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CREAD BOGOTA PROGRAMA DE INGENIERIA DE SISTEMAS
FISICA DE ONDAS
CÓDIGO: 083200162012 083200462012 083200642012 083200762012
NOMBRE: TULIO BARRAGÁN EDUARDO LÓPEZ JAIME RAMÍREZ FREYDELL SERRANO
GRUPO: 01
SEDE: TUNAL
TEMA: LABORATORIO DEL PENDULO SIMPLE
FECHA: 05/05/2015
1. Observar y analizar mediante experimentación el movimiento del péndulo y
redescubrir sus leyes.
2. Utilizar métodos gráficos para hallar la relación existente entre el periodo de
oscilación del péndulo y la longitud de su cuerda.
El péndulo simple o matemático es un sistema idealizado constituido por una partícula de masa m que está suspendida de un punto fijo O, mediante un hilo inextensible y sin peso. Naturalmente es imposible la realización práctica de un péndulo simple, pero si es accesible a la teoría. El péndulo simple o matemático se denomina así en contraposición a los péndulos reales, compuestos o físicos, únicos que pueden construirse. Se llama periodo del péndulo (T) al tiempo que la masa tarda en realizar una oscilación completa. En este laboratorio vamos a determinar cuáles factores pueden influir sobre el periodo de un péndulo para ello analizaremos los siguientes factores:
1. El ángulo de separación del hilo respecto a la vertical. 2. La masa suspendida 3. La longitud del hilo 4. El grosor del hilo 5. La gravedad
El péndulo simple es un sistema idealizado constituido por una partícula de masa m que está suspendida de un punto fijo O mediante un hilo inextensible y sin peso como se puede observar en la figura.
Entonces,
Resolviendo la ecu. (2): por lo que queda,
Resolviendo la ecu (1):
Se simplifican las y nos queda:
Entonces como la ecu (3) nos queda:
Aplicando el desarrollo de la serie de Taylor obtenemos que:
Pero como es un valor pequeño podemos decir que
Entonces,
Despejando e igualando a cero,
Obtenemos una ecuación diferencial y dividimos entre y nos queda
Donde decimos que
donde es el periodo simple. Simplificando
√
pero también es donde es frecuencia y sustituimos las
ecu (5) en la ecu (4) y despejamos en función de y nos queda:
√
Periodo: el periodo de oscilación es el intervalo de tiempo entre dos puntos equivalentes de una onda u oscilación también puede ser asociado con la frecuencia mediante la relación.
Sustituimos la ecuación (6) en la ecuación (7) y finalmente obtenemos:
Primera Ley: el periodo de oscilación de un péndulo es independiente del material de que está construido y del valor de la masa Segunda Ley: (ley del isocronismo): El periodo de oscilación de un péndulo es independiente de la amplitud. Siempre que la amplitud sea suficientemente pequeña como para que la aproximación senθ ≈ θ sea aceptable. Tercera Ley: el periodo de un movimiento pendular es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la longitud. Cuarta Ley: el periodo de oscilación de un péndulo está en razón inversa de la raíz cuadrada de la intensidad de la gravedad.
Masas (de diferentes tamaños y materiales).
Cuerda(adecuada a diferentes longitudes)
Cronometro
Transportador
Cinta Métrica.
Soporte para colgar la cuerda
Regla
Realice el montaje que se ilustra en la figura N° 1 fijando en la pinza del hilo un transportador.
Variación de la amplitud.
Escoja una misma longitud y masa cualquiera (constantes) para la cuerda y haga oscilar el péndulo con una amplitud de 5° (grados), tome el tiempo para 5 oscilaciones, repita el proceso cuatro veces y saque la media aritmética (promedio).
Calcule el período correspondiente del promedio del tiempo.
Longitud (cm)
Masa (g)
Amplitud α°(grados)
oscilaciones (n)
Tiempo t (s)
tiempo Promedio
Periodo(T) (s)
100 100 5° 5 10.05
10.0375 2.0075 100 100 5° 5 10.02
100 100 5° 5 10.05
100 100 5° 5 10.03
Repita la actividad anterior con 10°, 15°… y complete la siguiente tabla:
Longitud L (cm)
Amplitud α° (grados)
Masa (g)
Tiempo t (s) Periodo T (s)
100 5 100 10.0375 2.0075
100 10 100 1.0350 2.0070
100 15 100 10.040 2.0080
Longitud (cm)
Masa (g)
Amplitud α°(grados)
oscilaciones (n)
Tiempo t (s)
tiempo Promedio
Periodo(T) (s)
100 100 10° 5 10.11
10.035 2.0070 100 100 10° 5 9.97
100 100 10° 5 10.04
100 100 10° 5 10.02
Longitud (cm)
Masa (g)
Amplitud α°(grados)
oscilaciones (n)
Tiempo t (s)
tiempo Promedio
Periodo(T) (s)
100 100 15° 5 10.06
10.04 2.008 100 100 15° 5 10.03
100 100 15° 5 10.02
100 100 15° 5 10.04
¿Qué puede concluir acerca del período (T) de oscilación del péndulo con
respecto de la amplitud? Se puede concluir que para ángulos pequeños (aproximadamente menores que 15°) el periodo de oscilación del péndulo no se ve afectado por la amplitud del ángulo ello debido a la equivalencia sen (θ) ≈θ, lo cual no ocurre cuando la amplitud del ángulo es grande.
Variación de la masa Con una amplitud constante (menor o igual a 15°) y la misma longitud de la
cuerda, haga oscilar el péndulo para una primera masa, tome el tiempo para 5 oscilaciones, repita el proceso cuatro veces y determine la media aritmética (Promedio)
Calcule el período correspondiente al promedio del tiempo
Longitud (cm)
Masa (g)
Amplitud α°(grados)
oscilaciones (n)
Tiempo t (s)
tiempo Promedio
Periodo(T) (s)
100 100 10° 5 10.11
10.035 2.0070 100 100 10° 5 9.97
100 100 10° 5 10.04
100 100 10° 5 10.02
Repita la actividad anterior con dos masas diferentes y complete la siguiente tabla:
Longitud L (cm)
Amplitud α° (grados)
Masa (g)
Tiempo t (s) Periodo T (s)
100 10 100 10.035 2.0070
100 10 200 10.0375 2.0075
100 10 300 10.035 2.0070
Longitud (cm)
Masa (g)
Amplitud α°(grados)
oscilaciones (n)
Tiempo t (s)
tiempo Promedio
Periodo(T) (s)
L 200 10° 5 10.02
10.0375 2.0075 L 200 10° 5 10.09
L 200 10° 5 10.01
L 200 10° 5 10.03
Longitud (cm)
Masa (g)
Amplitud α°(grados)
oscilaciones (n)
Tiempo t (s)
tiempo Promedio
Periodo(T) (s)
L 300 10° 5 10.08
10.035 2.007 L 300 10° 5 10.09
L 300 10° 5 9.99
L 300 10° 5 9.98
¿Qué puede concluir acerca del período (T) de oscilación del péndulo con respecto de la masa? Se puede concluir que el valor de la masa no altera el periodo de oscilación de un péndulo.
Variación de la longitud Con una longitud, amplitud y masa constante tome el tiempo por cada 5
oscilaciones y calcule su respectivo periodo anótelos en la siguiente tabla: determine la media aritmética para el tiempo y el periodo de éstas medidas: Media tiempo t:________ Media período T:_________
Longitud (cm)
Masa (g)
Amplitud α°(grados)
Oscilac. (n)
Tiempo (s)
Periodo (s)
Prom. tiempo
Prom. periodo
10 100 15° 5 3.17 0.634
3,168 0.634 10 100 15° 5 3,19 0.638
10 100 15° 5 3,16 0.632
10 100 15° 5 3,15 0.630
Repita la actividad anterior, pero ahora solo cambie la longitud de la cuerda a 20, 30, 40, 50 cm, elabore las tablas respectivas.
Longitud (cm)
Masa (g)
Amplitud α°(grados)
Oscilac. (n)
Tiempo (s)
Periodo (s)
Prom. tiempo
Prom. periodo
20 100 15° 5 4.48 0.896
4.460 0,892 20 100 15° 5 4,46 0.892
20 100 15° 5 4,43 0.886
20 100 15° 5 4,47 0.894
Longitud (cm)
Masa (g)
Amplitud α°(grados)
Oscilac. (n)
Tiempo (s)
Periodo (s)
Prom. tiempo
Prom. periodo
30 100 15° 5 5.49 1.098
5.468 1.094 30 100 15° 5 5,48 1.096
30 100 15° 5 5,46 1.092
30 100 15° 5 5,44 1.088
Longitud (cm)
Masa (g)
Amplitud α°(grados)
Oscilac. (n)
Tiempo (s)
Periodo (s)
Prom. tiempo
Prom. periodo
40 100 15° 5 6,34 1.268
6.330 1.266 40 100 15° 5 6,32 1.264
40 100 15° 5 6,29 1.258
40 100 15° 5 6,37 1.274
Longitud (cm)
Masa (g)
Amplitud α°(grados)
Oscilac. (n)
Tiempo (s)
Periodo (s)
Prom. tiempo
Prom. periodo
50 100 15° 5 7.09 1.418
7.063 1.413 50 100 15° 5 7.06 1.412
50 100 15° 5 7.08 1.416
50 100 15° 5 7.02 1.404
Ahora cambie la masa y repita la actividad anterior, complete la siguiente tabla y tome los promedios del tiempo y del periodo.
Longitud (cm)
Masa (g)
Amplitud α°(grados)
Oscilac. (n)
Tiempo (s)
Periodo (s)
Prom. tiempo
Prom. periodo
10 200 15° 5 3.15 0.630
3.158 0.633 10 200 15° 5 3.18 0.640
10 200 15° 5 3.13 0.626
10 200 15° 5 3.17 0.634
Repita la actividad anterior, pero ahora solo cambie la longitud de la cuerda a 20, 30, 40, 50 cm, elabore las tablas respectivas.
Longitud (cm)
Masa (g)
Amplitud α°(grados)
Oscilac. (n)
Tiempo (s)
Periodo (s)
Prom. tiempo
Prom. periodo
20 200 15° 5 4.41 0.882
4.440 0.888 20 200 15° 5 4.45 0.890
20 200 15° 5 4.47 0.894
20 200 15° 5 4.43 0.886
Longitud (cm)
Masa (g)
Amplitud α°(grados)
Oscilac. (n)
Tiempo (s)
Periodo (s)
Prom. tiempo
Prom. periodo
30 200 15° 5 5.42 1.084
5.443 1.089 30 200 15° 5 5.43 1.086
30 200 15° 5 5.47 1.094
30 200 15° 5 5.45 1.090
Longitud (cm)
Masa (g)
Amplitud α°(grados)
Oscilac. (n)
Tiempo (s)
Periodo (s)
Prom. tiempo
Prom. periodo
40 200 15° 5 6.33 1.266
6.328 1.266 40 200 15° 5 6.35 1.270
40 200 15° 5 6.29 1.258
40 200 15° 5 6.34 1.268
Longitud (cm)
Masa (g)
Amplitud α°(grados)
Oscilac. (n)
Tiempo (s)
Periodo (s)
Prom. tiempo
Prom. periodo
50 200 15° 5 7.05 1.410
7.055 1.411 50 200 15° 5 7.08 1.416
50 200 15° 5 7.02 1.404
50 200 15° 5 7.07 1.414
Datos para graficar en papel. Complete la siguiente tabla teniendo constante una de las masas y una amplitud.
Longitud L (cm) Masa (g)
Tiempo t (s)
Periodo T (s)
Periodo
( )
10 cm 100 3.168 0.634 0.402
20 cm 100 4.460 0.892 0.796
30 cm 100 5.468 1.094 1.197
40 cm 100 6.330 1.266 1.603
50 cm 100 7.063 1.413 1.997
¿Qué puede concluir acerca del período (T) de oscilación del péndulo con respecto de la longitud? Se puede concluir que el periodo de oscilación de un péndulo es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la longitud.
Formula una hipótesis sobre el tipo de relación que existe entre el período (T) de un péndulo y su longitud.
T L A medida que aumenta la longitud del péndulo también aumenta
su periodo mediante un factor potencial igual a la raíz cuadrada de la longitud del péndulo.
Elabore en papel milimetrado una gráfica de Periodo (T) contra longitud (L) utilizando los datos de la tabla anterior.
¿Qué tipo de curva se obtuvo? Se obtiene una curva creciente con valor mínimo en el origen cóncava hacia abajo y de tipo potencial de grado (1/2)
¿El período (T) y la longitud son directamente proporcionales?
no, el periodo es directamente proporcional a la raíz cuadrada de L, por lo tanto no aumentan o disminuyen en la misma proporción
Escriba el modelo general de la ecuación que relaciona T con L:
T L cuando multiplicamos por una constante C tenemos:
T= C√ ≈T = (2π/√ ) √ también pudiera ser T=T0LK
Grafique en papel milimetrado vs L. ¿Qué grafica se obtuvo?:
Como T= C√ entonces T2 = LT´=kL Se obtiene una línea recta que pasa por el origen
De la gráfica halle la pendiente de dicha recta y compárela con constante teórica
de hacer en la ecuación matemática del periodo de un péndulo: valor de la constante experimental: 0,0394 valor de la constante teórica: 0,0403
1 2
1 2
1,997 1,603 0,3940,0394
50 40 10
y ym
x x
m
22
2 2 2
2
2 4
lcomoT entonces
g
T l T l T Clgg
La constante en este caso es:
2 24 4(3,1416)0,0403
(980)C C C
g
Las dos constantes son prácticamente iguales:
0,0394 ≈ 0,0403 Grafique en papel logarítmico (log-log) Periodo (T) vs Longitud (L). ¿Qué grafica
se obtuvo?
0
0
0
0
'
'0 0
'
log log(T )
log log(T ) log(L )
log log(T ) log(L)
hacemos :
logT
T log
log
:
k
k
k
T T L
T L
T
T k
T
T
L L
yobtenemoslaecuación
'
0
' ´ TT kL
Podemos determinar K mediante la ecuación de la pendiente así:
2 1
2 1
log log
log log
log(1,413) log(1,266)
log(50) log(40)
0,047708456
0,096910013
100,4923 ,5
2k
T Tk
L L
k
k
0 0 00,4923
0
1,4130,20594
(50)
tanto tenemos :
k
k
TT T T
L
porlo
como T T L
0,4923T 0,20594L
Esta es la ecuación particular para del periodo, obtenida mediante la práctica del movimiento pendular.
'
0 0
'
0
'
0
log(T ) entonces
log(0,20594)
0,68745
como T
T
T
Por lo tanto tenemos la ecuación:
' '0,4923 0,68745LT
Esta es la ecuación linealizada del periodo. Al graficar se obtiene una línea recta
Como se observa el papel logarítmico se utiliza para: linealizar curvas de
ecuaciones de la forma: Y = a y Y= a
Escriba la ecuación genérica de la recta graficada en papel logarítmico (en términos de logarítmos)
0log log(T ) log(L)T k
Determine en la gráfica la constante “a”: ¿qué significa en la recta?
1
2
2 1
2 2
2
2
bT
a bg
al
lT entonces
g
T l T lg g
entonces
T0= a =0,20594≈0,20071 a representa el corte con el eje y
Cómo determinamos la constante “b”? Y ¿qué significa en la recta?
0,49231
0,52
k b=
b representa la pendiente de la recta
Escriba la ecuación particular de la primera gráfica que se realizó en papel milimetrado:
0,4923T 0,20594L
Compare la constante de proporcionalidad “a” con el valor teórico de la constante del periodo del péndulo. La constante a =T0 obtenida mediante la práctica nos dio un valor: a =0,20594 el cual es muy similar al valor de la constante teórica C=0,20071
Datos para graficar en Excel. Utilice la regresión lineal en Excel para linealizar la primera gráfica que se hizo en papel milimetrado y donde se muestre la ecuación respectiva de la recta y el
coeficiente de correlación .
Los pasos a seguir son los siguientes:
Valla a inicio y seleccione en Microsoft office Excel.
Realice una tabla con los datos de la longitud (L) y el periodo (T). (constantes la masa y la amplitud)
Con el puntero seleccione las dos columnas y valla a “insertar” y escoja la opción
“dispersión” oprima siguiente.
Ubíquese con el puntero en un punto sobre la gráfica, seleccionar con clic derecho la opción “agregar línea de tendencia” donde aparece un “formato de línea de tendencia”
Seleccione en el sector derecho el tipo de tendencia “lineal”, “presentar ecuación
en el gráfico” y “presentar el valor R cuadrado en el gráfico”.
Automáticamente aparece los datos solicitados en el gráfico como la ecuación de la recta y el valor del coeficiente de correlación.
Lo demás podemos completar el gráfico con títulos, variables, unidades etc…
Longitud (L) Periodo (T)
0 0
10 0,634
20 0,892
30 1,094
40 1,266
50 1,413
Conclusiones.
Después de haber realizado las mediciones y cálculos respectivos con respecto al
péndulo simple y su relación con la longitud, ángulo y masa se ha llegado a las siguientes
conclusiones:
El período de un péndulo sólo depende de la longitud de la cuerda y el valor de la
y = 0,0262x + 0,2287 R² = 0,9129
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
0 10 20 30 40 50 60
L vs T
Periodo (T)
Lineal (Periodo (T))
L
T
gravedad (la gravedad varia en los planetas y satélites naturales).
Debido a que el período es independiente de la masa, podemos decir entonces que
todos los péndulos simples de igual longitud en el mismo sitio oscilan con períodos
iguales. A mayor longitud de cuerda mayor período.
como conclusión general podemos decir que una vez realizada la práctica pudimos
comprobar la formula teórica para hallar el periodo de un péndulo cuando la amplitud del
ángulo es pequeña y además pudimos comprobar también las leyes del péndulo
Trabajo extra clase. Consulta.
¿Para qué se aplica el método de los mínimos de regresión lineal por mínimos cuadrados? Y ¿cuáles son las fórmulas para m y b?
El método de los mínimos cuadrados se emplea para calcular la línea recta que
mejor se ajuste a un conjunto de datos presentados en un diagrama de dispersión. La recta resultante presenta dos características importantes: 1. Es nula la suma de las desviaciones verticales de los puntos a partir de la recta
de ajuste ∑ (Y ｰ - Y) = 0.
2. Es mínima la suma de los cuadrados de dichas desviaciones. Ninguna otra recta daría una suma menor de las desviaciones elevadas al cuadrado
∑ (Y ｰ - Y)² → 0 (mínima)
La obtención de los valores de a y b que minimizan esta función es un problema que se puede resolver recurriendo a la derivación parcial de la función en términos de a y b. Mínimos cuadrados es una técnica de análisis numérico enmarcada dentro de la optimización matemática, en la que, dados un conjunto de pares ordenados: variable independiente, variable dependiente, y una familia de funciones, se intenta encontrar la función continua, dentro de dicha familia, que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mínimo error cuadrático. En su forma más simple, intenta minimizar la suma de cuadrados de las diferencias en las ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la función elegida y los correspondientes valores en los datos.
11 1
2
2
1 1
n nn
i i i iii i
n n
i i
i i
n x y f x y
m
n x j x
2
11 1 1
2
2
1 1
n n nn
i i i i iii i i
n n
i i
i i
x y x y x
b
n x x
¿Qué indica el parámetro del coeficiente de relación una vez calculada la recta
experimental? ¿Cuál es su fórmula?
El coeficiente de correlación mide la “bondad” de la recta. Es un número adimensional comprendido entre -1 y +1. Cuanto más se acerque en valor absoluto a la unidad, mayor es el grado de alineado de los puntos (siendo |r| = 1 una recta perfecta).El coeficiente de correlación lineal es el cociente entre la covarianza y el producto de las desviaciones típicas de ambas variables.
xy
x y
r
¿Cómo podemos determine la aceleración de la gravedad en el lugar del
laboratorio?
La gravedad puede ser calculada en el laboratorio mediante el péndulo, empleando los datos que se obtienen en la práctica, teniendo en cuenta que:
22 2
2
44
lT l g
g T
Calcula la longitud de la cuerda que debe tener el péndulo, para que el periodo sea de un segundo.
2 2 2
2 2
2
2
2
2
4 4 (1s )1
4
980 (1s )
49,6472(3,1416)
gT l s l l
g g
cm
sl l cm
Analice la energía potencial y cinética de un péndulo en las posiciones máximas y mínimas. Realice los gráficos correspondientes.
En los puntos de retorno la energía potencial de un péndulo es máxima y la energía cinética es mínima debido a que en estos puntos la velocidad se hace cero. En la posición de equilibrio la energía cinética es máxima porque la velocidad es máxima y la energía potencial es mínima. En todo el recorrido la energía mecánica del movimiento se conserva como se puede apreciar en las siguientes graficas:
En los puntos de retorno:
En la posición de equilibrio:
En una posición intermedia:
Bibliografía.
Física de Douglas C. Giancoli
Física de Serway
Física de Hallyday
Física Zemansky
Física Tipler Mosca
https://phet.colorado.edu/sims/pendulum-lab/pendulum-lab_es.html
