MỞ ĐẦU

I. Lý do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát

Phương pháp đổi biến xuất hiện trong lời giải nhiều dạng toán thuộc chương trình bậc trung học

phổ thông Việt Nam : khảo sát và vẽ đồ thị hàm bậc hai tổng quát, đại số hóa các phương trình và bất

phương trình qui về bậc hai, đại số hóa các phương trình lượng giác, phương trình, hệ phương trình,

bất phương trình mũ và logarit, … Có lẽ vì thế mà ta thường xuyên thấy sự tác động của “phương pháp

đổi biến” trong các đề thi tú tài và đại học. Điều đó khiến chúng tôi mong muốn tiến hành một nghiên

cứu về sự hiện diện của nó trong chương trình toán bậc trung học phổ thông Việt Nam.

Chúng tôi bắt đầu quan sát sự hiện diện của đổi biến qua lời giải hai bài toán được trình bày trong

sách giáo khoa giải tích 12, chương trình chỉnh lý hợp nhất 2000. Hai lời giải này được giới thiệu như

những ví dụ minh họa, một cho dạng toán khảo sát hàm số, một cho dạng toán tính tích phân. Dưới

đây, chúng tôi sẽ trình bày tóm tắt hai lời giải đó.

• Bài toán 1 (trang 80 sách giáo khoa giải tích 12) :

Khảo sát hàm số y = x3+3x2– 4

Tập xác định: R

y’ = 3x2+6x = 3x(x+2)

y’’ = 6x+6 = 6(x+1)

Bảng biến thiên

x – –2 –1 0

y’ 0 0

y 0 –2

- (I) - 4

Sau đó, bằng việc xét dấu y”, người ta nói rằng đồ thị hàm số là một đường cong lồi trong khoảng

(-∞; -1), lõm trong khoảng (-1; +∞), và nhận I(-1; -2) làm tâm đối xứng. Từ những kết quả trên, người

ta vẽ đồ thị của hàm số.

Cuối cùng, nhận xét sau đây được nêu ra :

“Chú ý : Nếu ta tịnh tiến hệ tọa độ theo vectơ OI

, thì giữa các tọa độ cũ (x;y) và tọa độ mới

(X;Y) của một điểm M của mặt phẳng, có các hệ thức sau (gọi là công thức đổi trục):

x 1 Xy 2 Y

Thay vào hàm số đã cho ta được Y = X3–3X. Đây là một hàm số lẻ. Vậy đồ thị nhận điểm I là tâm

đối xứng.”

Phân tích phần chú ý ở cuối lời giải trên, chúng tôi thấy phép đổi hệ trục tọa độ được sử dụng để

chứng minh điểm I(-1; -2) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho ban đầu. Việc chuyển sang hệ tọa

độ mới cho phép tránh những phép biến đổi đại số phức tạp nhằm chứng minh I thỏa mãn điều kiện

của một tâm đối xứng của đồ thị hàm số f – vốn không được đề cập trong các sách giáo khoa1. Ở đây,

đường cong ban đầu hoàn toàn được giữ nguyên, nhưng hệ tọa độ thay đổi. Trong hệ tọa độ mới,

đường cong này trở thành đồ thị của một hàm số khác, thu được từ hàm số ban đầu bằng phép đổi biến.

Sau đó, sử dụng tính chất đã được giới thiệu trong phần lý thuyết (“đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ

làm tâm đối xứng”) người ta suy ra I(-1; -2) là tâm đối xứng của đường cong.

Như thế, trong trường hợp này, phép tịnh tiến hệ trục tọa độ được đặt tương ứng với một phép đổi

biến số.

1 Trong các sách giáo khoa phổ thông Việt nam, người ta không giới thiệu định nghĩa tổng quát cho phép xác định điều kiện để điểm I(a; b) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số f, chỉ nói rằng đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng và đồ thị một hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. Khái niệm tâm đối xứng, trục đối xứng của một hình được đề cập trong HH lớp 10, (chương trình 2000).

Ta thấy ở đây một sự phối hợp uyển chuyển trong việc sử dụng các hệ thống biểu đạt (registre)

của hai phạm vi (cadre) khác nhau – giải tích (GT) và hình học2 (HH). Cụ thể : đồ thị là một sự biểu

đạt bằng ngôn ngữ HH (registre géométique) của hàm số. Nhưng tất cả các tính chất của đồ thị đều có

thể được thể hiện qua những biểu thức GT (registre analytique), hay nói cách khác là có thể được

chứng minh trong phạm vi GT (cadre analytique). Song, trong lời giải trên, nhằm tránh những phép

biến đổi GT phức tạp, người ta ở lại trong phạm vi HH (cadre géométrique) để chứng minh tính đối

xứng của đồ thị.

Liên tưởng với ý kiến của Douady (1986) về tầm quan trọng của sự thay đổi phạm vi và hệ thống

biểu đạt trong hoạt động toán học nói chung, trong dạy học toán nói riêng, chúng tôi nẩy sinh mong

muốn nghiên cứu quan hệ giữa giải tích (GT) và hình học (HH) trong dạy học toán ở trường phổ thông

Việt-Nam. Quan hệ này có thể được thể hiện qua nhiều nội dung dạy học, mà đổi biến là một trong

những nội dung đó. Như thế, chúng tôi xác định chủ đề nghiên cứu của mình là : Đổi biến : quan hệ

giữa giải tích và hình học trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông.

• Bài toán 2 (trang 135 sách giáo khoa giải tích 12) : Tính . 1

3

0

2x 1 dx

Đặt t = 2x+1. Khi x = 0 thì t = 1. Khi x = 1 thì t = 3.

Ta có dt = 2dx dx = dt2

. Do đó : = 1

3

0

2x 1 dx33 4

3

1 1

1 tt dt 102 8

Như vậy, để tính tích phân từ 0 đến 1 của hàm số f xác định bởi biểu thức (2x+1)3 người ta đã đổi

sang biến t = 2x+1. Khi đó miền giá trị của t biến thiên từ 1 đến 3. Hàm số f theo biến x trở thành hàm

f theo biến t, với t là hàm theo biến x. Về bản chất, phép đổi biến từ x sang t ở đây chính là một sự

thiết lập hàm hợp.

Trong cả hai lời giải bài toán trên đều có sự tác động của phương pháp đổi biến3. Tuy nhiên, việc

đổi biến trong mỗi lời giải được đặt trong một cách tiếp cận khác nhau : đối với bài toán thứ nhất, đổi

biến tương ứng với phép đổi hệ tọa độ ; đối với bài toán thứ hai, đổi biến tương ứng với phép lập hàm

hợp. Chúng tôi nói rằng đổi biến đã được tiếp cận từ hai quan điểm :

2 Về các thuật ngữ regisstre và cadre bạn đọc có thể tham khảo Douady 1986.

3Trong luận văn này, để đơn giản, chúng tôi sẽ dùng thuật ngữ “đổi biến” thay cho “phương pháp đổi biến”. Vả lại, thuật ngữ thứ hai có thể làm người ta nghĩ đến phương pháp giải quyết một vấn đề (hay một loại vấn đề) cụ thể, trong khi chúng tôi lại muốn dùng nó theo nghĩa có sự xuất hiện của phương pháp đổi biến khi người ta giải một bài toán (hay một dạng toán) nào đó.

Quan điểm 1: xem đổi biến như là một sự thay đổi hệ trục tọa độ. Trong trường

hợp này, hệ tọa độ thay đổi, còn đường cong (đồ thị của hàm số ban đầu) được giữ nguyên,

nhưng trong hệ tọa độ mới thì nó trở thành đồ thị của một hàm số mới (thu được từ hàm số ban

đầu bằng đổi biến). Chúng tôi nói đây là đổi biến theo quan điểm HH.

Quan điểm 2: xem việc đổi biến như là một sự thiết lập hàm hợp. Chúng tôi nói

đổi biến ở đây được nhìn từ quan điểm GT.

Những ghi nhận về việc đổi biến trong lời giải của hai bài toán trên cũng như sự tác động thường

xuyên của nó trong các kỳ thi tú tài và tuyển sinh đại học khiến chúng tôi quan tâm. Chúng tôi tự hỏi :

Q’1 : Đổi biến được đưa vào ở đâu trong chương trình toán bậc trung học phổ

thông Việt nam ? bằng cách nào ? chúng đóng vai trò gì ?

Q’2 : Quan điểm nào - HH hay GT - được ưu tiên hơn trong thể chế dạy học bậc

trung học phổ thông Việt nam ?

Q’3 : Sự lựa chọn của thể chế tác động ra sao lên việc học của học sinh ?

II. Khung lý thuyết tham chiếu

II.1. Lí thuyết nhân chủng học

Để tìm một số yếu tố cho phép trả lời cho những câu hỏi trên, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình

trước hết trong phạm vi của lý thuyết nhân chủng học. Tại sao lại là lý thuyết nhân chủng học ? Bởi vì

cả 3 câu hỏi của chúng tôi đều liên quan đến những khái niệm cơ bản của lý thuyết này : quan hệ cá

nhân, quan hệ thể chế đối với một đối tượng tri thức, và tổ chức toán học. Dưới đây chúng tôi sẽ trình

bày tóm tắt những khái niệm đó và cố gắng làm rõ tính thỏa đáng của sự lựa chọn phạm vi lý thuyết

của mình. Để trình bày các khái niệm này, chúng tôi dựa vào những bài giảng didactic sẽ được công bố

trong cuốn sách song ngữ Didactic toán.

Quan hệ cá nhân đối với một đối tượng tri thức

Một đối tượng là một cái gì đó tồn tại ít nhất đối với một cá nhân. Quan hệ cá nhân của một cá

nhân X với một đối tượng tri thức O, ký hiệu R(X, O), là tập hợp những tác động qua lại mà X có thể

có với O. R(X, O) cho biết X nghĩ gì về O, X hiểu như thế nào O, X có thể thao tác O ra sao.

Theo quan điểm này việc học tập của cá nhân X về đối tượng tri thức O là sự điều chỉnh mối

quan hệ của X đối với O. Cụ thể, việc học tập xẩy ra nếu quan hệ R(X, O) bắt đầu được thiết lập (nếu

nó chưa từng tồn tại), hoặc bị biến đổi (nếu nó đã tồn tại).

Quan hệ thể chế đối với một đối tượng tri thức. Phân tích sinh thái

Thế nhưng, một cá nhân không thể tồn tại lơ lửng ở đâu đó mà luôn luôn phải ở trong ít nhất một

thể chế. Từ đó suy ra việc thiết lập hay biến đổi quan hệ R(X, O) phải được đặt trong một thể chế I nào

đó có sự tồn tại của X. Hơn thế, giữa I và O cũng phải có một quan hệ xác định.

Đối tượng O cũng không thể tồn tại độc lập trong bất cứ thể chế nào. Nói cách khác, O sống trong

mối quan hệ chằng chịt với những đối tượng khác. O sinh ra, tồn tại và phát triển trong mối quan hệ ấy.

Theo cách tiếp cận sinh thái (écologie) thì O chỉ có thể phát triển nếu nó có một lý do tồn tại (raison

d’être), nếu nó được nuôi dưỡng trong những quan hệ, những ràng buộc ấy.

Chevallard đã dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, ký hiệu R(I,O), để chỉ tập hợp các

mối ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O. R(I, O) cho biết O xuất hiện ở đâu, bằng cách nào, tồn tại

ra sao, đóng vai trò gì trong I, …. Phân tích sinh thái là một phân tích nhằm làm rõ quan hệ R(I, O) ấy.

Hiển nhiên, trong một thể chế I, quan hệ R(X, O) hình thành hay thay đổi dưới các ràng buộc của

R (I, O).

Với những định nghĩa trên thì trả lời cho các câu hỏi Q’1, Q’2 chính là làm rõ quan hệ của thể

chế I mà chúng tôi quan tâm đối với đối tượng O. Đối tượng O ở đây là “đổi biến”, còn thể chế dạy học

I thì với khuôn khổ của luận văn chúng tôi chỉ giới hạn trong phạm vi lớp 12. Những yếu tố trả lời cho

câu hỏi Q’3 sẽ được tìm thấy không chỉ qua việc làm rõ R(I, O) mà còn qua cả nghiên cứu quan hệ cá

nhân của học sinh đối với O, vì, như đã nói trên, tác động của thể chế I lên chủ thể X (tồn tại trong I)

thể hiện qua quan hệ R(X, O).

Một câu hỏi được đặt ra ngay tức thì : làm thế nào để vạch rõ quan hệ thể chế R(I, O) và quan hệ

cá nhân R(X, O) ?

Tổ chức toán học

Hoạt động toán học là một bộ phận của hoạt động xã hội. Do đó, cũng cần thiết xây dựng một mô

hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế đó. Xuất phát từ quan điểm này mà Chevallard (1998) đã

đưa vào khái niệm praxeologie.

Theo Chavallard, mỗi praxeologie là một bộ gồm 4 thành phần [T, , , ], trong đó : T là một

kiểu nhiệm vụ, là kỹ thuật cho phép giải quyết T, là công nghệ giải thích cho kỹ thuật , là lí

thuyết giải thích cho , nghĩa là công nghệ của công nghệ .

Một praxeologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức toán học

(organisation mathématique).

Theo Bosch.M và Chevallard.Y, việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế I với một đối tượng tri thức

O có thể được tiến hành thông qua việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O : “

Mối quan hệ thể chế với một đối tượng […] được định hình và biến đổi bởi một tập hợp

những nhiệm vụ mà cá nhân [chiếm một vị trí nào đó trong thể chế này] phải thực hiện, nhờ vào

những kỹ thuật xác định (tham khảo Bosch. M và Chevallard Y., 1999).

Hơn thế, cũng theo Bosch. M và Chevallard Y, việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với

O còn cho phép ta hình dung được một số yếu tố của quan hệ cá nhân của một chủ thể X tồn tại trong

O, bởi vì :

“Chính việc thực hiện những nhiệm vụ khác nhau mà cá nhân phải làm trong suốt cuộc đời

mình trong những thể chế khác nhau, ở đó nó là một chủ thể (lần lượt hay đồng thời), dẫn tới làm

nảy sinh mối quan hệ cá nhân của nó với đối tượng nói trên”.

Như thế, việc chúng tôi lấy lý thuyết nhân chủng học làm tham chiếu cho nghiên cứu của mình

dường như là hoàn toàn thỏa đáng.

II.2. Hợp đồng didactic

Hợp đồng didactic liên quan đến một đối tượng dạy - học là sự mô hình hóa các quyền lợi và

nghĩa vụ ngầm ẩn của giáo viên cũng như của học sinh đối với đối tượng đó. Nó là

“[…] một tập hợp những quy tắc (thường không được phát biểu tường minh) phân chia và

hạn chế trách nhiệm của mỗi thành viên, học sinh và giáo viên, về một tri thức được giảng dạy”

(Bessot và các tác giả).

Những điều khoản của hợp đồng tổ chức nên các mối quan hệ mà Thầy và Trò duy trì đối với một

tri thức :

“Hợp đồng chi phối quan hệ giữa thầy và trò về các kế hoạch, các mục tiêu, các quyết định,

các hoạt động và đánh giá sư phạm. Chính hợp đồng chỉ ra ở từng lúc vị trí tương hỗ của các đối

tác đối với nhiệm vụ phải hoàn thành và chỉ rõ ý nghĩa sâu sắc của hoạt động đang được tiến

hành, của các phát biểu hoặc những lời giải thích. Nó là quy tắc giải mã cho hoạt động sư phạm

mà mọi sự học tập trong nhà trường phải trải qua” (Tài liệu đã dẫn).

Như vậy, khái niệm hợp đồng didactic cho phép ta "giải mã" các ứng xử của giáo viên và học

sinh, tìm ra ý nghĩa của những hoạt động mà họ tiến hành, từ đó có thể giải thích một cách rõ ràng và

chính xác những sự kiện quan sát được trong lớp học.

Theo định nghĩa trên, rõ ràng là những yếu tố trả lời cho các câu hỏi ban đầu Q’1, Q’2 và Q’3 của

chúng tôi đều có thể được tìm thấy qua việc nghiên cứu các quy tắc của hợp đồng diadactic liên quan

đến đối tượng đổi biến.

III. Trình bày lại câu hỏi của luận văn

Giới hạn trong phạm vi lý thuyết didactic đã chọn, chúng tôi trình bày lại dưới đây những câu hỏi

ban đầu mà việc tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời chúng là trọng tâm nghiên cứu của luận văn này.

Hệ thống câu hỏi của chúng tôi xoay quanh những yếu tố cho phép xác định quan hệ giữa thể chế I -

thể chế dạy học toán ở lớp 12, với đối tượng O - “đổi biến”, và quan hệ cá nhân của học sinh lớp 12

với O.

Câu hỏi 1 (Q1) : Trong I, O xuất hiện như thế nào? nó lưu trú ở đâu (habitat),

trong những tổ chức toán học nào? nó tồn tại và phát triển ra sao? nó có những chức năng gì

(niche), cho phép giải quyết những kiểu nhiệm vụ gì? v.v…

Câu hỏi 2 (Q2) : Đâu là những ràng buộc thể chế đối với hai quan điểm đổi biến

HH và GT ? Quan điểm nào được ưu tiên hơn trong thể chế mà chúng tôi xem xét ?

Câu hỏi 3 (Q3) : Ứng xử của giáo viên và học sinh bị chi phối bởi những quy tắc

nào của hợp đồng didactic? Việc thể chế ưu tiên quan điểm này hay quan điểm kia ảnh hưởng

ra sao đến việc hình thành quan hệ cá nhân của họ với O? Cụ thể hơn, học sinh lớp 12 có thể

vận hành O để giải quyết những kiểu nhiệm vụ nào?

Tuy nhiên, trước khi đi tìm những yếu tố trả lời cho ba câu hỏi trên, việc tiến hành một nghiên

cứu tri thức luận về đối tượng O là cần thiết. Nghiên cứu đó sẽ giúp chúng tôi hiểu rõ hơn về O trước

khi nghiên cứu cuộc sống của nó trong I. Vì thế, chúng tôi đặt thêm một câu hỏi cần phải được xem xét

trước và gọi đó là câu hỏi Q0.

Q0 : về mặt toán học thì O có thể xuất hiện ở đâu, qua những tổ chức toán học

nào, trong những phạm vi nào ? có những quan điểm nào được gắn với O ?

IV. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn

Luận văn của chúng tôi nhắm đến việc tìm những yếu tố trả lời cho bốn câu hỏi nêu trên.

Đối với câu hỏi Q0, do không có điều kiện về tư liệu cũng như về thời gian, chúng tôi không thể

dấn thân vào một nghiên cứu khoa học luận đầy đủ dựa trên các tài liệu lịch sử toán. Vì vậy, chúng tôi

sẽ chỉ giới hạn trong việc phân tích vài giáo trình toán dùng ở bậc đại học, xem nó như một cơ sở tham

chiếu cho việc nghiên cứu sự tồn tại của đổi biến trong thể chế dạy học bậc phổ thông. Đây là nhiệm

vụ đầu tiên của chúng tôi. Kết quả của nghiên cứu này sẽ được trình bày trong chương 1. Trong

chương này chúng tôi sẽ phải chỉ rõ : về mặt toán học, đổi biến có thể xuất hiện ở đâu ? với vai trò gì ?

theo những quan điểm nào?

Tham chiếu vào những kết quả thu được từ nghiên cứu tri thức luận, chúng tôi sẽ tiến hành phân

tích sách giáo khoa toán lớp 12, nhằm vạch rõ cuộc sống của đổi biến trong thể chế mà chúng tôi quan

tâm. Trước khi phân tích sách giáo khoa, chúng tôi sẽ lướt qua chương trình toán bậc trung học phổ

thông để thấy được sự tiến triển của đối tượng “đổi biến” trong toàn bộ chương trình, và cũng phần nào

làm rõ những mong đợi thể chế được phát biểu tường minh. Việc xem xét một số đề thi tú tài và tuyển

sinh đại học, thực hiện sau khi phân tích sách giáo khoa, sẽ giúp thấy rõ hơn, hay ít ra cũng là khẳng

định cho những yêu cầu của thể chế đã được chúng tôi rút ra từ phân tích chương trình. Ba phân tích

này được trình bày trong chương 2, chương “Một nghiên cứu thể chế về đổi biến”.

Nghiên cứu thực hiện ở chương 2 nhằm mục đích trả lời cho câu hỏi Q1, Q2 nêu trên. Hơn thế,

nó sẽ cho phép chúng tôi đưa ra được những giả thuyết liên quan đến hợp đồng didactic chi phối ứng

xử của giáo viên và học sinh. Nó còn có thể mang lại cho chúng tôi những yếu tố trả lời cho câu hỏi Q3

: sự ưu tiên của thể chế đối với quan điểm này hay quan điểm kia ảnh hưởng ra sao đến việc học của

học sinh ?

Chương 3 được dành cho việc kiểm chứng tính thỏa đáng của những giả thuyết này qua một

nghiên cứu thực nghiệm mà chúng tôi tiến hành với hai thành viên chính của thể chế là : người dạy và

người học.

Về phía người học : Chúng tôi tìm kiếm hoặc xây dựng một số bài toán thực nghiệm có

thể giải bằng cả hai cách đổi biến như đã nêu ở trên. Sau đó, quan sát, thu thập và phân tích số

liệu thực nghiệm để làm rõ vai trò của từng quan điểm về sự thay đổi biến trong hệ thống dạy-

học toán bậc phổ thông trung học.

Về phía người dạy : Chúng tôi dự định thăm dò ý kiến của một số giáo viên dạy toán lớp

12 qua một bộ câu hỏi điều tra, nhằm tìm hiểu quan điểm của họ về vai trò của đổi biến trong

dạy-học toán bậc trung học phổ thông , đồng thời kiểm tra tính thỏa đáng của các giả thuyết mà

chúng tôi đưa ra.