapecio extendida con 4n .




n

xfxfxf

abxdxfn

n

i

ib

a 2

)()(2)(

)()(

1

1

0

(6.7)

00 ax

7853981634.04 bxn

1963495408.04

04

n

abh

Se debe evaluar la función desde 0x hasta 7853981634.0x con un paso de

1963495408.0h . Los resultados se muestran en la tabla siguiente:

i x xxf tan)(

0 0.0000000000 0.0000000000

1 0.1963495408 0.1989123674

2 0.3926990817 0.4142135624

3 0.5890486225 0.6681786379

4 0.7853981634 1.0000000000



aproximar la integral de xxf tan)( de 0x a 4/x .


Utilizando los datos de la tabla obtenida:



)4(2

1)6681786379.04142135624.01989123674.0(20)07853981634.0(tan

4/

0

xdx

8

1)281304568.1(207853981634.0

8

562609136.37853981634.0

3497583340.0

Regla del trapecio extendida con 8n .


n

xfxfxf

abxdxfn

n

i

ib

a 2

)()(2)(

)()(

1

1

0

(6.7)

00 xa

7853981634.04

nxb

20981747704.08

04

n

abh

Se debe evaluar la función desde 0x hasta 7853981634.0x con un paso de

20981747704.0h . Los resultados se muestran en la tabla siguiente:

i x xxf tan)(

0 0.0000000000 0.0000000000

1 0.0981747704 0.0984914034

2 0.1963495408 0.1989123674

3 0.2945243113 0.3033466836

4 0.3926990817 0.4142135624

5 0.4908738521 0.5345111360

6 0.5890486225 0.6681786379

7 0.6872233930 0.8206787908

8 0.7853981634 1.0000000000





aproximar la integral de xxf tan)( de 0x a 4/x .

La tabla anterior se completa con una columna que incorpore el doble del valor de la

función en los puntos intermedios:

i x xxf tan)( )(2 xf

0 0.0000000000 0.0000000000

1 0.0981747704 0.0984914034 0.1969828067

2 0.1963495408 0.1989123674 0.3978247348

3 0.2945243113 0.3033466836 0.6066933672

4 0.3926990817 0.4142135624 0.8284271247

5 0.4908738521 0.5345111360 1.0690222719

6 0.5890486225 0.6681786379 1.3363572758

7 0.6872233930 0.8206787908 1.6413575817

8 0.7853981634 1.0000000000

Total 6.0766651628


Utilizando los datos de la tabla obtenida:

)8(2

1286.076665160)07853981634.0(tan

4/

0

xdx

16

0766651628.77853981634.0

3473749889.0



Valor exacto de la integral.

4/

0

4/

0)(seclntan

xxdx

)]0[sec(ln)]4/([secln

1ln2ln

3465735903.0



4n 8n

3497583340.03465735903.0 t 3473749889.03465735903.0 t

3101847.3 4100140.8

b) Cota de error.

fn

abEa

2

3

12

)( (6.9).

Siendo xxf tan)( , entonces xxf 2sec)( y xxxf tansec2)( 2

Valor promedio de la segunda derivada.

ab

xdxff

b

a

)(

0

tansec2

4

4/

0

2

xdxx

7853981634.0

1

273239545.1

4n 8n

)273239545.1()4(12

)0(2

3

4

aE )273239545.1()8(12

)0(2

3

4

aE

3102128.3 4100319.8



c) fn

abEa

2

3

12

)( (6.9)

Al despejar n de la ecuación anterior.

fE

abn

a

12

)( 3

)273239545.1(1012

)0(8

3

4

25.2267

Se requieren 2268 segmentos como mínimo.

000346295.02268

04

n

abh

000346295.0h

Ejercicios propuestos.

4. [CC] Aproxime las integrales h), i) e j) del problema 1 con la regla del trapecio de

aplicación múltiple, usando 2n , 4n y 6n .

5. [BF] Use la regla del trapecio extendida con el valor indicado de n para aproximar las

siguientes integrales definidas. Compare las aproximaciones con el resultado exacto.

a) 3

1 x

xd; 4n b)

2

0

3 xdx ; 4n c) 3

0

21 xdxx ; 6n

d) 1

0sen xdx ; 6n e)

2

0sen xdxx ; 8n f)

1

0

2 xdex x; 8n

g)

2

0

2 2

xdex x; 8n h)

5.1

0

1)1( xdx ; 10n

6. [CC] Integre la siguiente función de manera analítica 3

0

2 xdex x. Después emplee la

regla del trapecio para integrar numéricamente la función. Use la versión de aplicación

múltiple con 4n . Calcule el error relativo porcentual del resultado numérico.

7. [CC] Integre la siguiente función

2

1

21

xdx

x mediante la regla del trapecio, con

1n , 2n , 3n y 4n . Calcule los errores relativos porcentuales con respecto al



valor verdadero 4.8333 para evaluar la exactitud de las aproximaciones de la regla del

trapecio.

8. Use la regla del trapecio extendida con el valor indicado de h para aproximar las

siguientes integrales definidas. Compare las aproximaciones con el resultado exacto.

a) 3

0

21 xdxx ; 5.0h b) 1

0

2 xdex x ; 125.0h

c)

1

0 1xd

x

e x

; 05.0h

9. [CC] Evalúe la integral 5.0

0)( xdxf de los datos tabulados en el problema 2 usando la

regla del trapecio de aplicación múltiple. Compare resultados.

10. [CC] Evalúe la integral 11

3)( xdxf de los datos tabulados en el problema 3 usando la

regla del trapecio de aplicación múltiple. Compare resultados.

11. [BF] Repetir el ejemplo 6.7 para la integral 4/3

2/cot

xdx .

12. [WM] Determine los valores de n y h necesarios para aproximar

3

1

2 )( xdex x con

10–6

de precisión usando la regla del trapecio compuesta.

13. [BF] Determine los valores de n y h necesarios para aproximar 3

1sen xdxe x

con 10–4

de precisión usando la regla del trapecio compuesta.

14. [BF] Determine los valores de n y h necesarios para aproximar 10

1ln xdx con 10

–4 de

precisión usando la regla del trapecio compuesta.

15. [CC] Integre la siguiente función

1

0

)1(201.0 ]1[)2.1( xdexx x. Observe que el valor

verdadero es 0.602297. Evalúe esta integral con la regla del trapecio de segmento múltiple.

Use una n lo suficientemente grande para que tenga usted 4 cifras significativas de

exactitud. Analice sus resultados.



RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.

6.3.- LA REGLA DEL TRAPECIO.

La regla del trapecio de aplicación simple.

Integral Valor aproximado Valor exacto Error Cota del error.

a) 0.3465736 0.3862944 0.0397208 –0.0833333

b) 0.0232079 0.0348119 0.0116040 0.0008596

c) 0.3926991 0.3070924 0.0856067 –0.1913968

d) 0.3991430 0.4037596 0.0046166 –0.0113432

e) 0.3926991 0.3465736 0.0461255 0.1614910

f) –0.3926991 –0.3465736 0.0461255 –0.1614910

g) 1.0500000 0.9162907 0.1337093 –0.5625000

h) 1.4253194 2.0497871 0.6244677 –2.2500000

i) 2736.000000 576.000000 2160.000000 –22896.000000

j) 15.7079632 16.5663706 0.8584073 –1.2919283

k) 113.0000000 41.3581698 71.6418302 –550.0151918

l) 15.7079632 21.7079632 6.0000000 7.7515692

2. 0.7500000.

3. –14.0000000

La regla del trapecio de aplicación múltiple.

4.

Integral 2n 4n 6n

h) 1.8779645 2.0056580 2.0300730

i) 1359.0000000 786.9375000 671.0000000

j) 16.3586084 16.5148339 16.5434982

5.

Integral Valor aproximado Valor exacto

a) 1.1166667 1.0986123

b) 4.2500000 4.0000000

c) 10.3122012 10.2075922

d) 0.6220085 0.6366198

e) –5.95683320 –6.2831854

f) 0.7288902 0.7182818

g) 0.4215820 0.4227251

h) 0.9178617 0.9162907

6. Valor exacto: 5359919.504416

45 e , Valor aproximado: 630.8784809. Error relativo:

25.0413%

7. Valor exacto: 8333333.4629

1n : Valor aproximado: 5.1250000; Error: 6.0345%






8.

Integral n Valor aproximado Valor exacto

a) 6 10.3122012 10.207593

b) 8 0.7288902 0.7182818

c) 20 0.5388953 0.5386506

9. 2.0500000

10. 0.0000000.

11. Valor exacto: –0.3465736

a) 4n : –0.3497583, 8n : –0.3473750; b) 3102128.3 tE , 4100319.8 tE ; c)

2268n .

12. 1108n , 001805054.0h .

13. 264n , 001805054.0h .

14. 247n , 60364372469.0h .

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01 la regla del trapecio