LE AZIONI AERODINAMICHE CARATTERIZZANTI IL … Fisica Matematica/forze aerodinamiche su... · la forza aerodinamica complessiva con la somma delle azioni ae-rodinamiche associate

M. G. BUSATO

LE AZIONI AERODINAMICHE CARATTERIZZANTI IL MOTO

DEI PROIETTILI SENZA ALETTATURE

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PAGINA INTENZIONALMENTE VUOTA

INDICE GENERALE 1. INTRODUZIONE

1

2. L’AZIONE DELL’ARIA SU UN PROIETTILE

4

3. CARATTERIZZAZIONE DELLA FORZA Fa 11

4. CARATTERIZZAZIONE DEL MOMENTO ASSOCIATO AD Fa 30

5. CARATTERIZZAZIONE DEL MOMENTO DI SPIN DAMPING Ma 45

6. AZIONI AERODINAMICHE TRASCURATE 46

7. CONCLUSIONI

47

APPENDICE 1 Le principali tipologie standard di proiettili

54

APPENDICE 2 Tabella di comparazione dei simboli utilizzati in balistica per rappresentare i coefficienti aerodinamici

57

APPENDICE 3 Specifiche dimensionali del proiettile d’artiglieria “Tipo M1” da 105 mm

59

BIBLIOGRAFIA GENERALE jujujjjjhh


SOMMARIO

In questo scritto, dopo avere inquadrato il problema generale del moto di un proiettile di massa costante e richiamatone le equa-zioni del moto, viene data la caratterizzazione delle azioni aero-dinamiche agenti su un proiettile privo di alettature. Per definire la forza aerodinamica complessiva agente su un proiettile si è adottato un approccio semiempirico basato sulla individuazione dei principali fenomeni fisici dai quali tale forza trae origine. Cioè scomponendo il complesso problema della interazione fra proiettile ed aria in alcuni problemi elementari ed identificando la forza aerodinamica complessiva con la somma delle azioni ae-rodinamiche associate a questi problemi. Ciò consente anche di chiarire il significato fisico delle forze aerodinamiche che in ba-listica si considerano convenzionalmente agenti su un proiettile (Drag, Lift, …) e che spesso sono introdotte in modo assiomati-co. Il momento aerodinamico complessivo è definito in modo a-nalogo basandosi sulla caratterizzazione adottata per la forza aerodinamica complessiva. Nell’ultimo paragrafo è riportato un riassunto, sotto forma di tabelle sinottiche e figure, di quanto spiegato nei paragrafi precedenti.


1

1. INTRODUZIONE I proiettili sono solidi di rotazione di forma aerodinamica, eventualmente dotati di una alettatura po-steriore. La seguente Figura 1.1 mostra schematicamente un tipico proiettile moderno di artiglieria ed un tipico proiettile con alettatura posteriore, dotato di propulsione autonoma. Questo secondo ca-so non sarà però trattato nel presente scritto.

Figura 1.1

Come per ogni corpo solido, la posizione nello spazio di un proiettile risulta individuata quando ri-spetto ad una terna di riferimento assegnata (fissa o in movimento con legge nota rispetto ad un rife-rimento inerziale), che indicheremo con S, è nota la posizione del suo centro di massa (che ind i-cheremo con G) e la sua orientazione. Per individuare nello spazio un proiettile occorrono quindi due terne di assi coordinati: la terna S ed una terna solidale al proiettile (e quindi mobile) che in-dicheremo con S' e che conviene scegliere con origine in G ed assi coincidenti con gli assi prin-cipali d’inerzia del proiettile stesso. Così facendo infatti, la posizione di G è fornita rispetto alla ter-na S dal vettore:

r = G – O 1.1

dove con O si è indicata l’origine di S, mentre l’orientazione del proiettile è fornita dai tre angoli che individuano l’orientazione della terna S' rispetto alla terna S. Il moto del proiettile è com-pletamente individuato, come que llo di un qualsiasi corpo solido, dalla conoscenza, rispetto ad un sistema di riferimento inerziale S, della velocità del suo centro di massa G (che indicheremo con v ) e della sua velocità angolare (che indicheremo con ω ). Infatti, poiché il moto di S si suppone

conosciuto rispetto ad S, una volta noto il vettore v si può ottenere la velocità di G rispetto ad S (che indicheremo con v) e quindi la conoscenza in ogni istante del vettore v (derivata rispetto al tempo del vettore r) mentre noto il vettore ω che caratterizza il moto rotatorio di S' rispetto ad

S, si può ottenere la conoscenza in ogni istante della orientazione di S' rispetto ad S e di conseguenza l’orientazione di S' rispetto ad S. I vettori v ed ω (di significato fisico ben preci-so) si ottengono integrando le cosiddette equazioni cardinali del moto, le quali possono essere scrit-te relativamente a qualsiasi sistema di riferimento, cioè rappresentando i vettori v ed ω rispetto ad una terna arbitraria. Tali equazioni legano in modo differenziale la quantità di moto Q ed il mo-mento angolare K del proiettile rispetto a S (che sono rispettivamente una funzione di v ed una funzione di ω ) alle azioni esterne agenti sul proiettile stesso. Nel sistema di riferimento S le e-quazioni cardinali del moto hanno la forma seguente:

2

estddt

=Q

F 1.2

estddt

=K

M 1.3

dove estF ed estM sono la forza totale ed il momento totale esterni agenti sul proiettile. Si suppone

che K ed estM siano calcolati utilizzano come centro di riduzione l’origine di S o il baricentro G del proiettile. Spesso tuttavia è più comodo scrivere le equazioni cardinali del moto relativamente ad un sistema di riferimento diverso da S e non necessariamente il medesimo per entrambe. Ciò che conta infatti è che le equazioni cardinali del moto formino, eventualmente assieme ad opportune equazioni ausiliarie derivanti dall’utilizzo di sistemi di riferimento diversi da S, un sistema diffe-renziale chiuso. In alcuni casi inoltre è opportuno utilizzare non la quantità di moto e/o il momento angolare del proiettile rispetto ad S, cioè i vettori Q e K , ma la quantità di moto e/o il momento angolare del proiettile rispetto al sistema di riferimento utilizzato per scrivere le equazioni cardinali del moto, cioè i vettori ottenibili da Q e K avvalendosi della conoscenza del moto del sistema ut i-lizzato rispetto al sistema S. E’ chiaro che in tutte queste situazioni le equazioni cardinali del mo-to assumono una forma differente da quella data dalla 1.2 ed 1.3. In balistica per determinare il moto di un proiettile si segue proprio un approccio “ibrido” del tipo sopra accennato. Il sistema di riferimento S rispetto al quale si descrive il moto del centro di mas-sa del proiettile è assunto solidale alla Terra, e quindi mobile di moto conosciuto, con origine nel punto di sparo. Come sistema di riferimento S' si assume poi quello formato dagli assi principali d’inerzia del proiettile. Si introduce infine un sistema di riferimento ausiliario 0S , inerziale e quindi fisso, coinc idente con S all’istante iniziale dello sparo. La prima equazione cardinale del moto viene scritta relativamente ad S ed utilizzando proprio il vettore quantità di moto del proiet-tile rispetto a questo sistema di riferimento (vettore che indicheremo con Q). La seconda equazione cardinale del moto viene scritta invece relativamente ad 0S , utilizzando il vettore momento ango-

lare del proiettile rispetto ad 0S stesso (cioè il vettore K ); come centro di riduzione dei momenti si assume il centro di massa del proiettile, cioè il punto G. Con le assunzioni fatte le equazioni car-dinali del moto del proiettile assumono allora la forma seguente:

T T T est

12 ( )

ddt m

= − ∧ − ∧ ∧ +v

v r FΩ Ω Ω 1.4

estddt

=K

M 1.5

dove TΩ è la velocità di rotazione assiale della Terra (supposta come è ovvio costante), ed m è la massa del proiettile. Per maggiori dettagli su quanto ora esposto si veda [1], [2], [3]. Le azioni a cui è soggetto un proiettile in volo sono la forza che la Terra esercita su di esso e le fo r-ze ed i momenti dovuti alla interazione con l’aria. Quindi in generale la forza complessiva estF ed il momento complessivo estM che agiscono su un proiettile in volo avranno la forma seguente (assu-mendo come centro di riduzione dei momenti il punto G):

3

est T a= +F F F 1.6 est est a(C G)F= − ∧ +M F M 1.7 dove: • TF è la forza dovuta all’attrazione della Terra, • aF è la forza dovuta all’interazione con l’aria, • aM è il momento naturale dovuto all’interazione con l’aria (momento di Spin Damping), • CF è il punto di applicazione della forza estF . Il punto CF di applicazione della forza estF è determinato dalla conoscenza dei punti di applicazio-ne delle forze TF ed aF . La forza TF è applicata al baricentro G del proiettile. La forza aF invece risulta applicata in un punto aC del proiettile che dipende anche dall’assetto di volo del proiettile stesso. In pratica quindi l’interazione del proiettile con l’aria risulta caratterizzata da due grandezze: il vettore aF ed il punto di applicazione di questo vettore. Tenendo conto di quanto ora detto, la 1.7 si può allora riscrivere nella forma seguente:

est a a a(C G)= − ∧ +M F M 1.8 dove aC , aF ed aM si devono considerare funzioni note dei parametri che caratterizzano l’intera-zione del proiettile con l’aria. Poiché è difficile ottenere una caratterizzazione della funzione aC , è uso considerare la forza aF applicata al baricentro G del proiettile ed introdurre come azione fisica sul proiettile il corrispondente momento di trasporto:

a a a(C G)= − ∧M F% 1.9 Con tale accorgimento la 1.7 fornisce allora: est a a= +M M M% 1.10 e quindi, tenendo conto anche della 1.6, le equazioni cardinali del moto 1.4 ed 1.5 assumono la for-ma seguente:

T T T T a

12 ( ) ( )

ddt m

= − ∧ − ∧ ∧ + +v

v r F FΩ Ω Ω 1.11

a addt

= +K

M M% 1.12

dove TF e una funzione nota dei parametri che caratterizzano l’attrazione terrestre mentre aF , aM%

ed aM sono funzioni note dei parametri che caratterizzano l’interazione del proiettile con l’aria. Risulta che per le forze TF ed aF e per i momenti aM% ed aM è possibile ricondursi ad una espres-

4

sione del tipo: (0)

T T termini trascurabili= +F F 1.13 (0)

a a termini trascurabili= +F F 1.14 (0)

a a termini trascurabili= +M M% % 1.15 (0)

a a termini trascurabili= +M M 1.16 L’ordine di grandezza dei termini trascurabili stabilisce, unitamente all’ordine di grandezza dei ter-mini che compaiono nella 1.11 per la non inerzialità del riferimento utilizzato, il grado di approssimazione caratteristico di un particolare “modello balistico” e al tempo stesso ne definisce il campo di validità. Così, ad esempio, il cosiddetto “modello balistico euleriano” rientra come caso particolare del modello stabilito dalle equazioni 1.11 ed 1.12 sotto le seguenti ipotesi: (1) Trascura-bilità degli effetti legati alla non inerzialità del sistema di riferimento adottato per descrivere il moto del centro di massa del proiettile, (2) Trascurabilità dei momenti aM% ed aM , (3) Indipendenza della forza aF dalla orientazione e dalla velocità di rotazione del proiettile. Chiaramente, sotto queste ipotesi il proiettile dal punto di vista dinamico risulta assimilato ad un punto materiale e come tale quindi viene identificato. Per maggiori dettagli su quanto ora esposto si veda [3]. In questo scritto caratterizzeremo la forza aF ed i momenti aM% ed aM e ne studieremo le principali

proprietà. Non effettueremo invece la determinazione esplicita della forza aF e dei momenti aM% ed

aM . Questo infatti è un tipico problema di aerodinamica che presenta anche notevoli difficoltà riso-lutive. Un approccio semiempirico a questo problema di fondamentale importanza in balistica, è da-to dal cosiddetto “component buildup method” e viene accennato in [4]. Per altri dettagli su questo metodo sviluppato a partire dagli anni ′50, si rimanda anche a [5], a [6] ed alla libreria on- line del NACA (http://naca.larc.nasa.gov). Un approccio più rigoroso e preciso alla determinazione della forza aF e dei momenti aM% ed aM , nato con lo sviluppo dell’informatica, è fornito invece da tecni-che di calcolo numerico note come “computational fluid dynamic”, implementate in appositi pro-grammi detti CFD. L’uso di questi programmi richiede però di norma delle conoscenze abbastanza approfondite di aerodinamica e calcolo numerico. Per la determinazione della forza TF si veda [7]. 2. L’AZIONE DELL’ARIA SU UN PROIETTILE IN VOLO I proiettili, come si è detto, sono solidi di rotazione di forma aerodinamica. In essi si possono fon-damentalmente individuare tre componenti: il fondello, tipicamente un corto tronco di cono, più ra-ramente un cono, che tuttavia può anche mancare (si parla allora di proiettili a fondo piatto); il cor-po, di forma cilindrica, ed il puntale, tipicamente un’ogiva tangente o secante al corpo, con termi-nazione a punta, smussata o tronca.(1) Il rapporto fra le lunghezze di questi componenti ed il calibro del proiettile può essere quanto mai vario. La seguente Figura 1.1 mostra schematicamente un tipico proiettile di artiglieria con fondello tronco conico e puntale ogivale secante con terminazione a pun-ta.

1) I proiettili reali presentano alcune volte degli anelli attorno al corpo e in prossimità del fondello al fine di ottimizzarne il moto all’interno della canna. La presenza di tali sporgenze influenza il valore delle azioni aerodinamiche ma non in-fluisce sulla caratterizzazione di esse poiché non modifica la simmetria del proiettile.

5

Figura 1.1 L’aria è un fluido viscoso e compressibile. Quando un proiettile l’attraversa essa quindi esercita sul proiettile un’azione la cui origine può ricondursi a fenomeni viscosi e ad una distribuzione di pres-sione non uniforme che si genera attorno al proiettile in volo. Queste azioni equivalgono ad una fo r-za aF applicata in un opportuno punto aC dell’asse del proiettile detto centro delle forze aerodina-miche e ad un momento aM la cui direzione coincide con quella dell’asse del proiettile. La forza

aF prende il nome di risultante delle azioni aerodinamiche, mentre il momento aM è solo una com-

ponente del momento complessivo a est≡M M)

che agisce sul proiettile a causa dell’interazione con l’aria. Si ha infatti, assumendo il baricentro del proiettile come centro di riduzione dei momenti: a a a a(C G)= − ∧ +M F M

) 2.1

A proposito della 2.1, è da notare che la posizione di aC sull’asse del proiettile dipende dalla forma ed anche dall’assetto di volo del proiettile stesso. La sua distanza da G dipende poi anche dalla loca-lizzazione di G, cioè dalla distribuzione delle masse nel proiettile (a parità di forma). L’individua-zione del punto aC è quindi quanto mai complessa e per tali ragioni è uso non definire il momento

aM)

per mezzo della 2.1 ma in modo “diretto” nel senso che vedremo nel Paragrafo 4. Come si è detto, per descrivere il moto del centro di massa di un proiettile si utilizza una terna orto-gonale solidale ad un punto della superficie terrestre ed avente orientazione fissa rispetto alla Terra. Indichiamo con ,,,P zyx questa terna ortogonale ed assumiamo che l’asse z coincida con la nor-male esterna alla superficie terrestre in P. Indichiamo poi con P, , , x y z la terna inerziale coinci-dente con ,,,P zyx all’istante dello sparo, rispetto alla quale viene descritto il moto di rotazione del proiettile attorno al suo centro di massa. Siano infine v la velocità del centro di massa del proie t-tile rispetto a ,,,P zyx , ω la velocità angolare del proiettile rispetto a P, , , x y z e w il campo di velocità dell’aria rispetto a ,,,P zyx . Solitamente si assume 0=w o al più che w sia una funzione di z. In ogni caso comunque si ritiene che il campo w sia irrotazionale e piccolo rispetto a v. Chia-ramente, se 0=w il vettore v rappresenta anche la velocità del centro di massa del proiettile rispet-to all’aria (nel sistema di riferimento ,,,P zyx ) ed il vettore ω rappresenta anche la velocità ango-lare del proiettile rispetto all’aria (nel sistema di riferimento P, , , x y z ). Se invece il campo di ve-locità w è non nullo, allora la velocità relativa del centro di massa del proiettile rispetto all’aria è

= −v v w% (nel sistema di riferimento ,,,P zyx ) mentre la velocità angolare relativa del proiettile rispetto all’aria è ancora ω (nel sistema di riferimento P, , , x y z ), in quanto per ipotesi rot 0=w .

6

Supporre 0=w può sembrare un’ipotesi artificiosa, ma in realtà è spesso accettabile anche perché solitamente si evita di sparare in condizioni di “aria turbolenta”. Nel seguito, per semplicità suppor-remo sempre che sia 0=w . Ciò infatti non è limitativo in quanto il caso 0≠w si ottiene da quello

0=w eseguendo la sostituzione formale → = −v v v w% . Sia 'x l’asse del proiettile ed ',' zy una coppia di assi fra loro ortogonali passanti per il suo centro di massa G ed ortogonali all’asse 'x . E’ chiaro che per un proiettile senza alettature ',',' zyx formano sempre una terna di assi principali d’inerzia del proiettile. In Figura 2.2 è mostrato l’assetto normale di volo di un proiettile del tipo da noi considerato (cioè senza alettature). L’asse del proiettile ha co-stantemente un piccolo sfasamento di angolo δ (variabile) rispetto alla direzione della velocità v ed il vettore ω è anch’esso costantemente vicino all’asse del proiettile; ciò dipende dal fatto che ad un proiettile senza alettature per ragioni di stabilità è imposta una rotazione oraria attorno all’asse 'x . Il centro delle forze aerodinamiche aC si trova costantemente davanti a G, anche se la sua distanza da G dipende dall’assetto di volo del proiettile.

Figura 2.2 Indichiamo con ˆ 'x , ˆ 'y , ˆ 'z i versori degli assi ',',' zyx ( ˆ 'x diretto verso la punta del proie ttile) e con 'xΣ il piano ortogonale a ˆ 'x , cioè il piano individuato dai versori ˆ 'y e ˆ 'z . Indichiamo quindi con v il versore di v e con Σ v il piano ortogonale a v . L’esperienza mostra che se δ si mantiene sempre molto piccolo (come deve essere), allora la forza aF ha direzione costantemente vicina a quella della velocità v, ma verso opposto ad essa. Ciò porta a scrivere: a aˆR= − +F v f% 2.2 dove R% è una quantità positiva ed af è la proiezione di aF sul piano Σ v . Per quanto ora detto, si a-vrà, in generale: a| | R<<f % 2.3

7

mentre, per ovvie ragioni di simmetria, a 0=f se entrambi i vettori v ed ω giacciono sull’asse del proiettile. Il momento aM nasce per il fatto che al proiettile, come si è detto, è imposta una rotazio-ne attorno al proprio asse. Esso infatti è l’effetto della resistenza opposta dall’aria alla rotazione as-siale, ed in assenza di questa sarebbe nullo. Poiché il senso di rotazione imposto ai proiettili è quello orario, possiamo allora scrivere: a a ˆ 'M= −M x 2.4 dove aM è una quantità positiva, nulla se ω è ortogonale all’asse del proiettile. La forza aF ed il momento aM dipendono da numerosi fattori e, in linea di principio, potrebbero es-sere calcolati determinando, mediante le equazioni della dinamica dei fluidi proprie del modello di aria prescelto, la distribuzione di pressione che si genera attorno al proiettile in assegnate condizioni di moto. La via più semplice e diretta per quantificare aF ed aM è però quella sperimentale. A tale proposito risulta allora opportuno osservare che aF ed aM , essendo l’effetto della interazione fra il proiettile in moto e l’aria, non possono che dipendere: § dalla forma e dimensione del proiettile e dal materiale di cui è fatta la sua superficie, § dalle caratteristiche fisiche dell’aria, § dal moto del proiettile rispetto all’aria. E’ evidente inoltre che l’accelerazione di gravità e la massa del proiettile non possono avere alcuna influenza nel problema in esame. In relazione ai tre fattori sopra precisati dai quali deve dipendere la caratterizzazione della forza aF e del momento aM , occorre rilevare che: (a) La forma e la dimensione del proiettile possono essere caratterizzate da un unico parametro di-

mensionale del proiettile stesso, ad esempio, il calibro d. Infatti, la forma del proiettile può sem-pre essere definita a partire da d nel modo schematicamente mostrato in Figura 2.4, dopo di che il valore di d caratterizza la dimensione del proiettile.

Figura 2.4

(b) Le caratteristiche fisiche dell’aria, essendo essa un fluido viscoso e compressibile, sono rappre-sentabili per mezzo della densità ρ, della viscosità cinematica ν (che caratterizza la viscosità) e della velocità del suono c (che caratterizza la compressibilità).

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(c) Il moto del proiettile rispetto all’aria, per evidenti ragioni di simmetria, è completamente indi-viduato dai moduli dei vettori = −v v w% ed ω , dagli angoli che questi vettori formano con l’asse del proiettile, e dall’angolo che formano tra loro le proiezioni di questi vettori sul piano

'xΣ . Poiché supponiamo 0=w , per noi il moto del proiettile rispetto all’aria risulta individuato dai vet-tori v ed ω , dagli angoli che questi vettori formano con l’asse 'x , e dall’angolo che formano tra lo-ro le proiezioni di v ed ω sul piano 'xΣ . Sia v il modulo di v, ω il modulo di ω , δ l’angolo fra v e l’asse 'x (considerato positivo se diretto da v verso 'x ), ed ε l’angolo fra ω e l’asse 'x . Si ha allo-ra, riferendo v ed ω agli assi ',',' zyx : ˆcos ' 'v δ= +v x v ; ˆcos ' 'ω ε= +xω ω 2.5 dove con 'v ed 'ω si sono rappresentate rispettivamente la proiezione di v ed ω sul piano 'xΣ . Se perciò indichiamo con α l’angolo fra i vettori 'v ed 'ω , possiamo concludere che il moto del pro-iettile rispetto all’aria è individuato dai valori di: v, ω , δ, ε, α 2.6 Spesso tuttavia è utilizzato un altro insieme di parametri. Sia Ω la velocità di rotazione del proietti-le attorno al proprio asse (imposta, come si è detto, per ragioni di stabilità) ed indichiamo con 'ω il modulo di 'ω . Allora, essendo: cosΩ ω ε= ; ' sinω ω ε= 2.7 è evidente che in luogo dei cinque parametri indicati nella 2.6 si potranno usare i seguenti: v, Ω, 'ω , δ, α 2.8 Questi sono i parametri che noi nel seguito adotteremo per caratterizzare il moto del proiettile ri-spetto all’aria. La Figura 2.5 mostra schematicamente quanto ora esposto.

Figura 2.5

9

Si noti che con l’utilizzo dei parametri indicati nella 2.8 il piano individuato dal vettore v e dall’asse 'x assume un ruolo di riferimento. Nel seguito tale piano sarà indicato con δΣ .

In forza di quanto precede, possiamo asserire che la proiezione della forza aF lungo una qualsiasi

direzione di versore ξ ed il momento aM , devono essere una funzione delle seguenti nove variabi-

li: d ; ρ, ν, c ; v, Ω, 'ω , δ, α ; deve essere cioè:

aˆ ( , , , , , , ', , )d c vξΦ ρ ν Ω ω δ α⋅ =F ξ % 2.9

a ( , , , , , , ', , )

aMM d c vΦ ρ ν Ω ω δ α= % 2.10 Chiaramente, le relazioni ora scritte sono puramente formali in quanto esse devono risultare dimen- sionalmente omogenee. Per fare ciò avvaliamoci allora della Analisi Dimensionale. Si ha: 2

aˆ[ ] M L T−⋅ =F ξ ; 2 2

a[ ] M L TM −= 2.11 mentre le dimensioni delle grandezze fisiche da cui a

ˆ⋅F ξ ed aM devono dipendere sono le seguenti (δ ed α sono numeri puri):

L][ =d ; 3L M][ −=ρ ; 12 T L][ −=ν ; 1T L][ −=c ; 1T L][ −=v ; 1T][ −=Ω ; 1[ '] Tω −= 2.12

Usiamo come grandezze principali ρ, d e v. Allora le grandezze secondarie sono aˆ⋅F ξ , aM , ν, c, Ω

e 'ω ed i numeri puri ad esse associati risultano:

aˆ 2 2

ˆa d v

Πρ⋅

⋅=

F

Fξ

ξ ; a

3 2aM

Md v

Πρ

= ; dv

νΠ ν = ;

vc

c =Π ; d

vΩΩ

Π = ; '

'dvω

ωΠ = 2.13

Ne segue che le espressioni atte a rappresentare le grandezze a

ˆ⋅F ξ ed aM devono essere necessa-riamente del tipo seguente (ricordando che δ ed α sono numeri puri): 2 2

a 'ˆ ( , , , , , )cd v ξ ν Ω ωρ Φ Π Π Π Π δ α⋅ =F ξ 2.14

3 2

a '( , , , , , )aM cM d v ν Ω ωρ Φ Π Π Π Π δ α= 2.15

dove ξΦ è una funzione la cui espressione dipende dalla forma del proiettile, dal materiale costi-

tuente la sua superficie, dalla posizione del suo centro di massa G e dalla direzione ξ considerata, mentre

aMΦ è una funzione, necessariamente positiva, la cui espressione dipende dalla forma del proiettile e dal materiale costituente la sua superficie; per quanto detto a proposito delle 2.4, deve essere 0=

aMΦ se 0=ΩΠ . Si noti che l’espressione della funzione ξΦ deve dipendere da G in

quanto a parità di v, Ω, 'ω , δ ed α, due proiettili di medesima forma ma diversa posizione del cen-tro di massa interagiscono in modo differente con l’aria circostante. Ricordiamo infatti che la velo-cità Pv di un punto qualsiasi P della superficie del proiettile si ottiene dalla conoscenza di v ed ω per mezzo della seguente relazione:

10

P (P G)= + ∧ −v v ω 2.16 Dunque, parità di v ed ω , la velocità Pv che caratterizza l’interazione del proiettile con l’aria in P, dipende dalla posizione di G. La seguente Figura 2.6 schematizza quanto ora detto nel piano orto-gonale al vettore 'ω .

Figura 2.6 Poiché νΠ e cΠ sono rispettivamente il reciproco del numero di Raynolds eR ed il reciproco del numero di Mach M, le 2.14 e 2.15 possono anche riscriversi nel modo seguente (dove si è lasciato inalterato il simbolo che rappresenta la funzione e per uniformarsi alle convenzioni si è invertito l’ordine delle variabili νΠ e cΠ ): 2 2

a 'ˆ ( , , , , , )ed v M Rξ Ω ωρ Φ Π Π δ α⋅ =F ξ 2.17

3 2

a '( , , , , )aM eM d v M R Ω ωρ Φ ,Π Π δ α= 2.18

Le espressioni ora ottenute definiscono completamente la forma generale della forza aF e del mo-mento aM . Per la 2.17 è chiaro infatti che dovrà essere: 2 2

a '( , , , , , )ed v M R Ω ωρ Π Π δ α=F Φ 2.19 mentre, avvalendoci della 2.18, dalla 2.4 si ottiene: 3 2

a ' ˆ( , , , , ) 'aM ed v M R Ω ωρ Φ ,Π Π δ α= −M x 2.20

Nelle 2.19, Φ è una funzione vettoriale la cui espressione dipende dalla forma del proiettile, dal ma-teriale costituente la sua superficie e dalla posizione di G, mentre nella 2.20

aMΦ è una funzione po-sitiva la cui espressione dipende dalla forma del proiettile e dal materiale costituente la sua superfi-cie. Deve essere 0=

aMΦ se 0=ΩΠ . Sulle proprietà delle funzioni Φ e

aMΦ nulla può dirsi in generale, occorre però rilevare che se 0v =

la forza aF non risulta esattamente nulla qualora sia ' 0Ω ωΠ Π ≠ . Ciò mostra che deve essere: 2 2 (0) 4 (1)

a ' '( , , , , , ) ' ( , , , , , )e ed v M R d M RΩ ω Ω ωρ Π Π δ α ρ ω Π Π δ α= + ΩF Φ Φ 2.21

11

dove (0) 0≠Φ se ' 0Ω ωΠ Π = mentre (1) 0≠Φ se 0v = . L’esperienza mostra poi che le funzioni (0)Φ e (1)Φ non devono mai annullarsi nell’origine. Occorre rilevare anche che aM non può annul-

larsi se 0v = . Dunque, tenendo presente quanto precedentemente detto circa la funzione aMΦ , pos-

siamo concludere che deve essere: 5 2

a ' ˆ( , , , , ) 'aM ed M R Ω ωρ Ω Φ ,Π Π δ α= −M x% 2.22

dove

aMΦ% è una funzione positiva, non nulla per ', , , , 0eM R Ω ω,Π Π δ α = . E’ da rilevare però che

spesso nella letteratura specializzata per definire aM non si usa la forma 2.22 ma un’espressione della forma seguente: 4

a ' ˆ( , , , , ) 'aM ed v M R Ω ωρ Ω Φ ,Π Π δ α=M x

) 2.23

dove

aMΦ)

è una funzione negativa. Ciò infatti semplifica le equazioni del moto e non crea problemi in quanto in balistica non si considera mai il caso 0v = . 3. CARATTERIZZAZIONE DELLA FORZA aF La forza aF può chiaramente essere ottenuta calcolandone per via numerica, mediante appositi sof-tware, la proiezione lungo tre assi ortogonali qualsiasi. Questo modo di procedere non può tuttavia fornire una caratterizzazione della forza aF che consenta di definire dei modelli balistici sufficien-temente generali. Esso inoltre non consente neppure di stabilire quali eventuali semplificazioni si possano in generale adottare senza commettere errori grossolani. Per caratterizzare la forza aF ed eseguirne un’analisi si adotta allora un approccio semiempirico basato sulla individuazione dei principali fenomeni fisici dai quali aF trae origine. In pratica, il complesso problema della intera-zione fra proiettile ed aria viene scomposto in alcuni problemi elementari e la forza aF viene ident i-ficata con la somma delle azioni aerodinamiche associate a questi problemi. Concretamente, assu-mendo aF rappresentata dalla 2.21, si individuano cinque “componenti fisiche” principali, attraver-so le quali esprimere la forza aF . Esse sono le seguenti: • R Drag (resistenza aerodinamica) • L Lift (spinta aerodinamica) • S Pitch Damping (forza di smorzamento del beccheggio) • δE Sbandamento Laterale (forza principale dovuta all’effetto Magnus)

• 'ωE Sbandamento Trasversale (forza secondaria dovuta all’effetto Magnus) Con l’impostazione adottata si è quindi condotti ad assumere: a 'δ ω= + + + +F R L S E E 3.1 Non tutte le forze considerate hanno però la stessa rilevanza, alcune infatti possono essere trascurate o producono solo effetti perturbativi. Analizziamo ora più in dettaglio le forze testé introdotte in modo anche da mostrarne l’origine fisica.

12

(1) Drag La forza di Drag R è la componente principale della forza aerodinamica aF e non può mai essere omessa a meno che il moto del proiettile non avvenga praticamente in assenza di aria (come a quote elevatissime per le quali è lecito considerare a 0=F ). Essa caratterizza la resistenza dell’aria dovuta alla pressione e alla viscosità che ostacola l’avanzamento traslatorio del proiettile, supposto rotante attorno al proprio asse (avente orientazione fissa).(2) Essa quindi non rappresenta la resistenza effet-tiva opposta dall’aria, ma solo la sua componente principale. Non viene infatti tenuto conto della ro-tazione trasversale del proiettile rappresentata dal vettore 'ω . Chiaramente, la forza R deve essere prevalentemente una funzione di v e deve annullarsi se 0v = . Essa inoltre è una forza frenante del moto del centro di massa per cui la sua orientazione deve essere in ogni istante opposta a quella di v . Ricordando l’espressione generale che secondo il modello d’interazione aria-proiettile da noi adottato deve avere una forza aerodinamica, si assume allora: 2 2 ˆ( , , , )R ed v M R Ωρ Φ Π δ= −R v 3.2 dove RΦ è una funzione positiva la cui espressione dipende dalla forma del proiettile e dal materiale costituente la sua superficie (è chiaro infatti, per la 2.16, che RΦ non può dipendere dalla posizione del centro di massa). Tale funzione prende il nome di coefficiente di drag. L’esperienza mostra che la forza R risulta applicata in un punto CR dell’asse del proiettile, la cui distanza dall’estremità an-teriore del proiettile indicheremo con Rl e la cui ordinata 'x indicheremo con 'Rx . Il valore di Rl dipende dalla forma del proiettile e dal suo assetto di volo. Per i proiettili del tipo da noi considerato (senza alettature) risulta comunque che il punto CR si colloca sempre davanti a G, si ha cioè

' 0Rx > . Chiaramente, poiché CR si trova sull’asse del proiettile, la forza R si può pensare apparte-nente al piano formato dall’asse 'x e dal vettore v, cioè al piano δΣ . In Figura 3.1 è illustrato quan-to ora detto proprio relativamente a tele piano.

Figura 3.1 Sebbene in linea di principio RΦ debba essere una funzione di , , ,eM R ΩΠ δ , l’esperienza mostra che tale funzione dipende praticamente solo da M, eR e δ. In balistica inoltre anche la dipendenza

2) Per definizione quindi R è la forza che agirebbe sul proiettile se questo, rotante con orientazione fissa attorno al pro-prio asse ancorato ad un banco di prova in galleria del vento, venisse investito, con uno sfasamento δ rispetto al suo as-se, da una corrente d’aria uniforme di velocità v .

13

dal numero di Reynolds si può praticamente sempre trascurare in quanto per i valori assunti nor-malmente da eR nel caso dei proiettili, la funzione RΦ risulta di fatto indipendente da questa varia-bile. Nelle applicazioni balistiche si può quindi in generale assumere: ( , )R R MΦ Φ δ= 3.3 Chiaramente, ( , )R MΦ δ deve essere una funzione positiva. Essa inoltre deve essere manifestamente

una funzione crescente di δ nell’intervallo [0, /2[π . L’esperienza mostra che una soddisfacente

approssimazione di RΦ si ottiene nella forma seguente: 0 1 2( ) ( )sinR R RM MΦ Φ Φ δ= + 3.4 dove 0 1( ), ( )R RM MΦ Φ sono entrambe funzioni positive. Poiché, per evidenti ragioni, l’angolo δ de-ve mantenersi costantemente piccolo, nei modelli balistici più semplificati è lecito trascurare la di-pendenza di RΦ da δ e quindi assumere:(3)

0 ( )R R MΦ Φ= 3.5 La funzione

0 ( )R MΦ prende il nome di coefficiente di drag per angolo di attacco nullo ed in nume-rose pubblicazioni specializzate se ne possono trovare tabulazioni o formule d’interpolazione, rela-tive a diverse tipologie di proiettile. In Figura 3.2 è mostrato l’andamento della funzione 0 ( )R MΦ per alcune tipologie di proiettile standard.(4) In Figura 3.3 e Figura 3.4 è riportato invece il dia-gramma di 0 ( )R MΦ ed il diagramma di 1( )R MΦ per il proiettile d’artiglieria “Tipo M1” da 105 mm. La scheda delle caratteristiche aerodinamiche di questo proiettile è riportata in Appendice 3.

Figura 3.2 3) Questa peraltro è necessariamente la scelta obbligata qualora il proiettile sia identificato con un punto materiale (come nel modello balistico euleriano). 4) Per maggiori dettagli sui tipi di proiettile indicati si veda Appendice 1.

14

Figura 3.3

Figura 3.4 Concludiamo l’argomento osservando che in letteratura col nome “coefficiente di drag” viene spes-so indicata non la funzione RΦ associata ad R per mezzo della 3.1, ma una funzione ad essa propor-zionale. E’ questo ad esempio il caso in cui in luogo della 3.1 si assuma per R la seguente espres-sione:

21 ˆ( , , , )2 D eAv C M R Ωρ Π δ= −R v 3.6

dove A è l’area della sezione frontale del proiettile:

2

4A d

π= 3.7

Si ha allora manifestamente:

8

D RC Φπ

= 3.8

15

Per maggiori dettagli sui simboli utilizzati in balistica per rappresentare i coefficienti aerodinamici si veda Appendice 2. Osserviamo infine che alcune volte nelle pubblicazioni specializzate non ven-gono riportati i valori del coefficiente di drag ma quelli di grandezze dimensionali ad esso correlabi-li, come ad esempio la ritardazione. In questi casi può allora capitare che i valori riportati siano e-spressi in unità anglosassoni invece che metrico-decimali. (2) Lift La forza di Lift L è dopo il Drag la più rilevante componente della forza aerodinamica aF . Essa ca-ratterizza l’azione aerodinamica dovuta all’effetto Bernulli in condizioni di avanzamento traslatorio e sola rotazione assiale, cioè nelle stesse condizioni rispetto alle quali è definito il Drag. Il Lift quindi non rappresenta l’azione totale associata all’effetto Bernulli ma solo la sua componente prin-cipale. Non viene infatti tenuto conto della rotazione trasversale del proiettile rappresentata dal ve t-tore 'ω . Ricordiamo che l’effetto Bernulli si verifica quando sulla superficie di un corpo investito da una corrente fluida, la velocità del fluido ha una distribuzione non simmetrica. In queste cond i-zioni infatti, per il teorema di Bernulli,(5) sul corpo viene a crearsi una distribuzione di pressioni anch’essa non simmetrica, la cui risultante è una forza agente sul corpo. L’azione di questa forza è appunto l’effetto Bernulli. Nel caso dei proiettili senza alettature (che sono solidi di rotazione) l’effetto Bernulli può ovviamente verificarsi solo se oltre ad essere 0v ≠ è anche 0δ ≠ . Per ragioni di simmetria poi la forza risultante ad esso associata deve giacere nel piano formato dall’asse 'x e dal vettore v (piano δΣ ) e deve essere ortogonale a v. Essa inoltre deve sempre essere orientata ver-so la superficie del proiettile non direttamente investita dall’aria (per cui L risulta una forza di so-stentamento se δΣ è verticale e 0δ > , cioè se l’asse del proiettile si trova sopra la direzione della velocità del centro di massa). Ricordando l’espressione generale che secondo il modello d’interazione aria-proiettile da noi adottato deve avere una forza aerodinamica, si è quindi condotti ad assumere: 2 2 ˆsin ( , , , )L e Ld v M R Ωρ δ Φ Π δ=L e 3.9 dove:

ˆ ˆ ˆ( ')

ˆˆ ˆ ˆ( ')L

∧ ∧=

∧ ∧v x v

ev x v

3.10

e LΦ è una funzione la cui espressione dipende dalla forma del proiettile e dal materiale costituente la sua superficie (è chiaro infatti, per la 2.16, che LΦ non può dipendere dalla posizione del centro

di massa). Tale funzione prende il nome di coefficiente di lift e deve essere positiva se cδ δ< men-

tre deve essere nulla se cδ δ≥ , dove cδ è un angolo critico il cui valore dipende da v e dalla forma del proiettile. Ciò si spiega col fatto che se l’angolo d’attacco δ supera un certo valore assoluto, sul-la parte del proiettile non investita direttamente dal flusso d’aria si ha un distacco della vena fluida e l’effetto Bernulli scompare. L’esperienza mostra che la forza L risulta applicata nello stesso punto CR in cui è applicata la forza di drag R. In Figura 3.5 è illustrato nel piano δΣ quanto ora detto. Sebbene in linea di principio LΦ debba essere una funzione di , , ,eM R ΩΠ δ , dalle osservazioni spe-rimentali risulta che tale funzione, al pari di RΦ , dipende praticamente solo da M, eR e δ. Inoltre 5) Precisamente, il teorema di Bernulli stabilisce che la pressione sulla superficie di un corpo immerso in un fluido in moto, risulta minore in quelle regioni della superficie del corpo dove la velocità del fluido è maggiore.

16

Figura 3.5 anche per LΦ è di norma lecito trascurare la dipendenza da eR , per cui si può in generale assumere: ( , )L L MΦ Φ δ= 3.11 Chiaramente, ( , )L MΦ δ deve essere una funzione positiva se cδ δ< e nulla se cδ δ≥ . Essa inoltre

quando cδ δ< , deve essere manifestamente una funzione crescente di δ. L’esperienza mostra che

una soddisfacente approssimazione di LΦ si ottiene nella forma seguente: 0 1 2( ) ( )sinL L LM MΦ Φ Φ δ= + 3.12 dove 0 1( ), ( )L LM MΦ Φ sono entrambe funzioni positive (si suppone ovviamente cδ δ< ). Poiché, per evidenti ragioni, l’angolo δ deve mantenersi costantemente piccolo e senz’altro minore del-l’angolo critico cδ , nei modelli balistici più semplificati è lecito trascurare la dipendenza di LΦ da δ e quindi assumere: 0( )L L MΦ Φ= 3.13 La funzione 0 ( )L MΦ prende il nome di coefficiente lineare di lift e nelle pubblicazioni specializzate se ne possono trovare tabulazioni relative a diverse tipologie di proiettile. In Figura 3.6 e Figura 3.7 è riportato a titolo d’esempio il diagramma di 0 ( )L MΦ e quello di 1( )L MΦ per il proiettile d’artiglieria “Tipo M1” da 105 mm (lo stesso proiettile al quale si riferiscono i diagrammi di Figura 3.3 e Figura 3.4). Come si vede confrontando i diagrammi di Figura 3.3 e Figura 3.6, è 0 0

L RΦ Φ> .

Tuttavia risulta <L R in quanto in L compare il fattore sin δ , che deve considerarsi piccolo affin-

ché sia lecito, come si è supposto, rappresentare i coefficienti LΦ e RΦ per mezzo delle funzioni 0LΦ

e 0RΦ . La condizione <L R è poi sempre verificata in pratica in quanto l’angolo δ è di norma sem-

pre molto piccolo. Si tenga inoltre presente che se cδ δ≥ allora è 0=L . Risulta quindi provato

che rispetto al Drag, il Lift è una componente secondaria della forza aerodinamica aF .

17

Figura 3.6

Figura 3.7 Chiaramente, poiché: ˆ ˆ ˆ( ') sin δ∧ ∧ =v x v 3.14 la 3.9 può anche scriversi nel modo seguente: 2 2 ˆ ˆ ˆ( , , , ) ( ')L ed v M R Ωρ Φ Π δ= ∧ ∧L v x v 3.15 dove non compare esplicitamente il fattore sin δ . Tale fattore è comunque conglobato nel vettore

ˆ ˆ ˆ( ')∧ ∧v x v il cui modulo è sin δ , come risulta dalla 3.14. Concludiamo rilevando che in letteratura, come per il coefficiente di drag, col nome “coefficiente di lift” viene spesso indicata non la funzione LΦ associata ad L per mezzo della 3.9, ma una funzione ad essa proporzionale. E’ questo ad esempio il caso in cui in luogo della 3.9 si assuma per L la se-guente espressione (relativa alla stessa convenzione della 3.6):

18

21 ˆsin ( , , , )2 L e LAv C M R Ωρ δ Π δ=L e 3.16


2

4A d

π= 3.17


8

L LC Φπ

= 3.18

OSSERVAZIONE Come si è vis to il Drag R ed il Lift L sono forze aerodinamiche alle quali corrisponde un preciso significato fisico. In alcuni casi però risulta conveniente non utilizzare direttamente tali forze ma ri-ferirsi alla proiezione della loro somma lungo l’asse del proiettile e lungo un asse a questo ortogo-nale, passante per CR e giacente nel piano δΣ . Si introducono così le seguenti due forze: ˆ ˆ[( ) '] '= + ⋅X R L x x 3.19 ˆ ˆ[( ) '] '= + ⋅N R L n n 3.20 dove con ˆ 'n si è indicato il versore ottenuto ruotando ˆ 'x nel piano δΣ di 90° secondo il senso di δ positivo, cioè ponendo:

ˆ ˆ ˆ( ') '

ˆ 'ˆ ˆ ˆ( ') '

∧ ∧=

∧ ∧v x x

nv x x

3.21

La forza X prende il nome di forza aerodinamica assiale, mentre N prende il nome di forza aerodinamica normale. Esse si devono considerare applicate in CR . E’ uso assumere: 2 2ˆ ' XX d vρ Φ⋅ ≡ =X x ; 2 2ˆ ' sin NN d vρ δ Φ⋅ ≡ =N n 3.22 dove XΦ e NΦ sono funzioni analoghe a RΦ e LΦ che prendono rispettivamente il nome di coeffi-ciente aerodinamico assiale e coefficiente aerodinamico normale. In Figura 3.8 è illustrato nel pia-no δΣ quanto ora esposto. Dalle 3.19 e 3.20 si ottiene, ponendo ˆR = ⋅R v , ˆ LL = ⋅L e : sin cosR N Xδ δ= − 3.23 cos sinL N Xδ δ= + 3.24 e da queste relazioni si traggono immediatamente le seguenti formule che legano i coefficienti RΦ e

LΦ ai coefficienti XΦ e NΦ : 2sin cosR N XΦ Φ δ Φ δ= − 3.25 cosL N XΦ Φ δ Φ= + 3.26

19

Figura 3.8 Si vede così che:

1

( )cosL N RΦ Φ − Φ

δ= 3.27

Spesso in balistica per esprimere LΦ si utilizza proprio la relazione 3.27, in quanto il coefficiente

NΦ è più facile da determinare. Si noti che se δ è piccolo, dalle 3.25 e 3.26 (o 3.27) risulta con buo-na approssimazione: R XΦ Φ= − 3.28 L N RΦ Φ Φ= − 3.29 La 3.29, per l’ipotesi con la quale è stata ottenuta, consente di legare 0

LΦ a 0RΦ .

(3) Pitch Damping Il Pitch Damping S è una componente in generale trascurabile della forza aerodinamica aF che tut-tavia è opportuno considerare per completezza e perché il momento che ne risulta associato riveste un ruolo importante per la stabilità del moto del proiettile. Essa caratterizza il contributo portato al Drag ed al Lift dalla rotazione trasversale 'ω . Tale rotazione, trascurata nella definizione di R ed L, produce infatti sulla superficie del proiettile una distribuzione locale di velocità dell’aria che va a perturbare il campo di velocità dovuto all’avanzamento traslatorio ed alla rotazione assiale (la cui azione sul proiettile è rappresentata dal Drag e dal Lift). Ciò provoca una distribuzione aggiuntiva non uniforme di pressione la cui risultante è una forza agente sul proiettile, che, con l’impostazione da noi adottata per caratterizzare aF , è lecito considerare separatamente da R ed L. Chiaramente, per la 2.16, la distribuzione locale di velocità dell’aria causata dalla rotazione trasversale 'ω dipen-de anche dalla posizione del centro di massa G del proiettile. Anche la forza S risulta quindi dipen-dere, al contrario di R ed L, dalla posizione di G, cioè dalla distribuzione interna delle masse del proiettile. Ovviamente, S è non nulla solo se oltre ad essere 0v ≠ è anche ' 0ω ≠ . Inoltre, nel caso dei proiettili senza alettature (che sono solidi di rotazione), per ragioni di simmetria S deve essere

20

ortogonale all’asse 'x e deve giacere sul piano passante per 'x ed ortogonale al vettore 'ω (che de-finisce l’asse d’istantanea rotazione trasversale). Ricordando l’espressione generale che secondo il modello d’interazione aria-proiettile da noi adottato deve avere una forza aerodinamica, si è quindi condotti ad assumere: 3 (G)

' ˆ' ( , , , , , )S e Sd v M R Ω ωρ ω Φ Π Π δ α=S e 3.30 dove:

ˆ' '

ˆˆ' 'S

∧=

∧x

ex

ωω

3.31

e (G)

SΦ è una funzione la cui espressione dipende dalla forma del proiettile, dal materiale costituente la sua superficie e dalla posizione di G (come si è voluto mettere in evidenza apponendo ad essa l’apice “G”). Essa prende il nome di coefficiente di pitch damping e nulla può dirsi in generale circa il suo segno. Esso infatti dipende fortemente dalla tipologia del proiettile e dalla posizione del suo centro di massa. Per tale ragione non è neppure possibile indicarne un diagramma tipo. Inoltre, stan-te la scarsa rilevanza pratica della forza S, nelle tavole che forniscono le caratteristiche aerodinami-che dei proiettili, spesso di questa funzione non vengono riportate indicazioni. Anche per la posi-zione del punto di applicazione della forza S, nulla può dirsi in generale. Tale punto, che indiche-remo con CS , giace infatti sull’asse del proiettile ma la sua distanza Sl dall’estremità anteriore del proiettile dipende fortemente dalla forma, dall’assetto di volo e dalla posizione del centro di massa del proiettile stesso. In Figura 3.9 è illustrato quanto ora detto nella ipotesi che sia (G) 0SΦ < e CS davanti a G (come solitamente accade almeno a velocità supersoniche per la tipologia di proiettile indicata in figura). Come si è detto, il momento associato alla forza S riveste grande importanza per la stabilità del mo-to del proiettile. La conoscenza del segno di (G)

SΦ e la conoscenza della collocazione del punto di applicazione di S sarebbero quindi dati fondamentali se il momento associato ad S si dovesse otte-nere nella forma (C G)S − ∧ S . Poiché tuttavia, come vedremo, il momento associato ad S viene de-finito in modo differente (mediante rilievi sperimentali), questi dati non assumono in pratica alcuna rilevanza e pertanto non ci soffermeremo oltre su di essi. Osserviamo però che la dipendenza di

(G)SΦ dalla posizione del centro di massa del proiettile può essere rappresentata in modo esplicito,

con evidente vantaggio pratico. Si dimostra infatti la seguente formula, che consente di esprimere il coefficiente di pitch damping di un proiettile con centro di massa nel punto G' , attraverso il coeffi-ciente di pitch damping di un proiettile di identica forma e centro di massa in un punto G, diverso da G' :

(G') (G) G ' GS S

l ld ΝΦ Φ Φ−

= − 3.32

dove con G'l ed Gl si è indicata la distanza di G' e di G dalla estremità anteriore del proiettile, con d il calibro del proiettile e con NΦ il coefficiente aerodinamico normale relativo alla tipologia di proiettile considerata (v. 3.22). La formula 3.32 è importante perché avvalendosi di essa è possibile ottenere il coefficiente di pitch damping di tutti i proiettili di medesima forma ma differente posi-zione del centro di massa, quando è noto il coefficiente di pitch damping di un proiettile standard della forma consid e rata. Per maggiori dettagli su questo punto si rimanda a [2] ed alla bibliografia ivi riportata (nel Cap. 2).

21

Figura 3.9 Chiaramente, poiché: ˆ' ' 'ω∧ =xω 3.33 la 3.30 può anche scriversi nel modo seguente:

3 (G)' ˆ( , , , , , ) ' 'S ed v M R Ω ωρ Φ Π Π δ α= ∧S xω 3.34

dove non compare esplicitamente il fattore 'ω . Tale fattore è comunque conglobato nel vettore

ˆ' '∧ xω il cui modulo è 'ω , come risulta dalla 3.33. Un’altra rappresentazione della forza S si ottie-ne osservando che la derivata rispetto al tempo del versore ˆ 'x calcolata relativamente al sistema di riferimento inerziale P, , , x y z (rispetto al quale è descritto il moto rotatorio del proiettile), risulta legata ad 'ω dalla seguente relazione:

ˆ ' ˆ' '

ddt

= ∧x

xω 3.35

Dunque la 3.34 si può anche scrivere così:

3 (G)'

ˆ '( , , , , , )S e

dd v M R

dtΩ ωρ Φ Π Π δ α=x

S 3.36

dove, ovviamente, la derivata del versore ˆ 'x si intende eseguita relativamente al sistema di rife-rimento inerziale P, , , x y z . Concludiamo rilevando che in letteratura, come per il coefficiente di drag ed il coefficiente di lift, col nome “coefficiente di pitch damping” viene spesso indicata non la funzione (G)

SΦ associata ad S per mezzo della 3.30, ma una funzione ad essa proporzionale. E’ questo ad esempio il caso in cui in

22

luogo della 3.30 si assuma per S la seguente espressione (relativa alla stessa convenzione della 3.6 e 3.16):

' '

1 ˆ' ( , , , , , )2 N e SA d v C M R

ω Ω ωρ ω Π Π δ α=S e 3.37


2

4A d

π= 3.38


'

(G)8N SC

ωΦ

π= 3.39

OSSERVAZIONE Riguardo alla forza S occorre fare una precisazione di carattere concettuale. Oltre al meccanismo fisico che genera la forza S esiste infatti un altro meccanismo fisico, non contemplato nel modello d’interazione aria-proiettile da noi adottato, che genera una forza che nel caso dei proiettili senza alettature agisce praticamente nella stessa direzione di S. Questa forza, che denoteremo con δS & , na-sce a causa della variazione dell’angolo di attacco δ e risulta proporzionale alla velocità di varia-zione di δ, cioè a δ& . Essa è rappresentabile mediante la seguente relazione: 3 ˆd vδ δ δρ δ Φ=S e& & && 3.40 dove:

ˆ ˆ'

ˆˆ ˆ'

d ddt d td ddt d t

δ

−=

−

x v

ex v

& 3.41

e δΦ & è una funzione la cui espressione dipende dalla forma del proiettile e dal materiale costituente la sua superficie. Nella 3.41 le derivate si intendono calcolate relativamente al sistema di riferimen-to inerziale P, , , x y z . Il modello d’interazione aria-proiettile che prevede la forza δS & (e numerose altre forze minori tutte ampiamente trascurabili), si basa sull’ipotesi che le azioni aerodinamiche di-pendano oltre che dai parametri del moto da noi considerati anche dalle loro derivate rispetto al tempo. Tutte le forze previste da questo modello che non sono previste dal modello da noi conside-rato sono, come si è detto, trascurabili. Fa tuttavia concettualmente eccezione la forza δS & perché si somma ad S ed i riscontri sperimentali possono solo mostrare che è trascurabile la somma di tali forze. Per meglio caratterizzare δS & , osserviamo che la variazione dell’angolo δ può dipendere da due fattori: la rotazione dell’asse 'x dovuta al vettore 'ω e la variazione di direzione di v, associata al moto del centro di massa del proiettile. Chiaramente, per piccole variazioni ˆ 'd x e ˆd v dei versori ˆ 'x e v anche la variazione dδ dell’angolo δ è piccola e si può considerare data dalla differenza di

23

ˆ 'd x ed ˆd v . Resta quindi resta giustificato il fatto che:

ˆ ˆ'd d

d t dtδ− =

x v & 3.42

Avvalendoci della 3.42 scriviamo allora la 3.40 nel modo seguente:

3 ˆ ˆ'd dd v

d t dtδ δρ Φ

= −

x vS & & 3.43

La relazione ora ottenuta consente, in virtù della 3.36, di confrontare δS & con la forza S. Chiaramen-

te, la forza δS & agisce praticamente nella stessa direzione di S se è costantemente:

ˆ ˆ ˆ' 'd d d

d t d t d t− ≈

x v x 3.44

Ma questa situazione risulta effettivamente verificata nel caso dei proiettili senza alettature, quindi possiamo concludere che nei casi di nostro interesse, l’azione complessiva sul proiettile nella dir e-zione del versore:

ˆ' '

ˆˆ' 'S

∧=

∧x

ex

ωω

3.45

risulta la seguente: 3 (G) ˆ( ' )S Sd v δρ ω Φ δΦ= +S e&

% & 3.46 E’ da osservare però che nell’ipotesi della 3.44 la variazione dell’angolo di attacco δ è prodotta u-nicamente dalla variazione di direzione dell’asse del proiettile e quindi:

'δ ω=& 3.47

Ne segue che la forza complessiva agente sul proiettile lungo la direzione ˆ Se risulta in pratica unica- mente caratterizzata dal vettore 'ω nella forma 3.30, come previsto dal modello d’interazione aria-proiettile da noi adottato. Ciò giustifica pienamente l’utilizzo della 3.30 per definire la forza S. E’ inoltre da tenere presente che i valori sperimentalmente ottenuti del coefficiente di pitch damping da usarsi nella 3.30, forniscono in pratica la caratterizzazione esatta di questa forza. (4) Sbandamento Laterale Lo Sbandamento Laterale δE è, come il Pitch Damping S, una componente in generale trascurabile della forza aerodinamica aF ma che è opportuno considerare per completezza e perché il momento che ne risulta associato riveste un ruolo importante per la stabilità del moto del proiettile.(6) Essa ca-

6) Lo Sbandamento Laterale Eδ che nel caso dei proiettili, come si è detto, è una forza in generale trascurabile, risulta invece una delle forze aerodinamiche più importanti quando si considera il moto nell’aria di sfere dotate di un rapido moto rotatorio, come ad esempio succede spesso con i palloni da calcio o le palle da tennis. Tale forza infatti è la causa

24

ratterizza la componente principale della forza dovuta al cosiddetto effetto Magnus, cioè la forza che si genera su un corpo animato da moto rotatorio quando il corpo è investito da una corrente d’aria traslatoria non costantemente allineata al suo asse d’istantanea rotazione. Ricordiamo che L’effetto Magnus è il risultato della interazione viscosa tra l’aria e la superficie del corpo rotante. Infatti quando un corpo rotante è investito da una corrente d’aria traslatoria, la rotazione del corpo provoca, per adesione, la rotazione dell’aria che si trova ad immediato contatto con la sua superficie e il moto circolatorio si propaga, per effetto della viscosità, a tutta l’aria vicina. La corrente traslato-ria viene quindi trascinata in rotazione e si produce una distribuzione di velocità non simmetrica sulla superficie del corpo. Per il teorema di Bernulli anche la pressione sulla superficie del corpo è allora non simmetrica e la sua risultante è una forza agente sul corpo. Chiaramente, la forza com-plessiva che agisce su un proiettile dovuta all’effetto Mgnus, MagF , dipende sia da v e da ω ed è

non nulla solo se 0∧ ≠v ω . Tuttavia nel caso dei proiettili senza alettature (che sono solidi di rota-zione) tale forza, con l’impostazione da noi adottata per caratterizzare aF , si può sempre pensare

costituita da due componenti: una, principale ( )Mag

ΩF , associata alla sola rotazione assiale, cioè suppo-nendo nulla la rotazione trasversale e quindi ponendosi nelle medesime condizioni relative alla de-finizione del Drag R e del Lift L, ed una, secondaria ( ')

MagΩ,ωF , introdotta per tenere conto della rota-

zione trasversale 'ω . Lo Sbandamento Laterale δE è proprio la forza ( )Mag

ΩF . Ovviamente, δE è non nulla solo se oltre ad essere 0v ≠ è anche 0Ω ≠ e 0δ ≠ . Per ragioni di simmetria poi tale forza deve essere ortogonale al piano formato dall’asse 'x e dal vettore v (cioè al piano δΣ ), ed il suo verso deve risultare opposto a quello del vettore ˆ ˆ '∧v x . Ai proiettili infatti è imposta una rotazione assiale in senso orario e quindi oraria è anche la rotazione dell’aria adiacente alla superficie del proiettile: quando il campo circolatorio si somma a quello traslatorio la distribuzione di velocità dell’aria sulla superficie del proiettile risulta allora maggiore nella direzione opposta a quella del vettore ˆ ˆ '∧v x . Ricordando l’espressione generale che secondo il modello d’interazione aria-proiettile da noi adottato deve avere una forza aerodinamica, in base a quanto precede si è quindi condotti ad assumere (in analogia alla 3.2 e 3.9): 3 ˆsin ( , , , )E e Ed v M R

δ δδ Ωρ Ω δ Φ Π δ=E e 3.48 dove:

ˆ ˆ '

ˆˆ ˆ 'Eδ

∧=

∧v x

ev x

3.49

e Eδ

Φ è una funzione la cui espressione dipende dalla forma del proiettile e dal materiale costituente

la sua superficie (è chiaro infatti che EδΦ , al pari di RΦ e LΦ , non può dipendere dalla posizione del

centro di massa). Tale funzione prende il nome di coefficiente di sbandamento laterale e per quanto si è detto sull’orientazione di δE , risulta negativa. Essa inoltre assume di norma valori piccoli. Te-

nendo conto che nella 3.48 compare anche il fattore sin δ , il cui valore deve considerarsi sempre

molto piccolo, risulta quindi evidente come la forza δE si possa effettivamente di norma trascurare. L’esperienza mostra che la forza δE è applicata in un opportuno punto CEδ

dell’asse del proiettile,

la cui distanza dall’estremità anteriore del proiettile indicheremo con El δ e la cui ordinata 'x indi-

principale della deviazione laterale della traiettoria cioè di quello che viene comunemente detto “effetto”. Per maggiori dettagli su questo punto si rimanda a M. G. Busato, “Dinamica del Volo dei Palloni da Calcio”, mgbstudio.net.

25

cheremo con 'Exδ. Il valore di El δ

dipende dalla forma del proiettile e dal suo assetto di volo. Per i

proiettili del tipo da noi considerato (senza alettature) risulta che il punto CEδ si colloca, almeno per

le velocità supersoniche, dietro a G, si ha cioè, almeno in campo supersonico, ' 0Exδ

< . In Figura 3.10 è illustrato quanto ora detto proprio in questa situazione. E’ da rilevare però che di norma per le tipologie di proiettile più comuni, in campo subsonico il punto CEδ

tende a collocarsi anterior-mente a G.

Figura 3.10 Nella seguente Figura 3.11 è mostrato schematicamente il meccanismo che porta alla formazione della forza δE ed il motivo per il quale il suo verso è opposto a quello del vettore ˆ ˆ '∧v x . Il campo di velocità dell’aria sulla superficie del proiettile risulta infatti di maggiore intensità dove il flusso circolatorio si somma a quello traslatorio, ed è quindi in questa regione della superficie del proiettile che, per il teorema di Bernulli, la pressione risulta minore. La risultante delle pressioni sul proiettile è dunque diretta verso di essa.

Figura 3.11

26

Sebbene in linea di principio EδΦ debba essere una funzione di , , ,eM R ΩΠ δ , dalle osservazioni

sperimentali risulta che tale funzione per le velocità tipiche dei proiettili dipende praticamente solo da M, eR e δ (mentre a velocità molto basse si ha anche una dipendenza importante da ΩΠ ). Te-nendo conto che di norma risulta anche lecito trascurare la dipendenza da eR , si può quindi in gene-rale assumere: ( , )E E M

δ δΦ Φ δ= 3.50

dove ( , )E M

δΦ δ è una funzione negativa. L’esperienza mostra che spesso una soddisfacente appros-

simazione di EδΦ in campo balistico si ottiene nella forma seguente:

0 1 2( ) ( )sinE E EM M

δ δ δΦ Φ Φ δ= + 3.51

dove 0 1( ), ( )E EM M

δ δΦ Φ sono entrambe funzioni negative, dette rispettivamente coefficiente lineare

di sbandamento laterale e coefficiente cubico di sbandamento laterale. In alcuni casi inoltre è anche possibile considerare Eδ

Φ indipendente da δ è quindi assumere 0 ( )E E Mδ δ

Φ Φ= . Non sempre però la dipendenza da δ può essere esplicitata nella forma 3.51. Non lo è ad esempio nel caso del proiettile d’artiglieria “Tipo M1” da 105 mm (al quale si riferiscono i diagrammi di Figura 3.3, Figura 3.4, Figura 3.6 e Figura 3.7). A titolo d’esempio, in Figura 3.12 è riportato, per due diversi valori dell’angolo di attacco, il grafico della funzione Eδ

Φ relativa proprio a questo proiettile.

Figura 3.12 Chiaramente, poiché: ˆ ˆ ' sin δ∧ =v x 3.52 la 3.48 può anche scriversi nel modo seguente: 3 ˆ ˆ( , , , ) 'E ed v M R

δδ Ωρ Ω Φ Π δ= ∧E v x 3.53 dove non compare esplicitamente il fattore sin δ . Tale fattore è comunque conglobato nel vettore

27

ˆ ˆ '∧v x il cui modulo è sin δ , come risulta dalla 3.52. Concludiamo rilevando che in letteratura, come per i coefficienti di drag, di lift e di pitch damping, col nome “coefficiente di sbandamento laterale” viene spesso indicata non la funzione Eδ

Φ associata

ad δE per mezzo della 3.48, ma una funzione ad essa proporzionale. E’ questo ad esempio il caso in cui in luogo della 3.48 si assume per δE la seguente espressione (relativa alla stessa convenzione della 3.6, 3.16 e 3.37):

1 ˆsin ( , , , )2 N e EA d v C M R

Ωδ δδ Ωρ Ω δ Π δ=E e 3.54


2

4A d

π= 3.55


8

N ECΩ δ δ

Φπ

= 3.56

(5) Sbandamento Trasversale Lo Sbandamento Trasversale 'ωE è la componente della forza aerodinamica aF che, nell’imposta-zione da noi adottata per caratterizzare aF , presenta minore rilevanza tant’è vero che può sempre essere trascurata. Noi la consideriamo per completezza in quanto nella scomposizione in fenomeni fisici elementari sulla quale è basata la nostra analisi della forza aerodinamica aF , tale forza è asso-ciata ad un fenomeno indipendente da quelli finora presi in considerazione, per cui tenerla in conto, almeno dal punto di vista teorico, è un’esigenza logica. Essa si identifica con la componente princ i-pale della forza ( ')

MagΩ,ωF introdotta a proposito dello Sbandamento Laterale δE e caratterizza l’effetto

Magnus dovuto alla distribuzione di velocità locale dell’aria indotta, indipendentemente dall’avan-zamento trasla torio del proiettile, dalla rotazione trasversale 'ω . La forza 'ωE quindi gioca relati-vamente ad δE lo stesso ruolo giocato da S relativamente ad R ed L, ed al pari di S, dipende anche dalla posizione del centro di massa G del proiettile. Nel caso dei proiettili senza alettature (che sono solidi di rotazione) la forza 'ωE è ovviamente non nulla solo se 0Ω ≠ e ' 0ω ≠ . Per ragioni di simmetria poi la forza 'ωE deve essere ortogonale al piano passante per l’asse 'x e perpendicolare al vettore 'ω (che definisce l’asse d’istantanea rotazione trasversale). Essa quindi ha la direzione del vettore 'ω stesso. Quanto al verso di 'ωE nulla invece può dirsi in generale in quanto esso di-pende dalla forma e dalla distribuzione interna delle masse del proiettile. Ricordando l’espressione generale che secondo il modello d’interazione aria-proiettile da noi adottato deve avere una forza aerodinamica, si è quindi condotti ad assumere:

' '

4 (G)' ' ˆ' ( , , , , , )E e Ed M R

ω ωω Ω ωρ Ω ω Φ Π Π δ α=E e 3.57

dove:

28

'

'ˆ

'Eω=e

ωω

3.58

e

'

(G)Eω

Φ è una funzione la cui espressione dipende dalla forma del proiettile, dal materiale costituente

la sua superficie e dalla posizione di G (come si è voluto mettere in evidenza apponendo ad essa l’apice “G”). Essa prende il nome di coefficiente di sbandamento trasversale e nulla può dirsi in ge-nerale circa il suo segno. Esso infatti dipende fortemente dalla tipologia del proiettile e dalla posi-zione del suo centro di massa. Per tale ragione non è neppure possibile indicarne un diagramma ti-po. Inoltre, stante l’assoluta irrilevanza pratica della forza 'ωE , nelle tavole che forniscono le carat-teristiche aerodinamiche dei proiettili non vengono praticamente mai riportate indicazioni di questa funzione. Anche per la posizione del punto di applicazione della forza 'ωE , nulla può dirsi in gene-rale. Tale punto, che indicheremo con

'CEω

, giace infatti sull’asse del proiettile ma la sua distanza

'El ω dall’estremità anteriore del proiettile dipende fortemente dalla forma, dall’assetto di volo e dalla

posizione del centro di massa del proiettile stesso. E’ da rilevare però che tale punto, almeno per le velocità supersoniche, risulta di norma dietro a G e prossimo a CEδ

. In Figura 3.13 è illustrato quan-

to ora detto nell’ipotesi che sia '

(G) 0EωΦ < e

'CEω

dietro a G (come solitamente accade almeno a velo-

cità supersoniche per la tipologia di proiettile indicata in figura).

Figura 3.13

Come per il coefficiente di pitch damping (G)SΦ , anche per il coefficiente di sbandamento trasversale

'

(G)Eω

Φ è possibile rappresentare in modo esplicito la dipendenza dalla posizione del centro di massa

del proiettile. Si dimostra infatti la seguente formula, che consente di esprimere il coefficiente di sbandamento trasversale di un proiettile con centro di massa nel punto G' , attraverso il coefficiente di sbandamento trasversale di un proiettile di identica forma e centro di massa in un punto G, dive r-so da G' :

29

' '

(G') (G) G ' GE E E

l ld δω ω

Φ Φ Φ−

= + 3.59

dove con G'l ed Gl si è indicata la distanza di G' e di G dalla estremità anteriore del proiettile, con d il calibro del proiettile e con Eδ

Φ il coefficiente di sbandamento laterale per la tipologia di proiettile considerata. La formula 3.59 è importante perché avvalendosi di essa è possibile ottenere il coeffi-ciente di sbandamento trasversale di tutti i proiettili di medesima forma ma differente posizione del centro di massa quando è noto il coefficiente di sbandamento trasversale di un proiettile standard della forma considerata. Per maggiori dettagli su questo punto si rimanda a [2] ed alla bibliografia ivi riportata (nel Cap. 2). Chiaramente, per la 3.58, la 3.57 può anche scriversi nel modo seguente:

'

4' '( , , , , , ) 'E ed M R

ωω Ω ωρ Ω Φ Π Π δ α=E ω 3.60 dove non compare esplicitamente il fattore 'ω . Tale fattore è comunque conglobato nel vettore 'ω il cui modulo è 'ω . Concludiamo rilevando che in letteratura, come per i coefficienti di drag, di lift, di pitch damping e di sbandamento laterale, col nome “coefficiente di sbandamento trasversale” viene spesso indicata non la funzione

'EωΦ associata ad 'ωE per mezzo della 3.57, ma una funzione ad essa proporzionale.

E’ questo ad esempio il caso in cui in luogo della 3.57 si assume per 'ωE la seguente espressione (relativa alla stessa convenzione della 3.6, 3.16, 3.37 e 3.54):

' '

2' '

1 ˆ' ( , , , , , )2 N e EAd C M R

Ωω ωω Ω ωρ Ω ω Π Π δ α=E e 3.61


2

4A d

π= 3.62


' '

(G)8N EC

Ωω ωΦ

π= 3.63

OSSERVAZIONE Come si è detto, i coefficienti aerodinamici introdotti per caratterizzare le forze R, L, S, δE ed 'ωE ,

cioè RΦ , LΦ , (G)SΦ , Eδ

Φ e '

(G)Eω

Φ , sono funzioni la cui espressione dipende dalla forma del proiettile e

dal materiale costituente la sua superficie (nonché dalla posizione del centro di massa nel caso di (G)

SΦ e '

(G)Eω

Φ ). La dipendenza dal materiale della superficie risulta tuttavia sempre irrilevante in

quanto essa è essenzialmente una funzione della rugosità, e la superficie dei proiettili, indipenden-temente dal materiale, è sempre una superficie liscia. Possiamo quindi ritenere che RΦ , LΦ , Eδ

Φ

siano funzioni esclusivamente della forma del proiettile e che (G)SΦ ,

'

(G)Eω

Φ siano funzioni della forma

30

del proiettile e della posizione del suo centro di massa. Nel seguito adotteremo sempre questa ipote-si. 4. CARATTERIZZAZIONE DEL MOMENTO ASSOCIATO AD aF Chiaramente, nota la forza aF ed il suo punto di applicazione aC , il momento aM% ad essa associato rispetto al centro di massa G del proiettile si può calcolare mediante la formula 1.8 che qui per co-modità riscriviamo: a a a(C G)= − ∧M F% 4.1 Questo modo di caratterizzare il momento aM% presenta tuttavia, come si è già accennato, alcuni svantaggi. Infatti, il punto aC , che giace sull’asse del proiettile, si trova rispetto all’estremità ante-riore del proiettile ad una distanza al che dipende oltre che dalla forma anche dall’assetto di volo e dalla posizione del centro di massa del proiettile stesso. Esso quindi risulta variabile nel tempo e, a parità di forma del proiettile, anche dalla distribuzione interna delle masse. Inoltre, la distanza Gl del baricentro G dall’estremità anteriore del proiettile dipende anch’essa ovviamente dalla distribu-zione interna delle masse. Ne segue che il vettore: a G a ˆC G ( ) 'l l− = − x 4.2 è in generale una funzione della forma, dei parametri del moto e della distribuzione delle masse in-terne del proiettile. Definire il momento aM% per mezzo della 4.1 non può quindi fornire una caratte-

rizzazione del momento aM% che consenta di ottenere dei modelli balistici sufficientemente generali. Così facendo inoltre non sarebbe neppure possibile stabilire quali eventuali semplificazioni sia pos-sibile in generale adottare senza commettere errori grossolani. Si preferisce allora caratterizzare il momento aM% sulla falsa riga di quanto si è fatto per la forza aF e per il momento intrinseco aM , ovvero introducendo opportuni coefficienti aerodinamici, determinabili poi per via sperimentale. La cosa è resa ancora più facile utilizzando lo stesso schema adottato per aF . Infatti, assumendo conformemente alla 3.1: a 'δ ω= + + + +F R L S E E 4.3 potremo senz’altro scrivere:

'a δ ω= + + + +R L S E EM M M M M M% 4.4

dove con

', , , ,

δ ωR L S E EM M M M M si sono indicati i momenti rispettivamente associati R, L, S,

δE ed 'ωE . A tale proposito è opportuno osservare che il momento +R LM M risulta manifesta-mente individuato dalla sola forza normale N definita dalla 3.20, per cui in luogo della 4.4 è uso as-sumere:

'a δ ω= + + +N S E EM M M M M% 4.5

I quattro momenti ora introdotti vengono normalmente così indicati:

31

• NM Momento Ribaltante (associato al Lift L e in minima parte al Drag R)

• SM Momento di Pitch Damping (associato al Pitch Damping S) •

δEM Momento di Sbandamento Laterale (associato allo Sbandamento Laterale δE )

• 'ωEM Momento di Sbandamento Trasversale (associato allo Sbandamento Trasversale 'ωE )

Non tutti i momenti considerati hanno però la stessa rilevanza, alcuni infatti possono in alcuni casi essere trascurati o producono solo effetti perturbativi. Analizziamo ora più in dettaglio i momenti testé introdotti, anche alla luce di quanto esposto nel Paragrafo 3. (1) Momento Ribaltante Il Momento Ribaltante NM è la componente del momento aM% associata al Lift L ed al Drag R (quest’ultimo in minima parte, in quanto dovendo essere l’angolo di attacco δ sempre piccolo R è praticamente allineato all’asse del proiettile). Esso influisce notevolmente sulla stabilità del moto del proiettile e nei modelli balistici in cui si considera l’azione del Lift L deve sempre essere preso in considerazione. Per definizione: G ˆ( ) 'Rl l= − ∧NM x N 4.6 ed è facile verificare guardando la Figura 3.8 che:

ˆ ˆ ˆ' '

ˆˆ ˆ ˆ' ' Eδ

∧ ∧= ≡

∧ ∧x N v x

ex N v x

4.7

(il versore ˆ Eδ

e è stato introdotto con la 3.49). Così la 4.6 si può scrivere: G ˆˆ( ) 'R El l

δ= − ∧NM x N e 4.8

Ma (v. 3.23 e 3.24): ˆ ' sin cosN R Lδ δ∧ = ≡ = +x N N 4.9 per cui dalla 4.8 si trae: G ˆ( )( sin cos )R El l R L

δδ δ= − +NM e 4.10

ovvero, ricordando la 3.2 e la 3.9 che forniscono la caratterizzazione di R ed L: 2 2

G ˆ( ) sin [ cos ]R R L El l d vδ

ρ δ Φ Φ δ= − +NM e 4.11 Ponendo:

(G)G [ cos ]RR L

l ld ΝΜΦ Φ δ Φ−

+ = 4.12

siamo così condotti ad assumere la seguente rappresentazione per il momento ribaltante NM :

32

3 2 (G) ˆsin ( , , , )e Ed v M RΝ δΜ Ωρ δ Φ Π δ=NM e 4.13

dove:

ˆ ˆ '

ˆˆ ˆ 'Eδ

∧=

∧v x

ev x

4.14

e (G)

ΝΜΦ è una funzione la cui espressione dipende dalla forma e dalla distribuzione interna delle masse del proiettile (come si è voluto mettere in evidenza apponendo ad essa l’apice “G”).(7) Essa prende il nome di coefficiente di momento ribaltante e come si evince dalla 4.12, il suo valore di-pende da RΦ , LΦ e dal fattore G Rl l− . Poiché G Rl l− è una funzione indipendente da RΦ e LΦ , il

coefficiente (G)ΝΜΦ risulta effettivamente un nuovo coefficiente aerodinamico. Come si è detto, nel

caso dei proiettili senza alettature è G 0Rl l− > . Dunque essendo RΦ e LΦ entrambi positivi e RΦ

sensibilmente minore di LΦ , risulta (G) 0ΝΜΦ > . Il momento NM per i proiettili di nostro interesse

produce quindi una rotazione dell’asse del proiettile nel piano δΣ che tende sempre ad aumentare l’angolo δ. La seguente Figura 4.1 illustra quanto ora detto.

Figura 4.1

Chiaramente, l’azione del momento NM sui proiettili senza alettature come quelli da noi considera-ti, ha un effetto destabilizzante. Esso infatti come si è visto produce un aumento dell’angolo di at-tacco δ. E’ per questa ragione che ai proiettili senza alettature si impone una rotazione oraria. Tale rotazione infatti contrasta l’azione di NM con l’effetto giroscopio. Vale la pena a questo proposito rilevare che per i proiettili con alettatura posteriore risulta invece G 0Rl l− < . In questo caso quindi

NM è un momento stabilizzante. Dunque l’alettatura posteriore crea un effetto stabilizzante analogo a quello della rotazione assiale. 7) Tralasciamo, come si è detto, la dipendenza di ( G )

NMΦ dal tipo di materiale costituente la superficie del proiettile.

33

Sebbene in linea di principio (G)ΝΜΦ debba essere una funzione di , , ,eM R ΩΠ δ , dalle osservazioni

sperimentali risulta che tale funzione dipende praticamente solo da M, eR e δ. Tenendo conto che di

norma risulta lecito trascurare anche la dipendenza da eR , si può quindi in generale assumere: (G) (G) ( , )M

Ν ΝΜ ΜΦ Φ δ= 4.15 Chiaramente, (G)( , )M

ΝΜΦ δ deve essere una funzione positiva. L’esperienza mostra che una soddisfa-

cente approssimazione di (G)ΝΜΦ si ottiene nella forma seguente:

(G) (G)0 (G)1 2( ) ( )sinM M

Ν Ν ΝΜ Μ ΜΦ Φ Φ δ= + 4.16 dove (G)0( )

NM MΦ è senz’altro una funzioni positiva. Poiché, per evidenti ragioni, l’angolo δ deve mantenersi costantemente piccolo, nei modelli balistici più semplificati è lecito trascurare la dipen-denza di (G)

ΝΜΦ da δ e quindi assumere: ( G ) (G)0 ( )M

Ν ΝΜ ΜΦ Φ= 4.17 La funzione (G)0 ( )M

ΝΜΦ prende il nome di coefficiente lineare di momento ribaltante ed il suo dia-gramma nel caso di tre proiettili standard di tipo G6 ma con differente posizione del centro di mas-sa, è indicato in Figura 4.2.

Figura 4.2

In Figura 4.3 e Figura 4.4 è riportato invece, a titolo d’esempio, il diagramma dei coefficienti (G)0( )

NM MΦ e (G)1( )NM MΦ del proiettile d’artiglieria “Tipo M1” da 105mm al quale si riferiscono anche

i diagrammi di Figura 3.3, Figura 3.4, Figura 3.6, Figura 3.7 e Figura 3.12. Come nel caso dei coefficienti aerodinamici (G)

SΦ e '

(G)Eω

Φ , anche per il coefficiente (G)ΝΜΦ la dipen-

denza dalla posizione del centro di massa può essere rappresentata in modo esplicito. Si dimostra infatti la seguente formula, che consente di esprimere il coefficiente di momento ribaltante di un

34

Figura 4.3

Figura 4.4 proiettile con centro di massa nel punto G' , attraverso il coefficiente di momento ribaltante di un proiettile di identica forma e centro di massa in un punto G, diverso da G' :

(G') (G) G' GN

l ldΝ ΝΜ ΜΦ Φ Φ−

= + 4.18

dove con G'l ed Gl si è indicata la distanza di G' e di G dalla estremità anteriore del proiettile, con d il calibro del proiettile e con NΦ il coefficiente aerodinamico normale relativo alla tipologia di proiettile considerata (v. 3.22). La formula 4.18 è importante perché avvalendosi di essa è possibile ottenere il coefficiente di momento ribaltante di tutti i proiettili di medesima forma ma differente posizione del centro di massa, quando è noto il coefficiente di momento ribaltante di un proiettile standard della forma considerata. Per maggiori dettagli su questo punto si rimanda a [2] ed alla bi-bliografia ivi riportata (nel Cap. 2).

35

Chiaramente, poiché: ˆ ˆ ' sin δ∧ =v x 4.19 la 4.13 può anche scriversi nel modo seguente: 3 2 (G)

' ˆ ˆ( , , , , , ) 'ed v M RΝΜ Ω ωρ Φ Π Π δ α= ∧NM v x 4.20

dove non compare esplicitamente il fattore sin δ . Tale fattore è comunque conglobato nel vettore

ˆ ˆ '∧v x il cui modulo è sin δ , come risulta dalla 4.19. Concludiamo rilevando che in letteratura col nome “coefficiente di momento ribaltante” viene spes-so indicata non la funzione (G)

ΝΜΦ associata ad NM per mezzo della 4.13, ma una funzione ad essa

proporzionale. E’ questo ad esempio il caso in cui in luogo della 4.13 si assuma per NM la seguente espressione (relativa alla stessa convenzione della 3.6, 3.16, 3.37, 3.54 e 3.61):

2'

1 ˆsin ( , , , , , )2 M e EA d v C M R

δ δΩ ωρ δ Π Π δ α=NM e 4.21


2

4A d

π= 4.22


(G)8NM MC

δΦ

π= 4.23

OSSERVAZIONE Si noti che il momento ribaltante NM è, come si è detto, principalmente dovuto al solo Lift L. Infa t-ti essendo RΦ sensibilmente minore di LΦ e 1δ << , si ha cosR L LΦ Φ δ Φ+ ≈ per cui dalla 4.12 ri-

sulta (G) G RL

l ldΝΜΦ Φ−

≈ .

(2) Momento di Pitch Damping Il Momento di Pitch Damping SM è la componente del momento aM% associata al Pitch Damping S. Esso ha un’azione importante sulla stabilità del moto del proiettile e nei modelli balistici in cui si considera l’azione del Lift L (e quindi del momento ribaltante NM ) deve sempre essere preso in considerazione (assieme al momento di sbandamento laterale

δEM ). Per definizione: G ˆ( ) 'Sl l= − ∧SM x S 4.24 dove con Sl si è indicata la distanza del punto di applicazione CS della forza S dalla estremità ante-

36

riore del proiettile. Ricordando la 3.30 che forniscono la caratterizzazione di S, la 4.24 diviene: 3 (G)

G ˆˆ( ) ' 'S S Sl l d vρ ω Φ= − ∧SM x e 4.25 Ma, conformemente alle 3.31, 3.33 e 3.58:

'

ˆ' ' 'ˆ ˆˆ ˆ' '

ˆ' ' 'S Eω

∧∧ ≡ ∧ = ≡

∧x

x e x ex

ω ωω ω

4.26

per cui dalla 4.25 si trae:

'

3 (G)G ˆ( ) 'S S El l d v

ωρ ω Φ= −SM e 4.27

Ponendo:

(G) (G)GS

SS

l ld ΜΦ Φ−

= 4.28

siamo così condotti ad assumere la seguente rappresentazione per il momento di Pitch Damping

SM :

'

4 (G)' ˆ' ( , , , , , )

SM e Ed v M RωΩ ωρ ω Φ Π Π δ α=SM e 4.29

dove:

'

'ˆ

'Eω=e

ωω

4.30

e (G)

SΜΦ è una funzione la cui espressione dipende dalla forma e dalla distribuzione interna delle masse del proiettile (come si è voluto mettere in evidenza apponendo ad essa l’apice “G”).(8) Essa prende il nome di coefficiente di momento di pitch damping e come si evince dalla 4.28, dipende da

SΦ e dal fattore G Sl l− . Poiché G Sl l− è una funzione indipendente da SΦ , il coefficiente (G)SΜΦ risul-

ta effettivamente un nuovo coefficiente aerodinamico. Come si è detto a proposito della forza S, non è possibile stabilire in generale il segno di (G)

SΦ ed G Sl l− , anche se di norma, per le più comuni

tipologie di proiettile a velocità supersoniche è (G) 0SΦ < ed G 0Sl l− > . La 4.28 non consente quindi

di fornire una caratterizzazione generale della funzione (G)SΜΦ . L’esperienza mostra comunque che

tale funzione per i proiettili di forma ordinaria è comunque sempre negativa, si ha cioè (G) 0SΜΦ < .

Valori positivi di (G)SΜΦ si sono osservati solo nel caso di alcune particolari tipologie di proiettile a

velocità transoniche e subsoniche. Supponendo (G) 0SΜΦ < , il momento SM produce una rotazione

dell’asse del proiettile nel piano ortogonale al vettore 'ω , che si oppone alla rotazione esistente (la cui velocità è rappresentata dal vettore 'ω ). Chiaramente, se 'ω è ortogonale al piano δΣ l’azione del momento SM tende allora a diminuire l’angolo δ. In questo caso quindi il momento SM produ-

8) Tralasciamo, come si è detto, la dipendenza di ( G )


37

ce un effetto stabilizzante. La seguente Figura 4.5 illustra quanto ora detto nell’ipotesi che sia (G) 0SΦ < ed G 0Sl l− > .

Figura 4.5 Sebbene in linea di principio (G)

SΜΦ debba essere una funzione di ', , , , ,eM R Ω ωΠ Π δ α , dalle osser-

vazioni sperimentali risulta che tale funzione dipende praticamente solo da M, eR e δ. Tenendo con-to che di norma risulta lecito trascurare anche la dipendenza da eR , si può quindi in generale assumere: (G) (G) ( , )

S SMΜ ΜΦ Φ δ= 4.31

Come si è detto, (G)( , )

SMΜΦ δ sarà di norma una funzione negativa. L’esperienza mostra che una

soddisfacente approssimazione di (G)SΜΦ si può spesso ottenere nella forma seguente:

(G) (G)0 (G)1 2( ) ( )sin

S S SM MΜ Μ ΜΦ Φ Φ δ= + 4.32

dove almeno (G)0( )

SMΜΦ è di norma una funzione negativa. Poiché, per evidenti ragioni, l’angolo δ

deve mantenersi costantemente piccolo, nei modelli balistici più semplificati è spesso lecito trascu-rare anche la dipendenza di (G)

SΜΦ da δ e quindi assumere: ( G ) (G)0 ( )

S SMΜ ΜΦ Φ= 4.33

La funzione (G)0 ( )

SMΜΦ prende il nome di coefficiente lineare di momento di pitch damping. In Figu-

ra 4.6 di pagina seguente è riportato a titolo d’esempio il diagramma della funzione (G)0 ( )S

MΜΦ nel

38

caso del proiettile d’artiglieria “Tipo M1” da 105 mm, al quale si riferiscono anche i diagrammi di Figura 3.3, Figura 3.4, Figura 3.6, Figura 3.7, Figura 3.12, Figura 4.3 e Figura 4.4.

Figura 4.6 Come nel caso del coefficiente (G)

ΝΜΦ , anche per il coefficiente (G)SΜΦ la dipendenza dalla posizione

del centro di massa può essere rappresentata in modo esplicito. Si dimostra infatti la seguente fo r-mula, che consente di esprimere il coefficiente di momento di pitch damping di un proiettile con centro di massa nel punto G' , attraverso il coefficiente di momento di pitch damping di un proietti-le di identica forma e centro di massa in un punto G, diverso da G' :

2

(G') (G) (G) (G)G' G G' G2

( )( )

S S NS Nl l l l

d dΜ Μ ΜΦ Φ Φ Φ − Φ− −

= + − 4.34

dove con G'l ed Gl si è indicata la distanza di G' e di G dalla estremità anteriore del proiettile, con d

il calibro del proiettile e con (G)SΦ , (G)

SΜΦ e NΦ il coefficiente di pitch damping, quello di momento ribaltante e quello normale, relativi alla tipologia di proiettile considerata. La formula 4.34 è impor-tante perché avvalendosi di essa è possibile ottenere il coefficiente di momento pitch damping di tutti i proiettili di medesima forma ma differente posizione del centro di massa, quando è noto il co-efficiente di momento pitch damping di un proiettile standard della forma considerata. Per maggiori dettagli su questo punto si rimanda a [2] ed alla b ibliografia ivi riportata (nel Cap. 2). Chiaramente, per la 4.30, la 4.29 può anche scriversi nel modo seguente: 4 (G)

'( , , , , , ) 'SM ed v M R Ω ωρ Φ Π Π δ α=SM ω 4.35

dove non compare esplicitamente il fattore 'ω . Tale fattore è comunque conglobato nel vettore 'ω il cui modulo è 'ω . Concludiamo rilevando che in letteratura col nome “coefficiente di momento di pitch damping” viene spesso indicata non la funzione (G)

SΜΦ associata ad SM per mezzo della 4.29, ma una funzione

ad essa proporzionale. E’ questo ad esempio il caso in cui in luogo della 4.29 si assuma per SM la

39

seguente espressione (relativa alla stessa convenzione della 3.6, 3.16, 3.37, 3.54, 3.61 e 4.21):

' '

2'

1 ˆ' ( , , , , , )2 M e EAd v C M R

ω ωΩ ωρ ω Π Π δ α=SM e 4.36


2

4A d

π= 4.37


'

(G)8SM MC

ωΦ

π= 4.38

(3) Momento di Sbandamento Laterale Il Momento di Sbandamento Laterale

δEM è la componente del momento aM% associata allo Sban-

damento Laterale δE . Esso ha un’azione importante sulla stabilità del moto del proiettile e nei mo-delli balistici in cui si considera l’azione del Lift L (e quindi del momento ribaltante NM ) deve sempre essere preso in considerazione (assieme al momento di pitch damping SM ). Per definizio-ne: G ˆ( ) 'El l

δ δ δ= − ∧EM x E 4.39 dove con El δ

si è indicata la distanza del punto di applicazione CEδ della forza δE dalla estremità

anteriore del proiettile. Ricordando la 3.48 che forniscono la caratterizzazione di δE , la 4.39 divie-ne: 3

G ˆˆ( ) sin 'E E El l d vδ δ δ δ

ρ Ω δ Φ= − ∧EM x e 4.40 Ma, conformemente alla 3.49 ed in virtù della 3.21:

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ' ' ( ') '

ˆ ˆˆ ˆ ˆ' ' ' 'ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ' ' ( ') 'Eδ

∧ ∧ ∧ ∧∧ ≡ ∧ = − ∧ = − ≡ −

∧ ∧ ∧ ∧v x v x v x x

x e x x nv x v x v x x

4.41

per cui dalla 4.40 si trae: 3

G ˆ( ) sin 'E El l d vδ δ δ

ρ Ω δ Φ= − −EM n 4.42 Ponendo:

G (G)E

EE

l l

dδ

δ δΜΦ Φ−

= 4.43

siamo così condotti ad assumere la seguente rappresentazione per il momento di Sbandamento Late-rale

δEM :

40

4 (G) ˆsin ( , , , ) 'EM ed v M R

δ δ Ωρ Ω δ Φ Π δ= −EM n 4.44 dove:

ˆ ˆ ˆ( ') '

ˆ 'ˆ ˆ ˆ( ') '

∧ ∧=

∧ ∧v x x

nv x x

4.45

e (G)

EδΜΦ è una funzione la cui espressione dipende dalla forma, dall’assetto di volo e dalla distribu-

zione interna delle masse del proiettile (come si è voluto mettere in evidenza apponendo ad essa l’apice “G”).(9) Essa prende il nome di coefficiente di momento di sbandamento laterale e come si evince dalla 4.43, dipende da Eδ

Φ e dal fattore G El lδ

− . Poiché G El lδ

− è una funzione indipendente

da EδΦ , il coefficiente (G)

EδΜΦ risulta effettivamente un nuovo coefficiente aerodinamico. Come si è

detto a proposito della forza δE , EδΦ è una funzione negativa, tuttavia il valore di G El l

δ− dipende

da vari fattori e quindi in generale nulla può dirsi sul segno di (G)

EδΜΦ . Risulta comunque che se

l’angolo di attacco è piccolo, a velocità supersoniche è senz’altro (G) 0EδΜΦ > . E’ chiaro comunque

che, indipendentemente dal segno di (G)

EδΜΦ , il momento δEM produce una rotazione dell’asse del

proiettile nel piano passante per esso ed ortogonale al piano δΣ , per cui provoca sempre un aumen-to dell’angolo δ. L’azione di

δEM è quindi destabilizzante e per tale ragione deve sempre essere te-

nuta sotto controllo. La seguente Figura 4.7 illustra quanto ora detto nell’ipotesi che sia G 0El lδ

− <

e quindi (G) 0EδΜΦ > .

Figura 4.7 Sebbene in linea di principio (G)

EδΜΦ debba essere una funzione di , , ,eM R ΩΠ δ , dalle osservazioni

9) Tralasciamo, come si è detto, la dipendenza di

(G)


41

sperimentali risulta che tale funzione per le velocità tipiche dei proiettili dipende praticamente solo da M, eR e δ (mentre a velocità molto basse si ha anche una dipendenza importante da ΩΠ ). Te-nendo conto che di norma risulta lecito trascurare anche la dipendenza da eR , si può quindi in gene-rale assumere: (G) (G) ( , )

E EM

δ δΜ ΜΦ Φ δ= 4.46 Come si è detto, almeno a velocità supersoniche, (G) ( , )

EM

δΜΦ δ sarà una funzione positiva. L’espe-

rienza mostra che la dipendenza di (G)EδΜΦ dall’angolo di attacco δ è fortemente non lineare soprat-

tutto a basse velocità, per cui non sempre si ottiene una soddisfacente approssimazione di (G)EδΜΦ at-

traverso una formula del tipo seguente (come di norma avviene per gli altri coefficienti aerodinami-ci): (G) (G)0 (G)1 2( ) ( )sin

E E EM M

δ δ δΜ Μ ΜΦ Φ Φ δ= + 4.47

dove almeno ( G ) 0( )

EM

δΜΦ per velocità supersoniche è una funzione positiva, che prende che prende il

nome di coefficiente lineare di momento di sbandamento laterale. Così, spesso per rappresentare il coefficiente (G)

EδΜΦ occorre utilizzare un’espressione del tipo 4.46. E’ questo ad esempio il caso del

proiettile d’artiglieria “Tipo M1” da 105 mm (al quale si riferiscono anche i diagrammi di Figura 3.3, Figura 3.4, Figura 3.6, Figura 3.7, Figura 3.12, Figura 4.3, Figura 4.4 e Figura 4.6). Il dia-gramma del coefficiente (G)

EδΜΦ relativo a questo proiettile, è riportato, per due diversi valori

dell’angolo di attacco, ne lla seguente Figura 4.8.

Figura 4.8 Come nel caso dei coefficienti (G)

ΝΜΦ e (G)SΜΦ , anche per il coefficiente (G)

EδΜΦ la dipendenza dalla po-

sizione del centro di massa può essere rappresentata in modo esplicito. Si dimostra infatti la seguen-te formula, che consente di esprimere il coefficiente di momento di sbandamento laterale di un proiettile con centro di massa nel punto G' , attraverso il coefficiente di momento di sbandamento

42

laterale di un proiettile di identica forma e centro di massa in un punto G, diverso da G' :

(G') (G) G' GE E N

l ldδ δΜ ΜΦ Φ Φ−

= + 4.48

dove con G'l ed Gl si è indicata la distanza di G' e di G dalla estremità anteriore del proiettile, con d il calibro del proiettile e con NΦ il coefficiente aerodinamico normale relativo alla tipologia di proiettile considerata. La formula 4.48 è importante perché avvalendosi di essa è possibile ottenere il coefficiente di momento di sbandamento laterale di tutti i proiettili di medesima forma ma diffe-rente posizione del centro di massa, quando è noto il coefficiente di momento di sbandamento late-rale di un proiettile standard della forma considerata. Per maggiori dettagli su questo punto si ri-manda a [2] ed alla b ibliografia ivi riportata (nel Cap. 2). Chiaramente, per la 4.41, la 4.44 può anche scriversi nel modo seguente: 4 (G) ˆ ˆ ˆ( , , , ) ' ( ')

EM ed v M Rδ δ Ωρ Ω Φ Π δ= ∧ ∧EM x v x 4.49

dove non compare il segno “meno” ed il fattore sin δ . Tale fattore è comunque conglobato nel vet-

tore ˆ ˆ '∧v x il cui modulo è appunto sin δ . Concludiamo rilevando che in letteratura col nome “coefficiente di momento di sbandamento latera-le” viene spesso indicata non la funzione (G)

EδΜΦ associata ad δEM per mezzo della 4.44, ma una fun-

zione ad essa proporzionale. E’ questo ad esempio il caso in cui in luogo della 4.44 si assuma per

δEM la seguente espressione (relativa alla stessa convenzione della 3.6, 3.16, 3.37, 3.54, 3.61, 4.21 e 4.36):

21 ˆ ˆ ˆ( , , , ) ' ( ')2 M eA d v C M R

δ Ωδ Ωρ Ω Π δ= ∧ ∧EM x v x 4.50


2

4A d

π= 4.51


(G)8EM MC

Ωδ δΦ

π= 4.52

(4) Momento di Sbandamento Trasversale Il Momento di Sbandamento Trasversale

'ωEM è la componente del momento aM% associata allo

Sbandamento Trasversale 'ωE . Esso, al pari di 'ωE non ha praticamente alcuna rilevanza pratica, tuttavia è opportuno considerarlo per completezza. Per definizione:

' 'G 'ˆ( ) 'El lω ω ω= − ∧EM x E 4.53

43

dove con 'El ω si è indicata la distanza del punto di applicazione

'CEω

della forza 'ωE dalla estremità

anteriore del proiettile. Ricordando la 3.57 che forniscono la caratterizzazione di 'ωE , la 4.53 divie-ne:

' ' ' '

4G ˆˆ( ) ' 'E E El l d

ω ω ω ωρ Ω ω Φ= − ∧EM x e 4.54

Ma, conformemente alla 3.58 ed in virtù della 3.31:

'

ˆ' 1 1 ' 'ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ' ' ( ' ') ( ' ')

ˆ' ' ' ' 'E Sω

∧∧ ≡ ∧ = ∧ = − ∧ = − ≡ −

∧x

x e x x x ex

ω ωω ω

ω ω ω ω 4.55

per cui dalla 4.54 si trae:

' ' '

4G ˆ( ) 'E E Sl l d

ω ω ωρ Ω ω Φ= − −EM e 4.56

Ponendo:

'

' '

G (G)E

EE

l l

dω

ω ωΜΦ Φ−

= 4.57

siamo così condotti ad assumere la seguente rappresentazione per il momento di Sbandamento Tra-sversale

'ωEM :

' '

5 (G)' ˆ' ( , , , , , )E e Sd M R

ω ω Ω ωρ Ω ω Φ Π Π δ α= −EM e 4.58 dove:

ˆ' '

ˆˆ' 'S

∧=

∧x

ex

ωω

4.59

e

'

(G)

EωΜΦ è una funzione la cui espressione dipende dalla forma, dall’assetto di volo e dalla distribu-

zione interna delle masse del proiettile (come si è voluto mettere in evidenza apponendo ad essa l’apice “G”).(10) Essa prende il nome di coefficiente di momento di sbandamento trasversale e come si evince dalla 4.57, dipende da

'EωΦ e dal fattore

'G El lω

− . Poiché 'G El l

ω− è una funzione indipen-

dente da 'Eω

Φ , il coefficiente '

(G)

EωΜΦ risulta effettivamente un nuovo coefficiente aerodinamico. Co-

me per il coefficiente di sbandamento trasversale '

(G)Eω

Φ , anche per il coefficiente '

(G)

EωΜΦ nulla può dir-

si in generale circa il suo segno. Esso infatti dipende fortemente dalla tipologia del proiettile, dal suo assetto di volo e dalla posizione del suo centro di massa. Per tale ragione non è neppure possib i-le indicarne un diagramma tipo. Inoltre, stante l’assoluta irrilevanza pratica del momento

'ωEM , nel-le tavole che forniscono le caratteristiche aerodinamiche dei proiettili non vengono praticamente mai riportate indicazioni di questa funzione. E’ da rilevare però che, almeno per le velocità super-soniche, risulta di norma

'

(G) 0EωΜΦ > (si veda a questo proposito anche quanto detto riguardo al coef-

10) Tralasciamo, come si è detto, la dipendenza di

(G)


44

ficiente '

(G)Eω

Φ a pag. 28). Nella seguente Figura 4.9 è illustrato quanto ora detto, nell’ipotesi che sia

'

(G) 0EωΜΦ > (come solitamente accade almeno a velocità supersoniche per la tipologia di proiettile in-

dicata in figura; v. anche Figura 3.13).

Figura 4.9 Come nel caso dei coefficienti (G)

ΝΜΦ , (G)SΜΦ e (G)

EδΜΦ , anche per il coefficiente '

(G)

EωΜΦ la dipendenza

dalla posizione del centro di massa può essere rappresentata in modo esplicito. Si dimostra infatti la seguente formula, che consente di esprimere il coefficiente di momento di sbandamento trasve r-sale di un proiettile con centro di massa nel punto G' , attraverso il coefficiente di momento di sbandamento trasversale di un proiettile di identica forma e centro di massa in un punto G, diverso da G' :

'' '

2(G') (G) (G) (G)G' G G' G

2

( )( )

E E El l l l

d dω Ε δω δωΜ Μ Μ ΕΦ Φ Φ Φ Φ

− −= + + + 4.60

dove con G'l ed Gl si è indicata la distanza di G' e di G dalla estremità anteriore del proiettile, con d

il calibro del proiettile e con '

(G)Eω

Φ , (G)EδΜΦ e Eδ

Φ rispettivamente il coefficiente di sbandamento tra-

sversale, quello di momento di sbandamento laterale e quello di sbandamento laterale relativi alla tipologia di proiettile considerata. La formula 4.60 è importante perché avvalendosi di essa è possi-bile ottenere il coefficiente di momento di sbandamento laterale di tutti i proiettili di medesima forma ma differente posizione del centro di massa, quando è noto il coefficiente di momento di sbandamento laterale di un proiettile standard della forma considerata. Per maggiori dettagli su que-sto punto si rimanda a [2] ed alla bibliografia ivi riportata (nel Cap. 2). Chiaramente, per la 4.59, la 4.58 può anche scriversi nel modo seguente:

' '

5 (G)' ˆ( , , , , , ) ' 'E ed M R

ω ω Ω ωρ Ω Φ Π Π δ α= ∧EM x ω 4.61

45

dove non compare il segno “meno” ed il fattore 'ω . Tale fattore è comunque conglobato nel vettore ˆ ' '∧x ω il cui modulo è appunto 'ω . Concludiamo rilevando che in letteratura col nome “coefficiente di momento di sbandamento tra-sversale” viene spesso indicata non la funzione

'

(G)

EωΜΦ associata ad 'ωEM per mezzo della 4.58, ma

una funzione ad essa proporzionale. E’ questo ad esempio il caso in cui in luogo della 4.58 si assu-ma per

'ωEM la seguente espressione (relativa alla stessa convenzione della 3.6, 3.16, 3.37, 3.54, 3.61, 4.21, 4.36 e 4.50):

' '

3'

1 ˆ( , , , , , ) ' '2 M eAd C M R

ω Ωω Ω ωρ Ω Π Π δ α= ∧EM x ω 4.62


2

4A d

π= 4.63


' '

(G)8EM MC

Ωω ωΦ

π= 4.64

5. CARATTERIZZAZIONE DEL MOMENTO DI SPIN DAMPING aM Completiamo l’analisi delle azioni aerodinamiche agenti su un proiettile, tornando a considerare il momento di Spin Damping aM introdotto all’inizio di questo scritto assieme alla forza aF . Il mo-mento di Spin Damping è dovuto alla resistenza viscosa ed ostacola la rotazione del proiettile attor-no al proprio asse. Esso è praticamente sempre trascurabile e, come abbiamo visto nel Paragrafo 2, può essere rappresentato in diversi modi. Quello comunemente adottato in balistica e che anche noi utilizzeremo, è il seguente (v. anche 2.20 e 2.22): 4

a ' ˆ( , , , , , ) 'aM ed v M R Ω ωρ Ω Φ Π Π δ α=M x

) 5.1

dove

aMΦ)

è una funzione negativa la cui espressione dipende dalla forma del proiettile e dal mate-riale costituente la sua superficie. Essa prende il nome di coefficiente di momenti di spin damping. Sebbene in linea di principio

aMΦ)

debba essere una funzione di M, ', , , ,eR Ω ωΠ Π δ α , dalle osserva-zioni sperimentali risulta che tale funzione dipende praticamente solo da M, per cui si può in gene-rale assumere: ( )

a aM M MΦ Φ=) )

5.2 dove ( )

aM MΦ)

è una funzione negativa. A titolo d’esempio in Figura 5.1 di pagina seguente è

riportato il diagramma del coefficiente ( )aM MΦ

) nel caso del proiettile d’artiglieria “Tipo M1” da

105mm (al quale si riferiscono anche i diagrammi di Figura 3.3, Figura 3.4, Figura 3.6, Figura 3.7, Figura 3.12, Figura 4.3, Figura 4.4, Figura 4.6 e Figura 4.8).

46

Figura 5.1 Concludiamo rilevando che in letteratura col nome “coefficiente di momento di spin damping” vie-ne spesso indicata non la funzione

aMΦ)

associata ad aM per mezzo della 5.1, ma una funzione ad

essa proporzionale. E’ questo ad esempio il caso in cui in luogo della 5.1 si assuma per aM la seguente espressione (relativa alla stessa convenzione della 3.6, 3.16, 3.37, 3.54, 3.61, 4.21, 4.36, 4.50 e 4.62):

2a '

1 ˆ( , , , , , ) '2 l eA d v C M R

Ω Ω ωρ Ω Π Π δ α=M x 5.3


2

4A d

π= 5.4


8

al MCΩ

Φπ

=)

5.5

6. AZIONI AERODINAMICHE TRASCURATE In questo scritto per caratterizzare l’azione dell’aria su un proiettile si è adottato un modello di int e-razione aria-proiettile basato sui seguenti nove parametri: d, ρ, ν, c, v, Ω, 'ω , δ, α 6.1 Questa scelta è ampiamente sufficiente ne l caso dei proiettili senza alettature, anche se come ab-biamo detto a proposito del Pitch Damping, è possibile utilizzare dei modelli d’interazione aria-proiettile basati su un numero maggiore di parametri sia per quanto riguarda la caratterizzazione dell’aria che per quanto riguarda il moto del proiettile. E’ da rilevare infine che un’ulteriore azione dell’aria non presa in considerazione in questo scritto è quella dovuta alla spinta idrostatica (o spin-ta di Archimede). Questa azione infatti, che nel caso degli aerostati e dei dirigibili è d’importanza fondamentale, nel caso dei proiettili è assolutamente trascurabile.

47

7. CONCLUSIONI Come abbiamo visto, in balistica l’azione dell’aria su un proiettile viene caratterizzata dalla forza aerodinamica aF e dal momento aerodinamico complessivo aM

) che, nel caso di proiettili senza ale t-

tature, si assumono espressi mediante le seguenti relazioni: a 'δ ω= + + + +F R L S E E 7.1

'a aδ ω= + + + +N S E EM M M M M M

) 7.2

dove le forze ed i momenti a secondo membro hanno ciascuno una precisa interpretazione fisica. La caratterizzazione di queste forze (considerate applicate al centro di massa del proiettile) e momenti è riportata nelle seguenti Tabella 7.1 e Tabella 7.2.

2 2 0 1 2 ˆ[ ( ) ( )sin ]R Rd v M Mρ Φ Φ δ= − +R v opposta a v Drag Principale 7.3

2 2 0 1 2 ˆsin [ ( ) ( )sin ]L L Ld v M Mρ δ Φ Φ δ= +L e ˆ ˆ ˆ( ')

ˆˆ ˆ ˆ( ')L

∧ ∧=

∧ ∧v x v

ev x v

Lift Importante 7.4

3 (G) ˆ' ( , )S Sd v Mρ ω Φ δ=S e ˆ' '

ˆˆ' 'S

∧=

∧x

ex

ωω

Pitch Da m-ping

Omissibile 7.5

3 ˆsin ( , )E Ed v Mδ δδ ρ Ω δ Φ δ=E e

ˆ ˆ 'ˆ

ˆ ˆ 'Eδ

∧=

∧v x

ev x

Sbandamen-to Laterale Omissibile 7.6

' '

4 (G)' ˆ' ( , )E Ed M

ω ωω ρ Ω ω Φ δ=E e

'

'ˆ

'Eω=e

ωω

Sbandamen-to Trasver-sale

Irrilevante 7.7

Tabella 7.1

3 2 (G)0 (G)1 2 ˆsin [ ( ) ( )sin ]N NM M Ed v M M

δρ δ Φ Φ δ= +NM e parallelo a δE Momento

Ribaltante Importante 7.8

'

4 (G)0 (G)1 2 ˆ'[ ( ) ( )sin ]S SM M Ed v M M

ωρ ω Φ Φ δ= +SM e parallelo a 'ωE

Momento di Pitch Da m-ping

Importante 7.9

4 (G) ˆsin ( , ) 'EMd v M

δ δρ Ω δ Φ δ= −EM n

ˆ ˆ ˆ( ') 'ˆ '

ˆ ˆ ˆ( ') '∧ ∧

=∧ ∧

v x xn

v x x

Momento di Sbandamen-to Laterale

Importante 7.10

' '

5 (G) ˆ' ( , )EM Sd M

ω ωρ Ω ω Φ δ= −EM e parallelo a SE

Momento di Sbandamen-to Trasver-sale

Irrilevante 7.11

4a ˆ( ) '

aMd v Mρ Ω Φ=M x)

parallelo a ˆ 'x Momento di Spin Da m-ping

Omissibile 7.12

Tabella 7.2

In Figura 7.1 e Figura 7.2 di pagina seguente è mostrata invece in prospettiva l’azione delle forze R, L, S, ',δ ωE E e dei momenti

' a, , , ,δ ωN S E EM M M M M . Infine, in Figura 7.3 e Figura 7.4 sono ri-

portate le proiezioni di queste forze e momenti sul piano δΣ e sul piano frontale del proiettile.

48

Figura 7.1

Figura 7.2

49

Figura 7.3

50

Figura 7.4 Come si evince da Tabella 7.1 e Tabella 7.2, la forza aerodinamica aF ed il momento aerodinamico

complessivo aM)

risultano noti quando sono note le 14 (15, se δEM viene espresso mediante i coef-

ficienti ( G ) 0

EM δΦ e (G)1

EM δΦ ) funzioni elencate in Tabella 7.3 di pagina seguente. La determinazione di

queste funzioni è, come si è detto nel Paragrafo 1, un problema alquanto complicato, risolto, in mo-do spesso approssimativo, dell’aerodinamica facendo ricorso a diverse tecniche per lo studio delle quali si rimanda alla letteratura specializzata (v. Bibliografia Generale). E’ da rilevare comunque

51

che spesso, in relazione anche alla complessità del modello balistico che si intende realizzare ad al grado di approssimazione che si vuole raggiungere, è possibile ridurre il numero di coefficienti ae-rodinamici da determinare.

Drag 0 ( )R MΦ , 1( )R MΦ Principali 7.13

Lift 0 ( )L MΦ , 1( )L MΦ Importanti 7.14

Pitch Da mping (G) ( , )S MΦ δ Omissibile 7.15

Sbandamento Laterale ( , )E Mδ

Φ δ Omissibile 7.16

Sbandamento Trasversale '

(G) ( , )E Mω

Φ δ Irrilevante 7.17

Momento Ribaltante (G)0 ( )NM MΦ , (G)1( )

NM MΦ Importanti 7.18

Momento di Pitch Da mping (G)0 ( )SM MΦ , (G)1( )

SM MΦ Importanti 7.19

Momento di Sbandamento Laterale (G) ( , )EM Mδ

Φ δ oppure ( G ) 0( )EM Mδ

Φ , (G)1( )EM Mδ

Φ Importanti 7.20

Momento di Sbandamento Trasversale '

(G) ( , )E Mω

Φ δ Irrilevante 7.21

Momento di Spin Damping ( )aM MΦ

) Omissibile 7.22

Tabella 7.3

Di norma nelle tabelle delle caratteristiche aerodinamiche dei proiettili sono riportati i valori dei co-efficienti aerodinamici indicati nella seguente Tabella 7.4.

Drag 0 ( )R MΦ , 1( )R MΦ 7.23

Lift 0 ( )L MΦ , 1( )L MΦ 7.24

Sbandamento Laterale ( , )E Mδ

Φ δ oppure 0 ( )E Mδ

Φ , 1 ( )E Mδ

Φ 7.25

Momento Ribaltante (G)0 ( )NM MΦ , (G)1( )

NM MΦ 7.26

Momento di Pitch Da mping (G)0 ( )SM MΦ , (G)1( )

SM MΦ 7.27

Momento di Sbandamento Laterale (G) ( , )EM Mδ

Φ δ oppure ( G ) 0( )EM Mδ

Φ , (G)1( )EM Mδ

Φ 7.28

Momento di Spin Damping ( )aM MΦ

) 7.29

Tabella 7.4

Concludiamo l’argomento riportando l’espressione della forza aF e dal momento aM

) rispetto a due

terne di assi cartesiani ortogonali, spesso utilizzate in balistica per caratterizzare le azioni aerodina-mica su un proiettile, e cioè le terne G, v , ˆ Le , ˆ Eδ

e e G, ˆ 'x , ˆ 'n , ˆ Eδe .

(1) Rappresentazione di aF ed aM

)rispetto alla terna formata dai versori v , ˆ Le , ˆ Eδ

e . Poniamo: a ˆ ˆˆv L L EF F F

δδ= + +F v e e 7.30 a ˆ ˆˆv L L EM M M

δδ= + +M v e e) ) ) )

7.31

52

Allora riferendosi a Figura 7.3 e Figura 7.4 è facile vedere che: '[ sin cos ]sinvF R S Eωα α δ= − − 7.32 '[ sin cos ]cosLF L S Eωα α δ= + − 7.33 'cos sinF E S Eδ δ ωα α= + + 7.34

' a[ sin cos ]sin cosv E E SM M M M Mδ ω

α α δ δ= − + − +)

7.35

' a[ sin cos ]cos sinL E E SM M M M Mδ ω

α α δ δ= + − +)

7.36

'cos sinN E SM M M M

ωδ α α= + +)

7.37 (2) Rappresentazione di aF ed aM

)rispetto alla terna formata dai versori ˆ 'x , ˆ 'n , ˆ Eδ

e . Poniamo: a ' ' ˆ ˆˆ ' 'x n EF F F

δδ= + +F x n e 7.38 a ' ' ˆ ˆˆ ' 'x n EM M M

δδ= + +M x n e) ) ) )

7.39 Allora riferendosi a Figura 7.3 e Figura 7.4 è facile vedere che: ' cos sinxF R Lδ δ= + 7.40 ' 'cos sin sin cosnF L R S Eωδ δ α α= − + − 7.41 'cos sinF E S Eδ δ ωα α= + + 7.42 ' axM M=

) 7.43

'' sin cosn E E SM M M Mδ ω

α α= + −)

7.44

'cos sinN E SM M M M

ωδ α α= + +)

7.45 Nelle precedenti formule si è assunto: 2 2

RR d vρ Φ= − (sempre negativa) 7.46 2 2sin LL d vρ δ Φ= (sempre positiva) 7.47 3 (G)' SS d vρ ω Φ= (negativa nel caso di Figura 7.3) 7.48

53

3 sin EE d vδδ ρ Ω δ Φ= (sempre negativa) 7.49

'

4 (G)' ' EE d

ωω ρ Ω ω Φ= (negativa nel caso di Figura 7.3) 7.50 3 2 (G)sin

NN MM d vρ δ Φ= (sempre positiva) 7.51 4 (G)'

SS MM d vρ ω Φ= (negativa nel caso di Figura 7.3) 7.52 4 (G)sin

EE MM d vδ δ

ρ Ω δ Φ= − (negativa nel caso di Figura 7.3) 7.53

' '

5 (G)'sinEE MM d

ω ωρ Ω ω δ Φ= − (negativa nel caso di Figura 7.3) 7.54

4

a aMM d vρ Ω Φ=)

(sempre negativa) 7.55

_____________________

54

APPENDICE 1 Le principali tipologie standard di proiettili Nelle seguiti figure sono riportate le specifiche dimensionali dei proiettili standard di tipo G1, G2, G5, G6, G7 e G8 (le immagini sono tratte da [2]). Per ma ggiori dettagli sull’argomento si rimanda a [2]. Il diagramma del coefficiente 0

RΦ per le tipologie G1, G2, G5 e G6 è mostrato in Figura 3.2. Proiettile Standard Tipo G1. Questa è stata la tipologia di proiettile utilizzata nelle prime ricer-che balistiche di fine ottocento e inizi novecento.

Proiettile Standard Tipo G2 Questa tipologia di proiettile è stata studiata nei primi anni suc-cessivi alla prima guerra mondiale.

55

Proiettile Standard Tipo G5 Questa tipologia di proiettile, studiata intorno al 1930, è stata ut i-lizzata negli USA fino al 1960 come tipologia di riferimento per i proiettili a base trocncoconica.

Proiettile Standard Tipo G6 Questa tipologia di proiettile, studiata intorno al 1930, è stata ut i-lizzata negli USA fino al 1960 come tipologia di riferimento per i proiettili a base cilindrica.

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Proiettile Standard Tipo G7 Questa tipologia di proiettile, studiata in Inghilterra nel 1940, è stata a lungo utilizzata come Tipologia Standard Britannica per i proiettili a base trocncoconica.

Proiettile Standard Tipo G8 Questa tipologia di proiettile, studiata in Inghilterra nel 1940, è stata a lungo utilizzata come Tipologia Standard Britannica per proiettili a base cilindrica.

NOTA: Esistono anche le tipologie G3 e G4, ma non hanno grande rilevanza. Infatti, il coefficiente di drag 0

RΦ dei proiettili di tipo G3 è molto simile a quello dei proiettili di tipo G1 e pertanto è a quest’ultimo che si fa riferimento, mentre la tipologia G4 è di scarso interesse perché è poco utiliz-zata.

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APPENDICE 2 Tabella di comparazione dei simboli utilizzati in balistica per rappresentare i kkkkkkkkkkk.kk..….. coefficienti aerodinamici

57

58

Nella simbologia del BRL e del NACA, il valore assoluto dell’angolo di attacco δ è indicato con

tα e viene chiamato “angolo totale di attacco”. Si pone altresì sin tδ α= . Risulta(1):

2 2sin (sin cos ) sintδ α α β β≡ = + 2 2α β≈ + se 15tα < ° A2.1 dove: • α è l’angolo di beccheggio (“pitch” o “angle of attack”) che individua la rotazione attorno all’asse di versore ˆ Eδ

e . • β è l’angolo di imbardata (“yaw” o “angle of sideslip”(2)) che individua la rotazione attorno all’asse di versore ˆ 'n . Nella simbologia del BRL e del NACA inoltre, la velocità di rotazione assiale del proiettile, da noi indicata con Ω , viene denotata con p, mentre la velocità di rotazione trasversale del proiettile, da noi indicata con 'ω , viene denotata con tq .(3) Si pone altresì:

2 2tq q r= + A2.2

dove: • q proiezione del vettore ω lungo la direzione del versore ˆ Eδ

e • r proiezione del vettore ω lungo la direzione del versore ˆ 'n Infine rileviamo che nella simbologia del BRL e del NACA, le espressioni che rappresentano le ap-prossimazioni balistiche dei coefficienti aerodinamici hanno una forma standard diversa da quella da noi adottata. Ad esempio, secondo la simbologia del BRL, la 3.4 che qui per comodità riscrivia-mo: 0 1 2( ) ( )sinR R RM MΦ = Φ Φ δ+ , A2.3 assume la forma seguente:

0 2

2( ) ( )D D DC C M C Mδ

= δ+ A2.4

In tutti i rapporti tecnici del BRL, del NACA e di altre organizzazioni analoghe, come ad esempio il Naval Surface Weapons Center (NSWC), è comunque sempre riportata la lista dei simboli utilizzati, per cui non possono sorgere dubbi di interpretazione. 1) Non si confonda questo δ con l’angolo di attacco. 2) In aeronautica “sideslip” significa “scivolata d’ala”; nell’automobilismo “sideslip” significa invece “sbandata”. 3) Risultano quindi chiarite le notazioni utilizzate per gli indici nei coefficienti aerodinamici.

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APPENDICE 3 Specifiche dimensionali del proiettile d’artiglieria “Tipo M1” da 105 mm Nella seguente figura sono riportate le specifiche dimensionali del proiettile d’artiglieria “Tipo M1” da 105 mm (l’immagine è tratta da [2]).

Le caratteristiche fisiche del proiettile sono invece le seguenti: • Peso 14.97 Kg • Momento d’inerzia assiale 0.02326 Kg m2 • Momento d’inerzia trasversale 0.23118 Kg m2 • Centro di gravità 18.34 cm dalla base Le caratteristiche aerodinamiche del proiettile d’artiglieria “Tipo M1” da 105 mm per piccoli valori dell’angolo di attacco sono riportate nella seguente memoria (reperibile presso il DTIC): • E. T. Roecker, “The Aerodynamic Proprieties of the 105 mm HE Shell, M1, in Subsonic and

Transonic Flight”, Ballistic Research Laboratories Memorandum Report No. 929, 1955. Le caratteristiche aerodinamiche del proiettile d’artiglieria “Tipo M1” da 105 mm per valori del-l’angolo di attacco elevati sono invece riportate nella memoria seguente: • R. L. McCoy, “The Subsonic Aerodynamic Characteristics of the 105 mm HE Shell, M1, at An-

gles of Attack From Zero to 180 Degrees”, Ballistic Research Laboratories Memorandum Re-port No. 2353, 1974.

Infine, un elenco delle caratteristiche aerodinamiche di questo proiettile è riportato anche in [2], Appendice B (pag. 218). Le caratteristiche aerodinamiche di molti proiettili si possono trovare nei rapporti tecnici del Balli-stic Research Laboratory (BRL) di Aberdeen Proving Ground, Maryland. Per avere un’idea di que-sti documenti ci si può riferire al seguente, reperibile on- line dal sito del DTIC: • R. L. McCoy, “Aerodynamic Characteristics of the 30mm XM788E1 and XM789 Projectiles”,

Ballistic Research Laboratori, Tecnical Report, ARBRL-TR-02432.


BIBLIOGRAFIA GENERALE [1] T. Levi-Civita, U. Amaldi, “Lezioni di Meccanica Razionale”, Vol. 1, Vol. 2 Parte I,

Vol. 2 Parte II, Zaniche lli.

[2] R. L. McCoy, “Modern Exterior Ballistics”, Schiffer Publishing Ltd. L’Errata Corri-ge del libro si può scaricare liberamente da internet al seguente indirizzo: http://www.eskimo.com/~jbm/bibliography/exterior.html

[3] M. G. Busato, “Le Equazioni Generali della Balistica Esterna per i Proiettili a Massa Costante”, mgbstudio.net

[4] M. G. Busato, “Introduzione al Component Buildup Method nel Caso di Proiettili Senza Alettature”, mgbstudio.net

[5] N. F. Krasnov, “Aerodynamics of Bodies of Revolution”, Edited and Annotated by D. N. Morris, The RAND Corporation.

[6] F. G. Mason, “Approximate Methods for Weapon Aerodynamics”, AIAA, Vol. 186.

[7] M. G. Busato, “La Forza Gravitazionale Agente Su un Proiettile in Volo”, mgbstu-dio.net

Per ulteriori riferimenti bibliografici e documentazione tecnica, si può anche fare riferimento al: • National Technical Information Service (NTIS), U.S. Department of Commerce, 5285 Port

Royal Road, Springfield, Virginia, 22151. (703) 487-4650, http://www.ntis.gov • Defense Technical Information Center (DTIC), DTIC Customer Service Help Desk,

Special Programs Branch (DTIC-BLS), 8725 John J. Kingman Road, Suite 0944, Ft. Be l-voir, VA 22060-6218, http://www.dtic.mil

• Digital Library del National Advisory Committee for Aeronautics (NACA), Tecnical Re-

port Server, http://naca.larc.nasa.gov • NATO Research and Technology Organisation, http://www.rta.nato.int

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LE AZIONI AERODINAMICHE CARATTERIZZANTI IL … Fisica Matematica/forze aerodinamiche su... · la forza aerodinamica complessiva con la somma delle azioni ae-rodinamiche associate