CORNELIUS ESHER

CORNELIUS ESHER

CORNELIUS ESHER

GRADI DI LIBERTA’ Il numero di gradi di libertà di punto materiale è il numero di quantità indipendenti necessarie per determinare univocamente la sua posizione nello spazio (coordinate).

Un punto libero di muoversi nello spazio a 3 dimensioni ha quindi 3 gradi di libertà; se il punto deve muoversi su un piano (2 dimensioni) ha 2 gradi di libertà; se deve muoversi lungo una retta o una curva (1 dimensione) ha 1 grado di libertà.

Una massa attaccata ad un pendolo può muoversi lungo la superficie di una sfera, quindi 2 gradi di libertà. Una massa poggiata su un piano e attaccata ad un punto fisso ha 1 grado di libertà perché può muoversi solo lungo una circonferenza.

Sistemi di n punti: se tutti i punti sono liberi nello spazio, il sistema avrà 3n gradi di libertà. Se presentif vincoli, i gradi di libertà scendono a 3n - f.

ESEMPIO DI G. di L.

Come esempio, si può dimostrare che un corpo rigido ha 6 gradi di libertà, 3 di tipo traslazionale (rispetto ai 3 assi cartesiani x-y-z) e tre di tipo rotazionale (sempre rispetto ai 3 assi cartesiani).

ESEMPIO DI G. di L.

Per determinare univocamente la posizione di un corpo rigido basta conoscere la posizione di 3 punti A, B, C non allineati. Infatti ogni altro punto D si può determinare nel modo seguente: considerato il triangolo ACD, la base AC è fissata; il punto D ha distanza fissata da A e C, e ha una certa distanza da B. Ruotando il triangolo ACD, si perviene alla posizione D' che si trova alla stessa distanza di D da B. Tuttavia, D' si trova dalla parte opposta rispetto al piano ABC, quindi esiste solo un punto D che abbia una distanza fissata da A, B, e C e che si trovi da un lato fissato del piano ABC. Ora, è chiaro che il sistema di punti ABC ha 9 - f gradi di libertà, dove f è il numero di vincoli. Poiché le distanze AB, BC e AC devono rimanere costanti, ne consegue che f = 3 e quindi il corpo ha 6 gradi di libertà.

ESEMPIO DI G. di L.

Si definisce sistema di riferimento, l'insieme dei riferimenti o coordinate utilizzate per individuare la posizione di un oggetto nello spazio

S.R. INERZIALE

Un sistema di riferimento inerziale è un sistema di riferimento in cui è valido il primo principio della dinamica. Con un'accettabile approssimazione è considerato inerziale il sistema solidale con il Sole e le stelle (il cosiddetto sistema delle stelle fisse), ed ogni altro sistema che si muova di moto rettilineo uniforme rispetto ad esso (e che quindi né acceleri né ruoti): in questo modo si viene a definire una classe di equivalenza per questi sistemi.

La Terra non è un vero e proprio sistema di questo tipo, a

causa dei suoi movimenti di rivoluzione e di rotazione. In

particolare, il moto di rotazione sottopone gli oggetti sulla

sua superficie lontani dai poli a una piccola forza centrifuga.

Tuttavia questa accelerazione è irrilevante in certi casi, per

cui la Terra è un sistema di riferimento che approssima un

sistema di riferimento inerziale.

Il moto di rotazione sottopone inoltre i corpi lontani

dall'equatore alla forza di Coriolis, che devia verso destra il

moto di tutti i corpi dell'emisfero nord e verso sinistra quelli

dell'emisfero sud, come dimostrato dal famoso pendolo di

Foucault.

S.R. INERZIALE

SISTEMA DI RIFERIMENO

Si definisce sistema di riferimento, l'insieme dei riferimenti utilizzati per individuare la posizione di un oggetto nello spazio.

Sistema di riferimento monodimensionale Sistemi di riferimento bidimensionale Sistemi di riferimento tridimensionale (3D)

In matematica, un versore è un vettore in uno spazio di

riferimento con modulo unitario, utilizzato per

indicare una particolare direzione e verso.

Dato un qualunque vettore (diverso dal vettore nullo

che è l'unico ad avere modulo pari a zero) è possibile

formarne un versore dividendo per il suo modulo:

VERSORE

SISTEMI DI RIFERIMENTO

TRIDIMENSIONALE Il sistema rettangolare (o cartesiano) : un punto e’ individuato dalla proiezione lungo i tre assi

Il sistema cilindrico (o polare) : il punto e’ proiettato sul piano x,y e qui definito in coordinate polari. La terza coordinata e’ ottenuta dalla proiezione sull’asse z

Il sistema sferico: come quello cilindrico,con la differenza che la terza coord e’ l’angolo rispetto asse z

IL SISTEMA CARTESIANO Si indica con x il numero reale che individua la distanza di un punto dal piano individuato dalle rette Y e Z misurata parallelamente all'asse X nell'unità di misura scelta per quest'ultimo asse. Si definiscono analogamente y e z. Le tre coordinate che individuano un punto nello spazio sono indicate con la simbologia (x,y,z).

Se i valori assunti sono tutti 1, si individuano i versori del sistema di riferimento

i

j

k

Un sistema di riferimento polare è formato da due coordinate

indicate con le lettere ρ e φ. Con ρ si indica la distanza del

punto considerato dall'origine del sistema; in pratica se

consideriamo il vettore che congiunge l'origine degli assi

con il nostro punto, ρ ne indica il modulo. Con φ, invece, ci

si riferisce all'angolo o anomalia che si forma tra il

vettore considerato prima, e il verso positivo dell'asse X di

un normale sistema ortogonale. Dunque, è il raggio e un

angolo orientato.

S.R. POLARE

S.R. POLARE

IL SISTEMA CILINDRICO Considerando un generico punto P, e la sua proiezione Q sul piano XY, la coordinata z indica la distanza PQ. Con ρ si denota la distanza dall'origine del punto Q, mentre φ individua l'angolo che si forma tra il vettore ρ e l'asse X.

CARTESIANO CILINDRICO

CILINDRICO CARTESIANO

IL SISTEMA SFERICO

Si considera sempre un generico punto P e la sua proiezione sul piano XY chiamata Q. Con ρ questa volta si indica la distanza di P dall'origine e θ è l'angolo che forma con l'asse Z. Indichiamo invece con il vettore che collega l'origine con il punto Q, φ individua l'angolo che quest'ultimo vettore forma con l'asse X.

Forza che un osservatore solidale con un sistema di riferimento non inerziale (cioè che si muove di moto non rettilineo uniforme rispetto ad un altro sistema di riferimento inerziale, che ruota o accelera rispetto ad esso) vede come agente, al pari delle altre forze (forze effettive o forze reali), ma che non deriva da alcuna interazione fisica diretta, ma trae piuttosto origine dall'accelerazione del sistema di riferimento medesimo.

FORZE APPARENTI

Come prescritto dalla legge F = ma, le forze apparenti sono proporzionali alle masse e alle accelerazioni dei corpi su cui agiscono. In parole più semplici una forza apparente è una forza che agisce su un corpo anche se non vi viene applicata direttamente.

FORZE APPARENTI

Come esempio si pensi alla forza di Coriolis. E’ una forza apparente, a cui risulta soggetto un corpo quando si osserva il suo moto da un sistema di riferimento che sia in moto circolare rispetto a un sistema di riferimento inerziale.

FORZA DI CORIOLIS In assenza di forze esterne, il corpo si

muoverà di moto rettilineo uniforme, se

osservato da un sistema di riferimento

inerziale, svincolato dal disco;

se osservato da un sistema di riferimento

solidale con il disco in rotazione, invece,

sembrerà percorrere una traiettoria curva.

In questo secondo caso, l'osservatore

concluderà che sull'oggetto agisce una

forza. Come se ci fosse una forza trasversale alla direzione del moto (di Coriolis). E’ una "forza apparente", poiché dipendente dal moto dell'osservatore rispetto al riferimento inerziale, e non dall'azione di qualche altro oggetto o di un campo di forze.

MOTO DI UN CORPO RIGIDO

Sfruttando l’ipotesi di rigidità, possiamo studiare il moto di un corpo rigido come il moto di un sistema di riferimento ad esso solidale. S0

x0

S1

P

y0

z0

x1

y1 z1

Il caso unidimensionale (traslazione dei sistemi di

riferimento e moto dei corpi nella stessa direzione)

Il caso BIdimensionale (traslazione dei sistemi di

riferimento e moto dei corpi nel piano)

TRASLAZIONE

Il caso TRIdimensionale (traslazione dei sistemi di

riferimento e moto dei corpi nello spazio)

TRASLAZIONE

UNIDIMENSIONALE

Mara e Carlo stanno viaggiando nello stesso pullman. Mara vede Carlo

fermo rispetto a se stessa e rispetto al pullman e lo stesso è per Carlo.

TRASLAZIONE

UNIDIMENSIONALE

Mara e Carlo stanno viaggiando nello stesso pullman. Mara vede Carlo

fermo rispetto a se stessa e rispetto al pullman e lo stesso è per Carlo.

TRASLAZIONE

UNIDIMENSIONALE

Un osservatore che vede passare il pullman attribuisce a Mara e Carlo

la stessa velocità del pullman (50 km/h)

Mara lancia ora a Carlo un dolce a 15 km/h.

Un’osservatrice che cammina in bicicletta nella stessa direzione del pullman a 10 km/h dirà che Mara e Carlo hanno una velocità pari a 50-10=40 km/h mentre il dolce ha la velocità di 15+50-10=55 km/h

Poiché tutto avviene in un’unica direzione le grandezze in gioco

possono essere trattate come grandezze scalari.

Se si indica con xa la posizione del corpo in movimento (biscottino,

Mara o Carlo) rispetto ad un sistema di riferimento fisso (detto anche

assoluto), con xr la stessa posizione ma rispetto al sistema di

riferimento in moto, cioè solidale con il pullman, (detto sistema

relativo) e con xo la posizione del sistema relativo rispetto a quello

assoluto si ha:

xa

xr xo

xr xa xo = +

vr va vo = +

derivando

ar aa ao = +

Derivando ancora

UNIDIMENSIONALE

ar aa ao = +

Si osservi che l’accelerazione osservata nel sistema di riferimento

relativo è diversa da quella osservata nel sistema assoluto.

Si può infatti ricavare facilmente

ar ao = aa +

Nei due sistemi di riferimento si osserveranno variazioni diverse

della velocità.

Da tutto ciò nascono le così dette forze fittizie.

-