• 不定积分的概念和性质• 换元积分法和分部积分法• 定积分的概念和性质• 定积分的换元积分法和分部积分法• 定积分的应用和推广

第三章 一元积分学

不定积分的计算

一、第一换元法（“凑”微分法）二、第二换元法 (变量替换法 )

三、分部积分法

§4 定积分的换元积分法和分部积分法

一、定积分的换元积分法

定理 1 （定积分的凑微分法）已知变换函数 在区间 上有连续的导函数，函数 在变换函数 的值域区间上连续，且 ，则

( )u φ x=

( )f u

[ , ]a b

( )u φ x=( ) ( )u uf d F Cu

(

)

)

(( ) d

a

bu uf

'( ) ( )a

bdxxf x

) ( )(b

adf x x

)( .

))(

(bF

au

定积分“换元必换限 换元必换限 , , 不换元不换限不换元不换限”．所以是否换元一般可根据计算的复杂程度来判断。

42

0cos cosdx x

1

0

5 11 1.

5 0 5u

42

0I dcos cosx x

51 1cos .25 5

0x

42

0sin cos dI x x x

例 1

（令 ）cosu x

或者直接地

4du u

4

4

lnd

e

e

xx

x例 2

4

4d( )ln ln

e

ex x

43

24

2ln

3

ex

e

33 22

2 1 214 .

3 4 4

é ùæöê úç ÷= - =ê úç ÷ç ÷ê è ø ú

ê úë û

1

4

20

1d

1 4

xx

x

例 31 1

4 4

2 20 0

1d d

1 4 1 4

xx x

x x

1/ 41

arcsin(2 )2 0

x1

24

20

1d 1 4

1 4x

x

1

8

2 1/ 411 4

12 4 0x

1 31 .

12 4 2

2ln2

ln2

1d1x x

e 例 4 2ln2

ln21 d

1x

xex

e

2ln2ln 1 ln2ln2

xe

3ln3 ln1 ln2 ln .

2

2ln2

ln2

2ln2d(

11)

1 ln2xx

ee x

2ln2 ln4 4e e

定理 2 （定积分的变量替换法）已知函数 在区间 上，变换函数 （ 1）在区间 或 上有连续的导函数；（ 2） 时 ；（ 3） 。则

( )x φ t=( )f x [ , ]a b

( ) , ( )φ α a φ β b= =

[ , ]α β

( ) [ , ]φ t a bÎ

[ , ]β α

[ , ] [ , ]t α β β αÎ 或

( ) da

bxf x ( )d t

( )f t

( ) '( )tf t dt

( )x t

注意

(1) 不定积分必回代原变量，定积分第二换元 “换元 必换限换元 必换限”。(2) 换元后定积分 的上、下限分别是

1 1( ), ( ).ba

2

0I

2

0

12 1

1t dt

t

2 22 2ln 1

0t t t

xx

xI d

1

4

0

例 5

2t dt 1

t

t

2ln3.

令 ，则x t 2 , 2 .x t dx t dt 时 ； 时0x 0t 4x 2.t

1

2I

32

2

20 1

tdt

t

321 1

ln2 1 0

tt

t

ln22

01 dxI e x 例 6

2ln(1 )d t 32

0t

32ln(2 3) .=- - -

令 ，则21 xe t-- = 21ln(1 ).2

x t

时 ； 时0x 0t 2x 32 .t

0 0(sin ) = (sin ) .

2xf x dx f x dx

例 7 已知 在 上连续，试证：( )f x [ 1,1]

.d x d t证明：

分析：注意到两定积分的积分区间没有变动，被积函数中含有共同的 。我们要寻找的变换函数必须满足这些要求。

(sin )f x

令 ，则x π t= -

时 ； 时0x t x 0.t

0( ) (sin )t f t dt

0 0= (sin ) (sin )f t dt t f t dt

0 0= (sin ) (sin ) .f x dx x f x dx

0(sin )xf x dx

移项并化简后即得结论。

此例说明：定积分的变量替换法可以用来证明积分恒等式。

0( ) (sin )t f t dt

0

( )d ( ) ( ) da a

af x x f x f x x

0( )d

af x x

例 8

在 上连续，试证：( )f x [ , ]a a

证明： 令 ，则x t 时 ； 时x a t a 0x 0.t

0( )d

af t t 0

( )daf x x

0( )d( )

af t t

左边0

0( d)d ( )

a

axf fx xx

0 0( )d)d (

a af x xf x x

0

( ) ( ) daf x f x x = 右边。

( )d 0a

af x x

； 为连续奇函数奇函数时，( )f x

0( )d 2 ( )d .

a a

af x x f x x

为连续偶函数偶函数时，( )f x

特别地 :

1

21

sin

1

xdx

x

01 2

02 arctan (arctan )x d x

3 12arctan3 0

x3

.12

21

21

sin arctan

1

x xdx

x

例 9

21

21

arctan

1

xdx

x

2

1

20

arctan2

1

xdx

x

2

0

2 dsin

xx

2

0d

2

2cos1

xx

2

0

)2sin4

1

2(

xx

.4

22 2

0si sinn d

x

x x

x

x x

ex

e ex x

e

e e

（ ）

22

2

dsinx

x x

exx

e e

例 10

定理 3 （定积分的分部积分法）已知函数 都可导，则( ) , ( )u u x v v x

(( ) ( ) ( () ) ( ) .)b

aa

bv x v xu x u x u x

bd d

av xx

二、 定积分的分部积分法

l21

n1x

x2

1ld( )

1nx

x

1ln22

2

21d

ln xx

x例

112

1d1

ln xx

2

21

1dx

x

1ln22

21

1x 1 1

ln2.2 2

ln3

0xxe

ln3

0dx xe

1ln33

ln3

0dxxe x例

12ln3

0d xx e

ln3

0xe

1(2 ln3).3

3

0tandx x

tan( ) 30

x x

3

0dtan xx

3

3 3

0||cos|ln

x

3

0 2d

cos

xx

x例 13

23

0dsec xx x

3ln2

3π= -

在 上可积，且 求(1) 3, (3) 1,f f

1

0(2 1) 3,f x dx

3

1( ) .x f x dx

( )f x [1,3]例 14

3 3

1 1( ) ( )x f x dx x d f x

3

1

3( ) ( )

1x f x f x dx

3

10 ( )f x dx

令 ，则2 1x u 1 3

0 1

13 (2 1) ( ) ,

2

uf x dx f u d

3

1( ) 6.f u du

3

1( ) 6.f u du

2

0sin dn

n x xI

例 15 12

0sin sin dn x x x

2

0

1sin cosn x d x

1 2

0

1/ 2

0s cos cosin sinn nx x xdx

1 22

0( 1) sin cosnn x xdx

1

0

22( 1) sin 1 sinnn x xx d

2( 1) ( 1)n nn I In

所以2

1.n n

n

nI I

又 2

00 1 d ,2

xI

012 sin d 1.I x x

所以 22 40

1 1 3sin d

2 nn

n n

n nx x II

n n

nI

n

n为偶数时，1 3 1

2 2.

2

n n

n n

2

0

1 3 2sin d .

2 31n n n

x xn n

为奇数时。n

这就是所谓的 WallisWallis 公式公式。