LAG_2014_DIO2

Sadraj

Sadraj ii

1 Uvod 0

2 Matrice i determinante 1

2.1 Pojam matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Operacije s matricama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.1 Sabiranje matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.2 Mnoenje matrica skalarom . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.3 Mnoenje matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.4 Transponovanje matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 Inverzna matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5 Rang matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

POGLAVLJE 2

Matrice i determinante

U ovom poglavlju uvest emo pojam matrice. Matrice i operacije s ma-tricama su pogodne za zapisivanje i rjeavanje sistema linearnih jednaina,koriste se u teoriji linearnih transformacija, kao i u mnogim drugim oblas-tima matematike. Pogodne su za zapisivanje podataka koji zavise od dvaparametra.

2.1 Pojam matrice

Denicija 2.1. Neka je P skup brojeva. Funkciju

A : {1, 2, . . . ,m} {1, 2, . . . , n} P

datu sa (i, j) 7 aij nazivamo matricom formata m n nad skupom P .Matrice obino zapisujemo u obliku pravougaone sheme elemenata aij

i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n skupa P , to jeste u obliku

A =

a11 a12 a1na21 a22 a2n...

......

am1 am2 amn

.

2.1.Pojam matrice Doc. dr. Almasa Odak

Koristi se i skraena oznaka A = (aij)mn. U literaturi se koriste i sljedeeoznake A = [aij]mn i A = aijmn. Brojeve aij, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n,nazivamo elementima matrice. Elementi ai1, ai2, . . . , ain ine i-ti red (vrstu)matrice, dok brojevi a1j, a2j, . . . , amj ine j-tu kolonu (stubac) matrice A.Dakle, element aij lei u i-tom redu i j-toj koloni.

Obino je P neko polje brojeva. Skup svih matrica formata m n nadpoljem P obiljeavamo sa Mm,n(P ). U sluaju kada je P = R govorimo orealnim, a za P = C o kompleksin matricama. Skup svih realnih matrica seobiljeava i sa Rmn, a kompleksnih sa Cmn

Mi emo se u nastavku, radi jednostavnosti bazirati na rad s realnimmatricama, mada se svi pojmovi mogu generalizirati i za sluaju proizvoljnogskupa brojeva.

Denicija 2.2. Matricu sa istim broj redova i kolona, to jeste matricu for-mata n n nazivamo kvadratnom matricom reda n.

Dakle, kvadratna matrica reda n je oblika

A =

a11 a12 a1na21 a22 a2n...

......

an1 an2 ann

.Za elemente a11, a22, . . . , ann kaemo da su elementi glavne dijagonale kva-dratne matrice A, dok su elementi a1n, a2n1, . . . , an1 elementi sporedne di-jagonale matrice A.

Primjer 2.1. Neka je

A =

2 5 0 50 1 3 22 2 4 1

,B = 3 2 14 0 42 3 7

.Matrica A je pravougaona matrica formata 34, dok je matrica B kvadratnamatrica reda 3. Elementi 0,1,-3,2 su elementi drugog reda matrice A, ele-menti 0,-3,4 su elementi tree kolone te matrice. Elementi 3, 0, 7 ine glavnudijagonalu matrice B, dok su elementi -1,0,-2 elementi sporedne dijagonalete matrice.

Postavljajui zahtjeve na format matrice ili na elemente matrice dobijamoneke specijalne tipove matica.

2


Matricu formata 1 n nazivamo matrica red ili matrica vrsta(a11 a12 a1n

),

a matricu formata m 1 matrica kolona ili matrica stubaca11a21...am1

.Matrice red i matrice kolona nazivamo i vektorima.

Kvadratnu matricu iji su svi elementi van glavne dijagonale jednaki 0nazivamo dijagonalnom

a11 0 00 a22 0...

......

0 0 ann

.

Kvadratnu matricu iji su svi elementi iznad glavne dijagonale jednaki0 nazivamo donjom trougaonom matricom

a11 0 0a21 a22 0...

......

an1 an2 ann

,a onu iji su svi elementi ispod glavne dijagonale jednaki 0 nazivamogornjom trougaonom

a11 a12 a1n0 a22 a2n...

......

0 0 ann

.

3


Matricu iji su svi elementi jednaki nula nazivamo nula matrica0 0 00 0 0...

......

0 0 0

.Nula matrica se obiljeava sa 0mn ili samo sa 0 ako se iz kontekstazna o kojem formatu se radi.

Dijagonalnu matricu reda n iji su elementi na dijagonali jednaki 1nazivamo jedininom matricom i obiljeavamo je sa En ili In

En =

1 0 00 1 0...

......

0 0 1

.esto se pie samo E ili I ukoliko je iz konteksta jasno o kojem redumatrice se radi.

Primjer 2.2. Primjeri matrica su

A1 =(2 3 5 1

),A2 =

(a b

),A3 =

(xy

),A4 =

2.304

,

A5 =

2 0 00 1 00 0 4

,A6 =

a 0 0 00 0 0 00 0 b 00 0 0 c

,A7 =

1 3 2 20 2 8 60 0 3 30 0 0 4

,

A8 =

2 0 0 03 6 0 04 4 5 06 3 0 7

,A9 = ( 0 0 0 00 0 0 0),A10 =

1 0 00 1 00 0 1

.Matrice A1 i A2 su matrice vrsta, matrice A3 i A4 su matrice kolona. Ma-trice A5, A6 i A10 su primjeri dijagonalnih matrica. Matrica A7 je gornjatrougaona, a matrica A8 donja trougaona. Matrica A9 je primjer pravouga-one nula matrice, dok je matrica A10 jedinina matrica reda 3.

4

2.2.Operacije s matricama Doc. dr. Almasa Odak

U nastavku emo uvesti osnovne operacije s matricama, no prije togadenirajmo relaciju jednakosti.

Denicija 2.3. Matrice A = (aij)mn i B = (bij)pq su jednake ako su istogformata i ako su im odgovarajui elementi jednaki, to jeste m = p, n = q iaij = bij, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n.

Zadatak 2.1. Pokazati da je relacija jednakosti za matrice na skupuMm,nrelacija ekvivalencije.

2.2 Operacije s matricama

U ovom odjeljku denirat emo osnovne operacije sa matricama: transpono-vanje, sabiranje, mnoenje skalarom i mnoenje.

2.2.1 Sabiranje matrica

Dvije matrice istog formata A = (aij)mn i B = (bij)mn sabiraju se takoto im se saberu odgovarajui elementi, to jeste

A+B = (aij)mn + (bij)mn = (aij + bij)mn.

Primijetimo da je sabiranje matrica denirano samo za matrice istog for-mata. Matrice razliitog formata se ne mogu sabirati.

Oduzimanje matrica se denie analogno. Dvije matrice istog formataA = (aij)mn i B = (bij)mn oduzimaju se tako to im se oduzimaju odgo-varajui elementi, to jeste

AB = (aij)mn (bij)mn = (aij bij)mn.

Neka je A,B,C,0 Rmn. Sabiranje matrica posjeduje sljedee osobine

(i) Asocijativnost: (A+B) +C = A+ (B+C),

(ii) Komutativnost: A+B = B+A,

(iii) Nula matrica je neutralni element za sabiranje: 0+A = A+ 0 = A.

5


2.2.2 Mnozenje matrica skalarom

Matrica A = (aij)mn se mnoi skalarom R tako to se svaki elementpomnoi tim skalarom, to jeste

A = (aij)mn = (aij)mn.

Neka je A,B,0 Rmn, , R. Mnoenje matrica skalarom posjedujesljedee osobine

(i) (A+B) = A+ B,

(ii) ( + )A = A+ A,

(iii) ()A = (A),

(iv) 1A = A,

(v) 0A = 0.

Za svaku matricu A Rmn matricu (1)A oznaavamo krae sa A inazivamo suprotnom matricom matrice A. Za suprotnu matricu vrijedi

(vi) A+ (A) = A+A = 0.

2.2.3 Mnozenje matrica

Matrice A = (aij)mn i B = (bij)pq se mogu mnoiti samo ako je brojkolona matrice A jednak broju vrsta matrice B, odnosno ako je n = p. Uovom sluaju kaemo da su matrice A i B saglasne za mnoenje. Rezultujuamatrica C = AB je formata m q. Elemente cij matrice C raunamo poformuli

cij =n

k=1

aikbkj, (i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , q).

Dakle, elemenat cij koji se nalazi u i-toj vrsti i j-toj koloni matrice C = ABdobijemo tako to svaki element i-te vrste matrice A pomnoimo odgovara-juim elementom j-te kolone matrice B i te proizvode saberemo.

Mnoenje matrica posjeduje sljedee osobine

(i) A(BC) = (AB)C, (A Rmn,B Rnp,C Rpq),

6


(ii) AEn = EmA = A, (A Rmn),

(iii) A0np = 0mp, 0kmA = 0kn, (A Rmn),

(iv) A(B+C) = AB+AC, (A Rmn,B,C Rnp),

(v) (A+B)C = AC+BC, (A,B Rmn,C Rnp),

(vi) AB = (A)B = A(B), R,A Rmn,B Rnp).

Vano je napomenuti da mnoenje matrica u optem sluaju nije komu-tativno. Naime, ako postoji proizvod AB matrica A i B, ne mora postojati iproizvod BA. Dodatno, i ako postoje oba proizvoda AB i BA to ne morajubiti matrice istog formata, ali ako i jesu istog formata, one u optem sluajunisu jednake.

U sluaju kada je matricaA kvadratna moemo je mnoiti samu sa sobom.U tom sluaju govorimo o stepenovanju matriceA. ZaA Rnn po denicijistavjamo

A0 = En, An = An1A (n N).

2.2.4 Transponovanje matrice

Transponovana matrica matrice A = (aij)mn je matrica AT = (aji)nm.Dakle, transponovanu matricu matrice A dobijemo tako to zamijenimo

ulogu kolona i vrsta.Operacija transponovanja zadovoljava sljedee osobine

(i) (AT )T = A, (A Rmn),

(ii) (A+ B)T = AT + BT , (, R,A,B Rmn),

(iii) (AB)T = BTAT , (A Rmn,B Rnp).

U sluaju kada je A = AT kaemo da je matrica A simetrina, a kada jeA = AT kaemo da je ona kososimetrina. Ukoiko je AAT = Em kaemoda je matrica A ortogonalna.

Ukoliko su elementi matrice iz skupa kompleksnih brojeva onda se estoposmatra matrica koja se dobije od poetne transponovanjem i konjugova-njem elemenata. Takva matrica se obiljeava sa AH . Dakle, za A = (aij)mnje AH = (aji)nm.

Koristei upravo uvedenu matricu uvodimo i sljedee tipove matrica.

7

2.3.Determinante Doc. dr. Almasa Odak

U sluaju kada je A = AH kaemo da je matrica A hermitska, a kada jeA = AH kaemo da je ona kosohermitska. Ukoiko je AAH = Em kaemoda je matrica A unitarna, a ako je AAH = AHA kaemo da je matrica Anormalna.

Imajui u vidu uvedene operacije sa matricama i njihove osobine moe sezakljuiti da vrijede sljedei teoremi.

Teorem 2.1. (Rmn,+) je Abelova grupa.Teorem 2.2. (Rmn,+, ), gdje je operacija mnoenja matrica skalarom,je vektorski prostor nad poljem realnih brojeva.

Primijetimo da (Rmn, ), gdje je operacija mnoenja matrica u optemsluaju nije ni grupoid. Naime, proizvod dvije matrice formata m n zam 6= n ne postoji, pa taj skup nije zatvoren u odnosu na mnoenje. Spe-cijalno, za m = n skup (Rnn, ) jeste grupoid, zbog zadovoljenog uslovaasocijativnosti, to je i polugrupa. No, postavlja se pitanje da li je (Rnn, )grupa. Iz osobine (ii) mnoenja matrica slijedi da je jedinina matrica redan neutralni element u (Rnn, ), pa za odgovor na postavljeno pitanje neo-phodno je ispitati egzisteniciju inverznog elementa matrice A u odnosu naoperaciju mnoenja.

U nastavku emo posebnu panju posvetiti kvadratnim matricama, jersu upravo one matrice koje mogu posjedovati inverzni elemenat u odnosu namnoenje.

2.3 Determinante

U svrhu ispitavanja egzistencije i nalaenja inverznog elementa matrice A Rnn u odnosu na operaciju mnoenja matrica uvodimo pojam determinante.

Precizna denicija determinanti se uvodi pomou pojma permutacija imatematiki je prilino zahtjevna i ovdje je neemo navoditi. Smatrat emoda je determinata matrice A Rnn realan broj pridruen toj matrici iopisati induktivni postupak za raunanje tog broja. Determinantu matriceA obiljeavamo sa detA, det(A) ili |A|. U optem sluaju determinantumatrice reda n piemo u obliku

a11 a12 a1na21 a22 a2n...

......

an1 an2 ann

8


i za determinantu kaemo da je reda n. Pojmovi elemenata, redova, kolona,dijagonale i sporedne dijagonale determinante su potpuno analogni odgova-rajuim pojmovima za matrice.

Opti oblik matrice prvog reda je (a11). Njena determinanta je |a11| = a11.Dakle, determinanta matrice prvog reda jednaka je njenom jedinom elementu.

Opti oblik matrice drugog reda je(a11 a12a21 a22

). Njena determinanta je

a11 a12a21 a22 = a11a22 a21a12.

Dakle, determinanta matrice drugog reda jednaka je razlici proizvoda eleme-nata na glavnoj dijagonali i proizvoda elemenata na sporednoj dijagonali.

Opti oblik matrice treeg reda je

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

. Njena determi-nanta je

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33.

Izraz za determinantu treeg reda moe se izvesti koristei tzv. Sarusovopravilo. Ono se sastoji u sljedeem. S desne strane determinante dopiemoprvu i drugu kolonu te determinante, raunamo proizvod elemenata na glav-noj dijagonali i na dvjema linijama paralelnim sa glavnom dijagonalom injih uzimamo sa znakom plus, a potom raunamo proizvode elemenata nasporednoj dijagonali i dvjema linijama paralalnim sa njom i uzimamo ih saznakom minus. Ilustracija Sarusovog pravila data je u nastavku.

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

a11 a12a21 a22a31 a32

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33

Treba napomenuti da se opisano pravilo moe koristiti iskljuivo za raunanjedeterminanti treeg reda i ne moe se uoptiti na determinante veeg reda.Drugi nain raunanja matrica treeg reda je pomou matrica drugog reda.

9


Ovaj drugi metod je znaajan jer se moe uoptiti i za raunanje determinantivieg reda. Da bi ga mogli opisati potrebno je uvesti pojmove minora ikofaktora elementa aij matrice A.

Denicija 2.4. Neka je A Rnn i aij proizvoljan elemenat te matrice.Determinanta reda n 1 koju dobijemo brisanjem i-tog reda i j-te kolone izdeterminante matrice A nazivamo minor elementa aij matrice A. Obiljea-vamo ga sa Mij.

Denicija 2.5. Neka je A Rnn i aij proizvoljan element te matrice. Broj(1)i+jMij nazivamo kofaktorom elementa aij matrice A. Obiljeavamo gasa Aij.

Primijetimo da determinantu treeg reda moemo napisati na sljedeinain.

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

= a11(a22a33 a23a32) a12(a21a33 a23a31) + a13(a21a32 a22a31)

= a11

a22 a23a32 a33 a12 a21 a23a31 a33

+ a13 a21 a22a31 a32

= a11M11 a12M12 + a13M13= a11A11 + a12A12 + a13A13.

Dakle, determinantu treeg reda napisali smo kao proizvod elemenata prvevrste i njima odgovarajuih kofaktora. Kaemo da smo determinantu razvilipo prvoj vrsti. Moe se pokazati da se razvoj moe izvriti po bilo kojoj vrstiili koloni. Pokazuje se da se opisani postupak moe pooptiti na raunanjedeterminante bilo kojeg reda, to jeste vrijedi sljedei teorem.

Teorem 2.3. Determinanta reda n jednaka je zbiru proizvoda elemenata makoje vrste ili kolone i njima odgovarajuih kofaktora

det(A) =n

i=1

aijAij, (j = 1, . . . , n),

det(A) =n

j=1

aijAij, (i = 1, . . . , n).

10


Opisani postupak se naziva Laplasov razvoj determinante. Obzirom dase u ovom postupku kofaktori mnoe sa elementima vrste ili kolone po kojojse razvoj vri jasno je da je najpogodnije za razvoj birati kolonu ili vrstu kojaima najvie elemenata jednakih nuli.

Postupak opisan u teoremu 2.3 je induktivnog karektera i teorijski omo-guava raunanje determinante bilo kojeg reda, no ovaj postupak za deter-minante veeg reda nije od praktinog znaaja. Naime broj operacija kojetreba obaviti za raunanje determinante reda n je reda n!. Ekasniji nainiza raunanje determinanti zasnivaju se na primjeni osobina determinanti. Unastavku emo navesti neke od njih.

(i) Determinanta matrice koja ima vrstu (kolonu) koja se sastoji od samihnula jednaka je 0.

(ii) Determinanta gornje ili donje trougaone matrice jednaka je proizvoduelemenata na dijagonali. Specijalno, determinanta dijagonalne matricejednaka je proizvodu elemenata na dijagonali.

(iii) Determinanta matrice koja ima dvije jednake ili proporcionalne vrste(kolone) jednaka je 0.

(iv) Ukoliko vrste i kolone matrice zamijene uloge determinanta matrice sene mijenja. Dakle det(A) = det(AT ).

(v) Determinanta mijenja predznak ukoliko dvije susjedne vrste (kolone)zamijene mjesta.

(vi) Determinanta se mnoi skalarom tako to se jedna, proizvoljno oda-brana, vrsta ili kolona determinante pomnoi tim skalarom. Drugimrijeima, zajedniki faktor elemenata jedne vrste (kolone) moe se iz-vui ispred determinante.

(vii) Determinanta je multilinearna funkcija svojih kolona (vrsta), to jeste

11

2.4.Inverzna matrica Doc. dr. Almasa Odak

vrijedia11 . . . a1i . . . a1na21 . . . a2i . . . a2n...

......

an1 . . . ani . . . ann

=a11 . . . b1i + c1i . . . a1na21 . . . b2i + c2i . . . a2n...

......

an1 . . . bni + cni . . . ann

=

a11 . . . b1i . . . a1na21 . . . b2i . . . a2n...

......

an1 . . . bni . . . ann

+ a11 . . . c1i . . . a1na21 . . . c2i . . . a2n...

......

an1 . . . cni . . . ann

.(viii) Vrijednost determinante ostaje nepromijenjena ukoliko sve elemente

jedne vrste (kolone) pomnoimo nekim realnim brojem i saberemo saodgovarajuim elementima neke druge vrste (kolone).

(ix) Za A,B Rnn vrijedi det(AB) = det(A)det(B).

(x) Determinanta je razliita od nule ako i samo ako su vrste (kolone)matrice linearno nezavisne.

Prilikom raunanja determinante posebno je pogodno koristiti osobinu(viii). Primjenom transformacija opisanih ovom osobinom vrijednost deter-minante se ne mijenja. Cilj je, njihovom primjenom, determinantu transfor-misati na determinantu gornje ili donje traougaone matrice, a takve je laganoizraunati primjenom osobine (ii).

2.4 Inverzna matrica

Pojam inverznog elementa u optem sluaju smo uveli ranije. Specijalno zamatricu A Rnn inverzna matrica je matrica B takva da je

AB = BA = En. (2.1)

Jedinstvenost inverzne matrice, ukoliko ona postoji, garantovana je slje-deim teoremom.

Teorem 2.4. Neka je A Rnn. Ako postoji matrica B koja zadovoljava(2.1), onda je ona jedinstvena.

12


Dokaz. Pretpostavimo da postoje dvije matrice B1 i B2 koje zadovoljavaju(2.1). Pokaimo da je B1 = B2. Iz (2.1) slijedi

(B1A)B2 = EnB2 = B2,

(B1A)B2 = B1(AB2) = B1En = B1.

Dakle, B1 = B2, pa je dokaz zavren.

Obzirom na jedinstvenost, inverznu matricu matrice A, oznaavamo saA1.

Denicija 2.6. Za matricu A Rnn kaemo da je regularna ukoliko onaima inverznu matricu. U protivnom kaemo da je matrica A singularna.

Prirodno je postaviti pitanje postoji li ekasan metod za ispitivanje re-gularnosti matrice.

U nastavku emo dokazati teorem koji nam daje metod ispitivanja regu-larnosti pomou determinate i istovremeno eksplicitnu formulu za raunanjeinverzne matrice matrice A. Prije formulacije pomenutog teorema uvedimopojam adjungovane matrice i dokaimo jedan vaan rezultat za adjungovanumatricu koji emo koristiti u nastavku.

Denicija 2.7. Neka je A Rnn. Matricu adj(A) = (Aij)T = (Aji)zovemo adjungovanom matricom matrice A.

Dakle, adjungovanu matricu matrice A dobijemo tako to svaki elementaij matrice A zamijenimo njegovim kofaktorom Aij i tako dobijenu matricutransponujemo. U nekoj literaturi se matrica sainjena od kofaktora matriceA obiljeava sa A, a adjungovana matrica sa A.

Operacija adjungovanja zadovoljava sljedee osobine.

(i) adj(AB) = adj(B)adj(A), (A,B Rnn),

(ii) adj(AT ) = (adj(A))T , (A Rnn).

Jo jedna vana osobina adjungovanja matrice data je sljedeim teore-mom.

Teorem 2.5. Neka je A Rnn. Vrijedi Aadj(A) = adj(A)A = det(A)En.

13


Dokaz. Iskoristimo li razvoj determinante matrice A po j-toj (j = 1, . . . , n)koloni dobijamo jednakost

ni=1

aijAij = det(A).

Modikujemo li matricu adj(A) tako to algebarske komplemente Aij kolonej zamijenimo komplementima iz kolone k, k 6= j, dobijamo matricu koja imadvije iste kolone, pa je prema osobini (iii) determinanti determinanta takvematrice 0. Dakle, vrijedi

ni=1

aijAik = 0,

jer je gornja suma razvoj modikovane matrice po j-toj koloni. Dvije pos-ljednje jednakosti moemo objediniti koristei Kronekerov simbol dat sa

jk =

{1, j = k;0, j 6= k.

Dakle,n

i=1

aijAik = jkdet(A).

Sada koristei deniciju mnoenja matrica jednostavno zakljuujemo da jeAadj(A) = det(A)En. Analogno se dobije i adj(A)A = det(A)En, pa jetvrdnja teorema dokazana.

Teorem 2.6. Neka je A Rnn. Matrica A je regularna akko je det(A) 6= 0.Ako je A regularna, onda je

A1 =1

det(A)adj(A).

Dokaz. Neka je A regularna matrica. Tada postoji matrica A1 takva daje AA1 = A1A = En. Prema osobini (ix) determinanti slijedi da jedet(AA1) = det(A)det(A1), a prema osobini (ii) determinanta jedininematrice je 1, pa vrijedi det(A)det(A1) = 1. Dakle, mora biti det(A) 6= 0, pasmo dokazali da ukoliko je matrica A regularna , determinanta joj je razliitaod nula. Takoe slijedi da je u tom sluaju

det(A1) =1

det(A).

14

2.5.Rang matrice Doc. dr. Almasa Odak

Pokaimo sada da vrijedi obrat. Neka je det(A) 6= 0, pokaimo da je ma-trica A regularna. Dijeljenjem sa det(A) jednakosti iz teorema 2.5 dobijamoda vrijedi

1

det(A)adj(A)A = A

1

det(A)adj(A) = En,

pa iz denicije inverzne matrice slijedi da je A1 = 1det(A)

adj(A).

Invertovanje matrice zadovoljava sljedee osobine.

(i) Ako je A Rnn regularna matrica, tada je i A1 takoe regularna ivrijedi (A1)1 = A.

(ii) Ako su A,B Rnn regularne matrice tada je i AB regularna matricai vrijedi (AB)1 = B1A1.

(iii) Ako je A Rnn regularne matrica tada je i AT regularna matrica ivrijedi (AT )1 = (A1)T .

2.5 Rang matrice

Vaan pojam vezan za matrice je i rang matrice. Moe se koristiti za ispitiva-nje regularnosti matrice, a vrlo je pogodan za rjeavanje sistema jednaina,kao to emo vidjeti u sljedeem poglavlju.

Za razliku od determinante matrice koja moe biti pridruena samo kva-dratnim matricama, rang matrice moe se odrediti za proizvoljnu matricuformata m n.

Neka je A Rmn proizvoljna matrica. Ukoliko je m 6= n, determinantamatrice A ne postoji. Meutim od kolona i vrsta matrice A mogue jeformirati nove matrice koje su kvadratne, pa je za njih mogue raunatideterminantu. Upravo navedeno slui za uvoenje pojma ranga matrice. Zapreciznu deniciju prvo uvedimo pojam podmatrice.

Denicija 2.8. Neka je A Rmn. Svaka matrica koja se iz matrice Amoe dobiti uklanjanjem bilo kojih vrsta i (ili) kolona je podmatrica matriceA. Ukoliko je B podmatrica matrice A formata r r kaemo da je onakvadratna i da je reda r.

Denicija 2.9. Neka je A Rmn. Rang ne-nula matrice A je red njenenajvee kvadratne podmatrice kojoj je determinanta razliita od nula. Rangnula matrice je 0. Rang matrice A oznaavamo sa r(A) ili rang(A).

15


Iz denicije odmah slijedi da za A Rmn vrijedi r(A) min{m,n}.Pokazuje se da se rang matrice moe izraziti i pomou linearne nezavis-

nosti redova i kolona. Ovu osobinu navodimo u narednom teoremu kojegdajemo bez dokaza.

Teorem 2.7. Rang matrice A jednak je maksimalnom broju linearno neza-visnih kolona matrice A. Maksimalan broj linearno nezavisnih kolona jednakje maksimalnom broju linearno nezavisnih vrsta posmatrane matrice.

Iz posljednjeg teorema odmah slijedi jo jedna osobina ranga matrice.Vrijedi r(A) = r(AT ).

Odreivanje ranga matrice, bilo po deniciji bilo koristei teorem 2.7, jezahtjevan posao, jednostvaniji nain opisat emo u nastavku. Zasniva se naprimjeni elementarnih transformacija.

Denicija 2.10. Elementarne transformacije matrice su

(i) zamjena mjesta dvije vrste ili kolone,

(ii) mnoenje vrste ili kolone skalarom razliitim od 0,

(iii) mnoenje elemenata jedne vrste ili kolone skalarom razliitim od 0 idodavanje odgovarajuim elementima neke druge vrste ili kolone.

Denicija 2.11. Ako se matrica A moe dobiti iz matrice B primjenomkonanog broja elementarnih transformacija kaemo da su matrice A i Bekvivalentne i piemo A B.

Znaaj ekvivalentnih matrica se ogleda u sljedeem teoremu.

Teorem 2.8. Ekvivalentne matrice imaju isti rang.

Dokaz. Za dokaz teorema emo koristiti karakterizaciju ranga pomou line-arne nezavisnosti datu u teoremu 2.7.

Imajui u vidu deniciju linearne nezavisnosti odmah slijedi da se zamje-nom mjesta dvije vrsta (kolone) ili mnoenjem vrste (kolone) nenultim bro-jem ne mijenja maksimalan broj linearno nezavisnih vrsta (kolona), pa za-kljuujemo da se elementarnim transformacijama tipa (i) i (ii) ne mijenjarang matrice.

Poaimo da je to sluaj i za elementarnu transformaciju tipa (iii). Ma-tricu A Rmn moemo napisati u sljedeem obliku

A =(K1 K2 . . . Ki . . . Kj . . . Kn

), (2.2)

16


pri emu smo saKi, (i = 1, . . . , n) oznaili i-tu kolonu matriceA. Primjenomelementarne transformacije tipa (iii) na kolone i i j dobijamo matricu oblika

B =(K1 K2 . . . Ki + Kj . . . Kj . . . Kn

),

gdje je R, 6= 0.Slijedi da ako je kolona Ki linearno zavisna od ostalih kolona onda je i

kolona Ki+Kj linearno zavisna od tih kolona i obratno. Moemo zakljuitida matrice A i B imaju isti broj linearno nezavisnih kolona, onda imaju iisti rang.

Postupak za praktinu primjenu prethodnog teorema se ogleda u sljede-em. Elementarnim transformacijama je potrebno datu matricu transformi-sati na matricu iji je rang jednostavno odrediti. U tu svrhu uvodimo pojamtrapezne matrice.

Denicija 2.12. Neka je A Rmn. Mantrica A se naziva trapeznommatricom ako je oblika

t11 t12 t1nt21 t22 t2n...

......

tm1 tm2 tmn

,pri emu postoji broj r (r min{m,n}) takav da je

t11, t22, . . . , trr 6= 0,

tij = 0, za svako i, j takvo da je i > j,

tij = 0, za svako i, j takvo da je r < i j.

Koristei teorem 2.7 jednostavno se zakljuuje da je rang trapezne matricejednak broju elemenata na glavnoj dijagonili koji su razliiti od 0. Dakle,upravo su trapezne matrice one iji je rang jednostavno odrediti.

Vrijedi sljedei teorem.

Teorem 2.9. Za svaku ne-nula matricu postoji njoj ekvivalentna trapeznamatrica.

Dokaz ovog teorema neemo izvoditi. Dat emo ilustraciju pomou pri-mjera.

17


Primjer 2.3. Neka je data matrica

A =

1 2 0 20 3 5 11 3 1 1

.Odredimo rang date matrice svoenjem na trapezni oblik. U prvom korakuvrste 1 i 2 prepiimo, a zatim od tree vrste oduzmimo prvu. U drugomkoraku zamijenimo drugu i treu vrstu, a zatim od tree oduzmimo tri putadrugu. 1 2 0 20 3 5 1

1 3 1 1

1 2 0 20 3 5 1

0 1 1 3

1 2 0 20 1 1 30 3 5 1

1 2 0 20 1 1 3

0 0 8 10

.Rang posljednje matrice je 3, pa je onda i rang matrice A takoe 3.

Elementarne transformacije nad matricom A mogu se opisati i pomoumnoenja te matrice odgovarajuim matricama koje se nazivaju elementar-nim matricama. U nastavku emo opisati elementarne matrice koje dajuelemntarne transformacije nad vrstama.

(i) Elementarna matrica Eij kojom se postie zamjene vrsta i i j datematrice A dobije se iz jedinine matrice zamjenom vrsta i i j.

(ii) Elementarna matrica Ei() kojom se postie mnoenje vrste i matriceA skalarom jednaka je jedininoj matrici u kojoj je i-ta vrsta pom-noena sa .

(iii) Elementarna matricaEij() kojom se postie dodavanje j-te vrste pom-noene sa i-toj vrsti matrice A dobija se iz jedinine matrice takoto se u i-toj vrsti i j-toj koloni umjesto vrijednosti 0 pie skalar .

Primjer 2.4. Transformacije kojim smo matricu A iz prethodnog primjerasveli na trapezni oblik mogu biti opisane elementarnim matricama. Dobi-jeni trapezni oblik se moe dobiti i mnoenjem poetne matrice odgovara-juim elementarnim matricama. Transformaciji oduzimanja prve vrste od

18


tree odgovara matrica E31(1), zamjeni tree i druge vrste matrica E23 ikonano transformaciji oduzimanja tri puta druge vrste od tree odgovaramatrica E32(3), pa je

E32(3)E23E31(1)A

=

1 0 00 1 00 3 1

1 0 00 0 10 1 0

1 0 00 1 01 0 1

1 2 0 20 3 5 11 3 1 1

=

1 0 00 1 00 3 1

1 0 00 0 10 1 0

1 2 0 20 3 5 10 1 1 3

=

1 0 00 1 00 3 1

1 2 0 20 1 1 30 3 5 1

=

1 2 0 20 1 1 30 0 8 10

Na kraju ovog poglavlja navest emo teorem koji slijedi iz prethodno

izloenog, a daje nam vezu regularnosti matrice i njenog ranga. Takoe emoopisati i alternativni nain za nalaenje inverzne matrice za datu matricu.

Teorem 2.10. Neka je A Rnn. A je regularna akko je ekvivalentnajedininoj matrici reda n.

Postupak za nalaenje inverzne matrice pomou elementarnih transforma-cija poznat je pod nazivom Gaus-ordanov postupak i sastoji se u sljedeem.

Neka je data matrica A Rnn, iju inverznu matricu traimo. Formi-ramo matricu formata n 2n tako to s desne strane matrice A dopiemojedininu matricu reda n. Dakle, za

A =

a11 a12 a1na21 a22 a2n...

......

an1 an2 ann

19


novoformirana matrica je oblikaa11 a12 a1na21 a22 a2n...

......

an1 an2 ann

1 0 00 1 0...

......

0 0 1

.Zatim nad novoformiranom matricom vrimo elementarne transformacije ucilju dobijanja jedinine matrice na lijevoj strani nove matrice. Dakle, cilj jedobiti matricu oblika

1 0 00 1 0...

......

0 0 1

b11 b12 b1nb21 b22 b2n...

......

bn1 bn2 bnn

(2.3)Mogua su dva ishoda. Ukoliko u postupku primjene elemntarnih transfor-macija dobijemo na lijevoj strani novoformirane matrice red sainjen od svihnula moemo zakljuiti da je matricaA singularna, to jeste da nema inverznumatricu. U protivnom dobit emo matricu oblika (2.3). Tada je matrica Aregularna i vrijedi

A1 =

b11 b12 b1nb21 b22 b2n...

......

bn1 bn2 bnn

. (2.4)Opravdanost opisanog postupka se zasniva na sljedeem. Ve smo napo-

menuli da se primjena elementarnih transformacija na matricu A moe opi-sati mnoenjem te matrice odgovarajuim elementarnim matricama. Dakle,ukoliko smo primjenom k elementarnih transformacija doli do matrice oblika(2.3), onda se ona moe napisati u obliku

(Xk . . .X2X1A|Xk . . .X2X1En),

pri emu smo sa X1,X2, . . . ,Xk oznaili odgovarajue elementarne matrice ipri emu je Xk . . .X2X1A = En, pa slijedi da je A1 = Xk . . .X2X1. No, nadesnoj strani (2.3) se upravo nalazi ovaj produkt matrica, pa vrijedi (2.4).

Upravo opisani postupak za nalaenje inverzne matrice je znaajan jer jeza matrice veeg reda znatno ekasniji od ranije opisanog postupaka pomouadjungovane matrice.

20

Documents

LAG_2014_DIO2