面 向 2 1 世 纪 课 程 教 材

Textbook Series for 21st Century

大 学 数 学

微积分 (二 )萧树铁 主编

郑建华 编著

高 等 教 育 出 版 社

再 版 序 言

提高大学数学教学质量的关键在于教师 ,但一套较好的教材也是重要的 .

随着我国大学数学教学内容改革的逐步深入 , 当前不少高等学校在基础数学

教学内容的改革方面有了一些进展 ,例如单纯“面向专业”的观念有所淡化 , 代

数课程的内容和学时有所增加 ,开设了一些新的课程 , 如“数学实验”和“随机

数学”等 ; 相应地有一批新教材出版 .本套教材也在试用了两年多以后 , 进行了

部分修订 .这就是《大学数学》的第二版 .

在保持原有的指导思想和风格的前提下 , 这一套教材由原来的五本 :《一

元微积分》、《多元微积分及其应用》、《代数与几何》、《随机数学》及《数学实验》

改编、扩充为七本 , 即 :《微积分 (一 )》、《微积分 ( 二 )》、《多元微积分及其应用》、

《流形上的微积分》、《代数与几何》、《随机数学》及《数学实验》,其中《流形上的

微积分》是新编入的 .其它几本修订的大致情况如下 :

《微积分 ( 一 )》以原来的《一元微积分》中的第一篇 ,即“直观基础上的微积

分”为其主要内容 , 力求做到“返璞归真”.除了进一步强调了计算和应用之外 ,

还增加了一些对“极限”的朴素描述 .

《微积分 ( 二 )》是把原来《一元微积分》中的第二篇 , 即“理性微积分”的内

容作一些修改而成 .其中为了使读者能更好体会数学分析中的一些基本手法 ,

对用阶梯函数逼近的办法来处理定积分 (即函数集扩张的思想 ) 又作了一些改

进 .

《多元微积分及其应用》是把原书加以适当精简而成 .原书中“复变函数”

部分重新改写以求突出重点和更加精练 ;原书的“微分几何”部分移到《代数与

几何》 .

以上三本教材的习题也都作了调整 .

《流形上的微积分》与前面三本微积分教材合在一起 , 就显示了微积分从

古典一直到现代的基本面貌 ,而且也是一个理解当代数学和物理的一个不可

缺少的台阶 .虽然目前它并不属于数学基础课的范围 , 但可供对此有兴趣的学

生选修 .此外 , 对从事微积分教学而在这方面有所欠缺的教师来讲 , 不妨顺便

补上这一课 .

《代数与几何》内容的变动是适当精简了代数的内容 ,增加了“行列式的几

何意义”; 几何部分则增加了“微分几何”的基本内容 .

《随机数学》的一部分内容作了进一步精简 , 同时增加了一些诸如线性回

归和随机数学内容 ,补充了一些有趣的例子 .

《数学实验》是在几年来教学实践的基础上 ,对第一版的内容进行调整 , 以

了解基本原理和掌握实用方法为主线 ,使之适合更多学生的学习情况 , 并升级

书中所用的 MATLAB 版本 , 同时出版供教师使用的电子教案 .

《代数与几何》中的几何部分包括了仿射、射影和微分几何 , 还有两个非欧

几何的模型 .它所需的学时不多 ( 不超过 30 学时 ) .这些内容的选取和写法是

否合适 , 能在多大程度上体现数学理性思维和“数学美”, 还有待进一步讨论 .

人们对大学数学课程中几何被严重削弱的缺陷已有共识 ,但又往往以“课内学

时不够”或“没有用”等理由保留了这个缺陷 .精简课内学时是必要的 , 内容的

选取更可以讨论 .希望有志于此的教师能先试开一些这方面的选修课 , 供大家

来讨论 .

这次内容的调整主要是为了增加这套教材的灵活性 , 不同的学校或专业

在内容上可以有不同的选择 :可以选择其中的某几本 , 或删去某些用小字写的

部分 .例如在清华 , 这套教材就初步适应了一个较为稳定的教学计划 .即除了

部分文科和艺术类专业以外 , 数学基础课的内容确定为 :“微积分 ( 一 )”( 3 学

分 ) ,“微积分 ( 二 )”(3 学分 ) ,“多元微积分及其应用”( 4 学分 ) ,“代数”( 4 学

分 ) ,“几何”(2 学分 ) ,“随机数学”(3 学分 ) ,“数学实验”( 3 学分 ) , 其中 1 学分

表示一个学期 (实上课 15 周 )上 15 节课 (每节 45 分钟 ) , 另外适当安排少数课

外习题课 .这样数学基础课的总学时就是 330 学时 , 而其中被列为必修基础课

的只有“微积分 ( 一 )”和“代数”两门 .但实际上多数专业的学生几乎都选了大

部分甚至全部数学基础课 .

参加这一版改写工作的有朱学贤、郑建华、章纪民、华苏、居余马、萧树铁、

李津、陈维桓等同志 ; 谭泽光、白峰杉同志参加了讨论并提出很多好的意见 .

编者于清华园

2002 年 10 月

·2· 再 版 序 言

郑 重 声 明

高等教育出版社依法对本书享有专有出版权。任何未经许可的复制、销

售行为均违反

行政责任 , 构成犯罪的 , 将被依法追究刑事责任。社会各界人士如发现上述

侵权行为 , 希望及时举报 , 本社将奖励举报有功人员。

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策 划 王 瑜

编 辑 胡乃�

封面设计 于文燕

责任绘图 朱 静

版式设计 李 杰

责任校对 胡乃�

责任印制

内容提要

本书是教育部“十五”国家级规划教材 , 是高等教育出版社 2000 年版“大学数学”

系列教材的第二版 , 相当于第一版中

内容包括 : 实数和极限理论、函数的连续性、函数序列的一致收敛性、定积分和广

义积分、级数

基础 , 融入了函数空间扩张的思想 , 为学生进一步学习作一个铺垫。

本书着重训练学生领会严格证明的必要性以及一些证明的基本技巧 , 有利于培育学

生理性思维的习惯 ; 内容虽然理论性较强 , 但有较好的启发性 , 并不显得枯燥。

本书可作为高等学校理工科各专业的教材 , 也可供其他专业人员参考。

出版发行 高等教育出版社 �购书热线 010 - 64054588

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经 销 新华书店北京发行所

印 刷

开 本 787×960 1/ 16 版 次 年 月第 版

印 张 12 印 次 年 月第 次印刷

字 数 210 000 定 价 13.10 元

本书如有缺页、倒页、脱页等质量问题 , 请到所购图书销售部门联系调换。

版权所有 侵权必究

目 录

第 1 章 实数、实数序列及其极限 ( 1 )⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1.1 实数集 ( 1 )⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1.2 实数序列的极限及其基本性质 ( 4 )⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1.3 实数集完备性的几个等价命题 ( 9 )⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1.4 实数序列的极限举例 (20)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

习题 1 (25)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

补充题 (28)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第 2 章 数值函数、极限和连续函数 (30)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2.1 函数的概念 (30)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2.2 函数极限 (32)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2.2.1 函数极限的定义 (32)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2.2.2 函数极限的一些性质 (38)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2.3 函数的连续性 (44)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2.4 函数列的一致收敛性和阶跃函数 (51)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2.4.1 函数列及其一致收敛性 (51)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2.4.2 阶跃函数 (56)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

习题 2 (60)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

补充题 (63)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第 3 章 定积分 (65)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3.1 阶梯函数的积分 (65)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3.2 Riemann 积分 ( 定积分 ) (69)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

习题 3 (86)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第 4 章 广义积分 (89)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

4.1 无穷区间上的广义积分 (89)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

4.1.1 无穷区间上广义积分的定义 (89)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

4.1.2 非负函数无穷限积分的判敛准则 (91)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

4.1.3 绝对收敛和条件收敛 (93)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

4.2 无界函数的广义积分 (96)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

4.3 Euler 积分 (Γ函数与 B 函数 ) (98)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

习题 4 ( 102)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

补充题 ( 104)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第 5 章 无穷级数 ( 105)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

5.1 数项级数及其判敛法则 ( 105)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

5.1.1 基本概念 ( 105)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

5.1.2 数项级数的性质 ( 107)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

5.1.3 非负项级数的判敛法则 ( 109)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

5.1.4 任意项级数 ( 115)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

5.2 函数项级数及其一致收敛性 ( 120)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

5.3 幂级数和 Taylor (泰勒 )级数 ( 125)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

5.3.1 幂级数的收敛域及其一致收敛性 ( 125)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

5.3.2 幂级数的运算性质 ( 128)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

5.3.3 函数展成幂级数的问题———Taylor 级数 ( 131)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

5.3.4 函数展成 Taylor 级数的方法 ( 133)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

习题 5 ( 137)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

补充题 ( 142)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第 6 章 Fourier(傅里叶 )级数 ( 144)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

6.1 三角函数系的正交性与三角级数的系数 ( 145)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

6.2 函数的 Fourier 级数 ( 147)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

6.3 其它形式的 Fourier 级数 ( 151)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

6.3.1 以 T 为周期的函数的傅氏级数 ( 152)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

6.3.2 奇、偶函数的 Fourier 级数—奇延拓与偶延拓 ( 153)⋯⋯⋯⋯⋯

6.3.3 复数形式的 Fourier 级数 ( 156)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

6.4 平均收敛 ( 158)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

习题 6 ( 164)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

附录 积分简表 ( 167)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

部分习题参考答案 ( 171)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

名词索引 ( 173)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

·2· 目 录

第 1 章 实数、实数序列及其极限

1 .1 实数集

17 世纪微积分发明后 , 很快在力学、物理和几何中得到广泛的应用 .在这

个过程中人们却发现它的基础不牢固 : 例如“无穷小”、“极限”等概念就很不

清楚 ,因而受到一些人的怀疑甚至攻击 .

为了把微积分建立在一个坚实的理性基础上 , 数学家们进行了近两个世

纪的探索 .1821 年 , Cauchy 给出了极限的一个比较清晰的定义 .但直到 1850

年 , Weierst rass 才最终给出了现在还通用的极限的严格定义 , 即极限的 ε-δ语

言式定义 .在本章将简要地阐述为把微积分建立在坚实的理性基础上而集中

面临的问题 ,以及为解决这个问题而建立起的主要成果 .

通过对极限、导数和积分等微积分的基本内容的学习 , 我们已知微积分的

理论是建立在极限的基础之上的一门实函数理论 , 因此要在严格的数学理性

下建立起微积分 ,就要弄清楚实数集在极限意义下的结构 .让我们把这一点看

得更清楚一些 .我们对极限已有了直观的认识 , 或者说我们已知极限大致说的

是什么 ,就是一个趋向的目标加上一个趋向的动态方式 , 然而这个直观的但又

非常重要的认识是在忽略了一些基本的重要事实上完成的 .我们忽略的基本

事实来自于对实数集的结构的认识 .给定一个实数列有趋向的目标 , 那么这个

目标一定是个实数吗 ?让我们用直观的方法把这话说得更清楚些 .我们把给定

的这个实数列中的每个元素在一条直线轴上标记出来 , 那么在该条直线轴上

就对应出一个点列 ,这个点列向一个确定点趋近的话 , 问这个被趋近的点对应

一个实数吗 ?这个问题是非常重要的 .设想一下 ,我们学了导数就是变化率 , 而

作为平均变化率的极限的变化率可能不是实数 ,或者从几何上讲 , 割线的极限

切线的斜率可能不是实数 , 那么会怎样呢 ?微积分的世界那将是个“混沌”的

世界 ,我们连求导数都不能顺畅地去做了 .很明显 , 我们的问题可以归结到结

论“实数与实轴上的点一一对应”是否成立 .我们在中学里就接受了的这个结

论在微积分理论的数学理性的建立上就成为非常突出的关键性问题 .如果我

们把这个结论作为一个“公理”来处理 , 那么我们的问题就解决了 , 但我们又

面对一个新的问题 :从正整数、有理数自然地延伸出来的实数与公理中的实数

是吻合的吗 ?公理中的实数集可以定义为实数轴上点的标记的集合 , 显然它把

有理数包含在内 ,那么对通常的实数可以做这样的标记吗 ?这样我们又回到原

来的问题上了 ,但上面的处理迫使我们要进一步深入地认识通常实数的本质 .

对于实数我们已有先验性的认识 : 正整数集 N *关于通常的加法和乘法

运算是封闭的 .正整数集中比大小的二元关系“≤”是全序关系 , 也就是任何

两个正整数可比较大小 ,而且是良序集 , 也就是任何非空子集都有最小元 .引

入负数和零 ,我们构造了整数集 Z .在 Z 中对减法也封闭 , 从而整数集 Z 关于

通常的数的加法和乘法是一个交换环 , 它是全序集 , 但不是良序集 .再引入分

数 ,产生有理数集 Q:

Q =pq∶ p , q ∈ Z , q ≠ 0 .

有理数集 Q 对除法运算封闭 , 关于数的加法和乘法构成一个域 .它是全序集 ,

但不是良序集 .有理数是我们熟悉的较直观的数 .

任何一个有理数pq

( q ≠ 0) 都可写为有限小数 (包括整数 ) 或无限循环小

数 .由带余除法 , 可写

p = dq + r1 ,10 r1 = d1 q + r2 , ⋯ , 10 rk - 1 = dk - 1 q + rk , ⋯ ,

其中{ r1 , r2 ,⋯ , rk ,⋯ } 为余数集 .如果 v k ∈ N *,使 rk = 0 , 则

pq

= d .d1 d2⋯ dk

是有限小数 ;如果除不尽 , 即余数集为无穷集时 , 由于 0 < rk < q, k = 1 , 2 ,

⋯ ,则必存在 i , j ∈ N *( i < j ) ,使 ri = rj ,从而

pq

为无限循环小数 , 即

pq

= d .d1 d2⋯�d i⋯�dj - 1 ,

其中�di⋯�d j - 1 表示这部分无限重复下去 .有理数对四则运算虽是封闭的 , 但

对“开方”运算不封闭 .人们早已知道 2 不是一个有理数 , 也就是不能是两个

正整数的比 p/ q( p , q为正整数 ) ,这是要扩大有理数集的一个动力 .我们可以

用“开方法”求出 2 任意小数位的有理近似值 , 例如 1 .4 , 1 .41 ,1 .414 ,⋯ .如果

把第 n 个近似有理数记为 an , 用极限的话来说 ,就是

limn→∞

an = 2 .

这提示我们 :在有理数集中极限运算是不封闭的 , 也就是一个有理数列趋近的

目标可以不是有理数 ,但又告诉我们可以用有理数列的极限来认识 2 , 再如

我们也可以这样来看圆周率π .这样 ,让极限封闭就成为扩大有理数集的一个

动力 ,重要的是这个动力代表了普遍性 , 因此 , 对实数的认识要结合极限来完

成 ,从极限的角度来扩大有理数集 , 从而产生实数集 .

我们可以在实轴上标出有理数 ,对应有理数的实轴上的点称为有理点 .容

易验证 :实数轴上任意两个有理点间一定还有有理点 , 而且每个有理点的任意

·2· 第 1 章 实数、实数序列及其极限

一个邻域内都有无穷多个有理点 (为什么 ?) .有理点集的这种性质叫做它在实

数轴上的“稠密性”.有理点集在实轴上虽然稠密 , 但它远远填不满整个实轴 ,

那么实数是什么 ?

重要的是有理点的“稠密性”给了我们扩大有理数集的一个方法 .将所有

的有理点列的极限点加入而得到一个新的集合 ,利用上面的“稠密性”, 这个集

填满了整个实轴 ,没有空隙 .我们容易知道有理点列的极限点构成的点列的极

限也是有理点列的极限点 ,因此在这个集合上极限封闭 .上面提到的两个无理

数 2 和π就在这个集合之中 .现在我们要用十进制来给出该集合中的点在实

轴上的标记 ——— 坐标 .这样将产生两类坐标 : 一类是有限小数或无限循环小

数 ;另一类就是无限不循环小数 .把非循环无穷小数称之为“无理数”, 加到有

理数集中去 ,就得到了实数集 , 记为 R .实数集包含有无限不循环小数 , 重要的

是反过来任一个无限不循环小数都在实数集内 , 因为这样的数明显是有限小

数 ——— 有理数列的极限 , 因此实数集是由有限小数 , 无限循环小数和无限不

循环小数组成 .这样实数集关于极限封闭 .

还有一个重要之处是实数集上的四则运算 , 也就是说这样得到的实数集

作为数的集合是否具有有理数集上的那些基本运算 .由于每个无理数都可看

成是某一有理数序列的极限 ,无理数的四则运算就可以看成是所对应的有理

数序列经四则运算后的极限 .例如 :

2 : {1 , 1.4 , 1.41 , 1.414 ,⋯ } ,

3 : {1 , 1.7 , 1.73 , 1.732 ,⋯ } ,

而

2 + 3 : {1 + 1 , 1.4 + 1.7 ,1.41 + 1.73 , 1.414 + 1.732 , ⋯} ,

等等 .

实数用十进制表示很直观 ,容易被人接受 , 但对于实数集极限的封闭性研

究 ,这种表示有不易解决的难点 , 因此 ,需要考虑实数的其它表示形式 .实数可

以有其它表示形式 , 这一点人们一般不易理解 , 因为实数直观的进制表示形

式 ,人们太熟悉了 ,以致牢牢地被它束缚住了 , 而不能去突破它 .例如“18”是

18 这个数 ——— 一个实在的客体的“名字”.由于我们对它很熟悉 , 以致“名字”

与这个数溶为一体不分开 ,但这个数我们可以给它另一个合乎逻辑的“名字”,

有理数列{18 , 18 ,⋯} 来表示 .的确 , 在上面的讨论中 , 我们已经用了实数的这

个表示形式 ,就是具有极限的有理数列 , 然而这个表示形式带来两个问题 :

(1 ) 存在不同的有理数列表示同一个实数 ;

(2 ) 什么叫具有极限 , 确切的含义是什么 ?

对于问题 (1 ) , 可以这样来处理 .在具有极限的所有的有理数列之集 Σ上

·3·1 .1 实数集

定义一个等价关系 :两个具有相同极限的有理数列等价 .按这个等价关系 , 将

Σ进行等价分类 .用这个等价类来表示实数 , 也就是实数的有理数列等价类表

示形式 .

对于问题 (2 ) , 我们首先要回答为什么会提出这个问题 , 有理数列的极限

不一定在有理数集中 ,这样我们就要用一个不在有理数范围内的东西来表示

有理数列的极限 ,那么如何来确定“具有极限”.这问题产生的关键之处是在于

上面实数表示形式不是完全彻底地从有理数集出发来表示实数的 , 而是要借

助于外面的东西 ,这样就不能干净彻底地从有理数集扩大至实数集 .大数学家

Cantor 给了实数的一个表示形式 , 就是有理数 Cauchy 列的等价类 , 进一步内

容我们放在评注中 .

请读者注意上面的叙述不是实数集上极限是封闭的证明 , 只是简要地分

析了一下对这个问题的一个处理方法 .现在我们暂时把这个问题放一放 , 先来

严密地考察实数序列的极限 .

1 .2 实数序列的极限及其基本性质

在微积分前面的学习中 ,我们对极限已有了直观的认识 , 并掌握了求极限

的基本方法和一些重要极限 .本节介绍实数序列极限的严格数学定义 .

定义 1 .1 依次排成的一列实数

ξ1 ,ξ2 ,⋯ ,ξn , ⋯

称为一个实数序列 (简称数列 ) ,记作{ξn } .

如果 m1 < m2 < ⋯ < mk < ⋯ 是一串正整数 ,则{ξmi} 也是一个实数序

列 ,称为序列{ξn } 的一个子序列 (简称子列 ) .

例如{ξn } :1 ,12

,13

,⋯ ,1n

,⋯ 是一个实数序列 ,取 mk = 2 k ,则 {ξ2 k } :12

,

14

,⋯ ,1

2 k,⋯ 就是{ξn } 的一个子序列 .

实数序列{ξn } 以某个实数 a 为极限直观地理解是沿着这个序列将一步

一步地走近 a .ξn 走近 a , 换一个说法就是该两点的距离 ξn - a 可任意小 , 然

而“走近 a”要通过 n的变化来实现 , 因此粗糙一点地说也就是只要 n充分大 ,

距离 ξn - a 可任意小 ;这里有两个关键的地方要注意 : 一个是体现了一种因

果关系 ,ξn 趋向 a 是由于 n 的趋向 ,它表现出了极限的动态 ; 另一个就是序列

走近它的极限的“一致性”,也就是给定距离任意小的一个程度 , 要求序列中从

某个确定的 n 之后的所有的数与 a 的距离都要能够小于这个程度 .把这些意

思汇总成数学的语言 ,就是极限的ε - N 定义 :

·4· 第 1 章 实数、实数序列及其极限

定义 1 .2 实数序列 {ξn } 以实数 a 为极限 , 记为 limn→ ∞

ξn = a, 就是指

"ε> 0 , v N0 ∈ N *, 使当 n > N0 时 , 恒有

ξn - a < ε . ( 1 - 1)

从几何上讲 , 定义 1 .2 说的是任意给定 a 的一个邻域 , 就可以找到序列中

的一项 ,从该项之后所有的项都要不例外地位于在给定的邻域内 .定义 1 .2 是

通过ε的任意性来刻画{ξn } 任意接近 a ,因此ε的任意小性在定义 1 .2 中是本

质的 ,也就是说本质上我们要的是ε可以任意小 ,这样我们在使用定义 1 .2 的

时候可以给出 ε的一个上方的限制以及可以使用其它量的形式 , 例如 2ε, ε

和 Mε,只要 M 是个有限定数 ,而ε+ 1 就不行了 , 因为它不能任意小 ; 另一个

重要之处是 N0 由ε来确定 , 也就是从不等式 ( 1 - 1 ) 出发来确定 N0 , 使得排列

在 N 0 对应的项之后的所有项要满足不等式 (1 - 1 ) ,这样 N0 显然不是由ε唯

一确定 , 对于所有大于 N0 的正整数明显都满足定义 1 .2 的要求 .从定义 1 .2

可得一个基本事实 :序列{ξn } 的极限存在与否以及极限的大小都与{ξn } 的有

限项无关 ,这正是体现了极限的趋向动态 .

实数序列 {ξn } 有极限也称为收敛 ; 实数序列 {ξn } 没有极限则称发散 .实

数序列{ξn } 不以实数 a 为极限 , 也可用ε - N 语言来刻画 :

v ε0 > 0 ,对 " N0 , v n0 > N0 , 使得 ξn0

- a ≥ε0 .

这说明无论 N0 多大 , 在实数序列{ξn } 中 ,总可以找到实数ξn0( n0 > N0 ) 与 a

至少保持一个确定的距离 ,从而可以找到一个子列与 a 至少保持一个确定的

距离 ,这就破坏了实数列走向它的极限的一致性 .实数列 { ( - 1 )n} 没有极限 ,

因为对任意实数 a, 都有子列与 a 至少保持一个确定的距离 .

下面我们举两个例子 ,来看一看如何用定义 1 .2 证明实数列的极限 .

例 1 设 ξn =n

n + 1,用定义验证 lim

n→ ∞ξn = 1 .

证 直观可见ξn =n

n + 1收敛于 1 .下面用ε - N 语言给出严密证明 .

"ε> 0 , 欲使不等式n

n + 1- 1 < ε, 即

1n + 1

< ε成立 ,只要 n >1ε

- 1 .

因此取 N0 =1ε

- 1 ( [ a] 表示不超过 a 的最大整数 ) , 则当 n > N0 时 , 总

有 ξn - 1 < ε, 即 limn→ ∞

ξn = 1 .

在上述推演中关键是找到 N0 ,有时这需要一定的技巧 , 请读者在练习中

总结 .

例 2 验证 limn→ ∞

3

1 + n -3

n = 0 .

证 " ε> 0 ,考察不等式

·5·1 .2 实数序列的极限及其基本性质

0 <3

1 + n -3

n < ε . ( 1 - 2)

我们要直接从不等式 (1 - 2) 中确定出 N0 是困难的 , 因此先作如下处理

3

1 + n -3

n =3

n3

1 +1n

- 1

≤3

n 1 +1n

- 1

=1

n2/ 3 .

这样要使 ( 1 - 2 ) 成立 , 只要 n- 2/ 3

< ε即 n > ε- 3/ 2

,取 N0 = [ε- 3/ 2

] , 那么当

n > N0 时 , ( 1 - 2) 成立 .由定义 1 .2 结论成立 .

在例 2 的证明中为建立不等式 ( 1 - 2) ,我们做了适当的放大 , 但要注意的

是对不等式 (1 - 2) , 这样的放大要适当 .

例 1 和例 2 中我们都具体地求出了 N0 , 然而有时候并不能这样具体求得

N0 , 幸运的是为了我们的目的只需要确定 N0 存在就可以了 .

例 3 若 limn→ ∞

xn = a,试证 limn→ ∞

x1 + ⋯ + xn

n= a .

证 " ε> 0 ,由于 limn→ ∞

xn = a,存在 N1 使得当 n > N1 时 , 有

xn - a < ε . ( 1 - 3)

对于固定的 N1 ,有

x1 - a + ⋯ + x N1

- a

n→ 0( n → ∞ ) .

这样存在 N0 ≥ N1 ,使得当 n > N0 时 ,有

x1 - a + ⋯ + xN1

- a

n< ε . ( 1 - 4)

那么当 n > N0 时 ( 1 - 3 ) 和 (1 - 4) 均成立 .结合 (1 - 3) 和 ( 1 - 4 ) ,得

x1 + ⋯ + xn

n- a ≤

x1 - a + ⋯ + xn - an

<x1 - a + ⋯ + xN

1- a

n+

( n - N1 )εn

< 2ε .

由定义 1 .2 结论得证 .

研究极限从定义出发有时是困难的 , 但利用定义总结极限的一些基本性

质 ,再从这些基本性质出发会带给我们很大的益处 .下面用极限定义严格证明

极限的一些基本性质和运算法则 .

性质1 设 limn→ ∞

un = a, limn→∞

vn = b .若 a > b,则 v N0 ∈N *,使当 n > N0

·6· 第 1 章 实数、实数序列及其极限

时 ,有 un > vn .

证 取ε=a - b

2,由条件 , v N1 , 当 n > N1 时有 u n - a <

a - b2

,

即

a + b2

= a -a - b

2< un < a +

a - b2

;

v N2 , 当 n > N2 时有 vn - b <a - b

2,即

b -a - b

2< vn < b +

a - b2

=a + b

2.

那么 ,当 n > N 0 = max{ N1 , N2 } 时有

vn <a + b

2< un .

性质 1 的一个特殊情况是 ,若 limn→ ∞

un = a > c, 则 v N0 ,当 n > N0 时有

un > c .

用反证法 ,可从性质 1 直接导出如下推论 .

推论 设 limn→ ∞

un = a, limn→ ∞

vn = b .若 v N0 , 使当 n > N0 时有 un ≥ vn ,

则 a ≥ b .

注 即使在 un > vn 的假设下 , 推论中的结论“ a ≥ b”也不能改为“ a >

b”.这个推论说明极限运算保序 .

性质 2 如果数列{ξn } 收敛 ,则其极限是唯一的 .

证 用反证法 .如若不然 ,假设 limn→ ∞

ξn = a, limn→ ∞

ξn = b,且 a ≠ b, 则由性

质 1 ,存在 n , 使得ξn <a + b

2< ξn , 矛盾 .

性质3 如果数列 {ξn } 收敛 ,则它必有界 , 即存在 M > 0 ,使 " n ∈ N *,

有 ξn < M .

证 设 limn→ ∞

ξn = a, 取ε= 1 ,则由定义 1 .2 , v N0 ∈N *, 使当 n > N0 时 ,

恒有

ξn - a ≤ ξn - a < 1 , 即 ξn < a + 1 .

令 M = max ξ1 , ξ2 , ⋯ , ξN0

, a + 1 ,则对 " n , 有 ξn ≤ M .

性质 3 的逆命题不成立 ,即有界数列不一定有极限 , 例如ξn = ( - 1 )n有

界 ,但没有极限 .

性质 4 若数列{ξn } 收敛于 a ,则它的任一子列{ξmk} 也收敛于 a .

证 设数列{ξn } 收敛于 a ,则对 "ε> 0 , v N0 ∈ N *,使当 n > N0 时 ,

恒有 ξn - a < ε .对它的任一子列{ξmk} , 因 m k → ∞ ( k →∞ ) ,所以 v K ∈

·7·1 .2 实数序列的极限及其基本性质

N *, 使得 mK > N0 .因此当 k > K 时 , m k > mK > N0 , 从而 ξm

k- a < ε,

即 limk→∞

ξmk

= a .

由性质 4 , 可判别数列 { ( - 1)n} 不收敛 , 因 { ( - 1)

2 k - 1} 收敛于 - 1 , 而

{ ( - 1)2 k

} 收敛于 1 ,虽然它们都有极限 , 但不相等 .

性质 5 若数列{ξn } 的每个子列都有收敛的子列 ,且收敛子列都以 a 为

极限 ,则{ξn } 收敛于 a .

证 设{ξn } 的任一子列有子列 {ξmk} 收敛于 a, 但假设数列{ξn } 不收敛

于 a , 则v ε0 > 0 ,对 " K ∈ N * , v k ≥ K ,使得 ξk - a ≥ε0 ,从而 v m1 >

1 , 使得 ξm1

- a ≥ε0 ; 对 m1 , v m2 > m1 ,使得 ξm2

- a ≥ε0 ;如此下去 ,

存在一个子列{ξmk} , 有 ξm

k- a ≥ε0 , 从而该子列没有子列以 a 为极限 , 矛

盾 .

注 {ξn } 的两个子列{ξ2 k - 1 } 和{ξ2 k } 都收敛于 a 就足以保证{ξn } 收敛

于 a .

定理 1 .1 若 limn→ ∞

u n = a, limn→ ∞

vn = b, 则

(1 ) limn→ ∞

( u n ± vn ) = limn→ ∞

un ± limn→ ∞

vn = a± b;

(2 ) limn→ ∞

un vn = limn→∞

un· limn→ ∞

vn = ab;

(3 ) limn→ ∞

un

vn=

limn→∞

un

limn→∞

vn=

ab

( b ≠ 0 ) .

注 这个定理说明极限运算与四则运算可以交换顺序 .

证 (1 ) 和 (2 ) 的证明建议读者完成 .这里只证 (3 ) .由条件 , "ε > 0 ,

v N0 ∈ N * ,使当 n > N0 时 , 恒有

u n - a < ε及 vn - b < ε .

又因为 b≠ 0 ,所以对b2

, v N1 ∈N *, 使当 n > N1 时 , 有 vn - b <

b2

,

从而 vn >b2

.

令 N′0 = max { N0 , N1 } ,则当 n > N″0 时有

un

vn-

ab

=b( un - a) - a( vn - b)

bvn

<2b

2 ( b un - a + a vn - b )

<2b

2 ( b + a )ε .

因2b

2 ( b + a ) 是常数 ,所以当ε任意小时2b

2 ( b + a )ε也可以任意小 ,

·8· 第 1 章 实数、实数序列及其极限

(3 ) 得证 .

定理 1 .2 ( 夹逼定理 ) 设有三个序列 { u n } , { vn } 和{ξn } 满足 : 当 n > n0

时 ,

un ≤ξn ≤ vn .

若 limn→ ∞

u n = limn→∞

vn = a,则 limn→∞

ξn = a .

证 由已知条件 ,对 "ε> 0 , v N0 ∈ N *, 使当 n > N0 时 ,恒有 un -

a < ε及 vn - a < ε, 即

a - ε< un < a + ε及 a - ε< vn < a + ε,

于是当 n > N1 = max{ n0 , N0 } 时 ,总有

a - ε< un ≤ξn ≤ vn < a + ε,

即 ξn - a < ε .定理得证 .

1 .3 实数集完备性的几个等价命题

在定义实数序列的极限时 ,我们假定了“以实数 a 为极限”, 回避了实数在

极限运算中的封闭性或者说完备性的问题 , 即收敛的实数序列的极限必为实

数 .在第 1 .1 节我们就提出了这个问题 , 并简要地说明了这个问题的一个处理

方法 .由于我们没有严格地证明实数集在极限运算下是封闭的 , 又不打算将该

问题追溯到原始的位置上去 ,因此这里我们设定一个起点 , 从这个起点出发来

介绍与此问题等价的几个命题 ,从而从不同的角度来理解实数集在极限意义

下的结构问题 .

基本假设 :有界实数序列必有以某个实数为极限的收敛子序列 .

例如 , 序列 sinnπ2

有界 ,当 n → ∞时不收敛 , 但当 n = 2 k 时 , 有收敛子

列{0 ,0 ,⋯ , 0 , ⋯} .

这个基本假设可以由实数集的结构推导出来 ,有兴趣的读者可以参阅《数

学分析》的有关教程 .不过 , 我们可以直观地理解这个“假设”.在一个有界闭

区间内放入一列点{ξn } , 应该有该点列中的无穷多个点向一个确定的点 a 凝

聚 ,这个点 a 就是该点列的一个子点列 ξnk趋向的目标 ,“基本假设”断言 a

是个实数 .我们显然可以在ξnk与ξn

k+

1nk

之间取出一个有理点珓ξnk,那么珓ξn

k也

趋向 a , 即 a也是个有理点列的极限 ,因此由第 1.1节的说明 ,“ a是个实数”的

断言是可以理解的 .

下面我们具体直观地解释点列 {ξn } 有无穷多个点向一个确定的点 a 凝

聚 .我们将给出的推演需要承认任一实数可以用小数来表示 , 以及一个小数表

·9·1 .3 实数集完备性的几个等价命题

示一个实数 ,并且承认每个实数对应实轴上一个点 ( 但不需要承认实轴上每个

点对应一个实数 ) .这样数列{ξn } 就对应实轴上一个点列 , 仍记为 {ξn } .为方

便 ,我们把点列{ξn } 限制在 (0 , 1 ) 上 .

将 (0 ,1 )10 等分 ,那么一定有个等分小区间a1

10,

a1 + 110

, 0 ≤ a1 ≤ 9 , 含

有点列{ξn } 中的无穷多个点 .这样从中可取到一点 ξn1,有

ξn1

- 0 . a1 ≤1

10.

现在再将a1

10,

a1 + 110

10 等分 , 又有一个等分小区间

a1

10+

a2

102 ,

a1

10+

a2 + 1

102 , 0 ≤ a2 ≤ 9 ,

含有{ξn } 中无穷个点 ,从中可取出一个点 ξn2, n2 > n1 ,有

ξn2

- 0 . a1 a2 ≤1

102 .

依次下去可得{ξn } 的一个子列{ξnk} 和有理点列{0 .a1 a2 . . . ak } , 使得

ξnk

- 0 .a1 . . .ak ≤1

10k .

点列{0 .a1 . . .ak } 有极限 a = 0 . a1 a2 . . . ak . . ., 它是个实数 .所以点列 {ξnk}

也有极限 a .这样就得到了基本假设 .

下面要从基本假设出发列举几个等价的命题 .为此 , 先引入 Cauchy 序列 .

定义 1 .3 实数列{ξn } 称为 Cauchy序列 , 如果 "ε> 0 , v N0 ∈ N * , 使

当 n , m > N0 时 , 恒有 ξn - ξm < ε .

Cauchy 序列只指出了实数列{ξn }“凝聚”的特点 , 点ξn 与点ξm 之间的距

离当 n , m 充分大时可以充分接近 ,但没有提到它是否就收敛到一个实数 .如

下称之为“Cauchy 准则”的定理 ,断言 : Cauchy 序列收敛于实数 .

定理1 .3 (Cauchy准则 ) 实数列{ξn } 收敛到实数的充分必要条件是 {ξn }

为 Cauchy 序列 .

证 必要性 .设 limn→ ∞

ξn = a, a 是实数 ,即 "ε> 0 , v N0 ∈ N *, 使当 n ,

m > N0 时 , 恒有

ξn - a <ε2

和 ξm - a <ε2

,

从而 ξn - ξm < ε .

充分性 .对ε= 1 , v N0 ∈ N *, 使当 n , m ≥ N0 时 , 有 ξn - ξm < 1 , 特

别地 , ξn - ξN0

< 1 ,从而 ξn < ξN0

+ 1 .令

M = max{ ξ1 , ξ2 ,⋯ , ξN0

- 1 , ξN0

+ 1} ,

·01· 第 1 章 实数、实数序列及其极限

于是 " n , 有 ξn ≤ M ,即序列{ξn } 有界 .根据基本假设 , 从{ξn } 中可取出一

个以某个实数为极限的收敛子列{ξmk} .设 lim

k→ ∞ξm

k= a .

因{ξn } 为 Cauchy序列 ,所以对 "ε> 0 , v N 1 ∈N * , 使当 n , m > N1 时 ,

恒有

ξn - ξm <ε2

.

又因 limk→∞

ξmk

= a, 所以对上述ε> 0 , v K ∈ N *, 当 k ≥ K 时 ,有 m k ≥ N1 ,

且 ξmk

- a <ε2

.因此 ,当 n > mK 时 ,总有

ξn - a < ξn - ξmK

+ ξmK

- a < ε

这就证明了 limn→ ∞

ξn = a .

从 Cauchy 收敛准则可以导出实数集对极限的封闭性 .当一个实数列有趋

近的目标 , 那么它一定是Cauchy序列 , 从而由Cauchy收敛准则 , 这个目标就是

实数 .重要的是 Cauchy 准则是从数列本身的元素之间的关系来确定极限的 ,

这样做将处理的方法限制在一个封闭的环境之中 , 从而可以提升到一般的空

间上去 ,而我们的极限的定义则是在先承认极限为实数的条件下给出的 .用有

理数列的 Cauchy 列来表示实数 ,就做到真正地从有理数集范围的基础上向实

数的延拓 .Cauchy 收敛准则又称为完备性定理 .

接下来我们举两个例子用 Cauchy 准则判别数列的收敛性 .

例 1 设数列{ xn } 满足

xn - xn - 1 ≤ λn , 0 < λ< 1 .

试证{ xn } 收敛 .

证 对任正整数 n 和 p , 有

xn + p - xn ≤ xn + p - xn + p - 1 + ⋯ + xn + 1 - xn

≤λn + p

+ ⋯ + λn + 1

= λn + 1 1 - λ

p

1 - λ

<1

1 - λλn + 1 .

对 "ε> 0 ,要使 xn + p - xn < ε, 只要1

1 - λλn + 1 < ε,也就是

n >ln[ε(1 - λ) ]

lnλ- 1 .

取 N =ln[ε( 1 - λ) ]

lnλ, 当 m > n > N 时 , 就有

xn - x m <1

1 - λλ

n + 1< ε .

·11·1 .3 实数集完备性的几个等价命题

得{ xn } 为 Cauchy 序列 , 从而{ xn } 收敛 .

例 2 设数列{ xn } 满足

xn ≥ xn - 1 +1np , n = 2 ,3 ,⋯ , 0 ≤ p ≤ 1 .

试证{ xn } 发散 .

证 对任意正整数 n > 2 ,有

x2 n - xn = x2 n - xn

= ( x2 n - x2 n - 1 ) + ⋯ + ( xn + 1 - xn )

≥1

( 2 n)p + ⋯ +

1( n + 1)

p

>1

( 2 n)p + ⋯ +

1( 2 n)

p

=n

( 2 n)p ≥

12

p > 0 ,

因此{ xn } 不能是 Cauchy 列 , 从而{ xn } 发散 .

作为例 2 的特例 ,数列

x n = 1 +1

2 p + ⋯ +1np , 0 ≤ p ≤ 1

没有极限 ,但注意一个满足

xn - xn - 1 ≥1n

p , 0 ≤ p ≤ 1

的数列可能是收敛的 ,请读者试着举出例子出来 .

一个实数序列{ξn } 称为单调递增 (递减 ) 序列 , 如果对 i < j, 均有 ξi ≤

ξj (ξi ≥ ξj ) .单调递增和单调递减序列统称为单调序列 .

定理 1 .4 单调有界序列{ξn } 必有实数极限 ,即它必收敛到一个实数 .

证 设 {ξn } 有界单调递增 .因{ξn } 有界 , 所以从{ξn } 中可取出一个收敛

的子列{ξmk} .设 lim

k→ ∞ξm

k= a .于是 "ε> 0 , v K > 0 , 使当 k > K 时 , 有

ξmk

- a < ε .

取 N0 = mK + 1 .对 n > N0 , 还存在 mK′ > n (因为 m k → ∞ ) , 当然 K′> K .

由序列的单调性 ,有

a - ε< ξmK+1

≤ξn ≤ξmK′

< a + ε, 即 ξn - a < ε,

因此 limn→ ∞

ξn = a .对单调递减的情形也可类似证明 .

在基本假设的前提下 , 定理 1 .3 和定理 1 .4 证明了 :实数的 Cauchy 序列和

单调有界序列一定收敛到实数 ,收敛到实数的序列一定是 Cauchy 序列 .(一个

简单的推论是 :单调有界的实数序列一定是 Cauchy 序列 .)

·21· 第 1 章 实数、实数序列及其极限

从现在起 ,以后谈到实数序列收敛或有极限的话 , 指的都是收敛到某一实

数或极限是实数 .

下面再介绍几个刻画实数集完备性的定理 .

定义 1 .4 一个闭区间序列 A = An = [ an , bn ] : n = 1 ,2 ,⋯ 称为区

间套序列 ,如果 An + 1 � An ,且 An 的长度 An = bn - an → 0( n → ∞ ) .

定理 1 .5 (区间套定理 ) 设 A = An = [ an , bn ] : n = 1 ,2 ,⋯ 为一个

区间套序列 ,则存在唯一的实数 a ,使得 ∩∞

n = 1An = { a} , 而且

limn→ ∞

an = limn→ ∞

bn = a .

证 此区间套序列的两个端点序列{ an } 和{ bn } 分别单调递增和单调递

减 , 并且有界 .由定理 1 .4 ,这两个序列都收敛到实数 .又因 An = bn - an →

0( n →∞ ) ,故这两个序列有相同的极限 ,设 limn→ ∞

an = limn→ ∞

bn = a .由单调性 , " m

∈ N *,当 n > m 时 ,有 am ≤ an < bm .令 n → ∞ ,由极限的性质 1 的推论 , 得

am ≤ limn→∞

an = a ≤ bm ,

因此 a ∈∩∞

n = 1An .

现在要证 a 是唯一的 .假设另有一点 b ∈∩∞

n = 1A n , 则

b - a ≤ bn - an → 0 ( n → ∞ ) .

故 b = a .定理得证 .

由区间套定理可知 ,实轴上的点与实数集一一对应 , 两个实数间总有实数

存在 , 从而就有无穷多个实数存在 .请读者注意 , 区间套定理中的闭区间列不

可以改为开区间或半开半闭区间列 .例如 , 读者可考察对于开区间序列

0 ,1

2 n : n = 0 , 1 , 2 ,⋯ , 区间套定理的结论不成立 .

注意这个例子中的开区间的左端点被固定下来了 , 这是有代表性的 .设

A n = ( an , bn ) ( n = 1 , 2 ,⋯ ) 为开区间套 ,即 An + 1 � An , 且 | An |→ 0( n →

∞ ) , 则我们可以断言 : ∩∞

n = 1A n = �当且仅当 v N 使得当 n > N 时 ,恒有 an =

aN 或者 bn = bN ,也就是 An 有一个端点被固定下来 .这个断言的证明请读者

来完成 .

定义 1 .5 设 A = {Δi :Δi 是个区间 , i ∈ I } 是一个区间集 , 其中 I 是指

标集 (例如实数集的某个子集 ) .设 E 是实数集的子集 .如果 E �∪i∈ IΔi , 即 " x

∈ E , v i ∈ I ,使 x ∈Δi , 则称 A 为 E 的一个区间覆盖 ;进一步 , 若 A 中的元

素Δi 都是开区间 , 则称 A 为 E 的一个开覆盖 .

定理 1 .6 (有限覆盖定理 ) 闭区间 [ a , b] 的任一个开覆盖都存在有限的

·31·1 .3 实数集完备性的几个等价命题

子覆盖 ,即从中可取出有限个开区间将[ a , b] 覆盖 .这通常被称为有限覆盖性

质 .

证 用反证法 .设 A 为 [ a , b] 的一个开覆盖 , 但[ a , b] 不能被 A 有限覆

盖 .将[ a , b] 二等分为两个闭区间 , 则其中必有一个子区间 , 记为 [ a1 , b1 ] , 不

被 A 有限覆盖 ; 再将[ a1 , b1 ] 二等分 , 又得一子区间 ,记为[ a2 , b2 ] ,不被 A 有

限覆盖 ;如此下去 , 得一区间套序列{[ an , bn ] : n = 0 , 1 , ⋯} ( 设 a0 = a, b0 =

b) ,其中的每个元素都不能被 A 有限覆盖 .根据区间套定理 ,必存在唯一的实

数ξ, 使

∩∞

n = 0[ an , bn ] = {ξ} .

因ξ∈ [ a , b] , 所以存在 A 中的元素 (α,β) 包含ξ .又由 limn→ ∞

an = limn→ ∞

bn = ξ,

可取 0 < ε< min{ξ - α,β - ξ} , 则 v N0 , 使当 n > N0 时 ,

α < ξ - ε< an < bn < ξ+ ε< β

即[ an , bn ] � (α,β) ,那么只需 A 中一个元素 (α,β) 就可覆盖 [ an , bn ] 了 , 这

与[ an , bn ] 不被 A 有限覆盖相矛盾 .定理得证 .

有限覆盖定理的条件不能随意改动 ,例如开区间集

A = 0 ,23

,12

,34

,23

,45

,⋯ ,n - 1

n,

n + 1n + 2

, ⋯

覆盖开区间 (0 ,1 ) , 但 (0 ,1 ) 不被 A 有限覆盖 ;闭区间集

A = [ - 1 , 0 ] ,12

, 1 ,12

2 ,12 , ⋯ ,

12

n ,1

2n - 1 , ⋯

覆盖闭区间[ - 1 ,1 ] , 但[ - 1 ,1 ] 不被 A 有限覆盖 .

具有有限覆盖性质的集合称为紧集 .

定理 1 .6 说明了什么 ?一个开覆盖可以由无限个甚至不可数多个开区间

组成 .定理 1 .6 断言对闭区间的开覆盖可以从中只取出有限个就可以把该闭

区间覆盖了 ,不需要无限个 , 因此从覆盖的意义上问题变简单了 .实际情况较

这更深刻 ,它指出了闭区间的紧性 .由定理 1 .6 我们很容易导出“基本假设”.

假设“基本假设”是不对的 , 那么存在一个有界序列 {ξn } 没有收敛的子

列 ,也就是对任一个实数 x 都没有{ξn } 的子列以 x 为极限 ,因此 v εx > 0 使

得 ( x - εx , x +εx ) 至多含有有限个{ξn } 中的元素 .又存在闭区间[ a , b] 使得

{ξn } � [ a , b] .显然

A = { ( x - εx , x + εx )∶ " x ∈ [ a , b] }

是[ a , b] 的一个开覆盖 , 由定理 1 .6 , v 有限个点 x i ( i = 1 , ⋯ , m) 使得

[ a, b] �∪m

i = 1( x i - εx

i, x i + εx

i)

·41· 第 1 章 实数、实数序列及其极限

因每个 ( x i - εxi, x i + εx

i) 只含有{ξn } 中有限个元素 , 从而 ∪

m

i = 1( x i - εx

i, x i +

εxi) 也只含有{ξn } 中有限个元素 , 从而 [ a , b] 只含有 {ξn } 中有限个元素 , 矛

盾 .基本假设得证 .

最后 ,我们引进数集的上确界和下确界概念 .一个数集 U 有上界是指 :

v M , 使 " x ∈ U , 均有 x ≤ M , 并称 M 为 U 的一个上界 ; 一个数集 U 有下

界则指 :v m , 使 " x ∈ U ,均有 x ≥ m , 并称 m 为 U 的一个下界 .显然 , 如果

数集 U 有上界 M ,则大于 M 的数都是 U 的上界 , 所以上界没有最大者 ,但可

能有最小者 .例如对于数列n

n + 1(可以看作数集 ) , 大于或等于 1 的数都是

其上界 ,但任何一个小于 1 的数都不是它的上界 , 故 1 是最小的上界 .对于下

界也可作类似的说明 .

定义1 .6 数β称为数集 U 的上确界 (记为β= sup U ) ,如果β是 U 的最

小上界 ,即 ,β是 U 的上界 ,但任何小于 β的数都不是 U 的上界 .准确地说 ,

" x ∈ U 有 x ≤β,但 "ε> 0 , v x0 ∈ U , 使 x0 > β - ε .

数α称为数集 U 的下确界 ( 记为α= inf U) , 如果α是 U 的最大下界 ,即 ,

α是 U 的下界 , 但任何大于α的数都不是 U 的下界 .准确地说 ,

" x ∈ U 有 x ≥ α,但 "ε> 0 , v x0 ∈ U , 使 x0 < α+ ε .

我们约定对数集 U ,如果没有上界 , 置

β= sup U = + ∞ ;

如果没有下界 ,置

α= inf U = - ∞ .

这样对任一个数集 ,我们都可以考虑确界了 .

两个常用到的基本结论 : ( 1) inf U ≤ sup U; (2 ) 若 V � U ,则

inf U ≤ inf V ≤ sup V ≤ sup U ( 1 - 5)

一个必须指出的问题是 ,在讨论数集的界及确界时 , 必须先明确是在什么

范围内讨论 ,也就是说 , 界、确界与数集中的数应是同一类型的数 .例如 , 对于

由 2 的不足近似值构成的数集 {1 , 1.4 , 1.41 , 1.414 ,⋯ } , 如果是在有理数范

围内讨论 ,则它有上界但没有上确界 ; 但若在实数范围内讨论 , 则它有上确界

2 .

一个数集的上确界和下确界不一定属于这个数集 .没有上界的数集按约

定上确界为无穷 ,那么有上界的数集一定有上确界吗 ?如下定理回答了这个问

题 .

定理 1 .7 有上界 (下界 ) 的实数集 U 有上确界 (下确界 ) .

证 只证“上确界”的情形 .

·51·1 .3 实数集完备性的几个等价命题

任取一个数 a ∈ U 和 U 的一个上界 b ,于是 [ a , b] ∩ U ≠�, 且在区间

[ a , b] 的右端外没有 U 中的点 .将区间[ a, b] 二等分 , 得一子区间 ,记为[ a1 ,

b1 ] , 使得[ a1 , b1 ] ∩ U ≠�,且在区间[ a1 , b1 ] 的右端外没有 U 中的点 ; 又将

[ a1 , b1 ] 二等分 , 得一子区间 ,记为 [ a2 , b2 ] , 具有上述性质 ;如此下去 , 得一区

间套序列 {[ an , bn ] : n = 1 , 2 ,⋯ } ,其中的每个区间具有性质 : [ an , bn ] ∩ U ≠

�, 且在区间[ an , bn ] 的右端外没有 U 中的点 .由区间套定理 ,存在唯一的

β∈ [ an , bn ] , n = 1 , 2 , ⋯ ,

使得 limn→ ∞

an = limn→∞

bn = β .下证 β就是实数集 U 的上确界 .

首先 , " c ∈ U , 因为 c ≤ bn , n = 1 , 2 ,⋯ , 所以由极限的性质 ,

c ≤ limn→∞

bn = β,

因此 ,β是 U 的一个上界 .

其次 , 因为 limn→ ∞

an = β,所以 "ε> 0 ,当 n 充分大时有 an - β < ε, 从而

β - ε< an .又由[ an , bn ] ∩ U ≠�, 因此 v x0 ∈ U ,使

x0 ≥ an > β - ε .

由定义 ,β是 U 的上确界 .

由确界存在性定理和对无界数集的确界约定 , 我们得到任一个数集都有

确界 .从确界的定义出发 , 我们可直接得到如下结论 .

设 U 是个数集 ,β= sup U ,α= inf U ,则存在数列{ an } � U 和数列{ bn }

� U ,使得

limn→∞

an = β, limn→ ∞

bn = α .

我们对上确界给出这个结论的证明 .若 U 无上界 , 此时β= + ∞ , 且存在

U 中的点列趋于正无穷 .下面设 U 有上界 ,β是个确定的有限数 .由上确界的

定义 ,对任意正整数 n ,存在 an ∈ U ,使得

β≥ an > β -1n

,

这样得到的数列{ an } � U 就满足结论的要求 .

注 当 β∈ U 时 ,可取 an = β; 当β| U 时 , 可取 an 两两不同 .

不难看出 ,单调递增有上界的实数列的极限就是其上确界 , 单调递减有下

界的实数列的极限就是其下确界 .

设{ xn } 为一个上方有界的实数列 .对 " n > 0 , 令

Rn = sup{ xn , xn + 1 ,⋯} ,

那么由定理 1 .7 , Rn 是个确定的实数 , { Rn } 就是个单调递减的实数列而且有

界 ,从而有极限 , 称为{ xn } 的上极限 , 记为

limsupn→ ∞

xn = limn→ ∞

( sup{ xn , xn + 1 , ⋯} ) ,

·61· 第 1 章 实数、实数序列及其极限

其中等式左边的limsup 是一个整体符号 .同理 ,对一个下方有界的实数列 { xn }

定义

liminfn→ ∞

xn = limn→∞

( inf{ xn , x n + 1 , ⋯} )

为{ xn } 的下极限 , 其中等式左边的liminf 也是一个整体符号 .若{ xn } 无上界 ,

则定义limsupn→ ∞

xn = + ∞ ;若 { x n } 无下界 ,则定义liminfn→ ∞

xn = - ∞ .

总之 ,对任意实数列 , 上、下极限或为有限数或为无穷 .从定义可以看出

limsupn→∞

xn ≥ liminfn→∞

xn .

由不等式 ( 1 - 5 ) 和极限的保序性 , 我们立即得到结论 .若两个数列 { x n } , { yn }

满足从某一项开始总有

xn ≤ yn ,

则

limsupn→ ∞

x n ≤ limsupn→ ∞

yn , liminfn→∞

xn ≤ liminfn→∞

yn . ( 1 - 6)

例 3 设 xn = ( - 1 ) nsinnπ2

.计算limsupn→ ∞

x n 和liminfn→ ∞

xn .

解 由于 x2 n = 0 ,

x4 n + 1 = ( - 1 )4 n + 1 sin(4 n + 1 )π

2

= - 1 ,

x4 n + 3 = ( - 1 )4 n + 3

sin(4 n + 3 )π

2

= 1 ,

所以

Rn = sup{ xn , x n + 1 , ⋯} = 1 ,

rn = inf{ x n , xn + 1 , ⋯} = - 1 ,

从而limsupn→ ∞

xn = 1 和liminfn→ ∞

xn = - 1 .

定理 1 .8 设{ xn } 为一个有界实数列 .{ xn } 有极限 x 当且仅当

limsupn→ ∞

x n = liminfn→ ∞

xn = x .

证 设{ xn } 有极限 x .则对 "ε> 0 , v N , 当 n > N 时有

xn - x < ε, 即 x - ε< xn < x + ε .

明显地

x - ε< Rn = sup{ xn , xn + 1 , ⋯} ≤ x + ε, 即 Rn - x ≤ε,

因此limsupn→ ∞

xn = x .同理可证liminfn→ ∞

xn = x .

反过来 , 设limsupn→∞

xn = liminfn→ ∞

xn = x .则对 "ε> 0 , v N,当 n > N 时有

x - ε< inf{ xn , xn + 1 ,⋯} ≤ xn ≤ sup{ xn , xn + 1 ,⋯} < x + ε,

·71·1 .3 实数集完备性的几个等价命题

从而 xn - x < ε,即{ xn } 有极限 x .

为了更好地理解上、下极限以及定理 1.8 , 我们引入数列的极限点的概

念 .

点 a 称为数列{ xn } 的极限点 ,如果存在 { x n } 的一个子列{ xnk} 收敛于 a .

上、下极限分别是数列最大 , 最小的极限点 ,我们来证明这个结论 .以上极限为

例 .设 a 为{ xn } 的上极限 , 即 a = limsupn→ ∞

x n .置

Rm = sup{ xm , xm + 1 ,⋯ } .

由上确界定义 ,存在 xnm

, nm ≥ m , 使得

R m ≥ xnm

> Rm -1m

.

这样从 xnm中得到{ xn } 的一个子列 ,不妨仍记为{ xn

m} .显然

limm→ ∞

x nm

= limm→ ∞

R m = a,

即证得 a 是{ xn } 的一个极限点 .

假设{ xn } 有一个极限点 b 大于 a .存在 { x n } 的一个子列{ xn′m} , 有 lim

m→∞xn′

m

= b .由极限的基本性质 , 当 m 充分大时 ,

xn′m

>a + b

2> a,

从而

Rn′m≥ xn′

m>

a + b2

> a,

有

a = limm →∞

Rn′m≥

a + b2

> a,

矛盾 .证得 a 是最大的极限点 .

由上面的讨论 ,定理 1.8 说的是数列有极限当且仅当数列只有一个极限

点 ,即最大极限点等于最小极限点 .同时从极限点的角度我们较容易求解一些

数列的上、下极限 .

例 4 试求数列 xn =n - 1n + 1

cos2 nπ

3的上、下极限 .

解 因

x3 n =3 n - 13 n + 1

cos( 2 nπ) → 1 , x3 n + 1 =3 n

3 n + 2cos

2π3

→ cos2π3

,

x3 n + 2 → cos4π3

,

所以{ xn } 的上极限为 1 , 下极限为 -12

.

·81· 第 1 章 实数、实数序列及其极限

因为任一个有界数列都有上、下极限 , 所以总有极限点 , 这样又一次推导

出“基本假设”.

实际上 ,定理 1 .3—1 .7(包括基本假设在内 ) 都是相互等价的 ,即 , 从其中

任何一个定理出发 ,可以推出其它的定理 .这些定理从各自的角度刻画了实数

集的结构 .例如 , 定理 1 .3 刻画了有极限的实数序列必互相“凝聚”的特点 , 而

“凝聚”的序列又必有实数的极限 ; 定理 1.4 说的是一种特殊 (单调 ) 的“凝聚”

的序列 ; 定理 1.5 从几何上说明实数轴的完备性 ; 定理 1 .6 巧妙地解决了“无

穷”到“有限”这对矛盾的转化等等 .有兴趣的读者不妨一试定理之间的互相

推导 .

评注 本章引出的实数系是直观的 ,因为我们并不想一开头就打破读者对实数系

的真实感及直观性 .然而这个从直观上引入的实数系 , 读者一定已经感觉到了逻辑上的空

隙(例如我们给出了一个未经证明的基本假设 ) .实数系的逻辑基础直到 19 世纪后叶才建

立起来 , 而以实数系的连续性 ,即实数之间无空隙为前提的微积分 , 早在 17 世纪就已建立

起来了 .这是数学发展史上的一个奇怪的现象 .这主要是因为实数是先验的 , 人们满足于

在这种直观的基础上进行运算 .例如 ,读者在接受等式 2· 3 = 6 时恐怕很少问过为什

么 ,因为这个等式很直观 .随着微积分的发展和严密化 , 这种先验性的实数系就暴露出许

多逻辑上不严密的地方 .例如 , 由于对实数系的结构缺乏充分的理解 ,Cauchy 无法证明

Cauchy 收敛准则的充分性 ,即 Cauchy 序列是收敛的 .此时 ,数学家们才开始正视实数系的

逻辑结构问题 ,但那已经是 19 世纪后叶了 .可幸的是 , 建立在这种逻辑结构不清楚的实数

系上的大部分微积分定理都是正确的 .建立实数系的难点被认为是无理数 , 在本章中 , 我

们所采用的无理数是无限不循环小数 , 它的定义是 Otto Stolz 于 1886 年给出的 .细心的读

者可以觉察到其中的漏洞 .例如表示法的唯一性 , 即是否可能有两个不同的无限不循环小

数表示同一个实数 ?有理数和无理数合起来是否和实数轴上的点一一对应 ?这些漏洞主要

来自于对实数系的连续性以及相对于极限的完备性缺乏一种严密的理性认识 .这里有一

个从有限到无限的认识上的飞跃 , 以及从对实数先验的感性认识升华到理性上的思考 .然

而为完成这个思考花费了几代数学家的努力 .处理无理数的方法很多 , 这里 , 我们简单介

绍一下 Cantor(康托尔 ) 的方法 :

定义实数为有理数的 Cauchy 序列 , 两个有理数的 Cauchy 序列 { an } , { bn } 定义同一个

实数当且仅当 an - bn → 0 ( n →∞) .事实上 ,可以由此定义两个有理数Cauchy序列的一个

等价关系 , 从而把有理数的 Cauchy 序列进行等价分类 , 每一个等价类用一个符号来表示 ,

这个符号就称为实数 ,它的集合称为实数集或者说用有理数 Cauchy 序列的等价类来表示

实数 , 这是一个与极限密切相联系的表示方式 .因为对有理数 Cauchy 序列 { an } 和 { bn } , 对

应项的四则运算 { an ± bn } , { an· bn } 和an

bn( bn 不等于也不趋于 0) 仍然是有理数 Cauchy

序列 , 这样就可以按极限的四则运算的性质来定义实数的四则运算 .重要的是由此 Cantor

·91·1 .3 实数集完备性的几个等价命题

证明了 Cauchy 序列收敛准则 ,即证明实数系是完备的 .

对实数系的逻辑处理 ,除了结构性的办法外 , 公理化也是一条途径 .在 1895 年前后 ,

Weierstrass 就已经正确地肯定了 :只要有了正整数 , 建立实数就不再需要进一步的公理了 .

对于将一个理论建立在公理基础上的这种理性思维方式 , 我们早已有了体验 .一个例子是

中学里学习的 Euclid 几何 .在亚历山大里亚时期 (公元前 300 年左右 ) , 在总结前人的几何

成果的基础上 , Euclid 建立了公理化逻辑体系 .从公理化出发 ,导出了与普遍直观的几何结

论相吻合的定理 .于是这种理论的真实性就很容易地被人们接受了 .然而同样是从公理化

出发的非 Euclid 几何产生的结果是 :以失去几何的一部分直观性 (例如平行公理不成立 )

为代价 ,在理性上又得到一次飞跃 .今天的人们已看到了非 Euclid几何的巨大力量 ,它把我

们的视野从地球引向更宽阔的宇宙空间 .至于更为直观的正整数系统 , Peanó于 1889 年引

入了正整数的五条公理 ,现已被广泛使用 .Hilbert 也于 1899 年建立了实数系的公理 .到此 ,

实数系的逻辑基础是完美的 .

将实数集逻辑结构的研究扩展到对一般空间上的研究是数学发展的重要方面 .如果

在一个集合上能够给出一个度量 , 或者说确定两元素间的距离 , 那么这个集合就成为度量

空间 .实数集是简单的度量空间 , 简单是因为我们对实数集的认识是清楚的 .如果一个度

量空间具有与实数集类似的结构 , 那么在某种意义上这个度量空间就是清楚的 .因此将研

究实数集结构的方法应用于研究一般的度量空间是一项重要的工作 , 而且具有丰富的内

容 .例如 ,用有限覆盖来考虑度量空间及其子集的一种紧性 (如我们已知实轴上的有界闭

区间具有有限覆盖性质 ,所以是紧的 ) ;用任一个序列必有收敛的子列来考虑一种列紧性 ;

用 Cauchy 收敛准则来考虑完备性等等 , 都是有意思的问题 .有各种各样的度量空间 ,例如

我们可以在 C[ a , b] 上引入一种度量 , 由此从整体上来研究连续函数 ,如一致连续性、一致

收敛性等 (这些概念在后面将会给出一些介绍) .

1 .4 实数序列的极限举例

本节举几个典型例子 ,通过这些例子来进一步熟悉极限的基本性质以及

前面所学的基本知识的应用 .

例 1 设 un =a

n

n !( a > 1) ,计算 lim

n→∞un .

解 由于

un =an

an - 1

( n - 1) !=

an

un - 1 ,

当 n 充分大时 , un < un - 1 ,又 u n > 0; 因此当 n 充分大时 , { un } 是单调递减有

下界的序列 ,因而有极限 , 记为 x; 于等式 un =an

un - 1 两边取极限 , 得 x =

0· x = 0 .所以 limn→ ∞

un = 0 .

例 2 设数列{ xn } 按如下归纳定义

x1 = 2 , xn = 2 + xn - 1 , n = 2 , 3 , ⋯ . ( 1 - 7)

·02· 第 1 章 实数、实数序列及其极限

试求数列{ xn } 的极限 .

解 如果数列 { x n } 有极限 ,设为 x .在 ( 1 - 7 ) 式两边令 n → ∞ , 有 x =

2 + x , 解方程得两个根 - 1( 不符合题意 ) 和 2 , 所以{ xn } 的极限为 2 .

现在要判断{ xn } 有极限 .因 x1 < 2 , 假设当 n = k 时 , x k < 2 ,则当 n =

k + 1 时 , 有

x k + 1 = 2 + x k < 4 = 2 .

由归纳法 ,对 " n > 0 , xn < 2 .又

xn + 1 - xn = 2 + xn - xn

=2 + xn - x

2n

2 + xn + xn

=( 1 + xn ) ( 2 - xn )

2 + xn + xn

> 0 ,

所以{ xn } 单调递增且有界 , 从而有极限 .

例 3 证明 limn→ ∞

n

n = 1 .

证 当 n > 1 时 ,n

n > 1 , 则由二项展开式 ,有

n =n

nn

= [ 1 +n

n - 1 ]n

= 1 + nn

n - 1 +n ( n - 1)

2n

n - 12

+ ⋯ +n

n - 1n

>n ( n - 1)

2n

n - 12

≥n

2

4n

n - 12

,

于是

0 <n

n - 1 <2

n→ 0 ( n → ∞ ) .

由夹逼定理得 limn→ ∞

n

n = 1 .

下面的例子是关于重要极限 limx→ +∞

1 +1x

x

= e .我们要对 x 取为正整数

时证明这个重要极限 .

例4 设 Tn = 1 +1n

n

, 证明 limn→ ∞

Tn 存在 , 记此极限为 e , 它是个无理

数 .

·12·1 .4 实数序列的极限举例

证 应用二项式定理展开 Tn 得

Tn = 1 + n1n

+n( n - 1 )

2 !1n

2

+ ⋯

+n( n - 1)⋯ ( n - k + 1)

k !1n

k

+ ⋯ +1n

n

= 1 + 1 +1

2 !1 -

1n

+ ⋯ +1k !

1 -1n

1 -2n

⋯ 1 -k - 1

n

+ ⋯ +1n !

1 -1n

1 -2n

⋯ 1 -n - 1

n

≤ 1 + 1 +1

2 !+ ⋯ +

1k !

+ ⋯ +1n !

< 2 +1

2× 1+

13 × 2

+ ⋯ +1

n ( n - 1)

= 2 + 1 -12

+12

-13

+ ⋯ +1

n - 1-

1n

= 3 -1n

< 3 ,

因此 Tn 是有界的 .又

Tn + 1 = 1 + 1 +1

2 !1 -

1n + 1

+ ⋯

+1k !

1 -1

n + 11 -

2n + 1

⋯ 1 -k - 1n + 1

+ ⋯

+1n !

1 -1

n + 11 -

2n + 1

⋯ 1 -n - 1n + 1

+1

n + 1

n + 1

.

比较上面两个式子 ,有 Tn < Tn + 1 , 即{ Tn } 是单调有界序列 , 故极限必存在 .

例 5 证明 limn→ ∞

log a nn

= 0 ,其中 a > 1 .

证 只需证 n 充分大时 ,log a n

n< ε, 即

n

n < aε

.由于 limn→∞

n

n = 1 ,所以 ,

"ε> 0 , aε > 1 ,取ε1 = aε - 1 > 0 , 则 v N 0 ,使得当 n > N 0 时 ,n

n < 1 + ε1 ,

从而有 0 <log a n

n< ε,即得所证 .

例6 试证 xn = 1 +12

+ ⋯ +1n

- ln n 有极限 .此极限称为 Euler数 , 它

是个无理数 .

证 首先有不等式 : 对于 x > 0 ,

x1 + x

< ln( 1 + x ) < x . ( 1 - 8)

·22· 第 1 章 实数、实数序列及其极限

该不等式可以通过导数关于函数的单调性判别来证得 .令 xn =1n

, n = 1 , 2 ,

⋯ ,由 ( 1 - 8 ) 式的左边不等式 ,有

xn + 1 - x n =1

n + 1- ln 1 +

1n

< 0 .

又 x1 = 1 ,假设 xk ≥1k

, 则当 n = k + 1 时 , 有

x k+ 1 = x k +1

k + 1- ln 1 +

1k

≥1k

+1

k + 1- ln 1 +

1k

>1

k + 1,

所以{ xn } 单调递减而且有界 , 从而有极限 .

例 7 设

xn = 1 +12

1 +14

⋯ 1 +1

2n .

试证{ xn } 收敛 .

证 取对数

ln xn = ∑n

k = 1

ln 1 +1

2 k ,

则

ln x n + 1 - ln xn

= ln 1 +1

2n+ 1

<1

2n + 1 ,

可由 Cauchy 收敛准则 (见上一节例 1 ) 导出{ln xn } 收敛 , 从而{ xn } 收敛 .

将{ xn } 的极限记为

limn→∞

xn = ∏∞

n = 1

1 +12

n ,

这就是数的无穷乘积 .

例 8 试证若 xn > 0( n = 1 ,2 ,⋯ ) 且 limn→ ∞

xn + 1

xn= l,则下列极限存在 ,且

limn→ ∞

n

x n = l .

证 先证 l > 0 的情形 , 此时对任意小于 l 的ε> 0 , v N ∈N ,当 n ≥ N

时

·32·1 .4 实数序列的极限举例

l - ε<x n + 1

xn< l + ε .

这样建立了递推不等式 ,有

( l - ε)n - N

xN < xn < ( l + ε)n - N

xN ,

从而

( l - ε)1 -

Nn n

xN <n

xn < ( l + ε)1 -

Nn n

xN .

由不等式 (1 - 6) 以及当 n → ∞ 时

( l - ε)1 -

Nn n

xN → l - ε, ( l + ε)1 -

Nn n

xN → l + ε,

有

l - ε≤ liminfn→ ∞

n

xn ≤ limsupn→∞

n

x n ≤ l + ε .

由于ε的任意小性 ,得

liminfn→∞

n

x = limsupn→ ∞

n

xn = l .

由定理 1.8 ,结论成立 .

当 l = 0 时 ,上面各不等式右边总是成立 .这样

0 <n

xn < ε1 -

Nn n

xN .

由同样的论据 ,可证得结论成立 .

此例当 l > 0 时也可直接从第 1.2 节的例 3 得到 .因为

ln xn

n=

1n

lnxn

xn - 1+ ln

xn - 1

xn - 2+ ⋯ + ln

x2

x1+

ln x1

n.

例 9 设数列{ xn } 由下式定义

x1 = a, x2 = b, xn =xn - 1 + xn - 2

2 ( n = 3 , 4 , ⋯ ) ,

试证极限 limn→ ∞

x n 存在 .

证 我们用区间套来证明 .当 a = b 时 , 易知 xn = a( n = 1 , 2 , ⋯ ) , 故

limn→ ∞

x n = a .下设 a ≠ b .置

an = min{ xn , xn + 1 } , bn = max{ xn , x n + 1 } .

显然

bn ≥xn + xn + 1

2= xn + 2 ≥ an ,

有

an ≤ an+ 1 ≤ bn + 1 ≤ bn ,

即[ an + 1 , bn + 1 ] � [ an , bn ] .又

·42· 第 1 章 实数、实数序列及其极限

bn - an = xn + 1 - xn

=xn + x n - 1

2- xn

=12

x n - xn - 1

⋯⋯

=1

2n - 1 | b - a |→ 0 ( n → ∞ ) ,

从而{[ an , bn ] } 是个闭区间套 ,有 c 使得

limn→ ∞

an = limn→ ∞

bn = c .

又 xn ∈ [ an , bn ] , 故由夹逼定理 ,有

limn→ ∞

xn = c .

上面所举的数列都是收敛的 , 然而除了收敛的序列以外 , 还有发散的序

列 .发散序列{ξn } 有两种情形 : 一种是 ξn 趋于无穷 , 记为 limn→ ∞

ξn = ∞ , 即对

" M > 0 , v N0 ∈ N *,使当 n > N0 时 ,有 ξn > M .例如 ( - 2 )

n→ ∞ ( n →

∞ ) ; 另一种是振荡 ,这时又可分为有界振荡 ( 例如 { ( - 1 )n} ) 和无界振荡 ( 例

如 nsinnπ2

) .这也指明趋于无穷的序列是无界的 , 而无界的序列不一定趋

于无穷 , 虽然我们把趋于无穷的序列归入发散 , 但这类序列是有趋向的动态

的 .

判别一个序列振荡发散 ,这样的方法是有效的 , 就是从序列中找出两个有

不同的极限的收敛子列来就行了 .

习题 1

1 .用数学归纳法证明 .

(1 ) 12

+ 22

+ ⋯ + n2

=16

n ( n + 1) (2 n + 1 ) ;

(2 ) 13

+ 23

+ ⋯ + n3

= (1 + 2 + ⋯ + n)2;

(3 ) " n ∈ N *,7 3

2 n+ 1+ 2

n + 2;

(4 ) " n ∈ N *,12 n

2( n

2- 1 ) .

2 .将下列二进制数化为十进制数 .

(1 ) 1100101 ; ( 2) 11101011 .

3 .将下列十进制数用二进制、五进制数表示 .

(1 ) 95; (2 ) 138 .

·52·习题 1

4 .用极限定义验证下列极限 .

(1 ) limn→ ∞

n2 n - 1

=12

; (2 ) limn→ ∞

n2

- 1n

2+ n - 1

= 1; ( 3) limn→ ∞

n !n

n = 0 .

5 .证明 : 若数列{ un } 收敛于 a ,则数列{ un } 收敛于 a .并问逆命题是

否成立 ?

6 .已知数列 { un } 收敛于 a, 数列 { vn } 有界 , 问数列 { un vn } 是否收敛 ?当

a = 0 时有何肯定的结论 ?并证明之 .

7. 已知数列{ un } 的两个子列 { u2 k } , { u2 k - 1 } 均收敛于 a ,证明 : { un } 也收

敛于 a .

8. 已知数列{ un } 的子列 { u2 k - 1 } 收敛于 a , 且 un + 1 = un +1n

( n为奇数 ) .

证明 :数列{ un } 收敛于 a .

9. 求下列极限 .

(1 ) limn→ ∞

3 n2

- 1n

2+ n

; a(2 ) limn→∞

n2

n - 1-

n2

n + 1;

(3 ) limn→ ∞

n sin( n !)n + 1

; (4 ) limn→∞

( - 2 )n

+ 3n

( - 1 )n

+ 3n ;

(5 ) limn→ ∞

1 + a + a2

+ ⋯ + an

1 + b + b2 + ⋯ + bn a < 1 , b < 1 ;

(6 ) limn→ ∞

1n

2 +2n

2 + ⋯ +n - 1

n2 ;

(7 ) limn→ ∞

12

n3 +

22

n3 + ⋯ +

( n - 1 )2

n3 ;

(8 ) limn→ ∞

11·2

+1

2·3+ ⋯ +

1n( n + 1 )

提示 :1

k( k + 1 )=

1k

-1

k + 1;

(9 ) limn→ ∞

24

28

2⋯ 2n

2 .

10. 证明下列不等式 ,其中的 a , b 是实数 .

(1 ) a - b ≥ a - b ; ( 2) a - b ≥ a - b .

11. 解下列不等式 .

(1 ) x2

- 3 x + 2 < 0; m

(2 ) ( x - a ) ( x - b) ( x - c) > 0 , 其中 a < b < c;

(3 ) 1 - x - x ≥ 0 ; ( 4) x +1x

≥ 6; (5 )x - ax + a

≥ 0 .

12. 下列有关实数列的命题是否正确 ?请证明或举反例 .

(1 ) 若序列{ xn } 收敛 , { yn } 发散 , 则{ xn + yn } , { xn yn } 均发散 ;

(2 ) 若序列{ xn } 与{ yn } 发散 ,则{ xn + yn } , { x n yn } 均发散 ;

·62· 第 1 章 实数、实数序列及其极限

(3 ) 若 limn→ ∞

xn = 0 ,则对任意序列 { yn } ,有 limn→ ∞

xn yn = 0 ;

(4 ) 若 limn→ ∞

xn yn = 0 ,则 limn→∞

xn = 0 ,或 limn→ ∞

yn = 0 .

13. 证明不等式 :

12 n

<12·

34·⋯·

2 n - 12 n

<1

2 n + 1,

并求

limn→∞

n

12·

34·⋯·

2 n - 12 n

.

14. 证明 : limn→ ∞

1( n + 1 )

3 +2

( n + 2)3 + ⋯ +

n(2 n )

3 = 0 .

15 .叙述实数序列{ vn } 不是 Cauchy 序列的定义 .设

vn = 1 +12

+sin1

2+

13

+sin22

2 + ⋯ +1n

+sin n2

n .

证明 : { vn } 不是 Cauchy 序列 .

16. 用 Cauchy 准则判别以下序列{ un } 的收敛性 .

(1 ) un =sin 1

2+

sin 22

2 + ⋯ +sin n

2n ;

(2 ) un =cos(1 !)

1× 2+

cos( 2 !)2× 3

+ ⋯ +cos( n !)n( n + 1)

;

(3 ) un = 1 +12

2 +13

2 + ⋯ +1n

2 ;

(4 ) un = 1 +12

2 1 +13

2 ⋯ 1 +1n

2 .

(提示 : 利用不等式1n2 <

1n - 1

-1n

( n ≥ 2) .)

17.利用“单调有界序列必有极限”的定理 , 证明以下序列{ xn } 收敛 , 并求

其极限 .

(1 ) x1 = 2 , x2 = 2 2 , ⋯ , xn = 2 x n - 1 ,⋯ ;

(2 ) x0 = 1 , x1 = 1 +x0

1 + x0, ⋯ , xn + 1 = 1 +

xn

1 + xn,⋯ , (提示 : 用数学

归纳法证明 xn + 1 - xn > 0 对一切 n 成立 .)

18. 若{ xn } 严格递增 ( 即 " n , xn + 1 > xn ) , { yn } 严格递减 (即 " n , yn + 1

< yn ) , 且{ yn - xn } 为无穷小序列 , 试证{ xn } 和{ yn } 必有相同的极限 .

19. 证明 :若 { xn } 趋于无穷 ,则其任一子列也趋于无穷 .

20. 证明 : 不收敛的有界序列{ xn } 存在收敛的子列 , 而且必存在两个子列

分别收敛于两个不同的实数 .

21. 证明 :若{ xn } 无界 ,但不趋于无穷 , 则必存在分别趋于无穷和收敛于

·72·习题 1

有限数 a 的两个子列 .

22. 试求下列数列的上、下极限 .

(1 ) xn =( - 1)

n

n+

1 + ( - 1)n

3;

(2 ) xn = 1 +n

n + 1cos

nπ3

;

(3 ) xn = 2( - 1)n + 1

+ 3 ( - 1 )n ( n - 1 )

2 ;

(4 ) xn = n( - 1 )

n

;

(5 ) xn =n

1 + 2n( - 1 )

n

.

23. 设{ xn } , { yn } 是有界实数列 , 试证

(1 ) liminfn→ ∞

xn + liminfn→∞

yn �≤ liminfn→ ∞

( x n + yn )

≤ limsupn→∞

( x n + yn )

≤ limsupn→∞

xn + limsupn→ ∞

yn ;

(2 ) 若 xn > 0 , yn > 0 ( n = 1 , 2 ,⋯ ) ,则

liminfn→ ∞

xn·liminfn→∞

yn≤ liminfn→∞

( xn yn )

≤ limsupn→ ∞

( xn yn )

≤ limsupn→ ∞

x n·limsupn→∞

yn ;

(3 ) 若{ xn } 收敛 ,则

liminfn→∞

( xn + yn ) = limn→ ∞

x n + liminfn→ ∞

yn ,

limsupn→∞

( xn + yn ) = limn→ ∞

x n + limsupn→ ∞

yn ;

(4 ) 若 xn > 0 , yn > 0 ( n = 1 , 2 ,⋯ ) ,且 { x n } 收敛 ,则

liminfn→∞

( xn yn ) = limn→ ∞

xn liminfn→ ∞

yn ,

limsupn→∞

( xn yn ) = limn→ ∞

xn limsupn→ ∞

yn .

24. 用定理 1.8 证明 Cauchy 收敛准则 .

25. 用确界存在性定理 1.7 证明单调有界数列必有极限 .

补 充 题

1. 设实数序列{ xn } 对一切 n 满足不等式 xn + 1 - xn ≤ q xn - xn - 1 ,

其中常数 q ∈ (0 ,1 ) .证明{ xn } 收敛 .(提示 :用 Canchy 准则 .)

由此来证明压缩映射原理 : 设 φ: [ a , b] → [ a , b] 是函数 .如果对某个 q

∈ (0 , 1 ) ,使得 " x , y ∈ [ a , b] , 总有

·82· 第 1 章 实数、实数序列及其极限

φ( x ) - φ( y) ≤ q x - y ,

则 φ在[ a , b] 上有唯一的不动点 x*

,即 φ( x*

) = x*

.

2. 设 Sn = 1 -12

+13

-14

+ ⋯ + ( - 1 ) n + 1 1n

, 证明{ Sn } 收敛 .(提示 :

证明{ S2 k - 1 } 单调有界 ,并利用习题 8 的结论 .)

3. 证明 : 若单调序列{ un } 有一个子列收敛于 a , 则{ un } 也收敛于 a .

4. 设 x1 = a > 0 , y1 = b > 0 ( a < b) , xn + 1 = xn yn , yn + 1 =xn + yn

2,

n = 1 ,2 ,⋯ .证明 :实数序列{ xn } , { yn } 均收敛于同一个极限 .

5. 设 x1 > 0 , xn + 1 =12

xn +1xn

, n ≥ 1 , 求 limn→ ∞

xn .

6. 求极限 limn→ ∞

n

an

+ bn及 lim

n→ ∞

n

an1 + a

n2 + ⋯ + a

nk , 其中 0 < b < a; a1 ,

a2 , ⋯ , ak 为 k 个互异的正实数 .

7. 设 a0 + a1 + ⋯ + ak = 0 ,证明 :

limn→∞

a0 n + a1 n + 1 + ⋯ + ak n + k = 0 .

(提示 : 利用 ak = - a0 - a1 - ⋯ - ak - 1 .)

8. 两个正数 a , b 的调和平均值ξ定义为1ξ

=12

1a

+1b

, 证明 :ξ≤

ab(几何平均值 ) ,并问等号何时成立 ?

9. 根据内积空间的 Cauchy - Schwarz不等式 , 写出 Rn空间中向量标准内

积的 Cauchy - Schwarz 不等式 ,并给出等号成立的条件 .

10 .设 x n = a1 + a2 + ⋯ + an , n = 1 , 2 , ⋯ , 证明 : 若 limn→∞

an = ∞ , 则

limn→ ∞

xn

n= + ∞ .

11. 设数列{ xn } 满足条件

0 ≤ xn + m ≤ xn + x m .

试证 limn→ ∞

xn

n存在 .

·92·补 充 题

第 2 章 数值函数、极限和连续函数

我们对函数、极限和连续已有了一定的认识 , 本章对它们作进一步的介

绍 .我们在序列极限定义的基础上给出函数极限的严格数学定义 , 并证明极限

的一些基本但是重要的性质 ,然后进一步介绍函数的连续性、一致连续性 , 并

给出闭区间上连续函数的基本性质 .

2.1 函数的概念

函数是一种特殊的非空集合间的映射 .设 f 为两个非空集合 X 和 Y 之间

的一个映射 .如果 X , Y � R,其中 R 表示实数集 , 那么 f 就是一元函数 , 严格

地称 f 为一元实变量实值函数 , 即

f : X( � R) → Y (� R) ,

x f ( x ) ∈ Y , " x ∈ X . ( 2 - 1)

X 称为函数 f 的定义域 , f ( X) 称为值域 .

本书只讨论一元函数 .考察如图 2 - 1 所示的三个函数 , 对函数作进一步

认识 .我们知道 , 函数

f1 ( x ) = x2

, x ∈ [0 , 1 ] ; f2 ( x ) = x2

, x ∈ [ - 1 , 1]

和

f3 ( x ) =x

2, x ∈ [ 0 , 1] ,

- x2

, x ∈ [ - 1 , 0] .

图 2 - 1

是互不相等的 .但如果把自变量限制在[ 0 , 1] 上 , 则它们相等 ,可以写为

f1 ( x ) = f2 ( x ) = f3 ( x ) = x2

, x ∈ [0 , 1 ] .

此时 , 我们称 f2 , f3 为 f1 的延拓 , 确切地说 , f2 , f3 是 f1 到区间[ - 1 , 1] 上的延

拓 . f2 是 f1 的偶延拓 ,而 f3 是 f1 的奇延拓 .显然 , 一个函数可以延拓为许多不

同的函数 ,保留函数某种性质的延拓是项很重要的工作 , 因为有时需要了解这

种性质是否能在更大的范围内被保持 , 当然 , 这种延拓并不一定总是可行的 ,

例如复变函数中的解析延拓就是这样 .使函数具有某种性质的延拓是微积分

中常用的办法 .与延拓相反的概念是限制 :称 f1 为 f2 , f3 在区间[ 0 , 1] 上的限

制 ,如果限制在[ 0 , 1] 上 , 则 f1 与 f2 , f3 是相等的 .

我们通过对基本初等函数的认识以及它们之间的四则运算和复合运算认

识了初等函数 ,沿着这个方法可以从有限个函数达到一类无限个函数 , 例如只

要确定基本初等函数在其定义域内连续 , 就可以得到初等函数也在其定义域

内连续 ,然而许多函数是非初等函数 , 它们不能通过基本初等函数的有限次四

则运算和复合运算得到 .有些非初等函数可以用积分形式 ( 我们称不定积分积

不出来 ) 或者方程形式表示 , 有些则可用后文将介绍的级数来表示 .分段函

数 ,即用解析式分段表示的函数则又是一类函数 , 一般地 ,它是非初等函数 , 但

也有例外的情形 .最简单的分段函数恐怕就是如下定义的阶梯函数 .

定义 2.1 在区间[ a , b] 上定义的函数 I( t ) 称为阶梯函数 , 如果在 [ a ,

b] 上存在一个分划 { x0 , x1 , ⋯ , xn } , 即

a = x0 < x1 < ⋯ < xn - 1 < x n = b,

使得函数 I( t) 在这 n 个子区间 ( xk - 1 , xk ) 内及端点处分别为常数 ,如图 2 - 2 ,

I ( t ) =ck , x ∈ ( x k - 1 , xk ) ,

dk , x = x k ,

k = 1 , 2 , ⋯ , n

k = 0 , 1 , ⋯ , n( 2 - 2)

在阶梯函数定义中要特别强调的是阶梯函数对应的分划 x ini = 0 不要求

图 2 - 2

是唯一的 ,而只要求存在分划 x ini = 0 使得有 (2 - 2 ) 的解析表示形式就行了 ,

例如在分划 x ini = 0 中插一些新分点 , 得到新的分划 , 对于这个新分划 , 也有

(2 - 2) 这样的解析表示形式 .反过来 , 我们也可以将具有相同函数值的相邻

小区间合并起来 .

阶梯函数有一些重要性质 :

(1 ) 阶梯函数是逐段连续函数 , 也就是除有限个第一类间断点外连续的

·13·2.1 函数的概念

函数 ;

(2 ) 阶梯函数关于四则运算 , 复合运算封闭 , 也就是阶梯函数四则运算

(除法运算要求分母不等于零 ) ,复合运算仍为阶梯函数 ( 请读者验证 ) ;

(3 ) 许多函数可以用阶梯函数来逼近 ( 这将在本章最后一节介绍 )

阶梯函数是一种常见的函数 .还有一类由分段函数引伸出来的重要函数

类 ——— 阶跃函数 , 它的定义将在本章最后一节给出 .

2.2 函数极限

2.2.1 函数极限的定义

本节要在严密的逻辑下再论函数的极限 , 使我们对函数极限的认识更深

入 ,并使我们直观下学到的极限及其基本性质能建立在牢固的逻辑基础之上 .

函数极限问题是研究当自变量 x 无限变大或趋于某个有限点 x0 时 , 函数

值 f ( x ) 相应的变化趋势 .在我们所研究的函数中 , 假设自变量 x 总是可以连

续变化的 .

设 x0 为一有限点 ,那么 x 趋于 x0 有三种方式 :

(1 ) x → x+0 , 即 x 大于 x0 趋于 x0 ;

(2 ) x → x-0 , 即 x 小于 x0 趋于 x0 ;

(3 ) x → x0 ,即以任意方式趋于 x0 ,可忽而大于 x0 , 忽而小于 x0 地趋于

x0 , 这种情形包含了前两种情形 .

第一种方式 , 由 0 < x - x0 任意小表示 ; 第二种方式 ,由 0 < x0 - x 任意

小表示 ;第三种方式则由 0 < x - x0 任意小表示 .

我们说当 x → x0 时 , f ( x ) 趋于常数 a( 记为 f ( x ) → a( x → x0 ) ) , 也就

是 f ( x ) 与 a 之间的距离 f ( x ) - a 可以任意小 , 但这个“可以任意小”要通

过 x 朝 x0 的趋向来实现 ,体现了极限因果关系上的动态 , 同时要求 f ( x ) 趋向

a的“一致性”, 即 f ( x ) - a 的任意小 ,只要 x 与 x0 充分接近就行 , 而且所有

与 x0 充分接近的 x , 都要使 f ( x ) - a 可任意小 .

定义 2.2 设 f ( x ) 在 x0 的某个去心邻域内有定义 .当 x → x0 时函数

f ( x ) 以常数 a 为极限 ,记为

limx→ x

0

f ( x ) = a,

如果 "ε> 0 , v δ> 0 ,使当 0 < x - x0 < δ时 , 恒有

f ( x ) - a < ε . ( 2 - 3)

定义中的 δ由ε确定 , 一般可按定义中 ε - δ的关系求得 .不等式

·23· 第 2 章 数值函数、极限和连续函数

0 < x - x0 < δ表示一个以 x0 为中心 ,δ为半径 ,去掉中心的开区间 ; 之所

以“去心”,是因为极限要弄清的是当 x (≠ x0 ) 趋于 x0 时 f ( x ) 的趋势 ,而不

等式 ( 2 - 3 ) 式表明 f ( x ) 趋于 a ,所以这种趋势自然与 f ( x ) 在 x0 处有无定

义或取值多少无关 .例如 , f ( x ) =x

2- 1

x - 1在 x = 1 处无定义 , 但 x → 1 时 , 它

的变化趋势是存在的 ,并与 g( x ) = x + 1 的趋势相同 , 都趋于 2 .

limx→ x

-0

f ( x ) = a 称为 f ( x ) 当 x → x-

0 时的左极限 , 即 x 从点 x0 的左边趋

于 x0 时 f ( x ) 的极限 ,记为 f ( x0 - 0 ) ; limx→ x

+

0

f ( x ) = b称为 f ( x ) 当 x → x+0 时

的右极限 ,即 x 从点 x0 的右边趋于 x0 时 f ( x ) 的极限 , 记为 f ( x0 + 0 ) .读者

不难模仿定义 2 .2 给出这两个极限的定义 .必须指出 :

limx→ x

0

f ( x ) = a �� limx→ x

+0

f ( x ) = limx→ x

-0

f ( x ) = a , ( 2 - 4)

即函数在某点处的极限存在当且仅当它在此点处的左右极限存在而且相等 .

limx→ x

0

f ( x ) = a的几何意义是 : 对任意给定ε> 0 , 总存在 x0 的某个去心邻

域 , 在其内 f ( x ) 所对应的图形夹在两条直线 y = a +ε与 y = a - ε之间 .见

图 2 - 3 .

图 2 - 3

自变量 x 趋于无穷的方式也有三种 :

(1 ) x →+ ∞ ,即 x 取正值无限变大 ;

(2 ) x → - ∞ ,即 x 取负值而绝对值无限变大 ;

(3 ) x → ∞ ,即 x 无限变大 , 这种情形包括了前两种情形 .

我们说当 x → ∞ 时 , f ( x ) 趋于常数 a( 记为 f ( x ) → a( x → ∞ ) ) , 也就

是说 , f ( x ) 与 a 之间的距离即 f ( x ) - a 可以小于任意事先给定的正常数

ε, 只要 x 大于某个正常数 N0 .读者可以把下列函数极限的定义和前面的序

列极限的定义加以对照 .

定义 2.3 当 x → ∞ 时 ,函数 f ( x ) 以常数 a 为极限 , 记为

·33·2.2 函数极限

limx→ ∞

f ( x ) = a ,

如果 "ε> 0 , v N 0 > 0 ,使当 x > N 0 时 ,恒有

f ( x ) - a < ε . ( 2 - 5)

因为定义中的不等式可写为 - N0 > x 或 x > N0 以及

a - ε< f ( x ) < a + ε,

所以极限的几何意义就如图 2 - 4 所示 ,即当 - N0 > x 或 x > N0 时 , f ( x ) 的

图形都夹在两条直线 y = a + ε和 y = a - ε之间 .

图 2 - 4

注 定义中的 N0 是由ε来确定的 ,它可按定义中ε - N0 的逻辑关系求

得 .由ε选定 N0 时 ,只要所有满足 x > N0 的 x 都能满足定义的要求 , 因此

极限与 f ( x ) 在有穷区间上的函数值无关 .

limx→ +∞

f ( x ) = a 与 limx→ - ∞

f ( x ) = a 的定义 , 留给读者叙述 .必须指出 :

limx→ ∞

f ( x ) = a �� limx→ +∞

f ( x ) = limx→ - ∞

f ( x ) = a . ( 2 - 6)

该结论的证明可以直接从定义出发 .

x → ∞ 就是 x 在实轴上向两头无限地离开原点 .这种情形给人感觉与 x

→ x0 有很大的区别 ,例如它就无法用距离来刻画这种趋向 .其实我们可以将

∞ 处理为常点 , 也就是进行实轴的单点紧致化 .明显 , 实轴不是紧致的 , 直观

上看就是两头开放 ,用严格的数学语言来说就是实轴不具有有限覆盖性质 .如

何将实轴单点紧致化呢 ?考察图 2 - 5 .

设过单位圆周圆心的直线为实轴 R,坐标原点设在单位圆心上 .设 P 为北

极点 .实轴上的点 x 与 P 连线与单位圆周有唯一的交点 z , 让 x 与 z 对应得到

单位圆周上的点除 P 点外与实轴上的点一一对应 , 再让 P 与 ∞ 对应 . x 与 x0

间的距离可设定为对应点 z 与 z0 连线的长度 , 记为 | z z0 | .显然 x → x0 当且

仅当沿着圆周 z → z0 ,并且

| x - x0 | → 0� | z z0 |→ 0 .

重要的是 x → ∞� | zP | → 0 .这些通过图 2 - 5 很容易理解 .

{ x∶| x | > M} 为 ∞ 的去心邻域 , 因该集合对应于一个集合 { z : 0 <

·43· 第 2 章 数值函数、极限和连续函数

图 2 - 5

| zP | < ε} , 它为 P 的一个去心领域 .

下面以几个例子说明如何用定义验证函数的极限 .

例 1 用定义验证 limx→ ∞

sin xx

= 0 .

证 因sin x

x- 0 <

1x

, 故 "ε> 0 , 可取 N0 =1ε

,则当 x > N 0

时 ,恒有sin x

x- 0 < ε, 因此 lim

x→ ∞

sin xx

= 0 .

例 2 用定义验证limx→2

x2

= 4 .

证 " ε> 0 ,欲使当 x - 2 很小时 ,

x2

- 4 = x - 2 x + 2 < ε .

设 x - 2 < 1 , 即 1 < x < 3 .这个设置是可行的 , 因为我们只需考虑当 x -

2 很小时 x2的趋势 .这样

x2

- 4 = x - 2 x + 2 < 5 x - 2 .

于是可取 δ= minε5

,1 .当 0 < x - 2 < δ时 ,同时有 x - 2 < 1 及 x2

- 4 < ε .因此 , limx→2

x2 = 4 .

例 3 用定义验证

limx→ ∞

x2

+ xx

2- x - 1

= 1 .

证 任意给定ε> 0 , 考察不等式

x2

+ xx

2- x - 1

- 1 < ε . ( 2 - 7)

因当 | x | 充分大时 ,有

x2

+ xx

2- x - 1

- 1

=2 x + 1

x2

- x - 1

·53·2.2 函数极限

≤2 | x | + 1

| x | 2 - | x | - 1.

要使 (2 - 7) 成立 , 只要上面不等式最后一项小于ε,但由此不等式解 | x | 的

变化范围仍不方便 , 因此将上面不等式最后一项再作放大 .当 | x |≥ 4 时 ,有

2 | x | + 1| x |

2- | x | - 1

<3 | x |12

| x |2

= 61

| x |. ( 2 - 8)

让6

| x |< ε, 即 | x | >

6ε

.这样取 M = max{6ε

, 4 } ,那么当 | x | > M 时 (2

- 7) 成立 .由定义 2 .3 结论得证 .

例 4 用定义验证

limx→ 0

1 + x - 1 - xx

= 1 .

证 由于 x → 0 ,我们将 x 限于范围 -12

< x <12

.这样

1 + x - 1 - xx

- 1 =2

1 + x + 1 - x- 1

=2 - 1 + x - 1 - x

1 + x + 1 - x

(由于 1 + x >12

, 1 - x >12

)

< 1 + x - 1 + 1 - 1 - x

=| x |

1 + 1 + x+

| x |

1 + 1 - x

< 2 | x | .

因此 "ε> 0 ,取

δ= min12

,ε2

,

当 0 < | x | < δ时 ,有

1 + x - 1 - xx

- 1 < ε .

由定义结论得证 .

由ε求 N0 或δ,有许多技巧 .直接从不等式 (2 - 3 ) 和 (2 - 5 ) 来求一般是

困难的 ,通常将它作适当的放大 .例如寻求常数 k 使 f ( x ) - a < k x -

x0 , 这样就比较容易由ε求δ .

现将当 x → x0 时 f ( x ) 不以常数 a为极限的定义 , 即“以 a 为极限”的否

命题叙述如下 :

·63· 第 2 章 数值函数、极限和连续函数

v ε0 > 0 , " δ> 0 , 总有 xδ 满足 0 < | xδ - x0 | < δ,使得

| f ( xδ) - a | ≥ε0 .

当 x → x0 时函数 f ( x ) 的极限不存在 , 有以下三种情形 :

(1 ) 左、右极限均存在但不相等 ;

(2 ) 有界振荡或无界振荡 .例如 :当 x → 0 时 sin1x与当 x → ∞ 时 sin x

为有界振荡 ;而当 x → 0 时1x

sin1x为无界振荡 .这三种振荡都是连续曲线的

振荡 .读者也可以找到离散的振荡 , 例如考察 Dirichlet 函数 .

(3 ) f ( x ) 无限变大 ,这就是所谓的无穷大量 .因为无穷大不能视为普通

的数 ,所以此时也称没有极限 .

在自变量的某个变化过程中 ,函数有两种特殊趋势形式 , 一种是无穷小量

也就是以 0 为极限的量 ;另一种就是无穷大量 .

定义 2.4 当 x → x0 ( x → ∞ ) 时函数 f ( x ) 称为无穷大量 ( 简称无穷

大) ,如果 limx→ x

0

f ( x ) = ∞ ( limx→ ∞

f ( x ) = ∞ ) , 即 " M > 0 , v δ > 0 , 使得当 0

< x - x0 < δ时恒有 f ( x ) > M , ( " M > 0 , v N0 > 0 , 使得当 x >

N0 时恒有 f ( x ) > M ) .

注 1) 无穷小量和无穷大量首先都是函数 , 除此之外 , 还加上了对于自

变量的某个变化过程而言的信息 .例如 : 当 x → 0 时函数 f ( x ) 为无穷小 , 但当

x → x0 (≠ 0) 时 f ( x ) 就不一定是无穷小量了 .

2) 可以给出无穷小的ε - δ定义 , 从而导出有关无穷小基本性质的严密

证明 .这样 , 由这些性质导出的极限的一些性质 , 如极限的四则运算法则等就

得到了证明 .读者可以完成函数极限四则运算的证明 , 正如数列的情形那样 .

无穷小与无穷大有如下关系 :

定理 2.1 如果在 x0 的某个去心邻域中 , f ( x ) ≠ 0 , 则当 x → x0 时 ,

f ( x ) → 0 ��1

f ( x )→ ∞ ,

即无穷小量与无穷大量互为倒数 .

证 必要性 : " M > 0 ,取ε=1M

.因 limx→ x

0

f ( x ) = 0 , 所以存在δ> 0 , 使

当 0 < x - x0 < δ时 , 恒有 f ( x ) < ε=1M

, 从而1

f ( x )> M , 即

f ( x ) → ∞ ( x → x0 ) .

充分性留给读者证明 .

当 f ( x ) → 0 推出1

f ( x )→∞ 时 , 定理 2 .1 中的条件 f ( x ) ≠ 0 是必要的 .

·73·2.2 函数极限

例如 f ( x ) = xsin1x

→ 0( x → 0) ,但

1f ( x )

=1

xsin1x

在 x = 0 的任意小去心邻域内都有无定义的点 , 从而不能考虑 x → 0 时的极

限 .

然而1

f ( x )→ ∞ 自然有

1f ( x )

≠ 0 .

2.2.2 函数极限的一些性质

函数极限有与数列极限相类似的性质 ,而且它们的证明也类似 , 只需在语

言上作些适当的修改 .因此我们只列出这些性质并适当作些说明 , 详细证明请

读者自行完成 .

性质 1 若当 x → x0 ( x → ∞ ) 时 f ( x ) → a , g ( x ) → b ,且 a > b , 则

v δ> 0( N0 > 0) , 使 当 0 < x - x0 < δ( x > N 0 ) 时 恒 有

f ( x ) > g( x ) .

作为性质 1 的一个应用 ,我们来解答如下例子 .

例 5 若 limx→ x

0

f ( x ) = a , limx→ x

0

g( x) = b, 试证

limx→ x

0

min{ f ( x ) , g( x ) } = min{ a , b} .

证 当 a≠ b时 ,无妨设 a > b, 由性质 1 , 存在δ0 > 0使当 0 < x - x0

< δ0 时 , f ( x ) > g( x ) , 从而

min{ f ( x ) , g( x ) } = g( x) → b = min{ a , b} ( x → x0 ) .

当 a = b 时 , "ε> 0 , v δ> 0 ,使当 0 < x - x0 < δ时 , 均有

a - ε< f ( x) < a + ε a - ε< g( x) < a + ε

从而

a - ε< min { f ( x ) , g( x ) } < a + ε,

得

min{ f ( x ) , g( x ) } → a( x → x0 ) .

性质 2 若当 x → x0 ( x → ∞ ) 时 f ( x ) → a , g( x) → b, 且 v δ > 0

( N0 > 0 ) , 使当 0 < x - x0 < δ( x > N0 ) 时恒有 f ( x ) ≥ g( x ) , 则

a ≥ b .

性质 2 可由性质 1 通过反证法证得 , 但必须注意 : 即使假设 f ( x ) >

g( x) ,结论 a ≥ b 一般也不可改为 a > b .例如 , 2 x > x ( x ≠ 0) , 但

limx→0

2 x = limx→0

x = 0 .

·83· 第 2 章 数值函数、极限和连续函数

性质 3 若当 x → x0 ( x → ∞ ) 时 f ( x ) 的极限存在 ,则其极限值唯一 .

性质 3 可通过反证法证得 .假设 f ( x ) 有两个不同的极限 a和 b ,并设 a >

b, 那么由性质 1 ,存在 x 使 f ( x ) > f ( x ) , 矛盾 .

性质 4 若当 x → x0 ( x → ∞ ) 时 f ( x ) → a , 则 f ( x ) 在 x0 的某个去心

邻域内 ( x 充分大时 ) 有界 , 即 v M > 0 和 v δ > 0( N0 > 0 ) , 使当 0 <

x - x0 < δ( x > N0 ) 时 ,恒有 f ( x ) ≤ M .

这是因为 ,例如 , 由条件 , v δ> 0 ,使当 0 < x - x0 < δ时 , 总有

f ( x ) - a < 1 ,

即 f ( x ) < 1 + a .

定理 2.2 limx→ x

0

f ( x ) = a 当且仅当对任一收敛于 x0 的数列 { xn } ( x n ≠

x0 , n = 1 , 2 , ⋯ ) 所对应的数列{ f ( xn ) } 都收敛于 a ,即 limn→∞

f ( x n ) = a .

证 必要性 .因为 limx→ x

0

f ( x ) = a ,所以 "ε> 0 , v δ> 0 , 使当 0 < x -

x0 < δ时恒有

f ( x ) - a < ε .

又因 n → ∞ 时 xn → x0 而且 xn ≠ x0 , n = 1 , 2 ,⋯ , 故对上述的δ> 0 ,

v N0 > 0 , 使当 n > N0 时 ,有 0 < xn - x0 < δ,从而

f ( x n ) - a < ε,

这样 limn→ ∞

f ( xn ) = a .

充分性 .用反证法 ,假设 limx→ x

0

f ( x ) ≠ a , 于是v ε0 > 0 , " δ> 0 , 总能找到

满足 0 < x - x0 < δ的 x ,使 f ( x ) - a > ε0 .

依次取δ =1n

( n = 1 , 2 ,⋯ ) ,相应得到 { x n } ( xn ≠ x0 , n = 1 , 2 , ⋯ ) , 使

0 < x n - x0 <1n及 f ( xn ) - a > ε0 .因此 , 数列 xn → x0 但有

f ( xn ) - a > ε0 , n = 1 ,2 ,⋯ ,

即 limn→ ∞

f ( xn ) ≠ a , 矛盾 .

定理 2 .2 对 x → ∞ 的情形也成立 .

我们已知 ,“当 x → x0 ( x →∞ ) 时 f ( x ) → a”是指当 x 以任何方式趋于

x0 ( ∞ ) 时 , f ( x ) 均以 a为极限 .定理 2 .2 告诉我们 , x 以任何数列的方式趋于

x0 ( ∞ ) 就足以刻画这种任意性了 .这个定理对判定极限不存在是可操作的 .

例如 , 只要能找到一个以 x0 为极限的数列 { xn } , 使得数列{ f ( x n ) } 没有极限 ,

或者能找到两个都以 x0 为极限的不同数列 , 使得相应的两个函数值数列有不

同的极限 ,就可断定函数极限不存在 .请看下面的例子 :

·93·2.2 函数极限

对 f ( x ) = sin x , 当 n → ∞ 时 , f ( nπ) = sin nπ→ 0 ,而

f 2 nπ+π2

= sin 2 nπ+π2

→ 1 ,

所以当 x → ∞ 时 f ( x ) = sin x 无极限 .

与数列极限一样 ,也有函数极限存在的 Cauchy 判别准则 .

定理 2 .3 当 x → x0 ( x →∞ ) 时 f ( x ) 有极限当且仅当 "ε> 0 , v δ>

0( v N0 > 0) ,使对任意满足不等式

0 < x′- x0 < δ, 0 < x″- x0 < δ

x′ > N0 , x″ > N0 的 x′和 x″, 都有

f ( x′) - f ( x″) < ε .

证 必要性 .设当 x → x0 时 f ( x ) 有极限 a ,那么 "ε> 0 , v δ> 0 , 使

" x′, x″满足

0 < x′- x0 < δ, 0 < x″- x0 < δ,

有 f ( x′) - a <ε2

及 f ( x″) - a <ε2

,从而

f ( x′) - f ( x″) ≤ f ( x′) - a + f ( x″) - a < ε .

充分性 .取数列{ xn } 使 xn → x0 ( n → ∞ ) 而且 xn ≠ x0 , n = 1 ,2 ,⋯ , 因

此对已知条件中的δ, v N > 0 使 " m , n > N 都有

0 < xn - x0 < δ及 0 < xm - x0 < δ,

从而 f ( x m ) - f ( xn ) < ε .于是{ f ( xn ) } 是 Cauchy序列 .由数列的 Cauchy收

敛准则 , { f ( xn ) } 有极限 .设 limn→ ∞

f ( xn ) = a ,因此 v N1 > 0 , 使当 n > N1 时 ,

有

f ( x n ) - a < ε .

取 N*

> max { N , N1 } , 于是

f ( xN* ) - a < ε而且 0 < xN

* - x0 < δ .

" x ∈ B0 ( x0 ,δ) 即 0 < x - x0 < δ, 根据已知条件有

f ( x ) - f ( xN* ) < ε,

因此 ,

f ( x ) - a ≤ f ( x N* ) - a + f ( x ) - f ( xN

* ) < 2ε .

这就证明了当 x → x0 时 f ( x ) → a .

注 函数极限的Cauchy准则成立也是由实数的完备性来保证的 .Cauchy

准则很有用 ,它从 f ( x ) 本身来判定极限是否存在 ,但它并没有告诉我们极限

值是多少 .一般在判定了 f ( x ) 的极限存在之后 , 可以选一个合适的数列

{ xn } , 通过计算{ f ( xn ) } 来确定极限的近似值 .

·04· 第 2 章 数值函数、极限和连续函数

类似于定理 2 .2 ,我们有结论 : 当 x → x0 时 f ( x ) 有极限当且仅当对任意

数列{ xn } 使 x n → x0 总有{ f ( xn ) } 为 Cauchy 列 .必要性由定理 2 .2 保证 ,而

充分性可以从 Canchy准则推出 .现在我们来推导一下 .取一数列{珘xn } 使珘x n →

x0 ( n → ∞ ) , 则{ f (珘xn ) } 为 Cauchy 列 .由 Cauchy 准则 , 有 f (珘x n ) → a( n →

∞ ) .现在对任意一个数列{ xn } 使 x n → x0 , 那么可构造一个新数列{ yn } :

y2 n = x n , y2 n - 1 = 珘x n ,

当然 yn → x0 ,则{ f ( yn ) } 是 Cauchy 列 ,从而有极限 , 显然

linn→∞

f ( x n ) = limn→ ∞

f (珘xn ) = a ,

这样可以用定理 2 .2 得到当 x → x0 时 f ( x ) 有极限 a .

例 6 设

f ( x ) =∫x

0

sin u1 + u2 d u ,

试证极限 limx→ +∞

f ( x ) 存在 .

证 " x′, x″> 0 ,考察

f ( x′) - f ( x″) = ∫x″

x′

sin u1 + u

2 d u

≤∫x″

x′

d uu

2

=1x′

-1x″

≤1x′

+1x″

,

这样 "ε> 0 ,取 M =1

2ε,当 x′, x″> M 时 ,

1x′

+1x″

<2M

= ε,

从而

f ( x′) - f ( x″) < ε .

由 Cauchy 收敛准则 ,得极限 limx→ +∞

f ( x ) 存在 .

例 7 用 Cauchy 准则判别limx→0

sin1x不存在 .

证 取 x′n =1

2 nπ, x″n =

1

2 nπ+π2

, 计算得

sin1

x′n- sin

1x″n

= 1 ,

n = 1 ,2 ,⋯ .那么对ε0 =12

, " δ> 0 ,可取 n >1

2πδ, 从而有 0 < x′n < δ,

·14·2.2 函数极限

0 < x″n < δ, 但

sin1

x′n- sin

1x″n

= 1 > ε0 =12

,

故由 Cauchy 准则 , limx→ 0

sin1x不存在 .

上面的例子给出了用 Cauchy 准则表示函数无极限的方式 ,读者可以把它

具体地写出来 .

与数列极限一样 ,也有夹逼定理 , 其证明也类似 .

定理 2 .4 如果 limx→ x

0

f ( x ) = a , limx→ x

0

g( x ) = a , 而且 v δ0 > 0 使对

" x 满足 0 < x - x0 < δ0 , 有

f ( x ) ≤ h( x ) ≤ g( x) ,

则 limx→ x

0

h ( x) = a .

现在我们来严格地建立复合函数的极限 .

定理2 .5 ( 复合函数的极限 ) 设函数 u = g( x) 在 x0 的某个去心邻域上

有定义 , limx→ x

0

g( x) = u0 且 g( x) ≠ u0 ;又设函数 y = f ( u) 在 u0 的某个去心

邻域上有定义 , limu→ u

0

f ( u) = A , 则有

limx→ x

0

f ( g( x ) ) = A .

证 因为 limu→ u

0

f ( u) = A , 所以 "ε> 0 , v η> 0 ,使当 0 < u - u0 <

η时 , 有

f ( u) - A < ε .

又因为 limx→ x

0

g( x ) = u0 且 g( x) ≠ u0 , 所以对上述 η, 存在 δ > 0 , 使当 0 <

x - x0 < δ时 , 有

0 < g( x ) - u0 < η,

从而

f ( g( x ) ) - A < ε,

定理得证 .

定理中的条件 g( x ) ≠ u0 是必须的 ,因 f ( u ) → A 是在 u ≠ u0 下当 u →

u0 时成立 .例如考虑函数

f ( u) =u

2+ 3 , u ≠ 0 ,

1 , u = 0 , g ( x ) = xsin

1x

,

显然limx→0

g( x ) = 0 且limu→0

f ( u ) = 3 .但limx→0

f ( g( x ) ) 不存在 , 因为对数列 x n =

1nπ

→ 0 , 有

·24· 第 2 章 数值函数、极限和连续函数

f ( g( xn ) ) = f ( 0) = 1 .

而数列 珘xn =1

2 nπ+π2

→ 0 ,则有

f ( g(珘xn ) ) = f1

2 nπ+π2

→ 3 ( n → ∞ ) .

以上定理对自变量 x → ∞ 的情形也成立 ,请读者把它们写出来 .

过去我们已经见过下面两个函数极限 , 并对它们在极限计算上的作用也

已有所体会 ,但并没有给出极限存在的严格证明 .

( 1) limx→0

sin xx

= 1; (2 ) limx→∞

1 +1x

x

= e . ( 2 - 9)

这里我们证明第二个重要极限 .当 x 为正整数时 , 第 1 .4 节中的例 4 已证

明了极限存在 .现用它来推导一般的情形 .对 " x > 0 , 令 n = [ x] ,则有

n = [ x] ≤ x < [ x] + 1 = n + 1 , 1 +1

n + 1< 1 +

1x

≤ 1 +1n

,

从而

1 +1

n + 1

n

< 1 +1x

x

≤ 1 +1n

n + 1

.

因为

limn→ ∞

1 +1

n + 1

n

= limn→ ∞

1 +1n

n + 1

= e ,

所以对 "ε> 0 , v N , 当 n > N 时 , 有

e - ε< 1 +1

n + 1

n

< 1 +1n

n + 1

< e + ε,

从而当 x > N + 1 时 (当然 n = [ x ] > N ) 有

1 +1x

x

- e < ε,

即 limx→ +∞

1 +1x

x

= e .再令 x = - t , 有

1 +1x

x

= 1 -1t

- t

=t

t - 1

t

= 1 +1

t - 1

t - 1

1 +1

t - 1.

又当 x → - ∞ 时 t →+ ∞ ,由复合函数的极限 (定理 2 .5) 得

limx→ - ∞

1 +1x

x

= limt →+ ∞

1 +1

t - 1

t - 1

1 +1

t - 1= e .

这样 ,左、右极限存在并相等 ,从而结论得证 .

·34·2.2 函数极限

请读者注意 ,变量替换是求极限的一个重要手段 , 在应用时要注意极限复

合运算的条件 .由变量替换 y =1x

,我们有

limy→ 0

( 1 + y)1y = lim

x→ ∞1 +

1x

x

= e .

2 .3 函数的连续性

本节讨论函数的连续性 ,主要介绍连续函数的基本性质 .

我们知道 , 函数 f ( x ) 在点 x0 处连续是利用极限来定义的 , 因此不难给出

它的“ε - δ”定义 :

"ε> 0 , v δ > 0 ,使当 x - x0 < δ时 ,恒有

f ( x ) - f ( x0 ) < ε,

则称函数 f ( x ) 在点 x0 处连续 .

有了极限的严格定义 ,再根据极限的运算法则 , 不难证明以下关于连续性

的重要结论 :

结论 1 在 x0 点连续的函数 ,四则运算之后仍在此点处连续 , 只是除法

要除去分母为零的点 .

结论 2 设 f ( x ) 在 x0 点连续 , f ( x0 ) = a ,且 g( u ) 在点 u = a处连续 ,

则复合函数 g( f ( x ) ) 在点 x0 处连续 , 且

limx→ x

0

g f ( x ) = g limx→ x

0

f ( x ) = g f ( x0 ) .

这可由复合函数的极限 (定理 2 .5) 及连续的定义得到 .注意在结论 2 中

不需要有条件在 x0 的某去心邻域内 f ( x ) ≠ f ( x0 ) ,比较定理 2 .5 ,为什么呢 ?

结论 3 基本初等函数从而初等函数在定义域内任一点处都连续 .

作为例子 ,我们证明两个基本初等函数的连续性 , 其余函数的连续性请读

者自己验证 .

例 8 证明 : sin x 在实轴上处处连续 .

证 " x0 ∈ R ,因为

0 ≤ sin x - sin x0 = 2 cosx + x0

2sin

x - x0

2

≤ 2x - x0

2

= x - x0 ,

所以由夹逼定理 (定理 2 .4 ) , limx→ x

0

sin x = sin x0 .

·44· 第 2 章 数值函数、极限和连续函数

例 9 证明 : ln x 在 (0 , + ∞ ) 上处处连续 .

证 " x0 ∈ (0 , + ∞ ) , 有

ln x - ln x0 = ln 1 +x - x0

x0.

由重要极限

limx→ x

0

1 +x - x0

x0

x0

x - x0

= e ,

v δ0 > 0 ,使得当 x - x0 < δ0 时有

1 < e - 1 < 1 +x - x0

x0

x0

x - x0

< e + 1 < e2

.

取对数得

ln x - ln x0 = ln 1 +x - x0

x0≤ 2

x - x0

x0,

因此对 "ε> 0 ,取 δ= min δ0 ,x0ε2

, 当 x - x0 < δ时 ,就有

ln x - ln x0 < ε .

证毕 .

结论 4 limx→ x

0

f ( x ) = f ( x0 ) 当且仅当对任何点列 { xn } , xn → x0 ( n →

∞ ) , 有 limn→ ∞

f ( xn ) = f ( x0 ) .

通过过去的学习 ,我们已经直观地认识了 C[ a , b] 中的元素 , 即有界闭区

间上的连续函数的几条重要性质 ,下面给出它们的证明 .

定理2 .6 ( 有界性与最大、最小值定理 ) 若 f ∈ C[ a , b] , 则 f ( x ) 在区

间[ a , b] 上有界 , 而且能取到最大、最小值 .

证 用反证法 , 假设 f ( x ) 在[ a , b] 上无界 , 则对 " n ∈N *, v xn ∈ [ a ,

b] ,使 f ( xn ) > n .从有界数列 { x n } 中可取出一个收敛的子列 xnk→ x0 ∈

[ a , b] .那么 ,因 f ( x ) 在 x0 处连续 , 所以当 k → ∞ 时 , f ( xnk) → f ( x0 ) ; 但另

一方面 ,又有

f ( x nk) > nk →+ ∞ ( k →+ ∞ ) ,

矛盾 .故 f ( x ) 在[ a , b] 上有界 .

设

M = supa≤ x≤ b

f ( x )

= sup{ f ( x )∶ a ≤ x ≤ b} < + ∞ ,

·54·2 .3 函数的连续性

由上确界定义 , " m ∈ N *, v xm ∈ [ a, b] ,使

M -1m

< f( x m ) ≤ M ,

从而由夹逼定理 , limm→ ∞

f ( xm ) = M .从数列{ xm } 中可抽取一个收敛的子列 x mk

→ x0 ∈ [ a , b] ,于是由连续性 , limk→∞

f ( x mk) = f ( x0 ) .这样 , f ( x0 ) = M , 即

f ( x ) 在 x0 处取到最大值 .同理可证 f ( x ) 在区间 [ a , b] 上取到最小值 .

下面给出定理 2.6 另一个证明 : " x0 ∈ [ a , b] ,有

limx→ x

0

f ( x ) = f ( x0 ) .

由第 2 .2 .2 节中极限基本性质 4 , 存在 x0 的一个邻域 U( x0 ) = ( x0 - δx0, x0

+ δx0) ,在其上 f ( x ) 有界 ,即有 M x

0> 0 使得

| f ( x ) |≤ M x0, " x ∈ U ( x0 ) .

显然{ U( x0 ) : x0 ∈ [ a , b] } 为[ a , b] 的一个开覆盖 .由有限覆盖定理 , 存在有

限子覆盖

{ U( x i ) : x i ∈ [ a , b] , 1 ≤ i ≤ m} .

置

M = max{ M xi: 1 ≤ i ≤ m } ,

" x ∈ [ a , b] ,有 x i0使得 x ∈ U( x i

0) ,从而

| f ( x ) |≤ M xi0

≤ M ,

证得 f ( x ) 有界 .

设

m = infa≤ x≤ b

f ( x )

= inf{ f ( x ) : a ≤ x ≤ b} < + ∞ .

假设 f ( x ) 在[ a , b] 内取不到最小值 ,那么

f ( x ) > m , " x ∈ [ a , b] ,

从而

1f ( x ) - m

∈ C[ a , b] .

由前一段的结论 ,1

f ( x ) - m有界 ,即有 μ> 0 使得

0 <1

f ( x ) - m< μ,

从而

f ( x ) > m +1μ

, " x ∈ [ a, b] .

·64· 第 2 章 数值函数、极限和连续函数

这与 m 为下确界相矛盾 .这样 f ( x ) 在 [ a , b] 上可取到最小值 , 同理可证

f ( x ) 在 [ a , b] 上也能取到最大值 .定理证毕 .

定理 2 .7 (连续函数介值定理 ) 设 f ∈ C[ a , b] ,μ是介于 f ( a) 与 f ( b)

之间的任意一个数 ,则存在ξ∈ ( a , b) ,使 f (ξ) = μ .

证 令 F( x) = f ( x ) - μ, 则 F ∈ C[ a, b] .我们只须证明 : 存在ξ∈

( a , b) ,使 F(ξ) = 0 .由条件 , 有 F( a) F( b) < 0 .不妨设 F( a) < 0 , F( b) >

0 .如果 Fa + b

2= 0 , 则取ξ=

a + b2

, 定理得证 ;如果 Fa + b

2≠ 0 , 则将

[ a , b] 二等分 , 必有一个子区间 ,设为[ a1 , b1 ] , 使 F( a1 ) < 0 , F( b1 ) > 0 .如

果 Fa1 + b1

2≠ 0 , 再将 [ a1 , b1 ] 二等分 ; 如此继续下去 , 得到一个区间套

[ an , bn ] , 使得 bn - an → 0 ( n → ∞ ) ,且 F( an ) < 0 , F( bn ) > 0 .由区间套定

理 , v ξ∈ [ a , b] , 使 limn→ ∞

an = limn→∞

bn = ξ, 从而由 F( x ) 的连续性 ,有

limn→∞

F( an ) = limx→ξ

F( x) = F(ξ) ≤ 0 (因为 F( an ) < 0 ) ,

limn→∞

F( bn ) = limx→ξ

F( x ) = F(ξ) ≥ 0 (因为 F( bn ) > 0) ,

因此 F(ξ) = 0 .定理得证 .

从定理 2.6 的证明我们已经看到了确界隐含着逼近的性质 .我们给定理

2.7 另一证明 , 进一步体现确界的逼近性质 , 下面只证情形 : f ( a) < 0 , f ( b)

> 0 ,存在 ξ使得 f (ξ) = 0 .

设

x0 = sup{ x ∈ [ a , b] : f ( x ) < 0} .

由上确界的定义 , " n ∈ N * , v xn 使得 f ( xn ) < 0 , 且

x0 ≥ xn > x0 -1n

,

得 xn → x0 , 这样

limn→∞

f ( xn ) = f ( x0 ) ≤ 0 .

显然 b > x0 ,又 " x > x0 ,有 f ( x ) > 0 ,这样

limx→ x

+

0

f ( x ) = f ( x0 ) ≥ 0 ,

由此得到 f ( x0 ) = 0 , 证毕 .

由定理 2 .6 和 2 .7 的证明可知 , 闭区间上连续函数的性质建立在实数集

性质的基础上 , 或者说得更直观一些 , 建立在“直线是连续的”这一观念的基

础上 .

上面两个定理中 ,“闭区间”条件是不可少的 .例如 , 函数 f ( x ) =1x

∈

C( 0 , 1) ,但它是无界的 .再如函数 f ( x ) : 当 0 ≤ x < 1 时 , f ( x ) = x2

, 而 f ( 1)

·74·2 .3 函数的连续性

= - 2 . f ( x ) 在 [0 , 1 ) 上连续 , 但在 x = 1 处不左连续 .明显地 , - 1 介于 f ( 1)

与 f (0 ) 之间 ,但对任意 x ∈ [0 , 1 ] , f ( x ) ≠ - 1 .

连续函数介值定理及其证明方法是求方程根的一种途径 .由以上两个定

理 ,可知 " f ∈ C[ a , b] ,有 f ( [ a , b] ) = [α,β] , 其中

α= min{ f ( x ) : a ≤ x ≤ b} ,β= max{ f ( x ) : a ≤ x ≤ b} .

这是连续函数的一个重要性质 ,即它将有界闭区间映为有界闭区间 , 但对应可

能是多对一的 ;开区间 ( a , b) 上的连续函数 f ( x ) 可以将 ( a , b) 映为闭区间 ,

当 f ( x ) 在 ( a , b) 内取到最大、小值时这种情况就会发生 ; f ( x ) 也可以将 ( a ,

b) 映为开区间或半开半闭区间 , 请读者试着举出例子出来 ,并总结规律 .

定理 2 .8 设 f ∈ C[ a , b] 且严格单调 , 则 f : [ a , b] → [α,β] 是一一对

应的 ,其中 ,α= min{ f ( x ) : a ≤ x ≤ b} ,β= max{ f ( x ) : a ≤ x ≤ b} , 而且

反函数 f- 1

∈ C[α,β] , 它也具有与 f ( x ) 相同的严格单调性 .反之 , f ∈ C[ a ,

b] 有反函数 , 则 f ( x ) 在 [ a , b] 上是严格单调的 .

证 由前面的讨论已知 f : [ a , b] → [α,β] .对于任意 x1 , x2 ∈ [ a , b] ,

若 f ( x1 ) = f ( x2 ) , 则由严格单调性 , x1 不能大于也不能小于 x2 , 故 x1 = x2 ,

从而 f 是一一对应的 , f 具有反函数 .下面以 f 严格单调递增的情形来证明定

理的其余结论 .令 y = f - 1 ( x ) : [α,β] → [ a , b] .对于任意 x1 , x2 ∈ [α,β] , x1

< x2 ,有

x1 = f f- 1

( x1 ) < f f- 1

( x2 ) = x2 .

由严格单调增 , 必有 f- 1

( x1 ) < f- 1

( x2 ) , 所以 y = f- 1

( x ) 也是严格单调递增

的 .

现证明 f- 1

∈ C[α,β] ." x0 ∈ [α,β] , 令 y0 = f- 1

( x0 ) ∈ [ a , b] , 即

x0 = f ( y0 ) .明显地 , 由严格单调性 ,如下等价命题成立 :

" ε> 0 , f- 1

( x ) - f- 1

( x0 ) < ε,

即 y0 - ε< y < y0 + ε成立 ,当且仅当

f ( y0 - ε) < f ( y ) < f ( y0 + ε) .

等价变形为

- f ( y0 ) - f ( y0 - ε) < f ( y ) - f ( y0 ) < f ( y0 + ε) - f ( y0 ) ,

于是 ,取

δ= min f ( y0 ) - f ( y0 - ε) , f ( y0 + ε) - f ( y0 ) > 0 ,

当 x - x0 = f ( y) - f ( y0 ) < δ时 , 就有

f- 1

( x ) - f- 1

( x0 ) < ε .

接下来证明的是如果 f ∈ C[ a , b] 有反函数 ,则 f 严格单调 .不妨设 f ( a)

< f ( b) . " x1 , x2 ∈ [ a , b] , x1 < x2 , 若 f ( x1 ) < f ( a) , 则 f ( a) 介于

·84· 第 2 章 数值函数、极限和连续函数

f ( x1 ) 与 f ( b) 之间 ,由介值定理 , 存在ξ∈ ( x1 , b) 使得 f (ξ) = f ( a) ,矛盾 .

同理 f ( x2 ) 不能小于 f ( a) .若 f ( x2 ) 介于 f ( x1 ) 与 f ( a) 之间 ,由介值定理 ,

也可导出矛盾 .这样

f ( x1 ) < f ( x2 ) ,

得 f ( x ) 严格单调增 .

有了反函数的连续性 ,我们可以讨论反函数的导数 .

定理2 .9 设 f ( x ) 在 x0 的某邻域内连续且严格单调 .若 f ( x ) 在 x0 处

可导且导数不为零 ,则其反函数 x = φ( y) 在 y0 = f ( x0 ) 处可导 ,而且

φ′( y0 ) =1

f′( x0 ).

证 给 y0 一个增量Δy ,令

Δx = φ( y0 + Δy) - φ( y0 ) ,

则

Δy = f ( x0 +Δ x) - f ( x0 ) .

由于Δy ≠ 0 可知Δx ≠ 0 .由定理 2 .8 ,φ( y ) 在 y0 处连续 ,从而Δy → 0 当且

仅当Δ x → 0 .因此有

limΔ y→0

ΔxΔy

= limΔ x→ 0

ΔyΔx

- 1

= limΔ x→ 0

ΔyΔ x

- 1

= [ f′( x0 ) ] - 1 .

现在我们要引入整体连续性的概念 .

定义 2.5 称 f ( x ) 在[ a , b] 上一致连续 ,如果 "ε> 0 , v δ= δ(ε) >

0 , 使得当 x′- x″ < δ, x′, x″∈ [ a, b] 时 , 总有

f ( x′) - f ( x″) < ε .

如下定理是闭区间上的连续函数又一重要性质 , 它体现了“一致性”与紧

性的联系 .

定理 2.10 在[ a , b] 上连续的函数一定一致连续 .

证 设 f ( x ) 在[ a , b] 上连续 , 记

F( x) =

f ( a) , x ∈ ( a - 1 , a) ,

f ( x ) , x ∈ [ a, b] ,

f ( b) , x ∈ ( b, b + 1 ) ,

则 F( x) 在 ( a - 1 , b + 1 ) 内连续 . "ε> 0 , 由 Cauchy 准则 , " x ∈ ( a - 1 , b

+ 1) , v δx > 0 , 使 " x′, x″∈ ( a - 1 , b + 1) ∩ ( x - δx , x + δx ) , 恒有

F( x′) - F( x″) < ε .

取遍 ( a - 1 , b + 1 ) 上所有的点 x , 得到的开区间集

Δ = ( a - 1 , b + 1 ) ∩ x -δx

2, x +

δx

2: x ∈ ( a - 1 , b + 1)

·94·2 .3 函数的连续性

覆盖了有界闭区间[ a , b] ,根据有限覆盖定理 , 存在有限个开区间

( a - 1 , b + 1) ∩ x i -δx

i

2, x i +

δxi

2, i = 1 , ⋯ , n

覆盖了闭区间[ a , b] ,记 δ= minδx

1

2, ⋯ ,

δxn

2,则对上述ε> 0 , 存在上述 δ

> 0 (δ只与ε有关 ) ,使 " x′, x″∈ [ a, b] ,只要 x′- x″ < δ, x′, x″必同时

属于某个开区间 ( a - 1 , b + 1 ) ∩ ( x i - δxi, x i + δx

i) ,从而有

f ( x′) - f ( x″) = F( x′) - F( x″) < ε,

这就证明了 f ( x ) 在[ a , b] 上一致连续 .

我们也可以用“基本假设”来证明定理 2.10 .假设 f ( x ) 在[ a , b] 上连续 ,

但不一致连续 ,则 v ε0 > 0 , " n , 存在 x′n , x″n ∈ [ a , b] ,虽然

x′n - x″n <1n

, ①

但

f ( x′n ) - f ( x″n ) ≥ε0 . ②

由基本假设 (见第 1 .3节 ) , { x′n } 有收敛子列{ x′nk} , 记 x′n

k→ x0 ( k →∞ ) .由 ①

有 x″nk→ x0 ( k → ∞ ) ,由于 f ( x ) 在 x0 处连续 , 得

f ( x′nk) → f ( x0 ) , f ( x″n

k) → f ( x0 ) ( k → ∞ ) .

这矛盾于 ② , 这样证得 f ( x ) 在 [ a , b] 上一致连续 .

定理中的闭区间不能改为开区间 , 也就是在开区间上连续的函数不一定

是一致连续的 .我们来说明这一点 , 如果 f ( x ) 在 ( a , b) 上一致连续 , 那么对

"ε> 0 , v δ = δ(ε) > 0 , 使得当 x′- x″ < δ且 x′, x″∈ ( a , b) 时 ,有

f ( x′) - f ( x″) < ε . ③

当 0 < x′- a < δ/ 2 , 0 < x″- a < δ/ 2 , x′, x″∈ ( a , b) 时 ,有 x′

- x″ < δ, 从而③ 成立 .这样由 Cauchy 准则 , limx→ a

+f ( x ) 存在 .同理 lim

x→ b-

f ( x )

也存在 .补充 f ( x ) 在 a 和 b 处的定义分别为 f ( a + 0 ) 和 f ( b - 0) ,则 f ( x )

在[ a , b] 上连续 .因此我们得到一个结论 : f ( x ) 在 ( a, b) 上一致连续当且仅

当 f ( x ) 在 ( a , b) 上连续 ,且 f ( a + 0) 和 f ( b - 0) 存在 .

这样容易判别 sin1x在 ( 0 , 1) 上连续但不一致连续 ,而 xsin

1x在 ( 0 , 1) 上

一致连续 .

例 10 设 f ( x ) 为以 2π为周期的连续函数 .试证

g( x) =∫π

- πf ( t ) f ( x + t) d t

也是连续的 .

·05· 第 2 章 数值函数、极限和连续函数

证 " x0 ∈ ( - ∞ , + ∞ ) , f ( x ) 在[ - π - 1 + x0 ,π+ 1 + x0 ] 上一致连

续 ." ε> 0 , v δ> 0 使得当 x - x0 < δ时 , " t ∈ [ - π,π] , 有

f ( x + t ) - f ( x0 + t ) < ε .

这样

g( x) - g( x0 )

≤∫π

-πf ( t ) f ( x + t ) - f ( x0 + t) d t

< ε∫π

- πf ( t ) d t .

这证明了 g( x) 在 x0 处连续 .

2 .4 函数列的一致收敛性和阶跃函数

本节讨论函数序列的收敛性尤其是一致收敛性 , 并定义一类重要的函数

——— 阶跃函数 .

2 .4 .1 函数列及其一致收敛性

定义 2 .6 设 fn ( x ) ( n = 1 , 2 ,⋯ ) 有共同的定义域 D .由这些函数排成

的序列

f1 ( x ) , f2 ( x ) ,⋯ , fn ( x ) ,⋯

称为集合 D 上的函数列 , 记为{ fn ( x ) } .

例如 , x , x2

, ⋯ , xn

,⋯ 和 sinπ2

x , sin2π2

x ,⋯ , sinnπ2

x ,⋯ 都是函数序

列 .

借助于数列的收敛性 ,我们定义函数列的收敛性 .

定义2 .7 如果{ fn ( x ) } 在点 x0 ∈ D 处所对应的实数序列{ f n ( x0 ) } 收

敛 , 则称函数列{ fn ( x ) } 在点 x0 收敛 , 点 x0 称为函数列 { fn ( x ) } 的收敛点 ; 全

体收敛点的集合称为该函数列的收敛域 , 显然它是 D 的一个子集 .在收敛域

内 ,函数列的极限定义了一个极限函数 f ( x ) ,记为

limn→ ∞

fn ( x ) = f ( x ) . (2 - 10)

函数列不收敛的点叫做发散点 .

由于极限的唯一性 ,极限函数是确定的 .

函数列收敛的定义是从数列收敛作出的 ,着眼于函数列在每一点的值 , 但

更有用的收敛概念是把函数列中的每一个函数看成一个整体而考察它们的

“整体收敛性”.直观上 , 可以把一个函数列看成一个曲线族 , 希望把这种曲线

·15·2 .4 函数列的一致收敛性和阶跃函数

族趋于某一条曲线的收敛性给出一个严格的定义 ,并弄清逐点收敛与这种“整

体性”收敛的区别 .为此先看几个例子 :

例 11 f n ( x ) =x

1 + nx, x ∈ [ 0 , 1] .

" x ∈ [0 ,1 ] , 有 limn→ ∞

fn ( x ) = 0 .因此[0 ,1 ] 上的函数列{ f n ( x ) } 的极限函

数是 f ( x ) = 0 , x ∈ [ 0 , 1] .曲线族 y = fn ( x ) 趋于曲线 y = 0 (见图 2 - 6 ) .

图 2 - 6

例 12 f n ( x ) = n xe- n x

, x ∈ [ 0 , 1] .

" x ∈ [ 0 , 1] , limn→∞

fn ( x ) = 0 .[0 , 1 ] 上的函数列 { fn ( x ) } 的极限函数是

f ( x ) = 0 , x ∈ [0 ,1 ] .但是曲线族 y = f n ( x ) 却并不趋于曲线 y = 0 , 因为

曲线族中的每一条曲线上都有一点 x =1n与 y = 0 的距离为常数 e

- 1(见图

2 - 7 ) .

图 2 - 7

例 13 f n ( x ) = xn, x ∈ [0 , 1 ] .

在[0 ,1 ] 上函数列{ xn} 的极限函数是

f ( x ) =0 , x ∈ [ 0 , 1) ,

1 , x = 1 .

我们看到 ,函数列{ xn

} 在 x = 1 处的收敛情况有一个突变 .每个函数 xn

在[ 0 , 1] 上连续 , 但极限函数 f ( x ) 在 x = 1 处不连续 (见图 2 - 8 ) .这个现象

值得研究 :当 0 < x1 < x2 < 1 时 , 有

·25· 第 2 章 数值函数、极限和连续函数

图 2 - 8

xn1

xn2

=x1

x2

n

→ 0 ( n → ∞ ) .

这说明此时

xn1 =

x1

x2

n

xn2

趋于零的速度比 xn2 要快得多 , 或者说 ,当 n → ∞ 时 , x 越小 x

n趋于 0 的速度

越快 ;但当 x 越靠近 1 但不等于 1 时 xn→ 0 的速度越缓慢 , 最终在 x = 1 处

发生突变 .

我们通过ε - N 语言对这个现象给出数学的刻画 ." x0 ∈ (0 , 1 ) 及ε∈

(0 , 1) ,要使 xn0 < ε, 即 nln x0 < lnε, n >

lnεln x0

, 必须取 N0 ≥lnε

ln x0, 才能保

证当 n > N0 时 , xn0 < ε .这里值得注意的是 : N 0 不仅与ε也与 x0 有关 , 而且

当 x0 → 1-时 , N0 →+ ∞ ,即找不到一个公共的 N0 对所有的 x0 都有效 .如果

只考虑区间 (0 ,η) (η< 1) ,则可找到一个公共的 N0 =lnεlnη

作为对{ xn} 以 0

为极限函数的保证 ,这时一般认为{ xn

} 的趋势具有步调一致性 .

函数列逐点趋于极限函数时 ,对不同的点 , 一般地 , 函数列趋于极限的速

度不同 .在定义 2 .7 中 , 由于只着眼于每一个点 , 就忽略了对这种“不一致”现

象的考虑 .因此 , 虽然上述三个例子中的函数列都是收敛的 , 但是如果要考虑

函数列 (曲线族 ) 的“整体收敛性”, 就必须对这种不同点上函数值收敛步调不

一致的现象进行分析 .什么情形下是步调一致 , 什么情形下不是 , 数学上必须

给出逻辑严密的判别 .通过上述对{ xn } 的考察 , 用“是否能找到对所有 x 都有

效的 (或不依赖于 x 的 ) 公共的 N0”为判别 , 是合适而有效的 .

定义2 .8 函数列 { fn ( x ) } 称为在 D 的子集Ω上一致收敛于 f ( x ) , 如果

"ε> 0 , v N0 (ε) > 0 , 使对 " x ∈ Ω, " n > N0 (ε) , 有

f n ( x ) - f ( x ) < ε .

一致收敛也称 均匀收敛 , 它有明确的几何意义 , 设 f ( x ) 为函数列

·35·2 .4 函数列的一致收敛性和阶跃函数

{ fn ( x ) } 的一致收敛的极限函数 , 那么曲线族 y = fn ( x ) 整体地趋向曲线 y

= f ( x ) , 也就是 "ε> 0 , y = f ( x ) - ε和 y = f ( x ) + ε围出一条曲线带 ,

存在 N0 使得曲线族 y = fn ( x ) 中 f N0( x ) 之后的曲线要整个地位于在这条曲

线带内 ,见图 2 - 9 .一致收敛着重强调函数列收敛对于各个点的“一致”性 , 即

函数列在不同的点的收敛步调虽然不尽相同 ,但总体来看还是一致的 .定义中

的 N0 与具体的点 x 无关就是收敛步调一致的体现 .

图 2 - 9

下面是一个常用的等价命题 .

定理 2 .11 设{ f n ( x ) } 为在实数集 R的子集 Ω上的函数列 , f ( x ) 在 Ω

上有界 .那么函数列{ f n ( x ) } 在 Ω上一致收敛于 f ( x ) , 当且仅当

limn→ ∞

supx∈ Ω

f ( x ) - f n ( x ) = 0 ,

其中

supx∈ Ω

f ( x ) - fn ( x ) = sup f ( x ) - f n ( x ) : " x ∈ Ω .

证 必要性 .设函数列{ fn ( x ) } 在 Ω上一致收敛于 f ( x ) .由于 f ( x ) 在

Ω上有界 ,那么从某个 n0 之后 , fn ( x ) 在 Ω上也有界 ,因此不妨设每个 fn ( x )

在 Ω上有界 .

由一致收敛性 ,对 "ε> 0 , v N0 = N0 (ε) > 0 ,使当 n > N0 时 , 对 " x

∈ Ω, 有

fn ( x ) - f ( x ) <ε2

,

即ε2

是集合 f ( x ) - fn ( x ) : " x ∈ Ω, n > N0 的一个上界 ,从而

supx∈ Ω

f ( x ) - fn ( x ) ≤ε2

< ε, n > N0 ,

必要性得证 .充分性的证明留给读者 .

由此定理 ,例 11 中的函数列在[0 ,1 ] 中是一致收敛的 ,因为

supx∈ [ 0 , 1 ]

x1 + nx

=1

1 + n→ 0 ( n → ∞ ) ;

·45· 第 2 章 数值函数、极限和连续函数

而例 12 及例 13 中的函数列都不一致收敛 ,因为在例 12 中

supx∈ [ 0 , 1 ]

n xe - n x = e - 1 ;

而在例 13 中

supx∈ [ 0 , 1 ]

xn

= 1 .

当 n → ∞ 时 ,二者都不趋于 0 .

一致收敛的连续函数列的极限函数也是连续的 , 也就是一致收敛性保持

了函数的连续性 .

这一点可以从一致收敛的几何意义直观地看到 ,曲线列一致收敛 , 虽然在

不同点处收敛的速度有些不同 ,但整体是步调一致的 , 这样曲线列趋向过程中

不会发生过份的拉址 ,以致最终发生断开的现象 , 如{ xn} 那样 .

定理 2 .12 设{ fn ( x ) } 为 ( a , b) 上的连续函数列 .若 fn ( x ) 在 ( a, b) 上

一致收敛于 f ( x ) , 则 f ( x ) 在 ( a , b) 上连续 .

证 " x0 ∈ ( a , b) , 要证明 f ( x ) 在 x0 处连续 .

"ε> 0 , 由条件 , v N0 = N0 (ε) > 0 ,使对所有的 x ∈ ( a , b) 有

f N0( x ) - f ( x ) <

ε3

, " x ∈ ( a , b) .

又因 f N0( x ) 在 x0 处连续 , 所以对上述的ε> 0 , v δ> 0 , 使得当 x - x0 <

δ时 ,有

f N0( x ) - f N

0( x0 ) <

ε3

.

对于满足不等式 x - x0 < δ的 x ,上述两个不等式成立 , 因此

f ( x ) - f ( x0 ) ≤ f ( x ) - f N0( x ) + f N

0( x ) - f N

0( x0 )

+ f N0( x0 ) - f ( x0 ) < ε,

即 f ( x ) 在 x0 处连续 .定理证毕 .

从例 13 可以看到 ,定理 2 .12 的条件中的“一致”这两个字是不能去掉的 ,

当然不一致收敛的连续函数列的极限函数也可能是连续的 ,例如考察例 12 .

定理 2.12的证明 ,事实上证明了一致收敛的函数列 { fn ( x ) } , 若从某项开

始之后所有的项 fn ( x ) 在一个确定的点 x0 连续 , 则极限函数 f ( x ) 在 x0 处也

连续 .

定理 2.12 也可以作为连续函数列非一致收敛的判别 , 如{ xn} 在[ 0 , 1] 上

极限函数不连续 ,所以{ xn

} 在[0 ,1 ] 上不一致收敛 .

最后指出一致收敛性也是保一致连续性的 .

·55·2 .4 函数列的一致收敛性和阶跃函数

评注 也可以从度量空间的角度来讨论 C[ a , b] 中的序列的一致收敛性 .

在 C[ a , b] 上引入度量 d , 也就是集合中两点间的距离 :对 " f , g ∈ C[ a , b] ,它们之

间的距离定义为

d ( f , g) = maxa≤ x≤ b

f ( x ) - g( x) .

在此度量下 , C[ a , b] 成为一个度量空间 .在 [ a , b] 上连续的函数成为度量空间 C[ a , b] 中

的一点 ,由定理 2 .11 , [ a , b] 上一连续函数列 , 也就是 C[ a , b] 上点列按此度量收敛等价于

连续函数列一致收敛 .因此 , 站在度量空间的角度 , 对连续函数列一致收敛性的研究能够

更广阔、更深入 .根据定理 2 .12 , C[ a , b] 对于极限运算是封闭的 .事实上 , C[ a , b] 是完备

的度量空间 , 也就是 Cauchy收敛准则成立 :对 C[ a , b] 中点列{ fn } ,若 "ε> 0 , v N0 使得

当 m , n > N0 时 ,有

d( fn , fm ) < ε,

当且仅当 { fn } 在 C[ a , b] 中有极限 .

这里只给出该结论的必要性证明 .任意取定 x ∈ [ a , b] , 由于

fn ( x ) - fm ( x ) ≤ d( fn , fm ) ,

可见 { fn ( x ) } 是 Canchy数列 ,故有极限记为 f ( x ) .又对任意 x ∈ [ a , b] 以及任意 n , m >

N0 有

fn ( x ) - fm ( x ) ≤ d( fn , fm ) <ε2

.

令 m →+ ∞ 有

fn ( x ) - f ( x ) ≤ε2

< ε,

当然就有

d( fn , f ) = supa≤ x≤ b

fn ( x ) - f ( x )

≤ε2

< ε.

证得 fn 在度量 d 下趋于 f .

注 在上述证明中没有明确指出 f ∈ C[ a , b] , 请读者指出什么地方用到

这一点 .

实数集是最简单的度量空间 , C[ a , b] 也是一个具有代表性的度量空间 .

2 .4 .2 阶跃函数

我们已经知道 ,一致收敛的连续函数列的极限函数一定连续 .进一步可以

问 :一个不连续函数列如果一致收敛 , 它的极限函数会如何呢 ?我们不妨看看

最简单而常用的阶梯函数列 .

定义 2 .9 在区间 [ a , b] 上的阶梯函数列一致收敛的极限函数称为区间

[ a , b] 上的阶跃函数 .区间[ a , b] 上的全体阶跃函数之集 , 记为 J[ a , b] .

因此区间[ a , b] 上的阶梯函数本身就是最简单的阶跃函数 .由于每个阶

·65· 第 2 章 数值函数、极限和连续函数

梯函数有界 ,因此作为阶梯函数列一致收敛的极限函数的阶跃函数也是有界

的 .[ a , b] 上的阶梯函数至多有有限个间断点 , 那么阶跃函数的间断点有多少

呢 ?首先我们可建立如下论断 .

定理2 .13 函数 f ( x ) 在区间 [ a , b] 上为阶跃函数 ,当且仅当函数 f ( x )

在区间[ a , b] 上每点处的左、右极限都存在 (在端点 a 和 b 处分别是右极限和

左极限存在 ) .

注 也可以用此定理的结论来定义阶跃函数 .

证 必要性 .设阶梯函数列{ f n ( x ) } 在区间 [ a , b] 上一致收敛于 f ( x ) .

于是 "ε> 0 , v N 0 = N 0 (ε) > 0 , 使对 " x ∈ [ a , b] 及 " n > N 0 ,有

fn ( x ) - f ( x ) <ε3

. (2 - 11)

" x0 ∈ [ a , b] ,现证 f ( x ) 在 x0 处的右极限存在 .因 fn ( x ) 在 x0 处的右

极限存在 ,由 Cauchy 准则 , v δ> 0 , 使对 " x′, x″∈ ( x0 , x0 + δ) ,有

f n ( x′) - fn ( x″) <ε3

. (2 - 12)

由 (2 - 11 ) 和 (2 - 12 ) 得

f ( x′) - f ( x″) ≤ f ( x′) - f n ( x′) + fn ( x′) - fn ( x″)

+ fn ( x″) - f ( x″) < ε,

因此 , 再一次应用 Cauchy 准则 ,推得 f ( x ) 在 x0 处的右极限存在 .同理可证左

极限存在 .

充分性 .设 f ( x ) 在[ a , b] 上每一点的右极限和左极限都存在 , 我们要构

造一个阶梯函数列{φn ( x ) } 在区间 [ a , b] 上一致收敛于 f ( x ) ." x0 ∈ [ a ,

b] ,由左极限 limx→ x

-0

f ( x ) 存在 ( x0 ≠ a) , 应用 Cauchy 准则得 , 对 "ε > 0 ,

v δ1 ( x0 ) > 0 ,使当 x′1 , x″1 ∈ ( x0 - δ1 ( x0 ) , x0 ) 时有

f ( x′1 ) - f ( x″1 ) < ε .

再由右极限 limx→ x

+0

f ( x ) ( x0 ≠ b) 存在 , v δ2 ( x0 ) > 0 , 使当 x′2 , x″2 ∈ ( x0 , x0 +

δ2 ( x0 ) ) 时有

f ( x′2 ) - f ( x″2 ) < ε .

因为 x0 ∈ [ a , b] 是任意的 ,所以上述得到的开区间族

{ x0 - δ1 ( x0 ) , x0 + δ2 ( x0 ) : " x0 ∈ [ a , b] }

构成了[ a , b] 的一个开覆盖 , 由有限覆盖定理 , 存在有限个这样的开区间将

[ a , b] 覆盖 ,其中若有一个开区间被其它若干个区间之并所包含 , 则将该开区

间剔除 . 将这有限个开区间的中 间点及端点 ( 即 x0 , x0 - δ1 ( x0 ) , x0 +

δ2 ( x0 ) ) 按递增次序排列 ( 如果其中有两个点重合 , 则去掉一个点 , 并去掉小

·75·2 .4 函数列的一致收敛性和阶跃函数

于 a 或大于 b 的点 .) , 记为

a = a0 < a1 < ⋯ < am - 1 < am = b .

现在构造阶梯函数 φε( x ) :

φε( x ) = ck ,

f ( ak ) ,

x ∈ ( ak - 1 , ak ) , k = 1 ,2 ,⋯ , m ,

x = ak , k = 0 ,1 ,⋯ , m ,(2 - 13)

其中 ck = f (ξk ) ,ξk 为区间 ( ak - 1 , ak ) 中任一固定点 .对于这个阶梯函数

φε( x ) ,显然有

f ( x ) - φε( x ) < ε, x ∈ [ a , b] . (2 - 14)

事实上 , 对于[ a , b] 上任意一点 x , 存在一个 k 使得 x ∈ ( ak - 1 , ak ] .当 x

= ak 时 ( 2 - 14) 显然成立 .当 x ∈ ( ak - 1 , ak ) 时 ,有 x0 , 使得

x ,ξk ∈ ( x0 - δ1 ( x0 ) , x0 ) 或者 ( x0 , x0 + δ2 ( x0 ) ) ,

因此

f ( x ) - φε( x ) = f ( x ) - f (ξk ) < ε,

也就是 (2 - 14 ) 成立 .

相应于ε= 1 ,12

, ⋯ ,1n

, ⋯ ,依次得到阶梯函数列 {φn ( x ) } .如此 ,对 "ε

> 0 , v N0 =1ε

, 使 " n > N0 和 " x ∈ [ a , b] ,有

f ( x ) - φn ( x ) <1n

<1N 0

< ε,

故{φn ( x ) } 在区间[ a, b] 上一致收敛于 f ( x ) , 即 f ( x ) 为区间 [ a , b] 上的阶

跃函数 .证毕 .

在定理的证明过程中 ,对于一个给定的阶跃函数 , 我们给出了构造一致收

敛于它的阶梯函数列的具体方法 .在构造中甚至可以要求 , 对 " n , " x ∈ [ a ,

b] ,φn ( x ) ≤ f ( x ) 或者 φn ( x ) ≥ f ( x ) .我们只要在阶梯函数 φε( x ) 的定义

(2 - 13 ) 中置

ck = infa

k - 1< x < a

k

f ( x ) ( k = 1 , 2 ,⋯ , m )

或者ck = sup

ak - 1

< x < ak

f ( x ) ( k = 1 , 2 ,⋯ , m )

就能做到这点 .

下面我们来具体构造一列一致收敛于阶跃函数

f ( x ) = x

2,

3 - x ,

0 ≤ x ≤ 1 ,

1 < x ≤ 2

的阶梯函数列 .

因为 f ( x ) 在[ 0 , 1) 和 (1 , 2 ] 上连续 , 所以在这两个区间上收敛于 f ( x ) 的

·85· 第 2 章 数值函数、极限和连续函数

阶梯函数列可以这样来构造 .将[ 0 , 1] 和 ( 1 , 2] 进行 n 等分 ,令阶梯函数在每

个小区间上取 f ( x ) 在左端点处的函数值 , 见图 2 - 10 .

φn ( x ) =

kn

2

, x ∈kn

,k + 1

n,

2 -kn

, x ∈ 1 +kn

, 1 +k + 1

n,

k = 0 ,1 ,⋯ , n - 1 .

图 2 - 10

定理 2.13 给了我们易于判别一个函数是否为阶跃函数的方法 , 而定义

2.9 则使我们易于从阶梯函数出发来讨论阶跃函数 , 这样认识阶跃函数就易

于操作了 .

推论 [ a , b] 上的单调函数是阶跃函数 .

证 不妨设 f ( x ) 为[ a , b] 上的单调递增函数 .下面只证 f ( x ) 在 " x0

∈ [ a , b) 处的右极限存在 .令 xn = x0 +1n→ x0 ( n → ∞ ) , 不妨设 xn ∈ [ a ,

b] , n = 1 , 2 , ⋯ .那么 f ( xn ) 单调递减且有界 , 从而有极限 , 记为 ξ, 即

limn→ ∞

f ( xn ) = ξ .用ε - N 语言来表达就是对 "ε> 0 , v N0 ,使得当 n > N 0

时 ,有

f ( xn ) - ξ < ε . (2 - 15)

取δ =1

N0 + 1, 当 0 < x - x0 < δ时 ,可取 xn 使得

x0 < x n < x < x0 +1

N0 + 1= xN

0+ 1 ,

从而

f ( xn ) ≤ f ( x ) ≤ f ( x N0

+ 1 ) .

由 (2 - 15 ) 得

f ( x ) - ξ < ε,

这导出 f ( x ) 在 " x0 ∈ [ a, b] 处有右极限 ξ .

同理可证 f ( x ) 在 " x0 ∈ [ a , b] 处也有左极限 .由定理 2 .13 推出 f ( x )

为阶跃函数 .

·95·2 .4 函数列的一致收敛性和阶跃函数

阶跃函数集有一个常用的子集 ,就是所有逐段连续函数的集合 .区间 [ a ,

b] 上的逐段连续函数定义为在 [ a , b] 上除了有限个第一类间断点外处处连

续的函数 .一般的阶跃函数可以有无穷多个笫一类间断点 .

定理 2.14 阶跃函数的不连续点至多可数个 .

证 设 f ( x ) 为 [ a , b] 上的一个阶跃函数 , { fn ( x ) } 为一致收敛于 f ( x )

的阶梯函数列 .置

E = { x ∈ [ a , b] : x 为某个 f n ( x ) 的不连续点} .

显然 E 是个至多可数的集合 . " x0 ∈ [ a , b] \ E , 每个 fn ( x ) 都在 x0 处连续 ,

那么由定理 2 .12 的同样证明方法 (见定理 2.12 后面的说明 ) ,可推导出 f ( x )

在 x0 处也连续 .这样定理得证 .

由定理 2.14 和推论 , 知单调函数的不连续点至多可数 .

最后 ,提醒读者可以证明如下结论 : 区间 [ a , b] 上的阶跃函数是有界的 ;

区间[ a , b] 上阶跃函数的四则运算下的函数仍为区间 [ a, b] 上的阶跃函数

(在除法时需设分母无零点 ) .

习题 2

1 .将下列函数延拓为奇函数和偶函数 .

(1 ) f ( x ) = x3( x ≥ 0 ) ; (2 ) f ( x ) = 1 - e

- x( x ≥ 0 ) .

2 .将下列函数延拓为以 4 为周期的奇函数和偶函数 .

(1 ) f ( x ) =x ,

0 ,

x ∈ [0 , 1 ] ,

x ∈ (1 , 2 ] ; (2 ) f ( x ) =

1 - x ,

0 ,

x ∈ (0 ,1 ) ,

x ∈ [1 ,2 ] .3 .证明 : 若 f1 , f2 都严格递增 (减 ) ,则 f1� f2 严格递增 .并问 : 全体严格递

增 (减 ) 函数关于复合运算“�”构成一个群吗 ?

4 .用“ε - δ”或“ M - δ”语言叙述下述命题 .

(1 ) f ( x ) → a( x → x-0 ) ; �( 2) f ( x ) → a( x → x

+0 ) ;

(3 ) f ( x ) →+ ∞ ( x → x+0 ) ; ( 4) f ( x ) → - ∞ ( x → x

-0 ) .

5 .用定义验证下列极限 .

(1 ) 1 + x → 2( x → 3) ; �( 2)x - 4x + 1

→ 1 ( x → ∞ ) ;

(3 ) cos x → cos x0 ( x → x0 ) ;

(4 ) tan x → tan x0 ( x → x0 ≠ kπ+π2

) ;

(5 ) e-

1

x2

→ 0 ( x → 0) ; ( 6)x

2- 3 x + 2x - 1

→ - 1 ( x → 1) .

6 .证明 :

·06· 第 2 章 数值函数、极限和连续函数

(1 ) 若 f ( x ) → a > 0( x → x0 ) ,则在点 x0 的某个去心δ邻域内 f ( x ) > 0;

(2 ) 若 f ( x ) → b < 0( x → ∞) ,则当 x 充分大时有 f ( x) < 0 .

7 .证明第 2 .2 .2 节中极限的性质 2 ,性质 3 和性质 4 .

8 .证明 : limx→∞

f ( x ) = a 的充要条件是 :对任意趋于无穷的数列{ xn } ,都有

f ( xn ) → a ( n → ∞ ) .

9 .证明 : limx→∞

f ( x ) = ∞ 的充要条件是 :对任意趋于无穷的数列{ xn } ,都有

f ( x n ) → ∞ ( n → ∞ ) .

10 .证明定理 2 .4 (夹逼定理 ) .

11 .设函数 f ( x ) 在闭区间[ a , b] 上有定义并有界 .证明函数

m( x ) = infa≤ t < x

f ( t ) , M ( x) = supa≤ t < x

f ( t )

在闭区间[ a , b] 上处处左方连续 .

12 .设函数 f ( x ) 定义于区间 ( a , + ∞ ) 上 , 且在每一个有穷区间 ( a , b) 内

有界 .试证

(1 ) limx→+ ∞

f ( x )x

= limx→+ ∞

[ f ( x + 1 ) - f ( x ) ] ;

(2 ) limx→+ ∞

[ f ( x ) ]1x

= limx→ +∞

f ( x + 1)f ( x )

( f ( x ) ≥ C > 0) .

上面设等式右端的极限存在 .

13 .已知 f ( x ) = 2 - ex

+ x , f (0 ) = 1 , f (2 ) < 0 ,问 : f ( x ) = 0 在[ 0 , 2]

是否只有一个根 ?为什么 ?

14 .设 f ( x ) 在[ a , b] 上定义 , 如果 " x1 , x2 ∈ [ a , b] , 均有

f ( x1 ) - f ( x2 ) ≤ x1 - x2 .

证明 : f ∈ C[ a, b] .

15 .设 f ∈ C( - ∞ , + ∞ ) , 且 a , b( a < b) 是 f ( x ) = 0的两个相邻实根 .

证明 :若ξ∈ ( a , b) 且 f (ξ) > 0 , 则 " x ∈ ( a , b) , f ( x ) > 0 .

16 .设 f ∈ C[ a , b] , x0 ∈ ( a , b) , f ( x0 ) = η> 0 .证明 : 在点 x0 的含于

( a , b) 中的某个邻域内 f ( x ) > 0 .

17 .设 f ∈ C[ a , + ∞ ) , 且当 x →+ ∞ 时 , f ( x ) → b .证明 : f ( x ) 在[ a ,

+ ∞ ) 上有界 .

18 .设 y = f ( x ) =2 x

1 + x2 .

(1 ) 证明 f ( x ) 在区间 ( - 1 ,1 ) 上严格递增 ,并求其反函数 ;

(2 ) 求 θ,使 θ=12

arcsin [ f ( tan θ) ] .

19 .设 f ∈ C[ a , + ∞ ) ,且 limx→+ ∞

f ( x ) 存在 .试证 f ( x ) 在[ a , + ∞ ) 上一

·16·习题 2

致连续 .

20 .判定下列函数在指定区间上是否一致连续 .

(1 ) f ( x ) =x

2+ 1

4 - x2 ( - 1 ≤ x ≤ 1) ;

(2 ) f ( x ) = x2

+ x - x (0 ≤ x < + ∞ ) ;

(3 ) f ( x ) = xπ4

- arctanx

x + 1 ( - ∞ < x < + ∞ ) ;

(4 ) f ( x ) =cos x

cos 2 x

1

x2

( 0 < x < 1 ) ;

(5 ) f ( x ) = excos

1x ( 0 < x < 1) ;

(6 ) f ( x ) = xsin x (0 ≤ x < + ∞ ) .

21 .设 f ( x ) 定义于 ( a , b) ,置

ωf (δ) = sup{ f ( x′) - f ( x″) : x′- x″ < δ, x′, x″∈ ( a, b) } .

试证 f ( x ) 在 C( a , b) 上一致连续当且仅当

limδ→ 0

+ωf (δ) = 0 .

22 .已知函数列{ f n ( x ) } , 其中

fn ( x ) =

x ,

- x +2n

,

0 ,

x ∈ 0 ,1n

,

x ∈1n

,2n

x ∈2n

,1 ,

, n = 2 , 3 , ⋯ .

(1 ) 作 f2 ( x ) , f3 ( x ) , f4 ( x ) ,⋯ , f n ( x ) 的图形 ;

(2 ) 证明 : " x0 ∈ [0 ,1 ] , { fn ( x0 ) } 收敛于 0;

(3 ) 证明 : { fn ( x ) } 在 [0 , 1 ] 上一致收敛于 f ( x ) = 0 .

23 .已知函数列{ gn ( x ) } , 其中

gn ( x ) =

nx ,

- nx + 2 ,

0 ,

x ∈ 0 ,1n

,

x ∈1n

,2n

x ∈2n

, 1 ,

, n = 2 , 3 , ⋯ .

(1 ) 作 g2 ( x ) , g3 ( x ) , g4 ( x ) ,⋯ , gn ( x ) 的图形 ;

(2 ) 证明: { gn ( x )} 在[0 ,1] 上收敛于 g( x) = 0;但不一致收敛于 g( x) = 0 .

24 .设函数列 fn ( x ) 在 ( a , b) 上一致收敛于 f ( x ) .若每个 fn ( x ) 在 ( a ,

b) 上一致连续 , 试证 f ( x ) 在 ( a , b) 上也一致连续 .

·26· 第 2 章 数值函数、极限和连续函数

25 .判定如下函数列在指定的区间内是否一致收敛 .

(1 ) fn ( x ) =x

1 + n2

x2 , �- ∞ < x < + ∞ ;

(2 ) fn ( x ) =nx

1 + n2

x2 , 0 ≤ x ≤ 1;

(3 ) fn ( x ) =x4

1 + n2

x2 , - ∞ < x < + ∞ ;

(4 ) fn ( x ) = x2

+1n

2 , - ∞ < x < + ∞ ;

(5 ) fn ( x ) = xn

- x2 n

, 0 ≤ x ≤ 1;

(6 ) fn ( x ) =xn

lnxn

, 0 < x < 1;

(7 ) fn ( x ) = xn( 1 - x ) , 0 ≤ x ≤ 1;

(8 ) fn ( x ) =sin nx

3

n4

+ x4

, - ∞ < x < + ∞ .

26 .下列函数哪些是阶跃函数 ?

(1 ) f ( x ) =x +π,

sin x ,

x ∈ [ - π, 0) ,

x ∈ [ 0 ,π] ;

(2 ) f ( x ) =ln (1 - x ) ,

e1x ,

x ∈ [ - 1 , 0) ,

x ∈ [ 0 , 1] ;

(3 ) f ( x ) =

sin xx

, 0 < x ≤π,

x , x = 0;(4 ) f ( x ) = x , x ∈ [ - 2 , 2 ] .

27 .对题 26 中的阶跃函数 , 构造一个阶梯函数序列 { f n ( x ) } 在指定的区

间上一致收敛于 f ( x ) .

28 .构造一个具有无穷个不连续点的阶跃函数 .

补 充 题

1 .设 f ( x ) = xsin1x

( x ≠ 0 ) , f (0 ) = 0; g( x ) = 1 ( x ≠ 0 ) , g( 0) = 0 .

(1 ) 证明 : f ∈ C( - ∞ , + ∞ ) ;

(2 ) 判断当 x → 0 时 , g( f ( x ) ) 的极限是否存在 ?

2 .证明 :若 f ∈ C( a , b) 且 limx→ a

+f ( x ) = c1 < 0 , lim

x→ b-

f ( x ) = c2 > 0 , 则

v ξ∈ ( a, b) ,使 f (ξ) = 0 .

3 .设{ fn ( x ) } 是定义在 [0 , 1 ] 上的函数列 ,其中

·36·补 充 题

f n ( x ) =1 - x

n

1 + x2 n n = 1 ,2 ,⋯ .

(1 ) 函数 fn ( x ) 连续吗 ?

(2 ) 证明函数列在[ 0 , 1] 上逐点收敛 , 并求极限函数 f ( x ) .

(3 ) 函数 f ( x ) 连续吗 ?并证明 ( 2) 中的收敛是不一致的 .

4 .设

fn ( x ) = limm→∞

(cos ( n !πx ) )2 m

,

其中 x ∈ R, n ∈ N *.证明 :函数列{ f n ( x ) } 在R上收敛于某一个函数 f ( x ) ,

但 f ( x ) 不论在哪一点都不连续 .(提示 :分别考虑 x ∈ Q 和 x ∈ R \ Q .如果

x ∈ Q, 则当 n 充分大以后 , ( n !x ) 会是怎样的数 ?)

5 .试证凸函数是连续的 .

6 .试证 Dini( 狄尼 ) 定理 :设 fn ( x ) 为[ a , b] 上的连续函数列且收敛于连

续函数 f ( x ) ,若对 " x ∈ [ a , b] , fn ( x ) 随 n 单调 , 则 fn ( x ) 在 [ a , b] 上一致

收敛于 f ( x ) .

·46· 第 2 章 数值函数、极限和连续函数

第 3 章 定 积 分

在过去的学习中 ,从数学本身和物理背景出发 , 我们已经直观地获取了定

积分的基本知识 .在那里 , 我们是用 Riemann 和的极限来定义定积分的 , 但其

中涉及的一些基本问题 ,例如 , 基本的 Riemann 可积的函数究竟有哪些呢等等

不是仅靠直观就能解决的 .

本章从数学上给出定积分严格的逻辑定义 , 但出发点不同于 Riemann 和

的极限的定义形式 .我们将积分看成为一个泛函 , 也就是说 , 把定积分看成是

以函数为自变量的一个实值函数 .首先定义积分泛函在特殊函数 ——— 阶梯函

数集合上的取值 ,然后将其定义域推广到一般形式上 , 并给出积分基本性质的

证明 .这个处理方法给积分以更广阔的空间 .通过这个定义的形成过程 , 读者

将看到的是具体事实背景的一个数学的概括、抽象和升华 .最后 , 我们还将评

注积分泛函的一般定义域到底是什么 ,或者说什么函数是可以积分的 .

3 .1 阶梯函数的积分

这一节按照定积分的几何意义 , 即曲边梯形的面积来直观地引入阶梯函

数的积分 ,然后建立阶梯函数积分的一般性质 .下一节再借助阶梯函数的积分

将积分的概念延拓到一般的有界函数上去 .

在区间[ a , b] 上给定 n - 1 个分点 ,满足

a < x1 < x2 < ⋯ < x n - 1 < b,

确定区间[ a , b] 的一个分割 Ejpj = 1 ( p≥ n ) ,其中 Ej 或者为分点构成的单点

集或者为相邻分点构成的开区间或半开半闭区间或闭区间 ,并且两两不相交 ,

以及满足

[ a , b] = ∪p

j = 1Ej .

例如下面就是一个分割

a = x0 , ( x0 , x1 ) ,⋯ , x i - 1 , ( x i - 1 , x i ) , x i , ⋯ , ( xn - 1 , xn ) , xn = b .

此时 p = 2 n .

定义 3 .1 对区间[ a , b] 上的阶梯函数

f ( x ) =ck , x ∈ ( x k - 1 , x k ) ,

dk , x = xk ,

k = 1 , 2 , ⋯ , n ,

k = 0 , 1 , ⋯ , n( 3 - 1)

(其中 x0 = a, xn = b) , 定义其在区间[ a, b] 上的积分为

∫b

af ( x ) d x = ∑

n

k = 1

ck ( x k - x k - 1 ) ( 3 - 2)

对于阶梯函数积分的定义 ,有一个问题需要解决 , 就是积分值的唯一性问

题 .对同一个 f ( x ) , 只要把区间 ( x k - 1 , xk ) 中的任意一点 x*作为新的分割

点 ,

图 3 - 1

令

f*

( x ) =

ci , x ∈ ( x i - 1 , x i ) , i = 1 ,⋯ , k - 1 , k + 1 ,⋯ , n ,

ck , x ∈ ( xk - 1 , x * ) ,

ck , x ∈ ( x*

, x k ) ,

dk , x = xk , k = 0 , 1 ,⋯ , n ,

ck , x = x*

,

就产生阶梯函数 f ( x ) 的一个新的表示式 , 容易算得 :

∫b

af ( x ) d x =∫

b

af * ( x ) d x = ∑

n

k = 1

ck ( x k - xk - 1 ) .

因此这个新的分割点并没有改变 (3 - 2 ) 式右边的和数 .一般说来 , 同一阶梯

函数 f ( x ) 的不同区间分割不会改变积分值 .因此对阶梯函数而言 , 积分

∫b

af ( x ) d x 只由 f ( x ) 和[ a , b] 唯一确定 .这样 , 上述积分的定义是有意义的 .

如果用 T [ a , b] 表示区间[ a, b] 上全体阶梯函数所构成的集合 , 那么积

分就是一个映射

I: T[ a , b] → R , I ( f ( x ) ) =∫b

af ( x ) d x .

进一步观察阶梯函数 .设 E 是 R 的一个子集 ,定义 E 上的特征函数 :

χE

( x ) =1 , x ∈ E ,

0 , x | E .

并且当 E = �时 ,χE ( x ) ≡ 0 .于是[ a, b] 上的任意阶梯函数 f ( x ) 可以用特

·66· 第 3 章 定 积 分

征函数表示为如下形式

f ( x ) = ∑m

j = 1

ajχE

j

( x ) , ( 3 - 3)

其中 aj 是实数 , Ej 是开区间或单点集 , ∪m

j = 1Ej = [ a , b] 并且当 i ≠ j 时 , Ei ∩

Ej = �,也就是 Ejmj = 1 是[ a , b] 的一个分割 .反之 , (3 - 3) 式总表示一个阶

梯函数 .由 ( 3 - 3 ) 式易证 :阶梯函数的四则运算以及数乘后仍为阶梯函数 , 因

此 T [ a , b] 是一个线性空间 .例如 ,对 f ( x ) , g( x ) ∈ T [ a , b] , 可以选择区间

的一个公共分割 ,以至 f ( x ) 和 g( x) 都有形如 ( 3 - 3 ) 的表示式

f ( x ) = ∑m

j = 1

ajχE

j

( x ) , g( x) = ∑m

j = 1

bjχE

j

( x ) ,

因此对任意实数λ1 ,λ2 ,有

λ1 f ( x ) + λ2 g( x) = ∑m

j = 1

(λ1 aj + λ2 bj )χE

j

( x ) . ( 3 - 4)

对于乘法 ,除法运算 , 有

f ( x ) · g( x) = ∑m

j = 1

aj bjχE

j

( x ) ,

f ( x )g( x )

= ∑m

j = 1

aj

bjχ

Ej

( x ) ( bj ≠ 0 , j = 1 , 2 , ⋯ , m) .

对于复合 ,有

f� g( x ) = ∑m

j = 1

ajχg

- 1( E

j)

( x )

其中的符号 g - 1 ( Ej ) 表示 Ej 在 g( x) 下的原像集 , 即

g- 1

( Ej ) = { x: 满足 g( x) ∈ Ej } .

要特别强调这里 g- 1

不是1g

, 也不是逆函数 ,因为 g ( x ) 的逆函数不存在 .

我们用 mes E 表示区间 E 的长度 : 当 E = ( c, d) 或 ( c, d] 或 [ c, d ) 或[ c,

d ] 时 , mes E = d - c;当 E 是空集或单点集时 , mes E = 0 .当 E 为有限个区间

之并时 , mes E 就是这有限个区间长度之和 .区间长度具有可加性 , 直观地可

知 ,如果区间 F , G 满足条件 F ∩ G 至多包含一个点 ,则有

mes( F ∪ G) = mes( F) + mes( G) .

阶梯函数 (3 - 3) 的积分可表示为

∫b

af ( x ) d x = ∑

m

j = 1

aj mes( Ej ) . ( 3 - 5)

对于阶梯函数 ,不难证明如下积分性质 :

·76·3 .1 阶梯函数的积分

性质1 ( 线性性质 ) 设 f , g ∈ T[ a, b] .对于任意实数 λ1 ,λ2 ,有

∫b

aλ1 f ( x ) + λ2 g( x) d x = λ1∫

b

af ( x ) d x + λ2∫

b

ag( x ) d x .

性质2 ( 保序性质 ) 设 f , g ∈ T[ a , b] .如果 " x ∈ [ a , b] 有 f ( x ) ≥

g( x) ,则

∫b

af ( x ) d x ≥∫

b

ag( x) d x .

特别地 ,如果 " x ∈ [ a , b] 有 f ( x ) ≥ 0 ,则

∫b

af ( x ) d x ≥ 0 .

第一个不等式可以由第二个不等式和性质 1 自然得到 .第二个不等式成

立是因为当 f ( x ) ≥ 0 时 ,表示式 ( 3 - 3 ) 中所有的 aj ≥ 0 ,从而 f ( x ) 在[ a, b]

上的积分非负 .

性质3 ( 绝对值性质 ) 设 f ∈ T [ a , b] , 则

∫b

af ( x ) d x ≤∫

b

af ( x ) d x .

注意 :阶梯函数的绝对值仍是个阶梯函数 , 因为在 (3 - 3) 式中 ,

f ( x ) = ∑m

j = 1

ajχE

j

( x ) = ∑m

j = 1

aj χE

j

( x ) ,

这样 f ( x ) 的积分是存在的 .由不等式

- f ( x ) ≤ f ( x ) ≤ f ( x ) ,

应用性质 2 ,立即得到性质 3 .

性质4 (积分关于被积区间的可加性 ) 设 f ∈ T[ a, b] 并设 a≤ c≤ b,

则

∫b

af ( x ) d x =∫

c

af ( x ) d x +∫

b

cf ( x ) d x .

证 对由 (3 - 3 ) 式表示的阶梯函数 f ( x ) ,它在[ a , c] 和[ c, b] 上的限制

可分别写为

f ( x ) [ a , c] = f ( x )χ[ a , c]

( x )

= ∑m

j = 1

ajχE

j

χ[ a , c]

( x ) = ∑m

j = 1

ajχFj

( x )

f ( x ) [ c , b] = f ( x)χ[ c , b]

( x )

= ∑m

j = 1

ajχE

j

χ[ c , b ]

( x ) = ∑m

j = 1

ajχG

j

( x ) ,

其中 , Fj = Ej ∩ [ a , c] , Gj = Ej ∩ [ c, b] , 而

·86· 第 3 章 定 积 分

∫c

af ( x ) d x +∫

b

cf ( x ) d x = ∑

m

j = 1

aj mes( Fj ) + mes( Gj ) .

由于

Fj ∩ G j = Ej ∩ [ a , c] ∩ Ej ∩ [ c, b]

= Ej ∩ [ a , c] ∩ [ c, b]

� { c} ,

j = 1 , 2 , ⋯ , m ,又

Fj ∪ Gj = Ej ∪ [ a , b] = Ej ,

所以有

mes( Fj ) + mes ( Gj ) = mes( Fj ∪ G j ) = mes( Ej ) ,

性质 4 得证 .

由积分的定义不难理解∫a

af ( x ) d x = 0 ,并约定当 a > b 时 ,

∫b

af ( x ) d x = -∫

a

bf ( x )d x .

对阶梯函数而言 ,上述积分的性质在直观上都是清楚的 .我们已经知道 , 积分

映射 I: T[ a, b] →R是线性映射 ,因此上述性质可以用映射的语言来叙述 .总

结一下 ,我们已经做了的是以阶梯函数为定义域的映射 I , 后面的重要工作是

延拓 I 的定义域 ,使得延拓以后的映射仍保留上述性质 , 更为重要的是这种延

拓要符合积分的数学本身和物理背景的要求 .这样就可以考虑更广泛一类函

数的积分 ,从而使积分无论在理论研究上还是在实际应用上发挥它的巨大作

用 .

3 .2 Riemann 积分 (定积分 )

现在来考虑一般 (有界 ) 函数的 Riemann 积分 , 我们将借助阶梯函数的积

分来达到我们的目的 .这个处理方式是很自然的 .回忆一下我们对积分已经学

到的和体会到的内容 ,从直观的几何意义上来讲 , Riemann 积分是被积函数对

应的曲线与实轴所围的曲边梯形的有向面积 ,其中位于实轴上方的面积为正 ,

下方的为负 .我们要从理性上进一步研究有界函数的 Riemann 积分 , 仍然可以

从直观上考虑以这样的曲边梯形的面积计算为出发点 .这就是从直观的感性

到理性的升华 ,这是本节对于 Riemann 积分所要实现的内容 .要计算曲边梯形

的面积一个直接的想法是用容易计算的若干平行于 y 轴的小矩形的面积之和

来逼近 ,而若干平行于 y 轴的小矩形的面积之和正好对应一个阶梯函数的积

分 ,这样有界函数的 Riemann 积分就与阶梯函数的积分联系起来了 , 这个联系

·96·3 .2 Riemann 积分 (定积分 )

就是用阶梯函数的积分来逼近有界函数的 Riemann 积分 , 这也带来了一个好

处 ,就是撇开考虑面积所产生的一种局限 .我们容易明白的一点是如果有界函

数有积分 ,那么它的积分值是确定的 , 与我们如何计算这个值而采取的方法和

步骤无关 .因此我们现在面临的问题是构造什么样的阶梯函数 , 也就是采取什

么有效的方法来达到我们逼近的目的 .从计算单位圆的面积时我们知道可以

用内接正多边形来逼近的方法获得一些启示 ,然而对于一个有界函数 , 由于它

的一般性所带来的复杂性 ,在积分意义上要构造具体的阶梯函数来逼近显而

易见是困难的 ,繁琐的 , 并且是不易操作的 .在计算单位圆的面积时为什么我

们不考虑使用所有的包含在单位圆内的多边形的面积来逼近呢 ?这初看起来

有些荒谬 ,这不更难构造了吗 ?然而再细心想一想 , 正是所有的包含在单位圆

内的多边形的任意性回避了具体内接正多边形的构造问题 .这深奥吗 ?解释是

不需要具体构造 , 也就没有了构造 .但是又出了一个问题 , 任意性的多边形怎

么去实现对单位圆的面积逼近的目的呢 ?别着急 , 一个重要的数学概念出现在

我们的脑子里 ,这个概念我们在第一章中已经掌握在手 , 它就是“确界”!用“确

界”来实现我们的逼近 .单位圆的面积就是所有单位圆内多边形的面积的上

确界 .我们想 , 到这里在我们的脑海里已有了处理积分的整个方法框架了 .这

就到了我们可以依据上面的分析来具体实现我们的目的的时候了 .

设 f ( x ) 是 [ a , b] 上的有界函数 , 引入阶梯函数集 T[ a, b] 的两个子集合

如下 :

X( f ) = {φ( x )∶φ( x ) ∈ T[ a , b] ,且 φ( x ) ≤ f ( x ) , " x ∈ [ a , b]} ,

Y ( f ) = {ψ( x ) ∶ψ( x ) ∈ T [ a , b] , 且 ψ( x ) ≥ f ( x ) , " x ∈ [ a , b]} .

直观上看 X( f ) 是由含在曲线 y = f ( x ) , a ≤ x ≤ b 对应的曲边梯形内的若

干平行于 y 轴的小矩形所对应的阶梯函数之集 , Y ( f ) 则是由其并集要包含

曲线 y = f ( x ) , a≤ x ≤ b 对应的曲边梯形的若干平行于 y 轴的小矩形所对

应的阶梯函数之集 ,见图 3 - 2 .

图 3 - 2

从这个直观图象来看 , X ( f ) 和 Y ( f ) 都是非空的 ,这是一个重要的问题 ,

因为我们不能在一个空集上做文章 ,否则毫无意义 .对于[ a , b] 上任意一个有

·07· 第 3 章 定 积 分

界函数 f ( x ) , X( f ) 和 Y ( f ) 至少分别包含下列阶梯函数 :

sf ( x ; Ej ) = ∑n

j = 1

m jχE

j

( x ) ∈ X ( f ) , ( 3 - 6)

S f ( x ; Ej ) = ∑n

j = 1

M jχEj

( x ) ∈ Y ( f ) , ( 3 - 7)

其中{ Ej }n

j = 1 为[ a, b] 的一个分割以及

m j = inf{ f ( x ) : " x ∈ Ej } , Mj = sup{ f ( x ) ∶ " x ∈ Ej } . ( 3 - 8)

显然给定 [ a, b] 的一个分割 { Ej }n

j = 1 , 我们就唯一确定了一对 sf ( x ; Ej ) 和

Sf ( x ; Ej ) .我们把 sf ( x ; Ej ) 和 S f ( x ; Ej ) 分别称为 Darboux(达布 ) 下函数和

Darboux 上函数 .当分割{ Ej }n

j = 1 取的越来越细 , 也就是maxj

{ mes( Ej ) } → 0 时 ,

从它们的构造上 ,可以粗略地感觉到 sf ( x ; Ej ) 和 Sf ( x ; Ej ) 是要较好地逼近

f ( x ) 的 , 但它们要确切地逼近 f ( x ) ,取决于 M j 与 m j 的差是否能趋于零 .在

积分的发展史上 ,用这两对阶梯函数的积分来研究有界函数的可积性 , 占有一

席之地 (见本节末尾的评注 ) .在本节 , 我们对积分的处理 , 正如在本节一开始

所分析的那样 ,不作具体的阶梯函数的构造 .现在到了该给 Riemann 积分下定

义的时候了 .

定义 3 .2 设 f ( x ) 是[ a, b] 上的有界函数 ,数

σ( f ) = sup∫b

aφ( x ) d x∶ " φ( x ) ∈ X ( f )

称为 f ( x ) 在[ a , b] 上的下积分 ;数

σ( f ) = inf∫b

aψ( x ) d x∶ " ψ( x ) ∈ Y ( f )

则称为 f ( x ) 在[ a , b] 上的上积分 .

若σ( f ) = σ( f ) = σ( f ) ,则称 f ( x ) 在 [ a , b] 上 Riemann 可积 ,值σ( f )

称为 f ( x ) 在[ a , b] 上的 Riemann 积分 , 记为∫b

af ( x ) d x , 其中 f ( x ) 又称为被

积函数 , [ a , b] 为被积区间 , d x 为微分元 .

对于这个积分定义的理解 ,尽管有了定义前面的准备 , 我们还需再作一点

努力 .我们已知“确界”是只对实数集的子集而言的 , 而其它集合 , 如某些阶梯

函数构成的集合可能就谈不上什么确界了 .那么定义中的上、下确界是对谁而

言的呢 ?它们是对 X( f ) 和 Y ( f ) 中的阶梯函数的积分值所构成的集合 (这真

真切切是实数集的子集 ) 而言的 ,我们要请读者习惯定义 3.2 中上、下确界的

这类表示形式 .

下面的工作是从这个定义出发 ,要作进一步挖掘 , 一方面希望我们能更清

·17·3 .2 Riemann 积分 (定积分 )

楚地理解积分的内涵 ,另一方面能掌握易于操作的有界函数可积的判别方法 ,

当然积分定义就是有界函数可积的充分必要条件 ,但我们有必要做一些延伸 ,

并从中确定出一些可积的基本函数及至在某种程度上了解到什么样的函数才

是可积的 .

一般地 , 对于任意一对阶梯函数 φ( x ) ∈ X ( f ) 和 ψ( x ) ∈ Y ( f ) , 由

X ( f ) 和 Y ( f ) 的定义可知 ,在 [ a , b] 上 ,φ( x ) ≤ ψ( x ) ,从而

∫b

aφ( x ) d x ≤∫

b

aψ( x ) d x .

由于 φ( x ) 和 ψ( x ) 的任意性 ,立即导出

σ( f ) ≤珋σ( f ) .

这是个具有一般性而且非常有用的不等式 .

正如我们已经学到的 , 从几何上看 , f ( x ) 在 [ a , b] 上的下积分就是 [ a ,

b] 上所有不大于 f ( x ) 的阶梯函数对应的面积的上确界 , 而上积分则是 [ a ,

b] 上所有不小于 f ( x ) 的阶梯函数对应的面积的下确界 .因为如果曲边梯形

有面积 ,即函数可积的话 , 面积是唯一确定的 , 所以从内部和外部用小矩形面

积之和 (即阶梯函数对应的面积 ) 逼近的结果应该是一致的 , 即上积分要等于

下积分 ,可见这是我们谈积分保留面积的特性的一个基本要求 .然而要做到这

一点 ,必须对 f ( x ) 的图形有所限制 ,例如要求曲线 y = f ( x ) 与实轴所围的

图形不能太乱 ,所以不可能任何函数都是 Riemann 可积的 .那么“图形不能太

乱”的度是什么 ?或者说到底什么样的函数是可积的 ?在我们讨论两个极特别

的例子之前 ,先从 Riemann 积分的定义引出函数可积的一个充分必要条件 , 这

个条件是直接来自上、下确界的定义的 .为此 ,我们一起在脑子里回忆一下上、

下确界的定义以及在该定义后面所做的结论 :对于实数集的任一个子集 E , 总

存在一个点列{ an } � E 使得 limn→∞

an = sup E ( inf E) .有了这个准备 , 不难产生

如下结论 .

定理 3 .1 设 f ( x ) 是 [ a , b] 上的有界函数 . 则 f ( x ) 在 [ a , b] 上

Riemann 可积当且仅当对任意ε> 0 ,总存在 φ( x ) ∈ X( f ) 和ψ( x ) ∈ Y ( f )

使得

0 ≤∫b

a(ψ( x ) - φ( x ) ) d x < ε,

当且仅当存在一对阶梯函数列{φn ( x ) } � X ( f ) 和{ψn ( x ) } � Y ( f ) , 使得

limn→ ∞∫

b

a(ψn ( x ) - φn ( x ) ) d x = 0 . ( 3 - 9)

证明 这里只证后面一个“当且仅当”.先证必要性 :由确界的定义 , 存在

阶梯函数列{φn ( x ) } � X ( f ) 和{ψn ( x ) } � Y ( f ) , 使得当 n →+ ∞ 时 ,有

·27· 第 3 章 定 积 分

∫b

aφn ( x ) d x →σ( f ) , ∫

b

aψn ( x ) d x → σ( f ) ,

那么由 f ( x ) 在 [ a , b] 上 Riemann可积 , 即σ( f ) = σ( f ) ,立即导出 ( 3 - 9 ) 成

立 .

现证充分性 : 此时我们有使 (3 - 9 ) 成立的一对阶梯函数列 {φn ( x ) } �

X ( f ) 和{ψn ( x ) } � Y ( f ) .由上、下积分的定义 , 可知

∫b

aφn ( x ) d x ≤ σ( f ) ≤ σ( f ) ≤∫

b

aψn ( x ) d x ,

结合 (3 - 9) , 就有

0 ≤σ( f ) - σ( f ) ≤∫b

a(ψn ( x ) - φn ( x ) ) d x → 0 ( n →+ ∞ ) .

证得σ( f ) = σ( f ) , 即 f ( x ) 在 [ a , b] 上 Riemann 可积 .

关于定理 3.1 我们做一点说明 , 也就是定理 3.1 中的阶梯函数列{φn ( x ) }

� X ( f ) 和{ψn ( x ) } � Y ( f ) 的构造 .从定理 3.1 我们是不要具体构造的 .对

于 [ a , b] 上 n等份产生的分割 , 确定一对 sf ( x ; Ej ) 和 S f ( x ; Ej ) , 显然它们由

n 所唯一确定 , 因此我们可以把 sf ( x ; Ej ) 和 Sf ( x ; Ej ) 写为 sf ( x ; n ) 和

Sf ( x ; n ) , 这样更为确切 .如果

∫b

a( Sf ( x ; n ) - sf ( x ; n) )d x → 0 ( n →+ ∞ ) ,

由定理 3.1 , f ( x ) 在[ a , b] 上 Riemann 可积 .反之上述结论也成立 ,这可以由

本节后面的定理 3 .6 得到 .

通常把积分∫b

asf ( x ; Ej )d x 称为 Darboux下和 ,而积分∫

b

aSf ( x ; Ej ) d x 称为

Darboux 上和 .Darboux 从 Darboux 下和、上和来考虑函数 Riemann 可积性 .从

定理 3.1 ,我们很容易导出如下 Riemann - Darboux 定理 .

推论 有界函数 f ( x ) 在[ a , b] 上 Riemann 可积当且仅当对任意ε> 0 ,

存在一个分割 Ejnj = 1 对应的 sf ( x ; Ej ) 和 S f ( x ; Ej ) 使得

0 ≤∫b

a( S f ( x ; Ej ) - sf ( x ; Ej ) ) d x < ε . ①

证 充分性由定理 3 .1 直接得到 , 因为 sf ( x ; Ej ) ∈ X( f ) , S f ( x ; Ej ) ∈

Y ( f ) .下证必要性 .设 f ( x ) 在[ a , b] 上 Riemann 可积 .由定理 3 .1 , 对任意ε

> 0 ,存在 φ( x ) ∈ X ( f ) ,ψ( x ) ∈ Y ( f ) ,使得

0 ≤∫b

a(ψ( x ) - φ( x ) ) d x < ε .

取 ψ( x ) 和 φ( x ) 对应的[ a , b] 上的一个公共分割 { Ej } .显然

φ( x ) ≤ sf ( x ; Ej ) ≤ S f ( x ; Ej ) ≤ ψ( x ) .

·37·3 .2 Riemann 积分 (定积分 )

从而 ① 成立 .

置

ωj ( f ) = sup { f ( x′) - f ( x″) : x′, x″∈ Ej } ,

ωj ( f ) 称为 f ( x ) 在 Ej 上的振幅 .显然

ωj ( f ) = M j - m j , ②

(见 ( 3 - 8) ) , 这是因为 " x′, x″∈ Ej , | f ( x′) - f ( x″) | = f ( x′) - f ( x″) 或

者 f ( x″) - f ( x′) ,显然有 | f ( x′) - f ( x″) |≤ M j - m j , 从而ωj ( f ) ≤ M j -

m j .另一方面 ,对任意ε> 0 , 有 x′, x″∈ Ej 使得

f ( x″) - ε< m j ≤ M j < f ( x′) + ε,

从而

M j - m j < f ( x′) - f ( x″) + 2ε

≤ ωj ( f ) + 2ε .

由于ε任意性 ,得 M j - m j ≤ ωj ( f ) .这样证得 ② 成立 .这样

∑n

j = 1

ωj ( f ) mes Ej =∫b

a( S f ( x ; Ej ) - sf ( x ; Ej ) ) d x , (3 - 10)

所以也可以用振幅 ωj ( f ) 来刻画函数 f ( x ) 的可积性 .

下面我们给出两个例子 ,来体会函数的可积性 .

例 1 Dirichlet 函数

D( x ) =0 , x 是有理数 ,

1 , x 是无理数

在[ a , b] 上不 Riemann 可积 .

证 对 " φ( x ) ∈ X( D( x) ) , 由于任意一个区间上都有有理数 , 所以

φ( x ) ≤ 0 (至多可能除去有限个该阶梯函数在分段点上对应的函数值 ) ,从而

σ( D) ≤ 0 .又由于任意一个区间上都有无理数 , 同理可导出 σ( D) ≥ 1 .证得

σ( D) > σ( D) , 所以 D( x) 在 [ a , b] 上不 Riemann 可积 .

例 2 Riemann 函数

R( x ) =

1q

, x =pq

∈ [0 ,1 ] ,

0 , x ∈ [ 0 , 1] 为无理数

在[0 ,1 ] 上 Riemann 可积 .

证 对 " φ( x ) ∈ X( R ) ,可写

φ( x ) = ∑n

k = 1

akχE

k

( x ) ,

其中{ Ek }n

k = 1 为阶梯函数 φ( x ) 对应的 [0 ,1 ] 上的一个分割 .由于 φ( x ) ≤

·47· 第 3 章 定 积 分

R ( x) , 如果 Ek 含有无理点 ,那么当 x 取为 Ek 中的无理点时 ,有

ak = φ( x ) ≤ R ( x ) = 0 .

因此

φ( x ) ≤ ∑′akχE

k

( x ) ,

其中∑′是针对所有只由有理数所构成的单点集 Ek 的和 , 这样

∫1

0φ( x ) d x ≤ ∑′ak mes ( Ek ) = 0 .

由下积分的定义 ,有 σ( R ) ≤ 0 .又 φ0 ( x ) ≡ 0 ∈ X( R) ,故

σ( R ) ≥∫1

0φ0 ( x ) d x = 0 .

这就导出σ( R) = 0 .

另一方面 ,我们要证明 Riemann 函数的上积分也为零 .因为显然 Riemann

函数的上积分是非负的 ,可见关键的地方是要构造 Y ( R) 中的一个阶梯函数

列 ,使其积分值构成的数列趋于零 .为了做到这一点 , 只要了解到与 Riemann

函数性质密切相关的一个事实 : 对 " m > 0 ,满足 q < m 的在区间[0 ,1 ] 上的

有理数pq

只能有有限个 , 记为 r0 , r1 , ⋯ , rn .构造阶梯函数

ψm ( x ) =

1m

, x ≠ rk ,

1 , x = rk , ( k = 0 ,1 ,⋯ , n ) ,

显然 ψm ( x ) ∈ Y ( R) .由上积分的定义 ,有

0 ≤ σ( R ) ≤∫1

0ψm ( x ) d x =

1m

→ 0( m →+ ∞ )

这证得σ( R ) = 0 .结合第一部分 , 导出 R( x ) 在 [0 , 1 ] 上 Riemann 可积 , 并且

积分σ( R) = 0 .

Dirichlet 函数是处处不连续的 , 而 Riemann 函数除有理点外是处处连续

的 .有理点在一段区间上占多少分量呢 ?尽管有理点在区间上是稠密的 , 但从

“长度”或者积分的角度来看是可以忽略不记的 (见本节末尾的评注 ) ; 从有理

点集是可数的而区间上的点集是不可数的 , 并且区间上挖掉所有的有理点之

后仍然是不可数的角度来看 ,有理点集的分量是少的 , 那么从上面的例子 , 可

以提出一个问题请读者来研究 :在 [ a , b] 上可能除去至多可数个点外处处连

续的有界函数是否在[ a , b] 上 Riemann 可积 ?从下面的分析中 , 对于这个问题

的研究也许有些启示 .

接下来我们给出几类基本的 Riemann 可积的函数 , 它们是本书常见的函

数类 .Riemann 函数是阶跃函数 , 这类函数的可积性具有一般性 .

·57·3 .2 Riemann 积分 (定积分 )

定理 3 .2 [ a , b] 上的阶跃函数一定 Riemann 可积 .

证 设 f ( x ) 为 [ a , b] 上的阶跃函数 .由 §2 .4 .2 , 存在阶梯函数列

{φn ( x ) } � X ( f ) 和 {ψn ( x ) } � Y ( f ) ,使得 φn ( x ) 和 ψn ( x ) 都在 [ a , b] 上

一致收敛于 f ( x ) .由 Cauchy 一致收敛准则 , "ε> 0 , v N (ε) , 使得当 n >

N (ε) 时 , " x ∈ [ a , b] , 有

φn ( x ) - f ( x ) <ε

2 ( b - a), ψn ( x ) - f ( x ) <

ε2 ( b - a)

,

从而

0 ≤ ψn ( x ) - φn ( x ) <ε

b - a.

这样有

0≤∫b

aψn ( x ) d x -∫

b

aφn ( x ) d x

≤∫b

a(ψn ( x ) - φn ( x ) ) d x

<∫b

a

εb - a

d x = ε,

也就是 (3 - 9) 成立 , 由定理 3.1 , f ( x ) 在[ a , b] 上可积 .定理 3.2 得证 .

从上述证明过程中 ,可知阶跃函数的积分也可以借用阶梯函数的积分的

极限形式来定义 , 即如果 f ( x ) 为阶跃函数 , { fn ( x ) } 为一致收敛于它的阶梯

函数序列 ,则可以定义

∫b

af ( x ) d x = lim

n→ ∞∫b

af n ( x ) d x .

这种一致收敛性与积分的关系具有一般性 , 进一步的讨论见后面的定理 3.8 .

由于 Riemann 函数是阶跃函数 , 所以由定理 3.2 , 我们再一次证明了 Riemann

函数是可积的 .由于阶梯函数 , 单调函数和分段连续函数都是阶跃函数 , 所以

它们都是 Riemann 可积的 .由于其重要性 ,我们把这个结论写成一个定理 .

定理 3 .3 单调函数和分段连续函数都 Riemann 可积 .

我们不难继续朝更一般性的结论去发展 , 以至似乎函数可积性的内涵已

掌握在手 .

定理 3 .4 在 [ a , b] 上除有限个点外连续的有界函数 f ( x ) 一定在 [ a ,

b] 上 Riemann 可积 .

证明 不妨设 f ( x ) 在[ a , b] 上只有一个不连续点 c, a < c < b .置

m = infa≤ x≤ b

f ( x ) , M = supa≤ x≤ b

f ( x ) .

取任意小的ε> 0 ,使得 ( c - ε, c +ε) � [ a , b] .因 f ( x ) 在 [ a , c - ε] 上连续 ,

也就在 [ a , c - ε] 上可积 ,从而由定理 3.1 ,存在一对 [ a , c - ε] 上的阶梯函数

·67· 第 3 章 定 积 分

φ1 ( x ) 和 ψ1 ( x ) , 使得

φ1 ( x ) ≤ f ( x ) ≤ ψ1 ( x ) , a ≤ x ≤ c - ε,

以及

0 ≤∫b

a(ψ1 ( x ) - φ1 ( x ) ) d x < ε .

同理存在一对[ c + ε, b] 上的阶梯函数 φ2 ( x ) 和 ψ2 ( x ) ,使得

φ2 ( x ) ≤ f ( x ) ≤ ψ2 ( x ) , c + ε≤ x ≤ b,

以及

0 ≤∫b

a(ψ2 ( x ) - φ2 ( x ) ) d x < ε .

定义一对[ a , b] 上的阶梯函数如下

φ( x ) =

φ1 ( x ) , a ≤ x ≤ c - ε,

m, c - ε< x < c +ε,

φ2 ( x ) , c +ε≤ x ≤ b,

ψ( x ) =

ψ1 ( x ) , a ≤ x ≤ c - ε,

M, c - ε< x < c +ε,

ψ2 ( x ) , c +ε≤ x ≤ b .

易知 φ( x ) ≤ f ( x ) ≤ ψ( x ) , a ≤ x ≤ b .那么

0≤∫b

a(ψ( x ) - φ( x ) ) d x

= ∫c - ε

a+∫

c+ε

c - ε+∫

b

c +ε(ψ( x ) - φ( x ) ) d x

=∫c - ε

a(ψ1 ( x ) - φ1 ( x ) ) d x +∫

c+ε

c - ε( M - m) d x

+∫b

c+ε(ψ2 ( x ) - φ2 ( x ) ) d x

< ε+ 2ε( M - m) + ε

= 2 (1 + M - m)ε .

由于ε> 0 的任意性 ,由定理 3 .1 , 证得 f ( x ) 一定在 [ a , b] 上 Riemann 可积 .

在以前我们学过的 Riemann 积分是由 Riemann 和的极限来定义的 .这与

本节所给的定义有所不同 ,那么它们说的是一回事吗 ?它们只是在处理积分的

方式上不同吗 ?我们来回答这个必须回答的问题 .为此 , 让我们来回忆一下如

何用 Riemann 和极限来定义 Riemann 积分 .

设 f ( x ) 为[ a, b] 上的有界函数 .对区间[ a , b] 任作一个分割{ Ej }n

j = 1 , 从

每个 Ej 中任取一点ξj , 构造 Riemann 和

·77·3 .2 Riemann 积分 (定积分 )

∑n

j = 1

f (ξj ) mes( Ej ) .

记 λ( Ej ) = max{mes Ej : 1 ≤ j ≤ n} .我们说当λ→ 0 时 , Riemann 和极限存

在 , 是指存在一个实数μ( f ) , 使得 "ε> 0 , v δ= δ(ε) > 0 ,对区间 [ a , b] 的

任一个分割{ Ej }n

j = 1 以及每个 Ej 中任一点ξj ,只要 λ( Ej ) < δ,就有

∑n

j = 1

f (ξj ) mes( Ej ) - μ( f ) < ε . (3 - 11)

此时 ,记

limλ→ ∞∑

n

j = 1

f (ξj ) mes Ej = μ( f ) .

下面的定理说明本节所引入的“Riemann 可积”与先前讲的“Riemann 和

极限存在”是一致的 .

定理 3 .5 设 f ( x ) 是 [ a , b] 上的有界函数 , 则 f ( x ) 在 [ a , b] 上

Riemann 可积 ,即

σ( f ) = σ( f ) = σ( f )

当且仅当 Riemann 和极限存在 , 即

limλ→ ∞∑

n

j = 1

f (ξj ) mes Ej = σ( f ) .

注 定理 3 .5 的证明对初学者来说 , 有相当的难度 ,可以跳过去不看 .

证 (必要性 ) 由上积分及下积分的定义 , 对 "ε> 0 , v φ( x ) ∈ X ( f )

和 ψ( x ) ∈ Y ( f ) , 使得

∫b

aψ( x ) d x - ε< σ( f ) = σ( f ) = σ( f ) <∫

b

aφ( x ) d x + ε .

(3 - 12)

令

M = sup{ f ( x ) : a ≤ x ≤ b} , m = inf{ f ( x ) : a ≤ x ≤ b} .

设{ Ej }p

j = 1 是 φ( x ) 和ψ( x ) 在[ a, b] 上对应的一个公共的分割 .我们可以要求

m ≤ φ( x ) ≤ ψ( x ) ≤ M . (3 - 13)

这一点可以这样来做到 : 如果 φ( x ) 在某个 Ej 上小于 m , 那么用 m 来代替

φ( x ) 在 Ej 上的值 , 对ψ( x ) 做类似的处理 .显然 , 因为这个处理没有使得积分

∫b

aφ( x )d x 减小以及∫

b

aψ( x ) d x 增大 ,所以这样处理之后 , (3 - 12 ) 仍然成立 .

取

δ= minε

p ( M - m ), mes Ej ≠ 0: 1 ≤ j ≤ p ,

对于区间[ a, b] 的任一分割{ Fj }n

j = 1 ,使得λ( Fj ) < δ, 以及 Fj 中的任一点ξj ,

·87· 第 3 章 定 积 分

我们有阶梯函数

g( x ) = ∑n

j = 1

f (ξj )χFj( x ) .

接下来我们要做的是建立 g( x ) 与 φ( x ) 和ψ( x ) 之间的关系 , 这样才能

通过 (3 - 12 ) 的应用建立估计不等式 (3 - 11 ) .为此 , 我们来构造两个阶梯函

数珘φ( x ) 和珘ψ( x ) 如下 : 在含有分割{ Ej }p

j = 1 的分点的 Fj 上 ,定义珘φ( x ) = m ,

珘ψ( x ) = M ;在其它的 Fj 上 , 定义珘φ( x ) = φ( x ) ,珘ψ( x ) = ψ( x ) .根据构造 ,

珘φ( x ) ∈ X( f ) 和珘ψ( x ) ∈ Y ( f ) , 并且

珘φ( x ) ≤ g( x) ≤ 珘ψ( x ) . (3 - 14)

我们验证一下 ( 3 - 14) .在 Fj 上 , g( x ) = f (ξj ) ,ξj ∈ Fj ,因此如果 Fj 含

有分割{ Ej }pj = 1 的分点 , (3 - 14) 显然成立 ; 对于其它的 Fj , 有一个 Ej

0使得 Fj

� Ej0, 从而

φ( x ) = φ(ξj ) ≤ f (ξj ) ≤ ψ(ξj ) = ψ( x ) ,

推得 (3 - 14 ) .

因{ Ej }p

j = 1 至多有 p 个分割点 , 所以{ Fj }n

j = 1 中含有这些分割点的元素至

多 p个 ,而且由于λ( Fj ) < δ, 每个 Fj 至多含有一个{ Ej }p

j = 1 的分割点 , 应用 (3

- 13 ) , 我们有

∫b

aφ( x ) d x -∫

b

a珘φ( x ) d x ≤ ( M - m)∑ j mes Fj

< ( M - m) pλ < ε,

以及

∫b

aψ( x ) d x -∫

b

a珘ψ( x ) d x ≤ ( M - m )∑ j mes Fj

< ( M - m ) pλ< ε,

其中∑ j是针对那些使得 Fj 含有分割{ Ej }

pj = 1 的分点的 j 求和 .从上面的不等

式和 (3 - 12 ) ,由 (3 - 14) ,有

∑n

j = 1

f (ξj ) mes( Fj ) - σ( f ) = ∫b

ag( x) d x - σ( f )

≤ max∫b

a珘ψ( x ) d x - σ( f ) ,σ( f ) -∫

b

a珘φ( x ) d x

≤∫b

a珘ψ( x )d x -∫

b

a珘φ( x ) d x

≤∫b

aψ( x )d x -∫

b

aφ( x ) d x + 2ε

< 4ε .

·97·3 .2 Riemann 积分 (定积分 )

这样证得 Riemann 和有极限 σ( f ) , 必要性得证 .

( 充分性 ) 设 Riemann和有极限μ( f ) .则对 "ε> 0 , 存在区间[ a , b] 上的

一个分割{ Ej }p

j = 1 , 使得对每个 Ej 中任一点ξj , 有

∑n

j = 1

f (ξj ) mes( Ej ) - μ( f ) <ε2

.

由上确界定义 ,可取定ξj 满足

0 ≤ Mj - f (ξj ) <ε

2( b - a), M j = sup{ f ( x ) : " x ∈ Ej } ,

那么我们有估计

0≤∫b

aS f ( x ; Ej ) d x - ∑

n

j = 1

f (ξj ) mes( Ej )

= ∑n

j = 1

( M j - f (ξj ) ) mes Ej

<ε

2( b - a)∑n

j = 1

mes Ej <ε2

,

从而

珋σ( f ) ≤∫b

aS f ( x ; Ej ) d x < μ( f ) + ε .

同理有

μ( f ) - ε<∫b

asf ( x ; Ej ) d x ≤ σ( f ) .

由ε的任意性 ,有 μ( f ) = σ( f ) = 珋σ( f ) , 证得 f ( x ) 在[ a , b] 上 Riemann 可

积 ,并且 μ( f ) = σ( f ) .证毕 .

结合定理 3.1 和定理 3.5 ,我们立即导出如下结论 .

定理 3 .6 设 f ( x ) 是 [ a, b] 上的有界函数 , 则 f ( x ) 在 [ a , b] 上

Riemann 可积 ,即

σ( f ) = σ( f ) = 珋σ( f ) ,

当且仅当对于[ a , b] 的 n 等分 ,在每个等分区间上任意取点ξj , 有

limn→ ∞∑

n

j = 1

f (ξj )b - a

n= μ( f ) ,

此时 μ( f ) = σ( f ) .

证 必要性自然由定理 3 .5 的必要性得到 .充分性证明也是简单的 , 只

要将定理 3 .5 的充分性证明中区间[ a, b] 上的分割{ Ej }pj = 1 确定为[ a , b] 上 n

等分产生的分割 .剩下的推演就照着定理 3.5 的充分性证明来完成 .

注 定理 3 .6 的证明也可以不看 , 因为它依赖于定理 3 .5 的证明 .

因此 , 我们能够借助定理 3.6将 Riemann和极限的 Riemann积分的定义改

·08· 第 3 章 定 积 分

写为 :函数 Riemann 可积 ,如果对应 [ a , b] 的 n 等份的 Riemann 和极限存在 .

用 J[ a, b] 表示[ a , b] 上阶跃函数的集合 , 而 R [ a , b] 则表示在[ a , b] 上

Riemann 可积函数的集合 .我们有下列关系 :

T[ a, b] � J[ a , b] � R[ a , b] .

在这 3 个集合中 ,我们知道 J 中的每个元素都是 T 中元素的某个一致收

敛序列的极限 ,那么集合 J 和 R 又差多少呢 ?粗略地说 , 结论是 : R 由所有不连

续点至多构成一个“零测度集”的函数所组成 .在本节后面的评述中 , 对“测

度”将有简单的说明 .

现在我们来给出积分所具有的基本性质 , 它们沿袭了阶梯函数的积分所

具有的性质 .记

σ( f ) =∫b

af ( x ) d x , " f ∈ R [ a , b] .

定理 3 .7 设 f , g ∈ R [ a , b] ,则

(1 ) ( 线性性质 ) 对任意实数 λ1 和 λ2 , 有λ1 f + λ2 g ∈ R[ a, b] ,而且

σ(λ1 f + λ2 g) = λ1σ( f ) + λ2σ( g ) ;

(2 ) ( 保序性质 ) 当 " x ∈ [ a , b] 有 f ( x ) ≥ g( x ) 时 ,

σ( f ) ≥ σ( g) ;

(3 ) ( 绝对值性质 ) f ∈ R [ a , b] , 而且 σ( f ) ≤σ f ;

(4 ) f· g ∈ R[ a, b] ;

(5 ) (被积区间的可加性 ) 对 a ≤ c ≤ b ,有 f ∈ R [ a , c] , f ∈ R[ c, b] ,

而且

σ( f ) = σ( f [ a , c] ) + σ( f [ c , b] ) .

σ( f [ a , a] ) = 0 , 并约定当 a > b 时 ,σ( f [ a , b ] ) = - σ( f [ b , a ] ) .

证 (1) " φ∈ X( f ) 和 ψ∈ X( g) ,不难验证 φ+ ψ∈ X( f + g) ,所以

∫b

aφd x +∫

b

aψd x ≤ - 泞σ ( f + g) ,

从而 - 茓σ ( f ) + - 茓σ( g) ≤ - 茓σ( f + g) .同理有 σ( f ) + σ ( g) ≥ σ( f + g) ,从而 - �>

σ( f + g) = σ ( f ) + σ( g) = σ( f + g) .

结论λf ∈ R[ a, b] 及 σ(λf ) = λσ( f ) 留给读者证明 .

(2 ) 的证明在这里省略了 .

(3 ) 这儿我们只证 f ∈ R [ a , b] , 至于不等式 σ( f ) ≤σ( f ) 自然

地由 (2 ) 得到 .由 Riemann - Darboux定理 ( 见本节推论 ) , "ε> 0 , 存在一个分

割{ Ej }n

j = 1 使得

0 ≤∫b

a( S f ( x ; Ej ) - sf ( x ; Ej ) ) d x < ε .

·18·3 .2 Riemann 积分 (定积分 )

由于如下不等式总是成立

f ( x′) - f ( x″) ≥ f ( x′) - f ( x″) ,

有珔ωj ( f ) ≥ 珔ωj ( | f | ) ,从而

0 ≤∫b

a( S | f | ( x ; Ej ) - s| f | ( x ; Ej ) )d x < ε .

再应用 Riemann - Darboux 定理 ,得 | f ( x ) |∈ R[ a , b] .

(4 ) 为了后面估计的需要 , 我们首先设

M1 = sup{ f ( x ) : a ≤ x ≤ b} , m1 = inf{ f ( x ) : a ≤ x ≤ b} ,

M2 = sup { g( x) : a ≤ x ≤ b} , m2 = inf{ g( x) : a ≤ x ≤ b} .

先证明当 f ( x ) ≥ 0 , g( x ) ≥ 0 时结论成立 .因 f ∈ R[ a, b] , g ∈ R [ a , b] ,

由定理 3.1 ,有阶梯函数 φi ( x ) 和 ψi ( x ) ( i = 1 , 2) , 使得

0 ≤ φ1 ( x ) ≤ f ( x ) ≤ ψ1 ( x ) ≤ M1 , " x ∈ [ a , b] , (3 - 15)

0 ≤ φ2 ( x ) ≤ g( x ) ≤ ψ2 ( x ) ≤ M2 , " x ∈ [ a , b] , (3 - 16)

并且

0 ≤∫b

a(ψi ( x ) - φi ( x ) ) d x < ε ( i = 1 ,2 ) . (3 - 17)

显然 φ1φ2 ( x ) ∈ X( f g) 和 ψ1ψ2 ( x ) ∈ Y ( fg) ,并且由 ( 3 - 15)、( 3 - 16) 和

(3 - 17 ) ,有

0≤∫b

a(ψ1ψ2 ( x ) - φ1φ2 ( x ) ) d x

=∫b

a(ψ1ψ2 ( x ) - φ1ψ2 ( x ) ) + (φ1ψ2 ( x ) - φ1φ2 ( x ) ) d x

≤ M2∫b

a(ψ1 ( x ) - φ1 ( x ) ) d x + M1∫

b

a(ψ2 ( x ) - φ2 ( x ) ) d x

< M2ε+ M1ε= ( M2 + M1 )ε .

这样由定理 3.1 ,得 fg ∈ R [ a , b] .

由已经推导出的结论 ,借用下面等式 , 可证得一般情形下结论成立 ,

f· g = ( f - m1 ) ( g - m2 ) + m2 f + m1 g - m1 m2 .

这是因为上式右边各项函数都是 Riemann 可积的 , 应用定理 3 .7( 1) , 就有

f· g ∈ R [ a , b] .

其它性质的证明留给读者 .

最后我们讨论一下 ,积分 σ对 f 是否“连续”, 即 : 如果 f ( x ) , f n ( x ) , n =

1 , 2 , ⋯ 都是 R[ a , b] 中的元素 ,而且{ f n ( x ) } 一致收敛于 f ( x ) ,问是否有

limn→ ∞

σ( fn ) = σ( f ) .

下面的定理作了正面的回答 .

·28· 第 3 章 定 积 分

定理3 .8 设 R [ a , b] 中的一个函数列 { fn ( x ) } 在[ a , b] 上一致收敛于

f ( x ) ,则 f ∈ R [ a , b] 而且

∫b

af ( x ) d x = lim

n→ ∞∫

b

af n ( x ) d x . (3 - 18)

证 由条件 , v N0 , 使得 " x ∈ [ a , b] 有

f N0( x ) - f ( x ) < 1 , f ( x ) < f N

0( x ) + 1 .

由于 f N0( x ) 在 [ a , b] 上有界 , 所以 f ( x ) 也在 [ a , b] 上有界 ." ε > 0 ,

v N (ε) 使得当 n > N (ε) 时 , " x ∈ [ a , b] , 有

fn ( x ) -ε

b - a≤ f ( x ) ≤ f n ( x ) +

εb - a

.

由于 X ( fn -ε

b - a) � X( f ) , 有

σ( f n -ε

b - a) = σ( fn -

εb - a

) ≤σ( f ) .

又 Y ( f n +ε

b - a) � Y ( f ) ,有

σ( f n +ε

b - a) = σ( fn +

εb - a

) ≥σ( f ) .

这样用定理 3 .7 中性质 (1 ) , 有

σ( fn ) - ε≤ - �$σ( f ) ≤σ ( f ) ≤ σ( f n ) + ε,

得

0 ≤ σ( f ) - σ( f ) ≤ 2ε,

即σ ( f ) = σ( f ) , f 在 [ a , b] 上可积 .再应用上面不等式 , 有

σ( f ) - σ( f n ) < ε,

从而 limn→ ∞

σ( fn ) = σ( f ) .

定理得证 .

对 Riemann 积分来说 ,上述定理在收敛而不是一致收敛的条件下一般并

不成立 .

考察例子 ,设

fn ( x ) =nx

n - 1, 0 ≤ x < 1 ,

0 , x = 1 ,

显然 f n ( x ) 在[ 0 , 1] 上收敛于 f ( x ) ≡ 0 .由于

sup0≤ x≤1

fn ( x ) = n →+ ∞ ,

f n ( x ) 在 [0 , 1 ] 上不一致收敛于 f ( x ) ≡ 0 , 又

∫1

0fn ( x ) d x = x

n 1

0 = 1 / 0 ( n → ∞ ) .

·38·3 .2 Riemann 积分 (定积分 )

从性质 1知 R[ a , b] 是线性空间 .C[ a , b] 就是 R[ a , b] 的线性子空间 .在前面的评注

中我们指出 , 可以在 C[ a , b] 上引入度量 ,使其成为度量空间 .我们也可以通过积分 , 在线

性空间 C[ a , b] 上定义内积使之成为内积空间 .

定义 3 .3 对 " f , g ∈ C[ a , b] , 定义

( f , g) =∫b

af ( x ) g( x) d x .

下面验证 ( f , g) 是线性空间 C[ a , b] 上的内积 ,即满足内积定义的如下条件 :

( 1) ( f , g) = ( g , f ) ;

( 2) ( f1 + f2 , g) = ( f1 , g) + ( f2 , g) ;

( 3) (λf , g) = (λf , g) ,λ∈ R;

( 4) ( f , f ) =∫b

af2 ( x )d x ≥ 0 , 等号成立当且仅当 f ( x ) ≡ 0 .

( 1) 是显然的 , (2) 和 (3 ) 由积分的线性性质直接得到 .关于 (4) , 只证明由 ( f , f ) = 0

推出 f ( x ) ≡ 0 .我们用反证法 .假设结论不对 ,存在 x0 ,使得 f ( x0 ) ≠ 0 .由连续性 ,存在 x0

的一个闭邻域 B( x0 ) ,使得在 B( x0 ) 上 , f ( x ) ≠ 0 , 那么 f ( x ) 在 B( x0 ) 上有正的最小

值 ,从而

( f , f ) =∫b

af

2( x )d x ≥∫

B ( x0

)f

2( x ) d x

≥ min B( x

0)

f ( x )2mes B( x0 ) > 0 ,

与条件矛盾 .

利用内积又可以在 C[ a , b] 上引入一个度量 , 使其成为度量空间 ,但它不同于相对于

一致收敛性的度量空间 .引入的度量是

d( f , g) = ( f - g , f - g) .

根据内积空间中的 Cauchy - Schwarz(柯西 — 施瓦兹 ) 不等式

(α,β) ≤ α β ,

其中 α = (α,α) ,可建立积分的 Cauchy - Schwarz 不等式如下 :

设 " f , g ∈ C[ a , b] ,有

∫b

af ( x ) g( x)d x

2

≤∫b

af2 ( x ) d x ∫

b

ag2 ( x ) d x .

可以证明 , 积分的 Cauchy - Schwarz 不等式事实上对任意两个 Riemann可积函数都成立 .

评注 从对积分理论的贡献来看 , 积分理论是由 Newton 和 Leibniz 创立的 , 但他

们的研究出发点有所不同 .计算曲边图形的面积是积分发展的动力之一 .Newton 将面积通

过微分法逆运算来求得 ,这当然是本质的 ,而 Leibniz 则把面积或体积看作诸如矩形或柱体

微元的“和”,这是把积分概念严密化和能向一般性推广的基本思想 .Newton 和 Leibniz 在

建立微积分的时候 , 是认为连续函数一定可导 , 现在我们已知这是不对的 , 所以严格的更

广泛函数的积分定义不能以微分为出发点 .

Cauchy 在《概论》(1823 年 ) 中对定积分作了系统的开创性工作 , 把连续函数的定积分

·48· 第 3 章 定 积 分

定义为后来称之为 Riemann和的极限 , 但Cauchy在证明连续函数 Riemann可积时是不严格

的 .1854 年 , Riemann 将积分推广到了区间上的有界函数 , 他说 [ a , b] 上的有界函数

Riemann 可积当且仅当对区间 [ a , b] 的任意分割 { Ej }n

j = 1 ,总有

limλ→0∫

b

aS f ( x ; Ej ) - sf ( x ; Ej ) d x = 0

(当然还有别的等价条件 ) .Darboux(达布 ) 完善了 Riemann 的方法 .如果将∫b

aS f ( x ; Ej ) d x

称为 Darboux 上和 ,∫b

asf ( x ; Ej ) d x 称为 Darboux 下和 , Darboux 称 ,有界函数可积 ,如果它的

Darboux 上和的下确界等于下和的上确界 .

更为重要的是 ,他证明了有界函数可积当且仅当函数的不连续点组成一个零测度的

集合 .什么是一个集合的测度 ?测度是长度概念的延拓 , 区间的测度就是它的长度 ,但测度

的引入使我们可以考虑一般实数集合的“长度”, 以至可以考虑函数在一般实数集合上的

积分 .这是积分概念的一个飞跃 , 因为我们所学的 Riemann积分建立在区间上 .圆满完成积

分概念延拓的是 Lebesgue 的工作 .这是上世纪数学发展史上的一个伟大贡献 .

Lebesgue 在 Borel(波莱尔) 测度论思想的指导下 ,也吸收了 Jordan(若尔当) 和 Peano的

容量的思想 , 建立了现在已定型的测度论 .设 E 是[ a , b] 内的一个点集 .在所有覆盖 E 的

小区间列中 , 每列小区间的长度总和一起组成一个实数集 , 这些实数显然都非负 , 因而必

有下确界 , Lebesgue 定义这个下确界为 E 的外测度 ,而 E 的内测度则定义为 [ a , b] 的长度

减掉 E 关于 [ a , b] 的补集的外测度 .当 E 的内外测度相等时 , 就称 E 为可测集 ,其值称为

E 的测度 ,记为 mes E .

Lebesgue 接着定义 ,可测集 E 上的函数 f ( x ) 称为“可测函数”, 如果对任意两个实数 A

< B ,集合 { x ∈ E: A ≤ f ( x ) ≤ B} 总是可测的 .Lebesgue 将积分的概念推广到可测函数

类上去 , 他把形式为 ( 3 - 3 ) 的函数称为 E 上的简单函数 (阶梯函数的推广形式 ) .如果

{ Ej }m

j = 1 是 E 的一个可测集分割(即每个 Ej 可测 , 两两不相交且 E = ∪m

j = 1Ej ) ,简单函数 (3 -

3) 的积分定义就用 (3 - 5) 式 :

∫E

f ( x ) d x = ∑n

j= 1

aj mes( Ej ) .

于是 , 按照本节的方法 , 就可定义一般可测函数的积分了 .Lebesgue 可积的函数类较

Riemann 可积类更大 .可以证明 :在区间上 , Riemann 可积的函数一定可测 ,也一定 Lebesgue

可积 ;有界的可测函数一定可积 .非负可测函数 g( x) 也有类似于阶跃函数的性质 :存在一

个非负递增的简单函数列处处收敛于 g( x) .可测函数是更为广泛的一类函数 , 甚至包含

一些无界函数 ,所以可以考虑无界函数的 Lebesgue 积分 ;然而以 Riemann 和的极限为出发

点 ,无论如何也做不到这一点 .Lebesgue 积分的另一个重要之处是简化了积分定理 .例如 :

在一个测度有限的可测集 E 上 , 一致有界的可测函数列 { fn ( x ) } 收敛 (不要求一致收敛 !)

的极限函数 f ( x ) 一定 Lebesgue 可积 , 且

∫E

f ( x ) d x = limn→∞∫E

fn ( x )d x .

这通常被称为 Lebesgue有界收敛定理 .由这个结论我们可以推广定理 3 .8 : 一致有界的

·58·3 .2 Riemann 积分 (定积分 )

Riemann 可积函数列的极限如果 Riemann 可积的话 ,那么 (3 - 18) 式仍然成立 .{ fn ( x ) } 一

致有界是指存在 M > 0 使 " n , " x ∈ E ,总有 | fn ( x ) | ≤ M .

本章采取的处理 Riemann 积分的方法 , 显然吸取了 Riemann - Darboux 的思想以及

Lebesgue 的处理方法 .与 Riemann - Darboux的方法相比 ,由于 Darboux 上函数、下函数相对

而言都是一种特殊的阶梯函数 ,包含在我们所考虑的阶梯函数集 X( f ) 和 Y ( f ) 之中 , 因

此在考虑 Riemann 积分时 ,我们的方法提供了更大的选择范围 , 这样可以认为给 Riemann

积分的处理带来一定的便利 .与 Lebesgue 的方法相比则有本质的区别 ,这个区别就体现了

Lebesgue 积分思想的闪耀之处 .闭区间 [ a , b] 在 Riemann 积分意义下的分割与 Lebesgue 意

义 ,也就是可测集下的分割具有本质性的区别 .我们要看清楚这一点 .前一个分割要严格

遵守自变量按大小排的序 , 而后一个分割则不需要遵守这个序 , 所以更自由 , 操作的空间

更大 .这初看起来好象没什么 , 只是原来的方法简单地推广了一下 , 但事实上远不是如此 .

积分是个和 , 是个微分的和 .这是 Leibniz 有别于 Newton 的研究积分的出发点 .那么

f ( x )d x 是什么东西 ,是令人困惑的 ,d x 不能等于零 ,又可以任意小 .这是 Newton遭到猛烈

攻击的一个地方 .如果直观一点 ,粗糙一点地说 , f ( x ) d x 是 (在 x 处垂直于实轴的带面积

的) 线段 ,历史上 Cavalieri, 以及后来者 Fermat , Pascal 和 Roberval 在他们的研究中就用到

‘纵坐标的和’这样的语言 .那么 Riemann 积分可以看成是函数值按自变量由小到大的序

加起来的和 , 因此如果要求一个函数 Riemann 可积 ,则对此函数的值与自变量之间关系的

要求势必就多 , 例如不连续的点不能太多 .如果视积分为函数值的和 , 那么谈积分就不必

也不应该太强调函数值与自变量之间的关系 , 闭区间[ a , b] 上的 Lebesgue意义下的分割做

到了这点 , 也就是将函数值加起来只是加起来 , 而不必按自变量的序加起来 .我们来看一

个例子 : Dirichlet 函数不 Riemann可积 , 也就是Dirichlet 函数的函数值没有办法按自变量的

序加起来 , 但一个边长为 1 的正方形 ,如果去掉可数多条同平行于该正方形的一边的长为

1 的直线段后 ,“面积”会是多少呢 ?我们会认为它的“面积”明显应该还是 1 .Dirichlet 函数

在 Lebesgue 积分意义下的“面积”就是 1 .

现在读者可以看到了 Riemann 积分与 Lebesgue 积分的区别 .

习题 3

1 .设 f , g ∈ T [ a , b] , 它们分别在 [ a , b] 的两个分割 { x0 , x1 , ⋯ , xn } ,

{ x′0 , x′1 ,⋯ , x′n } (其中 x0 = x′0 = a, xn = x′n = b) 下表示为 (3 - 1 ) 式的

形式 ,证明 f + g ∈ T [ a , b] .

2 .证明阶跃函数积分的下述性质 :

(1 ) 若 f , g ∈ J[ a, b] ,且 " x ∈ [ a , b] , f ( x ) ≤ g( x ) , 则

∫b

af ( x ) d x ≤∫

b

ag( x) d x;

·68· 第 3 章 定 积 分

(2 ) 若 f ∈ J[ a , b] ,则∫b

af ( x ) d x ≤∫

b

af ( x ) d x .

3 .设阶梯函数 f ( x ) = [ x ] ,试求∫4

- 2f ( x ) d x .

4 .证明 :阶梯函数 f ( x ) = [ x] 在区间[ 1 , 5] 上 Riemann可积 ,且 Riemann

积分值等于阶梯函数积分值 .

5 .试证定理 3.1 中的前一个“当且仅当”.

6 .用定理 3.1 证明单调函数 Riemann 可积 .

7 *.设 f ( x ) 在[ a , b] 上的间断点之集只有有限个极限点 .试证 f ( x ) 在

[ a , b] 上 Riemann 可积 .

8 *.设 f ( x ) ∈ C( - ∞ , + ∞ ) , g( x ) ∈ R[ a , b] .试问 f�g ( x ) ∈ R[ a ,

b] 吗 ?

9 .设

f ( x ) =1p

+1q

, x =pq

∈ [ 0 , 1] ,

0 , x 为无理数 .

试问 f ∈ R[ 0 , 1] ?

10 .设 f ∈ R [ a , b] , 则 "ε> 0 , v g( x) ∈ C[ a , b] 使得

∫b

a| f ( x ) - g( x) | d x < ε .

11 .设 f , g ∈ R[ a , b] , 试用定理 3.1 证明

min { f ( x ) , g( x ) } , max{ f ( x ) , g( x ) }

在[ a , b] 上可积 .

12 .设 f ∈ R [ a , b] , 定义

F( x ) = supa≤ t≤ x

f ( t ) .

试问 F( x ) 在[ a, b] 上可积吗 ?

13 .证明 : Cauchy - Schwarz 不等式中等号成立 , 当且仅当 " x ∈ [ a, b]

有 f ( x ) = λg( x ) ,λ∈ R .

14 .设 f ∈ C( 0 , + ∞ ) 且非负递减 ." n ∈N *, 设 un = ∑

n

k = 1

f ( k ) 及 In =

∫n

1f ( t ) d t .证明 :

(1 ) " n ≥ 2 , 有∫n + 1

nf ( t ) d t ≤ f ( n ) ≤∫

n

n - 1f ( t ) d t;

(2 ) " n ≥ 2 , v a > 0 , b > 0 ,使 In + 1 - a ≤ un - b≤ In , 并由此推出序

列{ un } 和{ In } 同时收敛或同时发散 .

·78·习题 3

15 .设 f ∈ C[ a , b] 且 f ( x ) > 0 , 证明 :

∫b

af ( x ) d x∫

b

a

1f ( x )

d x ≥ ( b - a)2

.

16. 设 f ( x ) 在 [ - 1 , 1 ] 上具有连续导数 ,计算

limx→ 0

+

14 x

2∫x

- x[ f ( t + x) - f ( t - x ) ] d t .

17. 设 φ( t ) ∈ C[ 0 , a ] , f″( x ) ≥ 0 , 试证

1a∫

a

0f (φ( t ) ) d t ≥ f

1a∫

a

0φ( t ) d t .

18. 设 f ( x ) 为 [ a , b] 上单调增连续函数 , 试证

∫b

ax f ( x ) d x ≥

a + b2 ∫

b

af ( x ) d x .

19. 设 f ( x ) 为 [ a , b] 上的下凸函数 , 且有二阶导数 ,试证

fa + b

2≤

1b - a∫

b

af ( x ) dx ≤

f ( a) + f ( b)2

.

20. 设 f ( x ) 在 [ a , b] 上有二阶连续导数 , 试证存在ξ∈ [ a , b] 使

∫b

af ( x ) d x = f

a + b2

( b - a) +124

f″(ξ) ( b - a)3

.

·88· 第 3 章 定 积 分

第 4 章 广义积分

Riemann 积分局限于有限区间和有界函数类 .许多实际问题希望能突破

这两个限制 ,将积分的概念延拓到无穷区间和无界函数上 .一般地 , 涉及无穷

区间或无界函数的积分称为广义积分 (或瑕积分 ) .

4 .1 无穷区间上的广义积分

4 .1 .1 无穷区间上广义积分的定义

无穷区间上的广义积分通过有界区间上 Riemann 积分的极限来定义 , 这

是很自然的 .

定义4 .1 设 f ( x ) 在[ a , + ∞ ) 上有定义 .如果 " A > a , f ∈ R [ a , A ] ,

那么 f ( x ) 在[ a , + ∞ ) 上的广义积分定义为

∫+ ∞

af ( x ) d x = lim

A →+ ∞∫

A

af ( x ) d x . ( 4 - 1)

如果 (4 - 1) 式右边的极限存在 , 则称广义积分∫+ ∞

af ( x ) d x 收敛 , 否则称为发

散 .

类似地 ,可定义

∫a

- ∞f ( x ) d x = lim

B→ - ∞∫a

Bf ( x ) d x; ( 4 - 2)

∫+ ∞

- ∞f ( x ) d x = lim

A → +∞∫A

af ( x )d x + lim

B→ - ∞∫a

Bf ( x )d x . ( 4 - 3)

注意 :在 (4 - 3 ) 式中 , A 和 B 是相互独立地趋于 + ∞ 和 - ∞ 的 .如果其

右边两个极限中有一个不存在 , 就称左边的广义积分是发散的 .如果让 A =

- B ,此时的广义积分就称为 Cauchy 主值意义下的广义积分 , 记为

p .v .∫+ ∞

- ∞f ( x ) d x = lim

A→ +∞∫A

- Af ( x ) d x .

因此 ,当∫+ ∞

- ∞f ( x ) d x 收敛时 , p . v .∫

+ ∞

- ∞f ( x )d x 也存在而且与其相等 , 但反过

来不一定成立 .容易看出 , p . v .∫+ ∞

- ∞f ( x ) d x 对任何在有限区间上 Riemann 可

积的奇函数都收敛 , 而且等于零 ; 但∫+∞

- ∞f ( x ) d x 并不是对所有的奇函数都收

敛 .

对无 界 区 间 上 的 广 义 积 分 , 也 有 Newton - Leibniz 公 式 : 若

f ∈ C[ a , + ∞ ) 而且 f ( x ) 在[ a, + ∞ ) 上有原函数 F( x) , 则

∫+∞

af ( x ) d x = lim

A→ +∞F( A ) - F( a) = F( x)

+ ∞a .

其中 , F( + ∞ ) = limx→ +∞

F( x) ,从而∫+ ∞

af ( x ) d x 收敛与否取决于此极限是否存

在 .

例 1 �∫+ ∞

1

1xp d x =

11 - p

1xp - 1

+ ∞

1=

1p - 1

, p > 1 ,

+ ∞ , p < 1 ,

∫+ ∞

1

1x

d x = ln x+ ∞1 = + ∞ .

因此 ,1x

p 在[ 1 , + ∞ ) 上的广义积分 , 当 p > 1 时收敛 ,而当 p ≤ 1 时发散 .请

读者记住这个结论 .因为这个函数是基本的 , 我们经常用它作为一种尺度来判

断其它函数的广义积分的敛散性 (见下一节 ) .

根据无穷区间上广义积分的定义以及极限的基本性质 , 容易证明无穷区

间上的广义积分也具有 Riemann 积分的一些基本性质 , 如积分的线性性质和

保序性质等 ,广义积分的计算也可应用换元积分法和分部积分法 .

在对广义积分作换元变换时 , 要注意上限或下限为无穷时要用极限来考

虑 .变量替换可能将广义积分变成常义积分 .

在使用分部积分法时 ,有一点要注意 .考察如下分部积分公式

∫+∞

aud v = uv

+∞

a-∫

+ ∞

avd u , ( 4 - 4)

当等式右边两个极限都存在时 ,广义积分∫+ ∞

aud v 收敛并且公式成立 ; 当其中

一个极限存在 ,而另一个极限不存在时 ,∫+ ∞

aud v 发散 ;

当两个极限都不存在时 ,∫+ ∞

aud v 敛散性不确定 , 公式 ( 4 - 4) 不成立 , 但

无论怎样我们总有

∫+ ∞

aud v = lim

A→ +∞uv

A

a-∫

A

avd u .

例 2 求∫+ ∞

2 a

1

( x2

- a2)

32

d x ( a > 0) .

解 作变量代换 x = asec t , 0 ≤ t ≤π2

.当 x = 2 a 时 , t =π3

;当 x →

·09· 第 4 章 广义积分

+ ∞ 时 , t →π2

, 因此

原式 =∫π2

π3

1a

3tan

3tasec ttan td t =

1a

2∫π2

π3

cos tsin

2td t

= -1a

21

sin t

π2

π3

=2 - 3

3 a2 .

例 3 求∫+ ∞

1

ln xx

2 d x .

解 用分部积分法 .

原式 = -ln x

x

+∞

1-∫

+ ∞

1-

1x

1x

d x = -1x

+∞

1= 1 .

例 4 求∫+ ∞

0

xln x(1 + x

2)

2 d x .

解 由分部积分法 , 有

∫+ ∞

0

xln x( 1 + x

2)

2 d x =12∫

+ ∞

0ln xd

- 11 + x

2

=12

- ln x1 + x

2 +∫ d xx (1 + x

2)

+ ∞

0

=12

- ln x1 + x2 + ln x -

12

ln (1 + x2 )+∞

0

=12

limx→+ ∞

-ln x

1 + x2 -

12

ln 1 +1x

2

-12

limx→0

+

x2ln x

1 + x2 -

12

ln (1 + x2

)

= 0 .

无穷区间上的广义积分的几何意义是清楚的 .例如 , 当 f ( x ) ≥ 0 ( x ∈

[ a , + ∞ ) ) 时 , 它是由曲线 y = f ( x ) ,直线 x = a, x = A ( A > a) 与实轴所

围的有限曲边梯形的面积当 A →+ ∞ 时的极限 .当这个极限存在时 , 说明曲

线下的无界区域具有有限的面积 ,当极限不存在时 , 说明无界区域的面积是无

穷 .

4 .1 .2 非负函数无穷限积分的判敛准则

如果直接应用 Newton - Leibniz 公式去计算无穷区间上的广义积分一般

是比较困难的 ,因为有积不出来的情形 .但是 ,如果事先知道广义积分收敛 , 那

么就可以用数值近似计算来达到目的 .

如何判断无穷区间上广义积分的敛散性呢 ?自然应该从被积函数的性态

·19·4 .1 无穷区间上的广义积分

出发 .本小节讨论非负函数在无穷区间上的广义积分 , 它们敛散性的判别要简

单一些 .注意到单调有界序列必有极限的事实 , 我们有如下结论 .

定理 4 .1 (比较判别法 ) 设 f , g 在 [ a , + ∞ ) 上有定义 , 非负 ,且对 " A

> a, f , g ∈ R[ a , A ] 以及 v β> 0 和 M > 0 , 使 " x > M ,有

0 ≤ f ( x ) ≤ βg( x) .

(这个条件通常简记为 f ( x ) = O( g( x ) ) ( x →+ ∞ ) ) .

(1 ) 若∫+ ∞

ag ( x ) d x 收敛 , 则∫

+ ∞

af ( x ) d x 收敛 ;

(2 ) 若∫+ ∞

af ( x ) d x 发散 , 则∫

+ ∞

ag( x) d x 发散 .

证 因为 f ( x ) ≥ 0 , 所以∫A

af ( x ) d x 是 A 的增函数 , 极限 lim

A →+ ∞∫A

af ( x ) d x

存在当且仅当∫A

af ( x ) d x 是 A 的有界函数 (请读者证明这一点 ) .

由条件 ,对 " A > M ,有

0 ≤∫A

Mf ( x ) d x ≤β∫

A

Mg( x ) d x ,

又∫A

ag( x) d x 有界当且仅当∫

A

Mg( x) d x 有界 .由此 ,定理中的结论 ( 1) 和 ( 2) 就

不难得到了 .

因此对于非负函数 f ( x ) 来说 , 其广义积分发散 ,只有

∫+ ∞

af ( x ) d x = + ∞ .

由定理 4 .1 立即可得到 :当

limx→+ ∞

f ( x )g( x )

= 1

( 通常简记为 f ( x ) ～ g( x) ( x →+ ∞ ) ) 时∫+ ∞

af ( x ) d x 与∫

+ ∞

ag( x ) d x 有相同

的敛散性 ,因为这时 f 和 g 相互控制 .我们已知∫+ ∞

1

1x

p d x 的敛散性 , 因此可以

用它判断一些非负函数的广义积分的敛散性 .

推论 (Cauchy判别法 ) 设 g在[ a, + ∞ ) 上有定义 , 非负且对 " A > a ,

g ∈ R [ a , A ] .如果 limx→ +∞

xpg( x) = λ,则

(1 ) 当 p > 1 且 + ∞ > λ≥ 0 时广义积分∫+ ∞

ag( x )d x 收敛 ;

(2 ) 当 p ≤ 1 且 0 < λ≤+ ∞ 时广义积分∫+ ∞

ag( x ) d x 发散 .

证 我们只给出两个特殊情形的证明 .

·29· 第 4 章 广义积分

当 p > 1 且 λ= 0 时 , v M > 0 使得当 x > M 时 , 有

0 ≤ g( x) <1xp .

由定理 4.1 ,得∫+∞

ag( x) d x 收敛 .

当 p = 1 且 λ= + ∞ 时 , v M > 0 使得当 x > M 时 ,有

g( x) >1x

.

再由定理 4 .1 ,得∫+∞

ag( x) d x 发散 .

注 当 limx→+ ∞

xg( x) = 0 时 ,我们无法判断∫+∞

ag( x) d x 的敛散性 , 此时说

明用函数1x

p 作为判断尺度还不够精确 .我们还可以用函数1

x( ln x)p 作为判断

尺度 .这个函数的无穷区间上的广义积分的敛散性是清楚的 : 当 p > 1 时收

敛 ,而当 p ≤ 1 时发散 .

例 5 判断积分∫+ ∞

1

4 x

x + 1arctan

1x

d x 的敛散性 .

解 因为当 x →+ ∞ 时 ,

4 x

x + 1arctan

1x～

4 x

x + 1

1x～

4

x,

所以积分发散 .

例 6 判别∫+ ∞

2π

lnsin1x

d x 敛散性 .

解 因

lnsin1x～ ln

1x

( x →+ ∞ ) ,

又 ln x > e ( x > ee) ,所以∫

+∞

2π

ln xd x 发散 ,从而∫+ ∞

2π

lnsin1x

d x 发散 .

4 .1 .3 绝对收敛和条件收敛

我们试着用非负函数的无穷限积分来判断一般函数的无穷限积分的敛散

性 .

定理 4 .2 设 f ( x ) 在任 意有 限 区 间 [ a , b] 上 Riemann 可积 . 若

∫+ ∞

af ( x ) d x 收敛 ,则∫

+ ∞

af ( x ) d x 收敛 .

注 对于通常的 Riemann 积分 ,函数绝对可积推不出此函数可积 , 但反

·39·4 .1 无穷区间上的广义积分

之成立 , 即可积一定绝对可积 .因此 , 如果 f ( x ) 在任意有限区间 [ a, b] 上

Riemann 可积 ,则 f ( x ) 在[ a , b] 上 Riemann可积 , 从而可以考虑 f ( x ) 在

[ a , + ∞ ) 上的广义积分 .

证 由条件 , 极限 limx→+ ∞∫

x

af ( x ) d x 存在 , 则对任意ε> 0 , v M > 0 , 使

得 " x1 , x2 > M , 有

∫x

2

af ( x ) d x -∫

x1

af ( x ) d x =∫

x2

x1

f ( x ) d x < ε .

而

∫x

2

af ( x ) d x -∫

x1

af ( x ) d x =∫

x2

x1

f ( x ) d x ≤∫x

2

x1

f ( x ) d x < ε,

由 Cauchy 准则 ,极限 limx→ +∞∫

x

af ( x ) d x 存在 , 定理得证 .

此定理的逆命题不成立 ,我们通过考察

∫+ ∞

0

sin xx

d x 和∫+ ∞

0

sin xx

d x

的敛散性来加以说明 .因为∫1

0

sin xx

d x 是通常意义下的 Riemann 积分 , 所以

∫+ ∞

0

sin xx

d x 与∫+ ∞

1

sin xx

d x 有相同的敛散性 .应用分部积分法有

∫+ ∞

1

sin xx

d x = -1x

cos x+ ∞

1-∫

+ ∞

1

cos xx

2 d x .

上式右边第一项等于 cos 1 , 第二项积分绝对收敛 , 所以∫+∞

1

sin xx

d x 收

敛 .但

sin xx

≥sin

2x

x=

12 x

-cos 2 x

2 x.

按上面同样的方法 , 可证积分∫+ ∞

1

cos 2 x2 x

d x 收敛 , 又积分∫+ ∞

1

12 x

d x 发散 , 故

∫+ ∞

1

sin2

xx

d x 发散 ,从而∫+ ∞

1

sin xx

d x 即广义积分∫+ ∞

0

sin xx

d x 发散 .

对一般广义积分有以下两种收敛形式 .

定义 4 .2 如果∫+ ∞

af ( x ) d x 收敛 , 则称∫

+ ∞

af ( x ) d x 绝对收敛 ; 如果

∫+ ∞

af ( x ) d x 收敛但∫

+ ∞

af ( x ) d x 发散 ,则称∫

+ ∞

af ( x ) d x 条件收敛 .

·49· 第 4 章 广义积分

这样 ,∫+ ∞

0

sin xx

d x 条件收敛 .

例 7 判别∫+ ∞

2

1 + 2sin x

x x2

- 1d x 的敛散性 .

解 因为

1 + 2sin x

x x2 - 1≤

3

x x2 - 1～

3x

2 ( x →+ ∞ ) ,

所以广义积分∫+ ∞

2

1 + 2sin x

x x2

- 1d x 绝对收敛 .

下面叙述两个有用的积分收敛的判别法 ,它们的证明本书不打算给出 , 读

者可参考一般的数学分析教材 .

Able判别法 :若 f ( x ) 在[ a , + ∞ ) 上的广义积分收敛 , g( x ) 单调有界 , 则

积分∫+ ∞

af ( x ) g( x) d x 收敛 .

Dirichlet判别法 : 若∫A

af ( x )d x 作为 A 的函数有界 ,且当 x →+ ∞时 g( x)

单调趋于零 ,则∫+ ∞

af ( x ) g ( x ) d x 收敛 .

下面我们给出两个用 Able 和 Dirichlet 判别法判别广义积分收敛的例子 .

例 8 判别广义积分∫+ ∞

1

( - 1 )[ x]

x - ln xd x 的敛散性 .

解 用 Dirichlet 判别法 .因为 " A > 1 ,能够找到 n ,使得 n ≤ A < n +

1 , 从而

∫A

1( - 1 )

[ x ]d x = ∑

n - 1

k = 1∫

k+ 1

k( - 1 )

kd x +∫

A

n( - 1 )

nd x

=- 1 + ( - 1)

n

2+ ( - 1 )

n( A - n ) ,

得

∫A

1( - 1) [ x ] d x < 2 .

又 x - ln x 当 x →+ ∞ 时单调增趋于 ∞ .由 Dirichlet 判别法 , 原积分收敛 .

例 9 验证广义积分

∫+ ∞

1

( - 1) [ x ]

( x - ln x )p

xp + 1x

p d x ( p > 0 )

收敛 .

解 由例 8 相同的方法可得

·59·4 .1 无穷区间上的广义积分

∫+∞

1

( - 1)[ x ]

[ x - ln x] p d x

收敛 .又x

p+ 1

xp 单调有界 .由 Able 判别法原积分收敛 .

4 .2 无界函数的广义积分

现在把 Riemann 积分推广到有限区间 [ a , b] 上无界的函数 .

定义4 .3 设 f ( x ) 在点 b附近无界 , 且 " B < b , f ∈ R [ a , B] . f ( x ) 在

[ a , b] 上的广义积分定义为

∫b

af ( x ) d x = lim

B→ b-∫

B

af ( x ) d x . ( 4 - 5)

如果 (4 - 5) 式的极限存在 , 则称广义积分∫b

af ( x ) d x 收敛 , 否则称为发散 .

对于 f ( x ) 在点 a附近无界的情形 , 可类似地定义它在[ a, b] 上的广义积

分 ;对于 f ( x ) 在点 a 和点 b 附近都无界的情形 , 定义

∫b

af ( x ) d x = lim

A→ a+∫

c

Af ( x ) d x + lim

B→ b-∫

B

cf ( x ) d x ,

其中 c 为介于 a 和 b 之间的某个确定的数 .如果上式中的两个极限都存在 , 则

称广义积分∫b

af ( x ) d x 收敛 ; 否则称为发散 .对于 f ( x ) 在 a 与 b之间的点 c 处

无界的情形 ,我们要考虑[ a , c] 和[ c, b] 上两个广义积分 , 只当它们同时收敛

时定义 f ( x ) 在[ a , b] 上广义积分收敛 .

从定义可知 , 广义积分具有通常定积分的一些基本性质 , 请读者具体列

出 .计算广义积分与计算通常的定积分没有太大的区别 , 例如可使用 Newton

- Leibniz 公式、换元法和分部积分法等 ,因为极限并不影响这些运算 .

例 1 计算∫1

0

ln x

xd x .

解 原式 = 2 x ln x10 -∫

1

0

2

xd x = 0 - 4 x

10 = - 4 ,

其中第二个等号后面的 0 是因为

limx→0

+2 x ln x = lim

x→0+

2ln x1

x

= limx→0

+

2x

- 12

x-

32

= 0 .

与无界区间上的广义积分一样 , 也有判断非负无界函数广义积分敛散性

的比较判别法 .

·69· 第 4 章 广义积分

定理4 .3 ( 比较判别法 ) 设 f , g在 [ a , b) 上有定义 ,非负 , 在 b点附近无

界并且对任意 a < B < b , f , g ∈ R [ a , B] 以及

f ( x ) = O( g( x) ) ( x → b-

)

(1 ) 若∫b

ag( x) d x 收敛 ,则∫

b

af ( x ) d x 收敛 ;

(2 ) 若∫b

af ( x ) d x 发散 ,则∫

b

ag( x) d x 发散 .

特别当 f ( x ) ～ g( x) ( x → b - ) 时 , 广义积分∫b

af ( x ) d x 与∫

b

ag( x ) d x 有相

同的敛散性 .

此定理的证明论据和上节一样 ,都是利用单调有界序列必有极限的结论 .

和比较判别法相对应 ,这里也有一个作为判断尺度的一类无界函数的广义积

分 .

由 Newton - Leibniz 公式和广义积分的定义 ,有

∫b

a

1( b - x )

p d x =1

p - 1( b - x )

1 - pb

a

=1

1 - p( b - a)

1 - p, 0 < p < 1 ,

+ ∞ , p > 1 .

当 p = 1 时 ,

∫b

a

1( b - x ) p d x = - ln ( b - x ) b

a = + ∞ .

这样 ,可以将函数 ( b - x )- p

作为一个尺度来判断一些非负函数在[ a , b) 上广

义积分的敛散性 .

定理 4 .4 (Cauchy判别法 ) 若 g ∈ C[ a , b) 非负 ,并在 b 点附近无界而

且

limx→ b

-( b - x )

pg( x) = λ,

则

(1 ) 当 0 < p < 1 且 + ∞ > λ≥ 0 时广义积分∫b

ag( x ) d x 收敛 ;

(2 ) 当 p ≥ 1 且 0 < λ≤+ ∞ 时广义积分∫b

ag( x) d x 发散 .

例 2 积分∫1

0

d x

( 1 - x2) (2 - x

2)是收敛的 , 因为当 x → 1

-时 ,

1

( 1 - x2

) ( 2 - x2)

=1

( 1 - x ) ( 1 + x ) ( 2 - x2)

·79·4 .2 无界函数的广义积分

～1

2( 1 - x ).

例 3 计算∫π2

0lnsin xd x .

解 因为当 0 < x ≤π2

时 lnsin x 与 ln x 都非正 , 所以也有类似的比较

判别法 .

lnsin x 在 0 点附近无界 ,但当 x → 0+时 , lnsin x ～ ln x .用分部积分法易

判断∫π2

0ln xd x 收敛 , 可知原积分收敛 .为了求值 , 令 x = 2 t ,得

∫π2

0lnsin xd x = 2∫

π4

0lnsin 2 td t = 2∫

π4

0( ln2 + lnsin t + lncos t ) d t

=π2

ln2 + 2∫π4

0lnsin ud u + 2∫

π4

0lncos ud u .

在上式最后一个积分中作变量代替 t =π2

- u 得

2∫π4

0lncos ud u = 2∫

π2

π4

lnsin ud u ,

从而得

∫π2

0lnsin xd x =

π2

ln2 + 2∫π2

0lnsin td t ,

故

∫π2

0lnsin xd x = -

π2

ln2 .

对一般无界函数的广义积分 ,也可引入绝对收敛和条件收敛的概念 , 而且

由绝对收敛可推出积分收敛 .同样 , 也有 Able 判别法和 Dirichlet 判别法 .

4 .3 Euler 积分 (Γ函数与 B 函数 )

在许多实际问题中 ,有一些函数起着重要的作用 , 我们称之为特殊函数 .

特殊函数论是数学的一个重要分支 ,有丰富的内容 .本节介绍一类重要的特殊

函数—Γ函数和 B 函数 .它们可以用广义积分的形式定义 , 也可用其它的方式

定义 ,许多特殊函数都与 Γ函数有联系 .

我们先讨论广义积分∫+ ∞

0x

s - 1e

- xd x 的收敛性与参数 s 的关系 .

·89· 第 4 章 广义积分

这个积分有双重广义性 .一方面 , 积分区间无穷 ; 另一方面 , 当 s - 1 < 0

时 , xs - 1 e - x 在 0 点附近无界 .因此有必要把积分分成两部分来讨论 ,写

∫+ ∞

0x

s - 1e

- xd x =∫

1

0x

s - 1e

- xd x +∫

+ ∞

1x

s - 1e

- xd x .

其中 ,后一个积分对任意 s 都收敛 , 这是因为

x2 + s - 1

e- x

→ 0 ( x →+ ∞ ) .

∫1

0xs - 1 e - x d x 的收敛性与参数 s 的关系为 :

(1 ) 当 s - 1 ≥ 0 (即 s ≥ 1 ) 时 ,它是通常的 Riemann 积分 ;

(2 ) 当 s - 1 < 0 (即 s < 1 ) 时 ,有

xs - 1

e- x

=e - x

x1 - s ～

1x

1 - s ( x → 0+

) .

可知该积分与∫1

0

1x

1 - s d x 有相同的收敛性 .因此

(1 ) 当 0 < 1 - s < 1 即 0 < s < 1 时 , 积分∫1

0x

s - 1e

- xd x 收敛 ;

(2 ) 当 1 - s ≥ 1 即 s ≤ 0 时 , 积分∫1

0x

s - 1e

- xd x 发散 .

综合以上结果 , 我们知道 ,当 s > 0 时 , 广义积分∫+ ∞

0x

s - 1e

- xd x 收敛 , 记作

Γ( s) ,并称之为 Γ( Gamma) 函数 , 即

Γ( s) =∫+ ∞

0x

s - 1e

- xd x ( s > 0) ,

它是第二类 Euler 积分 .明显地

Γ( 1) =∫+ ∞

0e

- xd x = - e

- x+ ∞

0= 1 .

Γ函数具有以下性质 :

性质 1 Γ( s) = ( s - 1 )Γ( s - 1) , s > 1 ( 4 - 6)

证 由分部积分法 ,

Γ( s) =∫+ ∞

0x s - 1 e - x d x = - xs - 1 e - x

+ ∞

0+ ( s - 1 )∫

+ ∞

0xs - 2 e - x d x

= ( s - 1 )∫+ ∞

0x

( s - 1 ) - 1e

- xd x = ( s - 1) Γ( s - 1 ) .

如果 s = n + 1 ∈ N *, 则

Γ( n + 1) = nΓ( n ) = ⋯ = n !Γ( 1) = n !,

于是

·99·4 .3 Γ函数 (Euler 积分 )

Γ( n + 1 ) =∫+ ∞

0x

ne

- xd x = n !, ( 4 - 7)

(4 - 7) 式是 n !的分析表达式 .

当 s | N *时 ,Γ( s) 可以看作是阶乘的推广 .当 0 < s < 1 时 , Γ( s) 的值

可查 Γ函数表 .因此由递推公式 (4 - 6 ) 或

Γ( 1 + s) = sΓ( s)

可求得任何 s > 0 的 Γ( s) 的值 .

性质 2(余元公式 )

Γ( s)Γ(1 - s) =π

sin sπ (0 < s < 1 ) . ( 4 - 8)

当 s =12

时 , 由 (4 - 8) 式即得 Γ12

= π .

用 Γ( s) 函数的广义积分表示形式来证明余元公式似乎是困难的 , 但用

它的无穷乘积表示形式来推演却比较直接 , 在一些复分析教科书中可以找到

这个推演过程 .

例1 证明

Γ( s) = 2∫∞

0x

2 s - 1e

- x2

d x .

特别地 , Poisson(泊松 ) 积分

∫+ ∞

0e

- x2

d x =Γ

12

2=

π2

.

证 令 x = t , 即得

2∫+∞

0x

2 s - 1e

- x2

d x = 2∫+∞

0t

s -12 e

- t 12

d t

t

=∫+ ∞

0ts - 1

e- t

d t

= Γ( s) .

例2 求 Γ2 n + 1

2.

解 利用 ( 4 - 6 ) 式递推 ,得

Γ2 n + 1

2=

2 n - 12

2 n - 32

⋯12Γ

12

=( 2 n - 1 ) ! !

2n π .

例 3 考虑广义积分

∫∞

0

xs - 1

e- x

1 - e- x d x

的敛散性 .

·001· 第 4 章 广义积分

因为

xs - 1

e- x

1 - e- x ～ x

s - 1e

- x ( x →+ ∞ ) ,

以及

xs - 1

e- x

1 - e- x ～ x

s - 2 ( x → 0

+) ,

所以当 s > 1 时广义积分收敛 .

函数

ζ( s) =1

Γ( s)∫∞

0

xs - 1 e - x

1 - e- x d x

称为 Riemann ζ函数 .

现在我们来考虑第一类 Euler 积分

B( p , q) =∫1

0x

p - 1( 1 - x )

q - 1d x .

由于

xp - 1

(1 - x )q - 1

～ xp - 1

( x → 0+

)

以及

xp - 1

(1 - x )q - 1

～ ( 1 - x )q - 1

( x → 1-

) ,

第一类 Euler 积分在 p > 0 和 q > 0 时收敛 ,从而 B( p , q) 在 p > 0 , q > 0 时

有定义 , 称为 B 函数 .用变量代替 x = 1 - t , 可直接得到 B( p , q) = B( q , p) .

B 函数与Γ函数有如下关系式

B( p , q) =Γ( p) Γ( q)Γ( p + q)

. ( 4 - 9)

这个等式的证明要用到二重积分 .下面给出证明 (如果读者不了解二重积分 ,

下面证明可以跳过去 )

置 x = cos2θ,有

B( p , q) = 2∫π2

0(cosθ)

2 p - 1( sin θ)

2 q - 1dθ. (4 - 10)

由例 1 , 有

Γ( p)Γ( q) = 4∫∞

0x

2 p - 1e

- x2

d x·∫∞

0y

2 q - 1e

- y2

d y

= 4∫∞

0∫∞

0e - ( x

2+ y

2) x2 p - 1 y2 q - 1 d xd y .

用极坐标 x = rcos θ, y = rsin θ,有

Γ( p )Γ( q) = 4∫∞

0e- r

2

r2 ( p + q ) - 1 d r

·∫π2

0(cos θ)2 p - 1 ( sin θ)2 q - 1 dθ

·101·4 .3 Γ函数 (Euler 积分 )

= Γ( p + q)· B( p , q) .

其中最后一个等式使用例 1 和( 4 - 10 ) .这就导出了 ( 4 - 9) .

由( 4 - 9) 可导出 B 函数的递推公式 .例如

B( p + 1 , q) =Γ( p + 1 )Γ( q)Γ( p + 1 + q)

=pΓ( p)Γ( q)

( p + q)Γ( p + q)

=p

p + qB( p , q) .

习题 4

1 .当 x0 → 0+时 , 下列函数的二元关系正确吗 ?为什么 ?

(1 ) sin x = O( x ) ; (2 ) x = O( x2) .

2 .计算下列无穷限广义积分 .

(1 )∫+ ∞

1

1x( x + 1 )

d x; S( 2)∫+ ∞

0xe

- xd x ;

(3 )∫+ ∞

0e

- xsin xd x; ( 4)∫

+ ∞

0

arctan x

(1 + x2

)32

d x;

(5 )∫+ ∞

- ∞

1x

2+ 2 x + 5

d x ; ( 6)∫+ ∞

1

1

x2

1 + x2

d x ;

(7 )∫+ ∞

1

1x( 1 + x

2)

d x; ( 8)∫0

- ∞xe

xsin xd x;

(9 )∫- 2

- ∞

1

x x2

- 1d x; ( 10 )∫

+ ∞

0

x ln x( 1 + x2 ) 2 d x .

3 .判别下列无穷限广义积分的收敛性 .

(1 )∫+ ∞

1

arctan xx

2 d x; �(2 )∫+ ∞

1arctan

1x

d x;

(3 )∫+ ∞

1

ln( 1 + x2)

xd x; (4 )∫

+ ∞

2

sin x

x 1 + x2

d x ;

(5 )∫- ∞

- 2

1x - sin x

d x ; (6 )∫+ ∞

1

1 + x- 1

- 1xp ln( 1 + x - 2 )

d x;

(7 )∫+ ∞

1

cos2

xx

d x(提示 : 用分部积分 ) .

4 .设∫+∞

af ( x ) d x 与∫

+∞

ag( x) d x 皆收敛 (或皆发散 ) , 且 x ≥ a 时 ,

f ( x ) ≤ h( x ) ≤ g( x) ,

试讨论∫+ ∞

ah( x )d x 的收敛性 .

5 .计算下列广义积分 (或确定其发散性 ) .

·201· 第 4 章 广义积分

(1 )∫1

0ln xd x; �(2 )∫

1

0

1

( 2 + x) 1 - xd x;

(3 )∫2

- 2

2 xx2 - 4

d x; (4 )∫1

- 1

1 - x1 + x

d x;

(5 )∫0

- 1

x

1 - x2

d x; (6 )∫π2

0lncos xd x;

(7 )∫+ ∞

1

1

x x2

- 1d x; (8 )∫

+ ∞

0

1x (1 + x)

d x ;

(9 )∫+ ∞

0

1x

2(1 + x)

d x; (10)∫+ ∞

0

ln xx

2 d x .

6 .判别下列广义积分的敛散性 .

(1 )∫1

0

1

x - x3d x; �( 2)∫

π2

0

1 - cos xx

n d x ( n ∈ N *) ;

(3 )∫1

0

xesin x - 1

d x; ( 4)∫+ ∞

0

sin x

x3

d x;

(5 )∫+ ∞

2

1

x3

x2

- 3 x + 2d x; ( 6)∫

12

1

1

x2

- 3 x + 2d x;

(7 )∫2

1

1ln x

d x .

7 .研究下列积分的敛散性 .

(1 )∫+ ∞

0

ln( 1 + x )x

p d x ; ( 2)∫+ ∞

1

1

xp

ln xd x ;

(3 )∫+ ∞

0

xα

1 + xβd x(β≥ 0 ) .

8 .利用 Euler 积分计算下列积分 .

(1 )∫+ ∞

0x

2e

- xd x; �( 2)∫

+∞

0x

32 e

- 4 xd x;

(3 )∫+ ∞

0x

12 e

- a xd x ( a > 0) ; ( 4)∫

+∞

0x

2 ne

- x2

d x ( n ∈ N *) ;

(5 )∫1

0

1

1 - x13

d x; ( 6)∫1

0

d xn

1 - xn

( n ∈ N *, n > 1) ;

(7 )∫+ ∞

0

11 + x

3 d x (提示 : (6 ) 和 ( 7) 查有关的公式 ) .

9 .证明 : Γ n -12

=(2 n - 3 ) ! !

2n - 1 π .

·301·补 充 题

补 充 题

1 .研究下列广义积分的收敛性 .

(1 )∫π2

0cos xln( tan x ) d x ; �( 2)∫

+ ∞

1sin xsin

1x

d x;

(3 )∫+ ∞

0

1x

sin1x

d x; ( 4)∫+ ∞

0

sin2

xxp d x ( p > 0) .

2 .证明 :∫1

0ln

1x

p

d x = Γ( p + 1) ( p > - 1) , 并求积分 .

(1 )∫1

0ln

1x

12

d x; (2 )∫1

0( - ln t )

-12 d t .

·401· 第 4 章 广义积分

第 5 章 无穷级数

无穷级数是微积分的一个重要组成部分 , 无穷级数理论在现代数学方法

中占有重要的地位 ,同时 , 它在科学技术的许多领域有广泛的应用 .

本章讨论的内容有 : 数项级数的概念与收敛性 , 函数项级数的一致收敛

性 ,幂级数的基本性质 , 函数展成幂级数以及 Taylor 级数的应用 .

5.1 数项级数及其判敛法则

5.1.1 基本概念

无穷数列 { un } 中各项按序用加号连接 ,即

u1 + u2 + ⋯ + un + ⋯ ( 5 - 1)

称为无穷级数 (简称级数 ) ,简记为

∑∞

n = 1

un ,

其中 , un 称为级数的通项或第 n 项 .

这里涉及无穷多个数的“求和”问题 , 它不同于有限个数的求和 , 但可以

通过“有限”来认识“无限”.

定义 5 .1 级数 (5 - 1) 的前 n 项部分和 ,或者说第 n 部分和 , 记作

Sn = u1 + u2 + ⋯ + un , n = 1 ,2 ,⋯ . ( 5 - 2)

如果级数 ( 5 - 1) 的部分和序列 { Sn } 收敛于有限数 S 即 limn→ ∞

S n = S, 则称

级数 (5 - 1) 收敛 , 并把 S 称为级数 (5 - 1 ) 的和 ,记作

∑∞

n = 1

un = S .

如果 S n 的极限不存在 , 则称级数发散 ,此时级数没有“和数”.

由定义可见 ,级数 ( 5 - 1 ) 的收敛性等价于部分和序列 (5 - 2) 的收敛性 .

反之 ,任意一个序列

{ S n } = { S1 , S2 , ⋯ , Sn , ⋯}

的收敛性问题也可化为级数

S1 + ( S2 - S1 ) + ( S3 - S2 ) + ⋯ + ( S n - Sn - 1 ) + ⋯ ( 5 - 3)

的收敛性问题 .这表明 , 级数与序列的收敛性问题可以互相转化 .无穷级数及

其和的研究是序列及其极限研究的一种形式 , 因此数列极限的许多性质可以

在级数中体现 .

例 1 考察几何级数 (等比级数 )

∑∞

n = 1

axn - 1

= a + ax + ax2

+ ⋯ + axn - 1

+ ⋯ ( a ≠ 0 , x ∈ R) .

解 当 x ≠ 1 时

Sn =a (1 - x

n)

1 - x,

因此 , 当 x < 1时级数收敛 , 其和为a

1 - x;当 x > 1 时 Sn → ∞ ( n→ ∞ ) ,

级数发散 .

当 x = 1 时 , Sn = na→ ∞ ( n →∞ ) ,级数发散 .当 x = - 1时 , 对奇数 n ,

Sn = a; 对偶数 n , Sn = 0 ,所以 Sn 的极限不存在 , 级数发散 .

要具体地计算出一个级数的和 , 一般是先算出前 n 项的部分和 Sn , 而计

算 S n 要充分地利用级数通项所隐含的相互抵消的关系 .下面看两个例子 .

例 2 求级数∑∞

n = 1

1

( n + 1) n + n n + 1的和 .

解 因为

1

( n + 1 ) n + n n + 1=

1

n ( n + 1) ( n + 1 + n )

=n + 1 - n

n( n + 1 )

=1

n-

1

n + 1,

所以级数的第 n 部分和

Sn = ∑n

k = 1

1

k-

1

k + 1

= 1 -1

n + 1→ 1 ( n →+ ∞ ) ,

得级数的和为 1 .

例 3 求级数∑∞

n = 1n + 2 - 2 n + 1 + n 的和 .

解 因为级数第 n 部分和

Sn = ∑n

k = 1k + 2 - 2 k + 1 + k

= ∑n

k = 1k + 2 - k + 1 - k + 1 - k

·601· 第 5 章 无穷级数

= n + 2 - n + 1 - 2 - 1

→ 1 - 2 ( n → ∞ ) ,

所以级数的和为 1 - 2 .

例 4 级数∑∞

n = 1

1n

p ,0 < p < 1 ,是发散的 , 因为其第 n 部分和

S n = 1 +1

2p + ⋯ +

1n

p >n

np = n

1 - p→+ ∞ ( n → ∞ ) .

但∑∞

n = 1

1n

2 收敛 , 因为第 n 部分和

Sn < 1 + ∑n

k = 2

1k( k - 1)

= 1 + ∑n

k = 2

1k - 1

-1k

= 2 -1n

< 2 ,

所以{ Sn } 单调有界 ,有极限 .

一般情况下 ,根据定义来判断级数的收敛性是比较困难的 , 因为不易计算

Sn ,然而 , 如果已经知道级数收敛 ,则其和可以用部分和 Sn 近似 , 而且只要 n

足够大 ,其近似程度一般就可以相当地好 .因此可以认为 , 判别级数的收敛性

(简称级数判敛 ) 是研究级数的首要问题 .

5.1.2 数项级数的性质

本节所列的数项级数的基本性质本质上来自极限的基本性质 , 因此其逻

辑基础是清楚的 .

性质1 (收敛级数的线性性质 ) 设级数∑∞

n = 1

un 与∑∞

n = 1

vn 都收敛 , 则对 "λ,

μ∈ R,∑∞

n = 1

(λun + μvn ) 也收敛 , 且有

∑∞

n = 1

(λu n + μvn ) = λ∑∞

n = 1

un + μ∑∞

n = 1

vn . ( 5 - 4)

两个发散级数逐项相加所得的级数并不一定发散 , 然而一个收敛级数与

一个发散级数逐项相加所得的级数必定发散 (证明留给读者 ) .因为一个除有

限项外各项都为零的级数必定收敛 ,所以由性质 1 有

性质 2 对一个级数任意去掉或添加有限项都不改变它的敛散性 .

性质 2 可以从级数收敛的定义直接得到 .

性质 3 若级数 (5 - 1) 收敛 , 则将其项任意加括弧后所得的新级数

·701·5.1 数项级数及其判敛法则

( u1 + ⋯ + un1) + ( un

1+ 1 + ⋯ + u n

2)⋯ + ( un

k+ 1 + ⋯ + un

k+ 1) + ⋯

( 5 - 5)

仍收敛于级数 (5 - 1) 之和 .

证 因级数 ( 5 - 5 ) 的第 k 部分和 S′k = Snk( k = 1 , 2 , ⋯ ) , 所以其部分

和序列{ S nk} 是收敛级数 ( 5 - 1 ) 的部分和序列 { Sn } 的子序列 , 故序列{ S n

k} 也

收敛 ,且收敛于{ Sn } 的极限即级数 ( 5 - 1 ) 之和 .

性质 3 的逆否命题是 : 若级数 (5 - 5) 发散 , 则级数 (5 - 1) 也发散 .但由级

数 (5 - 1) 发散并不能推出级数 (5 - 5) 发散 .例如∑∞

n = 1

( - 1)n发散 , 但两项两项

地加括号所得级数却是收敛的 .可见 , 有限个数求和的结合律并不总适合于无

限个数 (级数 ) 求和 , 但对收敛的级数来说结合律成立 .对于特殊的加括弧方

式 ,性质 3 的逆命题成立 .

性质 4 若级数∑∞

k = 1

uk 加括号时每个括号内的项都同为正项或同为负项

而且所产生的级数 (5 - 5) 收敛于 A , 则∑∞

k = 1

uk 也收敛于 A .

证 由定理条件知 , 当 nk ≤ n ≤ nk+ 1 时级数∑∞

k = 1

uk 的第 n 部分和 S n 介

于 Snk与 Sn

k +1之间 , 其中 Sn

k就是级数 ( 5 - 5 ) 的第 k 部分和 .因当 k → ∞ 时

Snk→ A , 由夹逼定理的相同证明方法 , 可得 S n → A( n → ∞ ) .

由性质 4 ,对于一个正项级数∑∞

n = 1

u n , un ≥ 0 ,加括号所得的新级数与原级

数具有相同的敛散性 .

性质 5 若级数 (5 - 1) 收敛 , 则 un → 0( n → ∞ ) .

证 由于 ( 5 - 1) 的部分和序列{ S n } 收敛 , 所以 un = Sn - Sn - 1 → 0 ( n

→ ∞ ) .

注意 : un → 0 只是级数 (5 - 1 ) 收敛的必要条件 , 而非充分条件 .如例 4 中

级数的通项1

n→ 0( n → ∞ ) ,但∑

∞

n = 1

1

n是发散的 .当然 , un 不趋于 0 是级数

发散的充分条件 .

由部分和序列{ Sn } 的 Cauchy 收敛准则 ,易得级数收敛的 Cauchy 准则 .

定理 5 .1 (Cauchy准则 ) 级数 (5 - 1 ) 收敛的充要条件是 : 对 "ε> 0 ,

v n0 ∈ N , 使 " p > q > n0 ,恒有

uq + 1 + uq + 2 + ⋯ + u p < ε . ( 5 - 6)

作为 Cauchy 准则的应用 ,我们解答如下例子 .

·801· 第 5 章 无穷级数

例 5 判别级数

∑∞

n = 1

1n

- ln 1 +1n

的敛散性 .

解 由第 1.4 节例 6 ,

∑n

k = 1

1k

- ln n → α ( n → ∞ ) ,

其中α是 Euler 数 ." ε> 0 , v N , 当 n > N 时 , 有

∑n

k = 1

1k

- ln n - α < ε .

这样 " p > 0 , n > N ,有

∑n + p

k = n

1k

- ln 1 +1k

= ∑n + p

k = n

1k

- ln( n + p + 1 ) + ln n

≤ ∑n

k = 1

1k

- ln n - α +1n

+ ∑n+ p + 1

k = 1

1k

- ln( n + p + 1) - α +1

n + p + 1

< 2ε+2n

.

因此取 珦N = max{ N ,1ε

} , 当 n > 珦N 时 , " p > 0 ,有

∑n + p

k = n

1k

- ln 1 +1k

< 4ε .

由 Cauchy 收敛准则 ,原级数收敛 .

5 .1 .3 非负项级数的判敛法则

各项 un ≥ 0( n = 1 , 2 , ⋯ ) 的级数称为非负项级数 .非负项级数∑∞

n = 1

un 的

部分和序列 { S n } 显然是递增的 , 因此 , 判别非负项级数是否收敛当且仅当

{ Sn } 是否有上界 .于是 , 可以通过级数通项的比较来判断级数的敛散性 ,这与

广义积分的情形类似 .

定理 5 .2 (比较判别法 ) 设∑∞

n = 1

un ,∑∞

n = 1

vn 皆为非负项级数以及

un = O( vn ) ( n → ∞ )

(即 v n0 > 0 ,β> 0 ,使 " n > n0 恒有 un ≤βvn ) ,则有

·901·5.1 数项级数及其判敛法则

(1 ) 若∑∞

n = 1

vn 收敛 ,则∑∞

n = 1

un 收敛 ;

(2 ) 若∑∞

n = 1

un 发散 , 则∑∞

n = 1

vn 发散 .

由定理 5 .2 ,我们有如下推论 .

推论 1 若 un ～ vn ( n → ∞ ) , 则∑∞

n = 1

un 与∑∞

n = 1

vn 有相同的收敛性 .

用级数通项之间的等价关系来判别非负项级数的敛散性是很有效的 .

例 6 判定级数∑∞

n = 1

3

5 n3

- 2 n2

+ 1n

2 的敛散性 .

解 因为3

5 n3 - 2 n2 + 1n

2 ～3

51n

,

由第 1 .3 节例 2 ,∑∞

n = 1

1n发散 , 所以原级数发散 .

例 7 判定级数∑∞

n = 1

e - 1 +1n

n 2

的敛散性 .

解 因为

e - 1 +1n

n

= e - en ln 1 +

1n

= e[ 1 - en ln 1 +

1n

- 1]

～ - e[ nln 1 +1n

- 1]

= - e n[ ln 1 +1n

-1n

]

～ - e n -1

2 n2 =

e2·

1n

,

由∑∞

n = 1

1n2 收敛 , 所以原级数收敛 .

用比较法判敛 , 几何级数∑∞

n = 0

axn( x < 1 收敛 ) 和 p 级数∑

∞

n = 1

1n

p 是常用

的比较尺度 ,以它们为判敛尺度是因为它们简单而且敛散性是清楚的 .如下就

是事实上以几何级数为判敛尺度的一个常用的判敛法 .

定理 5 .3 (比率判敛法 ) 设∑∞

n = 1

un 为非负项级数 .若

limn→∞

un + 1

un= ρ

·011· 第 5 章 无穷级数

(有限或+ ∞ ) , 则

(1 ) 当 ρ< 1 时级数收敛 ; (2 ) 当ρ> 1 时级数发散 .

证 由条件 , 当ρ为有限数且不等于 1 时 , " 0 < ε< ρ - 1 , v N > 0 ,

使 " n > N 有

un + 1

un- ρ < ε,

即

ρ - ε<u n + 1

un< ρ+ ε . ①

当ρ< 1 时 , r = ρ+ ε< 1 , 于是由 ① 式右端不等式得

uN + 2 < ruN + 1 , uN + 3 < ruN + 2 < r2

uN + 1 ,⋯ , uN + m < rm - 1

uN + 1 ,⋯ .

这里 ,

ru N + 1 + r2 uN + 1 + ⋯ + rm - 1 uN + 1 + ⋯

是公比为 r < 1 的几何级数 , 因此 ,根据比较判敛法 , 级数

uN + 2 + uN + 3 + ⋯ + uN + m + ⋯

收敛 ,从而∑∞

n = 1

un 收敛 .

当 ρ> 1 时 , 取 r = ρ - ε> 1 , 于是由 ① 式左端得 : un + 1 > run , 即 n 充

分大以后 , { un } 是递增序列 .因此 , 当 n → ∞ 时 un 不趋于 0 ,故级数发散 .

当ρ= + ∞ 时 , 级数显然发散 .

比率判敛法也称 d’Alembert(达朗贝尔 ) 判敛法 .该法的优点是不必另找

其它级数 ,而直接从{ un } 自身的状况来判别级数的收敛性 .不过 , 从定理 5 .3

的证明过程可知 ,它本质上是与几何级数作比较而得到的一个判敛准则 .此外

还要注意两点 : (1 ) 当ρ= 1 时 ,不能对级数的收敛性做出任何肯定的结论 , 就

是说级数可能收敛 , 也可能发散 ,例如对于 p 级数 ,不管 p多大 ,ρ都等于 1 , 这

是比率判敛法的空隙之处 ; ( 2) 定理 5 .3 中的极限条件是充分条件 , 但非必要

条件 , 例如级数∑∞

n = 1

2 + ( - 1 )n

2n 是收敛的 ,因为 un ≤

32

n ( n = 1 , 2 , ⋯ ) , 但此时

极限

limn→∞

un + 1

u n= lim

n→ ∞

2 + ( - 1 )n + 1

2 2 + ( - 1 )n

不存在 .由

0 <u n + 1

un<

34

和定理 5.3 的证明 , 也可得级数收敛 .因此我们可以直接考虑比值un + 1

u n的估计

·111·5.1 数项级数及其判敛法则

来判别∑ un 的收敛性 .

例 8 级数∑∞

n = 1

n2

3n 是收敛的 , 因为

( n + 1)2

3 n + 1n

2

3 n =13

n + 1n

2

→13

< 1 ( n → ∞ ) .

例 9 判别两个级数 (1 ) ∑∞

n = 1

n !3 n ; (2 ) ∑

∞

n = 1

n !nn 的收敛性 .

解 级数 ( 1) 发散 , 因为

( n + 1) !3 n + 1

n !3 n =

n + 13

→+ ∞ ( n → ∞ ) .

级数 (2 ) 收敛 ,因为

( n + 1 ) !( n + 1 )

n + 1n !n

n =n

n + 1

n

= 1 +1n

- n

→ e - 1 < 1 ( n → ∞ ) .

下面是另一个以几何级数为判敛尺度的重要判敛法 .

定理 5 .4 (根值判敛法 ) 设∑∞

n = 1

un 为非负项级数 .若

lim supn→ ∞

n

un = ρ

(有限或 + ∞ ) , 则

(1 ) 当 ρ< 1 时级数收敛 ; (2 ) 当ρ> 1 时级数发散 .

证 当 ρ< 1 时 ,取ε> 0 使得 ρ+ ε< 1 , v N, 当 n > N 时 ,有n

un < ρ+ ε, 即 un < (ρ+ ε)n

.

而级数∑ (ρ+ ε)n收敛 ,从而由比较判敛法 , 得级数∑ un 也收敛 .

当ρ> 1 时 , 取ε> 0 使得ρ - ε> 1 , 那么存在一个子列{ nk } 使得n

k unk

> ρ - ε, 即 unk

> (ρ - ε)n

k → ∞ ( k → ∞ ) ,

当然 un →/ 0( n → ∞ ) , 得级数∑ un 发散 .

根值判敛法也称Cauchy判敛法 .同样地 ,当ρ= 1 时也不能判定级数的敛

散性 .

因为极限不一定存在但上极限总是存在的或为无穷 , 所以定理 5.4 中的

上极限ρ总是有的 ,但比率判敛法中的极限不能随意地改为上极限 .不过算上

极限有时也很困难 .究竟使用哪一个判敛法要根据具体情况具体分析 , 请读者

通过练习进行归纳和总结 .

例 10 判别级数∑∞

n = 1

tannθ+

1n

的收敛性 ,其中 θ∈ 0 ,π2

.

·211· 第 5 章 无穷级数

解 由

limn→ ∞

n

un = limn→∞

tan θ+1n

= tan θ,

可知 :当 θ∈ 0 ,π4

时 tan θ< 1 , 因此级数收敛 ;当 θ∈π4

,π2

时 tan θ>

1 , 因此级数发散 ; 当θ=π4

时 tanθ= 1 ,根值判敛法失效 , 但由等价无穷小代

换和重要极限 ,我们有

ln u n = nlntanπ4

+1n

= n ln 1 + tan1n

- ln 1 - tan1n

→ 2 ( n → ∞ ) ,

因此 limn→ ∞

u n = e2≠ 0 .故当 θ=

π4

时级数发散 .

级数的敛散性与广义积分有密切的关系 .

定理5.5 (Cauchy积分判敛法 ) 设 f ∈ C[1 , + ∞ ) 且非负递减 , un =

f ( n) ( n = 1 , 2 , ⋯ ) , 则级数∑∞

n = 1

un 收敛的充要条件是广义积分∫+ ∞

1f ( x ) d x 收

敛 .

证 由条件 , 对 " x ∈ [ k , k + 1] ( k ∈ N *) 都有

uk+ 1 ≤ f ( x ) ≤ uk .

于是由定积分的性质得

uk + 1 ≤∫k+ 1

kf ( x ) d x ≤ uk .

从而有

∑n - 1

k = 1

uk + 1 ≤ ∑n - 1

k = 1∫

k+ 1

kf ( x ) d x ≤ ∑

n - 1

k = 1

uk ,

即

Sn - u1 ≤∫n

1f ( x ) d x ≤ S n - 1 , ①

其中 S n 是∑∞

n = 1

u n 的第 n 部分和 .

由 ① 式可知 :∫A

1f ( x ) d x 有上界当且仅当{ Sn } 有上界 , 故它们有相同的

敛散性 .

利用定理 5.5 ,可以讨论 p级数∑∞

n = 1

1np ( p∈R) 的收敛性 .当 p≤ 0 时 n - p

·311·5.1 数项级数及其判敛法则

不趋于 0 ( n → ∞ ) ,所以级数发散 ; 当 p > 0 时 , f ( x ) =1xp ∈ C[ 1 , + ∞ ) 且

非负递减 , 广义积分∫+ ∞

1

1x

p d x 当且仅当 p > 1 时收敛 , 故 p 级数当且仅当 p >

1 时收敛 .

利用 p 级数作为判敛尺度 ,我们有

推论 2 若 limn→ ∞

un

1n

p

= limn→ ∞

npun = λ, 则

(1 ) 当 p > 1 且 0 ≤ λ< + ∞ 时∑∞

n = 1

un 收敛 ;

(2 ) 当 p ≤ 1 且 0 < λ≤+ ∞ 时∑∞

n = 1

un 发散 .

例 11 判别下列级数的收敛性 :

(1 ) ∑∞

n = 1

ln nn2 ; (2 ) ∑

∞

n = 1

n [ ln(1 + n ) - ln n] .

解 把它们都与 p 级数比较 .由

limn→∞

ln nn2

1

n32

= limn→∞

ln n

n12

= 0

可知级数 (1 ) 收敛 .由

n [ ln(1 + n ) - ln n] = n ln 1 +1n

～n

n=

1

n( n → ∞ )

可知级数 (2 ) 发散 .

在应用推论 2 时 ,要注意正确地选择 p 级数 .例如 ,级数 (1 ) 如果与∑∞

n = 1

1n

或∑∞

n = 1

1n2 作比较 , 由

ln nn

21n

=ln n

n→ 0

或

ln nn2

1n2 = ln n →+ ∞ ( n → ∞ ) ,

就不能对 (1 ) 的收敛性作出肯定的回答 .

还可以用更精细的 Bert rand(贝特朗 ) 级数∑∞

n = 2

1n ( ln n )

p 作为判敛的尺度 .

由定理 5.5 易知 Ber trand 级数收敛当且仅当 p > 1 .

·411· 第 5 章 无穷级数

5.1 .4 任意项级数

正项和负项可以任意出现的级数称为任意项级数 , 任意项级数的判敛问

题比较复杂 .我们主要讨论 : 交错级数 ( 正、负项相间的级数 ) 收敛的充分条

件、任意项级数是否绝对收敛的问题以及条件收敛级数所具有的独特性质 .

定理 5.6 ( Leibniz) 若交错级数∑∞

n = 1

( - 1 )n - 1

un ( un > 0) 中的序列{ un }

递减 ,且 limn→ ∞

un = 0 ,则

(1 ) 交错级数∑∞

n = 1

( - 1 )n - 1

un 收敛 ,其和 S < u1 ;

(2 ) 它的 n 项余和 R n = ∑∞

k = n + 1

( - 1)k - 1

uk 的绝对值

Rn ≤ un + 1 ( n = 1 , 2 , ⋯ ) .

满足定理条件的交错级数称为 Leibniz 型级数 .

证 由于

S2 m = ( u1 - u2 ) + ( u3 - u4 ) + ⋯ + ( u2 m - 1 - u2 m )

= u1 - ( u2 - u3 ) - ⋯ - ( u2 m - 2 - u2 m - 1 ) - u2 m ≤ u1 , ①

故第 2 m 部分和序列{ S2 m } 递增有上界 ,因而必有极限 , 设为 S .又

S2 m + 1 = S2 m + u2 m - 1 ,

且 u2 m + 1 → 0( m → ∞ ) , 故

limm→ ∞

S2 m + 1 = limm→ ∞

S2 m = S,

从而 limn→ ∞

Sn = S .

再根据 ① 式可知 , S ≤ u1 .级数的 n 项余和

Rn = S - Sn = ∑∞

k = n + 1

( - 1 ) k - 1 uk

仍是 Leibniz 型级数 .当 n 为偶数时 , 0 < Rn ≤ u n + 1 ;当 n为奇数时 , - un + 1 ≤

R n < 0 , 故

R n ≤ un + 1 , n = 1 , 2 , ⋯ .

Leibniz 型级数∑∞

n = 1

( - 1 )n - 1

un 的收敛性可以应用 Cauchy 收敛准则来证 .

由条件 , " ε> 0 , v N 使当 n > N 时 ,有

0 < un < ε,

那么对任意正整数 p , 有

( - 1 )n - 1

u n + ( - 1 )nun + 1 + ⋯ + ( - 1 )

n + p - 1un + p

·511·5.1 数项级数及其判敛法则

= un - u n + 1 + ⋯ + ( - 1 )pun + p

< un + u n + p < 2ε .

由级数 Cauchy 收敛准则 ,得∑∞

n = 1

( - 1)n - 1

un 收敛 .

例12 级数∑∞

n = 1

( - 1 )n 1

n,∑

∞

n = 1

( - 1 )n

n和∑

∞

n = 2

( - 1)n

nln n都是 Leibniz型级数 ,

它们都收敛 ;但级数∑∞

n = 1

1n

,∑∞

n = 1

1

n,∑

∞

n = 2

1n ln n

却都发散 .

例 13 设 α,β为常数 ,判别级数∑∞

n = 1

sinn

2+ αn + β

nπ的敛散性 .

解 因

u n = sinn2 + αn + β

nπ

= sin nπ+ α+βn

π

= ( - 1 )nsin α+

βn

π,

所以当α| Z 时 ,

sin α+βn

π→ sinαπ≠ 0 ,

原级数发散 ;当 α∈ Z 时 ,

un = ( - 1)n +α

sinβnπ,

级数成为 Leibniz 型级数 ,从而收敛 .

定理 5.7 若级数∑∞

n = 1

un 收敛 , 则级数∑∞

n = 1

un 收敛 .

证 因为

0 ≤ un + un ≤ 2 un ,

又由于∑∞

n = 1

un 收敛 , 所以∑∞

n = 1

un + un 收敛 , 从而

∑∞

n = 1

un = ∑∞

n = 1

un + un - un

收敛 .

由例 12可见 , 定理 5.7的逆命题不成立 .因此当∑∞

n = 1

un 发散时并不能断

言∑∞

n = 1

un 发散 ; 但如果用比值判敛法或根值判敛法判定∑∞

n = 1

u n 发散 , 则

·611· 第 5 章 无穷级数

∑∞

n = 1

un 必发散 ,因为此时 limn→∞

un ≠ 0 ,见定理 5.3 和定理 5.4 的证明 .

综上 ,任意项级数收敛分为两种情形 .

定义 5.2 如果级数∑∞

n = 1

un 收敛 , 则称级数∑∞

n = 1

un 绝对收敛 ; 如果级数

∑∞

n = 1

un 发散而∑∞

n = 1

un 收敛 , 则称级数∑∞

n = 1

un 条件收敛 .

例 14 判别级数∑∞

n = 1

( - 1 )n x

n

n的收敛性 , 其中 x ∈ R .

解 用 d’Alembert 判敛法考察∑∞

n = 1

u n 的收敛性 .因为

limn→ ∞

u n + 1

un= lim

n→∞

nn + 1

x = x ,

故当 x < 1 时原级数绝对收敛 ; 当 x > 1 时原级数发散 ; 当 x = 1 时

∑∞

n = 1

( - 1)n 1

n条件收敛 ;当 x = - 1 时∑

∞

n = 1

( - 1 )n ( - 1 )

n

n= ∑

∞

n = 1

1n发散 .

概括起来 ,只有当 x ∈ ( - 1 , 1 ] 时原级数收敛 ,其余情形均发散 .

绝对收敛的级数具有加法的交换律及加法对乘法的分配律 , 这与有限项

和相同 .

性质1 若级数∑∞

n = 1

un 绝对收敛 (设其和为 S ) , 则任意交换其各项次序后

得到的新级数 (称为原级数的更序级数 ) 也绝对收敛 (其和仍为 S) .

性质 2 若级数∑∞

n = 1

un 和∑∞

n = 1

vn 都绝对收敛 ,其和分别为 S 和 T , 则它们

的乘积∑∞

n = 2

wn 也绝对收敛 , 其和为 S T ,其中 ,

w n = ∑i+ j = n

ui vj = u1 vn - 1 + u2 vn - 2 + ⋯ + un - 2 v2 + un - 1 v1

级数∑∞

n = 2

wn 称为级数∑∞

n = 1

un 与级数∑∞

n = 1

vn 的 Cauchy 乘积 .进一步还可证

明 :两绝对收敛级数的项之积 ui v j ( i , j = 1 , 2 ,⋯ ) 按任何方式排列成的级数

也绝对收敛于 S T .

至于条件收敛的级数 ,情况就复杂了 , 它们一般不具有上面所述的性质 1

和性质 2 .级数绝对收敛是由其一般项足够小来保证的 , 因此绝对收敛的级数

具有性质 1 和性质 2就易理解了 , 而一个级数∑∞

n = 1

un 条件收敛的根本原因是因

为其正负项相互抵消 ,其一般项虽然趋于零 , 但不足够地小 , 因此在性质 1 和

·711·5.1 数项级数及其判敛法则

性质 2 的变化下这种正负项相互抵消的现象可能就被破坏了 , 所以性质 1 和

性质 2 一般不成立 .我们来考察这一点 .令

an =u n + un

2=

un , un ≥ 0 ,

0 , un < 0 ,

bn =un - un

2=

0 , un ≥ 0 ,

un , un < 0 ,

则∑∞

n = 1

an 是由原级数中所有的正项以及无穷多个 0 项所构成的级数 , 而∑∞

n = 1

bn

是由原级数中所有的负项以及无穷多个 0 项所构成的级数 .再分别记

Sn = ∑n

k = 1

uk , Tn = ∑n

k = 1

uk , An = ∑n

k = 1

ak , Bn = ∑n

k = 1

bk

则

An =12

( Sn + T n ) , Bn =12

( Sn - Tn )

又已知 S n → S (有限数 ) , Tn →+ ∞ , 故 A n →+ ∞ , Bn → - ∞ .

因此 ,对条件收敛的级数来说 , 由其所有正项或所有负项构成的级数的部

分和序列都趋于无穷 .从这个性质可知条件收敛级数的收敛性在某种意义下

是不稳定的 .

定理 5.8 设级数∑∞

n = 1

vn 条件收敛 , A 是任意给定的数 .则存在∑∞

n = 1

vn 的

更序级数收敛于 A .同时 , 还存在它的更序级数发散到无穷 .

证 我们以 A 为正数来证明定理 .先按该级数顺序 ,取出若干个正项 (依次记作 u1 ,

u2 ,⋯ , un1) ,使得

珔u1 = u1 + u2 + ⋯ + un1

> A;

再按原顺序取若干个负项 (依次记作 un1

+ 1 , un1+ 2 ,⋯ , un

2,并记它们的和为

珔u2 = un1+ 1 + un

1+ 2 + ⋯ + un

2) ,

使得

珔u1 + 珔u2 < A ≤珔u1 + 珔u2 - un2

;

然后再取若干个正项 un2+ 1 , un

2+ 2 ,⋯ , un

3,其和记为珔u3 ,使得

珔u1 + 珔u2 + 珔u3 - un3≤ A < 珔u1 + 珔u2 + 珔u3 ;

再取若干个负项 ,⋯ ;如此继续进行下去 ,得到级数∑∞

k = 1

珔uk .因为 vn → 0( n → ∞) , 所以 unk

→ 0( k → ∞) ,从而级数∑∞

k = 1

珔uk 收敛于 A .明显地 , 级数∑∞

k = 1

珔uk 由级数∑∞

k = 1

uk 通过加括号所

得 ,而级数∑∞

k = 1

uk 是原级数∑∞

k = 1

vk 的一个更序级数 .由于每个括号内的项都同为正项或同

·811· 第 5 章 无穷级数

为负项 , 由 5.1.2 节中的性质 4 , 去括号后的级数也收敛于 A ,因此∑∞

k = 1

uk 收敛于 A .

关于一般的任意项级数是否条件收敛的判定很复杂 , 至今我们的认识也

很有限 , 但是使用函数的有限展开 ,也就是带 Peano 余项的 Talyor 展开式对于

判别级数的敛散性会带来一些方便 .

为此 ,我们回忆一下带 Peano 余项的 Taylor 展开式 .若函数 f ( x ) 的 n 阶

导数 f( n )

( x ) 在 x0 处存在 ,则

f ( x ) = f ( x0 ) + f′( x0 ) ( x - x0 ) +f″( x0 )

2 !( x - x0 )

2

+ ⋯ +f

( n )( x0 )

n !( x - x0 )

n+ o( ( x - x0 )

n) .

我们列举几个基本函数的 Taylor 展开式 .

ln( 1 + x ) = x -12

x2

+ ⋯ + ( - 1)n - 1 xn

n+ o( x

n) ,

(1 + x)α

= 1 + αx + ⋯ +α(α - 1 )⋯ (α - n + 1 )

n !x

n+ o( x

n) .

例 15 判定级数∑∞

n = 2

ln 1 +( - 1)

n

n的敛散性 .

解 由 ln(1 + x) 在 x = 0 处的有限展开式 ,有

ln 1 +( - 1 )

n

n=

( - 1)n

n-

12·

1n

+ o1n

,

级数∑∞

n = 2

( - 1 )n

n为 Leibniz 型级数 ,所以收敛 , 而

-12

1n

+ o1n

～ -12

1n ( n → ∞ ) ,

所以级数∑∞

n = 2

-12

1n

+ o1n

发散 , 从而得原级数也发散 .

例 16 判定级数∑∞

n = 2

( - 1 )n

p

n + ( - 1)n

( p > 0) 的敛散性 .

解 应用 ( 1 + x)α在 x = 0 处的有限展开 , 我们有

( - 1)n

p

n + ( - 1)n

=( - 1 )

n

p

n1 +

( - 1 )n

n

-1p

=( - 1 ) n

p

n 1 -1p

( - 1 )n

n+

-1p

-1p

- 1

2 !1n

2 + o1n2

=( - 1 )

n

p

n-

1p

1

n1 +

1p

+p + 12 p

2( - 1 )

n

n2 +

1p

+ o1

n2 +

1p

.

·911·5.1 数项级数及其判敛法则

容易知道上式最后式子的各项对应的级数收敛 ,所以原级数收敛 .

该级数虽然不是 Leibniz 型级数但可以用 Leibniz 型级数收敛的证明方法

来确定该级数收敛 .

因级数∑∞

n = 2

( - 1) n

p

n + ( - 1 )n的第 2 m 部分和

S2 m =1

p

3-

1p

2+

1p

5-

1p

4+ ⋯ +

1p

2 m + 1-

1p

2 m

单调减少 ,又

S2 m = ∑m

k = 1

1p

2 k + 1-

1p

2 k

> ∑m

k = 1

1p

2( k + 1)-

1p

2 k

= -1

p

2+

1p

2 m + 2> -

1p

2,

从而{ S2 m } 单调有界 ,有极限 , 记为 S .又

S2 m + 1 = S2 m +1

p

2 m + 3→ S ( m →+ ∞ ) .

这样得到{ Sn } 有极限 S ,证得原级数收敛 .

我们还可以给级数∑∞

n = 2

( - 1)n

p

n + ( - 1 )n收敛的第三个证明 .为书写方便 , 下

面以 p = 2 为例 ,因

( - 1)n

n + ( - 1) n-

( - 1 )n

n=

( - 1 ) nn - n + ( - 1)

n

n + ( - 1) n n

=- 1

n + ( - 1)n

n ( n + n + ( - 1)n

)

～ -12

1

( n )3 .

因级数∑∞

n = 2

( - 1 )n

n和∑

∞

n = 2

1

( n )3 均收敛 ,所以原级数收敛 .

5.2 函数项级数及其一致收敛性

一般项由函数组成的级数称为函数项级数 .本节讨论函数项级数的一般

概念 ,以及一类重要的函数项级数 ——— 幂级数 .

定义 5.3 若函数列{ un ( x ) } 中每个函数在区间 I 上有定义 ,则称

·021· 第 5 章 无穷级数

∑∞

n = 1

un ( x ) = u1 ( x ) + u2 ( x ) + ⋯ + un ( x ) + ⋯ ( 5 - 7)

为定义在 I 上的一个函数项级数 .如果对 x0 ∈ I , 数项级数

∑∞

n = 1

u n ( x0 ) = u1 ( x0 ) + u2 ( x0 ) + ⋯ + un ( x0 ) + ⋯ ( 5 - 8)

收敛 ,则称点 x0 是函数项级数 (5 - 7) 的收敛点 ;否则称为发散点 .级数 (5 - 7)

的全体收敛点组成的集合 J 称为级数的收敛域 .如果把级数 (5 - 7) 在点 x ∈

J 的和数记作 S ( x ) , 则 S ( x) 是定义在 J上的函数 , 称 S ( x) 为级数 ( 5 - 7 ) 的

和函数 .

例如 ,几何级数∑∞

n = 1

axn - 1

是一个函数项级数 ,其收敛域为 ( - 1 ,1 ) , 和函数

为 S ( x) =a

1 - x, - 1 < x < 1 .

例 17 求函数项级数∑∞

n = 1

( - 1)n

n1

1 + x

n

的收敛域 .

解 利用 d’Alembert 判敛法得

un + 1 ( x )un ( x )

=n

n + 1·

11 + x

→1

1 + x ( n → ∞ ) .

因此 ,当1

1 + x< 1 即 x + 1 > 1 时级数收敛而 | x + 1 | < 1 时发散 ; 当

x = 0 时∑∞

n = 1

( - 1)n

n收敛 ; 当 x = - 2 时 ,∑

∞

n = 1

( - 1)n

n( - 1 )

n发散 .

概括起来 ,级数的收敛域为 ( - ∞ , - 2 ) ∪ [0 , + ∞ ) .

由定义 5.3 可知 ,函数项级数 ( 5 - 7 ) 的和函数 S ( x) 就是它的部分和函

数序列{ Sn ( x ) } 的极限 , 即

limn→∞

Sn ( x ) = S ( x) , x ∈ J .

因此 ,函数项级数的性质可通过其部分和序列{ Sn ( x ) } 来讨论 .

定义 5.4 如果函数项级数∑∞

n = 1

un ( x ) 的第 n 部分和序列 { Sn ( x ) } 在区

间 J 上一致收敛 ,则称∑∞

n = 1

u n ( x ) 在区间 J 上一致收敛 .

也可以用 ε - N (ε) 语言定义函数项级数的一致收敛性 : " ε > 0 ,

v N (ε) 使得当 n > N (ε) 时 , " x ∈ J, 有

∑∞

k = n+ 1

uk ( x ) < ε .

定理 5.9 函数项级数∑∞

n = 1

un ( x ) 在区间 J 上一致收敛于 S( x) 当且仅当

·121·5.2 函数项级数及其一致收敛性

supx∈ J

∑∞

k = n + 1

uk ( x ) = supx∈ J

Sn ( x ) - S ( x) → 0 ( n → ∞ ) .

对于函数项级数 ,我们有实用的 Weierstrass(外尔斯特拉斯 ) 准则 .

定理 5.10( Weierstrass准则 ) 若存在非负的收敛级数∑∞

n = 1

Mn ,使得

un ( x ) ≤ Mn ( x ∈ J, n = 1 ,2 ,⋯ ) ,

则函数项级数∑∞

n = 1

un ( x ) 在区间 J 上绝对一致收敛 .

证 " x ∈ J, 由比较判别法 , ∑∞

n = 1

u n ( x ) 绝对收敛 , 因此对 " n ≥ 0 ,

∑∞

k = n + 1

uk ( x ) 和 ∑∞

k = n + 1

uk ( x ) 是确定的实数 .于是

0 ≤ supx∈ J

∑∞

k = n + 1

uk ( x ) ≤ supx∈ J

∑∞

k = n + 1

uk ( x ) ≤ ∑∞

k = n + 1

M k → 0 ( n → ∞ ) .

由定理 5.9 ,∑∞

n = 1

un ( x ) 在区间 J 上一致收敛 .

通常称定理 5.10 中的级数∑∞

n = 1

Mn 为∑∞

n = 1

un ( x ) 的控制级数 .

例 18 判断级数∑∞

n = 1

x2e

- n x在收敛域 [0 , + ∞ ) 上是否一致收敛 ?

解 容易求得 un ( x ) = x2e

- n x在[ 0 , + ∞ ) 上的最大值为

4n

2 e- 2

,即 " x

∈ [0 , + ∞ ) , 有

un ( x ) = un ( x ) ≤4n

2 e- 2

, n = 1 , 2 , ⋯ ,

而∑∞

n = 1

4n2 e- 2 是收敛的 , 故由 Weierst rass 准则 ,级数在[ 0 , + ∞ ) 上是一致收敛

的 .

相仿于有限个函数的和 ,一致收敛的函数项级数有很好的分析运算性质 .

下面的定理论述了一致收敛级数的和函数的连续性以及级数可以逐项积分的

性质 ,这可以直接从定理 2 .12 和定理 3 .8 推出 .

定理 5.11 若函数 un ( x ) ∈ C[ a , b] ( n ∈ N ) 且级数∑∞

n = 1

u n ( x ) 在[ a ,

b] 上一致收敛于和函数 S ( x ) , 则 S ∈ C[ a , b] 且对 " x0 , x ∈ [ a , b] ,有

∫x

x0

S ( x) d x =∫x

x0

∑∞

n = 1

un ( x ) d x = ∑∞

n = 1

∫x

x0

un ( x )d x , ( 5 - 9)

而且逐项积分所得的级数 (即上式右端的级数 ) 在 [ a , b] 上也一致收敛 .

·221· 第 5 章 无穷级数

证 这里我们证明∑∞

n = 1∫

x

x0

un ( x ) d x 一致收敛于∫x

x0

S ( x ) d x .由条件 , " ε

> 0 , v N (ε) ,当 n > N (ε) 时 , " x ∈ [ a , b] ,有

∑n

k = 1

uk ( x ) - S( x ) < ε .

又

∑n

k = 1∫

x

x0

uk ( x ) d x -∫x

x0

S ( x) d x

=∫x

x0

∑n

k = 1

uk ( x ) - S ( x ) d x

≤∫x

x0

∑n

k = 1

uk ( x ) - S ( x ) d x

< ε| x - x0 |≤ε( b - a) ,

结论成立 .

如果不满足定理 5.11 的条件 ,则不一定能保证和函数 S ( x ) 连续 .(5 - 9)

式表示连续函数项级数在其一致收敛的区间上可以逐项积分 , 即无限求和与

积分可交换次序 .这与有限个函数的和求积分的线性性质相仿 .

定理5.12 设级数∑∞

n = 1

un ( x ) 在 ( a, b) 内收敛于函数 S ( x) .若 un ( x ) ∈

C( 1 ) ( a , b) ( n ∈ N ) 且级数∑∞

n = 1

u′n ( x ) 在 ( a, b) 内一致收敛 , 则∑∞

n = 1

un ( x ) 在

( a , b) 内一致收敛 , 其和函数 S ∈ C( 1 )

( a, b) 而且

S′( x ) = ∑∞

n = 1

un ( x ) ′= ∑∞

n = 1

u′n ( x ) . (5 - 10)

证 设 σ( x ) = ∑∞

n = 1

u′n ( x ) .根据定理 5.11 ,σ∈ C( a, b) 而且 " x0 ,

x ∈ ( a , b) 有

∫x

x0

σ( x ) d x = ∑∞

n = 1

∫x

x0

u′n ( x ) d x

= ∑∞

n = 1

un ( x ) - un ( x0 ) = S ( x ) - S( x0 ) . ①

① 式对 x 求导得

S′( x ) = σ( x ) = ∑∞

n = 1

u′n ( x ) ,

这就是 ( 5 - 10) . S′( x ) = σ( x ) ∈ C( a , b) , 即 S ∈ C( 1 )

( a , b) .再由 ① 式得

·321·5.2 函数项级数及其一致收敛性

∑∞

n = 1

un ( x ) = ∑∞

n = 1

un ( x0 ) + ∑∞

n = 1

∫x

x0

u′n ( x ) d x . ②

② 式右端第一项是收敛的数项级数 , 第二个级数由在 ( a , b) 内一致收敛的级

数∑∞

n = 1

u′n ( x ) 逐项积分所得 , 根据定理 5.11 , 它在 ( a , b) 内也一致收敛 , 而一

致收敛的级数与收敛的数项级数之和仍然一致收敛 ( 证明留给读者 ) , 故

∑∞

n = 1

un ( x ) 在 ( a , b) 内一致收敛 .

(5 - 10 ) 式表明 ,满足定理 5.12 条件的级数可逐项求导 .但须指出 , 上述

2 个定理中的条件都是充分而不是必要的条件 .有兴趣的读者可在一般的数

学分析教科书中找到有关的内容 .

例 19 令 Jn =∫1

0(e

x- 1 ) x

2e

- n xd x .试求级数∑

∞

n = 1

Jn 的和 .

解 如果无穷和与积分可以交换次序的话 , 有

∑∞

n = 1

Jn =∫1

0∑∞

n = 1

(ex

- 1) x2e

- n xd x

=∫1

0(e

x- 1) x

2 e- x

1 - e- x d x

=∫1

0(e

x- 1) x

2 e- x

1 - e- x d x

=∫1

0x

2d x =

13

.

现在来验证积分与无穷和可交换次序 , 由例 18 , 级数∑∞

n = 1

x2e

- n x在[ 0 , 1]

上一致收敛 ,又 ( ex

- 1 ) 是[ 0 , 1] 上的有界函数 , 得级数∑∞

n = 1

( ex

- 1 ) x2e

- n x在

[0 ,1 ] 上一致收敛 .由定理 5 .11 结论成立 .

例 20 令 In =∫π4

0sin n x cos xd x .试求级数∑

∞

n = 0

In 的和 .

解 如果无穷和与积分可以交换次序的话 , 有

∑∞

n = 0

In =∫π4

0 ∑∞

n = 0

sinnxcos xd x

=∫π4

0

cos x1 - sin x

d x

·421· 第 5 章 无穷级数

= - ln(1 - sin x )

π4

0

= - ln 1 -22

.

现在要验证∑∞

n = 0

sinnxcos x 在[ 0 ,

π4

] 上一致收敛 .因

0 ≤ sup0≤ x≤

π4

sinnxcos x ≤ sup

0≤ x≤π4

sinnx ≤ 2

2

n

,

又∑∞

n = 0

22

n

收敛 ,由 Weirerst rass 定理 ,所考虑的函数项级数在[ 0 ,π4

] 上一致

收敛 .

5.3 幂级数和 Taylor(泰勒 ) 级数

本节讨论一类特殊的函数项级数 ——— 幂级数 .一般项为

un ( x ) = an ( x - x0 )n

的函数项级数

∑∞

n = 0

an ( x - x0 )n

= a0 + a1 ( x - x0 ) + ⋯ + an ( x - x0 )n

+ ⋯

(5 - 11)

称为幂级数 .当 x0 = 0 时 , 它具有更简单的形式

∑∞

n = 0

an xn

= a0 + a1 x + ⋯ + an xn

+ ⋯ , (5 - 12)

其中的 an 是正整数 n 的函数 .这个简单的形式具有一般性 , 其它的情形可以

通过坐标平移来得到 ,因此本节重点讨论这种形式 .

幂级数具有很好的代数运算和分析运算性质 , 而且也是函数的一种重要

表示形式 .

5.3 .1 幂级数的收敛域及其一致收敛性

判定幂级数的收敛域是以下述 Abel(阿贝尔 ) 定理为基础的 .

定理 5.13 (Abel 定理 ) 如果函数列{ an x n } 在点 x0 ≠ 0 有界 ,则幂级

数 (5 - 12 ) 在 - x0 , x0 内绝对收敛 , 而且对 0 < r < x0 ,它在[ - r ,

r ] 上一致收敛 .

证 由 于 " n ∈ N , 都 有 an xn0 ≤ M ( 正 常 数 ) , 从 而 " x ∈

- x0 , x0 即当 x < x0 时有

·521·5.3 幂级数和 Taylor(泰勒) 级数

an xn

= an xn0

xx0

n

≤ Mxx0

n

. ①

因∑∞

n = 0

Mxx0

n

是 公 比xx0

< 1 的 几 何 级 数 , 所 以 ∑∞

n = 0

an xn

在

- x0 , x0 内收敛 .

又 " x ∈ [ - r , r] 0 < r < x0 , 由 ① 式得

an xn

≤ Mrx0

n

,

其中r

x0< 1 .所以根据 Weierst rass 准则可知幂级数 ( 5 - 12 ) 在[ - r , r ] 上

一致收敛 .

如果幂级数 (5 - 12) 在点 x0 ≠ 0 处收敛 , 则由收敛的必要条件 an xn0 → 0

( n → ∞ ) 可知 ,函数列{ an xn} 在点 x0 有界 ,从而由定理 5.13 立即得下面的

推论 .

推论 若幂级数 (5 - 12) 在点 x0 ≠ 0 处收敛 , 则它在 - x0 , x0 内

绝对收敛 ,且在[ - r , r ] ( 0 < r < x0 ) 上一致收敛 .

若幂级数 (5 - 12 ) 在点 x0 ≠ 0 处发散 ,则它在 x > x0 处发散 .

这里必须指出 ,幂级数 ( 5 - 12) 在点 x0 收敛 (发散 ) , 并不能保证它在点

( - x0 ) 也收敛 (发散 ) .幂级数 ( 5 - 12) 在点 x = 0 总是收敛的 .由 Abel 定理及

其推论可知 ,它的收敛域是对称于原点 O 的一个区间 .所以幂级数 (5 - 12 ) 的

收敛情形只有以下三种可能 :

(1 ) 仅在 x = 0 处收敛 ;

(2 ) 在任何点 x 处都收敛 ,即收敛域为 ( - ∞ , + ∞ ) ;

(3 ) 存在 R > 0 ,使得当 x < R 时级数收敛 ; 当 x > R 时级数发散 ;

当 x =± R 时 ,级数或者收敛或者发散 .

我们定义幂级数收敛区间的半径为收敛半径 .当可能性 ( 1) 、( 2) 和 (3 ) 发

生时 ,收敛半径依次为 0 , + ∞ 和 R .

只要作变换 y = x - x0 , 幂级数 ( 5 - 11 ) 的收敛性同样分为以上三种情

况 ,所以它的收敛域为对称于 x0 的区间 .

收敛半径的存在是幂级数的一个重要特点 .我们可以从比率判别法和根

值判别法来确定幂级数的收敛半径 .

定理 5.14 对于幂级数 ( 5 - 12) , 如果

limn→ ∞

an + 1

an= ρ

(有限或无穷 ) ,则当 0 < ρ< + ∞ 时收敛半径 R =1ρ

; 当ρ= 0 时收敛半径

·621· 第 5 章 无穷级数

为 R = + ∞ ; 当ρ= + ∞ 时收敛半径为 R = 0 .

证 因为

limn→∞

an + 1 xn + 1

an xn = lim

n→ ∞

an + 1

anx = ρ x ,

所以由 d’Alembert 判敛法 , 对 0 < ρ< + ∞ , 当ρ x < 1 即 x <1ρ

时 , 级

数收敛 ;当 ρ x > 1 即 x >1ρ

时 ,级数发散 .因此收敛半径 R =1ρ

.

若ρ= 0 ,则 " x 均有ρ x = 0 , 故收敛半径 R = + ∞ .

若ρ= + ∞ , 则 " x ≠ 0 , 有ρ x = + ∞ , 因而级数 ( 5 - 12) 在任何 x ≠

0 处都发散 ,故收敛半径 R = 0 .

定理 5.14 是建立在 d’Alembert 判敛法的基础上的 .由根值判敛法可以建

立另一个求收敛半径的方法 ,请读者自行列出 .求幂级数的收敛域是先求收敛

半径 ,然后讨论在收敛区间端点上的收敛性 .

例 21 求下列幂级数的收敛域 :

(1 ) ∑∞

n = 1

( - 1 )n 2

n

nx

n; ?( 2) ∑

∞

n = 1

1n

2 ( x - 2 )n;

(3 ) ∑∞

n = 1

( - nx )n; ( 4) ∑

∞

n = 1

1n !

xn

.

解 (1 ) 记 an = ( - 1)n 2 n

n,由

limn→∞

an + 1

an= lim

n→ ∞

2 n

n + 1= 2 ,

得收敛半径 R =12

,因此幂级数的收敛区间是 -12

,12

.

当 x =12

时 ,级数∑∞

n = 1

( - 1 ) n 1

n收敛 ; 当 x = -

12

时 ,级数

∑∞

n = 1

( - 1)n 1

n( - 1)

n= ∑

∞

n = 1

1

n

发散 ,故幂级数的收敛域为 -12

,12

.

(2 ) 记 an =1n

2 ,由

limn→ ∞

an + 1

an= lim

n→∞

n2

( n + 1)2 = 1 ,

得收敛半径 R = 1 ,所以当 x - 2 < 1 即 x ∈ (1 , 3 ) 时幂级数收敛 .当 x =

1 时 ,∑∞

n = 1

( - 1) n

n2 收敛 ;当 x = 3 时 ,∑

∞

n = 1

1n

2 收敛 .故幂级数的收敛域为[1 ,3 ] .

·721·5.3 幂级数和 Taylor(泰勒) 级数

(3 ) 记 an = ( - 1 )nn

n, 由

limn→∞

an + 1

an= lim

n→ ∞( n + 1) 1 +

1n

n

= + ∞ ,

得收敛半径 R = 0 , 故幂级数仅在 x = 0 处收敛 .

(4 ) 记 an =1n !

,由

limn→ ∞

an + 1

an= lim

n→∞

1n + 1

= 0

得收敛半径 R = + ∞ , 故幂级数的收敛域为 ( - ∞ , + ∞ ) .

例 22 求幂级数

∑∞

k = 1

13

k x2 k - 1

=13

x +13

2 x3

+13

3 x5

+ ⋯

的收敛域 .

解 此题不能直接应用定理 5.14 ,但利用

limk→ ∞

k

13

k x2 k - 1

=x

2

3

可得当x

2

3< 1 即当 x < 3 时幂级数收敛 ; 当

x2

3> 1 即当 x > 3 时幂级

数发散 , 所以收敛半径 R = 3 .又当 x = 3 时 ,一般项为13

k 32 k - 1

=1

3, 因

此幂级数发散 ; 当 x = - 3 时一般项为 -1

3,因此幂级数也发散 .故该级数的

收敛域为 - 3 , 3 .

此题也可以通过变量替换 t = x2 转化为通常的幂级数来做 .

例 23 求∑∞

n = 1

( - 1)n

n1

2 x + 1

n

的收敛域 .

解 置 t =1

2 x + 1.考虑幂级数∑

∞

n = 1

( - 1)n

ntn

.容易得到该幂级数的收敛

域为 - 1 < t ≤ 1 , 所以原级数的收敛域为

- 1 <1

2 x + 1≤ 1 ,即 x ≥ 0 或 x < - 1 .

我们以叙述下面的 Abel 第二定理来结束本小节 .

定理5.15 若幂级数 (5 - 12) 的收敛半径为 R 且在 x = R 处收敛 , 则对

0 < r < R , 它在[ - r , R ] 上一致收敛 .

定理的证明已经超出本课程的要求 .

5.3 .2 幂级数的运算性质

1. 幂级数的四则运算性质

·821· 第 5 章 无穷级数

设幂级数∑∞

n = 0

an xn与∑

∞

n = 0

bn xn的收敛半径分别为 R1 > 0 和 R2 > 0 .令

R = min( R1 , R2 ) , 则有

(1 ) 加法

∑∞

n = 0

an xn

+ ∑∞

n = 0

bn xn

= ∑∞

n = 0

( an + bn ) xn

, - R < x < R .

当 R1 = R2 时 ,∑∞

n = 0

( an + bn ) xn的收敛半径可能大于 R , 因为两个发散级

数之和可能收敛 .

(2 ) 乘法

∑∞

n = 0

an xn ∑

∞

n = 0

bn xn

= ∑∞

k = 0∑i+ j = k

ai bj xk, - R < x < R .

这由本书 §5.1.4 中绝对收敛级数的性质 2 可得 ,所以由 Cauchy 乘积所

得的新幂级数的收敛半径至少是 R .

(3 ) 除法 当 b0 ≠ 0 时 , 在 x = 0 的某个邻域内有

a0 + a1 x + a2 x2

+ ⋯ + an xn

+ ⋯

b0 + b1 x + b2 x2 + ⋯ + bn xn + ⋯

= c0 + c1 x + c2 x2 + ⋯ + cn xn + ⋯ ,

其商级数∑∞

n = 0

cn xn中的系数 cn , 按等式

∑∞

n = 0

bn xn ∑

∞

n = 0

cn xn

= ∑∞

n = 0

an xn

两端级数同次幂项的系数相等来确定 , 但商级数的收敛半径可能比 R 小得

多 .例如 ,以后要讨论的由 sin x 与 cos x 展开的幂级数的收敛半径皆为 + ∞ ,

但 tan x =sin xcos x

展开的幂级数的收敛半径为π2

.这可由如下幂级数的分析性

质得到 .

2. 幂级数的分析运算性质

由于幂级数在收敛区间内的任一个闭区间上一致收敛 , 所以幂级数在收

敛区间上有很好的分析运算性质 .

定理 5.16 若幂级数 ( 5 - 12) 的收敛半径为 R , 则其和函数 S ∈

C( - R , R ) , 且 " x ∈ ( - R , R ) ,有

∫x

0S ( x) d x = ∑

∞

n = 0∫

x

0an x

nd x

= a0 x +a1

2x

2+ ⋯ +

an

n + 1x

n + 1+ ⋯ . (5 - 13)

·921·5.3 幂级数和 Taylor(泰勒) 级数

幂级数 (5 - 13 ) 的收敛半径仍为 R .

证 因为对 " R1 , 0 < R1 < R ,幂级数在[ - R1 , R1 ] 上一致收敛 , 所以

根据定理 5.11 , 和函数 S( x ) 在[ - R1 , R1 ] 上连续 ,从而 S ∈ C( - R , R) .又 ,

幂级数在[ - R1 , R1 ] 上可逐项积分 ,且所得幂级数在 [ - R1 , R1 ] 上也一致收

敛 ,从而对 " x ∈ ( - R , R) , (5 - 13 ) 式成立 , 且幂级数 ( 5 - 13) 的收敛半径

r 不小于 R 即 r ≥ R ,再由下面定理可证 r = R .

定理 5.17 若幂级数 ( 5 - 12) 的收敛半径为 R , 则其和函数 S ∈

C( ∞ ) ( - R , R) ,而且

S( n )

( x ) = ( n !) an +( n + 1 ) !

1 !an + 1 x

+ ⋯ +( n + k) !

k !an + k x k + ⋯ , n = 1 , 2 , ⋯ . (5 - 14)

另外 ,对于任意 n ,幂级数 (5 - 14) 的收敛半径仍为 R .

证 我们只证 n = 1 的情形 ,一般情形可由归纳法推得 .

对 " x ∈ ( - R , R ) , v R0 , R1 , 使 x < R0 < R1 < R . 由于级数

∑∞

k = 0

ak Rk1 收敛 ,所以必有

ak Rk1 ≤ M ( k = 1 ,2 ,⋯ ) ,

其中 M 为正常数 .于是

k ak x k - 1 < k ak Rk - 10

= k ak Rk - 11

R0

R1

k - 1

= k ak Rk1

1R1

R0

R1

k - 1

≤MR1

kR0

R1

k - 1

( k = 1 , 2 ,⋯ ) .由 d’Alembert 判敛法 , 控制级数∑∞

k = 1

MR1

kR0

R1

k - 1

收敛 , 所以幂

级数 (5 - 14) 当 n = 1时在 [ - R0 , R0 ] 上一致收敛 .按函数项级数逐项微分定

理 5.12 ,幂级数 (5 - 12) 在[ - R0 , R0 ] 内可逐项微分 ,并使 (5 - 14) 式当 n =

1 时成立 .

当 n = 1时 , 幂级数 ( 5 - 14) 在 ( - R , R ) 内收敛 ,所以其收敛半径 r≥ R;

而幂级数 (5 - 12 ) 又是由幂级数 (5 - 14 ) 逐项积分所得 ,由定理 5.16 又可知

R ≥ r ,所以 r = R .同样 , 定理 5.16 中的幂级数 (5 - 13) 逐项微分后即为 (5

- 12 ) , 所以幂级数 (5 - 13 ) 的收敛半径 r = R .

·031· 第 5 章 无穷级数

可以利用这些性质来求一些幂级数的和函数 .

例 24 求幂级数∑∞

n = 1

( - 1)n + 1

n ( n + 1 ) xn在收敛域 ( - 1 , 1) 内的和函数

S( x ) ,并求数项级数∑∞

n = 1

( - 1)n + 1 n ( n + 1)

2n 之和 .

解 幂级数在收敛区间内可以逐项积分和逐项微分 , 因此得

∫x

0S ( x ) d x = ∑

∞

n = 1∫

x

0( - 1 ) n + 1 n( n + 1 ) xn d x ( x < 1)

= ∑∞

n = 1

( - 1)n + 1

nxn + 1

= ∑∞

n = 1

( - 1)n + 1

( xn)′x

2

= x2 ∑

∞

n = 1

( - 1)n + 1

xn′

= x2 ( x - x2 + x3 - x4 + ⋯ + ( - 1) n + 1 xn + ⋯ )′

= x2 x

1 + x′=

x2

(1 + x )2 .

将上式两端关于 x 求导 , 得

S ( x) =2 x

(1 + x)3 , x < 1 .

当 x =12

时有

∑∞

n = 1

( - 1 )n + 1 n( n + 1 )

2n = S

12

=8

27.

5.3 .3 函数展成幂级数的问题 ———Taylor 级数

本小节讨论函数的幂级数表示 .一个函数如果能表示为幂级数 , 或者说它

是一个幂级数的和函数 ,那么我们对这个函数就有了进一步的认识 , 而且能对

它进行数值计算 .从前面的讨论 , 一个任意函数一般不能表示为幂级数 , 因为

能用幂级数表示的函数必须满足一个必要条件就是要有任意阶导数 .

设函数 f ( x ) 在区间 ( x0 - R , x0 + R ) 内可展成幂级数

f ( x ) = ∑∞

n = 0

an ( x - x0 )n

. (5 - 15)

由 (5 - 14 ) 有

a0 = f ( x0 ) , an =f ( n ) ( x0 )

n ! ( n = 1 , 2 , ⋯ ) .

·131·5.3 幂级数和 Taylor(泰勒) 级数

这样 , f ( x ) 在点 x0 处展成的幂级数 , 其展开式是唯一的 , 称之为 Taylor

级数 .特别地 ,当 x0 = 0 时也称幂级数 ( 5 - 15 ) 为 f ( x ) 的 Maclaurin( 马克劳

林 ) 级数 .

不论 f ( x ) 在点 x0 的某个邻域内能否展成幂级数 ,只要 f ( x ) 在点 x0 处

有任意阶导数 , 总可按 ( 5 - 15 ) 的形式 , 写出与 f ( x ) 所对应的 Taylor 级数 ,

即

f ( x ) ～∑∞

n = 0

f( n )

( x0 )n !

( x - x0 )n

,

其中 f( 0 )

( x0 ) = f ( x0 ) .至于该 Taylor 级数是否在点 x0 的某个邻域内收敛于

f ( x ) ,则尚待研究 .例如 ,函数

f ( x ) =e

-1

x2

, x ≠ 0 ,

0 , x = 0

在 x = 0 点存在任意阶导数 , 且 f ( n ) ( 0) = 0 ( n = 1 , 2 ,⋯ ) ,因此有

f ( x ) ～ 0 + 0 x + ⋯ + 0 xn + ⋯ = 0 .

显然 , 此时 f ( x ) 所对应的 Maclaurin 级数 ,在任何 x ≠ 0 处都不收敛于 f ( x ) .

回忆一下 Lagrange 余项 Taylor 公式 ,不难给出如下结论 .

定理 5.18 f ( x ) 在点 x0 处的 Taylor 级数

∑∞

n = 0

f( n )

( x0 )n !

( x - x0 )n

(5 - 16)

在区间 ( x0 - R , x0 + R) 内收敛于 f ( x ) 的充分必要条件是 : 当 n → ∞ 时 ,

f ( x ) 在点 x0 处的 Taylor 公式的 Lagrange 余项趋于零 ,即对 " x ∈ ( x0 - R ,

x0 + R) , 有

Rn ( x ) =f

( n + 1 )(ξ)

( n + 1 ) !( x - x0 )

n + 1→ 0( n → ∞ ) .

证 设 Pn ( x ) 是级数 (5 - 16) 的第 n + 1 部分和 . f ( x ) 在点 x0 处的

Taylor 公式为

f ( x ) = Pn ( x ) + Rn ( x ) .

R n ( x ) 如定理中所给 , 其中ξ介于 x0 与 x 之间 .

由此可见 , 对 " x ∈ ( x0 - R , x0 + R) , Taylor 级数 (5 - 16) 在该点处收

敛于 f ( x ) 即 limn→ ∞

Pn ( x ) = f ( x ) 的充要条件是 limn→∞

Rn ( x ) = 0 .

可以给出一个使定理 5.18 中当 n → ∞ 时 Rn ( x ) → 0 成立的充分条件 :

对充分大的 n

f( n + 1 )

(ξ) ≤ M ,

其中 M 是与 n 无关的正常数 ,但可能与 x 有关 , 这是因为对 " a,a

n

n !→ 0 ( n

·231· 第 5 章 无穷级数

→+ ∞ ) .因此 ,如果 f ( x ) 从某阶之后的导数在 ( x0 - R , x0 + R ) 内有界 , 则

f ( x ) 在点 x0 处的 Taylor 级数在该区间内收敛于 f ( x ) .

5.3 .4 函数展成 Taylor 级数的方法

直接应用定理 5.18 将函数展成幂级数比较困难 .但我们可以这样来处

理 ,首先由定理 5.18 求出基本初等函数的幂级数 , 然后通过基本数学运算包

括微分积分运算来求其它函数的幂级数展开式 .这种处理方法具有代表性 .

例 25 ex

= 1 + x +x2

2 !+ ⋯ +

xn

n !+ ⋯ , x ∈ ( - ∞ , + ∞ ) . (5 - 17)

解 容易知道 f ( x ) = ex所对应的 Maclaurin 公式为

1 + x +x

2

2 !+ ⋯ +

xn

n !+ Rn ( x ) .

其中 ,余项

Rn ( x ) =eθx

( n + 1 ) !x

n + 1, θ∈ ( 0 , 1)

当 n →∞ 时 , " x ∈ ( - ∞ , + ∞ ) 有x

n + 1

( n + 1 ) !→ 0 且 eθx ≤ max{1 , e x } , 从而

R n ( x ) → 0 , ( 5 - 17 ) 式成立 .

例 26 f ( x ) = ( 1 + x )α

(α∈ R) 的 Maclaurin 级数为

(1 + x)α

= 1 + αx +α(α - 1)

2 !x

2

+ ⋯ +α(α - 1) ⋯ (α - n + 1 )

n !x

n+ ⋯ (5 - 18)

( - 1 < x < 1) .

解 ( 1 + x)α所对应的 Maclaurin多项式为 ( 5 - 18) 式右端级数的第 n +

1 部分和 .

余项趋于零的证明比较复杂 , 要涉及其它形式的余项 ( 例如 Cauchy 余

项 ) , 这里略去 .可以证明 , 当 n → ∞ 时 , " x ∈ ( - 1 ,1 ) , 都有 Rn ( x ) → 0 , 所

以 (5 - 18) 式在区间 ( - 1 ,1 ) 内成立 .在 x =±1 处的收敛性与α的数值有关 .

(5 - 18 ) 收敛域是 (证明从略 ) :

当α≤ - 1 时为 ( - 1 , 1) ; 当 - 1 < α < 0 时为 ( - 1 , 1] ; 当 α > 0 时为

[ - 1 ,1 ] .

(5 - 18) 式称为Newton二项式展开式 , 其右端级数称为Newton二项式级

数 .当 α= - 1 , ±12

时 ,有

1

1 + x= 1 - x + x

2- ⋯ + ( - 1)

nx

n+ ⋯ , x ∈ ( - 1 ,1 ) . (5 - 19)

·331·5.3 幂级数和 Taylor(泰勒) 级数

上式中以 - x 替换 x 得

11 - x

= 1 + x + x2 + ⋯ + xn + ⋯ , x ∈ ( - 1 , 1 ) , (5 - 20)

1 + x = 1 +12

x -1

2·4x

2+

1·32·4·6

x3

+ ⋯ + ( - 1)n - 1 ( 2 n - 3) ! !

( 2 n) ! !x

n+ ⋯ , x ∈ [ - 1 , 1 ] , (5 - 21)

1

1 + x= 1 -

12

x +1·32·4

x2

-1·3·52·4·6

x3

+ ⋯ + ( - 1)n (2 n - 1 ) ! !

(2 n ) ! !x

n+ ⋯ , x ∈ ( - 1 , 1] . (5 - 22)

这些都是常用的 Newton 二项式级数 , 请读者记住它们 .

同理 ,我们有

sin x = x -x3

3 !+

x5

5 !+ ⋯ + ( - 1 )

n x2 n + 1

(2 n + 1 ) !+ ⋯

x ∈ ( - ∞ , + ∞ ) ; (5 - 23)

cos x = 1 -x

2

2 !+

x4

4 !+ ⋯ + ( - 1)

n x2 n

( 2 n) !+ ⋯

x ∈ ( - ∞ , + ∞ ) ; (5 - 24)

(由 Euler(欧拉 ) 公式

sin x = -i2

(ei x - e - i x ) , cos x =12

( ei x + e- i x ) , (5 - 25)

再利用 (5 - 17 ) ,也可以求出 (5 - 23) 和 (5 - 24) .)

sh x =e

x- e

- x

2= x +

x3

3 !+ ⋯ +

x2 k + 1

( 2 k + 1 ) !+ ⋯ ;

x ∈ ( - ∞ , + ∞ )

ch x =e

x+ e

- x

2= 1 +

x2

2 !+ ⋯ +

x2 k

(2 k) !+ ⋯ ;

x ∈ ( - ∞ , + ∞ )

在 (5 - 19 ) 式中 ,以 x2替换 x 得

11 + x

2 = 1 - x2

+ x4

- x6

+ ⋯ + ( - 1 )nx

2 n+ ⋯ , x ∈ ( - 1 , 1) ; (5 - 26)

在 (5 - 22 ) 式中 ,以 - x2替换 x 得

1

1 - x2

= 1 +12

x2

+1·32·4

x4

+ ⋯ +( 2 n - 1) ! !

( 2 n ) ! !x

2 n+ ⋯ , x ∈ ( - 1 , 1) ; (5 - 27)

·431· 第 5 章 无穷级数

对 (5 - 19 ) , (5 - 20) , ( 5 - 26) , ( 5 - 27 ) 式逐项积分 ,得

ln( 1 + x ) =∫x

0

11 + x

d x = x -x

2

2+

x3

3

- ⋯ + ( - 1 )n xn + 1

n + 1+ ⋯ , x ∈ ( - 1 , 1] ;

(因为当 x = 1时幂级数收敛 , 所以根据 Abel第二定理 ,这个幂级数在 [0 , 1 ] 上

一致收敛 ,其和函数在[ 0 , 1] 上连续 , 所以上式在 x = 1 处也成立 .)

ln(1 - x ) = -∫x

0

11 - x

d x = - x -x

2

2-

x3

3

- ⋯ -x

n

n- ⋯ , x ∈ [ - 1 ,1 ) ;

arctan x =∫x

0

11 + x

2 d x = x -x3

3+

x5

5

- ⋯ + ( - 1 )n x

2 n + 1

2 n + 1+ ⋯ , x ∈ [ - 1 ,1 ] ;

arcsin x =∫x

0

1

1 - x2

d x = x +12·

x3

3+

1·32·4

·x

5

5

+ ⋯ +(2 n - 1 ) ! !

(2 n ) ! !·

x2 n + 1

2 n + 1+ ⋯ , x ∈ ( - 1 , 1) ;

对 ln( 1 + x ) 与 ln (1 - x ) 的 Maclaurin 级数作减法 ,得

ln1 + x1 - x

= ln(1 + x ) - ln( 1 - x )

= 2 x +x

3

3+ ⋯ +

x2 k+ 1

2 k + 1+ ⋯ , x ∈ ( - 1 , 1) ;

由 ln( 1 + x ) 的 Maclaurin 级数得到

ln2 = 1 -12

+13

-14

+ ⋯ + ( - 1 )n 1

n + 1+ ⋯ . ①

这是一个漂亮的结果 .然而这个数项级数收敛于 ln2 的速度太慢 , 因为要使其

误差 < 10- 2

,需要计算前 100 项的代数和 .此时 ,可利用 ln1 + x1 - x

的 Maclaurin

级数 ,取 x =13

, 得

ln2 = ln1 +

13

1 -13

= 213

+13

13

3

+15

13

5

+ ⋯ +1

2 k + 113

2 k + 1

+ ⋯ ②

显然 ,级数 ② 收敛于 ln2 的速度比级数 ① 要快得多 .一些无理数可以通过级

·531·5.3 幂级数和 Taylor(泰勒) 级数

数来计算 ,但选择哪个级数要仔细考虑 .

我们可以利用基本初等函数的幂级数展开式以及幂级数的运算性质 , 尤

其是微分与积分来获得一些函数的幂级数展开或者求某些幂级数的和函数 .

例 27 将 f ( x ) =x - 1

4 - x在点 x = 1 展成幂级数 , 并求 f

( n )( 1) .

解 将 f ( x ) 视为 ( x - 1)1

4 - x,因此 , 只需将

14 - x

在 x = 1 处展成幂

级数 ,然后将 ( x - 1) 与之相乘即得所要结果 .由于

14 - x

=1

3 - ( x - 1)=

13

1

1 -x - 1

3

,

在 (5 - 20 ) 式中以x - 1

3替换 x , 即得

14 - x

=13

1 +x - 1

3+

( x - 1)2

32 + ⋯ +( x - 1 )

n

3 n + ⋯ .

于是

f ( x ) =x - 14 - x

=x - 1

3+

( x - 1) 2

32 +

( x - 1 )3

33

+ ⋯ +( x - 1 )

n + 1

3n + 1 + ⋯ , x - 1 < 3 .

再由 f ( x ) 的幂级数∑∞

n = 0

an ( x - 1) n 的系数

an =f

( n)(1 )

n !

即得

f( n )

( 1) = ( n !) an =n !3

n , n ≥ 1 .

例 28 求1

1 - x

2

在 x = 0 处的幂级数展开 .

解 已知

11 - x

= 1 + x + ⋯ + xn + ⋯ ,

两边求导 ,得

1(1 - x )

2 = 1 + 2 x + ⋯ + nxn - 1

+ ⋯ .

此题也可以用幂级数的乘积来解答 ,但要复杂一些 .一般来说我们尽量不

使用幂级数的乘除公式来求函数的幂级数展开 .

例 29 求 S( x ) = ∑∞

n = 0

x2 n

(2 n) !的和函数 .

·631· 第 5 章 无穷级数

解 逐项微分 , 有

S′( x ) = ∑∞

n = 1

x2 n - 1

( 2 n - 1) != ∑

∞

n = 0

x2 n + 1

( 2 n + 1) !.

再逐项微分 ,有

S″( x ) = ∑∞

n = 0

x2 n

(2 n ) != S ( x) .

解微分方程 S″( x ) = S ( x ) , 有通解

S ( x ) = c1 e x + c2 e - x .

要确定 c1 和 c2 , 从原幂级数中取得初始条件

S (0 ) = 1 , S′(0 ) = 0

有 c1 + c2 = 1 , c1 - c2 = 0 , 得 c1 = c2 =12

, 即

S ( x ) =e x + e - x

2= ch x .

习题 5

1 .如果数项级数∑∞

n = 1

un 的第 2 m 与第 2 m + 1 部分和序列 { S2 m } 与

{ S2 m + 1 } 均收敛于 S , 证明该级数收敛 ,且其和为 S .

2 . 如果级数∑∞

n = 1

un 的第 2 m 部分和序列{ S2 m } 收敛 , 且 limn→ ∞

un = 0 , 证明

该级数收敛 .

3 . 设有序列 { an } 且 limn→ ∞

nan = 0 .证明 :级数∑∞

n = 1

( n + 1) ( an + 1 - an ) 收敛

的充分必要条件是级数∑∞

n = 1

an 收敛 .

4 . 证明 : 若级数 u1 + u2 + ⋯ + un + ⋯ ( u n > 0 ) 收敛 , 则级数 u1 + u3

+ ⋯ + u2 k + 1 + ⋯ 也收敛 .

5 . 证明定理 5.2 .

6 .如果级数 ( u1 + u2 ) + ( u3 + u4 ) + ⋯ + ( u2 m - 1 + u2 m ) + ⋯ 收敛 , 问

序列{ un } 满足什么条件时 , 级数 u1 + u2 + u3 + u4 + ⋯ + un + ⋯ 收敛 ?

7 .已知级数∑∞

n = 1

un 的第 n 部分和

S n =2 n

n + 1, n = 1 , 2 ,⋯ .

(1 ) 求级数的一般项 un ; ( 2) 判断级数的收敛性 .

·731·习题 5

8 .利用级数的性质与收敛的必要条件判断下列级数的收敛性 .

(1 ) ∑∞

n = 1

10014

n

; ( 2) ∑∞

n = 1

n - 1n + 1

; ( 3) ∑∞

n = 1

( - 1)nn

3

2 n3 + n.

9 .就∑∞

n = 1

un 收敛和发散的两种情况分别讨论下列级数的收敛性 .

(1 ) ∑∞

n = 1

( un + 10- 10

) ; (2 ) ∑∞

n = 1

un + 1000 ; (3 ) ∑∞

n = 1

1un

( un ≠ 0) .

10 .求级数的和 .

(1 ) ∑∞

n = 1

1( 2 n - 1) (2 n + 1 )

; (2 )∑∞

n = 1

1n ( n + 1) ( n + 2)

.

11 .用比较判别法判断下列非负项级数的收敛性 .

(1 ) ∑∞

n = 1

1( 2 n - 1) 2

n - 1 ; �( 2) ∑∞

n = 1

sinπ2

n ; �(3 ) ∑∞

n = 1

1ln(1 + n)

;

(4 ) ∑∞

n = 1

ln n

n43

; ( 5) ∑∞

n = 1

1 + n2

1 + n3

2

; (6 ) ∑∞

n = 1

1n

sin1

n;

(7 ) ∑∞

n = 2

4

nln

n + 1n - 1

; ( 8) ∑∞

n = 1

e1

n - 1 .

12 .设 u n > 0 , vn > 0 ,un + 1

u n≤

vn + 1

vn, n = 1 , 2 , ⋯ .证明 : 若∑

∞

n = 1

vn 收敛 , 则

∑∞

n = 1

un 收敛 ,并叙述其等价命题 .

13 .用 d’Alember t 判别法 , 判别下列级数的收敛性 .

(1 ) ∑∞

n = 1

2n

( 2 n - 1) !; k( 2) ∑

∞

n = 1

n2

2 n ; �(3 ) ∑∞

n = 1

3nn !

nn ;

(4 ) ∑∞

n = 1

( 2 n - 1) ! !3

nn !

; ( 5) ∑∞

n = 1

n3sin

π3

n ; (6 ) ∑∞

n = 1

2n - 1

tanπ2

n .

14 .命题“若非负项级数∑∞

n = 1

un 收敛 , 则 limn→ ∞

un + 1

un= ρ< 1”正确吗 ?并讨论

级数∑∞

n = 1

2 + ( - 1)n

2n 的收敛性 .

15 . 利用级数收敛的必要条件 ,证明

(1 ) limn→ ∞

n !n

n = 0; ( 2) limn→ ∞

n4

an = 0 ( a > 1) .

16 .用 Cauchy 判别法判别下列级数的收敛性 .

(1 ) ∑∞

n = 1

2 n

nn; ( 2) ∑

∞

n = 1

1 +1n

n2

3n

.

17 .用 Cauchy 积分判别法 , 判别下列级数的收敛性 .

·831· 第 5 章 无穷级数

(1 ) ∑∞

n = 3

1nln

3n

; ( 2) ∑∞

n = 4

1nln n ( lnln n)

k ( k > 0) .

18 .判别下列级数的收敛性 .

(1 ) ∑∞

n = 1

13

n + 1ln

n + 2n

; �( 2) ∑∞

n = 1

ln n

n; P(3 ) ∑

∞

n = 1

sinn π

4+

bn

;

(4 ) ∑∞

n = 1

ln( n !)n !

; ( 5) ∑∞

n = 1

e-

n2

+ 1n + 1

.

19 .总结以下几个问题 .

(1 ) 非负项级数有哪些判敛法 ?各适用于怎样的非负项级数 ?

(2 ) 在非负项级数的判敛法中 , 哪一个是最基本的 ?为什么 ?

20 .判断下列交错级数是绝对收敛还是条件收敛或者发散 .

(1 ) ∑∞

n = 1

( - 1 )n 1

n + 1; ?(2 ) ∑

∞

n = 1

( - 1 )n (2 n - 1) ! !

(2 n ) ! !;

(3 ) ∑∞

n = 1

( - 1 )n n

n + 1; (4 ) ∑

∞

n = 1

( - 1 )n ( n + 1 )

n ( n - 1).

21 .判断下列级数是否收敛 ?是否绝对收敛 ?

(1 ) ∑∞

n = 1

sinnπ4

2 n ; �( 2) ∑∞

n = 2

cosnπ4

n ( ln n ) 3 ;

(3 ) ∑∞

n = 1

( - 1 )n2

n2

n !; ( 4) ∑∞

n = 2

( - 1 )n

n - ln n;

(5 ) ∑∞

n = 1

( - 1 )n

n + 1 - n ; ( 6) ∑∞

n = 1

sin π n2 + 1 ;

(7 )1

2 - 1+

1

2 + 1+

1

3 - 1+

1

3 + 1+ ⋯ +

1

n - 1+

1

n + 1+ ⋯ ;

(8 ) ∑∞

n = 2

( - 1)n

n + ( - 1 )n ; ( 9) ∑

∞

n = 2

cos nπ

n + ( - 1 )n

n + 1n

.

22 .对于任意项级数∑∞

n = 1

un , 如果由 d’Alembert 判别法判定它不绝对收

敛 ,能否肯定它也不收敛 ?为什么 ?

23 . 如果∑∞

n = 1

a2n , ∑

∞

n = 1

b2n 都收敛 , 证明 : ∑

∞

n = 1

an bn , ∑∞

n = 1

( an + bn )2及

∑∞

n = 1

an

n都收敛 .

24 .证明 :如果∑∞

n = 1

u n 收敛 ( un > 0 ) ,则∑∞

n = 1

u2n 也收敛 , 并说明逆命题是否

成立 ?

·931·习题 5

25 . 证明 :如果非负项级数∑∞

n = 1

un 收敛 , 则∑∞

n = 1

un

1 + un也收敛 .

26 .证明 :若 limn→ ∞

nun = a > 0 ,则∑∞

n = 1

u n 发散 .

27 .已知∑∞

n = 1

un 与∑∞

n = 1

vn 都收敛 (或都发散 ) , 且 un ≤ an ≤ vn , 问 :∑∞

n = 1

an

是否收敛 (或发散 ) ?为什么 ?

28 .已知级数 u1 - u2 + u3 - u4 + ⋯ + ( - 1) n - 1 un + ⋯ ( un > 0) 条件

收敛 ,证明 : 级数 u2 + u4 + ⋯ + u2 m + ⋯ 发散 .

29 .求下列函数项级数的收敛域 .

(1 ) ∑∞

n = 1

ne- n x

; r(2 ) ∑∞

n = 1

ln x3

n

; �(3 ) ∑∞

n = 1

n + 1x

n

;

(4 ) ∑∞

n = 1

xnsin

x2

n ; (5 ) ∑∞

n = 1

11 + x

n .

30 .下列函数项级数在其收敛域上是否一致收敛 ?

(1 ) ∑∞

n = 1

1 - cos n xn

2 ; ( 2) ∑∞

n = 1

arctan2 x

x2

+ n3 ;

(3 ) ∑∞

n = 1

x3e

- n x2

.

31 . ∑∞

n = 1

( - 1 )n 1

x + 2n 在[0 , + ∞ ) 上是否一致收敛 ?

32 .证明级数∑∞

n = 1

( - 1)n 1

x2

+ n在 ( - ∞ , + ∞) 上一致收敛 ,但不绝对收敛 .

33 *.讨论函数项级数 ( x - x

2) - ∑

∞

n = 2

xn - 1

( x - 1)2在区间[0 ,1 ] 上是否

一致收敛 :

(1 ) 求第 n 部分和函数 Sn ( x ) 及在 [0 , 1 ] 上的和函数 S ( x) ;

(2 ) 求 Sn ( x ) 在[0 ,1 ] 上的最大值 ;

(3 ) 讨论: "ε> 0 ,是否 v N(ε) ,使 " n > N (ε) 和 " x ∈ [0, 1] ,恒有

S n ( x ) - S ( x) < ε .

34 *.如果函数项级数的第 n 部分和函数 Sn ( x ) = n (1 - x ) x

n,证明 : 该

级数在区间[0 ,1 ] 上不一致收敛 .

35 . 求下列幂级数的收敛半径和收敛域 .

(1 ) ∑∞

n = 1

xn

nn ; D(2 ) ∑∞

n = 1

12 n x2 n - 1 ;

(3 ) ∑∞

n = 1

x3 n + 1

( 2 n - 1) 2n ; (4 ) ∑

∞

n = 1

n4n - 1

x2 n

;

·041· 第 5 章 无穷级数

(5 ) ∑∞

n = 1

ln nn

xn; (6 ) ∑

∞

n = 1

12

xn

+ (4 x )n

.

36 .求下列幂级数的收敛半径和收敛域 ( a 为常数 ) .

(1 ) ∑∞

n = 1

1np ( x - 1 ) n ( p > 0) ; =(2 ) ∑

∞

n = 1

22 n - 1

n n( x + 1 ) n ;

(3 ) ∑∞

n = 0

2n( x + a)

2 n; (4 ) ∑

∞

n = 0

( x - a)3 n

( 3 n) !.

37 .试确定下列幂级数的收敛半径并求出和函数 .

(1 ) ∑∞

n = 2

xn

( n - 1 ) n; ( 2) ∑

∞

n = 1

x4 n - 1

4 n - 1; ( 3) ∑

∞

n = 1

( 2 n + 1) xn ;

(4 ) ∑∞

n = 1

2 n - 12

n x2 n - 2

, 并求∑∞

n = 1

2 n - 12

n ;

(5 ) ∑∞

n = 1

n( n + 1 )2

xn - 1

;

(6 ) ∑∞

n = 1

( - 1 )n + 1 1

n ( n + 1)x

n.

38 .将下列函数在 x0 点展成幂级数 .

(1 ) cos x , x0 =π4

; L( 2) sin x +π6

, x0 = 0;

(3 ) ln( 1 + x ) , x0 = 2; ( 4) ch x , x0 = - 1 .

39 .将下列函数在 x0 点展成 Taylor 级数 ,并求收敛区间 .

(1 ) sin x2

, x0 = 0 ; �( 2) ln( 3 - x ) , x0 = - 1;

(3 )1

x - 1, x0 = - 1 ; ( 4)

x + 2x2 - x - 2

, x0 = - 2;

(5 )x

( x - 1 ) ( x + 3 ), x0 = 0; ( 6)

x2 x - 1

, x0 = - 1;

(7 ) ln x + 1 + x2 , x0 = 0; ( 8)

2( 1 - x )3 , x0 = 0;

(9 )∫x

0

arcsin tt

d t , x0 = 0; ( 10 )∫x

0

1

1 + t3

d t , x0 = 0;

(11) f ( x ) = esin x

, x0 = 0 , 展开到 x3项 ;

(12) f ( x ) = exsin x , x0 = 0 ,展开到 x

5项 ;

(13) f ( x ) = cos2

x , x0 = 0 ,展开到 x4项 ;

(14) f ( x ) =ln (1 - x )

cos x, x0 = 0 ,展开到 x

3项 .

40 .利用函数展成幂级数的唯一性 ,求下列函数在指定点的导数值 .

(1 ) 39 题 ( 5) , 在 x0 = 0 点的 n 阶导数 ;

(2 ) 39 题 ( 4) , 在 x0 = - 2 处的 n 阶导数 .

·141·习题 5

41 .设 f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x2

+ ⋯ + an xn

+ ⋯ .证明 :

(1 ) 若 f ( x ) 为偶函数 ,则 a2 k + 1 = 0 , k = 0 , 1 , 2 , ⋯ ;

(2 ) 若 f ( x ) 为奇函数 ,则 a2 k = 0 , k = 0 ,1 ,2 ,⋯ .

42 .用幂级数求下列函数值或积分的近似值 .

(1 )5

e , 误差不超过 10- 4

;

(2 ) arcsin12

,误差不超过 10 - 3 ;

(3 )∫14

0

arcsin xx

d x , 取前两项计算其近似值 ,并估计其误差 ;

(4 )∫12

0

1

1 + x4

d x , 误差不超过 10- 4

;

(5 ) 求曲线 y2

= x3

+ 1 , y 轴及直线 x =12所围成的面积的近似值 , 使其

误差 ≤ 10- 3

.

补 充 题

1 .求下列数项级数之和 .

(1 ) ∑∞

n = 1

n2

2n - 1 ; (2 ) ∑

∞

n = 1

arctan1

2 n2 .

2 .证明级数

2 + 2 - 2 + 2 - 2 + 2 + 2 - 2 + 2 + 2 + ⋯

收敛 .

3 .对任意项级数∑ un 和∑ vn ,如果其中一个收敛 , 而且当 n →∞时 un

～ vn ,能否断言另一个也收敛 .

4 .设 S ( x) = ∑∞

n = 1

12

n tanx

2n , 计算∫

π2

π6

S( x )d x .

5 . 证明 :∫1

0x

xd x = 1 -

12

2 +13

3 -14

4 + ⋯ + ( - 1 )n 1

( n + 1 )n+ 1 + ⋯ .

6 . 判断下列级数的收敛性 .

(1 ) ∑∞

n = 1

n3

3 + ( - 1 )n

3 n ;

(2 ) ∑∞

n = 2n + 1 - n

12 ln

n - 1n + 1

;

(3 ) ∑∞

n = 1

a( a + 1)⋯ ( a + n - 1 )n

n ;

·241· 第 5 章 无穷级数

(4 ) ∑∞

n = 1

(2 n) ! !a( a + 1)⋯ ( a + n )

( a > 0) .

7 .证明 : 若 an > 0 ( n = 1 , 2 , ⋯ ) , 而且 limn→ ∞

nan

an + 1- 1 = ρ> 0 , 则级数

∑∞

n = 1

( - 1)n - 1

an 收敛 .

8 .判断级数∑∞

n = 1

1

n- ln

n + 1n

的收敛性 .

·341·补 充 题

第 6 章 Fourier(傅里叶 ) 级数

本章介绍一类特殊的函数项级数 ———Fourier 级数 .无论从数学本身的发

展还是从其它学科的应用角度来看 , 它都具有重要的意义 .从数学本身来看 ,

虽然幂级数具有非常整齐的性质 ,但函数的幂级数表示对函数的要求太高 : 要

求函数任意阶可导 ,而且这种表示一般只在局部下成立 .我们希望找到函数的

一种具有良好性质的级数表示来弥补这些不足 .研究表明 , 以三角函数中的正

弦和余弦函数作为函数项的“三角级数”具有我们所要求的性质 .从其它学科

的应用角度看 ,例如在物理学和工程技术问题中也经常遇到各种周期函数 : 弹

簧的简谐振动 x = Asin(ωt + φ) ;交流电的电压 u = Um sin(ωt + φ) ; 在电子

信号处理技术中常见的方波、锯齿波和三角波等 , 它们的合成与分解都大量用

到三角级数 .例如 , 图 6 - 1 所示的方波可以由无穷多个不同频率的正弦波叠

加而成 (见后面的图 6 - 3 ) .

图 6 - 1

形如

a0

2+ ∑

∞

n = 1

( an cos n x + bnsin n x) ( 6 - 1)

或

∑∞

n = 0

A nsin( nx + φn ) ( 6 - 2)

的由正弦、余弦函数构成的无穷级数 , 称为三角级数 .(6 - 1) 式中首项用a0

2是

便于以后 an 有统一的表达公式 ( n = 0 , 1 , 2 ,⋯ ) .读者不难发现 (6 - 1 ) 与 (6 -

2) 中系数 a0 , an , bn , An 和角度φn 之间的关系 :

An = a2n + b

2n , tanφn =

an

bn, n = 1 , 2 , ⋯ ,

a0

2= A0 sin φ0 .

以后 ,我们经常采用 ( 6 - 1) 的形式 .如果三角级数 (6 - 1) 收敛 , 其和函数显然

也以 2π为周期 .

读者可能会问 :一个只定义在有穷区间 ( a , b) 上的函数 f ( x ) 当然不可

能是周期函数 ,怎么能用定义在 R上的三角级数或者说用周期函数来表示呢 ?

这就需要从“整体”的角度看问题 .可以把函数 f ( x ) 按周期 b - a延拓到R上

得到函数 F( x ) ,于是 , f ( x ) 就是周期函数 F( x ) 在区间 ( a , b) 上的限制 .这

样 , 尽管 f ( x ) 不是周期函数 , 但它确是周期函数 F( x ) 的一部分 , 参见后面的

图 6 - 2( 图上 ( a , b) = ( - π,π) ) .

对于函数的三角级数表示 ,我们需要解决如下问题 :

(1 ) 计算三角级数的系数 ;

(2 ) 研究三角级数的基本性质 ;

(3 ) 给出函数能展成三角级数的判别准则 .

6 .1 三角函数系的正交性与三角级数的系数

三角函数系具有正交性 .回忆函数空间 C[ a , b] 上内积的定义 : " f , g ∈

C[ a , b] , f ( x ) 与 g( x) 的内积为

( f , g ) =∫b

af ( x ) g( x) d x .

若 ( f , g) = 0 ,则称两个函数 f ( x ) 与 g( x) 正交 .

三角函数系

{1 , cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x ,⋯ , cos nx , sin nx , ⋯} ( 6 - 3)

在长为 2π的任何区间 [ a , a + 2π] 上是非零的正交函数系 ( 即两两正交且每个

元素的模 ‖ f ( x )‖ = ( f , f ) ≠ 0 ) .具体验证如下 :

∫a + 2π

a1·cos nxd x =∫

a+ 2π

a1·sin nxd x = 0 , n = 1 , 2 , ⋯ ;

再利用三角函数积化和差的公式 ,易得

∫a+ 2π

acos nxsin m xd x = 0 n , m = 1 , 2 , ⋯ ;

∫a+ 2π

acos nxcos m xd x = 0

∫a+ 2π

asin nxsin m xd x = 0

n , m = 1 , 2 , ⋯ ;

n ≠ m;

还有 ∫a+ 2π

a1

2d x = 2π;

∫a+ 2π

acos

2n xd x =∫

a+ 2π

asin

2nxd x = π, n = 1 , 2 , ⋯ .

·541·6 .1 三角函数系的正交性与三角级数的系数

三角函数系 (6 - 3) 的正交性对函数展成三角级数起关键作用 .假定以 2π为

周期的函数 f ( x ) 能展成一致收敛的三角级数( 6 - 1) ,且除个别点外 , 都有

f ( x ) =a0

2+ ∑

∞

n = 1

( an cos n x + bnsin n x) , ( 6 - 4)

则

an =1π∫

a + 2π

af ( x )cos nxd x , n = 0 , 1 , 2 , ⋯ , ( 6 - 5)

bn =1π∫

a+ 2π

af ( x ) sin nxd x , n = 1 , 2 , ⋯ . ( 6 - 6)

这些系数公式推导如下 , 利用一致收敛级数可以逐项积分的性质以及三

角函数系 (6 - 3) 在[ a , a + 2π] 上的正交性 ,在 ( 6 - 4 ) 式两端积分 ,得

∫a + 2π

af ( x ) d x =∫

a + 2π

a

a0

2d x = 2π·

a0

2= π· a0

即得求 a0 的公式 ;再在 (6 - 4 ) 式两边同乘 cos kx ,然后积分得

∫a + 2π

af ( x )cos kxd x =

a0

2∫a + 2π

acos k xd x

+ ∑∞

n = 1

an∫a + 2π

acos nxcos kxd x + bn∫

a+ 2π

asin nxcos k xd x

= ak∫a+ 2π

acos

2kxd x = πak , k = 1 , 2 , ⋯ ,

即得 (6 - 5) 式中 n = 1 , 2 ,⋯ 的公式 .

同样 ,在 ( 6 - 4 ) 式两边同乘 sin k x( k = 1 ,2 ,⋯ ) ,然后逐项积分 , 即得 (6

- 6) 式 .

因为以 2π为周期的函数在任何一个长度为 2π的区间上的积分都相等 ,

因此 , ( 6 - 5 ) , (6 - 6 ) 式积分限中的 a 经常取为 - π或 0 .

三角函数系还有一个重要性质 ,就是它的完全性 : 与三角函数系中的任一

个元素都正交的连续函数只能是零函数 .一般正交系的完全性 , 应该是这样 :

设{φn ( x ) } 是[ a, b] 上的正交系 ,若 φ( x ) 与每个 φn ( x ) 正交 , 则∫b

aφ2 ( x ) d x

= 0 .

还有一些有用的正交函数系 ,这里我们列举两个 :

1 . Legendre (勒让德 ) 多项式 Pn ( x )

Legendre 多项式 Pn ( x ) 是 Legendre 方程

( 1 - x2 )d2 yd x

2 - 2 xd yd x

+ n( n + 1 ) y = 0

的多项式解 . Pn ( x ) 也有微商表示 ,也就是 Rodrigues(罗巨格 ) 公式

·641· 第 6 章 Fourier(傅里叶 ) 级数

Pn ( x ) =1

2nn !

d n

d xn { ( x2 - 1) n } .

因此

Pn ( x ) = ∑[

n2

]

k = 0

( - 1 ) k (2 n - 2 k) !2

nk !( n - k) !( n - 2 k) !

xn - 2 k .

那么前几个 Pn ( x ) 是

P0 ( x ) = 1 , P1 ( x ) = x , P2 ( x ) =12

( 3 x2

- 1 ) ,

P3 ( x ) =12

( 5 x3 - 3 x) , P4 ( x ) =18

(35 x4 - 3 x2 + 3 ) .

利用 Rodrigues 公式 , 有

∫1

- 1Pm ( x ) Pn ( x )d x =

0 , m ≠ n ,

22 n + 1

, m = n ,

从而{ Pn ( x ) } 是 [ - 1 ,1] 上的正交函数系 .

2 . Bessel(贝塞尔 ) 函数 Jp ( x )

Bessel 函数 Jp ( x ) 是 Bessel 方程

x2 d2 y

d x2 + xd yd x

+ ( x2

- p2) y = 0

的解 .Bessel 函数的级数表示为

Jp ( x ) = ∑∞

n = 0

( - 1 )n x

2

2 n

Γ( n + 1)Γ( p + n + 1).

Jp ( x ) = 0 有 无 穷个 正 常 根 ξ( p )1 ,ξ

( p )2 ,⋯ ,ξ

( p )n ,⋯ . 利 用 Bessel 方 程 , 可 以 证 明

{ xJp (ξ( p )n x) }

∞n = 1 是 [0 ,1 ] 上的正交函数系 .

Lengendre 多项式 ,Bessel 函数等都是重要的特殊函数 .关于这方面的系统知识有兴趣

的读者可以参阅王竹溪、郭效仁著的《特殊函数概论》 .

6 .2 函数的 Fourier 级数

任何一个以 2π为周期的函数 f ( x ) ,只要 (6 - 5 ) 和 (6 - 6 ) 式中的积分存

在 ,就对应一个三角级数 :

f ( x ) ～a0

2+ ∑

∞

n = 1

( an cos n x + bnsin n x) , ( 6 - 7)

其中的系数 a0 , an 和 bn ( n = 1 ,2 ,⋯ ) 由 (6 - 5) 、( 6 - 6 ) 式给出 .级数 (6 - 7)

称为函数 f ( x ) 的 Fourier 级数 (简称傅氏级数 ) ,由 (6 - 5) 、( 6 - 6) 式给出的

a0 , an 和 bn ( n = 1 , 2 ,⋯ ) 称为函数 f ( x ) 的 Fourier 系数 (简称傅氏系数 ) .

至于这个与 f ( x ) 所对应的傅氏级数是否收敛于 f ( x ) 的问题比较复杂 ,

本书不作深入讨论 ,只是不予证明地给出常用的一个判别法 .

·741·6 .2 函数的 Fourier 级数

定义 6 .1 若 f ( x ) 在区间[ a , b] 上只有有限个单调子区间 ,则称 f ( x )

在[ a , b] 上逐段单调 .

定义 6 .2 若 f ( x ) 在区间[ a , b] 上逐段连续 ,又存在有限个点 :

a = x0 < x1 < ⋯ < xn = b,

使得 f ( x ) 在 ( x i - 1 , x i ) 上可微而且右导数 f′+ ( x i - 1 ) 和左导数 f′- ( x i ) 存在

( i = 1 ,2 ,⋯ , n .) , 则称 f ( x ) 在 [ a , b] 上逐段可微 .

我们回忆一下 f ( x ) 在 x0 处的右导数 f′+ ( x0 ) 定义为

limx→ x

+0

f ( x ) - f ( x0 + 0 )x - x0

.

左导数有类似的定义 .

定理6 .1 设函数 f ( x ) 以 2π为周期 .如果它在 [ - π,π] 上逐段单调有界

或者逐段可微 ,则 f ( x ) 的 Fourier 级数在每一点上都收敛到

S ( x ) =12

[ f ( x - 0) + f ( x + 0) ] . ( 6 - 8)

其中 , f ( x - 0) 和 f ( x + 0 ) 分别表示 f ( x ) 在 x 点处的左、右极限 .

特别地 , 当 x (≠±π) 是 f ( x ) 的连续点时 , S( x ) = f ( x ) ;当 x =±π时 ,

由周期性

S(±π) =12

[ f ( - π+ 0 ) + f (π - 0 ) ] .

在定理 6 .1 中 ,关于逐段单调函数的 Fourier 级数收敛的判别法一般称为

Dirichlet判别法 .

要注意的是一个三角级数不一定是某个函数的 Fourier 级数 ,判断三角级

数 (6 - 7 ) 的敛散性 ,可以从考察系数 an 和 bn 出发 , 前面对幂级数就是这样做

的 ,但对于 Fourier 级数 , 我们更多地是从它所对应的函数 f ( x ) 着手 .

定理 6 .2 设 f ( x ) 是以 2π为周期的在 [ - π,π] 上可积或者广义绝对可

积的函数 , 又设 f ( x ) 在 ( - π,π) 上连续且逐段单调有界 ,或有有界导数 , 则它

所对应的 Fourier 级数在 ( - π,π) 的任何一个闭子区间上一致收敛于 f ( x ) ( 一

般称之为内闭一致收敛 ) .

对傅氏级数来说 ,还有一个更特别的结论 .

定理6 .3 若 f ( x ) 是[ - π,π] 上的逐段连续函数 , 则 f ( x ) 的傅氏级数可

逐项积分 ,即 , 对[ - π,π] 内任意两点 a 和 x ,有

∫x

af ( x )d x =

a0

2( x - a) + ∑

∞

k = 1∫

x

a( ak cos k x + bk sin kx ) d x . ( 6 - 9)

该定理之所以特别 ,是因为逐项积分一般要由一致收敛来保证 , 但现在定

理中的条件并不保证 f ( x ) 的傅氏级数收敛 , 更谈不上一致收敛了 .

·841· 第 6 章 Fourier(傅里叶 ) 级数

证 置

F( x) =∫x

af ( x ) -

a0

2d x , (6 - 10)

那么 F( x ) 在[ - π,π] 上连续 ,且在 f ( x ) 的连续点处可导 ,简单计算 , 有

F′( x ) = f ( x ) -a0

2,

F′+ ( a ) = f ( a + 0) , F′- ( a) = f ( a - 0 ) ,

以及

F(π) - F( - π) =∫π

-πf ( x ) -

a0

2d x = πa0 - πa0 = 0 .

下面利用上面各式计算 F( x ) 的 Fourier 系数 .

An =1π∫

π

-πF( x )cos nxd x

=sin nx

nπF( x)

π

- π-

1nπ∫

π

- πf ( x ) -

a0

2sin nxd x

= -bn

n,

Bn =1π∫

π

-πF( x ) sin nxd x =

an

n,

那么应用定理 6 .1 ,有

F( x) =A0

2+ ∑

∞

n = 1

-bn

ncos nx +

an

nsin nx .

为确定 A0 , 置 x = a ,有

0 =A0

2+ ∑

∞

n = 1

-bn

ncos na +

an

nsin na ,

那么

F( x ) = ∑∞

n = 1

ansin nx - sin na

n- bn

cos nx - cos nan

= ∑∞

n = 1

an∫x

acos nxd x + bn∫

x

asin nxd x .

注意 F( x ) 的表示式 ( 6 - 10 ) 就导出了 ( 6 - 9) .

由三角函数系的完全性 , 我们可以给出连续函数的 Fourier 级数的惟一

性 :任两个连续函数 , 如果它们有相同的 Fourier 级数 , 必完全相等 , 也就是一

个三角级数最多只能是一个连续函数的 Fourier 级数 .

很多实际问题要求把定义在 ( - π,π) 上的函数 f ( x ) 展开为傅氏级数 , 所

以首先要把 f ( x ) 延拓为以 2π为周期的函数 .定义 f (±π) 为任何常数 .令

·941·6 .2 函数的 Fourier 级数

F( x ) =f ( x ) , x ∈ ( - π,π) ,

f ( x - 2 nπ) , x ∈ ( 2 nπ - π, 2 nπ+π) , n =± 1 , ± 2 , ⋯ ,

则 f ( x ) 就是周期函数 F( x ) 在 ( - π,π) 上的限制 .把由 F( x) 展成的傅氏级

数限制在 ( - π,π) 内 ,就是 f ( x ) 在 ( - π,π) 内展成的傅氏级数 .

例 1 将 f ( x ) = e- x

在 ( - π,π) 内展开为傅氏级数 .

解 函数 f ( x ) = e- x

不是以 2π为周期的周期函数 .为此 ,先把 f ( x ) =

e- x

( - π < x < π) 延拓为以 2π为周期的函数 F( x ) , 然后对 F( x ) 展开 .此

时计算傅氏系数时 ,在区间[ - π,π] 上积分 , 因此有 :

a0 =1π∫

π

- πe - x d x = -

e- x

π

π

-π=

1π

(eπ - e- π) ,

an =1π∫

π

- πe

- xcos nxd x = ( - 1)

n (eπ

- e-π

)π(1 + n

2)

,

bn =1π∫

π

-πe

- xsin nxd x = ( - 1 )

n n(eπ

- e-π

)π( 1 + n

2)

,

n = 1 ,2 ,⋯ .

由于 e - x 在 ( - π,π) 内可微 , 因此根据定理 6 .1 有

e- x

=eπ

- e-π

π12

-cos x1 + 1

2 -sin x

1 + 12

+cos 2 x1 + 2

2 +2sin 2 x1 + 2

2 -cos 3 x1 + 3

2 -3sin 3 x1 + 3

2 + ⋯ , x ( - π,π) .

上式中的傅氏级数是以 2π为周期的函数 ,它在 x = (2 k + 1)π处 ( k ∈ Z) 收

敛于eπ

+ e-π

2,在其余各点的收敛情况如图 6 - 2 所示 .

图 6 - 2

例 2 将周期为 2π, 振幅为 1 的电压 u 的方波 ( 如图 6 - 1) 展成傅氏级

数 .

解 u ( t ) 的波形在[ - π,π] 上的表示式为

u ( t ) =- 1 , t ∈ [ - π, 0] ,

1 , t ∈ (0 ,π] .

·051· 第 6 章 Fourier(傅里叶 ) 级数

因为 , u( t) sin nt 是偶函数 ;如不考虑原点 , u ( t )cos nt 是奇函数 , 所以

an = 0 , n = 0 ,1 ,2 ,⋯ ,

bn =2π∫

π

01·sin ntd t =

- 2nπ

cos ntπ

0

=2nπ

(1 - cos nπ) = 0 , n 为偶数 ,

4nπ

, n 为奇数 ,

因此

b2 k = 0 , b2 k - 1 =4π

12 k - 1

, k = 1 , 2 , 3 , ⋯ .

方波电压的傅氏级数及其收敛情况为

u ( t ) ～4π∑

∞

k = 1

sin( 2 k - 1 ) t2 k - 1

=4π

sin t +sin 3 t

3+

sin 5 t5

+ ⋯

=

1 , t ∈ ( 2 nπ, ( 2 n + 1)π) ,

- 1 , t ∈ ( (2 n - 1 )π, 2 nπ) ,

0 , t = nπ,

其中的 n 为任意整数 .

上述展开式表明 ,此方波可视为由无穷多个不同频率的正弦波叠加而成 .

由图 6 - 3 可见该傅氏级数是怎样收敛于方波的 .

在图 6 - 3 中 ,曲线 ① ,② , ④ 分别是4π

sin t ,4π

sin 3 t3

,4π

sin 5 t5

的波形 ,

它们依次称为一次、三次和五次谐波 (一次谐波也称基波 ) ; ③ 是一次与三次

谐波之叠加 , ⑤ 是一次、三次和五次谐波之叠加 ; 如此不断叠加下去 , 曲线将

无限接近方波之波形 ,但在 t = nπ( n 为整数 ) 处 ,各次谐波之值皆为 0 ,傅氏

级数在这三点±π, 0 处也收敛于 0 .

图 6 - 3

·151·6 .2 函数的 Fourier 级数

6 .3 其它形式的 Fourier 级数

本节介绍由标准三角级数演变而来的其它形式的傅氏级数 .

6 .3 .1 以 T 为周期的函数的傅氏级数

实际问题中的周期函数往往并不以 2π为周期 ,因此必须研究以任意实数

T 为周期的函数如何展成傅氏级数 .

设 f ( t ) 以 T = 2 l 为周期 , 且在区间[ - l , l] 上满足定理 6 .1 的条件 , 作

变换

t =l

πx , 即 x =

πl

t , ①

则 f ( t ) = flπ

x = φ( x ) . ②

φ( x ) 是以 2π为周期的函数 , 它所展成的傅氏级数为 (另外要注意 , 由 ① 可见

当 t 从 - l → l 时 , x 单调地从 - π→π, 因此 φ( x ) 在区间[ - π,π] 上满足定

理 6.1 的条件 .)

φ( x ) ～a0

2+ ∑

∞

n = 1

( an cos nx + bnsin n x) , ③

其中

an =1π∫

π

- πφ( x )cos n xd x , n = 0 ,1 ,2 ,⋯ , ④

bn =1π∫

π

-πφ( x ) sin nxd x , n = 1 ,2 ,⋯ . ⑤

在 ④ , ⑤ 式中作变量代换 x =πl

t , 并将 x =πl

t 代入 ③ 式 , 即得 f ( t ) 在

[ - l , l] 上展成的傅氏级数

f ( t ) ～a0

2+ ∑

∞

n = 1

an cosnπl

t + bn sinnπl

t , ( 6 - 9)

其中

an =1l∫

l

- lf ( t )cos

nπl

td t , n = 0 , 1 , 2 ,⋯ , (6 - 10)

bn =1l∫

l

- lf ( t) sin

nπl

td t , n = 1 , 2 , ⋯ . (6 - 11)

注意 , ( 6 - 9 ) - (6 - 11 ) 中的 l 是半周期 ,即 l =T2

.

例 3 将 f ( x ) = x2在区间[ - 1 , 1] 上展成傅氏级数 .

·251· 第 6 章 Fourier(傅里叶 ) 级数

解 把 f ( x ) = x2延拓为以 T = 2(此时 l = 1 ) 为周期的函数 F( x ) ,

然后将其展成傅氏级数 ,由于 f ( x ) = x2是偶函数 ,故系数 bn = 0 , n = 1 , 2 ,

⋯ ,

an =21∫

1

0x

2cos nπxd x =

2nπ

( x2sin nπx)

1

0-

4nπ∫

1

0xsin nπxd x

= 0 +4

( nπ)2 ( xcos nπx )

1

0-

4( nπ)

2∫1

0cos nπxd x

=4

( nπ)2 cos nπ = ( - 1 )

n 4( nπ)

2 , n = 1 , 2 ,⋯ ,

a0 =21∫

1

0x

2d x =

23

.

根据定理 6 .1 , f ( x ) = x2在 [ - 1 ,1 ] 上的傅氏级数在每一点均收敛于

f ( x ) ,即

x2 =13

+4π2∑

∞

n = 1

( - 1) n 1n2 cos nπx

=13

+4π

2 -cosπx

12 +

cos 2πx2

2 -cos 3πx

32 + ⋯ , x ∈ [ - 1 , 1] .

见图 6 - 4 .

图 6 - 4

附带指出 ,在上式中取 x = 1 和 x = 0 , 分别得

11

2 +12

2 +13

2 + ⋯ +1n

2 + ⋯ =π

2

6,

11

2 -12

2 +13

2 -14

2 + ⋯ + ( - 1)n - 1 1

n2 + ⋯ =

π2

12.

6 .3 .2 奇、偶函数的 Fourier 级数 — 奇延拓与偶延拓

以 T = 2 l 为周期的奇函数 f ( x ) (如例 2 ) ,其傅氏系数 an = 0 ( n = 0 , 1 ,

2 , ⋯ ) , 因而在其傅氏级数中只有正弦项 ,称为正弦级数 , 即

f ( x ) ～∑∞

n = 1

bn sinnπl

x .

·351·6 .3 其它形式的 Fourier 级数

以 2 l 为周期的偶函数 f ( x ) (如例 3 ) ,其傅氏系数 bn = 0 ( n = 1 , 2 , ⋯ ) , 因而

在其傅氏级数中只有常数项和余弦项 ,称为余弦级数 , 即

f ( x ) ～a0

2+ ∑

∞

n = 1

an cosnπl

x .

如果 f ( x ) 只在有限区间[ 0 ,π] 上定义且满足定理 6 .1 的条件 , 如何把它

展开为以 T ( T ≥π) 为周期的傅氏级数呢 ?

(1 ) 如果 T = π,则把 f ( x ) 看成是一个以π为周期的函数在 [0 ,π] 上的

限制 ,按 ( 6 - 9 ) 式展开 ,其系数按 ( 6 - 10) 和 ( 6 - 11) 式计算 , 其中

l =T2

=π2

,

积分的上、下限分别为 0 与π .

(2 ) 如 T = 2π,首先把 f ( x ) 延拓到 (π, 2π) 或 ( - π, 0) 上 , 通常将 f ( x ) 延

拓为 [ - π,π] 上的奇函数或偶函数 , 即作奇延拓或偶延拓 .具体地说 , 就是构

造一个新函数 F( x )

F( x ) =- f ( - x ) , x ∈ ( - π,0 ) ,

f ( x ) , x ∈ [0 ,π](6 - 12)

或

F( x ) =f ( - x ) , x ∈ ( - π,0 ) ,

f ( x ) , x ∈ [0 ,π] .(6 - 13)

再把 F( x ) 在[ - π,π] 上展成正弦级数或余弦级数 .在考虑级数收敛的情形

时 ,只需考虑限制在[ 0 ,π] 上的 x .

这里要注意 ,在 (6 - 12) 式中 , 如果 f (0 ) ≠ 0 ,则 F( x) 在 ( - π,π) 上不是

连续的奇函数 .由定理 6 .1 , F( x ) 在此时展成的正弦级数在 x = 0 点处收敛

于 0 .

(3 ) 如 T = 2 l > 2π, 先将 f ( x ) 延拓到[π, l] ,构成定义在[ 0 , l] 上的函数

F1 ( x ) ,例如 , 可以令

F1 ( x ) =f ( x ) , x ∈ [0 ,π] ,

0 , x ∈ (π, l] ,

然后再将 F1 ( x ) 作奇延拓或偶延拓 .

例 4 将 f ( x ) = 2 - x 在[ 0 , 2] 上展成以 4 为周期的傅氏级数 .

解 先将 f ( x ) 作偶延拓 ,即令

F( x ) =f ( - x ) = 2 + x , x ∈ [ - 2 , 0] ,

f ( x ) = 2 - x , x ∈ ( 0 , 2] .

其图形为如图 6 - 5 所示的三角波 .

·451· 第 6 章 Fourier(傅里叶 ) 级数

图 6 - 5

此时 T = 2 l = 4 , l = 2 .傅氏系数

bn = 0 , n = 1 ,2 ,⋯ ,

a0 =2l∫

l

0F( x) d x =∫

2

0(2 - x ) d x = 2 ,

an =2l∫

l

0F( x)cos

nπl

xd x =∫2

0( 2 - x )cos

nπ2

xd x

=2nπ

(2 - x ) sinnπ2

x2

0+

2nπ∫

2

0sin

nπ2

xd x

= 0 -2nπ

2

cosnπ2

x2

0=

2nπ

2

( 1 - cos nπ)

=

0 , n 为偶数 ,

8π2

1n2 , n 为奇数 .

于是 a2 k = 0 , a2 k - 1 =8π2

1( 2 k - 1) 2 , k = 1 , 2 , ⋯ .

由定理 1 .6 ,有

F( x ) = 1 +8π

2∑∞

k = 1

1(2 k - 1 )

2 cos2 k - 1

2πx = 2 - x , x ∈ [ 0 , 2] .

上式中的余弦级数就是 f ( x ) = 2 - x 在 [0 , 2 ] 上展成的以 4 为周期的傅

氏级数 .特别地 , 取 x = 0 得

11

2 +13

2 +15

2 + ⋯ +1

(2 k - 1)2 + ⋯ =

π2

8.

读者也不难将其奇延拓为锯齿波 ,而展成正弦级数 .

例 5 将 f ( x ) =1 - x , x ∈ [ 0 , 1] ,

0 , x ∈ ( 1 , 2]展成周期为 2 的傅氏级数 .

解 此时 T = 2 l = 2 , l = 1 , 按 ( 6 - 9) 式展开 , 傅氏系数为

a0 =11∫

2

0f ( x ) d x =∫

1

0(1 - x )d x = -

12

( 1 - x )2

1

0=

12

,

·551·6 .3 其它形式的 Fourier 级数

an =11∫

2

0f ( x )cos

nπ1

xd x =∫1

0( 1 - x )cos nπxd x

=1 - x

nπsin nπx

1

0+∫

1

0

sin nπxnπ

d x =1 - cos nπ

( nπ)2

=

0 , n 为偶数 ,

2( nπ)

2 , n 为奇数 ,

bn =∫1

0( 1 - x ) sin nπxd x =

x - 1nπ

cos nπx1

0-∫

1

0

cos nπxnπ

d x

=1nπ

-sin nπx( nπ)

2

1

0=

1nπ

,

n = 1 , 2 ,⋯ .

于是 f ( x ) 在[ 0 , 2] 上展成的傅氏级数及其收敛情况为

f ( x ) =14

+2π

2 cosπx +1π

sinπx +1

2πsin 2πx

+2

(3π)2 cos 3πx +

13π

sin 3πx + ⋯ , x ∈ (0 , 2 ) .

但在点 x = 0 , 2 处 , 傅氏级数收敛到

f (0 + 0) + f ( 2 - 0 )2

=12

,

见图 6 - 6 .

图 6 - 6

6 .3 .3 复数形式的 Fourier 级数

介绍傅氏级数的复数形式可以为以后学习 Fourier 积分和 Fourier 变换等

作准备 , Fourier 积分和 Fourier 变换是电信号分析的基本数学工具 .为了把电

流与虚数加以区别 ,这里记 j = - 1 .

为了把 f ( x ) 的傅氏级数

f ( x ) ～a0

2+ ∑

∞

n = 1

( an cos nx + bnsin nx ) (6 - 14)

表示为复数形式 ,我们利用 Euler 公式 (5 - 25 ) ,得

·651· 第 6 章 Fourier(傅里叶 ) 级数

an cos nx =12

an (ej n x + e- j n x ) ,

bn sin nx = -j2

bn (ej n x

- e- j n x

) .

将此二式代入 (6 - 14 ) 式 ,得 f ( x ) 的傅氏级数的复数形式

f ( x ) ～a0

2+ ∑

∞

n = 1

( cn ej n x

+ c- ne- j n x

) , (6 - 15)

其中

cn =12

( an - j bn ) , c - n = cn =12

( an + j bn ) . (6 - 16)

再由傅氏系数 an 和 bn 的计算公式得

cn =12

1π∫

a + 2π

af ( x ) cos nxd x - j

1π∫

a+ 2π

af ( x ) sin nxd x

=1

2π∫a + 2π

af ( x )e

- j n xd x , (6 - 17)

c0 =1

2π∫a + 2π

af ( x )d x =

a0

2. (6 - 18)

同理 c - n =1

2π∫a+ 2π

af ( x )ej n x d x , n = 1 , 2 , ⋯ . (6 - 19)

于是 , f ( x ) 的傅氏级数 ( 6 - 15 ) 式可更简单地表述为

f ( x ) ～ ∑+∞

- ∞

cn ej n x

, (6 - 20)

其中

cn =1

2π∫a + 2π

af ( x ) e

- j n xd x , n = 0 , ± 1 , ± 2 ,⋯ . (6 - 21)

如果 f ( x ) 以 T = 2 l 为周期 , 其复数形式的傅氏级数则为

f ( x ) ～∑+∞

- ∞

cn ej

nπl

x, (6 - 22)

其中

cn =1

2 l∫l

- lf ( x )e

- jnπl

xd x , n = 0 , ± 1 , ± 2 ,⋯ . (6 - 23)

例6 已知以 2为周期的电压信号 u ( t ) = e- t

, t ∈ [0 ,2 ] , 求其复数形式

的傅氏级数 .

解 此时 T = 2 l = 2 , l = 1 , 按 ( 6 - 23 ) 式得系数

cn =12∫

2

0e

- te

- j nπtd t = -

12

e- ( 1 + j nπ) t

1 + j nπ

2

0

·751·6 .3 其它形式的 Fourier 级数

=1 - e

- 2e

j2 nπ

2( 1 + j nπ)=

1 - e- 2

2( 1 + j nπ)

=( 1 - e

- 2) ( 1 - j nπ)

2 (1 + n2π

2)

,

n = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯

于是复数形式的傅氏级数及其在[0 ,2 ] 上的收敛情况为 :

u ( t ) = ∑+ ∞

- ∞

(1 - e- 2

) ( 1 - j nπ)2 (1 + n

2π

2)

ej nπt

, t ∈ ( 0 , 2) .

在 t = 0 , 2 处 ,傅氏级数收敛到

S ( t ) =u( 0 + 0) + u( 2 - 0 )

2=

1 + e- 2

2,

如图 6 - 7 所示 .

图 6 - 7

6 .4 平均收敛

关于“函数 f ( x ) 在区间[ a , b] 上用 g( x ) 来近似”这个问题 , 根据“点收

敛”和“一致收敛”的概念 ,我们已经有了两种不同的实现途径 .前者要求在一

点附近有较高的精确度 ,而后者则要求在整个区间上有较高的近似精确度 .还

有一种近似是不计较在某些特定点上的误差 , 而着眼于在整个区间 [ a , b] 上

二者的“平均误差”.这种近似的精确度可描述为

δ2

=1

b - a∫b

af ( x ) - g( x)

2d x ,

通常称为均方差值 .显然 ,δ2越小则整体近似程度越好 .

设函数 f ∈ C[ - π,π] , 我们用 n 阶三角多项式

S n ( x ) =a0

2+ ∑

n

k = 1

( akcos kx + bk sin kx ) ①

来近似它 .我们的问题是 : 当系数 ak ( k = 0 , 1 , 2 , ⋯ ) 和 bk ( k = 1 , 2 , ⋯ ) 取何

值时 ,均方差值

δ2n =

12π∫

π

-πf ( x ) - Sn ( x )

2d x

·851· 第 6 章 Fourier(傅里叶 ) 级数

最小 .

我们知道 , C[ - π,π] 是无穷维内积空间 , 三角函数系

Tn = {1 , cos x , cos 2 x ,⋯ , cos nx , sin x , sin 2 x , ⋯ , sin nx }

是其中的一组非零的正交函数 .为了有统一的式子 , 置

φ0 = 1 ,φk ( x ) = cos kx ,φn + k ( x ) = sin kx , k = 1 ,2 ,⋯ , n ,

这样 Tn = {φ0 ,φ1 ,⋯ ,φ2 n } .

T n 的线性扩张 W = L ( Tn ) , 也就是所有具有 ① 形式的三角多项式之

集 ,是 C [ - π,π] 的 2 n + 1 维子空间 . Sn ( x ) ∈ W , 均方差值也可表示为

δ2n =

12π∫

π

- πf ( x ) - Sn ( x ) 2

d x =1

2π‖ f - S n‖

2 ②

因此 , 要使 δ2n 最小 , 也就是要使 ‖ f - Sn‖ 最小 , 即求 S

*n ( x ) ∈ W , 使

" Sn ( x ) ∈ W ,有

‖ f - S *n ‖ ≤ ‖ f - Sn‖ , ③

也就是求函数 f 到子空间 W 的最短距离 .

引用几何的语言 ,容易证明 (参考图 6 - 8) , 满足 ③ 式的 S *n 是 f 在 W 上

图 6 - 8

的投影 ( f ) W , 即

( f - S*n ) ⊥ W . ④

下面我们来严格证明这个结论 , 也就是证明在 ④ 下 , " Sn ( x ) ∈ W , ③

成立 .

由内积的性质和 ④ , 有

‖ f - Sn‖2

= ( f - Sn , f - S n )

= ( ( f - S*n ) + ( S

*n - S n ) , ( f - S

*n ) + ( S

*n - Sn ) )

= ‖ f - S*n ‖

2+ ‖ S

*n - Sn‖

2

≥ ‖ f - S *n ‖

2 ,

推得 ③ .现在要确定 S*n ( x ) 是存在的 ,即具体求解 S

*n ( x ) .注意到 ④ 式等价

于

( ( f - S*n ) ,φk ) = 0 , k = 0 , 1 , ⋯ , n , ⋯ ,2 n . ⑤

·951·6 .4 平均收敛

设

S*n = ∑

2 n

i = 0

ciφi

并代入 ⑤ 式 , 由正交性 ,得

( f ,φk ) - ∑2 n

i = 0

ciφi ,φk = ( f , φk ) - ck (φk ,φk ) = 0 .

其中 (φ0 ,φ0 ) = 2π, (φk ,φk ) = π, k = 1 ,2 ,⋯ , 2 n , 故

ck =1π

( f ,φk ) =1π∫

π

- πf ( x )φk ( x ) d x , k = 1 , 2 , ⋯ , 2 n ,

c0 =1

2π∫π

- πf ( x ) d x ,

从而

ck =1π∫

π

- πf ( x )cos kxd x , k = 1 ,⋯ , n ,

ck =1π∫

π

- πf ( x ) sin( k - n) xd x , k = n + 1 , ⋯ , 2 n .

这样

S*n ( x ) = c0φ0 + ∑

n

k = 1

ckφk + ∑2 n

k = n+ 1

ckφk

=1

2π∫π

-πf ( x ) d x + ∑

n

k = 1

1π∫

π

-πf ( x )cos k xd x cos kx

+ ∑2 n

k = n + 1

1π∫

π

- πf ( x ) sin( k - n) xd x sin( k - n ) x

=a0

2+ ∑

n

k = 1

akcos k x + ∑n

m = 1

bm sin m x ,

其中的 ak ( k = 0 , 1 , 2 , ⋯ ) 和 bm ( m = 1 , 2 , ⋯ ) 是 f ( x ) 的傅氏系数 .

因此我们得到结论 : 用三角多项式① 近似 f ∈ C[ - π,π] , 当系数 a0 , ak ,

bk ( k = 1 , 2 ,⋯ , n) 为 f ( x ) 的傅氏系数时均方差δ2n② 最小 .

利用三角函数系 {1 , cos x , sin x , ⋯ , cos nx , sin nx} 的性质 , 对一般

Riemann 可积的函数 f ( x ) , 不难算得

δ2n =

12π∫

π

- πf ( x ) -

a0

2- ∑

n

k = 1

( ak cos k x + bk sin k x)

2

d x

=1

2π∫π

- πf2

( x ) d x -a2

0

4-

12 ∑

n

k = 1

( a2k + b

2k ) , n = 1 , 2 , ⋯ . ⑥

由⑥ 式易见 , 三角多项式① 的阶数越高 ,δ2n 就越小 ,从而近似程度也就越好 .

·061· 第 6 章 Fourier(傅里叶 ) 级数

再由δ2n ≥ 0 及 ⑥ 式 ,可得

a20

2+ ∑

n

k = 1

( a2k + b

2k ) ≤

1π∫

π

-πf

2( x ) d x . ⑦

⑦ 式表明 , 不等式左边的序列递增有上界 ,因此级数

a20

2+ ∑

∞

k = 1

( a2k + b

2k )

收敛 ,而且

a20

2+ ∑

∞

k = 1

( a2k + b2

k ) ≤1π∫

π

-πf2 ( x ) d x . ⑧

⑧ 式称为 Bessel(贝塞尔 ) 不等式 ,其等号成立是

δ2n =

12π∫

π

-πf ( x ) - S n ( x )

2d x → 0 ( n → ∞ )

的充分必要条件 .这时我们称函数列{ Sn ( x ) } 在[ - π,π] 上平均收敛于 f ( x ) .

定理 6.4 设 f ( x ) 是以 2π为周期的连续函数 , 其 Fourier 系数为 an 和

bn , 则

1π∫

π

- πf

2( x ) d x =

a20

2+ ∑

∞

n = 1

( a2n + b

2n ) , ⑨

也就是δ2n → 0 ( n → ∞ ) .

等式 ⑨ 称为 Parseval(巴塞维尔 ) 等式 .

证明 定义一个辅助函数

g( x ) =1π∫

π

-πf ( t ) f ( x + t ) d t ,

由第 2.3 节例 10 , g( x ) 是以 2π为周期的连续函数 .下面求 g( x) 的 Fourier 系

数 An 和 Bn :

A0 =1π∫

π

-πg ( x ) d x

=1π2∫

π

-π∫

π

- πf ( t ) f ( x + t )d t d x

=1π

2∫π

-π∫

π

- πf ( t ) f ( x + t )d x d t ( 积分交换次序 )

=1π

2∫π

-πf ( t )∫

π+ t

- π+ tf ( u ) d u·d t

=1π2∫

π

-πf ( t ) d t∫

π

- πf ( u) d u

= a20 . ⑩

上面等式推演中承认了两个积分可交换次序 ,这个结论我们放到最后来证明 .

·161·6 .4 平均收敛

同理有 An = a2n + b

2n , Bn = 0 .因

| An cos nx |≤ An = a2n + b

2n ,

又级数a

20

2+ ∑

∞

n = 1

( a2n + b

2n ) 收敛 , 由 Weierstrass 定理 , 三角级数

A0

2+ ∑

∞

n = 1

An cos nx

一致收敛 , 记和函数为 S( x ) .那么该三角级数就是 S( x ) 的 Fourier 级数 , 从

而 g( x ) 与 S ( x) 有相同的 Fourier 系数 ,即 g( x ) - S( x ) 与三角函数系正交 .

由三角函数系的完全性 ,以及 g( x ) 的连续性 ,有

g( x ) =A0

2+ ∑

∞

n = 1

( An cos n x + Bn sin nx )

=A0

2+ ∑

∞

n = 1

An cos nx . �11

置 x = 0 , 有

g(0 ) =1π∫

π

-πf2 ( t ) d t =

A0

2+ ∑

∞

n = 1

An =a

20

2+ ∑

∞

n = 1

( a2n + b2

n ) ,

学了多重积分之后 ,积分交换次序是件很容易理解的事情 , 但这里为了定

理 6.4 证明完善 ,我们补证下面等式 ( 证明有些繁索 ,读者可以跳过去不看 )

∫π

- π∫

π

- πf ( t ) f ( x + t ) d t d x =∫

π

- πf ( t ) d t∫

π

- πf ( x ) d x . �12

由积分 Riemann 和极限的定义 , " ε> 0 ,存在δ> 0 , 使得对[ - π,π] 上任

一分割{ Ej }p

j = 1 , 只要 max { mes Ej : 1 ≤ j ≤ p} < δ, 对 "ξj ∈ Ej , 都有

∑p

j = 1

f (ξj ) mes Ej -∫π

-πf ( x ) d x < ε . �13

现将[ - π,π] n 等分 , 构造 Riemann 和

∑n

k = 1

2πn

g - π+2 kπ

n= ∑

n

k = 1

2πn∫

π

-πf ( t ) f - π+

2 kπn

+ t d t

=∫π

- πf ( t )

2πn ∑

n

k = 1

f - π+2 kπ

n+ t d t . �14

由于 f ( x ) 以 2π为周期 , [ - π+ t ,π+ t] 的分割 - π+2 kπ

n+ t

n

k = 1可产生

[ - π,π] 上一个分割{ xk } 使得

∑n

k = 1

f ( x k ) = ∑n

k = 1

f - π+2 kπ

n+ t ,

且{ x k } 相邻两点间的距离不超过1n

, 由 �13 和 �14 , 当1n

< δ时 , 有

·261· 第 6 章 Fourier(傅里叶 ) 级数

∑n

k = 1

2πn

g - π+2 kπ

n-∫

π

- πf ( t )∫

π

-πf ( x ) d x d t

≤∫π

- πf ( t ) ∑

n

k = 1

2πn

f ( xk ) -∫π

- πf ( x ) d x d t

< ε∫π

- πf ( t ) d t ,

由于ε任意小 , 得∑n

k = 1

2πn

g - π+2 kπ

n当 n→+ ∞时趋向�12 的右边 , 又按积分

的定义 ,它又趋向 �12 的左边 ,这样 �12 式成立 .定理得证 .

三角函数系关于连续函数 Parseval 公式总是成立 , 此时 , 又称三角函数系

关于连续函数封闭 .由三角函数系关于连续函数的封闭性也可导出三角函数

系的完全性 (请读者来完成这个推演 ) .

评注 一谈到函数 ,人们最容易想到的是多项式 , 而且也容易想到用多项式去逼

近其他函数 .这种想法在古希腊时代就已经有了 , 但由于当时回避使用“无穷”, 因此一直

到微积分发明以后 ,这方面的研究才得以广泛开展 .

在 Newton 以后相当一段时期内 , 无穷级数作为一种工具被广泛使用 .和微积分一样 ,

由于缺乏“极限”的巩固基础 , 人们对级数的敛散性虽有所觉察 , 但并没有给予足够的重

视 ,以至在使用中常常出现一些错误 .例如像 Newton , Leibniz, Euler和 Lagrange等都认为一

个函数可以用幂级数展开是非常自然的事情 .即使像 Bernoulli (伯努利 ) 和 Euler 这样的数

学家 ,也得到诸如 1 - 1 + 1 - 1 + ⋯ =12

以及 1 +13

+15

+ ⋯ =12

+14

+ ⋯ 之类的

结果 .但尽管如此 ,他们运用级数取得的大批漂亮的结果后来证明是正确的 .

函数可以用幂级数来表示 ,反过来 , 幂级数也可以看成是一个函数 , 这一点大大拓广

了当时人们对函数的认识 .然而二者的等价性只有当函数在一点处无穷次可微 , 且又有趋

于零的 Taylor 公式的余项时才成立 .后来 ,人们终于确定了一个函数类 , 叫做解析函数 , 它

与收敛的幂级数是等价的 .

对解析函数的深入研究应该在复数域中进行 ,这一点可以从以下的例子看出来 .在点

x = 0 , 函数1

1 + x2 可以展成收敛半径为 1 的幂级数 1 - x2 + x4 - ⋯ ,如果说它们是等价

的 ,则可以想到 , 在函数性质很好的地方 ,幂级数应该收敛 .而这个函数在整个实轴上都具

有很好的性质 , 但为什么与之对应的幂级数的收敛范围要限于 x < 1 呢 ?如果把这种现

象放在复数平面上就清楚了 :原来这个函数在 R 上虽然没有奇点 ,但在复平面上却有两个

奇点 x =± i ,它满足 x = 1 .如果把 x 看成复数 ,那么幂级数的收敛半径为 1 就不奇怪

了 .所以对自变量和函数都可以取复值的复变函数来说 , 解析函数和幂级数的对应就看得

更为清楚了 .下一册书对复变函数将有简单的介绍 .

前面已讲过 , 幂级数是多项式的自然推广 .在区间 [ a , b] 上 ,不超过 n次的多项式组成

·361·6 .4 平均收敛

一个( n + 1) 维线性空间 ,基为 {1 , x , x2 ,⋯ , xn } .形式上 ,这组基很简单 ,但它有一个缺陷 :

如果按通常的 ( f , g) =∫b

af ( x ) g( x) d x 来定义内积 ,则这组基不是正交基 .当然可以用正

交化或通过其他方法找到与之等价的正交基 ,但基向量的形式就不会这样简单了 .这种思

想可以推广到无穷维空间 .对于不同的区间和不同的用途 ,人们已找到了不少不同类型的

正交多项式 , 它们构成了特殊函数的一部分 .特殊函数论的重要内容是寻求可以用某类正

交多项式展开的函数类 ,也就是某类正交多项式所张成的线性函数空间 .

寻找函数空间正交基的另一个途径是选择三角函数 ,这就是本章所讲的 Fourier 级数 .

傅氏级数的产生和发展对数学及其发展有着极为重要和深远的影响 .从数学本身来看 , 由

于对有待展开的函数的要求很低(粗略地说 ,例如只要求连续或逐段连续 ) , 远不如幂级数

展开对函数的要求 (至少无穷次可微 ) .因此在讨论傅氏级数的收敛问题时 , 其难度就远大

于幂级数的情形 .直到现在 , 在收敛性问题中 , 最常用的仍是 Dirichlet 判别法 .它远不能说

是很自然的 , 但如果我们知道上一世纪就有人举出了这样的例子 :在区间 [ a , b] 上存在一

个连续函数 , 它的傅氏级数在 [ a , b] 中的一个处处稠密的点集上发散 ,就可以知道难以指

望找到像幂级数收敛那样自然的条件了 .到现在为止 , 我们对区间上的函数系列 (或等价

地 ,函数项级数 ) 定义了三种收敛性 :如果把函数看成是一条曲线 , 第一种是点收敛 (按点

收敛) ,其次是一致收敛(按曲线收敛) ,最后是平均收敛 (按曲线下的面积收敛 ) .对于傅氏

级数的收敛性的深入研究 ,促进了集合论及现在称之为“调和分析”的发展 .

傅氏分析的威力更体现在对其他学科的影响上 .因为傅氏分析其实就是一种把一个

复杂 的 周 期 现 象 ( 例 如 波 动 ) f ( t ) 分 解 为 一 系 列 简 单 波 ( 有 时 也 叫“子 波”)

An cos (ωn t + φn ) 之和的方法 , 其中ωn 是频率 , An 是振幅 .因此为了研究 f ( t ) 就可以转向

研究{ An } 的性质 , 这是分析某种客观现象 (尤其是在信息科学领域 ) 的一个很有用的办

法 .当然对不同的现象 , 可以选择不同的子波 .一门研究这方面问题的学科就是“小波

分析”.

习题 6

1 .将下列函数展成以给定的 T 为周期的傅氏级数 , 并作该傅氏级数的和

函数在两个周期上的图形 .

(1 ) T = 2π, f ( x ) =x +π, x ∈ [ - π, 0 ) ,

π - x , x ∈ [ 0 ,π] ;(2 ) T = 2π, u ( t ) = sin t , t ∈ [ 0 , 2π] ;

(3 ) T = 2π, f ( x ) =π4

-x2

, x ∈ ( - π,π) ;

(4 ) T = 2 , f ( x ) 为奇函数且 f ( x ) = x( 1 - x ) , x ∈ (0 ,1 ) ; 并求下列

级数∑∞

n = 1

( - 1 )n - 1

(2 n - 1 )3 之和 ;

·461· 第 6 章 Fourier(傅里叶 ) 级数

(5 ) u( t) =

1 , t ∈ [ 0 , h] ,

0 , t ∈ h ,T2

,展成以 T 为周期的余弦级数 ;

(6 ) u( t) =1 - t , t ∈ [0 ,1 ] ,

0 , t ∈ (1 , 2 ] ,展成以 4 为周期的正弦函数 ;

(7 ) f ( x ) = x ( x ∈ [ - 1 , 1 ] ) , 展成以 4 为周期的傅氏级数 ;

(8 ) f ( x ) = x + x2 ( x ∈ [ 0 , 2π] ) ,展成以 2π为周期的傅氏级数 , 并求

级数∑∞

n = 1

1n

2 之和 ;

(9 ) u( t ) =

t, t ∈ [ 0 ,θ] ,

θθ - T

( t - T ) , t ∈ (θ, T ) ,展成以 T 为周期的傅氏级

数 ,并计算当 θ=T2

时 1 次和 2 次谐波的振幅 .

2 .设 f ( x ) = x - 1 .

(1 ) 将 f ( x ) 在 (0 ,2π) 上展成以 2π为周期的傅氏级数 ;

(2 ) 将 f ( x ) 在 (0 ,π) 上展成以π为周期的正弦级数 ;

(3 ) 问 f ( x ) 在 ( 0 , 1) 上可否展成以 4 为周期的余弦级数 ?如可展开 , 展法

是否唯一 ?

3 .将下列函数展成以 T 为周期的复数形式的傅氏级数 :

(1 ) T = 2π, f ( x ) = ex

, x ∈ (0 ,2π) ;

(2 ) T = 2π, f ( x ) = x , x ∈ ( - π,π) ;

(3 ) 周期为 T , u ( t ) 为偶函数且 u ( t ) =

E , t ∈ 0 ,t0

2,

0 , t ∈t02

,T2

,

并根据

u ( t ) 的复数形式的傅氏级数 ,写出其实数形式的傅氏级数 .

4 .将下列函数展开成 Fourier 级数 :

(1 ) cos2 m

x , m 为正整数 ;

(2 )qsin x

1 - 2 qcos x + q2 , | q | < 1;

(3 ) ln( 1 - 2 qcos x + q2) , | q | < 1 .

(提示可应用 Euler 公式 .)

5 .设 f ( x ) 是以π为周期的反周期函数 , 即

f ( x +π) = - f ( x ) ,

问此函数在区间 ( - π,π) 内的 Fourier 级数具有什么特征 ?

6 .如果函数

·561·习题 6

φ( - x ) = ψ( x ) ,

问φ( x ) 与ψ( x ) 的 Fourier 系数αn ,βn 与 an , bn ( n = 0 ,1 ,⋯ ) 之间有何关系 ?

7 .已知周期为 2π的可积分函数 f ( x ) 的 Fourier 系数为 an , bn ( n = 0 , 1 ,

2 , ⋯ ) , 试计算

fn ( x ) =1

2 n∫x + n

x - nf ( t ) d t

的 Fourier 系数 A n , Bn ( n = 0 , 1 , 2 , ⋯ ) .

·661· 第 6 章 Fourier(傅里叶 ) 级数

附 录

积 分 简 表

1 .∫x( ax + b)nd x =

( ax + b) n + 1

a2

ax + bn + 2

-b

n + 1+ C, n ≠ - 1 , - 2

2 .∫x( ax + b)- 1

d x =xa

-ba2 ln ax + b + C

3 .∫x( ax + b)- 2

d x =1a2 ln ax + b -

aax + b

+ C

4 .∫ d x

x ax + b=

1

bln

ax + b - b

ax + b + b+ C, b > 0

2

- barctan

ax + b- b

+ C, b < 0

5.∫ ax + bx

d x = 2 ax + b + b∫ d x

x ax + b

6 .∫ ax + bx

2 d x = -ax + b

x+

a2∫

d x

x ax + b

7 .∫ d x

x2 ax + b= -

ax + bbx

-b

2 a∫d x

x ax + b

8 .∫ d xa2 + x2 =

1a

arctanxa

+ C

9 .∫ d x( a

2+ x

2)

2 =x

2 a2

( a2

+ x2

)+

12 a

3 arctanxa

+ C

10 .∫ d xa2 - x2 =

12 a

lnx + ax - a

+ C

11 .∫ d x( a2 - x2 ) 2 =

x2 a2 ( a2 - x2 )

+1

4 a3 lnx + ax - a

+ C

12 .∫ d x

a2

- x2

= arcsinxa

+ C

13 .∫ d x

x2± a

2= ln x + x

2± a

2+ C

14 .∫ a2

- x2

d x =x2

a2

- x2

+a2

2arcsin

xa

+ C

15.∫ x2± a

2d x =

x2

x2± a

2±

a2

2ln x + x

2± a

2+ C

16 .∫( x2± a)

32 d x =

x8

(2 x2± 5 a

2) x

2± a

2+

3 a4

8ln x + x

2± a

2+ C

17 .∫ d x

( x2 ± a2 )32

=±x

a2 x2 ± a2+ C

·761·积 分 简 表

18 .∫ d x

2 ax - x2

= arcsinx - a

a+ C

19 .∫ 2 ax - x2

d x =x - a

22 ax - x

2+

a2

2arcsin

x - aa

+ C

20 .∫x 2 ax - x2 d x =( x + a) (2 x - 3 a) 2 ax - x

2

6+

a3

2arcsin

x - aa

+ C

21 .∫ 2 ax - x2

xd x = 2 ax - x2 + aarcsin

x - aa

+ C

22 .∫ 2 ax - x2

x2 d x = - 2

2 a - xx

- arcsinx - a

a+ C

23 .∫ xd x

2 ax - x2= aarcsin

x - aa

- 2 ax - x2 + C

24 .∫ d x

x 2 ax - x2= -

1a

2 a - xx

+ C

25. �∫ a + xb + x

d x = ( a + x) ( b + x) + ( a - b) ln a + x + b + x + C

26 .∫ a - xb + x

d x = ( a - x ) ( b + x) + ( a + b) arcsinx + ba + b

+ C

27 .∫ d x

( x - a) ( b - x)= 2arcsin

x - ab - a

+ C

28 .∫ d xa4 + x4 =

1

4 2 a3 ln

x2 + 2 ax + a2

x2

- 2 ax + a2 + C

29 .∫ d xa

4- x

4 =1

4 a3 ln

x + ax - a

+ 2arctanxa

+ C

30 .∫sin axd x = -1a

cos ax + C,∫cos axd x =1a

sin ax + C

31 .∫sin2

axd x =x2

-sin 2 ax

4 a+ C,∫cos

2ax =

x2

+sin 2 ax

4 a+ C

32 .∫sinnaxd x =

- sinn - 1

axcos axna

+n - 1

n∫sinn - 2

axd x

33 .∫cosnaxd x =

cosn - 1

axsin axna

+n - 1

n∫cosn - 2

axd x

34 . �∫sinnaxcos

maxd x = -

sinn - 1

axcosm + 1

axa( m + n )

+n - 1m + n∫sin

n - 2axcos

maxd x =

sinn + 1

axcosm - 1

axa( m + n)

+m - 1m + n∫sin n axcosm - 2 axd x , n ≠ - m

35.∫ d x1 + sin ax

= -1a

tanπ4

-ax2

+ C

36 . �∫ d xb + csin ax

=

-2

a b2 - c2arctan b - c

b + ctan

π4

-ax2

+ C, b2

> c2

-1

a c2 - b2ln

c + bsin ax + c2 - b2 cos axb + csin ax

+ C, b2

< c2

·861· 附 录

37 .∫ d x1 + cos ax

=1a

tanax2

+ C

38 . �∫ d xb + ccos ax

=

2

a b2 - c2arctan b - c

b + ctan

ax2

+ C, b2

> c2

1

a c2 - b2ln

c + bcos ax + c2 - b2 sin axb + ccos ax

+ C, b2

< c2

39 .∫tan axd x = -1a

ln cos ax + C, ∫tan2 axd x =1a

tan ax - x + C

40 .∫tannaxd x =

tan n - 1 axa( n - 1 )

-∫tann - 2

axd x , n ≠ 1

41 .∫sec axd x =1a

ln sec ax + tan ax + C, ∫sec2

axd x =1a

tan ax + C

42 .∫secnaxd x =

secn - 2

axtan axa( n - 1 )

+n - 2n - 1∫sec

n - 2axd x , n ≠ 1

43 .∫arcsin axd x = x arcsin ax +1a

1 - a2

x2

+ C

44.∫arccos axd x = xarccos ax -1a

1 - a2

x2

+ C

45 .∫arctan axd x = x arctan ax -1

2 aln 1 + a

2x

2+ C

46 .∫arccot axd x = xarccot ax +1

2 aln 1 + a2 x2 + C

47 .∫eax d x =1a

eax + C, ∫ba x d x =bax

aln b+ C, b > 0 , b ≠ 1

48 .∫eax

sin bxd x =e

ax

a2 + b2 ( asin bx - bcos bx) + C

49 .∫eax

cos bxd x =eax

a2 + b2 ( acos bx + bsin bx) + C

50 .∫xn ln axd x =1

n + 1xn + 1 ln ax -

xn + 1

( n + 1 )2 + C, n ≠ - 1

51 .∫π

- πsin mxcos nxd x = 0

52 . �∫π

- πsin mxsin nxd x =

0 , m ≠ n

π, m = n ≠ 0

∫π

- πcos mxcos nxd x =

0 , m ≠ n

π, m = n

53 . �∫π

0sin m xsin nxd x =

0 , m ≠ n

π2

, m = n ≠ 0

∫π

0cos m xcos nxd x =

0 , m ≠ n

π2

, m = n

54. �∫π2

0sin

nxd x =∫

π2

0cos

nxd x

·961·积 分 简 表

=

1·3·5⋯ ( n - 1 )2·4·6⋯ n

·π2

, n ≥ 2 是偶数

2·4·6⋯ ( n - 1 )1·3·5⋯ n

, n ≥ 3 是奇数

55 .∫∞

0x

n - 1e

- xd x = Γ( n) = ( n - 1) !, n 是正整数

56 .∫∞

0e

- ax2

d x =12

πa

, a > 0

·071· 附 录

部分习题参考答案

习题 1 9 . (1 ) 3 ; (2 ) 1 ; (3 ) 0 ; (4 ) 1; ( 5)1 - b1 - a

; (6 )12

; (7 )13

; (8) 1 ; (9 ) 2 .

11 .(1 ) 1 < x < 2 ; ( 3) x ≤12

; (5 ) x > | a | 或 x < - | a | 或 x = a .17 .( 1) 2; ( 2)

5 + 12

.

补充题 5. 1 . 6 . max( a , b) 及 max ( a1 , a2 ,⋯ , ak ) .

习题 4 2 .( 2) 1; (4)π2

- 1 ; (6 ) 2 - 1; ( 8)12

; ( 10) 0 . 3 .(2 ) 发散 ; ( 4) 绝对收

敛 ; (6 ) p > 2 收敛 ; p ≤ 2 发散 . 5 .( 2)π2

; ( 4) π; (6) (令 x =π2

- t ) ,- π2

ln2; ( 8) 发

散 ; (10) 发散 ,因为∫1

0

ln xx

2 d x 发散 . 6 .(2 ) n < 3 时收敛 , n ≥ 3 时发散 ; ( 4) 条件收敛 ;

(6) 收敛 . 7 .( 1) p ∈ ( 1 ,2 ) 时收敛 ; ( 2) p > 1 时收敛 ; (3 ) α> - 1 和β - α> 1 时收

敛 . 8 .(2 )3

128π; (4 )

(2 n - 1) ! !2

n + 1 π; (6 )π

nsinπn

; ( 7)2π

3 3.

补充题 1 .(1 ) 收敛 , 用分部积分法 ; ( 2) 收敛 ,用 Dirichlet 判别法 ; (3) 收敛 ,令1x

=

t; ( 4) p ∈ (1 ,3 ) 时收敛 ; ( 5) 发散 ,令1x

= t .

习题 5 6 . un → 0( n → ∞ ) . 7 .(1 )2

n ( n + 1); (2 ) 收敛 ,和为 2 . 8 .(1 ) , ( 4) 收

敛 ; (2 ) , ( 3) 发散 . 10 .(1)12

; ( 2)14

. 11 .(2 ) 收敛 ; (4) 收敛 ,与 p 级数比较 ,1 < p

<43

; ( 6) 收敛 ; ( 8) 发散 . 12 .提示 :先证明un

u1≤

vn

v1. 13 .(2) , (4 ) 收敛 ; ( 6) 发散 .

14 .不正确 . 15 .提示 :证明∑ un 收敛 . 16 .( 1)、(2 ) 收敛 . 17 .(1 ) 收敛 ; ( 2) k > 1

收敛 , k ≤ 1 发散 . 18 .(2) 发散 ; (4) 收敛 . 20 .( 2) 条件收敛 (提示 :先证明(2 n - 1 ) ! !

(2 n ) ! !

<1

2 n + 1) ; ( 3) 发散 ; ( 4) 条件收敛 . 21 .(2 ) 绝对收敛 ; (4 ) 条件收敛 ; (6) 条件收敛 ;

(7) 发散 ; (9 ) 条件收敛(提示 :考虑加括弧) . 22 .能肯定不收敛 . 27 .注意:此题的级

数没有假设为非负项级数 . 29 .( 2) (e- 3

, e3

) ; ( 4) ( - 2 ,2 ) ; ( 5) x > 1 . 30 .(1 ) , ( 2)

一致 收 敛 . 31 . 一 致收 敛 . 33 . (1 ) Sn ( x ) = (1 - x ) xn , S( x ) = 0 ; ( 2)

1n + 1

nn + 1

n

; (3 ) 级数在 [0 ,1 ] 上一致收敛 . 35 . ( 2) 2 , - 2 , 2 ; (4)12

,

-12

,12

; (6 )14

, -14

,14

. 36 .(2 )14

, -54

, -34

; (4) ∞ , ( - ∞ , + ∞ ) .

37 .( 2) R = 1 ,14

ln1 + x1 - x

-12

arctan x ; (4 ) R = 2 ,提示 :x2 n - 2

2n =

12

x

2

2 n - 2

, S( x ) =

·171·部分习题参考答案

2 + x2

(2 - x2

)2 , S(1 ) = 3 ; (6 ) R = 1; S( x ) = 1 +

1x

ln (1 + x) - 1 , x ≠ 0 , S (0 ) = 0 .

38 .(1 ) cos x =22 ∑

∞

n = 0

1n !

( - 1 )n ( n - 1 )

2 x -π4

n

, x ∈ ( - ∞ , + ∞ ) ; ( 3) ln(1 + x) = 3

+ ∑∞

n = 1

( - 1)n - 1 1

nx - 2

3

n

, x ∈ [ - 1 ,5] . 39 .( 2) ln4 - ∑∞

n = 1

1n

x + 14

n

, x ∈ [ - 5 ,

3) ; (4) ∑∞

n = 0

13

1 -1

4 n + 1 ( x + 2 ) n + 1 , - 3 < x < - 1 ; (6 )13

-19 ∑

∞

n = 0

23

n

( x + 1) n ,

x ∈ -52

,12

; ( 8) ∑∞

n = 2

n ( n - 1) xn - 2

, x < 1 ; ( 10) ∑∞

n = 0

( - 1)n (2 n - 1) ! !

( 3 n + 1 ) ( n !)x

3 n + 1;

(12 ) x + x2

+x

3

3-

130

x5

+ ⋯ , x ∈ ( - ∞ , + ∞ ) ; ( 14 ) - x -x

2

2-

5 x3

6- ⋯ , x ∈ [ - 1 ,

1) . 40 .( 2)n !3

1 -14 n . 41 .提示 :利用奇偶函数的导数性质 . 42 . (2) 0 .523±

10 - 3 ; (4 ) 0 .4969± 10 - 4 ; ( 5) 1 .016± 10 - 3 .

补充题 1 .( 1) 先求∑∞

n = 1

n2 xn - 1 的和函数 ; (2) 将一般项表示为 arctanα- arctanβ,或用

数学归纳法求部分和 . 2 .提示 : 2 = 2cosπ4

. 3 .考虑 un =( - 1 ) n

np , vn = un +1n

.

4 . 先证明函数项级数在π6

,π2

上一致收敛 , 然后利用逐项积分定理求积分 . 6 .( 1)

收敛 ; (2 ) 收敛 ; (3 )un + 1

un→ e

- 1,收敛 ; ( 4)

un + 1

un→ 2 ,发散 . 7 .提示 :证明 n 充分大以后 ,

级数是 Leibniz 型交错级数 .

习题 6 1 .(2)2π

-4π∑

∞

n = 1

cos 2 nt4 n2 - 1

; (4) x (1 - x ) = ∑∞

n = 1

8(2 n - 1)3 sin( 2 n - 1 )πt , x

∈ [0 , 1] ;∑∞

n = 1

( - 1) n - 1

(2 n - 1 )3 =

14

; ( 6) u( t ) = ∑∞

n = 1

- 4( nπ)

2 sinnπ2

sinnπ2

t , t ∈ [ 0 , 2] ,当 t = 0

时 ,级数收敛于 0; ( 8) x + x2

= π+43π

2- ∑

∞

n = 1

4n2 cos nx +

2 + 4πn

sin nx , x ∈ (0 ,2π) ;当

x = 0 , 2π时 ,级数收敛于π+ 2π2

;∑∞

n = 1

1n2 =

π2

6. 2 .( 1) x - 1 = π - 1 - ∑

∞

n = 1

2n

sin nx ,

x ∈ (0 ,2π) ;当 x = 0 , 2π时级数收敛于π; ( 2) x - 1 = ∑∞

n = 1

- 2nπ

[1 + ( - 1 ) n (π - 1) ]sin nx ,

x ∈ (0 ,π) ; ( 3) 可以 , 展法不唯一 . 3 . x = ∑∞

- ∞

( - 1)ne

1 + n2π2 1 + j3 en

4 + n2π

2 ejn x

,

x ∈ (π,π) .

·271· 部分习题参考答案

名 词 索 引

B

部分和 105

比较差别法 97

比率判敛法 110

C

稠密性 3

D

第二类 Euler 积分 99

单点紧致化 34

单调序列 12

度量空间 20 ,56 ,84

定义域 30

E

偶延拓 31 ,154

F

封闭性 163

非负项级数 109

复合函数极限 42

G

更序级数 117

广义积分 89

根值判敛法 112

H

和函数 121

函数单调 148

函数列 51

函数项级数 121

J

夹逼定理 9 ,42

基本假设 9

绝对收敛 94 ,117

均方差值 158

几何级数 106

紧集 14

阶梯函数 31

极限 32 ,33

极限点 18

极限函数 51

阶跃函数 56

奇延拓 31 ,154

介值定理 47

K

可测函数 85

可测集 85

开覆盖 13

控制级数 122

L

连续 44

M

幂函数 125

N

内闭一致收敛 148

内积空间 29 ,84

P

平均收敛 161

Q

区间套定理序列 13

R

任意项级数 115

S

上界 15

上极限 16

数列 4

三角级数 144

收敛半径 126

收敛域 51 ,121

上确界 15

T

条件收敛 94 ,117

特征函数 66

W

无理数 3

无穷大量 37

无穷级数 105

完全性 146

X

下界 15

下极限 17

下确界 15

限制 31

Y

延拓 30

余弦级数 154

余元公式 100

一致连续 49

一致收敛 53 ,121

Z

最大 ,最小值定理 45

逐段可微 148

正交 145

正交函数系 145

正弦级数 153

子序列 4

值域 30

左 ,右极限 33

Able 差别法 95 ,98

Able 定理 125

Ber trand 级数 114

Bessel 函数 147

Bessel 不等式 161

Cauchy 差别法 92 ,97

Cauchy 乘积 117

Cauchy 积分判敛法 113

Cauchy 列 10

Cauchy 判敛法 112

Cauchy 准则 10 , 40 ,108

Cauchy - Schwarz 不等式 29 ,84

Darboux 上、下函数 71

Darboux 上、下和 73

Dirichlet 函数 74

Dirichlet 差别法 95 ,98 ,148

d’Alembert 判敛法 111

Euler 公式 134 ,156

Euler 数 22

Fourier 级数 147

Fourier 系数 147

Lebesgue 有界 85

Leibniz 型级数 115

Legendre 多项式 146

Maclaurin 级数 132

Newton 二项式 133

P 级数 110 ,114

Parseval 等式 161

Riemann 积分 71

Riemann - Darboux 定理 73

Riemann 函数 74

Riemann ξ函数 101

T aylor 展开式 119

T aylor 级数 132

T aylor 公式 132

Weiersfrass 准则 122

ε- N 定义 4

Г函数 98 , 99

В函数 98 ,101

·471· 名 词 索 引