Libro Matematicas 1 Parte

10

O R G A N I Z A D O R D E L B L O Q U ESemana Sesión Lecciones Páginas

1

1 Entrada de bloque 112 Los extraterrestres 12 y 133 1 Sistema de numeración egipcio 14 y 154 2 Sistema de numeración babilónico 16 y 175 3 Sistema de numeración maya 18 y 19

2

6 4 Sistema de numeración romano 20 y 217 5 Sistemas de numeración con bases distintas 22 y 238 6 Sistema de numeración decimal 24 y 259 7 Lectura y escritura de cantidades 26 y 2710 Fracciones y figuras 28 y 29

3

11 8 Fracciones en la recta numérica I 30 y 3112 9 Fracciones en la recta numérica II 32 y 3313 10 Fracciones en la recta numérica III 34 y 3514 11 Fracciones en la recta numérica IV 36 y 3715 12 Números decimales en la recta numérica 38 y 39

4

16 13 Sucesiones I 40 y 4117 14 Sucesiones II 42 y 4318 15 Sucesiones III 44 y 4519

16 Fórmulas geométricas I 46 y 4720

5

21 17 Fórmulas geométricas II 48 y 4922

18 Simetría I 50 y 512324 19 Simetría II 52 y 5325 20 Simetría III 54 y 55

6

26 La altura de la pirámide 56 y 5727 21 Proporcionalidad directa I 58 y 5928 22 Proporcionalidad directa II 60 y 6129

23 Reparto proporcional 62 y 6330

7

31 24 Problemas de conteo I 64 y 6532

25 Problemas de conteo II 66 y 673334 TIC 6835 Recreación 69

8 36 Primera evaluación bimestral

Me interesa...

¿Qué tema te parece más interesante? Anótalo enseguida:

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QU

E1

10

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11

Sugerencias didácticasSe sugiere aprovechar la entrada de bloque para explicar a los alumnos las características de la asignatura. Con ayuda de la actividad que aparece podrá diagnosticar qué bases y conocimientos previos tiene su grupo.

Valoración del desempeño• Aplica conocimientos previos de matemáticas. • Identifica las habilidades y conocimientos que desarrollará durante

el bloque.

Solucionario

b) 45 000 000 de origen orgánico, 19 800 000 de papel y cartón y 13 500 000 de plástico y aluminio

c) 18

d) El primero y el tercero, en el segundo, las flechas están en dirección contraria.

Otros recursosPara apoyar su praxis en relación con el enfoque de la asignatura, le sugerimos leer el artículo de José Muñoz Santonja, “Competencias y uso social de las matemáticas” en Uno. Revista de didáctica de las matemáticas, España, Grao, núm. 46, año XIII, julio de 2007, pp. 5-8.

El reciclado de basura se ha desarrollado mucho en los últimos años y es muy importante para proteger el medio ambiente. Sin embargo, el éxito de esta tarea depende de la labor de todos los ciudadanos.

En equipos lean lo siguiente, discutan al respecto y planteen cómo responder cada pregunta. Si no pueden contestar, no se preocupen, lo importante es recordar y compartir los conocimientos matemáticos que ya poseen.

a) Cada día se generan en el territorio nacional 90 000 000 de kg de basura. ¿Cómo se lee esta cantidad?

b) Se calcula que, de cada 10 kg de basura, 5 kg son de origen orgánico, 2.5 kg son papel y cartón y 1.5 kg son plástico y aluminio. ¿Cuánta basura de cada tipo se pro-duce en México diariamente?

c) Un depósito de basura se encuentra en el kilómetro 1034 de una carretera y otro en

el kilómetro 1512. Si un camión de basura se encuentra entre los dos depósitos, ¿en

qué kilómetro podría estar?d) Dos de los símbolos del recuadro de la derecha son iguales y representan el reciclado.

¿Cuáles son los símbolos iguales? ¿Cuál es la diferencia en el símbolo que no es igual?

11


noventa millones

12

12

J u e g o s y r e t o s

Los extraterrestresPablo y Juan juegan a Los extraterrestres; para ello inventaron una unidad monetaria llamada vat. Las monedas que utilizan son las siguientes:

Ellos ponen sus monedas en un tablero dividido en casillas; el valor de cada moneda cambia según la casilla donde esté colocada.

El juego consiste en ganar vats para comprar alguno de estos trajes y naves espaciales:

a) b) c)

Precio:

d) e) f)

Precio:

vat vet

Se multiplica por 81.

Se multiplicapor 9.

Se multiplicapor 1.


Sugerencias didácticasEntender cómo funcionan los diferentes sistemas de numeración depende en gran parte de la manera en la que se aprenden a organizar las cantidades en relación con la posición de cada uno de los símbolos.

Puede explicar a los alumnos el orden más conveniente para representar una cantidad, es decir, de izquierda a derecha.

Valoración del desempeño• Comprende que en algunos sistemas de numeración, el valor de cada

símbolo depende de la posición que ocupe.

85 93 105

414 498 486

13

1313

ESTRATEGIA

Para ganar vats, los jóvenes tiran un dado negro y uno blanco. Los puntos del dado ne-gro valen 10 vats y los puntos del dado blanco, un vat. Siguen la regla de no tener más de dos monedas de la misma denominación en cada casillero. Por ejemplo:

Reproduce las monedas en cartulina, consigue dos dados de distinto color y juega con un compañero. Gana quien pueda comprar la mejor nave y el mejor traje antes de 20 tiradas.

Para aprender a jugar mejor a Los extraterrestres, reúnete con tus compañeros y discutan lo siguiente:

a) ¿Qué traje cuesta más?

b) ¿Qué traje cuesta menos?

c) ¿Cuál es la nave más cara?

d) ¿Cuál es la nave más barata?

Representen los vats de cada pareja de dados.


c)

a)

e)

d)

Otros recursosLe sugerimos consultar el libro del maestro publicado por la Secretaría de Educación Pública sobre didáctica de las matemáticas en http:// www.reformasecundaria.sep.gob.mx/matematicas/pdf/orientaciones/libromaestro.pdf

14

1 100 10,000

1,000 10

1,000,000 100,000

14

L e c c i ó n 1

Sistema de numeración egipcio1 Lee la información y contesta.

Uno de los primeros sistemas de numeración conocidos fue creado por los egipcios en el año 3000 antes de nues-tra era (a.n.e.). Ellos usaban símbolos llamados jeroglíficos. Observa cómo se escribían algunas cantidades:

4 8 15 42

214 432 3 521

50 042 210 430 3 025 104

a) ¿Cuál es el valor de cada símbolo egipcio?

b) ¿Qué números se representan a continuación con símbolos egipcios?

i) ii) iii) iv)

v) vi) vii) viii)

c) Para escribir una cantidad, los egipcios no usaban el mismo símbolo más de nueve

veces. ¿Por qué crees que lo hacían así?

Jeroglíficos egipcios


1 13 34 135

520 1,001,000 1,312,313 1,312,313

Porque tenían un símbolo distinto,

para cada potencia de 10

Sugerencias didácticasEl alumno debe llevar a cabo más ejercicios de conversión entre distintos sistemas de numeración, con el fin de que comprenda que los números son sólo la representación de ciertas cantidades y, por tanto, éstas podrían representarse de distintas maneras. Poner énfasis en que las cantidades en base 10 deben ser leídas de izquierda a derecha.

Valoración del desempeño• Distingue los valores de los principales símbolos del sistema de

numeración egipcio.• Comprende lo que es un sistema de numeración aditivo.

15

no

9,999,999

Utilizar otros símbolos para representar potencias de 10 mayores a 6

Sí Porque

es necesario sumar el valor de cada símbolo, para saber la cantidad final

15

d) ¿Es importante el orden en que se coloquen los símbolos egipcios? e) ¿Cuál es el número mayor que puedes representar con los símbolos egipcios que

conoces? . Si quisieras representar un número mayor respe-tando la regla de no repetir un símbolo más de nueve veces en cada cantidad,

¿qué harías?

Un sistema de numeración utiliza el principio aditivo o es aditivo cuando los valores de los símbolos se suman.

f ) ¿El sistema egipcio utiliza el principio aditivo? ¿Por qué?

2 Resuelve las siguientes operaciones con el sistema de numeración egipcio. Después contesta las preguntas en tu cuaderno.

a)

b)

c)

d)

e) ¿Qué equivalencias estableciste entre los símbolos egipcios para resolver las opera-ciones anteriores?

Un sistema de base 10 es aquel en el que se realizan agrupaciones de 10 en 10.

f ) ¿El sistema egipcio es de base 10? ¿Por qué?

1.1. Identificar las propiedades del sistema de numeración egipcio.


= 1 = 10 = 100 = 1,000 = 10,000

Sí, porque se realizan agrupaciones de 10 en 10

Otros recursosPuede consultar la siguiente página en Internet para conocer con más detalle el sistema de numeración egipcio: http://www.sectormatematica.cl/historia/egipcio.htm

Es posible sugerir a sus estudiantes que lean el libro de Johnny Ball, Piensa un número, Ediciones SM, para que se acerquen de manera divertida a las matemáticas.

16

10 1

7 40 31 24

16

L e c c i ó n 2

Números babilónicos

La civilización babilónica se desarrolló entre los ríos Tigris y Éufrates hace más de 4 500 años. Los babilonios escribían los números en tablillas de arcilla. Usaban marcas en forma de cuña como las siguientes:

Observa cómo representaban algunos números:

Sistema de numeración babilónico 1 Lee la información y realiza lo que se pide.

a) Anota el valor de cada símbolo babilónico.

b) Escribe qué cantidades están representadas a continuación.

i) ii) iii) iv)

c) Representa las siguientes cantidades con símbolos babilónicos. Utiliza el menor

número de símbolos posible en cada caso.

5 11 23 34 42 51

Para representar números mayores que 59, los babilonios usaban el principio posicional, que consiste en multiplicar el valor de los símbolos según el lugar que ocupan. Observa:

Se multiplica por 3 600 Se multiplica por 60 Se multiplica por 1

Entonces,

representa 240 11 251.

Números babilonios

2

16 20 31 47 59

3 4 8 9 11


Sugerencias didácticasEs muy importante que el alumno comprenda que el valor de cada cantidad representada en un sistema de numeración posicional, depende de la base en la cual se está trabajando.

Tome en cuenta la aplicación de más ejercicios de conversión, combinando ahora los sistemas de numeración ya vistos, por ejemplo, realizar conversiones de números representados en sistema babilónico a sistema egipcio y a sistema decimal usual, en fin, combinar todas las posibles conversiones, evitando el encasillamiento del alumno en el sistema que está acostumbrado a utilizar.

Valoración del desempeño• Identifica los valores de los principales símbolos del sistema de

numeración babilónico.• Comprende un sistema de numeración en base 60.

17

32 115,200 20 1,200 21 21

1 200 21 116,421

63 611

3,680 39,670

Porque se suma el valor de cada símbolo para saber la cantidad total

9

5

Porque se agrupan las cantidades en múltiplos de 60

6,549

Sí Porque el

valor de los símbolos depende de la posición que ocupa

A que la posición de cada símbolo, puede ser confusa por el espacio

17

2 Completa las expresiones y encuentra el valor de los símbolos babilónicos.

3 Escribe qué números se representan con los siguientes símbolos babilónicos. Efectúa las operaciones en tu cuaderno.

a) b)

c) d)

4 Contesta las preguntas. Después, compara las respuestas con las de tus compañeros.

a) ¿El sistema babilónico utiliza el principio aditivo? ¿Por qué?

b) ¿Cuál es el máximo de veces que se repite el símbolo en cada posición?

c) ¿Cuál es el máximo de veces que se repite el símbolo en cada posición?

d) La base del sistema babilónico es 60. ¿Por qué?

e) ¿Cuál es el número mayor que puedes representar con tres posiciones en el sistema

babilónico?

f) ¿El sistema egipcio utiliza el principio posicional? ¿Por qué?

g) En una tablilla babilónica encontraron el símbolo

y no sabían si representaba

el número 2 o el 61. ¿A qué crees que se debe esta confusión?

5 Reúnete con un compañero o compañera para que determinen las semejanzas y diferencias entre el sistema de numeración egipcio y el babilónico. Anoten sus conclusiones en sus cuadernos.

1.1. Identificar las propiedades del sistema de numeración babilónico.

Se multiplica por 3 600. Se multiplica por 60. Se multiplica por 1.

3 600 60 1

Entonces representa 115 200


Otros recursosPuede consultar la siguiente página en Internet para conocer con más detalle el sistema de numeración babilónico: www.sectormatematica.cl/historia/babilonia.htm

18

1 5

18

L e c c i ó n 3

Sistema de numeración maya1 Lee la información y realiza lo que se pide.

La civilización maya se desarrolló en parte de lo que hoy es México y en Guatemala, Belize, El Salvador y Honduras, aproxi-madamente desde 3000 a.n.e. hasta 1500 de nuestra era. Observa cómo se representaban algunos números menores que 19:

2 3 4 6 7

8 10 12 15 18

a) Anota el valor de cada símbolo.

b) Representa con el sistema maya los números que faltan, hasta 19.

9 11 13 14 16 17 19

c) Reúnete con un compañero o compañera para que comparen las respuestas de la actividad anterior y corrijan las que estén mal. Después, contesten esta pregunta:

¿El sistema de numeración maya utiliza el principio aditivo? Justifiquen su respuesta.

d) Observa cómo se representan en el sistema maya algunos números mayores que 19.

¿Cuál es el valor del símbolo ?

Numeración maya

2a. posición( 20)

1a. posición( 1)

Número 20 22 25 40 100 102 173


Sí, pues los valores de los símbolos se suman para saber el valor de la cifra

cero

Sugerencias didácticasSe sugiere seguir practicando con diferentes sistemas de numeración, esta vez, de nuevo tenemos un sistema posicional y aditivo; además, el estudiante debe notar que el sistema de numeración maya, es el primer sistema de numeración de los vistos en las lecciones anteriores que tiene un símbolo para representar el cero.

También recomendamos que realicen operaciones elementales con los diferentes sistemas de numeración, para que el alumno comprenda cómo éstas se pueden facilitar con un sistema posicional adecuado, y aún más si se incluye el cero.

Valoración del desempeño• Conoce los valores de los principales símbolos del sistema de

numeración maya y comprende un sistema de numeración en base 20.

19

60 45 200 225 132 260 334

Sí, pues el valor del símbolo depende del lugar que ocupa

19

2 Determina qué números están representados a continuación y contesta.

¿El sistema maya utiliza el principio posicional? Justifica tu respuesta.

3 Representa las siguientes cantidades con el sistema maya.

245 127 302 267 189

4 Contesta las siguientes preguntas.

a) ¿Qué valor adquiere el símbolo en la primera posición?

b) ¿Qué valor representa el símbolo en la segunda posición?

c) ¿Cuál es el valor del símbolo en la primera posición?

d) ¿Qué valor toma el símbolo en la segunda posición?

e) ¿Cuál es el valor del símbolo en la segunda posición? f) ¿Cuál es el número mayor que puedes representar con dos posiciones en el sistema

maya?

g) ¿Cuál es la base del sistema de numeración maya?

El sistema maya utilizaba un símbolo para el número 0.

5 Reúnete con un compañero o compañera para que comparen sus respuestas a la actividad anterior. Discutan cómo pueden representarse números cada vez mayores con el sistema maya. Escriban sus conclusiones en sus cuadernos.

1.1. Identificar las propiedades del sistema de numeración maya.


1

20

5

100

0

3819

20

Otros recursosPuede consultar la siguiente página en Internet para conocer con más detalle el sistema de numeración maya. En esta página, además de explicar este sistema de numeración, se presentan actividades interactivas con el fin de interesar al alumno en profundizar en este tema: http://www.interactiva.matem.unam.mx/matechavos/sabias/ html/mayas/html/mayas.html

20

3 4 7 9 10

35 44 90 158 401

1,462 2,567 5,000 11,500 45,105

20

L e c c i ó n 4

Sistema de numeración romano1 Lee la información.

El Imperio Romano (500 a.n.e.) utilizó un sistema de numeración que aún hoy encontramos en los relojes, y se usa para numerar siglos, indicar la sucesión de reyes o nombrar capítulos de libros.

Este sistema utiliza siete letras mayúsculas cuyos valores son los siguientes:

I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1 000

Los símbolos I, X, C y M se llaman primarios y pueden repetirse hasta tres veces. Los símbolos V, L y D se llaman secundarios.

2 Tú ya conoces este sistema desde la primaria. Escribe qué cantidades están representadas a continuación.

III IV VII IX X

XXXV XLIV XC CLVIII CDI

MCDLXII MMDLXVII V XID XLVCV

3 Anota dos ejemplos en los que se aplique el principio aditivo en el sistema de numeración romano.

4 Los siguientes números romanos no están bien escritos. Corrígelos.

a) IIII: b) XXXXX: c) DCCCC:

5 Lee la información y contesta en tu cuaderno.

Para no repetir más de tres veces un símbolo en el sistema romano se usa el principio sustractivo.

¿En qué consiste el principio sustractivo?

Coliseo romano

Recuerda

Una raya sobre un número ro-mano signifi-ca que se debe multiplicar por mil.


XIII LX

IV L CM

Sugerencias didácticasEs conveniente que el estudiante siga practicando las conversiones. Pueden mostrársele distintas aplicaciones de la numeración romana a la vida cotidiana, por ejemplo: • En los números de capítulos y tomos de libros.• En los actos y escenas de una obra de teatro.• En los nombres de papas, reyes y emperadores.• En la designación de congresos, olimpiadas, asambleas, certámenes.

Valoración del desempeño• Domina el uso de la numeración romana, así como su conversión a

sistema decimal.

21

Cada que un número tienen una raya arriba, se multiplica por mil

21

6 Para escribir números mayores que 4 000 se utiliza el principio multiplicativo. Explica en qué consiste este principio.

7 Reúnete con una compañera o compañero y realicen lo siguiente.

a) Anoten qué número se representa con M.

b) Escriban el número que representa C. c) Completen la siguiente tabla. Anoten si el sistema de numeración utiliza el prin-

cipio indicado o si no lo aplica.

Sistema Principio aditivo

Principio sustractivo

Principio multiplicativo

Principio posicional

EgipcioBabilónico

MayaRomano

d) ¿Cuáles de los sistemas anteriores utilizaban un símbolo para el número 0?

e) Discutan acerca de las semejanzas y diferencias, también de las ventajas y desven-

tajas, tanto de los sistemas de numeración estudiados como del que usamos actual-mente. Anoten sus conclusiones a continuación.

Sistema egipcio:

Sistema babilónico:

Sistema maya:

Sistema romano:

8 Formen equipos de cuatro o cinco integrantes y realicen lo siguiente.

a) Sumen, resten y multipliquen números con el sistema romano. Anoten en sus cua-dernos las dificultades con las que se enfrentaron.

b) Investiguen otro sistema de numeración, establezcan sus principios y hagan un resumen en sus cuadernos.

1.1. Identificar las propiedades del sistema de numeración romano.


1,000,000

100,000,000,000

Sólo el sistema maya

No tiene cero, es difícil representar grandes cifras. Es bonito

No tiene cero, pero es un poco más fácil escribir grandes

cantidades que en el sistema egipcio

Tiene cero, es fácil escribir cantidades mayores, así como realizar

operaciones

No tiene cero, es fácil escribir grandes cantidades, pero es difícil

realizar operaciones

✓✗✓✗

✓✗

✓✗

✓✗

✓✗

✓✗

✓✗

✓✗

✓✗

✓✗

✓✗

✓✗

✓✗

✓✗

✓✗

Otros recursosPuede consultar la siguiente página en Internet para conocer con más detalle el sistema de numeración romano, en la que encontrarán más ejemplos y aplicaciones: http://www.um.es/docencia/barzana/ENLACES/Numeros_romanos.html

22

22

L e c c i ó n 5

de nuevoel juego

Sistemas de numeración con bases distintas1 Recuerda que Pablo y Juan juegan a Los extraterrestres y que inventaron una

moneda. Observa cómo se leen algunas de las cantidades.

2 Escribe el nombre de las siguientes cantidades.

a) b) c)

d) e) f)

3 Formen equipos de tres o cuatro integrantes, lean las siguientes preguntas, discutan las respuestas y anótenlas en sus cuadernos.

a) ¿Cuál es el mayor número de vats que pueden representarse usando sólo la casilla amarilla?

b) ¿Cuál es el mayor número de vats que pueden representarse utilizando las casillas anaranjada y amarilla?

c) ¿Cuál es el mayor número de vats que pueden representarse con las tres casillas?d) ¿Por qué no es necesario tener más de dos figuras iguales en cada casilla?

vat vat

vet vat om vet

vat

vet om vat

vat om vet vet vat vat um vet vet vat vat om vat

vet vat vat

vet om

vat vat vet vet um vet


vet vet vat vet vet om vet vat vet vat om vet vat vat

vat um vet om vat vet vat om vat vet um vet om vat vat

Sugerencias didácticasEl alumno puede crear un sistema de numeración propio, utilizando como ejemplo el sistema de numeración de los extraterrestres y señalar cuál sería la base de éste, así como realizar conversiones al sistema decimal tradicional y a los sistemas de numeración vistos en las lecciones anteriores.

Cuando cada estudiante concluya con la creación de su sistema de numeración, le sugerimos que prepare una presentación con dicha numeración y la exponga al resto del grupo.

Valoración del desempeño• Reconoce el significado de base en los sistemas de numeración.• Crea un sistema de numeración propio.

8

88

888

Porque se agrupan de tres en tres

23

no

Porque la posición de los símbolos determinó su valor y estas cantidades

son distintas

La azul por 729 y la verde por 6,561

3

23

Reúnete con un compañero o compañera y discutan cuáles son los principios en que se basa el sistema de numeración que usan Juan y Pablo para contar los vats. Anoten las conclusiones en sus cuadernos.

e) ¿Las siguientes cantidades son iguales?

¿Por qué?

f) Como Pablo y Juan quieren representar cantidades mayores, decidieron aumentar

dos casilleros a la izquierda, como se ilustra enseguida.

i) ¿Por cuánto deben multiplicarse los vats de cada nuevo casillero?

ii) ¿Cuál es la base del sistema de numeración que usan Pablo y Juan?

g) En una ocasión, Pablo y Juan querían jugar pero no disponían de tableros, enton-ces, Pablo propuso jugar sin tableros:

—Pondremos todas las figuras que van en un casillero en una sola columna. Por ejemplo:

—No —contestó Juan—, así podemos confundirnos, pero podemos usar tarjetas blancas. Por ejemplo, observa estas tres cantidades:

i) ¿Qué cantidades representó Juan?

ii) ¿Cuál es la función de la tarjeta?

iii) ¿Cuál es el valor de la tarjeta?

iv) Anota en tu cuaderno por qué Juan dijo que la representación puede crear confusión.

El número 0 es fundamental en un sistema de numeración que utiliza el prin-cipio posicional.

1.1. Identificar la base y las propiedades de un sistema de numeración.


331, 387, 43Señalar dónde queda el lugar vacío si es que sólo se usan dos de las tres casillas

Cero

Otros recursosPuede consultar el portal de Profes.net y en la siguiente liga encontrará actividades enfocadas a la resolución de problemas. http://www.matematicas.profes.net/propuestas2.asp?ciclo=4204&categoria=34419&nombre_id=Resolución+de+problemas+(1er+ciclo)&id_categoria=139&cat=Primer+Ciclo+ESO

24

100,000 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10, 1,000,000 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10, 10,000,000 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 1,000,000, 1,000,000,000, 1,000,000,000,000

24

Sistema de numeración decimal1 Analiza la información y realiza lo que se pide.

Si se multiplica un número por sí mismo, se obtiene una potencia de ese nú-mero. Por ejemplo:

10 10. 10 10 10.

10 10 10 10.

a) Anota otras tres potencias de 10:

b) Escribe tres potencias de 1 000:

c) Calcula las potencias.

i) 105

ii) 107

iii) 108

iv) 1 0002

v) 1 0003

vi) 1 0004

2 Observa la tabla y escribe con potencias la cantidad por la que se multiplica cada orden.

L e c c i ó n 6

Recuerda

¿Cómo se realizan las multiplicaciones por 10?

Clases Billones Millares de millón Millones Millares Unidades

Órdenes C D U C D U C D U C D U C D U

Valor 108 103 100

Una potencia puede indicarse con un número pequeño llamado exponente. Por ejemplo:

102 10 10 100 102 se lee: 10 elevado al cuadrado o a la segunda potencia.103 10 10 10 1 000 103 se lee: 10 elevado al cubo o a la tercera potencia.104 10 10 10 10 10 000 104 se lee: 10 elevado a la cuarta potencia.

Un número distinto de cero elevado a la potencia 0 es igual a 1. Por ejemplo:

100 1 1000 1 1 0000 1

Cualquier número elevado a la potencia 1 es igual al mismo número. Por ejemplo:

101 10 1001 100 1 0001 1 000

10 x 10 x 10 x 10 x 10 100 000


10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 10,000,00010 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 100,000,0001000 ×1000 1,000,0001000 × 1000 × 1000 1,000,000,0001000 × 1000 × 1000 × 1000 1,000,000,000,000

1014 1013 1012 1011 1010 109 107 106 105 104 102 101

Sugerencias didácticasEl estudiante debe familiarizarse con el uso de potencias, para ello le sugerimos que ponga ejercicios de notación desarrollada a los alumnos, es decir, pasar cifras a su notación desarrollada y viceversa.

Posteriormente puede promover la coevalaución haciendo que los estudiantes intercambien sus ejercicios con sus compañeros para revisarlos y detectar errores. Les puede indicar que para calificar los ejercicios tomen en cuenta:• si pasaron la cifra a una notación desarrollada.• si realizaron un proceso inverso.• si manejan potencias de diez en relación con el sistema decimal.

Valoración del desempeño• Pasa cualquier cifra a su notación desarrollada.• Realiza el proceso inverso.• Maneja las potencias de diez.• Comprende la relevancia de las potencias de diez en el sistema

decimal.

25

4 × 10,000 + 6 × 1,000 + 2 × 100 + 5 ×10 + 1 × 1 = 26,251

4 × 100,000 + 5 × 1,000 +6 × 10+ 7 × 1 = 405,067

5 × 1,000,000 + 8 × 10,000 + 7 × 100 + 6 × 1 = 5,080,706

Sí

Porque se suman los valores de las cantidades dependiendo de la posición

25

3 Escribe el resultado de las siguientes operaciones y contesta.

a) 4 103 5 101 2 100

b) 2 104 6 103 2 102 5 101 1 100

c) 4 105 5 103 6 101 7 100

d) 5 106 8 104 7 102 6 100

¿En el sistema de numeración que usamos se aplica el principio aditivo?

¿Por qué?

4 Lee la información y escribe los números en notación desarrollada.

5 Formen equipos de tres o cuatro integrantes y comenten qué principios se aplican en el sistema de numeración que usamos actualmente. Anoten sus conclusiones en sus cuadernos.

1.1. Identificar las propiedades del sistema de numeración decimal y contrastarlas con las de otros sistemas numéricos.

4 x 1 000 + 5 x 10 + 2 = 4 000 + 50 + 2 = 4 052

Número Notación desarrollada

a) 78 008 531

b) 70 762 560 901

c) 4 007 202 080

d) 50 906 432 002

e) 987 302 100 020

Expresar un número en notación desarrollada es escribirlo como la suma de los productos de sus cifras multiplicadas por el valor del orden correspondiente. Por ejemplo:

Número Notación desarrollada

567 5 102 6 101 7 100

51 567 938 5 107 1 106 5 105 6 104 7 103 9 102 3 101 8 100

50 507 908 5 107 5 105 7 103 9 102 8 100


7 × 107 + 8 × 106 + 8 × 103 + 5 × 102 + 3 × 101 + 1 × 100

7 × 1010 + 7 × 108 + 6 × 107 + 2 × 106 + 5 × 105 + 6 × 104 + 9 × 102 + 1 x 100

4 × 109 + 7 × 106 + 2 × 105 + 2 × 103 + 8 × 101

5 × 1010 + 9 × 108 + 6 × 106 + 4 × 105 + 3 × 104 + 2 × 103 + 2 × 100

9 × 1011 + 8 × 1010 + 7 × 109 + 3 × 108 + 2 × 106 + 1 × 105 + 2 × 101

Otros recursosPara más ejemplos, puede consultar la siguiente página: http://www.webbmatte.se/show_asset.php?id=1203

26

789 × 10002 + 453 × 10001 + 801 × 10000

98 × 10004 + 78 × 10003 + 507 × 10002 + 230 × 10004

+ 101 × 10000

34 × 10004 + 1 × 10003 + 5 × 10001 + 325 × 10000

26

Lectura y escritura de cantidades1 Expresa las siguientes cantidades como suma de productos con potencias de

1 000. Observa el ejemplo.

a) 875 034 203 100

b) 789 453 801

c) 98 078 507 230 101

d) 34 001 000 005 325

Un número entero puede representarse como suma de productos con potencias de 1 000.

2 Anota en la tabla el valor de cada clase con una potencia de 1 000.

Para leer las cantidades, éstas se separan en grupos de tres cifras y se menciona la clase. La clase de las unidades no se menciona.

Por ejemplo:mil 683 millones 921 mil 342.

billones 302 mil millones 421 mil 2.

Nota que en el primer ejemplo no se tiene que decir 345 millares de millones o miles de millones.

3 Vuelve a leer el inciso a) de la página 11, respóndelo si no lo habías hecho o reconsidera tu respuesta original.

L e c c i ó n 7

875 x 1 0003 + 34 x 1 0002 + 203 x 1 0001 + 100 x 1 0000

Clases Billones Millares de millón Millones Millares Unidades

Valor 1 0002 1 0000

Órdenes C D U C D U C D U C D U C D U


10004 10003 10001

Sugerencias didácticasPara trabajar esta lección le recomendamos que el estudiante investigue datos numéricos que sean de su interés, como estadísticas de juegos, deportes o acontecimientos que llamen su atención; para este fin puede llevarlos a la biblioteca de la escuela y solicitarles que consulten periódicos, revistas o fuentes en Internet que contengan datos numéricos.

También muéstreles ejemplos de datos que a usted le parezcan interesantes. Después de realizar estas investigaciones, solicíteles que escriban las cifras que se obtuvieron con letra. Hay que hacer énfasis en la ortografía, por ejemplo, se escribe seiscientos y no, seisientos.

Como cierre de clase recomiéndeles que consulten la siguiente liga que contiene biografías de matemáticos, en ellas encontrarán algunas cantidades que podrán escribir con letra o bien convertirlas a números según sus instrucciones. http://www.matematicas.profes.net/propuestas2.asp?ciclo=4204&categoria=6825&nombre_id=Biografías+de+matemáticos&id_categoria=139&cat=Primer+Ciclo+ESO

Valoración del desempeño• Escribe con letra cualquier cantidad y con números cantidades

expresadas de forma verbal.

27

Ochocientos setenta y cinco mil, treinta y cuatro millones, doscientos tres mil, cien

Setecientos ochenta y nueve millones, cuatrocientos cincuenta y tres mil, ochocientos uno

Noventa y ocho billones, setenta y ocho mil, quinientos siete millones, doscientos treinta mil, ciento uno

Treinta y cuatro billones, mil millones, cinco mil, trescientos venticinco

Ciento tres millones, doscientos sesenta y tres mil trescientos ochenta y ocho

Ciento cincuenta millones

Mil quinientos quince millones, cuatrocientos treinta y dos mil

1,964,375 km2

6,499,697,070

41,626,075,000,000 km

27

4 Escribe cómo se leen las cantidades de la actividad 1.

a) 875 034 203 100

b) 789 453 801

c) 98 078 507 230 101

d) 34 001 000 005 325

5 Escribe cómo se leen las cantidades resaltadas.

a) La población total de los Estados Unidos Mexicanos es de 103 263 388 habitantes.

b) La distancia entre el Sol y la Tierra es 150 000 000 de kilómetros.

c) La producción pesquera nacional en 2004 fue de 1 515 432 000 toneladas.

6 Anota con número las cantidades.

a) La extensión territorial de nuestro país es un millón novecientos sesenta y cuatro

mil trescientos setenta y cinco kilómetros cuadrados.

b) En 2006 se calculó que la población mundial era seis mil cuatrocientos noventa y

nueve millones seiscientos noventa y siete mil sesenta habitantes.

c) La estrella más cercana al Sol se encuentra a cuarenta y un billones seiscientos

veintiséis mil setenta y cuatro millones de kilómetros.

7 Si quieres conocer más sobre sistemas antiguos de numeración, visita el siguiente sitio en internet:

http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act permanentes/mate/imagina.htm

Ahí haz clic en el vínculo >Numeraciones antiguas.

1.1. Analizar el sistema oral o escrito para leer y escribir cantidades correctamente.

IC

T


Otros recursosPuede consultar la siguiente página en Internet para representar con palabras las cantidades expresadas en forma numérica y verificar los resultados. http://www.solutio.com.mx/OProduct.html

28


28

Fracciones y figurasDividir en partes iguales¿Podrías dividir el siguiente segmento de recta en cinco partes iguales? ¿Y en ocho par-tes iguales? ¿Y en 13 partes iguales? Explica cómo.

Triángulos y más triángulosObserva la siguiente secuencia de figuras y contesta.

¿Cuántos triángulos amarillos tendrá la figura 5?

Letras parecidasLas siguientes letras se han clasificado en dos grupos. ¿Con qué criterio se clasificaron?

Al derecho y al revésUn número capicúa es aquel que se lee igual de izquierda a derecha o de derecha a izquierda. Por ejemplo, 323, 1221 y 1 092 901 son capicúas.

¿Qué patrón puedes descubrir en los resultados de las siguientes potencias?

12 1 1 1112 11 11 1211112 111 111 123211 1112 1 111 1 111 1234321

Calcula 11 1112 y 111 1112 ¿El patrón se repite indefinidamente?

A C D E H I M O T U V W X Y

B F G J K L N P Q R S Z

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4


Sugerencias didácticasEsta sección le permitirá observar lo que los alumnos saben y son capaces de realizar antes de trabajar las lecciones 8-20. Registre los indicadores que se sugieren y guarde la información para comparar con la evaluación al ir avanzando en las lecciones; esto ayudará a saber si sus alumnos están avanzando.

29

ESTRATEGIA

29

Dividir en partes igualesA continuación te mostraremos un método para dividir segmentos en partes iguales.

Consigue una hoja de papel tras-lúcido, como el albanene, o de un material transparente, como el ce-lofán o el hule cristal.

Con plumín, calca las líneas de una hoja rayada normal de manera que tu hoja quede como en el dibujo.

Ahora puedes utilizar la hoja que elaboraste para dividir un segmento en las partes iguales que desees. Para hacerlo, coloca tu hoja sobre el segmento de manera que las líneas lo dividan en las partes que necesitas. Utiliza la punta de tu compás para hacer agujeros. Por ejemplo, observa cómo se divide el siguiente segmento en trece partes iguales.

Para practicar este método, reúnanse en parejas, traza un segmento en tu cuader-no y pídele a tu compañero o compañera que lo divida en las partes iguales que tú pidas (de 5 a 10).

Letras parecidasPara resolver este reto fíjate en la forma de las letras. Recuerda el concepto de si-metría.


Valoración del desempeño• Divide unidades en partes iguales utilizando la recta numérica,

circunferencias y otros modelos gráficos.• Encuentra y explica la lógica en secuencias numéricas o figurativas.• Identifica cuando un conjunto de puntos sobre un mismo plano

tiene un eje de simetría y traza dicho eje.

Otros recursosSi desea explorar más recursos para el desarrollo de la actividad puede consultar:http:www.iberocabri.org/R4 DaniloAgudelo 2.pdf

30

5 _ 16

17 _ 16

1 _ 4

3 _ 8

7 _ 8

5 _ 4

La segunda no tiene dieciseisavos

No Porque 4 no divide a 14

Sí

Porque 4 divide a 8, 8 divide a 16 y 16 divide a 32

30

L e c c i ó n 8

0 21

0 21

Fracciones en la recta numérica I1 Lee el problema y realiza lo que se pide.

El pistón de una máquina tiene seis anillos con las dimensiones que aparecen en la ilustración (en fracciones de pulgada). Para colocar los anillos en las ranuras se tiene en cuenta el grosor, y se instalan de menor a mayor. ¿Cuál es la ubicación de cada anillo en el pistón?

a) Escoge una recta numérica y representa en ella las medidas de los seis anillos.

b) Explica por qué no escogiste la otra recta.

c) ¿Te hubiera servido una recta con el segmento de 0 a 1 dividido en 14 partes iguales?

¿Por qué?

d) ¿Sería adecuado dividir el segmento de 0 a 1 en 32 partes iguales?

¿Por qué? e) ¿En qué otro número de partes iguales sería adecuado dividir el segmento de 0 a 1?

Subraya las cantidades que podrían servir para este fin.

2 8 5 15 24 40 48 60 64 72 80

f) Expresa las medidas de los anillos con fracciones equivalentes del mismo denomi-nador.

1716 1

4

78

54

38

516

g) Escribe las medidas de los anillos ordenadas de menor a mayor.

1716

14

78

54

38

516


34 8 28 40 12 1032 32 32 32 32 32

1 5 3 7 17 5 4 16 8 8 16 4

Sugerencias didácticasPuede introducir la lección con el problema titulado, “La mitad de una gorra”1 para reforzar la idea de fracciones si es necesario haga las adecuaciones al problema de acuerdo con su criterio.

SituaciónDiego y Laura están haciendo los preparativos para irse de excursión con el resto de su clase. Diego ha perdido la única gorra que tenía, y sabe que Laura tiene colección de gorras.– Oye, Laura ¿podrías prestarme una de las gorras de tu colección?– Pues verás, sólo me queda una. Le regalé la mitad, más la mitad de

una gorra, a mi amiga Carmen. Después di la mitad de las que me quedaban, más media gorra, a una ong para recaudar fondos. Así que sólo me queda una como te dije. Pero te la dejaré si adivinas cuántas gorras tenía yo al principio.Diego no entendía para qué servía media gorra y por qué Laura se

había dedicado a partir por la mitad las gorras. Pero pronto se dio cuenta de que Laura no tuvo necesidad de partir ninguna gorra, resolvió el problema y Laura le dio la gorra que le había prometido.

1 Adaptación del problema La mitad de una gorra, diseñado por Quadrivium en http://www.profes.net/rep_documentos/PDS_Matemáticas/1E%20Números%20y%20operaciones.%20La_mitad_de_una_gorra.PDF

31

Cuando las fracciones son equivalentes

31

Recuerda

Las fracciones equivalentes son las que tienen el mismo valor. Por ejemplo, 12, 24 y 36 son equivalentes.

Para ordenar fracciones, es conveniente convertirlas en fracciones equivalentes con el mismo denominador.

Para encontrar una fracción equivalente a otra se multiplican o se dividen tanto el numerador como el denominador por el mismo número. Por ejemplo:

26 2 2

6 2 4

12 26 2 2

6 2 13

2 Divide en partes iguales el segmento indicado entre los puntos de cada recta y representa las fracciones que se piden. Observa el ejemplo.

Recta 1

a) 35, 13 y 53

Recta 2

b) 36, 12 y 43

Recta 3

c) 18, 34 y 32

Recta 4

d) 19, 46 y 23

Recta 5

e) 56, 29 y 418

Contesta.

f) ¿En qué casos localizaste fracciones en el mismo punto de la recta numérica?

Las fracciones equivalentes se representan con el mismo punto en la recta.

0 2

0 2

0 1

0 1

0 213

35

53

Recuerda

En Juegos y retos de las páginas 28 y 29 se muestra un método para dividir un segmento en partes.

1.2. Representar números fraccionarios en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.


3 _ 6

= 1 _ 2

1 4 _ 3

1 _ 8

3 _ 4

1 3 _ 2

1 _ 9

4 _ 6

= 2 _ 3

1

2 _ 9

= 4 _ 18

5 _ 6

1

Cuestionario1. ¿Por qué estaba tan desconcertado Diego?2. ¿Qué tipo de números crees que debemos usar para resolver el

problema?3. Intenta resolverlo con lenguaje matemático.

Después de la introducción sugerimos pedirles que lleven a cabo más ejercicios de fracciones equivalentes, convertir unos a otros. Les puede poner ejercicios de comparación para que determinen en qué ocasiones una fracción es mayor que otra y en cuáles son equivalentes. Haga la pregunta: ¿cuántas fracciones equivalentes se pueden dar de cada fracción?

Valoración del desempeño• Localiza una fracción en la recta y determina las fracciones

equivalentes, genera fracciones que sean equivalentes a una fracción dada.

Otros recursosPuede consultar la siguiente página en Internet para más ejemplos. http://www.conevyt.org.mx/cursos/cursos/ncpv/contenido/libro/nycu1/nycu1t4.htm

32

Arturo Arturo

Cristina

32

Fracciones en la recta numérica II1 Lee el texto, analiza la tabla y contesta.

Cinco amigos jugaron al salto de longitud. Saltaron sobre una línea recta y, para medir la longitud de cada salto, usaron una cuerda dividida en partes iguales por nudos. Los resultados fueron los siguientes:

Nombre Arturo Cristina Leonor Jorge Rodrigo

Longitud del salto

52 de cuerda 3

4 de cuerda una cuerda 53 de cuerda 4

3 de cuerda

a) ¿Quién saltó más? b) ¿Quién hizo un salto de más de dos cuerdas de longitud?

c) ¿Quién saltó menos de una cuerda de longitud?

2 Reúnete con una compañera o un compañero y resuelvan lo siguiente.

Al día siguiente, los niños regresaron al lugar donde habían saltado pero, como había llovido, muchas marcas se borraron y sólo encontraron estas dos:

a) Si se mide con la cuerda, ¿cuál es la distancia entre las marcas de Leonor y de Arturo?

b) Localicen en el dibujo anterior la marca desde donde se mide la longitud de los sal-

tos. Escriban a continuación qué método emplearon.

L e c c i ó n 9

Leonor Arturo


Cristina Rodrigo Jorge

Dividir en mitades

1 _ 4

1 _ 3

1 _ 2

2 _ 3

3 _ 4

1 5 _ 4

4 _ 3

3 _ 2

5 _ 3

7 _ 4

2 9 _ 4

5 _ 2

3 _ 2

Sugerencias didácticasPara esta lección le sugerimos diseñar ejercicios de localización de fracciones en la recta numérica. Es importante que usted determine el valor de los puntos en dicha recta numérica. Posteriormente indíqueles las fracciones que deben encontrar en ella.

Se recomienda hacer énfasis en la propiedad de la densidad de los números racionales; es decir, que entre dos fracciones siempre existe una infinidad de ellas.

La paradoja de XenónUna forma de ilustrar la paradoja de Xenón es la siguiente. Imaginemos que Aquiles intenta recorrer una distancia cualquiera. Recorre la mitad en un tiempo T 2. La mitad de lo que falta, en un tiempo T 4, y así sucesivamente. El tiempo total T 2 + T 4 + T 8 + T 16 + ... ¿es infinito? Los griegos pensaban que sí, puesto que estaban sumando un número infinito de términos. Hubo que esperar hasta la Edad Media para que las series infinitas fueran comprendidas. Esta comprensión aclaró el concepto matemático de límite que está directamente relacionado con el hecho de que entre cada dos fracciones siempre existe otra.

33

No Porque cada casa conserva la misma distancia

Porque el patrón de medida es el mismo

En el km 1, en el km 1 1 _ 4

, en el km 3 _ 4

33

c) Localicen en el dibujo de la página anterior las marcas de Cristina, Jorge y Rodrigo. Después verifiquen las respuestas de las preguntas a), b) y c) de la actividad 1. Si encuentran diferencias, seguramente hay un error: corríjanlo.

En la recta numérica un número mayor se localiza a la derecha de otro menor.

3 Lee y realiza lo que se pide.

Arturo, Ricardo, Silvia y Míriam salen de la escue-la secundaria y caminan hacia sus hogares, que se encuentran en un mismo camino en línea recta. La distancia de la escuela a la casa de cada uno se re-gistra en la tabla.

a) Arturo representó en la siguiente recta la locali-zación de su casa y la de Silvia. Localiza los pun-tos donde Arturo debe representar la escuela, la casa de Ricardo y la de Míriam.

b) Míriam representó en la siguiente recta la localización de su casa y la de Ricardo. Localiza los puntos donde Míriam debe representar la escuela, la casa de Arturo y la de Silvia.

c) Compara tus respuestas con las de una compañera o compañero, corrige las que estén equivocadas y contesten juntos las siguientes preguntas.

i) ¿El orden de las casas es diferente en las representaciones de Arturo y de Mí-

riam? ¿Por qué? ii) Observa que la distancia entre las casas de Arturo y Míriam no es igual en am-

bas representaciones. ¿Por qué?

iii) Rosa vive entre las casas de Arturo y Míriam. ¿A qué distancia de la escuela es

posible que viva Rosa? Menciona tres opciones.

4 Vuelve a leer el inciso c) de la página 11, respóndelo si no lo habías hecho, o reconsidera tu respuesta original.


A S

R M

Distancia de la escuela a su casa

Arturo 112

km

Ricardo 35

km

Silvia 134

km

Míriam 23

km


15 _ 10

9 _ 15

35 _ 20

10 _ 15

0escuela

1 _ 4

1 _ 3

1 _ 2 R M 3 _ 4

1

1 A S

Valoración del desempeño• Localiza una fracción en la recta.• Determina el valor de la fracción a partir de un punto en la recta y

una referencia.

Otros recursosConsulte la siguiente página en Internet para mayor comprensióndel tema de representación de números racionales en la recta. http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/Teoria/Racionales/Mod2/node1.html

34

Porque es distinto el parámetro de referencia

34

Fracciones en la recta numérica III1 Encuentra el punto donde se localiza el 1 en las siguientes rectas numéricas.

a) b)

c) d)

Observa

Puedes comparar distan-cias usando tu compás.

L e c c i ó n 1 0

2 Encuentra la fracción que corresponde al punto rojo y contesta.

a) ¿Cuál es la distancia entre 14 y 12?

b) ¿Cuál es la distancia entre 14 y la fracción que escribiste?

c) ¿Qué fracción se encuentra a la misma distancia de 0 y de 14?

3 Escribe las fracciones indicadas en la recta y contesta.

a) ¿Cuál es la mitad de 13?

b) ¿Cuál es la tercera parte de 13?

c) ¿Qué fracción se encuentra a la misma distancia de 13 y de 23?

4 Escribe la fracción indicada con el punto en cada recta y contesta.

a) ¿Qué fracción localizaste en ambas rectas?

b) ¿Por qué la distancia entre 0 y la fracción que escribiste no es la misma en ambas

rectas?

0 1 0 1

14

12

25

0 35

0

32

0 53

0

0 13

0


1 1

1 1

3 _ 8

14

18

18

2 _ 9

1 _ 9

1 _ 6

1

61

912

12

1 _ 2

1 _ 2

Sugerencias didácticasDar al estudiante más ejercicios de localización de fracciones en la recta numérica, proporcionando la recta numérica para determinar el valor de los puntos en ella y las fracciones para encontrarlas en la recta, debe enfatizarse la propiedad de la densidad de los racionales (es decir, que entre dos fracciones siempre existe una infinidad de ellas). Hacer hincapié al alumno en que:• la recta la dibujamos horizontal, se elige un punto arbitrario, llamado

origen, que representa al 0 y un punto a la derecha que representa al 1.

• en general la recta puede ser vertical o inclinada, sobre todo, para las aplicaciones. Pero al principio es recomendable empezar con la recta horizontal.

• para graficar una fracción ab

dividimos el segmento entre 0 y 1 en b partes iguales y tomamos el punto que está a una distancia de a veces esa distancia del 0.

Valoración del desempeño• Localiza una fracción en la recta.• Dado un punto en la recta y una referencia, determina su valor.• Comienza a desarrollar la noción de proporción.

35

Sí Porque el punto final de b) es el doble que el de a)

Sí Porque la recta c) vale justo

el triple de a)


5 Escribe la fracción que corresponde al punto rojo en cada recta y contesta.

a)

b)

c)

d) ¿Qué fracción corresponde al punto rojo de la recta del inciso a)?

e) ¿La fracción que corresponde al punto rojo de la recta del b) vale el doble de la

del a)? ¿Por qué?

f) ¿La fracción que corresponde al punto rojo de la recta del c) vale el triple de la que

localizaste en la recta del a)? ¿Por qué?

La fracción 34 representa tres partes de un entero dividido en cuatro partes igua-les y también que tres enteros se dividen en cuatro partes iguales.

6 Lee el texto y realiza lo que se pide.

Pitágoras de Samos, en el siglo VI a.n.e. [antes de nuestra era], descubrió la relación entre la longitud de una cuerda y la nota que se emite al pulsarla. Por ejemplo, si una cuerda que corresponde a la nota sol mide 1 unidad, las longitudes de las otras cuerdas para obtener las notas la, si, do, re, mi, fa, serían las siguientes:

Fa: 1615 Mi: 65 Re: 43 Do: 32 Si: 85 La: 16

9

Observa la longitud de la cuerda de do y dibuja las otras cuerdas.

Sol

Fa

Mi

Re

Do

Si

La

0 1

0 2

0 3


1 _ 4

1 _ 2

3 _ 4

14

Otros recursosConsulte la siguiente página en Internet para profundizar en el tema de representación de números racionales en la recta numérica. http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/Teoria/Racionales/Mod2/node1.html

En la siguiente página encontrará ejercicios interactivos para practicar la localización de números sobre la recta: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/enterosdesp/rectanumerica.htm

36

36

L e c c i ó n 1 1

Fracciones en la recta numérica IV1 Localiza la fracción que se encuentra a la misma distancia de las dos

señaladas con puntos rojos en cada recta y escríbela como una fracción simplificada. Puedes dividir cada recta en las partes iguales que desees. Observa el ejemplo.

Una fracción simplificada o irreductible es aquella cuyo numerador y deno-minador tienen el 1 como único divisor común. Por ejemplo: 38

es una fracción simplificada porque 1 es el único divisor común de 3 y de 8.

621

no es una fracción simplificada porque 3 es divisor común de 6 y de 21.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

2 Reúnete con una compañera o un compañero y comparen sus respuestas a la actividad anterior. Si hay diferencias, busquen juntos la solución correcta. Pro-pongan una manera de comprobar que la fracción encontrada está a la misma distancia de las dos indicadas.

0 113

12

23

34

10 12

0 232

34

0 353

12

0 5125

143

0 412

185


1 _ 6

5 _ 6

5 _ 8

1

13 _ 2

53 _ 15

41 _ 10

Sugerencias didácticasProporcione al alumno la recta numérica, para determinar el valor de los puntos en ella, y las fracciones para encontrarlas, el propósito es que éste haga más ejercicios de localización de fracciones en la recta, también, es necesario hacer ejercicios de comparación, hay que mencionar el hecho de que además del criterio de los productos cruzados, una vez que se localizan los puntos en la recta una fracción es mayor que otra si se encuentra localizada más a la derecha y dos fracciones son iguales, si y sólo si están representadas por el mismo tiempo.

Se sugiere dividir el método de comparación de fracciones en tres casos:• fracciones que tienen el mismo denominador; • fracciones que tienen el mismo numerador; • fracciones que tienen distinto numerador y denominador.

Valoración del desempeño• Determina cuándo una fracción es mayor, menor o igual que otra.

37

Sí

Porque siempre podemos tomar la mitad entre ellas

Sí

Porque siempre podemos tomar la mitad, o la tercera, o la cuarta parte, etc. entre ellas

37

3 Encuentra dos fracciones que se ubiquen entre los puntos rojos.

En el recuadro, comprueba que las fracciones que encontraste son mayores que 32 y menores que 25

4 . Puedes convertirlas en fracciones equivalentes con denominador común o utilizar los productos cruzados.

4 Contesta las siguientes preguntas.

a) Si dos fracciones distintas están representadas en la recta numérica, ¿siempre podrás

encontrar una fracción que se localice entre ellas? ¿Por qué?

b) Si dos fracciones distintas están representadas en la recta numérica, ¿siempre podrás

encontrar dos fracciones que se localicen entre ellas? ¿Por qué?

Recuerda

Para comparar dos

fracciones ab y cd se

pueden emplear los productos cruzados:

Si a d b c, entonces:

ab cd


ab cd



0 732

254


31 _ 12

31 _ 8

3 _ 2

= 25 _ 4

= 12 + 50 _ 8

= 62 _ 8

= 31 _ 4

31 _ 4

÷ 3 = 31 _ 12

31 _ 4

÷ 2 = 31 _ 8

3 _ 2

< 31 _ 12

pues 36 < 62

31 _ 12

< 25 _ 4

pues 124 < 300

3 _ 2

< 31 _ 8

pues 24 < 62

31 _ 8

< 25 _ 4

pues 124 < 200

Otros recursosPuede consultar la siguiente página en Internet para profundizar en el tema de comparación de fracciones: http://www.aaamatematicas.com/cmp64bx2.htm

38

1 _ 10

1 _ 5

4 _ 5

9 _ 10

13 _ 10

3 _ 2

=0.1 =0.2 = 0.8 = 0.9 = 1.3 = 1.5

1 _ 10

0.1 4 _ 5

0.8 13 _ 10

1.3

1 _ 5

0.2 9 _ 10

0.9 3 _ 2

1.5

38

L e c c i ó n 1 2

Números decimales en la recta numérica1 Representa las siguientes cantidades en la recta numérica. Después, contesta.

110, 15, 45, 9

10, 1310, 32, 0.1, 0.2, 0.8, 0.9, 1.3, 1.5

a) ¿Qué cantidades ubicaste en el mismo punto de la recta? Anótalas a continuación.

b) ¿Qué número decimal es equivalente a 12?

2 Localiza los siguientes números en la recta numérica.

a) 0.56, 0.57, 0.60, 0.64, 0.645, 0.655, 0.7

b) 1.312, 1.319, 1.322, 1.328, 1.3285, 1.329

3 Observa las rectas numéricas y contesta.

Recta 1

Recta 2

a) ¿Podrías representar 0.70 en la recta 1 sin hacer más divisiones? ¿Cómo?

Después del punto decimal, los ceros al final de un número pueden eliminarse.

Recuerda

Los números decimales pueden expresarse como fracciones cuyo denominador es una potencia de 10. Por ejemplo:

0.7 710 7

101 3.2 3210 32

101 0.45 45100 45

102 1.023 1 0231 000 1 023

103

0.55 0.65

1.31 1.33

0 1

0 1

0 12


0.56 0.57 0.60 0.64 0.645 0.655 0.7

0.5

1.312 1.319 1.322 1.328 1.3285 1.329

Sí

Tomando 7 _ 10

Sugerencias didácticasSolicite al alumno que convierta fracciones a decimales, así como decimales a fracciones; se recomienda plantearle que las palabras: décima, centésima, milésima, etc., se refieren a las fracciones correspondientes; un décimo (una décima parte), un centésimo (una centésima parte), un milésimo (una milésima parte).

Una explicación accesible que se le puede proporcionar al alumno, es que el denominador son los caramelos que se reparten y el numerador los que se toman. Por ejemplo, para determinar cuál de las siguientes fracciones es mayor: si 3 _ 12 o 1 _

6 . Piensa qué te conviene si tomar 3

caramelos de 12 o 1 caramelo de 6, este método es sumamente intuitivo para que el alumno tenga una noción correcta de las cantidades al compararlas.

Valoración del desempeño• Convierte fracciones a decimales. • Convierte decimales a fracciones. • Localiza los números en la recta, ya sea en su forma fraccional o

decimal.

39

391.2. Representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.

4 Lee el texto y realiza lo que se pide.

Don Fabián es un carpintero que elabora bancos y mesas para niños. Ha determinado la altura ideal para sus productos:

Altura mínima (m)

Altura máxima (m)

Banco 0.25 0.4

Mesa 0.5 0.7

a) Don Fabián ha elaborado bancos con las siguientes alturas: 0.3, 0.17, 0.26, 0.28, 0.33, 0.41.

Localízalas en la recta numérica y contesta.

¿Qué medidas fueron menores que la ideal?

b) Don Fabián también fabricó varias mesas. Representa sus alturas (0.53, 0.77, 0.65,

0.55, 0.45, 0.48) en la recta numérica y contesta.

¿Qué medidas fueron menores que la ideal?

5 Escribe qué fracciones se representan con los puntos rojos en la siguiente recta. Después realiza lo que se pide.

a) Divide el segmento de 0 a 1 en 10 partes iguales y anota cada número decimal. ¿Entre

qué números decimales se encuentran las fracciones que localizaste?b) Divide el segmento determinado por las dos fracciones que encontraste en 10

partes iguales e identifica cada número decimal. ¿Entre qué números decimales

se encuentran los puntos rojos? c) Convierte las fracciones que representan los puntos rojos en números decimales. Escribe entre qué números decimales se encuentran los puntos rojos si se divide

el segmento de 0 a 1 en 100 puntos iguales.

Recuerda

Para convertir una fracción en número decimal se divide el numerador entre el denominador.

Observa

Conviene localizar primero el punto que representa a 0 en las rectas numéricas.

0.25 0.4

0.5 0.7

0 1


0.17 0.26 0.3 0.33 0.41

0.17

0.45 0.48 0.53 0.55 0.65 0.77

0.45 y 0.48

0.28

0.1 0.2 0.3 1 _ 3

0.4 0.5 0.6 2 _ 3

0.7 0.8 0.9

0.3 y 0.7

Entre 0.32 y 0.34 y entre 0.65 y 0.67

Entre 0.32 y 0.71

0.333

Otros recursosSe sugiere consultar la siguiente página en Internet para más ejercicios y tablas de conversión de decimal a fracción y viceversa. http:www.mamutmatematicas.com/ejercicios/fraccion-decimal.php

40

40

Sucesiones I

1 En cada inciso hay una sucesión. Dibuja las figuras que faltan.

L e c c i ó n 1 3

a)

b)

c)

d)

e)

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5






Sugerencias didácticasHay muchos ejercicios de sucesiones, estos ejercicios fomentan el razonamiento matemático y, en general, los razonamientos deductivos, pida al alumno que además de desarrollar las sucesiones, trate de explicar el procedimiento para desarrollarlas, con el fin de que aprenda a organizar sus razonamientos.

La sucesión de FibonacciLa sucesión de Fibonacci es 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, .Cada término es igual a la suma de los dos anteriores an = an−1 an−2, para n > 2.

La sucesión de Fibonacci tiene muchas propiedades curiosas: La suma de los n primeros términos es: a1 +... + an an+2 – 1.

La suma de los términos impares es: a1 + a3 +... + a n2 1− = a n2 . La suma de los términos pares es: a2 + a4 + a n2 = a n2 1+ – 1.

La suma de los cuadrados de los n primeros términos es: a a a a an n n1

222 2

1+ + = + .Si n es divisible por m entonces an es divisible por am

Los números consecutivos de Fibonacci son primos entre sí.La propiedad más curiosa de esta sucesión es que el cociente de dos

números consecutivos de la serie se aproxima a la razón áurea. Esto es,

an+1 tiende a 1 5

2

+( ).

41

4 9 16

25

4 9 16

25

5 9 13

17

41

2 Reúnete con un compañero o una compañera y comparen las respuestas de la actividad anterior. Expliquen en sus cuadernos por qué dibujaron cada figura. Incluyan comentarios de cómo van cambiando las figuras.

Una sucesión de figuras es una secuencia de figuras que se transforman de acuerdo con una regla.

3 Completa las sucesiones de figuras, anota el número de cuadrados rojos que hay en cada una y contesta.

1.3. Construir sucesiones de números a partir de una regla dada. Determinar expresiones generales que definen las reglas de sucesiones numéricas y figurativas.

1

1

1

cuadrado cuadrados cuadrados cuadrados

¿Cuántos cuadrados habrá en la quinta figura?


¿Cuántos cuadrados habrá en la séptima figura?


¿Cuántos cuadrados habrá en la décima figura?

4 Observa los montones de esferas y contesta.

¿Cuántas esferas tendrá el montón número 9?

Montón 25 esferas

Montón 1Una esfera

Montón 430 esferas

Montón 314 esferas


55 esferas

Valoración del desempeño• Capaz de desarrollar sucesiones lógicas.• Capacidad para percibir patrones de relación entre números y letras.• Obtiene resultados por medio de la extracción de relaciones y la

comparación basada en reglas de similitud.• Organiza información en forma inductiva.

Otros recursosSe recomienda consultar la siguiente página en Internet para más ejemplos y explicaciones de las diferentes habilidades que se desarrollan mediante el trabajo con secuencias lógicas. http://www.laspau.harvard.edu/paep/cognitiva.htm

42

3 6 3 9 5 15

3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39

Aumenta en uno Aumenta en tres 60 315

Multiplicando por 3

3n

42

Sucesiones II1 Observa las siguientes figuras formadas con palitos y después contesta.

a) ¿Cuántos triángulos tiene la primera figura?

b) ¿Cuántos palitos tiene la primera figura?

c) ¿Cuántos triángulos tiene la segunda figura? ¿Y cuántos palitos tiene?

d) Si se sigue la secuencia de figuras, ¿cuántos triángulos tendrá la sexta figura?

¿Y cuántos palitos?

e) Completa la tabla.

f) ¿Cómo va cambiando el número de triángulos en la tabla?

g) ¿Cómo va cambiando el número de palitos en la tabla?

h) ¿Cuántos palitos tendrá una figura formada por 20 triángulos?

i) ¿Cuántos palitos tendrá una figura de 105 triángulos?

j) Reúnete con una compañera o un compañero y contesten las siguientes preguntas.

Verifiquen sus respuestas usando la tabla del inciso e).

i) Si se sabe cuántos triángulos forman una figura, ¿cómo se calcula cuántos pali-

tos tiene?

ii) Si n triángulos significa cualquier número de triángulos, ¿cuántos palitos tiene

una figura con n triángulos?

2 Observa las figuras y completa la tabla. Después contesta.

a) ¿Cómo va cambiando el número de triángulos en la tabla?

b) ¿Cómo va cambiando en la tabla el número de palitos?

L e c c i ó n 1 4

Triángulos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Palitos

Triángulos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Palitos


3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

Aumenta en uno Aumenta de dos en dos

Sugerencias didácticasSeguir aplicando ejercicios de sucesiones lógicas y escribir ahora la regla de la sucesión; es conveniente enseñar al alumno estrategias para llegar a dicha regla. Una recomendación pertinente, es que se debe comenzar por el uno al desarrollar esta regla, el caso más sencillo para comprobar es n =1 , también es importante mencionar que estas fórmulas deberán ser válidas para cada uno de los números naturales.

Puede parecerle de mayor familiaridad las secuencias al alumno, si se le dan ejemplos de cómo éstas aparecen con frecuencia en su vida cotidiana, por ejemplo plantearle la siguiente situación;

• ¿Qué haces para ir a la cama?– Ponerme el pijama y dormir.

• ¿Qué haces para ponerte el pijama?

– Quitarme la ropa y ponérmelo.

• ¿Qué haces para ir a la cama? – Quitarme la ropa, ponerme el pijama y dormir.

Con este tipo de ejemplos el alumno verá que las secuencias no son algo ajeno a sus actividades.

43

31 157 40

Se multiplica por 2 y se suma 1 2n + 1

43

c) ¿Cuántos palitos tendrá una figura formada por 15 triángulos?

d) En esta secuencia, ¿cuántos palitos tendrá la figura de 78 triángulos?

e) ¿Cuántos triángulos habrá en la figura de 81 palitos?

f) Si se conoce el número de triángulos que hay en una figura, ¿cómo se calcula el

número de palitos?

g) ¿Cuántos palitos tiene una figura con n triángulos?

3 Observa las sucesiones de figuras y completa las tablas.

a)

Cuadrados 1 2 3 4 5 6 7 8 n

Palitos

b)

Figura 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

Palitos


Para representar un número cualquiera puede utilizarse una letra. Estas letras se llaman literales. Una expresión en la que se indican operaciones aritméticas con literales es una expresión algebraica. Por ejemplo, las siguientes son expre-siones algebraicas:

a 4 3 b 6 n 7 y 5 s

Una sucesión numérica es una secuencia de números que siguen una regla. Por ejemplo:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16… es una sucesión. Cada número de la sucesión se lla-ma término de la sucesión. Para calcular el término que está en el lugar n de la sucesión, se multiplica n por 2, n 2 es una expresión algebraica que indica la regla de la sucesión. Por ejemplo el término que está en el lugar 25 de la su-cesión es 50 porque 25 2 50.

1 2 3 4


4 7 10 13 16 19 22 25 28

7 12 17 22 27 32 37 42 47 52

Valoración del desempeño• Desarrolla sucesiones lógicas.• Obtiene la regla de la sucesión.

Otros recursosPuede consultar la siguiente página en Internet para más ejemplos y explicaciones de las diferentes habilidades que se desarrollan mediante el trabajo con secuencias lógicas. http://www.laspau.harvard.edu/paep/cognitiva.htm

44

1, 5, 9

2, 6, 10 3, 7

4, 8

De cuatro en cuatro

Azul Azul Rojo

44

Sucesiones III1 Contesta.

Durante la celebración de la fiesta de un pueblo adornaron el lugar con cadenas de pa-pel. Ésta es una cadena de 10 eslabones.

a) Observa que los eslabones están numerados; ¿qué números tienen los de color ama-

rillo?

b) ¿Qué números tienen los eslabones de color verde?

c) ¿Qué eslabones son de color rojo?

d) ¿Qué eslabones son de color azul?

e) ¿Cómo es la secuencia de colores en la cadena?

f) Si la cadena tuviera 52 eslabones, ¿cuál sería el color del último?

g) Si la cadena tuviera 400 eslabones, ¿cuál sería el color del último?

h) Si la cadena tuviera 399 eslabones, ¿cuál sería el color del último?

2 Considera que la cadena de la actividad anterior tiene muchos eslabones y completa la tabla.

Color del eslabón Número de eslabón

Amarillo 1 5 9

Verde 2 6 10

Rojo 3 7 11

Azul 4 8 12

a) Contesta.

i) ¿Cuál es el valor de 4n cuando n vale 1?

ii) ¿Cuál es el valor de 4n cuando n vale 2?

iii) ¿Cuál es el valor de 4n cuando n vale 5?

L e c c i ó n 1 5

Observa

Los números que corresponden a los eslabones azules forman una sucesión. La regla para determinar el número de la posición n en esta sucesión numérica es 4 n.

Observa

La expresión 4n es igual a 4 n.En las expresiones algebraicas se puede omitir el signo para evitar confundirlo con la letra x.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 5714 18 22 26 30 34 38 42 46 50 54 5815 19 23 27 31 35 39 43 47 51 55 5916 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60

48

20

Sugerencias didácticasSiga aplicando ejercicios de sucesiones lógicas para que puedan escribir su regla . Se sugiere desarrollar diversas sucesiones involucrando a los alumnos, por ejemplo, se numeran los meses del año, se arma una sucesión con aquellos alumnos que cumplan años en un mes correspondiente a algún múltiplo de 4, etcétera.

Valoración del desempeño• Capacidad para desarrollar sucesiones lógicas.• Obtiene la regla de la sucesión. • Escribe la regla en su forma algebraica.

45

4n

4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

Sí

4n – 1

4n – 1 3 7 11 15 19 23 27 31 35 39

4n – 2

4n – 2 2 6 10 14 18 22 26 30 34 38

4n – 3

4n – 3 1 5 9 13 17 21 25 29 33 37

18 21 3n 17 20 3n – 1 27 31 4n + 3


b) Completa la tabla.

Regla de la sucesión correspondiente a los eslabones azules:

Valor de n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Valor de 4n

¿Obtuviste los mismos valores que en la tabla anterior?

c) Determina las reglas de sucesión de los eslabones de los otros colores y completa las

tablas.

i) Regla de la sucesión correspondiente a los eslabones rojos:

Valor de n 1 2 3 4 5 20 28 40 50 100

Valor de

ii) Regla de la sucesión correspondiente a los eslabones verdes:

Valor de n 1 2 3 4 5 15 18 25 30 95

Valor de

iii) Regla de la sucesión correspondiente a los eslabones amarillos:

Valor de n 1 2 3 10 17 20 28 64 70 100

Valor de

3 Escribe dos términos más en cada sucesión numérica y su regla.

a) 3, 6, 9, 12, 15, , Regla:

b) 2, 5, 8, 11, 14, , Regla:

c) 7, 11, 15, 19, 23, , Regla:

4 Escribe los términos de las sucesiones siguiendo la regla.

ReglaValor de n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2n 2 4 6

4n 1 5

7n 3 4

Si la regla de una sucesión está enunciada con una expresión algebraica, los tér-minos de la sucesión pueden encontrarse asignando valores a la literal o literales en la expresión algebraica.


8 10 12 14 16 18 20

9 13 17 21 25 29 33 37 41

11 18 25 32 39 46 53 60 67

Otros recursosPuede consultar la siguiente página en Internet para obtener más ejemplos y explicaciones de las diferentes habilidades que se desarrollan mediante el trabajo con secuencias lógicas. http://www.laspau.harvard.edu/paep/cognitiva.htm

46

El lado de la 1, el lado de la 2, la base y la altura de la 3, la base y la altura de la 4

Sumar los lados

Multiplicar la medida de un lado por 4

13 + 13 + 13 + 13 13 × 4

2 dm + 2 dm + 2 dm + 2 dm 4 × 2 dm

a + a + a + a 4a

4 8 12 16 24 28 32 36

4 8 12 16 24 28 32 36

46

L e c c i ó n 1 6

Fórmulas geométricas I1 Observa las fotografías y realiza lo que se pide.

Elena tiene varias fotografías y quiere enmarcarlas con encaje. Necesita saber cuál es el perímetro de cada fotografía para estimar la cantidad de encaje que requiere:

Fotografía 1 Fotografía 2 Fotografía 3 Fotografía 4

a) Escribe los datos que Elena necesita conocer:

b) Escribe dos procedimientos para calcular el perímetro de la fotografía 1. No anotes

fórmulas, sino el procedimiento para calcularlo.

Procedimiento 1:

Procedimiento 2:

c) Supón que cada lado de la fotografía 1 mide 13 cm.

i) Escribe una suma que permita calcular su perímetro:

ii) Anota una multiplicación que permita calcular su perímetro:

d) Supón que la fotografía 1 mide 2 dm por lado.

i) Escribe una suma que permita calcular su perímetro:

ii) Anota una multiplicación que permita calcular su perímetro:

e) Escribe una suma y una multiplicación para calcular el perímetro de este cuadrado.

Suma:

Multiplicación:

f) Considera las expresiones que escribiste en el inciso anterior y completa la tabla.

Valor de a 1 2 3 4 6 8 13 15

Suma

Multiplicación

a


Sugerencias didácticasEl alumno debe ejercitar sus habilidades geométricas, se le pide que, por ejemplo, reconozca las figuras geométricas en objetos diversos a su alrededor, debe comprender la noción de perímetro, no sólo como un concepto ajeno al cual simplemente debe aplicar alguna fórmula aprendida de memoria. Una vez que comprenda a fondo el concepto, le será fácil desarrollar por sí mismo distintas fórmulas para calcularlo.

Se sugiere que se pida al alumno hacer un reconocimiento de los distintos tipos de figuras geométricas. Por ejemplo: que se organicen en equipos y elaboren una lista que incluya determinados objetos, en éstos localizarán las figuras geométricas involucradas y posteriormente determinarán diferentes características, tales como:• El nombre de cada figura.• Si es una figura plana o un cuerpo con volumen.• Su clasificación elemental (si es un triángulo, un cuadrilátero,

etcétera).

47

12.5

Sumar cada uno de los lados del pentágono

a + a + a + a + a 5a

47

g) Elena calculó que el perímetro de la fotografía 1 es 50 cm. Anota la medida de cada

lado de la fotografía:

h) Escribe un procedimiento para calcular el perímetro de la fotografía 2. Recuerda que

no debes anotar fórmulas, sino el procedimiento.

i) Los lados de este pentágono tienen la misma medida. Anota una suma y una mul-

tiplicación para calcular su perímetro.

Suma:

Multiplicación:

j) Escribe las operaciones aritméticas necesarias para calcular lo que se pide. No es-

cribas el resultado.

k) Escribe dos expresiones distintas para calcular el perímetro del rectángulo.

P

P

Los lados del hexágono de la izquierda tienen la misma longi-tud. El perímetro de la figura se calcula con la fórmula P 6l, o bien, P l l l l l l. Las expresiones algebraicas 6l y l l l l l l son equivalentes, es decir:

6l l l l l l l

1.4. Explicar en lenguaje natural el significado de algunas fórmulas geométricas, interpretando las literales como números generales con los que es posible operar.

Longitud de líneas verdes: Longitud de líneas verdes:

Longitud de líneas rojas: Longitud de líneas rojas:

Suma de las longitudes anteriores:

Suma de las longitudes anteriores:

a

am

l

17 cm

11.5 cm

12.1 cm

16.2 cm


23 cm 32.4 cm

34 cm 24.2 cm

57 cm 56.6 cm

a + a + m+ m

2a + 2m

Valoración del desempeño• Calcula el perímetro de cualquier polígono. • Comprende que sumar n veces un número es lo mismo que

multiplicarlo por n.

Otros recursosSe sugiere consultar la siguiente página en Internet para obtener más ejemplos sobre el cálculo de perímetros de distintas figuras geométricas. http://www.escolar.com/geometr/07perime.htm

48

3a 3a _

2

3a _ 4

48

de nuevoel reto

Fórmulas geométricas II1 Observa las figuras y contesta.

a) ¿Cuál es el perímetro del triángulo de la figura 1?

b) Anota el perímetro del triángulo azul de la figura 2.

c) Escribe el perímetro del triángulo azul de la figura 3.

d) Completa la tabla.

2 Lee el problema y contesta.

Valor de a

1 cm 2 cm 3 dm 4 dm 5 m 17 m 28 m

Perímetro del triángulo de la figura 1 3 cmPerímetro del triángulo azul de la figura 2 1.5 cmPerímetro del triángulo azul de la figura 3 0.75 cm

El tablero de ajedrez es un cuadrado dividido en 64 cuadrados llamados casillas o escaques. En una tienda venden tableros de ajedrez de distintos tamaños.

a) En un tablero, los lados de los escaques miden 5 cm; ¿con

qué operación se calcula el área de cada escaque?

b) En otro tablero los escaques miden 5.5 cm. ¿Con qué operación se calcula el área de

cada uno?

c) Un tablero mide 45 cm de lado. ¿Con qué operación se

calcula su área?

d) ¿Cuál es el área del cuadrado de la izquierda?

L e c c i ó n 1 7

Figura 3

a4

Figura 1

a

Figura 2

a2

x


6 cm 9 dm 12 dm 15 m 51 m 84 m

3 cm 4-5 dm 6 dm 7.5 m 25.5 m 42 m

1.5 cm 2.25 dm 3 dm 3.75 m 12.75 m 21 m

5 × 5

5.5 × 5.5

45 × 45x2

Sugerencias didácticasEl alumno debe ejercitar sus habilidades geométricas, se le puede pedir que, por ejemplo, reconozca las figuras geométricas en objetos diversos a su alrededor, debe comprender la noción de área, ya no simplemente como un concepto ajeno a él, para el cual simplemente debe aplicar una fórmula aprendida de memoria. Una vez que comprenda realmente el concepto, le será fácil desarrollar por sí mismo las fórmulas para calcularlo, también es importante mencionar al alumno que el perímetro y el área de una figura geométrica son independientes, es decir, que se puede tener un gran perímetro y un área pequeña, o viceversa. Un ejemplo que expresa este punto es pedirle que piense en una cadena, ésta se puede estirar al punto de obtener una figura prácticamente con área cero o se puede formar con ella una circunferencia, la cual tendrá como área la medida de la cadena multiplicada por ≠ .

Valoración del desempeño• Calcula el área de cualquier polígono regular. • Calcula el área de algunos cuadriláteros como el romboide, el

rectángulo y el cuadrado.

49

3 l

b × h _ 2

49

3 Escribe las fórmulas para calcular el área y el perímetro de estas figuras y completa las tablas.

a)

Fórmulas Datos Perímetro Área

P b 4 cmh 3.5 cm

A b 7 mh 6 m

Triángulo equilátero

b)


P a 2.5 dmb 3.8 dm

A a 6 dmb 9.2 dm

Rectángulo

c)


P a 3 mb 4.5 mh 2.6 m

A a 7 dmb 6 dmh 5 dm

Romboide

d)


P l 8 cma 9.7 cm

A l 3 mma 3.6 mm

Octágono regular

Las fórmulas del perímetro o el área de una figura geométrica son expresiones algebraicas que indican operaciones entre las literales. Las literales se sustituyen por las medidas de las figuras.

1.4. Explicar en lenguaje natural el significado de algunas fórmulas geométricas, interpretando las literales como números generales con los que es posible operar.

h

b

a

b

a

b

h

la


12 cm 7 cm2

21 cm 21 cm2

2a + 2b

b × a

12.6 dm 9.5 dm2

30.4 55.2 dm2

2a + 2b

b × h

15 m 11.7 m2

26 m 30 m2

5 l

P × a _ 2

40 cm 194 cm2

15 m 54 cm2

Otros recursosEn la siguiente página de Internet, encontrará diversas actividades interactivas relacionadas con el cálculo de la superficie de figuras geométricas. http://w3.cnice.mec.es/recursos/primaria/matematicas/superficie/entrada.htm#

50

50

L e c c i ó n 1 8

Simetría I1 Ejecuta lo siguiente.

Necesitas: una hoja de papel, compás, regla, transportador, un espejo rectangular, lápiz y un color rojo.

a) Dobla la hoja de papel a la mitad. b) Dibuja un triángulo en una de las mita-des y, con la punta de tu compás, haz orificios en sus vértices, de manera que traspasen las dos mitades de la hoja.

c) Desdobla la hoja. Observa que los orifi-cios que hiciste son los vértices de otro triángulo; trázalo.

d) Marca con rojo el doblez de la hoja y co-loca de canto el espejo, como se mues-tra en la figura. Comenta con tu grupo lo que observas.

Los dos triángulos que dibujaste son simétricos. La línea roja que marcaste se llama eje de simetría.

e) Señala los vértices de los triángulos como se muestra en el siguiente dibujo.

f) Une con segmentos punteados los pun-tos simétricos. Marca con azul las líneas punteadas de una mitad de la hoja y con verde las de la otra mitad.

Observa

A’, B’ y C’se leen: “A prima”,“B prima” y “C prima”, respectiva-mente.

Recuerda

Los vértices de un triángulo son los puntos donde se unen los lados.

Los triángulos que trazaste son simétricos respecto del eje de simetría. A y A’ son puntos si-métricos respecto del eje de simetría. B y B’ también son puntos simétricos, igual que C y C’. Si dos puntos o dos figuras son simétricos, se dice que uno es reflexión del otro.

A A’

B B’

C C’

A A’

B B’C C’


Sugerencias didácticasPara que el alumno comprenda el concepto de simetría, se le puede pedir que en diversas formas, encuentre los ejes de simetría, por ejemplo, podría observar entre sus compañeros, entre el mobiliario del aula y otros objetos que lo rodeen, que la simetría es algo que se manifiesta con mucha frecuencia. Sugiera que doble una hoja de papel y con una pluma marque una figura en una de las caras del papel, y observe cómo la figura que se traspasó es simétrica a la original.

Se sugiere la siguiente actividad.Pedir al alumno que en tres cartulinas recorte, respectivamente, un

trapecio irregular, un triángulo equilátero y un círculo. Posteriormente, que calcule de cuántas formas puede volver a colocar la figura recortada en su molde de cartón.

El trapecio sólo puede ser colocado de una manera; el triángulo, de 6 formas distintas jugando con tres giros y con el hecho que podemos poner la figura girando de cara; y el círculo tiene infinitas posibilidades de ser colocado. La cantidad de ejes de simetría de una figura es igual a la cantidad de formas en las que podemos recolocar esta pieza en la matriz inicial de donde ha sido sacada. Es decir, la cantidad de ejes de simetría, es equivalente a la cantidad de movimientos que podemos provocarle para que la figura se vea como antes de ser transformada.

51

Son exactamente de la misma medida

51

g) Utiliza tu compás para comparar la longitud de la parte verde con la longitud de la parte azul de cada segmento que trazaste.

Registra enseguida tus observaciones:

h) Mide los ángulos que forman los segmentos punteados con el eje de simetría.


i) Usando tu compás, compara las medidas de los lados de un triángulo con las de su reflexión.


j) Mide con un transportador los ángulos interiores de los triángulos que trazaste y contesta.

1.5. Construir figuras simétricas respecto de un eje, analizarlas y explicitar las propiedades que se conservan en figuras tales como: triángulos isósceles y equiláteros, rombos, cuadrados y rectángulos.

Dos puntos simétricos se encuentran a la misma distancia del eje de simetría.El segmento que une dos puntos simétricos es perpendicular al eje de simetría.La medida de un segmento y la de su reflexión son iguales. La medida de un ángulo y la de su reflexión son iguales.

i) ¿Cómo es la medida de los ángulos A y A’?

ii) ¿Cómo es la medida de los ángulos B y B’?

iii) ¿Cómo es la medida de los ángulos C y C’?

Recuerda

Dos líneas o segmentos son perpen-diculares si forman ángulos rectos.

A A’

B B’

C C’

A A’

B B’

C C’

A A’

B B’

C C’

A A’

B B’

C C’


Cada uno mide 90º

Los lados correspondientes miden lo mismo

Igual

Igual

Igual

Valoración del desempeño• Reconoce los ejes de simetría en una figura geométrica.

Otros recursosEn la siguiente página de Internet encontrará más ejemplos de simetrías: http://html.rincondelvago.com/transformaciones-geometricas.html

52

52

L e c c i ó n 1 9

Simetría II1 Dibuja la reflexión de cada figura respecto del eje.

a)

b)

c) d)


Sugerencias didácticasPara que el alumno comprenda el concepto de simetría, se le pide que en diversas formas, encuentre los ejes de simetría, por ejemplo, podría observar entre sus compañeros, entre el mobiliario del aula, y otros objetos que lo rodeen, que la simetría es algo que se manifiesta con mucha frecuencia, puede doblar una hoja de papel y con una pluma marcar una figura en una de las caras del papel, y observar cómo la figura que se traspasó es simétrica a la original.

Para facilitar que el alumno distinga entre rectas paralelas y perpendiculares, puede mencionarse que en un plano, dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas.

Valoración del desempeño• Reconoce los ejes de simetría en una figura geométrica.• Determina dado el eje la simetría.• Dada una simetría determina cuál es el eje de ésta.• Determina cuándo un conjunto de rectas son paralelas y cuándo son

perpendiculares.

53

Paralelas PerpendicularesParalelas PerpendicularesParalelas PerpendicularesParalelas Perpendiculares

53

2 Traza el eje de simetría de las parejas de figuras simétricas que siguen.

a) b)

c) d)

3 Observa las figuras simétricas y completa las expresiones con las palabras paralelos o perpendiculares.

a) AD y BC son e) EI y EF son

b) A’D’ y B’C’ son f) E’I’ y E’F’ son

c) AB y CD son g) EI y HI son

d) A’B’ y C’D’ son h) E’I’ y H’I’ son

4 ¿Qué relación se podrá establecer entre los tres símbolos de la página 11?


Observa

AD significa “el segmento AD”.

Si un par de segmentos son paralelos, sus reflejos respecto de un eje también lo son. Si un par de segmentos son perpendiculares, sus reflejos respecto de un eje también lo son.

A A’

D’

C’

B’

D

C

B

E I

F

G

H

I’ E’

H’

G’

F’



Para más datos respecto a resultados de rectas paralelas y perpendiculares, puede consultar la siguiente dirección electrónica: http://www.escolar.com/avanzado/geometria008.htm

54

54

L e c c i ó n 2 0

Simetría III

1 En cada caso, traza la reflexión respecto del eje. Observa el ejemplo.

a) b)

c) d)

2 Reúnete con dos o tres compañeros y comenten cómo resolvieron la actividad anterior. Redacten en sus cuadernos el procedimiento que consideren más sencillo para localizar puntos simétricos respecto de un eje.

Recuerda

Con la ayuda de una escuadra es posible trazar una línea perpendicular a otra que pase por un punto dado.

a) Se identifican los lados de la escuadra que forman un ángulo recto.

b) De los lados de la escuadra que forman ángulo recto, uno se coloca sobre la línea y el otro sobre el punto. Se traza la perpendicular.

A

A’ P

M E


Sugerencias didácticasAdemás de reconocer las simetrías en una figura geométrica, este tema también se presta para que el alumno practique sus trazos, debe trazar utilizando escuadras rectas perpendiculares y paralelas, en este caso, el alumno debe comprender la simetría puntual, es decir, punto por punto, puede pedírsele que con un espejo en el eje de simetría verifique si sus trazos fueron correctos, respecto a éste. Pregunte al alumno, cuántos ejes de simetría tienen distintas figuras geométricas, por ejemplo, ¿cuántos ejes de simetría tiene una circunferencia? La respuesta es: una infinidad, uno por cada par de puntos diametralmente opuestos en la circunferencia.

Se recomienda mencionar al alumno que el trazado de perpendiculares se efectúa de las siguientes formas:• Con escuadra, por un punto perteneciente a la recta o exterior a la

misma.• Con compás, por un punto perteneciente a la recta o exterior a la

misma.

Valoración del desempeño• Reconoce los ejes de simetría en una figura geométrica.• Traza rectas paralelas y perpendiculares.

55

55

3 Traza la reflexión de las figuras respecto del eje.

a) b)

c) d)

4 Traza el eje de simetría de cada pareja de figuras.

a) b)


Para encontrar la reflexión de una figura, debe verificarse que para cada pare-ja de puntos simétricos la distancia al eje de simetría sea la misma y que el segmento que los une sea perpendicular al eje de simetría.

A

C

B

A

D

C

B

A

D

C

B

A

BD

C



56


56

La altura de la pirámide

Tales fue uno de los siete sabios de Grecia. Nació en Mileto (hoy Turquía) alrededor del año 624 a.n.e. y murió en el mismo lugar alrededor del año 547 a.n.e. Se hizo

famoso por predecir un eclipse de Sol el 28 de mayo de 585 a.n.e.

De Tales de Mileto se cuentan muchas historias y anécdotas. Por ejemplo:

Se dice que tuvo que soportar las burlas de quienes pensaban que tantas horas de estudio e investigación no servían para nada por-que a pesar de ser sabio no era rico, así que decidió sacar provecho

de sus conocimientos. Debido a sus observaciones meteorológicas, pudo saber que la cosecha de aceitunas sería muy buena, así que al-

quiló todas las prensas de aceitunas que había en la región. Los agri-cultores tuvieron que rentar a Tales todas las prensas y éste amasó una gran fortuna en sólo un año. Así, pudo dedicar-se con más empeño a sus investigaciones y nadie volvió a mofarse de él.

Cuentan que una vez Tales cayó en un hoyo por caminar distraído mirando al cielo. Su sirvienta le dijo: “¿Cómo espera entender el cielo si no ve lo que está a sus pies?”.

Viajó mucho. Visitó Egipto hacia el año 600 a.n.e., cuando las pirámides habían cumpli-do 2 000 años de haber sido construidas. El faraón, conociendo la fama del sabio griego, lo llamó para pedirle que determinara la altura de la gran pirámide de Kéops.

Tales apoyó una vara en el suelo y esperó. Cuando la sombra de la vara tuvo la misma longitud que ésta, pidió que midieran la sombra de la pirámide. El sabio griego deter-minó que en ese momento la longitud de la sombra de la pirámide también era igual que su altura.

Busto de Tales de Mileto

Pirámide de Kéops


Sugerencias didácticasDebe introducirse el concepto de triángulos semejantes y aprovechar este pequeño juego, para introducir el concepto de proporción directa, el alumno debe saber que dado un triángulo, si tomamos otro, tal que esté contenido en el primero (no inscrito, contenido) y que tenga uno de sus lados paralelo al lado correspondiente en el otro, entonces estos dos son semejantes. Esto quiere decir que conservan la proporción, es decir, que los lados correspondientes en los triángulos son proporcionales; estos conceptos se verán con profundidad más adelante, pero el ejercicio de las pirámides que se presenta en el libro es un buen primer acercamiento a estos nuevos conceptos.

Teorema de TalesSe sugiere mencionar el más prominente de los resultados del matemático y filósofo Tales de Mileto, ya que esto retomará conceptos ya vistos, como el de rectas paralelas y transversales y contribuirá a introducir la noción de proporcionalidad que será estudiada más adelante, el teorema matemático conocido como el teorema de Tales dice lo siguiente:

Si tres o más rectas paralelas son intersecadas cada una por dos transversales, los segmentos de las transversales determinados por las paralelas son proporcionales.

57

ESTRATEGIA

57

Otras versiones de la historia cuen-tan que Tales no tuvo necesidad de esperar a que la altura de la vara y su sombra fueran iguales, sino que, una vez conocida la longitud de la vara, solamente midió la longitud de su sombra y la de la de la sombra de la pirámide. Observa el dibujo:

Supón que Tales determinó las medi-das que se presentan enseguida:

Reúnete con un compañero o una compañera, observen el esquema anterior y con-testen las preguntas.

Supongan que la vara mide 1 m.

a) Si la longitud de la sombra de la vara es de 2 m, ¿qué relación hay entre la lon-

gitud de AB y la altura de la pirámide? b) Si la longitud de la sombra de la vara es de 3 m, ¿qué relación hay entre la lon-

gitud de AB y la altura de la pirámide? c) Si la longitud de la sombra de la vara es de medio metro, ¿qué relación hay entre

la longitud de AB y la altura de la pirámide?

Junto con tu compañero o compañera empleen el método de Tales para determinar las alturas aproximadas de postes, árboles, astas y otros objetos que se les ocurran.

1mA B220.5 m

1.5 m

Determina cuál es la altura de la gran pirámide.


AB mide .5 más veces que la altura

AB mide 3 veces más que la altura

AB mide 1 _

2 de la altura

Valoración del desempeño• El alumno deberá ser capaz de aplicar al problema de las pirámides,

una primera noción de proporcionalidad.

Otros recursosEn la siguiente página de Internet encontrará más sobre la historia del filósofo y matemático Tales de Mileto: http: //www.webdianoia.com/presocrat/tales.htm

58

2 4 8 10 12 14 16 18

58

L e c c i ó n 2 1

Proporcionalidad directa I1 Completa las tablas y contesta las preguntas.

a) Todas las bolsas de nueces pesan igual y tres bolsas de nueces pesan 6 kg.

Número de bolsas 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Peso en kilogramos 6

b) Con el chorro de agua de una llave pueden llenarse nueve cubetas en tres minutos.

Número de cubetas 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Minutos 3

i) Si determinado número de cubetas se llena en cierto tiempo, ¿cuántas cube-

tas se llenan en la tercera parte de ese tiempo?

¿Y qué pasa con el número de cubetas llenas si

sólo transcurre la mitad del tiempo?

En la actividad anterior el número de bolsas y el peso total de ellas están relaciona-dos. El peso total de las bolsas depende de su número. Si el número de bolsas au-menta o disminuye n veces, el peso total también aumenta o disminuye n veces.

i) Si el número de bolsas aumenta, ¿qué sucede con el peso total de las mismas?

ii) Si el número de bolsas aumenta al doble, ¿cómo cambia el peso total de

ellas?

iii) Si el número de bolsas disminuye a la mitad, ¿qué pasa con el peso total de

ellas?

iv) Observa que los pesos que anotaste en la tabla forman una sucesión. ¿Cómo

van cambiando los términos?

v) ¿Con qué operación puedes calcular cuánto pesan 27 bolsas?

vi) ¿Cómo se calcula cuánto pesan n bolsas?


Aumenta de dos en dos

El doble

Disminuye a la mitad

De dos en dos

27 × 2

2n

La tercera parte de cubetas

Son la mitad

1 _ 3

2 _ 3

1 4 _ 3

5 _ 3

2 7 _ 3

8 _ 3

Sugerencias didácticasEl alumno debe comenzar a comprender el concepto de proporcionalidad, se le pueden mostrar diversos ejemplos en los cuales se muestra cómo al aumentar (o disminuir) un valor, de forma constante, aumenta (o disminuye) otro, por ejemplo, si se adquiere un producto, el cual tiene un costo fijo, al mismo ritmo que aumenta (o disminuye) la cantidad del producto, aumentará (o disminuirá) el costo del mismo.

Se sugiere pedir al alumno que elabore ejemplos en los cuales los datos cambien en proporción directa, se proporciona el siguiente ejemplo.

Si cada día se ahorran 10 pesos, al cabo de dos días de ahorro, se habrán acumulado 20 pesos, y al cabo de seis días de ahorro, se habrán acumulado 60 pesos, es decir, a la misma velocidad que aumentan los días durante los cuales se ahorra, aumentará el dinero acumulado.

Valoración del desempeño• Si se tienen dos datos que tengan una relación directa, dado uno de

los dos datos, obtener el otro, utilizando la primera relación dada.

59

4 1 _ 3

× 3

59

ii) ¿Con qué operación puedes calcular cuántas cubetas se llenan en 412 minutos?

iii) ¿Cómo cambian los minutos que anotaste en la tabla? iv) ¿Cómo se calcula cuánto tiempo es necesario que transcurra para que se llenen

n cubetas?

c) Un robot de pilas recorrió 5 m en 30 s.

Metros recorridos 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Segundos 30

1.6. Identificar y resolver situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, utilizando de manera flexible diversos procedimientos.

Dos conjuntos de cantidades son directamente proporcionales si se relacionan de manera que, si una cantidad aumenta o disminuye n veces, la correspondien-te del otro conjunto también aumenta o disminuye n veces.

i) ¿Cómo cambian los segundos que anotaste en la tabla?

ii) Si el robot recorre a metros en b segundos, ¿cuántos metros reco-

rrerá en 2b segundos? iii) Si el robot recorre c metros en d segundos, ¿cuántos metros reco-

rrerá en d2 segundos? iv) ¿Con qué operación puedes calcular cuánto tarda el robot en reco-

rrer 126 m?

v) ¿Cómo se calcula cuánto tarda el robot en recorrer n metros?

En la actividad anterior el número de cubetas y el tiempo para llenarlas están relacionados. Si el número de cubetas aumenta n veces, el tiempo necesario para llenarlas también aumenta o disminuye n veces.


En tercios

n _ 3

6 12 18 24 36 42 48 54

De 6 en 6

2a metros

c _ 2

126 × 6

6n

Otros recursosEn la siguiente página de Internet, encontrará ejemplos de problemas en los que se aplica la proporción directa. http://www.conevyt.org.mx/cursos/enciclope/numeros.html#proporcionalidad

60

3 4 5 6 7 8 9 10 8 12 16 20 24 28 32 36 40 4 9 16 25 36 49 64 81 100

8 _ 2

= 4 12 _ 3

= 4 16 __ 4 = 4 20 _ 5

= 4 24 _ 6

= 4 28 _ 7 = 4 32 _

8 = 4 36 _

9 = 4 40 _

10 = 4

4 _ 2

= 2 9 _ 3

= 3 16 _ 4

= 4 25 _ 5

= 5 36 _ 6

= 6 49 _ 7 = 7 64 _

8 = 8 81 _

9 = 9 100 _

10 = 10

60

L e c c i ó n 2 2

1Figura 1

2Figura 2

3Figura 3

4Figura 4

5Figura 5

1Figura 1

24

68

10

2Figura 2

3Figura 3

4Figura 4

5Figura 5

Proporcionalidad directa II1 Observa la sucesión de cuadrados, completa la tabla y contesta las preguntas.

a) ¿El área y el lado del cuadrado son directamente proporcionales? ¿Por qué?

b) ¿El perímetro y el lado del cuadrado son directamente proporcionales?

¿Por qué? c) Si l denota el lado de un cuadrado y P su perímetro, ¿cuál es la fórmula que rela-

ciona ambas cantidades?

2 Observa la sucesión de rectángulos, completa la tabla y contesta las preguntas.

Figura 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Lado 1 2

Perímetro 4

Área 1

PerímetroLado

41 = 4

ÁreaLado

11 = 1


No

Porque Área _ Lado

da distintos resultados

Sí

Porque Perímetro _ Lado

= 4 siempre

P = 4 l

Sugerencias didácticasEl alumno debe comprender un poco más a fondo el concepto de proporcionalidad, ahora utilizando para esto, las razones, es decir, dos datos son directamente proporcionales. Al evaluarse éstos en el mismo número, se tiene que al obtener la razón entre ellos (es decir, al dividir uno entre el otro) siempre será la misma, sin importar el número en el cuál evaluemos ambos datos. Se puede realizar el mismo ejercicio de verificar que se conservan las proporciones entre el perímetro del cuadrado y la medida de sus lados, con otros polígonos regulares; por ejemplo, con un triángulo equilátero o con un pentágono regular.

Valoración del desempeño• Dados dos datos, el alumno determina si éstos son directamente

proporcionales o no.• Obtiene la constante de proporcionalidad.

61

3 4 5 6 7 8 9 4 6 8 10 12 14 16 18

2 2 2 2 2 2 2 2

12 18 24 30 36 42 48 54

8 18 32 50 72 98 128 162

12 _ 2

= 6 18 _ 3

= 6 24 _ 4

= 6 30 _ 5

= 6 36 _ 6

= 6 42 _ 7 = 6 48 _

8 = 6 54 _

9 = 6

8 _ 2

= 4 18 _ 3

= 6 18 _ 3

= 6 50 _ 5

= 10 72 _ 6

= 12 98 _ 7 = 14 128 _

8 = 16 162 _

9 = 8

61

a) ¿Cómo se calcula la altura de un rectángulo de la sucesión si se conoce la base?

b) ¿Las bases y las alturas de los rectángulos de la sucesión varían de forma directa-

mente proporcional? ¿Por qué? c) Si b es la base de un rectángulo de la sucesión y h es la altura, ¿cuál es la fórmula

que relaciona ambas cantidades? d) ¿El lado de la base y el perímetro varían de forma directamente proporcional?

¿Por qué? e) Si b es la base de un rectángulo de la sucesión y P su perímetro, ¿cuál es la fórmula

que relaciona ambas cantidades?

f) ¿El lado de la base y el área varían de forma directamente proporcional?

¿Por qué?

Si x y y representan cantidades de dos conjuntos directamente proporcionales, la fórmula que los relaciona es y = kx, donde k es un número constante llamado constante de proporcionalidad.

3 Reúnete con dos compañeros y busquen tres ejemplos de parejas de conjuntos que varían de manera directamente proporcional y tres parejas de conjuntos que no lo hagan. Propongan cómo identificar magnitudes directamente proporcionales.

4 Discute con dos compañeros o compañeras lo siguiente.

Expliquen cómo calcularían la altura de un árbol muy grande si pudieran medir la de un árbol cercano y mucho más pequeño. Planteen un ejemplo para exponerlo a los demás compañeros de clase.

1.6. Identificar y resolver situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, utilizando de manera flexible diversos procedimientos.

Figura 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Base 1 2

Altura 2

AlturaBase

2

Perímetro 6

Área 2

PerímetroBase

61 = 6

ÁreaBase

21 = 2

de nuevoel reto


Multiplicando la base por 2

Sí Porque Altura _ Base

= 2 siempre

h = 2 b

Sí Porque Perímetro _ Base

= 6, en todos los casos

P = 6b

NoPorque al dividir Área _

Base , el resultado varía

Otros recursosEn la siguiente página de Internet encontrará ejemplos de problemas en los que se aplica la proporción directa. http://www.conevyt.org.mx/cursos/enciclope/numeros.html#proporcionalidad

62

1.8 kg

5.4 kg

62

L e c c i ó n 2 3

Reparto proporcional1 Lee los problemas y contesta.

a) En su clase del taller de cocina, Andrea y Beatriz prepararon, cada una, un tarro de mermelada de fresa usando la misma receta y después juntaron el contenido de los dos tarros. Pusieron en una tabla la cantidad de fresa y azúcar que utilizaron.

Mermeladade Andrea

Mermeladade Beatriz

Mermeladasjuntas

Fresa (kg) 15 5 20

Azúcar (kg) 9 3 12

i) Si Andrea hubiera usado 3 kg de fresa, ¿cuánta azúcar habría necesitado?

ii) Si Beatriz hubiera usado 9 kg de fresa, ¿cuánta azúcar habría necesitado?

iii) ¿Cuánta azúcar empleó Andrea por cada kilogramo de fresa?

iv) ¿Cuánta azúcar empleó Beatriz por cada kilogramo de fresa? v) ¿La mezcla de mermelada guarda la misma proporción de azúcar y fresa que la que

emplearon Andrea y Beatriz? ¿Por qué?

b) Rita y Carmen hicieron equipo y prepararon arroz con leche. En la tabla se ven los ingredientes que utilizaron.

Arrozde Rita

Arrozde Carmen

Arrocesjuntos

Arroz (g) 300 120 420

Leche ( ) 3 112 41

2Azúcar (g) 400 200 600

i) Si Rita hubiera usado 100 g de arroz, ¿cuánta leche habría necesitado?

ii) Si Carmen hubiera usado 3 de leche, ¿cuánto arroz habría necesitado?

iii) ¿Rita y Carmen emplearon la misma receta? ¿Por qué?

Observa que, puesto que se usó la misma receta, la cantidad de fresa y azúcar en la mermelada de Andrea, en la de Beatriz y en la mezcla de ambas guardan la misma relación de proporcionalidad.


600 g

600 g

Sí

Porque ambas utilizan la misma proporción

1 L

240 g

No

Carmen utiliza menos leche y más azúcar

Sugerencias didácticasEl alumno debe comprender más a fondo el concepto de proporcionalidad, en esta ocasión se le muestran ejemplos de recetas de cocina en las que, aun cuando las cantidades no sean las mismas, las proporciones se conservan. Pueden formarse varios equipos entre los alumnos y preparar todos la misma receta, pero cada equipo preparará la cantidad para un distinto número de personas, cada equipo registrará los datos, al final deberán comparar los resultados y observar que aunque varía la cantidad de ingredientes, las proporciones son las mismas.

Se sugiere aplicar el siguiente problema.

SituaciónEl otro día acompañé a mi padre a comprar 2 kilos de naranjas en la frutería de la esquina. Le costaron $1. En los dos kilos entraron 12 naranjas. Mi madre me ha pedido hoy que vaya a la frutería a comprar más naranjas, pues ya se han terminado las que compramos el otro día. Pero quiere que compre 5 kilos de naranjas.

Pregunta¿Cuánto me costarán las naranjas?

Se aprecia ya, que existe una relación muy estrecha entre el peso de las naranjas y su precio: dos kilos de naranjas cuestan $1. El doble de naranjas cuestan el doble, $2, el triple de naranjas cuestan el triple, $3; un kilo cuesta la mitad, $0.50. Y así sucesivamente. Diremos que esas dos magnitudes, los kilos de naranjas y su precio son proporcionales. Se observa que el cociente entre el precio de las naranjas y su peso es siempre constante, igual a 0.5.

63

3 _ 4

6 _ 4

6 12

63

2 Lee el problema y completa la tabla.

En el taller de cocina, Cecilia y Azucena hicieron equipo y prepararon natilla usando la misma receta. Después mezclaron sus postres.

Natilla de Cecilia

Natilla de Azucena

Natillas juntas

Yemas de huevo 4 8 12

Azúcar (tazas) 94

Leche (tazas) 18

Cucharadas de esencia de vainilla 1 2 3

3 Reúnete con dos o tres compañeras o compañeros y discutan las siguientes preguntas. Escuchen las propuestas de los demás y justifiquen sus argumentos. Una vez que lleguen a un acuerdo, contesten.

Tres amigos, Lidia, Rosario y Alfredo, obtuvieron un premio de $2 000.00 en un sor-teo. Si Lidia aportó $4.00 para comprar el boleto; Rosario, $5.00 y Alfredo, $1.00,

a) ¿quién de los tres debe recibir más dinero del premio?

¿Por qué?

b) ¿Cómo deben repartirse el premio? c) Propongan una manera de repartir el premio tomando en cuenta lo que aportó cada

uno para comprar el boleto. Indiquen en sus cuadernos por qué creen que el repar-to que proponen es justo.

Lidia: $ Rosario: $ Alfredo: $

4 Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno.

a) Patricia y Carlos compraron 3 y 5 entradas para un concierto, respectivamente. Si les costaron $ 1 200.00, ¿cuánto debe pagar cada uno?

b) La pólvora esta compuesta de 75 partes de salitre, 12.5 de carbón y 12.5 de azufre. ¿Qué peso de cada componente se requiere para obtener 790 kilogramos de pólvora?

5 Vuelve a leer el inciso b) de la página 11, respóndelo si no lo habías hecho, o reconsidera tu respuesta original.

1.7. Elaborar y utilizar procedimientos para resolver problemas de reparto proporcional.

En el problema anterior, un reparto justo puede hacerse entregando una cantidad que guarde una relación proporcional con lo aportado por cada uno.


Rosario

Porque fue quien más aportó

Rosario 1 _ 2

, Alfredo 1 _ 10

, Lidia 4 _ 10

800 1000 200

Patricia $450, Carlos $750592.5 kg salitre98.75 kg carbón98.75 kg azufre

Valoración del desempeño• Determina en el total, dada una proporción, el valor de cada uno de

los datos.

Otros recursosEn la siguiente página de Internet encontrará ejemplos de problemas en los que se aplica la proporción directa. http://www.conevyt.org.mx/cursos/enciclope/numeros.html#proporcionalidad

64

6

64

L e c c i ó n 2 4

Problemas de conteo I1 Dibuja los banderines que faltan y contesta.

Un equipo de futbol quiere diseñar su banderín. El banderín debe tener tres franjas con los colores del equipo: rojo, verde y amarillo. ¿Cuántos banderines distintos se pueden hacer? Observa que el orden de los colores sí importa.

Se pueden hacer banderines.

a) ¿Cuántos colores pueden elegir para la primera franja? b) Si ya se eligió el rojo para la primera franja, ¿qué colores se pueden elegir para la

segunda franja? c) Si ya se eligió el rojo para la primera franja y el verde para la segunda, ¿qué opcio-

nes de color quedan para la tercera franja?

2 Completa el siguiente diagrama de árbol y contesta.

Primera franja Segunda franja Tercera franja

a) ¿Con qué operación podrías calcular cuántos posibles banderines pueden elaborarse?


3

2

1

r a r a v

A r

A

A r v

A v A v r

v r v r A

vv A v A r

3 × 2 × 1

Sugerencias didácticasEn este tema se introducen herramientas de conteo, ahora el alumno puede calcular la distintas posibilidades de organizar determinados conjuntos, un ejercicio que se sugiere es pedir que, dadas las bancas del salón y el número de alumnos, digan de cuántas formas podrían acomodarse si se cuenta con el mismo número de alumnos que de bancas, de cuántas formas, si es que quitamos algunas bancas y sobran alumnos, y de cuántas otras si algunos alumnos salieran al patio y entonces, tuviéramos más bancas que alumnos, sería recomendable enseñar al alumno a calcular el factorial de un número, es decir, n n n n!= −( ) −( )1 2 1 .

Se sugiere el siguiente ejemplo, en adición a los ejercicios propuestos en el libro:

Ejemplo (permutaciones sin repetición)Con las letras de la palabra DISCO, ¿cuántas palabras distintas se pueden formar?

Evidentemente, al tratarse de palabras el orden importa. Y además n = m, es decir tenemos que formar palabras de cinco letras con cinco elementos D, I, S, C, O que no están repetidos. Por tanto, se pueden formar 120 palabras: P5 5 5 4 3 2 1 120= = × × × × =!

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b) Si en lugar de tres colores pudieran usar cuatro, pero sin repetir ninguno, ¿cuántos

banderines de tres franjas podrían hacer?

Un diagrama de árbol es un esquema que permite organizar datos para contar-los con facilidad.

3 Resuelve los problemas. Después compara tus resultados con los del resto del grupo.

a) Unos alumnos quieren vender camisetas para recaudar fondos para una excursión. Tie-nen camisetas de tres tamaños, chi-ca, mediana y grande (Ch, M y G); de dos colores, rojo y verde (r y v); y con dos adornos distintos, una Luna y un Sol (L y S). ¿Cuántas cami-setas diferentes tienen?

Tienen camisetas diferentes.

i) ¿Con qué operación puedes calcular cuántas camisetas diferentes se tienen?

ii) Si además piensan que las camisetas pueden ser de manga corta y de manga larga,

¿cuántas camisetas distintas habría?

b) Alberto y Benito son dos jugadores de ajedrez que se enfren-tan en una competencia. Los partidos empatados no cuentan y ganará la competencia quien derrote a su oponente dos veces seguidas o un total de tres veces. ¿De cuántas maneras puede terminar la competencia? Para resolver el problema puedes hacer en tu cuaderno un diagrama de árbol como el siguiente.

A gana Alberto B gana Benito

A A B

B A

B

1.8. Resolver problemas de conteo utilizando diversos recursos como diagramas de árbol y otros procedimientos personales.


4 × 3 × 2 × 1 = 24

12

3 × 2 × 2

24

8 maneras distintas

Valoración del desempeño• Calcula permutaciones que impliquen conjuntos de pocos

elementos.• Calcula combinaciones de conjuntos con pocos elementos.

Otros recursosPara más información y ejemplos de permutaciones y combinaciones, consulte la siguiente liga: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/combinatoria_jjce/combinatoria_2.htm

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1 1 2 2 2 3 3 4

2 3 2 1 3 1 2 1

3 2 2 3 1 2 1 1

6 6 6 6 6 6 6 6

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L e c c i ó n 2 5

Problemas de conteo II1 Completa la tabla y contesta.

Tres amigos: David, de 10 años, Sergio, de 5, y Arturo, de 15, quieren repartirse seis canicas de manera que a cada uno le toque por lo menos una. ¿De cuántas maneras pue-den hacerlo?

Pueden repartirse las canicas de maneras distintas.

¿Cuál de los repartos es proporcional a las edades de los tres amigos?

2 Lee el problema y haz lo que se pide.

Cinco pueblos (A, B, C, D y E) se quieren comunicar de forma que todos los pueblos queden unidos por una carretera.

a) Dibuja las carreteras que se deben construir y contesta.

¿Cuántas carreteras se deben construir?

David 1 1Sergio 1 4Arturo 4 1Total 6 6

A

B

D

C

E


10

David 2, Sergio 1 y Arturo 3

52 = 25 carreteras

Sugerencias didácticasEn este tema seguimos practicando el conteo, ahora se introducen dos nuevos métodos, que son bastante útiles para facilitar el conteo de las posibilidades o de los objetos de un conjunto, hacer gráficas donde cada uno de los objetos sea representado por un vértice y cada combinación entre éstos, sea representada por una arista.

Se sugiere el siguiente ejemplo:

Ejemplo (regla de multiplicar)¿Cuántos números pares de tres cifras se pueden formar usando las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6, si éstas pueden repetirse?

Al formar un número par de tres cifras, A1A2A3, con ayuda de las cifras dadas, en vez de A1 puede tomarse una cifra cualquiera, salvo el 0, es decir 6 posibilidades. En vez de A2 pueden tomarse cualquier cifra, es decir 7 posibilidades, y en vez de A3 cualquiera de las cifras 0, 2, 4, 6, es decir, 4 posibilidades. De este modo, conforme a la “Regla de multiplicar” existen 6·7·4 = 168 procedimientos.

Así pues, con las cifras dadas pueden formarse 168 números pares de tres cifras.

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b) Observa que cada carretera puede simbolizarse con una pareja de letras. Por ejem-plo AB o DE. Completa la tabla con las carreteras que se deben construir y contesta. Tacha o no escribas las carreteras repetidas.

A B C D E A

B

C

D

E

¿Cuántas carreteras se deben construir?

c) Comprueba si obtuviste el mismo resultado en los incisos a) y b). De no ser así, revisa tus procedimientos y corrígelos.

d) Escribe cuántas carreteras deben construirse si en lugar de cinco pueblos fueran seis.

Deben construirse carreteras.

Para resolver problemas en los que se debe contar, podemos auxiliarnos de diagra-mas, tablas o esquemas, o realizar operaciones aritméticas.

3 Resuelve los siguientes problemas. Si necesitas elaborar tablas, esquemas o diagramas, hazlo en tu cuaderno.

a) Un grupo de seis personas, que se citaron para salir juntas, se saludaron al verse todas. ¿Cuántos saludos se intercambiaron?

Se intercambiaron saludos.

b) ¿De cuántas maneras pueden repartirse tres premios entre Juan, Pedro, María, Ali-cia y Pilar de modo que ninguno de ellos obtenga dos premios?

Se pueden repartir de maneras.

c) Una habitación tiene tres puertas. ¿De cuántas maneras es posible entrar por una puerta y salir por otra distinta?

Es posible de maneras.

d) Una habitación tiene cuatro puertas. ¿De cuántas maneras es posible entrar por una puerta y salir por otra distinta?

Es posible de maneras.

1.8. Resolver problemas de conteo utilizando diversos recursos como diagramas de árbol y otros procedimientos personales.

Observa

La carretera BA es lo mismo que la carretera AB.

AB AC


AD AEBA BC BD BECA CB CD CEDA DB DC DEEA EB EC ED

10

36

15

10

6

12

Valoración del desempeño• Calcula permutaciones.• Calcula combinaciones de conjuntos sencillos.

Otros recursosPara más información y ejemplos de permutaciones y combinaciones puede consultar la siguiente liga: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/combinatoria_jjce/combinatoria_2.htm

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T I CEl sistema binario en la calculadora científica

Los circuitos de las computadoras utilizan el sistema binario de numeración. El sistema decimal que usamos en la vida diaria emplea 10 símbolos. El binario, cuya base es 2, sólo requiere de dos símbolos: 1 y 0. Estas cifras pueden adaptarse perfectamente a los dos estados que pueden presentar los componentes electrónicos: prendido y apagado.

A continuación veremos cómo escribir números en sistema binario usando la calcula-dora del sistema operativo Windows.

En el menú de Inicio elige Inicio>Todos los programas>Accesorios>Calculadora

En el menú de la calculadora escoge Ver>Científica

Escribe cualquier número y después escoge Ver>Binario o presiona la tecla F8. El número que tecleaste en el paso anterior, ahora aparecerá escrito en sistema binario.

Para regresar al sistema decimal puedes presionar F6 o escoger Ver>Decimal

Prueba en la calculadora cómo se escriben algunos números en sistema binario. Anota a continuación cuáles son las reglas y principios de este sistema de numeración.

Observa que con la calculadora también puedes expresar números en sistema octal o hexa-decimal. Reúnete con un compañero o compañera y juntos exploren cuáles son las bases de estos sistemas y qué símbolos emplean. Anoten sus conclusiones en sus cuadernos.


Cuando ya se ha usado el cero en una posición, el siguiente número será el mismo

terminando en 1 para el siguiente el 1 pasa al lado izquierdo aumentando un cero

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R e c r e a c i ó n

En el siguiente espacio puedes hacer lo que desees: un dibujo, una serie con figuras geométricas, un problema interesante, un cuento, un acertijo, una gráfica original, un juego…

La única condición es que emplees los conocimientos que adquiriste en este bloque. A continuación te damos algunas sugerencias:

Un sistema de numeración. Un juego en el que se deban comparar fracciones para ganar. Un cuento en el que los personajes sean figuras simétricas. Una serie de figuras con muchos colores. Un acertijo en el que se deban contar cosas para resolverlo.


Documents

Libro Matematicas 1 Parte