Laplace Bruksområder

Løsning av differensialligninger.Diff.lign. overføres til algebraiske ligninger.

Generell metode til formulering av transfer-funksjonerav et input / output system.Transfer-funksjon gir en generell informasjon om et systemog kan benyttes til å bestemme output for vilkårlig input,samt kontrollere stabilitet.

Transformation Car

Hjem Bilverksted

Music - Digital

Ren tone Reell toneDigitalisering TabellFourierTransform Sammensetn av rene toner

Integrasjon Derivasjon

Analog Digital

Transformation Computing - Addition

2

d xxfexfFuF u xj )()()( 2

4

+

16

=

20

2

+

8

=

10

2

2

Room 1 Room 2

Transformation

Transformation Computing - Logarithm

2

d xxfexfFuF u xj )()()( 2

8

*

32

=

256

3

+

5

=

8xy 2

yx 2lo g

Rom 1 y

Rom 2 x

Transformasjon

yxay x2lo g

Transformation Theory

Transformasjonf(x) F(u)Room 1 Room 2

f(x) = T-1(F(u))

F(u) = T[f(x)]

Transformation TheoryIntegral Transformation

f(…) F(…)Room 1 Room 2

f(…) = T-1(F(…))

F(…) = T[f(…)]

.. .(...)...)]([ dfxfT

Transformation TheoryIntegral TransformationWavelet - Laplace - Fourier

f(…) F(…)

Fourier

jsdttfestfL st

)())](([

Wavelet

Laplace

d xxfexfFuF u xj )()()( 2

d xxfxfbafWbaW baba )()(),]([),( ,,

Transformation Theory

Transformationf(x) F(u)

Fourier

0

)())](([ d tetfstfL s t

Wavelet

Laplace

d xxfexfFuF u xj )()()( 2

d xxfxfbafWbaW baba )()(),]([),( ,,

Fourier SeriesFourier SeriesSimulationSimulation

FourierSampling - Digitalisering

Definition of The Continuous Wavelet Transform CWT

dxxfxfbafWbaW baba )()(),]([),( ,,

0 , )(, 2 aRbaRLf

The continuous-time wavelet transform (CWT)of f(x) with respect to a wavelet (x):

][ fW),]([ bafW

)( xf

)( xL2(R)

abxaxba

2/1, || )(

dadbxbaWaC

xf ba )(),(11)( ,2

)(0,1 x )(0,2 x )(1,2 x

Wavelets

dxxfxfbafWbaW baba )()(),]([),( ,,

abxaxba

2/1, || )(

dadbxbaWaC

xf ba )(),(11)( ,2

dadbxbaWaC

xf ba )(),(11)( ,2

Kreftsvulster Bomring Video-komprimering

Fjerner lav-frekv. W Fjerner høy-frekv. W

The Norwegian RadiumhospitalMammography

Mexican Hat - 3 Dim

2

2

2σx2

2π1 e

σx2Ψ(x)

1σ

cosθsin θsin θcosθ

R

2

y

2x

a10

0a1

A

A RRP T

yx

r

y

x

bb

b

brPbrT

a

T

y

brPbr

2

1

a2π1

b,a e2)r(Ψx

y

x

aa

a

2a 1a yx

Laplace transformasjon

0),,,,( 2

2

id td tid

d td iitf

Diff./Integral.lign.

0

)())](([ d tetfstfL s t 0),( itg

’Ordinær’ ligningLaplace transformasjon

LaplaceLaplace ide

Laplace ide:

Transformer diff.lign. til algebraiske ligninger,dvs transformer en diff.lign. som benytter derivasjon og integrasjontil en ligning som i stedet benytter de grunnleggende operasjonene addisjon, subtraksjon, divisjon og multiplikasjon.

RCU(t)

)()(1)()(

)()(1)()(

)()(1)()(

0)(1)()()(

2

2

2

0

0

ssUsIC

ssIRsILs

dttduti

CdttdiR

dttidL

tudttiC

tiRdttdiL

dttiC

tiRdttdiLtu

t

t

L

t

C

L

R

dttiC

v

dttdiLv

tRiv

0

)(1

)()(

~

Eks:

Diff.lign.Innledning - Benyttes til å beskrive prosessendringer

Newtons 2.lov

Radioaktivitet

Kvantefysikk

SHM

Varmetransport

Bølger

Elektrisk krets

)x(Fk x'c x''m x

uktu 2

zatz 222

2

Typer av diff.lign.

ODE Ordinære Endringer mht en enkelt variabelPDE Partielle Endringer mht flere variabler

E

tih E)r(V

m2h 2

2

vmd tdF

d trdmF amF 2

2

kNd t

d N

Eid td td iLR i

END