MATEMATIKA DISKRIT 2

PEMBAHASAN SOAL LATIHAN 2.1

No. 2,3,5,9

KELOMPOK 7 :

1. AIDIL FAJAR AKBAR

2. MERY APRIYANI HUTABARAT

3. RIO GUNANTA SEMBIRING

4. RAHMAD IDRIS HASIBUAN

5. MUHAMMAD KHAIRI

6. NURHAYATI RITONGA

7. SITI RAHMI RITONGA

PENDIDIKAN MATEMATIKAMATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS NEGERI MEDAN

2013

f

a

b c

d

e

a b

d

c

e f

a

fe

d cb

LATIHAN 2.1

2. Gambarlah graf planar berikut ini dengan jalur-jalur tidak ada yang berpotongan.

3. Apakah setiap graf berikut ini planar ? Jika ya, tunjukkan graf planarnya tanpa jalur-jalur bersilangan.

5. Misalkan graf planar terhubung G adalah reguler (graf yang derajat setiap simpulnya sama) mempunyai 30 jalur. Kalau planar dari G membagi bidang menjadi 20 muka, berapa banyak simpul yang dimiliki graf G ?

6. Yang mana diantara graf berikut ini homorpik K3,3 ?

Penyelesaian :

2. (a) Graf disamping disebut graf planar karena dapat dibentuk sedemikian sehingga tidak ada jalur yang bersilangan.

Graf disamping menunjukkan tidak ada lagi jalur yang bersilangan

(b) Graf disamping disebut graf planar karena dapat dibentuk sedemikian sehingga tidak ada jalur yang bersilangan.

Graf disamping menunjukkan tidak ada lagi jalur yang bersilangan

(c) Graf disamping bukan merupakan graf planar karena tidak dapat dibentuk sedemikian sehingga masih ada jalur yang berilangan.

3. (a)

Bukti :Menggunakan teorema Euler(i) Akan ditunjukkan graf di atas tidak planar.(ii) Graf di atas mempunyai 6 simpul 9 jalur(iii) Andaikan graf diatas planar, maka teorema euler

berlaku n-m+f = 2 6-9+f=2 f = 2+3 f = 5, hal ini menunjukkan graf tersebut mempunyai 5 daerah.

(iv) Graf di atas menunjukkan tidak ada simpul yang terhubung satu sama lain, ini menunjukkan bahwa derajat setiap daerah adalah 4 atau lebih sehingga jumlah derajat pada graf ini adalah 4×5=20 atau lebih dari 20. Menurut teorema Jabat tangan bahwa 2e=20 maka e=10 atau lebih dari 10. Hal ini bertentangan dengan graf di atas yang mempunyai 9 jalur. Maka terbukti bahwa graf di atas tidak planar.

Graf di samping bukan merupakan graf planar, karena jika digambar di bidang sedemikian sehingga masih terdapat jalur yang bersilangan.

(b)

Bukti :Menggunakan teorema Euler(i) Akan ditunjukkan graf di atas tidak planar.(ii) Graf di atas mempunyai 6 simpul 9 jalur(iii) Andaikan graf diatas planar, maka teorema euler

berlaku n-m+f = 2 6-9+f=2 f = 2+3 f = 5, hal ini menunjukkan graf tersebut mempunyai 5 daerah.

(iv) Graf di atas menunjukkan tidak ada simpul yang terhubung satu sama lain, ini menunjukkan bahwa derajat setiap daerah adalah 4 atau lebih sehingga jumlah derajat pada graf ini adalah 4×5=20 atau lebih dari 20. Menurut teorema Jabat tangan bahwa 2e=20 maka e=10 atau lebih dari 10. Hal ini bertentangan dengan graf di atas yang mempunyai 9 jalur. Maka terbukti bahwa graf di atas tidak planar.

(c)

5. Diketahui : G adalah graf planar terhubung regular (graf yang derajat setiap simpulnya sama)

Graf di samping bukan merupakan graf planar, karena jika digambar di bidang sedemikian sehingga masih terdapat jalur yang bersilangan.

Graf di samping merupakan graf planar, karena jika digambar di bidang sedemikian sehingga tidak terdapat jalur yang bersilangan.

e=30 jalur f=20muka

Ditanya : banyak simpul

Penyelesaian :Menggunakan teorema Jabat tangan :

2e=∑v∈V

der (v)

2 (30 )=x .n60=x .n

n=60x…(¿)

Menurut teorema Euler :n−e+ f=2…¿ Substitusi (*) ke pers. (**) :60x

−30+20=2

60x

−10=2

60x

=12

x=5

Substitusi x=5 ke pers (*) :

n=605

n=12∴Maka diperolehlahbanyak simpulnyaadalah 12

9. (a)

a

fe

d cb

a b

d

c

e f

f

a

b c

d

e

Graf K3,3

(b)

Graf K3,3

(c)

Graf di samping tidak homomorfik dengan K3,3 karena tidak ada simpul yang berderajat 2 melainkan isomorfik dengan graf K3,3 karena

i. Banyak simpulnya sama yaitu 6ii. Banyak jalurnya sama yaitu 9iii. Derajat simpul yang bersesuaian

sama

Graf di samping tidak homomorfik dengan K3,3 karena jika terjadi penambahan maupun pengurangan simpul berderajat 2 mka simpulnya lebih dari 6 atau kurang dari 6 maka bertentangan dengan graf K3,3 yang mempunyai 6 simpul. Melainkan graf disamping merupakan subgraf dari graf K3,3 karena terjadi penghapusan jalur yaitu jalur ae, bf, dan ce.

Graf di samping tidak homomorfik dengan graf K3,3 karena tidak ada simpul yang berderajat dua.