Lagrange - University of the Ryukyusdsl4.eee.u-ryukyu.ac.jp/DOCS/Sys01/p05.pdfLagrangeの運動方程式, Euler-Lagrange 方程式などと呼ぶ. 電347, 電397 システム工学I

システム工学 I

第 5回Lagrange運動方程式と状態方程式

電 347, 電 397 システム工学 I (2016) 琉球大学工学部電気電子工学科担当:半塲 1

一般化座標の必要性 (1)

• 制御対象はふつう微分方程式によってモデリングされるが, そのためには座標系が必要

• どのような座標系を取るかが問題になる

• 素朴に考えると実験室に固定された直交座標系で良さそうだが・・・



• 例として 2次元の 2重振り子を考える

(x1,y1)

(x2,y2)

θ1

θ2



• 素朴には, (x1, y1), (x1, y1), (x2, y2), (x2, y2)

を変数として 8次元の微分方程式を立てればよいが・・・

• (θ1, θ1, θ2, θ2)の 4個の変数で運動は完全に記述される筈

• 8次元の微分方程式を立てることは無駄



• 運動を記述するために必要なパラメータ (座標を一般化したもの)を一般化座標という.

• 一般化座標の時間微分を一般化速度という.

• 一般化座標の次元は, その運動を直交座標系で表現したときの座標系の次元と同じこともあれば, そうでないこともある.



• 今回の講義以降,時間に関する1階微分をドット, 2階微分を 2重ドットであらわすことがある.

• たとえば,dx

dtと x,

d2x

dt2と xは同じ意味.

• 稀に ...x,

....xなどといった記号が使われること

がある.


Lagrangean(1)

• 「力学系の運動を最小限の変数で記述したい」という要求に答えるのがLagrangean( La-

grange関数ともいう)を用いた定式化

• LagrangeanはもともとNewton力学の再定式化のために使われたもので, 運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの差として定義された.


Lagrangean(2)

• 後述するが, Newton力学は, Lagrangeanの積分が停留値を取るという形で再定式化されるということが発見された.

• この事実を最小作用の原理という. 最小作用の原理はNewton力学の言い換えと解釈することもできる.


Lagrangean(3)

• 最小作用の原理は, 物理現象に関する実験事実を記述した原理であり, 他の物理法則から導かれるものではない.

• 実は最小作用の原理という名前は不正確. 物理現象は Lagrangeanの積分が停留値を取る形で実現されるが, 最小であることは保証されない.


Lagrangean(4)

• Lagrangeanの積分が停留値を取るための条件は, 変分法という手法によって導かれ, その結果, Eulerの方程式と呼ばれる微分方程式が出て来る.

• Lagrangeanから導かれた Eulerの方程式をLagrangeの運動方程式, Euler-Lagrange

方程式などと呼ぶ.


Lagrangean(5)

• Lagrangeanを用いた古典力学の再定式化を解析力学と呼び, これは量子力学を学ぶために必須

• 2足歩行ロボットや多関節マニピュレータのモデリングの際にも, 変数の数を減らすためには, Lagrangeanを用いた定式化が必須


Lagrangean(6)

• Lagrangeanと,そこから導かれるHamilton

関数と呼ばれる関数は, 受動性と呼ばれる性質に基づく制御などに利用されている.

• 古典的なLagrangeanやHamilton関数の変数には物理的な意味があるが (位置, 速度など),

その変数に物理的な意味を与えずに一般化したものが最適制御で用いられている


Lagrangean(7)

• 物理学および最適制御では, ともに Lagrangeanあるいは Hamiltonian が取り扱われるのであるが, その意味合いは異なる:

⊲ 物理学にとって, 物理法則は Lagrangeanが停留値を取る条件として定式化されるというのは, 物理法則

⊲ 最適制御では, Lagrangeanが停留値を取るような制御入力を求めることが目的


Lagrangean(8)

• Hamilton関数の一般化については, van der

Schaftによってport-controlled Hamilto-

nian system (あるいはport-Hamiltonian

system)という名称で取り纏められた体系が有名.

• 以下ではまず古典力学におけるLagrangean

について説明する.


古典力学におけるLagrangean(1)

• 古典力学におけるLagrangean(これを Lであらわす)は, 運動エネルギー (T とする)とポテンシャルエネルギー (U とする) の差として定義される. 以下がその定義.

L = T − U

• 続いて, Lagrangeanの例を挙げる.


質量mの物体の自由落下

x

0 U = −mgx

T = 1

2mx2

L = 1

2mx2 +mgx

座標軸の原点と向きに注意


長さ l単振り子 (質量m)

l

m

U = mgl(1− cos θ)

T =1

2m(lθ)2

L =1

2m(lθ)2

−mgl(1− cos θ)

θ


変分法 (1)

• x, xおよび tに関するLagrangean が与えられているものとし, これをL(x, x, t)とする.

• 運動開始時刻を ti, 運動終了時刻を tf とし,

J =

∫ tf

ti

L(x, x, t)dtが停留値となるための

条件を求めたい. ただし始点と終点を固定する: x(ti) = xi, x(tf) = xf


変分法 (2)

• この問題を解くための方法が変分法

• 変分法では, x(t)が J =

∫ tf

ti

L(x, x, t)dtの

停留値を与えるための条件を求める.

• x(t)がこの積分の停留値を与えているのであれば, x(t)に微小な摂動が加えられても上記積分はほとんど変動しない.


変分法 (3)

• 変分法では, この「微小な摂動が積分値に影響を与えない」という条件から, 微分方程式を導く. このために, x(t)を少しずらして,

x(t) + εh(t)としてみる.

• h(t)は h(ti) = 0および h(tf ) = 0という条件のみ指定された関数, εはパラメータ


変分法 (4)

• 積分値の変動を∆J とすると・・・

∆J =

∫ tf

ti

(

L(x+ εh, x+ εh, t)− L(x, x, t))

dt

• Taylor展開して,

L(x+ εh, x+ εh, t) = L(x, x, t)

+ ∂L∂xεh+ ∂L

∂xεh+ (高次項)

• 高次項は無視する.


変分法 (5)

• 低次項が零となる条件を求めたい

• 任意関数hの微分が含まれるのは都合が悪いので, 部分積分によりこれを消すと・・・∫ tf

ti

∂L

∂xhdt =

[∂L

∂xh

]tf

ti

−

∫ tf

ti

d

dt

(∂L

∂x

)

hdt

ただし[f(t)

]tf

tiは f(tf )− f(ti)を意味する.


変分法 (6)

• ここで h(ti) = h(tf ) = 0を使うと・・・

• ε

(∫ tf

t0

(∂L

∂x−

d

dt

(∂L

∂x

))

hdt

)

が零となる,

というのが求める条件

• ε, hは任意だったから∂L

∂x−

d

dt

(∂L

∂x

)

= 0 でなければならない.


変分法 (7)

• 微分方程式d

dt

(∂L

∂x

)

=∂L

∂xを Euler方程式,

あるいは Euler-Lagrange方程式という.

• 関数x(t)が Euler方程式を満たすことが,そ

の関数を代入したときの∫ tf

ti

L(x, x, t)dtの

値が停留値となるための必要条件である.


自由落下のLagrangeanと運動方程式

• 自由落下の問題ではL =1

2mx2 +mgx.

•∂L

∂x= mx,

∂L

∂x= mgを Euler方程式に代入

すると・・・

•d

dtmx = mg, すなわち x = gで, 確かに自由

落下の運動方程式になっている.


単振り子のLagrangeanと運動方程式 (1)

• 単振り子では, L =1

2m(lθ)2−mgl(1−cos θ).

•∂L

∂θ= ml2θ,

∂L

∂θ= −mgl sin θを Euler方程

式に代入すると・・・

• ml2θ = −mgl sin θ, よって

θ = −g

lsin θ


単振り子のLagrangeanと運動方程式 (2)

• 微分方程式 θ = −g

lsin θから単振り子の周期

を求めるためには, 楕円積分という手法が必要になる.

• 初学者向けの議論では, θが十分小さいと仮定し, sin θ ≃ θと近似する. このとき,

θ ≃ −g

lθ


散逸関数 (1)

• 物理における Lagrangeanは保存則に対応したものであり, 摩擦などのエネルギー散逸構造を持つ系には対応できない

• この問題を解消するために, (Rayleighの)

散逸関数という関数を Lagrangeanに付加することがある.


散逸関数 (2)

• 1次元の並進運動では, 典型的な動摩擦力モデルは, −cx.

• 系に摩擦などがある場合には, Euler方程式を次のように変更すれば良さそう

d

dt

∂L

∂x=

∂L

∂x−散逸力の項︸︷︷︸

追加


散逸関数 (3)

• 1次元の並進運動では, 動摩擦力−cxは,

−d

dx

(1

2cx2

)

によって与えられる.

• 一般化座標および一般化速度で記述された系

では, 散逸力が∂D(x)

∂xとなる関数D(x)を,

何らかの形で構成することを試みる.


散逸関数 (4)

• 散逸力が∂D(x)

∂xとなる関数D(x)がうまく

見付かったとき, これを (Rayleighの)散逸関数という.

• 先に挙げたQ(x) =1

2cx2はRayleighの)散逸

関数の一例である.


散逸関数 (5)

• うまく散逸関数 Q(x)が見付かった場合, エネルギー散逸構造を含む系のEuler方程式は次のように変わる.

d

dt

∂L

∂x=

∂L

∂x−

∂Q(x)

∂x


Lagrange制御システムと状態方程式 (1)Lagrangeanで記述されたシステムを制御システムと捉える場合には, もっとも単純には, Euler方程式の右辺に入力ベクトルuを追加する. すなわち,

d

dt

∂L

∂x=

∂L

∂x+ u (散逸力なし)

d

dt

∂L

∂x=

∂L

∂x−

∂Q(x)

∂x+ u (散逸力あり)


Lagrange制御システムと状態方程式 (2)

• Lagrange制御システムにおいて, 状態変数 zを z = (zT1 , z

T2 )

T = (xT , xT )T とし, 関数 ψ

を次のように定義する.

ψ(z, z,u, t) =d

dt

∂L

∂x−

∂L

∂x+

∂Q(x)

∂x− u

• ψ = 0が z2について解け, z2 = η(z,u, t)という形になっていると仮定すると・・・



• 次の (非線形)状態方程式が得られる.

z1 = z2

z2 = η(z,u, t)

• このように解けない場合は以下の形 (ディスクリプタシステム)を取り扱うしかない:

z1 = z2, 0 = ψ(z, z,u, t)



• 教科書の例を単純化して, 摩擦のない 2連の振動子 (左端固定)の右端に外力 uを加える問題を考える.

k1 m1 k2 m2

q1 q2

u



• qiを質量miの物体のつり合いの位置からの変位とし, 各ばねのばね定数をkiとする (i =

1, 2). q = (q1, q2)T とする.

• 運動エネルギーは1

2

(m1q

2

1 +m2q2

2

), ポテン

シャルエネルギーは1

2

(k1q

2

1 + k2(q2 − q1)2)


Lagrange制御システムと状態方程式 (6)入力 uは Lagrangeanとは無関係なので, Euler方程式の導出が終わった後で追加することにして・・・

L =1

2

(m1q

21 +m2q

22

)−

1

2

(k1q

21 + k2(q2 − q1)

2)

∂L

∂q=(m1q1, m2q2

),

∂L

∂q= −

((k1 + k2)q1 − k2q2, −k2q1 + k2q2

)



• 以上を ddt

(∂L∂q

)

= ∂L∂q に代入すると,

m1q1 = −(k1+k2)q1+k2q2, m2q2 = k2q1 − k2q2

• 第 2式には入力 uが追加されているので,m2q2 = k2q1 − k2q2 + uのように変更する. 第 1式はそのまま.

• 状態変数を (x1, x2, x3, x4)T = (q1, q2, q1, q2)

T と取る


Lagrange制御システムと状態方程式 (8)以上のように変数を取って整理すると・・・

x1 = x3 (x1 = q1 = x3だから)

x2 = x4 (x2 = q2 = x4だから)

x3 =−(k1 + k2)

m1

x1 +k2m1

x2

x4 =k1m2

x1 −k2mm

x2 +1

m2

u


Lagrange制御システムと状態方程式 (9)行列を使って書き直すと,

x = Ax+Bu,

A =

0 0 1 00 0 0 1

−k1+k2m1

k2m1

0 0k1m2

−k2m2

0 0

, B =

0001

m2



• 先の式が教科書と違うのは, 教科書と異なり, 摩擦がない場合を考えているから

• 摩擦を考慮し, 摩擦に対応する散逸関数を D =1

2

(d1q

21 + d2(q2 − q1)

2 + d3q22

)として計算し直す

と教科書の式が得られる.

• 教科書とは大文字の使い方が違うので注意.


Hamiltonの運動方程式 (1)

• Lagrangean L(x, x, t)とが与えられているという問題設定に戻る.

• (非線形)座標変換によってEuler方程式を別の形に書き直したい.



• q = xと書き直し, p =

(∂L

∂x

)T

と定義する.

pを一般化運動量と呼ぶ.

• 任意の時刻において (x, x)から (q,p)への変換が非線形座標変換になっているものと仮定する. この仮定のもとで, ある関数 η(q,p, t)が存在し, x = η(q,p, t)である.



• Hamiltonian H(q,p, t)の定義は次の通り:

H(q,p, t) = pTη(q,p, t)− L(q,η(q,p, t), t)

このようにする理由は, Hamiltonianを使ってLagrange形式を表現し直すと (これをHamilo-

tonの運動方程式という)見通しが良いこと(後述). この計算を次に見てゆく.



∂H

∂q= pT

∂η

∂q−

∂L

∂q−

∂L

∂q

∂η

∂q

= pT∂η

∂q−

∂L

∂q− pT

∂η

∂q

= −∂L

∂q= −

∂L

∂x=

d

dt

(∂L

∂x

)

= −

(dp

dt

)T



∂H

∂p= ηT + pT

∂η

∂p−

∂L

∂x

∂η

∂p

= ηT + pT∂η

∂p− pT

∂η

∂p

= ηT = x = q



• これらをまとめてたものは次の通り. これをHamiltonの運動方程式という.

q =

(∂H

∂p

)T

p = −

(∂H

∂q

)T


Hamilton制御システム (1)

• Hamilton制御システムは, Hamiltonの運動方程式に散逸関数に相当する項と制御入力,

出力関数を付加したもの (以下においてDは定数行列).

• 次のシートには変数を (qT ,pT )T のままにしたものを書くが, x = (xT

1 ,xT2 ) = (qT ,pT )T

と置き直すことが一般的 (xi ∈ Rn, i = 1, 2).


Hamilton制御システム (変数 (qT ,pT )T)

q =

(∂H

∂p

)T

p = −

(∂H

∂q

)T

−D

(∂H

∂p

)T

+ u

y =

(∂H

∂p

)T


Hamilton制御システム: (変数x)

x =(

J −R

)(∂H

∂x

)T

+Gu

y = GT

(∂H

∂x

)T

J =

(

0 In

−In 0

)

,R =

(

0 0

0 D

)

,G =

(

0

In

)

Inは n次の単位行列


port Hamiltonianシステム (1)Hamilton制御システムの行列J ,D ,Gをxの関数で置き換えたシステムはport(-controlled) Hamiltonianシステムと呼ばれ, 近年, 活発に研究されている.

x =(J (x(t))−R(x(t))

)(∂H

∂x

)T

+G(x(t))u

y = (G(x(t)))T(∂H

∂x

)T


port Hamiltonianシステム (2)ただし, 以下の条件が成り立つものとする.

• J (x(t))は J (x(t)) = −(J (x(t)))T を満たす関数行列で,

• R(x(t)) =

(0 00 D(x(t))

)

• x(t)を固定したとき D(x(t))は半正定対称行列とする.


port Hamiltonianシステム (3)

• port Hamiltonシステムの具体例は, メカトロニクスや電気回路などで見られる

• 系に自然なエネルギー散逸構造が定まっているため, 制御系設計が比較的容易で, ロバスト性が高いことがメリット

• 一方で, 適用できる対象が限定され, かつ設計の自由度が低いことがデメリット


Lagrangeの未定乗数法 (1)

• 運動方程式を立てるとき, 運動に束縛条件が付いた状況を取り扱わなければならないことがある

• たとえば円柱上の物体が斜面を滑らずに転がる,といった場合

• 一般化座標 qのもとで, ベクトル値関数 C(q)が与えられ (C(q) ∈ R

l とする), C(q) = 0を満たすように運動方程式を立てたい, という状況を考える.



• このような状況で役に立つのが Lagrangeの未定乗数法. 以下ではこの手法について述べる.

• λ ∈ Rlとし, Lagrangean Lのかわりに,

LC = L+ λTC(q) という関数を考える.

• C(q) = 0であれば LC = Lである.

•∂LC

∂λ= C(q)T は束縛条件に対応する関数である.



• したがって, 以下の連立 (微分)方程式を解けば,束縛条件がある問題を取り扱うことができる.

d

dt

∂LC

∂q=

∂LC

∂q

∂LC

∂λ= 0

• このような手法を Lagrangeの未定乗数法という.


Lagrangeの未定乗数法 (4)例として円柱が斜面を転がり落ちる問題を考える.

x(t)α

θ(t)

横から見た図

円柱質量 m 慣性モーメント I

r



• 円柱の横滑りは十分小さく無視できると仮定する.

• 円柱の質量は m, 断面の半径は r, 慣性モーメントは I とする.

• 斜面の勾配は αとする.

• 運動開始時を基点として, 円柱の設置点の斜面に沿った移動距離を x(t), 円柱の回転角度を θ(t)とする. θ(t)は 360度 (2π)を越えても零に戻さないことにする.



• 時刻 tにおける円柱の運動エネルギーは1

2mx2 +

1

2Iθ2で, ポテンシャルエネルギーは −mgx sinα

• よって, L = 1

2mx2 + 1

2Iθ2 +mgx sinα

• 横滑りしないなら x(t)− rθ(t) = 0.

ゆえに LC = 1

2mx2 + 1

2Iθ2 +mgx sinα+ λ(x− rθ)



ddt

(∂LC

∂x

)

= ∂LC

∂x⇒ mx = mg sinα+ λ

(∂LC

∂θ

)

= ∂LC

∂θ⇒ Iθ = −rλ

∂LC

∂λ= 0 ⇒ x = rθ

• 第 2式から λ = −Iθ/r,

• 第 3式を 2回微分して x = rθ

• これらをまとめて λ = −Ix/r2



• λ = −Ix

r2をmx = mg sinα+ λに代入すると,

(

m+I

r2

)

x = mg sinα；この微分方程式を解

くと円柱の運動が決まる

• Iの影響で円柱の移動が遅くなっており, 物理的に

はmx = mg sinα+λにおける λ = −Iθ

r= −

Ix

r2の項が摩擦に相当する.



• 先に述べた解は「僅かな横滑り」を無視した極限.

• 物体の断面の形状が複雑などの理由で, 物体の回転軸と質量中心が必ずも一致しない運動には,「斜面を滑らずに転がる」という条件が物体の質量中心の上下動を発生させることがあり得る. この場合には, 「斜面を滑らずに転がる」という条件を実現できない可能性がある.


参考文献

• 畑 (益川監修, 植松, 青山編), 解析力学, 東京図書, 2014

• 原島, 力学, 3訂版, 裳華房, 1985

• W. M. Haddad and V. Chellaboina, Nonliner Dynamical Systems

and Control, Princeton University Press, 2008

• 野波, 水野 (編集代表), 制御の事典, 朝倉書店, 2015


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