lezione-6b-spettri [modalità compatibilità] · Spettri di risposta In particolare, se si considera smorzamento nullo si osserva che la velocità spettrale e la pseudo-velocità

Lezione 6b

L’equazione del moto assume la seguente forma:

Spettri di risposta

( ) ( ) ( ) ( )gm u t c u t k u t m u t

Lezione 6b

Supponendo di risolvere tale equazione utilizzando l’integrale diDuhamel, si ottiene:

Spettri di risposta

( )

0

1( ) sin[ ( )] ( )n

tt

DD

u t e t P dm

Poiché nel caso in esame risulta: ( ) ( )gP m u

Si ottiene:

( )

0

1( ) ( ) sin[ ( )]n

tt

g DD

u t u e t d

Lezione 6b

Considerando il caso di piccoli valori dello smorzamento, ovveronD, e trascurando il segno:

Spettri di risposta

Considerando la derivata prima per ottenere la velocità:

( )

0

1( ) ( ) sin[ ( )]n

tt

g nn

u t u e t d

( ) ( )

0 0

( ) ( ) cos[ ( )] ( ) sin[ ( )]n n

t tt t

g n g nu t u e t d u e t d

Lezione 6b

Riscrivendo l’equazione del moto nella seguente forma:

Spettri di risposta

Si ottiene che:

( ) ( ) ( ) 0totm u t c u t k u t 2( ) 2 ( ) ( ) 0tot n nu t u t u t

2( ) 2 ( ) ( )tot n nu t u t u t

e sostituendo in questa le espressioni dedotte prima si ottiene:

( ) ( )2

0 0

( ) 2 ( ) sin[ ( )] 2 ( ) cos[ ( )]n n

t tt t

tot n n g n n g nu t u e t d u e t d

Lezione 6b Spettri di risposta

Risolvendo le espressioni trovate prima è possibile trovare ilmassimo in termini di valore assoluto delle corrispondentiquantità.Esse vengono indicate come:

( , )a nS

( , )v nS

( , )d nS

accelerazione assoluta spettrale

velocità relativa spettrale

spostamento relativo spettrale


Nella pratica, invece di considerare la velocità relativa spettrale,si considera invece la pseudo-velocità relativa spettrale definitacome:

( )

0 max

, ( ) sin[ ( )]n

tt

pv n g nS u e t d


In particolare, se si considera smorzamento nullo si osserva chela velocità spettrale e la pseudo-velocità spettrale differisconosolo per il termine trigonometrico:

0 max

0, ( ) sin[ ( )]t

pv n g nS u t d

0 max

0, ( ) cos[ ( )]t

v n g nS u t d

Hudson ha dimostrato che numericamente queste due quantità differiscono poco senon si è nel caso di periodi di vibrazione della struttura molto elevati. Differenze traqueste due quantità aumentano in presenza dello smorzamento.


Inoltre, poiché:

( )

0 max

1, ( ) sin[ ( )]n

tt

d n g nn

S u e t d

segue che:

1, ,d n pv nn

S S

E, allo stesso modo si può osservare che per smorzamento nullosi ha:

0 max

0, ( ) sin[ ( )]t

a n n g nS u t d


ovvero:

Si può dimostrare che nell’intervallo 0<<0.20 si ha:

dove quest’ultima viene indicata col termine di pseudo-accelerazione:

0, 0,a n n pv nS S

, ,a n n pv nS S

, ,pa n n pv nS S


Quest’ultima quantità è molto importante in quanto consente dicalcolare la massima forza esplicata dalla molla di rigidezza kdell’oscillatore semplice:

poiché:

2,max , ,S d n n d nf k S m S

1, ,d n pv nn

S S

, ,pa n n pv nS S

2

1, ,d n pa nn

S S

segue che:


e dunque la forza massima esplicata dalla molla risulta:

,max ,S pa nf m S


dipendono da:- dalla storia temporale del moto del suolo- dalla frequenza naturale di vibrazione del sistema- dal rapporto di smorzamento.

( , )pa nS

( , )pv nS

( , )d nS


Infatti, dato un terremoto, assegnato un rapporto dismorzamento, si può calcolare la pseudo-velocità per differentivalori di n , ovvero del periodo naturale di vibrazione delsistema.

Si ottiene una curva denominata spettro di risposta in termini dipseudo-velocità.

Conseguentemente la stessa curva può essere realizzata intermini di spostamento e di pseudo-accelerazione, ottenendoappunto lo spettro di risposta in termini di spostamento ed intermini di pseudo-accelerazione.



FATTORI INFLUENZANTI LO SPETTRO DI RISPOSTA-meccanismo di rilascio dell’energia sismica nelle vicinanze dell’ipocentro elungo l’interfaccia della faglia-la distanza della stazione dall’epicentro-la profondità dell’ipocentro-la geologia del suolo e la sua variazione lungo il percorso seguito dalle ondesismiche-la magnitudo-le condizioni locali di sito della stazione dove avviene la registrazione.


SPETTRI DI RISPOSTA ELASTICI DELLE NORMATIVE

In fase di progetto o di verifica delle costruzioni risulta invece importanteutilizzare spettri convenzionali ricavati sulla base di spettri calcolati dedotti conriferimento a numerose registrazioni storiche relative ad eventi occorsi nellastessa zona di interesse ed opportunamente normalizzati. Dall’insieme diquesti spettri si estrapola infatti uno spettro medio, oppure uno spettro diinviluppo, regolarizzandone (‘lisciandone’) la forma, tagliando i picchi piùelevati e ‘appianando’ i minimi.


NTC-08

Sono stati recepiti i risultati di uno studio recente (Progetto S1 –http://esse1.mi.ingv.it/) che ha prodotto per ogni punto di una griglia regolarecon passo di circa 5 km nelle due direzioni orizzontali, l’analisi probabilistica dipericolosità sismica, fornendo le curve di pericolosità per le accelerazionispettrali elastiche.


NTC-08

Dove per undici periodi di oscillazione sono stati fornite nove ordinate spettraliin accelerazione, ciascuna delle quali relativa ad un periodo di ritorno TRcompreso tra 30 e 2475 anni.

Il riferimento al periodo di ritorno è molto importante dal punto di vistaprobabilistico in quanto esso rappresenta quell’intervallo che mediamenteintercorre tra due terremoti che producono, nel sito in esame, un valoredell’accelerazione spettrale uguale o maggiore di quello considerato.

Assegnato infatti il periodo di ritorno è possibile ricavare la probabilità disuperamento, PVR, di quello specifico valore dell’accelerazione spettrale in unperiodo temporale qualsiasi, VR:

PVR=1-e-VR

/TR


NTC-08

La valutazione delle azioni sismiche sulle costruzioni secondo le NTC avvieneproprio in base alla pericolosità del sito che viene a sua volta definita intermini di accelerazione orizzontale massima attesa ag su un suolo di tipo A(roccia), ovvero il picco del segnale che ha una certa probabilità PVR di esseresuperato in un periodo di riferimento VR.

In particolare, nelle NTC, il periodo di riferimento VR viene calcolato tramite ilprodotto tra la vita nominale della costruzione, VN, (intesa come il numero dianni in cui la struttura, purché soggetta alla manutenzione ordinaria, devepoter essere usata per lo scopo a cui è destinata) e il coefficiente d’uso, CU (ilquale considera l’importanza della struttura in funzione della gravità delleperdite dovute al raggiungimento di un determinato stato limite):

VR=VN · CU



Nelle NTC vengono forniti dei valori di riferimento della PVR ai quali fare riferimentonell’ambito della progettazione. Per quanto detto sopra, essi risultano funzione delloStato Limite a cui si fa riferimento.


La definizione dello spettro elastico in accelerazione necessità oltre ad ag(accelerazione massima attesa al sito) anche di altri due parametri, ovvero di F0, chedefinisce il rapporto tra il massimo valore dello spettro ed ag per quel sito (essorappresenta l’amplificazione spettrale) e TC* che rappresenta invece il periodo finaledel ramo piatto dello spettro.


La definizione dello spettro elastico in accelerazione necessità oltre ad ag(accelerazione massima attesa al sito) anche di altri due parametri, ovvero di F0, chedefinisce il rapporto tra il massimo valore dello spettro ed ag per quel sito (essorappresenta l’amplificazione spettrale) e TC* che rappresenta invece il periodo finaledel ramo piatto dello spettro.


Poiché i parametri sono riferiti ad un suolo di tipo A su piano orizzontale ènecessario introdurre ulteriori parametri che consentano di tenere conto dellecondizioni locali del sottosuolo e della morfologia della superficie. Nelle NTC si tieneconto dell’amplificazione stratigrafica, SS, e dell’amplificazione topografica, ST,tramite il fattore S:S=SS · STValutando il valore iniziale del periodo del tratto dello spettro a velocità costante, TC,tramite la seguente relazione:TC=TC* · CCdove CC è un coefficiente funzione della categoria del sottosuolo.




Le espressioni analitiche dello spettro di risposta in accelerazione (componentiorizzontali) contenute nelle NTC, sono le seguenti:

00

0

0

0 2

1( ) 1

( )

( )

( )

0 e gB B

e g

Ce g

C De g

B

B C

C D

D

T TS T a S FT F T

S T a S F

TS T a S FT

T TS T a S FT

T T

T T T

T T T

T T


Oltre ai fattori descritti sopra, nelle espressioni dello spettro elastico compare ancheun parametro che esprime la dipendenza delle ordinate spettrali dal rapporto dismorzamento :

funzione del tipo di materiale strutturale, della tipologia strutturale e del terreno difondazione.

Infine, nelle stesse espressioni compaiono anche i valori del periodo TB, inizio deltratto ad accelerazione costante, e del periodo TD, inizio del tratto a spostamentocostante, i quali sono legati ai parametri precedenti tramite le seguenti relazioni:TB=TC/3TD=4.0 · ag/g + 1.6

10 / (5 ) 0.55


Lezione 6bDUTTILITÀ E SPETTRI DI PROGETTO

Il criterio di progettazione basato sul danneggiamento della struttura nel caso diterremoti severi, costringe a considerare il comportamento dell’oscillatore non solo incaso di regime elastico lineare, che riflette una struttura in assenza di danni, maanche nel caso di comportamento non lineare del materiale (di seguito si faràriferimento all’oscillatore semplice a comportamento elasto-plastico).

m

c,k

( )u t f

u

yf

yu

0k


la duttilità proprio come la capacità della struttura di sopportare spostamenti oltre illimite elastico.

In particolare, se si considera un sistema costituito da materiale a comportamentoelastico-perfettamente plastico, il rapporto tra lo spostamento al collasso, um, e lospostamento corrispondente al superamento del limite elastico, uy, viene definitocome duttilità disponibile del sistema.

Lo stesso rapporto in cui però al posto di um si sostituisce lo spostamento massimo,umax, esibito dal sistema durante il terremoto, si ottiene la duttilità richiesta al sistema

m

c,k

( )u t f

u

yf

yu

0k


Il sistema potrà essere dimensionato sulla base di una forza minore rispetto a quellaa cui sarebbe soggetto se avesse un comportamento elastico-lineare proprioconfidando sulla sua capacità di subire spostamenti in campo plastico.

Se si conosce la duttilità disponibile delsistema si può valutare di quanto ridurre laforza massima elastica per far si che la duttilitàdisponibile del sistema sia proprio pari alladuttilità massima richiesta dal terremoto.


Gli studi di Newmark (1960) hanno infatti evidenziato che per valori alti del periodo(ovvero maggiori di quelli corrispondenti al picco della campana dello spettro), glispostamenti relativi massimi della massa strutturale sono sostanzialmente gli stessisia per l’oscillatore elastico sia per quello elasto-plastico.

Fd=Fy=Fmax,e/m


Per periodi minori tale approccio non risulta più valido e, sebbene in questo caso ilproblema sia maggiormente complesso, si utilizza il principio di uguaglianzadell’energia, ovvero delle aree sottese dalle due curve. Ciò dà luogo a una forza diprogetto pari a:

Fd=Fy=Fmax,e/(2m-1)0.5


Nelle NTC oltre agli spettri elastici vengono definiti gli spettri di progetto che tengonoappunto conto della duttilità della struttura, consentendo di utilizzare forze di progettopiù basse rispetto a quelle elastiche ma effettuando comunque un’analisi su unmodello elastico lineare.

00

0

0

0 2

1

1

1

1

( ) 1

( )

( )

( )

0 e gB B

e g

Ce g

C De g

B

B C

C D

D

T TS T a S FT F T

qq

qS T a S F

TS T a S FT

T TS

T T

T T T

T T T

T a

q

qT S F

TT

Si osserva dunque che, in luogo della duttilità viene utilizzato il fattore di struttura qper tenere conto del fatto che nei sistemi a più gradi di libertà la riduzione delle forzeelastiche non è legata solo al comportamento del materiale ma anche alcomportamento globale della struttura e dunque materiale –strutturale / tipologiastrutturale.

Azione Sismica

EsempioDalla tabella:ag=1.74 m/s2Fo=2.45T*c=0.29 s

DM08 - Azione Sismica

EsempioFase 2. spettro elastico

00

0

0

0 2

1( ) 1

( )

( )

( )

0 e gB B

e g

Ce g

C De g

B

B C

C D

D

T TS T a S FT F T

S T a S F

TS T a S FT

T TS T a S FT

T T

T T T

T T T

T T


EsempioFase 2. spettro elasticoTc=Cc T*c =1.0 x 0.29 = 0.29 s


EsempioFase 2. spettro elasticoTB=TC/3=0.29/3 = 0.097 sTD=4.0 (ag/g)+1.6=2.31 sS=Ss St = 1.0


Esempio

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45


EsempioEsempioFase 3. spettro di progettoFattore di struttura q:

q=4.5 u/1= 4.5 · 1.3 =5.85


Esempio

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Documents

lezione-6b-spettri [modalità compatibilità] · Spettri di risposta In particolare, se si considera smorzamento nullo si osserva che la velocità spettrale e la pseudo-velocità