Lecture 1

预备知识

Y. RuanDepartment of Mathematics

Real Analysis

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1.1 引例

回顾 Riemann积分: 若 fn (x) R-可积,在 [a, b]上一致收敛,则 f (x) = lim

n→∞fn (x)R-可积,且极限与积分可交换,

limn→∞

∫ b

afn (x) dx =

∫ b

alim

n→∞fn (x) dx.

一致收敛的条件通常不能去掉. 考察例子: 设 [0, 1]中的全体有理数为 {r1, r2, ...}（暂且接受这一表示的合理性）,令

fn (x) ={

1, x ∈ {r1, r2, ..., rn} ,0, 其余x ∈ [0, 1] .

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显然 fn (x) R-可积,

f (x) = limn→∞

fn (x) ={

1, x ∈ {r1, r2, ...} ,0, 其余x ∈ [0, 1] .

但

limn→∞

∫ 1

0fn (x) dx = 0,

而 f (x)并非 R-可积, R-积分无从谈起,积分与极限换序自然也不成立.再看一例. 令 fn (x) = xn, x ∈ [0, 1],那么

f (x) = limn→∞

fn (x) ={

1, x = 1,0, 其余x ∈ [0, 1] .

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虽然这里没有一致收敛,但极限函数仍然 R-可积,且

limn→∞

∫ 1

0fn (x) dx = lim

n→∞

xn+1

n + 1= 0 =

∫ 1

0f (x) dx.

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1.2 课程概要

预备知识：点集，可数与不可数，Cantor集合，距离等Lebesgue测度Lebesgue可测函数Lebesgue积分Lebesgue多重积分有界变差函数，积分与微分

Lp 空间及其度量性质

第一章介绍一些基本概念, 并简要复习数学分析的内容,未给出证明的结论作为练习.

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1.3 Rn中的点集

集合与映射

记号:R-实数集N-自然数集 {1, 2, ...}Q-有理数集Z-整数集

令 E ⊂ Rn 为一个集合,其余集记为 Ec.空集记为 ∅.若 f : X 7−→ Y, E ⊂ X, F ⊂ Y,记 E在 f下的象集

f (E) = {f (x) : x ∈ E} ,

F在 f下的原象集

f−1 (F) = {x : f (x) ∈ F} .

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容易验证 f−1 与余集,并集和交集运算可交换,

f−1 (Fc) =(f−1 (F)

)c,

对任意集族 {Fα}α∈A ,

f−1

(⋃α∈A

Fα

)=⋃α∈A

f−1 (Fα) , f−1

(⋂α∈A

Fα

)=⋂α∈A

f−1 (Fα) .

f与余集,交集运算不一定可交换,但有

f

(⋃α∈A

Fα

)=⋃α∈A

f (Fα) , f

(⋂α∈A

Fα

)⊂⋂α∈A

f (Fα) .

对集合 A,其指示函数定义为

χA (x) ={

1, x ∈ A,0, x /∈ A.

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集合的上下极限

若 {Ek}∞k=0 为递增集列,

limk→∞

Ek =⋃k>1

Ek,

若 {Ek}∞k=0 为递减集列,

limk→∞

Ek =⋂k>1

Ek.

若 {Ek}∞k=0 为一集合列,上极限和下极限定义为

lim supk→∞

Ek =⋂j>1

⋃k>j

Ek = limj→∞

⋃k>j

Ek.

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lim infk→∞

Ek =⋃j>1

⋂k>j

Ek = limj→∞

⋂k>j

Ek.

例 1.3.1 令 Ek = [−1/k, 1] 若 k > 0 为奇, Ek = [−1, 1/k] 若k > 0为偶,试求集列上下极限.

对任意 j,⋃

k>j Ek = [−1, 1], lim supk→∞ Ek = [−1, 1] . 而⋂k>j Ek = {0}, lim infk→∞ Ek = {0} .

定理 1.3.1 (De Morgan's Law) 令 F 为一集合族.(⋃E∈F

E

)c

=⋂

E∈F

Ec,

(⋂E∈F

E

)c

=⋃

E∈F

Ec

证明第一个等式. x ∈(⋃

E∈F E)c ⇐⇒ x /∈ E对所有 E ∈ F

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⇐⇒ x ∈ Ec对所有 E ∈ F ,即 x ∈⋂

E∈F Ec.

可数与不可数

定义 1.3.1 集合 E称为可数的 (或至多可数的),如果存在 E到N的单射. 否则称为不可数集.有限集,数 (序)列是可数集. 可数集的子集是可数集.

引理 1.3.1 存在 X到 Y的单射当且仅当存在 Y到 X的满射.

若 f : X 7−→ Y单 ,任取 x0 ∈ X,则

g (y) 7−→{

f−1 (y) , y ∈ f (X) ,x0, y ∈ Y\f (X) ,

是 Y到 X的满射. 若 g : Y 7−→ X满,对 ∀x ∈ X, g−1 (x)为非空集, 且对不同的 x值互不相交, 任取 g−1 (x)中一员记为 f (x),则 f是 X到 Y的单射.

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定理 1.3.2 (1)若 X, Y可数,那么 X × Y可数.(2)若 A为可数集,对任意 α ∈ A, Xα 可数. 那么

⋃α∈A Xα 可数.

(1)只需说明 N× N是可数集,而 N× N中的点 (i, j)可以先按坐标和大小排列, 坐标和相等的点则按照 j的递增次序排列,

(1, 1)(2, 1) (1, 2)(3, 1) (2, 2) (1, 3)(4, 1) (3, 2) (2, 3) (1, 4)· · · · · · · · · · · · · · ·

这便给出到 N的一个单射.

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(2)令 fα 为 N到 Xα 的满射,则

(α, n) ∈ A × N 7−→ fα (n) ∈⋃α∈A

Xα

为满射,从而存在⋃

α∈A Xα 到 A × N的单射,因此⋃

α∈A Xα 可数.

定理 1.3.3 Z和 Q是可数集.

Z可数,因为它能写成 {...,−2,−1} ∪ {0} ∪ N. 令

f : (i, j) ∈ Z2 = Z× Z 7−→{ i

j , j 6= 0;0, j = 0.

则 f定义了一个从 Z× Z到 Q的满射,因而 Q可数.

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定理 1.3.4 R上的单调函数间断点可数.

不妨设 f 单调增, 故仅有一类间断点. 若 x 为间断点, 记Jx = (f (x−) , f (x+)). 那么 Jx 非空,对 x 6= x′, Jx′ 与 Jx 不相交.由于每个 Jx 含有一个有理数, 所以这样的 Jx 有至多可数个,从而间断点可数.

经过适当准备后,我们将会引入完全集,并证明完全集都是不可数的.

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1.4 Rn中的距离

设 x, y ∈ Rn, x = (x1, ..., xn) , y = (y1, ..., yn) ,

x · y =n∑

k=1

xkyk.

定义|x| =

√x · x,

那么 |·|满足

|x| > 0, |x| = 0当且仅当 x = 0|αx| = |α| |x| , α ∈ R|x + y| 6 |x|+ |y|（三角不等式）

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三角不等式等价于 Cauchy-Schwarz不等式

|x · y| 6 |x| |y| ,

这等价于

n∑k=1

xkyk 6(

n∑k=1

x2k

)1/2( n∑k=1

y2k

)1/2

.

若 x = 0或 y = 0,不等式自然成立. 不妨设 |x| > 0, |y| > 0. 由于

n∑k=1

xkyk 6n∑

k=1

(12

x2k +

12

y2k

)=

12|x|2 + 1

2|y|2 .

若 |x| = |y| = 1, Cauchy-Schwarz不等式显然成立。否则令

x′ =x|x|

, y′ =y|y|

,

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并对 x′, y′运用已有结论.令 d (x, y) = |x − y|,那么

d (x, y) = d (y, x)

d (x, y) > 0, d (x, y) = 0当且仅当 x = y

d (x, y) 6 d (x, z) + d (y, z) ,∀z（三角不等式）

定义 1.4.1 满足上述三条的函数 (x, y) 7−→ d (x, y)称为距离.从 |·|得到距离便是我们通常说的欧式距离. 有了距离就

能定义极限与收敛.若 {ak}∞k=0 为实数列,上极限和下极限定义为

lim supk→∞

ak = infj>1

supk>j

ak = limj→∞

supk>j

ak,

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lim infk→∞

ak = supj>1

infk>j

ak = limj→∞

infk>j

ak.

容易看出

−∞ 6 lim infk→∞

ak 6 lim supk→∞

ak 6 ∞.

定理 1.4.1 序列的上下极限分别是序列的最大和最小极限点,具体而言:(1) b = lim supk→∞ ak当且仅当存在子列收敛到 b,且对 b′ > b,存在 k0,当 k > k0 时 ak < b′;(2) c = lim infk→∞ ak 当且仅当存在子列收敛到 c,且对 c′ < c,存在 k0,当 k > k0 时 ak > c′;

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(2)可以从 (1)导出,只证 (1). 令 bj = supk>j ak,那么 bj 为

递减列, b = limj→∞ bj. 不妨设 b为有限实数. 对 ∀ε > 0,存在j0 使得,只要 j > j0 那么

|bj − b| < ε2.

对 j > j0 又存在 akj 使得∣∣akj − bj∣∣ < ε

2.

放在一起就有 ∣∣akj − b∣∣ < ε.

因此子列{

akj

}j 收敛到 b. 若 b′ > b,取 ε = b′ − b,那么

|bj0 − b| < ε2.

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因此对 k > j0,

ak 6 bj0 < b +ε2< b′.

有了距离,自然还能考虑集合的直径,

diam (E) = sup {|x − y| : x, y ∈ E} ,

集合之间的距离,

d (E1,E2) = inf {|x − y| : x ∈ E1, y ∈ E2} .

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1.5 Rn中的开集,闭集, Gδ 集, Fσ 集

开集闭集

定义 1.5.1 令 x ∈ Rn, δ > 0,称

B (x, δ) = {y : |y − x| < δ}

以 x为中心 δ为半径的开球.

定义 1.5.2 令 E ⊂ Rn. x ∈ E称为内点,如果存在开球 B (x, δ)包含于 E.集合 E的内点全体称为 E的内部,记为 int (E) .集合 E称为开集,如果 E = int (E),即每个点均为内点.约定: ∅为开集.

定义 1.5.3 集合 E称为闭集,如果 Ec 是开集.

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