Embed Size (px)
Citation preview
1. Kvicksilver1. Kvicksilver
• Vid kvicksilverundersökning av gäddor i en insjö har man bestämt kvicksilverhalten i 10 fångade gäddor av viss storlek: 0,8 1,6 0,9 0,8 1,2 0,4 0,7 1,0 1,2 1,1– Kan man med de erhållna resultaten på signifikansnivå
0,05 förkasta H0: m=0,9 mot H1: m > 0,9 ?– Kan man på signifikansnivå a=0,05 förkasta H0: m=1,1
mot H1: m < 1,1 ?
enhet: mg/kg
Blom, s. 353
2. Kroppsl2. Kroppsläängderngder
• Man vill undersöka om två olika insektarter har samma kroppslängd. Man fångade 9 stycken av art 1 och 7 stycken av art 2, och fick följande resultat:– Art 1: medelvärde=22; standardavvikelse=3– Art 2: medelvärde=24; standardavvikelse=5
• Pröva på 5% signifikansnivå om det finns en skillnad mellan båda grupper. Det får antas att båda populationer kommer från en normalfördelning och att båda grupper har samma standardavvikelse.
3. L3. Läängd, morgon och kvngd, morgon och kväällll
Åtta personer mäter sin egen längd morgon och kväll:
Person 1 2 3 4 5 6 7 8
morgon 172 168 180 181 160 163 165 177
kväll 172 167 177 179 159 161 166 175
Skillnaderna mellan morgon- och kvällsvärdena antas vara ett slumpmässigt stickprov från en normalfördelning. Pröva hypotesen H0: m=0 mot H1: m∫0 på signifikansnivån 0.05.
ResultatResultat
1. One1. One--sample Tsample T--testtest0,8 1,6 0,9 0,8 1,2 0,4 0,7 1,0 1,2 1,1
( )
( )
( ) ( ) tailuppertttftt
nfeltestvariabn
sxt
s
xnxn
xxn
s
xn
x
HmotH
krit
i
n
ii
n
ii
83.19
91,671.010
33.09.097.0
33.0
109.097.01021.144.1149.016.044.164.081.056.264.091
11
11
97,01.1 1.2 1.0 0.7 0.4 1.2 0.8 0.9 1.6 0.81011
9.0:9.0:
05.0
0
2
22
1
22
1
10
>=>=>=Ω
=−==−=−=
=
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅−+++++++++=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
−=−
−=
=+++++++++==
>=
∑∑
∑
=
=
α
µ
µµ
OneOne--sample Tsample T--test, forts.test, forts.
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
Den
sity
0,05
0 1,83
T; df=9
T=0.67
Nollhypotesen kan inte förkastas. Därmed håller inte den alternativa hypotesen m>0.9. Stickprovsmedelvärdet är 0.97, men vi kan inte säga att kvicksilverhalten är med statistisk signifikans större än 0.9.
OneOne--sample Tsample T--test, del 2test, del 20,8 1,6 0,9 0,8 1,2 0,4 0,7 1,0 1,2 1,1
( )
( ) ( ) taillowertttftt
nfeltestvariabn
sxt
s
xnxn
xxn
s
xn
x
HmotH
krit
i
n
ii
n
ii
83.19
91,246.110
33.01.197.0
33.0
109.01
11
1
97,011.1:1.1:
05.0
0
22
1
22
1
10
−<=−<=−<=Ω
=−=−=−=−=
=
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
−=−
−=
==
<=
∑∑
∑
=
=
α
µ
µµ
OneOne--sample Tsample T--test, forts.test, forts.
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
Den
sity
-1,83
0,05
0
T; df=9
t=-1.246
Nollhypotesen kan inte förkastas. Den alternativa hypotesen m<1.1 håller inte. Stickprovsmedelvärdet är 0.97, men vi kan inte säga att kvicksilverhalten är med statistisk signifikans mindre än 1.1.
Kvicksilver, sammanfattningKvicksilver, sammanfattningGraph / Interval Plot• Stickprovsmedelvärdet är
0.97• Vi kan dock inte säga att
kvicksilverhalten är (med a=0.05) större än 0.9.
• Vi kan inte heller säga att kvicksilverhalten är (med a=0.05) mindre än 1.1
• Vi kan inte säga att kvicksilverhalten ligger mellan 0.9 och 1.1 →konfidensintervallet är bredare än så
1,2
1,1
1,0
0,9
0,8
0,7
kvic
k
Interval Plot of kvick95% CI for the Mean
95% Confidence Interval for MeanEstimate = 0,97Interval = (0,733824, 1,20618)
2. Two2. Two--sample tsample t--testtest
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 14,2;14,214;14;
142
997.0
71
9198.3
242211
98.3
86.1514
56381111
:
5247
3229
025.0025.022
22222
0
>−<=>−<=⎪âŽ
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
>−<=Ω
=−+=
−=+⋅
−=+⋅
−=
=
=⋅+⋅=−+−
⋅−+⋅−=
=
===
===
ttttttfttftt
derfrihetsgrannf
eltestvariab
nns
yxt
s
nnsnsn
s
H
syn
sxn
krit
yx
yxp
p
yx
yyxxp
yx
yy
xx
αα
µµ
TwoTwo--sample tsample t--test, forts.test, forts.
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
Den
sity
-2,14
0,025
2,14
0,025
0
T; df=14
t=-0.997
H0 (mx=my) förkastas inte. Man kan inte säga att det finns en statistisk signifikant skillnad mellan båda medelvärden, dvs. att skillnaden vi såg mellan stickprovsmedelvärden kommer med stor sannolikhet till stånd på grund av slump.
3. Paired3. Paired--sample Tsample T--testtest
Person 1 2 3 4 5 6 7 8
morgon 172 168 180 181 160 163 165 177
kväll 172 167 177 179 159 161 166 175
zi 0 1 3 2 1 2 -1 2
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) 36,2;36,27;7;
71,758,2
8282,1
25,1282,1
643,125,184141491071
11
11
25,121212310811
025.0025.022
222
1
22
1
>−<=>−<=⎪âŽ
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
>−<=Ω
=−====
=
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅−+++++++=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −
−=−
−=
=+−+++++==
∑∑
∑
=
=
ttttttfttftt
nfeltestvariab
ns
zt
s
znzn
zzn
s
zn
z
krit
z
z
i
n
iiz
n
ii
αα
LLäängd, morgon och kvngd, morgon och kväällll
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
Den
sity
-2,36
0,025
2,36
0,025
0
T; df=7
T=2,76
Testvariabeln ligger i det kritiska området. Nollhypotesen (∆m=0) förkastas. Skillnaden i längden morgon och kväll är statistiskt signifikant på signifikansnivå 0,05.
