Lars Vidar Magnusson - hiof.noLars Vidar Magnusson Bildebehandling og M˝nstergjenkjenning 2018 Teorien Bak Spesi serte Histogram Teorien bygger p a det vi allerede har diskutert

Histogramprosessering

Lars Vidar Magnusson

January 22, 2018

Delkapittel 3.3 Histogram Processing

Lars Vidar Magnusson Bildebehandling og Mønstergjenkjenning 2018

Histogram i Bildeanalyse

Et histogram av et digitalt bilde med intensitet i intervallet [0, L)er en diskret funksjon

h(rk) = nk ,

hvor rk er det kte intensiteten og nk er antall elementer medintensitet k.

Det er vanlig a normalisere et histogram ved a dele pa antall elementertotalt.

p(rk) = nk/MN

Løst sagt sa er p(rk) et estimat pa sansynligheten for rk inntreffer i etbilde.


Eksempler

Et eksempel pa et graaskalabilde med tilhørende histogram.

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

0 50 100 150 200 250


Eksempler

Et eksempel pa et graaskalabilde med lav kontrast.

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

0 50 100 150 200 250


Eksempler

Et eksempel pa et mørkt graaskalabilde.

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 50 100 150 200 250


Eksempler

Et eksempel pa et lyst graaskalabilde.

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 50 100 150 200 250


Bruksomrader

Histogram av digitale bilder er svært anvendelige.

Forbedring (enhancement)

Statistikk

Kompresjon

Segmentering

...

Histogram er enkle a finne, og prosessen er svært godt egnet forimplementasjon i hardware.


Utjevning av Histogram

Vi har allerede sett eksempler pa at det ofte er gunstig om etbildets histogram er noenlunde jevnt fordelt utover rekkevidden.

Dette er mulig a tilnærme ved bruk av histogram equalization(histogramutjevning).

sk = T (rk) = (L− 1)k∑

j=0

pr (rj)


Tilbake til Eksemplene

Dette er det samme eksempelet som ble gitt tidligere.

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

0 1 2 3 4 5 6

×104

Utjevningen gjør liten nytte pa et bilde med høy kontrast.



Dette er det eksempelet med lav kontrast.

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

0 1 2 3 4 5 6

×104



Dette er det eksempelet med lav intensitet.

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 1 2 3 4 5 6

×104



Dette er det eksempelet med høy intensitet.

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 1 2 3 4 5 6

×104


Eksempel pa Utjevning

La oss se pa et eksempel fra boka. Vi har L = 8, M = 64 ogN = 64.

rk nk pr (r)

0 790 0.19

1 1023 0.25

2 850 0.21

3 656 0.16

4 329 0.08

5 245 0.06

6 122 0.03

7 81 0.02

0 2 4 60

0.2

0.4


Eksempel pa Utjevning

Hvis vi bruker transformasjonsfunksjonen pa de gitte data far vifølgende.

rk nk pr (r)

s0 1.33 1

s1 3.08 3

s2 4.55 5

s3 5.67 6

s4 6.23 6

s5 6.65 7

s6 6.86 7

s7 7.00 7

0 2 4 60

0.2

0.4

Som vi kan se sa blir ikke histogrammet helt jevnt, men mye jevnere ennorginalt.


Teorien Bak Histogramutjevning

Histogramutjevning er bygget pa teori om tilfeldige variable (randomvariables) og sannsynlighetstetthet (probability density function).

Vi har s = T (r)

Vi antar at pr (r) og ps(s) er sannsynlighetstetthet til henholdsvis r og s

Vi ma finne en transformasjonsfunksjon T (r) som oppfyller følgende krav.

ma være monotonisk stigende i intervallet 0 ≤ r ≤ L− 1

0 ≤ T (r) ≤ L− 1 for 0 ≤ r ≤ L− 1



Et grunnleggende resultat i sannsynlighetsteori er at hvis vi vet pr (r) ogT (r), og hvis T (r) er sammenhengende (continuous) og deriverbar, sakan vi finne ps(s).

ps(s) = pr (r)

∣∣∣∣dr

ds

∣∣∣∣Distribusjonen til s er altsa avhengig av distribusjonen til r ogtransformasjonen T (r)



Cumulative distribution function (CDF) kan defineres som følger.

s = T (r) = (L− 1)

∫ r

0

pr (w)dw

Denne funksjonen er summerer altsa p(r).

siden p(r) alltid er positiv vil den være monotonisk stigende

nar r = L− 1 vil integralet evalueres til 1 i.e. s vil ligge i intervallet0 ≤ s ≤ L− 1

Denne funksjonen oppfyller derfor kravene gitt tidligere.



Vi vet at den deriverte av et bestemt integral i henhold til dens øvregrense er integranden evaluert pa grensen (Leibniz).

Derfor kan vi na uttrykke følgende.

ds

dr=

dT (r)

dr

= (L− 1)d

dr

[∫ r

0

pr (w)dw

]= (L− 1)pr (r)



Resultatet fra forrige side kan vi sette i ligningen gitt i begynnelsen.

ps(s) = pr (r)

∣∣∣∣dr

ds

∣∣∣∣= pr (r)

∣∣∣∣ 1

(L− 1)pr (r)

∣∣∣∣=

1

L− 1

Dette er lov siden pr (r) alltid er positiv, og det gjelder for 0 ≤ s ≤ L− 1.

Dette viser at hvis en tilfeldig variabel r transformeres med

s = (L− 1)

∫ r

0

pr (r)dw ,

sa vil s fa en helt uniform distribusjon.


Utjevning av Histogram

Na som vi har sett teorien bak, kan vi returner til den diskreteverden.

sk = T (rk) = (L− 1)k∑

j=0

pr (rj)

=L− 1

MN

k∑j=0

nj

Hvor k = {0, 1, 2, . . . , L− 1}.


Spesifisert Histogram

Vi har sett pa hvordan vi kan jevne ut et histogram. Na skal vi sepa hvordan dette kan utvides videre, slik at man kan spesifisere ethistogram.

Dette kalles histogram matching eller histogram specification.

Gjøres ved a introdusere en ny tilfeldig variabel z med tilhørende pz(z)som spesifiserer hvordan vi vil ha distribusjonen.


Teorien Bak Spesifiserte Histogram

Teorien bygger pa det vi allerede har diskutert.

s = T (r) = (L− 1)

∫ r

0pr (w)dw

Dette jevner ut histogrammet, men vi introduserer ogsa følgende nyeforhold.

G (z) = (L− 1)

∫ r

0

pr (t)dt = s

Vi har da følgende.

z = G−1[T (r)] = G−1(s)


Steg-for-Steg Oppskrift for Kontinuerlige Verdier

Ved a følge følgende oppskrift kan man tilpasse ensannsynlighetstetthet.

1 Finn pr (r) og deretter s og ps(s)

2 Bruk den spesifiserte sannsynlighetstettheten til a finne G (z)

3 Finn G−1(s)

4 Bruk G−1(s) til a konvertere fra s til z

I teorien er dette en noksa enkel oppskrift, men i praksis er det vanskeliga finne fornuftig for bl.a. G (z).



Det er enklere a gjennomføre prosessen med diskrete verdier. Vibegynner med det kjente.

sk = T (rk) = (L− 1)k∑

j=0

pr (rj)

=L− 1

MN

k∑j=0

nj

Og vi har følgende diskrete transformasjon

G (zq) = (L− 1)

q∑i=0

pz(zi ),

slik at G (zq) = sk og zq = G−1(sk).



Siden vi jobber med diskrete verdier trenger vi ikke finne G−1, vibare regner ut alle verdiene i en tabell og inverterer den.

1 Finn de utjevnede verdiene sk2 Regn ut alle verdiene for G og lagre dem in en tabell.

3 Finn mappingene mellom sk og zq ved hjelp av tabellen

4 Utjevn bildet og bruk verdiene til a sette inn de spesifiesrte verdiene


Lokal Histogramprosessering

Forrige forelesning diskuterte vi histogramprosessering pa et globaltniva.

Det kan ogsa være nyttig a benytte teknikken pa lokale vinduer.

Histogrammet regnes ut for et vindu i stedet for hele bildet.

Intensiteten til senterpunktet regnes ut fra det lokale histogrammet.

Vinduet blir flyttet til hvert punkt i bildet.


Lokal Histogramutjevning

Vi skal se pa lokal histogramutjevning (equalization).

Samme prinsipp som for global histogramutjevning, men vi regner uthistogramet for et n × n vindu.

Den nye verdien for det gjeldende koordinatet regnes ut som før, menmed det lokale histogrammet.


Lokal Histogramutjevning - Eksempel

Under ser dere et bilde som ser ut som et sett med svartekvadrater pa en gra bakgrunn.



Her er det samme bildet etter histogramutjevning.



Her er det samme bildet etter lokal histogramutjevning.


Histogramstatistikk

Husk at for et (normalisert) histogram p(ri ) for diskreteintensiteter [0, L− 1] angir en tilnærming til sansynlighetsfordeling.

Vi kan derfor benytte oss av statistikk. Det statistiske nte momentet til rer definert som følgende.

µn(r) =L−1∑i=0

(ri −m)np(ri )

Hvor m er mean (gjennomsnitts) intensitet.

m =L−1∑i=0

rip(ri )


Histogramstatistikk - Mean og Varianse

Spesielt nyttig er det andre momentet.

µ2(r) =L−1∑i=0

(ri −m)2p(ri )

Dette er variansen δ2 til intensiteten, hvor standard avviket er δ.

Mean og variansen til intensiteten kan ogsa regnes ut direkte fra bildet.

m =1

MN

M−1∑x=0

N−1∑y=0

f (x , y)

σ2 =1

MN

M−1∑x=0

N−1∑y=0

[f (x , y) −m]2

Dette refereres ofte til som sample mean og sample variance.


Histogramstatistikk - Eksempel

Her ser vi igjen bildet med skjulte symboler

g(x , y) =

{Cf (x , y) if k0mG ≤ mSxy ≤ k1mG AND k2σG ≤ σSxy ≤ k3σG

f (x , y) otherwise


Documents

Lars Vidar Magnusson - hiof.noLars Vidar Magnusson Bildebehandling og M˝nstergjenkjenning 2018 Teorien Bak Spesi serte Histogram Teorien bygger p a det vi allerede har diskutert