Libro Matematicas 1

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Secundaria 1 Matemáticas11Luis Briseño, Guadalupe Carrasco, Pilar Martínez,

Óscar Palmas, Francisco Struck, Julieta Verdugo

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Matemáticas1

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El libro Matemáticas 1 es una obra colectiva, creada y diseñada en el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana,

con la dirección de Clemente Merodio López.

Luis Briseño, Guadalupe Carrasco, Pilar Martínez,Óscar Palmas , Francisco Struck, Julieta Verdugo

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Luis Briseño AguirreGuadalupe Carrasco LiceaMaría del Pilar Martínez TéllezÓscar Alfredo Palmas VelascoFrancisco Struck ChávezJulieta del Carmen Verdugo Díaz

D. R. © 2006 por EDITORIAL SANTILLANA, S. A. DE C. V.Av. Universidad 76703100, México, D. F.

ISBN: 978-970-29-1975-9Primera edición: julio, 2006Primera reimpresión: marzo, 2007Segunda reimpresión corregida: abril, 2007Tercera reimpresión corregida: septiembre, 2007Cuarta reimpresión corregida: marzo, 2008

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 802

Impreso en México

El libro Matemáticas 1 fue elaborado en Editorial Santillana por el siguiente equipo:

Edición: Pablo Ávalos Quintero y Guillermo TrujanoCoordinación editorial: Roxana Martín-Lunas RodríguezRevisión técnica: Demetrio Garmendia GuerreroCorrección de estilo: Pablo Ávalos Quintero y Eduardo Mendoza TelloDiseño de portada: José Francisco Ibarra MezaIlustraciones de personajes de portada: Teresa MartínezDiseño de interiores: Carlos Vela TurcottCoordinación de Diseño e iconografía: José Francisco Ibarra MezaIlustraciones: René Sedano Hernández, Ricardo Ríos Delgado, Carlos Vela Turcott, autores y Teresa MartínezFotografía: Rocío Echavarrí Rentería, Gustavo Guevara León, Juan Miguel Bucio Trejo, Corel Stock Photo y Archivo SantillanaDiagramación: Héctor Ovando Jarquín, Mabel Totolhua Hernández y Alicia Prado Juárez

Editora en Jefe de Secundaria: Roxana Martín-Lunas RodríguezGerencia de Investigación y Desarrollo: Armando Sánchez MartínezGerencia de Procesos Editoriales: Laura Milena Valencia EscobarGerencia de Diseño: Mauricio Gómez Morin FuentesCoordinación de Arte y Diseño: José Francisco Ibarra MezaDigitalización de imágenes: María Eugenia Guevara Sánchez, Gerardo Hernández Ortiz y José Perales NeriaFotomecánica electrónica: Gabriel Miranda Barrón, Benito Sayago Luna y Manuel Zea Atenco

La presentación y disposición en conjunto de cada página de Matemáticas 1 son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor.

>Presentación

Paul Halmos, reconocido matemático del siglo pasado, escribió:

“... la mejor forma de aprender es hacer”.

En completo acuerdo con esta idea, decidimos elaborar este libro. Matemáticas 1 propone a los estudiantes de primer grado de secundaria actividades que los pueden conducir, paso a paso, al descubrimiento de los conocimientos en esta materia, pero sobre todo, a darse cuenta de que las Matemáticas son mucho más que aprender fórmulas y resolver operaciones, mucho más que números y signos.

No hemos querido dar recetas; aspiramos a que los educandos se enfrenten con situaciones que los hagan pensar, buscar caminos, aventurar conjeturas, proponer soluciones, confrontar sus propuestas con las de sus compañeros y compañeras, argumentar ideas, distinguir los razonamientos correctos de los erróneos y convencerse, por sí mismos, de los resultados.

Este libro, por tanto, posee una estructura que parte de problemas y va dando sugerencias, en forma de preguntas, para llegar a la solución. Sólo hasta el final de la actividad se presenta una formalización de los conceptos que los estudiantes deben haber descubierto.

Por otro lado, así como un árbol tiene ramas, pero un montón de ramas no forman un árbol, tampoco la Matemática es un conglomerado de conocimientos aislados. Por eso no hemos hecho la división tradicional en

Aritmética, Geometría, Álgebra, Estadística, Probabilidad, etcétera, sino que la hemos tratado como una unidad.

En resumen, queremos convencer a los estudiantes de que la Matemática, lejos de ser una materia aburrida e inútil, es indispensable en la formación del ser humano, no sólo por su utilidad práctica sino porque nos enseña a razonar en forma ordenada y sistemática, nos permite abordar, plantear y resolver problemas, además de desarrollar nuestra capacidad de análisis. También despierta la creatividad y ayuda en el desarrollo de las cualidades de los seres humanos, como entes pensantes, creadores y transformadores.

Presentación 3

> estructura de tu libroLos contenidos de esta obra están organizados en cinco bloques, distribución que responde a las cinco evaluaciones bimestrales de tu año escolar, por lo que la información al interior de cada bloque está dosificada.

Éstas son las páginas modelo que encontrarás a lo largo de tu libro:Para iniciar, conocerás el Contenido y enseguida las páginas de:

enlace

Antes de iniciar el primer bloque, verás una serie de actividades para que confirmes las habilidades que desarrollaste en la primaria y que serán muy útiles para enlazar y trabajar Matemáticas en la secundaria.

bloques

Con una imagen grande y atractiva y Lo que aprenderás en este bloque, expone en forma resumida las nuevas destrezas y habilidades que desarrollarás de acuerdo con cada uno de los tres ejes temáticos (ideas centrales para organizar el pensamiento matemático) que son: Sentido numérico y pensamiento algebraico, Forma, espacio y medida y Manejo de la información. En cada bloque se busca relacionar transversalmente los temas del programa a través de estos ejes, rescatando a la Matemática como una unidad y no como una materia fragmentada.

Para comenzar

En cada lección encontrarás lo que necesitas recordar, así como los temas que incluirá esa lección y sabrás también de cuántas partes consta, pues utilizamos un elemento geométrico para indicártelo. Por ejemplo el icono representa tres de cinco partes. Cada lección puede tener de tres a siete partes. Cada parte consta de una a tres páginas; se indica el número de lección por bloque y el texto con el que empezarás a estudiar inicia con este símbolo .

lecciones

En cada lección aprenderás Matemáticas a través de ideas claras y concisas, con preguntas e ilustraciones. Cada lección cuenta con espacios para escribir respuestas o comentarios y sugerencias para trabajar en tu cuaderno. Cuando se considera pertinente se incluyen, en color azul, los conceptos e ideas claves. Cuando un término dentro del texto aparece en cursivas, su significado se encuentra en el glosario, el cual se localiza en la página 362.

Aplicación En algunas lecciones encontrarás una aplicación que se ha resaltado por su utilidad o importancia, además de las diversas aplicaciones que vienen en el desarrollo de las lecciones.

¿Te has preguntado cómo contaban en la antigüedad? Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guijarros, marcas en huesos, nudos en una cuerda y algunas otras formas. Pero seguramente, al tornarse más comple-jas las sociedades, fue necesario representar cantidades cada vez más grandes y estos métodos resultaron insuficientes. Por esta razón, surgió la idea de usar símbolos que representaran cantidades. Así nacieron distintos sistemas de nu-meración formados por varios símbolos y ciertas reglas para usar esos símbo-los al escribir cantidades.

En un libro de historia de las matemáticas, Carla encontró la siguiente tabla con algunos números egipcios y su equivalente en sistema decimal:

Analiza la tabla anterior y escribe en sistema decimal la cantidad que repre-senta cada uno de los siguientes símbolos egipcios.

¿Los símbolos egipcios representan potencias de algún nú-mero? Explica tu respuesta.

Escribe en sistema egipcio el año en que naciste.

Al escribir el número 728 000 en sistema egipcio,

¿cuántas veces se repite el símbolo que representa 100 000?

¿Cuántas veces debes escribir el símbolo que representa10 000?

¿Y el símbolo que representa 1000?

necesitas recordar:

1. Cómo se escriben los números en el sistema decimal.2. Qué valor tiene cada cifra de un número escrito en sistema decimal.3. Cómo se leen números escritos en sistema decimal.4. Cómo se suman, se restan y se multiplican números escritos en sistema

decimal.

• la identificación de las propiedades del sistema de numeración decimal, contrastándolas con las de otros sistemas numéricos posicionales y no posi-cionales.

PARA COMENZAR el estudio de las matemáticas del primer grado de secundaria necesitarás recordar o reapren-der, en su caso, los conocimientos que recibiste anteriormente. Como su nombre lo indica, esta parte es un enlace en-tre los conocimientos y habilidades que adquiriste en la escuela primaria con las nuevas y emocionantes que aprenderás en la secundaria.

Aquí desarrollarás una serie de actividades que, con la guía de tu maestra o maestro, encontrarás entretenidas e in-teresantes.

Disfruta este entremés matemático como preámbulo al desarrollo de los bloques y lecciones del primer nivel de la escuela secundaria.

1. Sobre una cartulina reproduce las re-gletas de la siguiente figura, respetan-do los colores y las medidas. El dibujo está hecho a escala. Usa tus escuadras para trazar las paralelas y las perpen-diculares y tu regla graduada para ha-cer las divisiones:

¿Cuántas regletas lilas necesitas para formar una regleta naranja? ¿Cuántas verdes? ¿Cuántas regletas de color café necesitas para formar una regleta naran-ja? Compara de esta manera todas las regletas con la naranja y escribe tus respuestas en tu cuaderno.

1 regleta lila representa 12

de una regleta naranja.

1 regleta verde representa 13 de una regleta naranja.

¿Qué fracción de la regleta naranja representan las demás regletas? Escribe tus respuestas en tu cuaderno.

Como 2 regletas azules miden lo mismo que 4 regletas color café, entonces 24 =

48 .

Escribe, mediante una igualdad de fracciones, las siguientes relaciones:

2 regletas verdes miden lo mismo que 6 regletas amarillas; 1 regleta blanca mide lo mismo que 2 regletas rojas.

Busca con tus regletas todas las relaciones de este tipo que puedas encontrar y represéntalas mediante una igualdad de fracciones.

Representa mediante una igualdad de fracciones las siguientes relaciones:

1 regleta blanca junto con 4 regletas rojas miden lo mismo que 3 regletas blancas; 2 regletas verdes junto con 1 re-gleta morada miden lo mismo que 5 regletas moradas; 1 regleta azul junto con 3 regletas color café miden lo mismo que 5 regletas color café; si a 2 regletas verdes les quitamos 2 regletas amarillas nos quedan 4 regletas amarillas.


2. Los siguientes 5 polígonos regulares están inscritos en una circunferencia de radio 1 cm, mide el lado de cada uno de ellos, calcula su perímetro y llena la siguiente tabla.

30 cm

“La entrada al conocimiento de todas las cosas exis-tentes y todos los oscuros secretos.”Esto es lo que se lee al inicio del texto de este docu-mento, llamado papiro de Rhind, escrito por Ahmes aproximadamente en el año 1650 antes de nuestra era.Este manuscrito egipcio es una de las pocas obras matemáticas de la antigüedad, conservadas hasta nuestros días. El papiro consta de varias tablas que contienen 87 problemas resueltos de Aritmética, prin-cipalmente fracciones, cálculo de áreas y volúmenes, progresiones, reparto proporcional, aplicación de la regla de tres, ecuaciones lineales y Trigonometría bá-sica. En la foto de la izquierda se muestran las partes correspondientes a los problemas 43 a 55. En la foto de la derecha se muestra el problema 62, que dice: "En una bolsa hay oro, plata y plomo en dis-tintas proporciones. Hay que dividir 84 en tres partes, proporcionales a 12, 6 y 3. ¿Cuáles son estas partes?". Este es un problema de reparto proporcional, que es uno de los temas que estudiarás en este bloque.

Matemáticas 14

La Constitución Política de los Estados Unidos Mexi-canos otorga a los Partidos Políticos con registro ante el Instituto Federal Electoral (IFE), el derecho a recibir financiamiento público para el sostenimiento de sus acti-vidades cotidianas; es decir, para los gastos de campaña, actividades de educación y capacitación política, investiga-ción o tareas editoriales. Este derecho está consagrado en la fracción II del Artículo 41 (Título Segundo, Capítulo I. De la Soberanía Nacional y de la Forma de Gobierno).

La reglamentación de la forma en que cada partido político ha de recibir estos recursos está plasmada en el numeral 7 del Artículo 49 del Código Federal de Institu-ciones y Procesos Electorales (Cofipe).

Para determinar el monto anual destinado a las acti-vidades de los partidos, el Consejo General del IFE cal-cula los costos mínimos para las campañas de diputados y senadores y para la campaña presidencial y la suma de estos montos es lo que se dividirá entre los partidos.

El 30% de este monto se entrega por partes iguales a cada uno de los partidos que tienen representantes en las cámaras de diputados y senadores.

El 70% restante se distribuye de manera proporcional a la cantidad de votos que obtuvo cada partido en la elec-ción inmediata anterior. Es decir, lo que le corresponda a cada partido de este 70%, dependerá del número de votos que cada uno haya obtenido.

En enero de 2005, el Instituto Federal Electoral (IFE) determinó que el monto anual para financiamiento a los partidos políticos con representación en las Cáma-ras del Congreso de la Unión sería de $1 953 655 351.92 (un mil novecientos cincuenta y tres millones seiscientos cincuenta y cinco mil trescientos cincuenta y un pesos 92/100 m.n.)

Atendiendo a la fracción V arriba citada, este monto se repartió en dos tantos: el 30% se distribuyó equitativa-mente entre los partidos y el 70% se distribuyó proporcio-nalmente.

Así, el monto que se distribuyó equitativamente fue:

1 953 655 351.92 × 0.30 = 586 096 605.58

que corresponde al 30% del monto total.

Si en 2005 había 7 partidos políticos con representa-ción en las cámaras, ello significa que cada uno recibió inicialmente la cantidad de:

586 096 605.58 ÷ 7 = $83 728 086.51

Junto a la llanta de atrás, la bicicleta tiene seis engranes y junto a los pedales tiene otros tres.

En algunos modelos, los engranes del pedal tienen 56, 48 y 40 dientes y los de la llanta trasera tienen 28, 24, 22, 20, 18 y 14 dientes.

La cadena de la bicicleta une un engrane del pedal con uno de la llanta de atrás y se puede cambiar la posición de la cadena para escoger cualquiera de los tres engranes delanteros y cualquiera de los seis traseros.

Para terminar

Aquí encontrarás una o dos páginas de actividades, con las que puedes poner a prueba tus habilidades y competencias matemáticas.

Torito La sección Para Terminar, finaliza con un problema que representa un reto y requiere ingenio para resolverlo, El Torito.

Para terminar el bloque encontrarás tres nuevas secciones:

Matemáticas

En la sección MatemáTICas pretendemos mostrar cómo la tecnología puede facilitar, de manera notable, la tarea de hacer Matemáticas. También queremos demostrar que las computadoras no piensan por nosotros, y que para sacarle jugo a esa herramienta tan valiosa debemos tener los conceptos claros, pues sólo así podremos darle instrucciones precisas para que realice el trabajo mecánico.

Punto de encuentro

Aquí se abordan problemas cuya solución requiere haber estudiado los temas del bloque o de bloques anteriores.

1. Copia en tu cuaderno la siguiente figura y refléjala respecto a la recta prolonga la recta si es necesario.

2. ¿Cuántos ejes de simetría tiene un triángulo equilá-tero? ¿Y un triángulo isósceles? ¿Un escaleno?

3. Construye figuras con los datos que se indican:

a) A y C son vértices de la figura y la recta es un eje de simetría.

b) Dos cuadrados cu-yos vértices sean puntos de la malla y que las rectas di-bujadas sean ejes de simetría.

c) Un rombo en el que los puntos A y B sean vértices y

que tenga a la recta como uno de sus ejes de sime-tría.

A

C

B

A

una nueva actitud

En esta sección mostramos que las Matemáticas se aplican a problemas de la vida cotidiana; esto es, que se utilizan para mejorar las condiciones de vida de la sociedad.

Estructura del libro 5

> contenidos

bloQue 1 14

lección 1 el sistema de la abuela y otros sistemasde numeración 17

Identificación de las propiedades del sistema de numeración decimal, contrastándolas con las de otros

sistemas numéricos posicionales y no posicionales lección 2 números y letras 31

Fórmulas geométricas en lenguaje natural. Sucesiones de números

lección 3 ¿Qué número es más grande? 43 Ubicación de fracciones y números decimales en la recta

numérica Comparación y orden de números fraccionarios y

números decimales mediante la búsqueda de expresiones equivalentes y la regla de los productos cruzados

lección 4 igual pero al revés 57 Construcción de figuras simétricas respecto a una recta

y el análisis de las propiedades que se conservan bajo la reflexión.

lección 5 agrandar y reducir 65 Identificación y resolución de situaciones de

proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, utilizando varios procedimientos

lección 6 ¿cuánto le toca a cada Quién? 73 Elaboración y uso de diversos procedimientos para resolver

problemas de reparto proporcionallección 7 cuenta cuántos 79

Distintas formas de contar empleando diversos recursos, como tablas y diagramas y la identificación de patrones

Matemáticas 84Punto de encuentro 86una nueva actitud 88

bloQue 2 90

lección 1 partiendo en dos 93 Las propiedades de la mediatriz de un segmento y de la

bisectriz de un ángulo para resolver diversos problemas geométricos

lección 2 tantos lados como Quieras 103 Construcción de polígonos regulares a partir de distintas

informaciones

• Significado y uso de los números Números naturales Números fraccionarios y decimales• Significado y uso de las literales Patrones y fórmulas

• Transformaciones Movimientos en el plano

• Análisis de la información Relaciones de proporcionalidad• Representación de la información Diagramas y tablas

sentido numérico y pensamiento algebraico

eJe

Forma, espacio y medida

manejo de la información

• Significado y uso de las operaciones

Problemas aditivos Problemas multiplicativos

sentido numéricoy pensamiento algebraico

eJe

6 Matemáticas 1

lección 3 sumando y restando 113 Resolución de problemas aditivos con números fraccionarios

y decimales en distintos contextos Uso de aproximaciones

lección 4 multiplicación de Fracciones y decimales 123 Multiplicación de números fraccionarios y de números

decimaleslección 5 partes de partes 135

División entre números fraccionarioslección 6 áreas y perímetros 143

Fórmulas de área y perímetro de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares

lección 7 más razones 155 Identificación y resolución de situaciones de

proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, utilizando procedimientos expertos

Interpretación del efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas


bloQue 3 168

lección 1 ¿Qué tanto es tantito? 171 El concepto de porcentaje, su cálculo y aplicaciones, así

como su expresión como una fracción o un número decimal La utilidad de la representación de la información mediante

gráficas de barras y circulares

lección 2 incógnitas y ecuaciones 183 Los problemas que impliquen el planteamiento y solución

de ecuaciones de la forma x + a = b Los problemas que impliquen el planteamiento y solución

de ecuaciones de la forma ax = b Los problemas que impliquen el planteamiento y solución

de ecuaciones de la forma ax + b = clección 3 proporciones y más proporciones 193

Problemas de tipo valor faltante Relación de proporcionalidad, valor unitario y regla de tres

• Formas geométricas Rectas y ángulos Figuras planas• Medida Justificación de fórmulas

• Análisis de la información Relaciones de proporcionalidad




Problemas multiplicativos• Significado y uso de las literales Ecuaciones

• Formas geométricas Figuras planas• Medida Estimar, medir y calcular


eJe


7Contenidos

lección 4 ¿se puede o no se puede? 201 La construcción de figuras geométricas a partir de ciertos

datos y la unicidad del resultado de dicha construcción La relación entre los elementos necesarios para calcular

perímetros y áreaslección 5 coleccionando datos 213

Análisis de datos Las nociones de frecuencia Frecuencia relativa Gráficas de barras, gráficas de discos y sus interpretaciones

lección 6 puede Que sí, puede Que no 229 Reconocimiento de las experiencias aleatorias Enumeración de los resultados posibles de una experiencia

aleatoria La probabilidad clásica y cómo se calcula Comparación de las probabilidades de ocurrencia de dos o

más eventos en una experiencia aleatoria


bloQue 4 248

lección 1 encontrar el lado 251 Las potencias de exponente natural de números naturales y

decimales. El cálculo de la raíz cuadrada Los problemas que implican la división de números naturales

lección 2 para adelante o para atrás 263 Planteamiento y resolución de problemas que implican la

utilización de números con signolección 3 alrededor del círculo 269

Determinación del número (pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro

Justificación y uso de la fórmula para el cálculo de la longitud de la circunferencia

Resolución de problemas que implican el cálculo del área y el perímetro del círculo

Construcción de círculos a partir de diferentes datos o que cumplan ciertas condiciones dadas

• Significado y uso de los números Números con signo• Significado y uso de las

operaciones Potenciación y radicación• Significado y uso de las literales Relación funcional

• Formas geométricas Figuras planas• Medida Justificación de fórmulas Estimar, medir y calcular


eJe


• Análisis de la información Relaciones de porpocionalidad Porcentajes• Representación de la información Diagramas y tablas Gráficas• Análisis de la información Noción de probabilidad


8 Matemáticas 1

lección 4 relaciones Funcionales 279 El análisis de cantidades relacionadas y su representación

mediante una tabla y una expresión algebraica Localización de puntos en el plano cartesiano La función de proporcionalidad directa: tablas, gráficas y

expresión algebraica


bloQue 5 298

lección 1 describiendo tendencias 301 Comparación entre dos o más conjuntos de datos referidos

a una misma situación o fenómeno a partir de sus medidas de tendencia central

lección 2 ¿más o menos? 311 Solución de problemas que implican la suma y resta de

números con signo

lección 3 sigamos con las medidas 323 Solución de problemas que implican el cálculo de áreas en

diversas figuras planas

lección 4 actividades de proporcionalidad 331 Relaciones de proporcionalidad Cálculo de valores faltantes en varias representaciones de

proporcionalidad directa

lección 5 proporcionalidad inversa 341 Introducción a las relaciones de proporcionalidad inversa a

través de problemas

lección 6 ¡a Jugar! 347 Equiprobabilidad por medio de varios juegos de azar

Matemáticas 356Punto de encuentro 358una nueva actitud 360Glosario 362bibliografía 364búsqueda de información en internet 366Programa de la asignatura 367

• Representación de la información Gráficas



Problemas aditivos• Significado y uso de las literales Relación funcional

• Medida Estimar, medir y calcular

• Análisis de la información Nociones de probabilidad Relaciones de proporcionalidad• Representación de la información Medidas de tendencia central y de dispersión


eJe



9Contenidos

10

> ¿Qué aprendiste de Matemáticas en la primaria?

> enlace

PARA COMENZAR el estudio de las matemáticas del primer grado de secundaria necesitarás recordar o reapren-der, en su caso, los conocimientos que recibiste anteriormente. Como su nombre lo indica, esta parte es un enlace entre los conocimientos y habilidades que adquiriste en la escuela primaria con lo nuevo que aprenderás en la secundaria.

Aquí desarrollarás una serie de actividades que, con la guía de tu maestra o maestro, te ayudarán a conseguir este objetivo.

actividades1. Sobre una cartulina reproduce las re-

gletas de la siguiente figura, respetan-do los colores y las medidas. El dibujo está hecho a escala. Usa tus escuadras para trazar las paralelas y las perpen-diculares y tu regla graduada para ha-cer las divisiones:

¿Cuántas regletas lilas necesitas para formar una regleta naranja? ¿Cuántas verdes? ¿Cuántas regletas de color café necesitas para formar una regleta naran-ja? Compara de esta manera todas las re-gletas con la naranja y escribe tus respuestas en tu cuaderno.

1 regleta lila representa 12

de una regleta naranja.

1 regleta verde representa 13 de una regleta naranja.

¿Qué fracción de la regleta naranja representan las demás regletas? Escribe tus respuestas en tu cuaderno.

30 cm

11

Escribe, mediante una igualdad de fracciones, las siguientes relaciones:

2 regletas verdes miden lo mismo que 6 regletas amarillas; 1 regleta blanca mide lo mismo que 2 regletas rojas.


Representa mediante una igualdad de fracciones las siguientes relaciones:

1 regleta blanca junto con 4 regletas rojas miden lo mismo que 3 regletas blancas; 2 regletas verdes junto con 1 re-gleta morada miden lo mismo que 5 regletas moradas; 1 regleta azul junto con 3 regletas color café miden lo mismo que 5 regletas color café; si a 2 regletas verdes les quitamos 2 regletas amarillas nos quedan 4 regletas amarillas.


2. Los siguientes 5 polígonos regulares están inscritos en una circunferencia de radio 1 cm, mide el lado de cada uno de ellos, calcula su perímetro y llena la siguiente tabla.

polígono triángulo cuadrado pentágono Hexágono octágono

Número de lados

Perímetro(en cm)

Enlace

12

> enlace

3. Calcula el área del siguiente triángulo midiendo la base y la altura. Para ello, traza una recta perpendicular a la base que pase por el vértice superior e identifica la altura. Mide cada uno de los ángulos del triángulo y obtén la suma de los tres ángulos.

Traza una recta paralela al lado mayor del triángulo que pase por el vértice opuesto a ese lado. Construye un trián-gulo isósceles que tenga la misma base que el triángulo anterior y el tercer vértice sobre la línea que trazaste, calcula su perímetro y su área. ¿Cómo son los perímetros y las áreas de los dos triángulos? ¿Cuál es mayor? Mide cada uno de los ángulos del triángulo isósceles que construiste y obtén la suma de los tres ángulos. ¿Hay alguna diferencia entre la suma de los tres ángulos del triángulo rojo y la suma de los tres ángulos del triángulo isósceles que construiste?, ¿cuál es?

4. Se tiene una ruleta con 6 hoyos numerados, perfectamente simétrica y bien balanceada. Se coloca una canica en la ruleta y se hace gi-rar. Al detenerse, la canica se deposita en alguno de los hoyos.

Compara las siguientes parejas de resultados y analiza cuál es más probable en cada caso:

a) Que la canica caiga en un número impar o en un par.b) Que la canica caiga en un número par o en un múl-

tiplo de 3.c) Que la canica caiga en un número impar o en un di-

visor de 6. Explica cada una de tus respuestas.

1

2

3

4

6

5

13Enlace

5. Si fueras a extraer una bola al azar de alguna de las siguientes urnas y ganaras en caso de que la bola extraída sea azul, ¿qué urna elegirías? Explica por qué.

6. Una maestra representó en una gráfica de barras las calificaciones de sus 36 alumnos en el exa-men final de Matemáticas. La gráfica quedó así:

Sólo 2 estudiantes obtuvieron 5 de calificación.a) ¿Cuál es la calificación más frecuente?

¿Cuántos estudiantes obtuvieron esa califi-cación?

b) Haz una tabla de frecuencias con los datos de la gráfica.

c) ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvo 10 de calificación?

d) ¿Qué porcentaje de estudiantes no aprobó el examen?

e) ¿Cuál es la calificación promedio del grupo?

5 6 7 8 9 10

Calificación

Núm

ero

de e

stud

iant

es

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Urna 1 Urna 2 Urna 3

>bloQue 1

14

15

identificar las propiedades del sistema de numeración decimal y contrastarlas con las de otros sistemas numéricos posicionales y no posicionales

Representar números fraccionarios y decima-les en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.

construir sucesiones de números a partir de una regla dada. Determinar expresiones generales que definen las reglas de sucesio-nes numéricas y figurativas.

explicar en lenguaje natural el significado de algunas fórmulas geométricas, interpre-tando las literales como números generales con los que es posible operar.

construir figuras simétricas respecto de un eje, analizarlas y explicitar las propieda-des que se conservan en figuras tales como: triángulos isósceles y equiláteros, rombos, cuadrados y rectángulos.

identificar y resolver situaciones de pro-porcionalidad directa del tipo “valor fal-tante” en diversos contextos, utilizando de manera flexible diversos procedimientos.

elaborar y utilizar procedimientos para re-solver problemas de reparto proporcional.

resolver problemas de conteo utilizando diversos recursos, tales como tablas, diagra-mas de árbol y otros procedimientos perso-nales.

sentido numérico y pensamiento algebraico

Forma, espacio y medida manejo de la información

eJeeJe eJe

> lo que aprenderás en este bloque

“La entrada al conocimiento de todas las cosas existen-tes y todos los oscuros secretos.”

Esto es lo que se lee al inicio del texto de este documen-to, llamado papiro de Rhind, escrito por Ahmes aproxi-madamente en el año 1 650 antes de nuestra era.

Este manuscrito egipcio es una de las pocas obras ma-temáticas de la antigüedad, conservadas hasta nuestros días. El papiro consta de varias tablas que contienen 87 problemas resueltos de Aritmética, principalmente fracciones, cálculo de áreas y volúmenes, progresiones, reparto proporcional, aplicación de la regla de tres, ecuaciones lineales y Trigonometría básica. En la foto de la izquierda se muestran las partes correspondientes a los problemas 43 a 55.

En la foto de la derecha se muestran los problemas 61 al 64. El problema 63 dice: “Repartir 700 hogazas de pan entre cuatro hombres en partes proporcionales a 3

2 , 21 , 3

1 y 14 ”. Éste es un problema de reparto proporcional, que es uno de los temas que estudiarás en este bloque.

16 Bloque 1

... necesitas recordar:

1. Cómo se escriben los números en el sistema decimal.2. Qué valor tiene cada cifra de un número escrito en sistema decimal.3. Cómo se leen números escritos en sistema decimal.4. Cómo se suman, se restan y se multiplican números escritos en sistema

decimal.

> en esta lección, abordarás el tema de:

• La identificación de las propiedades del sistema de numeración decimal, contrastándolas con las de otros sistemas numéricos posicionales y no posi-cionales.

>para coMenZar

17Lección 1 > El sistema de la abuela y otros sistemas de numeración

1> el sistema de la abuela y otros sistemas de numeración

>1º

Actividad colectiva

La abuela de Mónica tiene una tienda en un pequeño poblado. Desgracia-damente, la anciana no asistió a la escuela y no sabe escribir cantidades gran-des en el sistema decimal. A pesar de ello, lleva sus cuentas con todo cuidado. Observa los billetes y monedas que le pagan sus clientes y escribe, a su mane-ra, los precios de los productos que vende, usando sólo los símbolos 0, 1 y 2. En vacaciones, Mónica se ofreció a ayudarle, así que la abuela le mostró cómo anota lo que vende. Esto es lo que la abuela había escrito ese día.

Lo primero que Mónica tuvo que hacer es entender el sistema de su abuela para escribir cantidades. En las siguientes actividades, vamos a ayudarle en esta tarea.

Analiza el cuadro anterior con tus compañeros de equipo. Después, contes-ta lo siguiente.

¿Por qué crees que la abuela eligió los números 500, 200, 100, 50, 20, 10, 5, 2 y 1 para registrar sus ventas?

Cuando escribe un 2 en la columna encabezada por el número 2, ¿qué can-tidad representa?

Escribe en sistema decimal el precio de los siguientes productos que vendió la abuela en el día:

Un kilo de azúcar Una lata de chiles Tres refrescos grandes Dos bolsas de papas fritas Tres caramelos Tres paquetes de galletas

¿Cuánto dinero se reunió por las ventas anteriores?

500

200

100 50 20 10 5 2 1

Un kilo de azúcar 1 0 1 0

Una lata de chiles 2 0

Tres refrescos grandes 1 1 1 0 1

Dos bolsas de papas fritas 1 1 1

Tres caramelos 1 1

Tres paquetes de galletas 1 2 0

18 Bloque 1

Copia el siguiente cuadro y escribe la cantidad total de ventas en el sistema de la abuela.

Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Analiza si es posible escribir esa cantidad de distintas formas usando el sistema de la abuela. Explica tus conclusiones.

Ahora, en un cuadro igual al anterior, escribe en tu cuaderno la cantidad 126 de tres formas distintas en el sistema de la abuela.

¿Crees que hay alguna cantidad menor a 1 000 que no pueda escribirse en el sistema de la abuela? Explica tu respuesta.Anota en el cuadro tres cantidades distintas en el sistema de la abuela usando dos unos, un dos y un cero. Escribe el equivalente en el sistema decimal.

¿Es importante la posición que ocu-pan el 0, 1 y 2 al escribir cantidades en el sistema de la abuela? Explica tu respuesta.

Los sistemas de numeración en los que el valor de cada símbolo depende de la posición en que se coloque, se llaman sistemas posicionales.

Ahora compara el sistema de la abuela con el sistema decimal. En un cuadro como el siguiente, escribe en cada columna si el sistema correspondiente tie-ne o no cada una de las características indicadas.

características sistema de la abuela

sistema decimal

Cada cantidad sólo se puede escribir de una forma.

Es un sistema posicional.

Se puede representar cualquier cantidad menor o igual que 1 000.

Se puede representar cualquier cantidad mayor o igual que 1 000.

Discute con tus compañeros de equipo las ventajas y desventajas del sistema de la abuela para escribir cantidades. Anótenlas.

500 200 100 50 20 10 5 2 1

sistema de la abuela sistema decimal

10 5 2 1


Cuando Mónica platicó en su clase de Matemáticas la forma en que su abuela escribe cantidades, la maestra le planteó al grupo este reto: “¿Podrían expresar cualquier cantidad usando sólo los símbolos 0 y 1?” Varios estudiantes respondieron que no. La maestra insistió: “Imaginen que tienen varios palitos de paleta. ¿Qué símbolo usarían para representar uno solo?”Luis: Pues el 1.Maestra: Y ¿cómo representarían dos palitos?Carla: No hay un símbolo para esa cantidad.

Maestra: Entonces usen dos símbolos juntos que no comience con cero, por-que al igual que en nuestro sistema el cero a la izquierda es ocioso.

Pepe: ¡Ah! Entonces se puede usar 10 o bien 11.Maestra: Bueno, podemos usar esas dos parejas de símbolos para representar

las cantidades 2 y 3. ¿Cuál de ellas creen que debiera representar la can-tidad más pequeña?

Arturo: Pues en los números que usamos el 10 es más chico que el 11.Maestra: Entonces digamos que 10 representa dos palitos y 11 representa

tres palitos. Ahora veamos cómo representar cuatro palitos, ¿qué sím-bolos usarían?

Mónica: Ya no hay más posibilidades con dos símbolos juntosMaestra: Es verdad, pero pueden usar tres símbolos juntos.Mónica: Entonces creo que hay que usar el 100.En el grupo siguieron escribiendo cantidades usando solamente el 0 y el 1. La maestra escribió en el pizarrón una tabla como la siguiente:

nuevo sistema sistema decimal

1 1

1 0 2

1 1 3

1 0 0 4

1 0 1 5

1 1 0 6

1 1 1 7

8

9

10

Analiza con tu equipo la construcción de esta nueva numeración y escribe los números que faltan en la tabla anterior.

Este sistema de numeración que sólo usa ceros y unos para representar cantidades se llama sistema binario.

>2º

20 Bloque 1

Para poder determinar qué cantidad corresponde a un número escrito en el sistema binario, sin tener que escribir todos los números anteriores, es necesa-rio entender las reglas de esta forma de representar cantidades. Toma 15 pali-tos de paleta y varias ligas. Forma grupos como los siguientes:

Observa que el primer grupo está formado por un solo palito y el segun-do por dos palitos. El ter-cer grupo está formado por dos grupos de dos pa-litos; es decir, cuatro pa-litos. El cuarto, por dos

grupos de cuatro palitos, o sea, ocho palitos. Como habrás notado, cada colección está formada por dos grupos del tamaño anterior.

Usa los agrupamientos de palitos para formar cada una de las cantidades indi-cadas en el siguiente cuadro. Escribe cuántos agrupamientos de cada dimen-sión se usan en cada caso.

agrupamientos de 8 222

agrupamientos de 4 22

agrupamientos de 2

agrupamientos de 1

ca

nti

da

des

1 1

2 1 0

3

4

5

6

7

8

9

A partir de los resultados que obtuvieron en la tabla anterior, encuentren las cantidades que representan los números de la izquierda, escritos en sistema binario.En el sistema binario, ¿el 1 siempre tiene el mismo valor o su valor depende de la posición que ocupa? Explica la respuesta de tu equipo.

1

10 100

1000 10000

Actividad colectiva

Actividad colectiva

Las computadoras utilizan el sistema binario.


Actividad colectiva

¿Qué cantidad representa el número 1101 en sistema binario? Expliquen al resto del grupo cómo lo obtuvieron.

Junto con tu equipo ordena de menor a mayor los siguientes números escritos en sistema binario sin calcular su equivalente en sistema decimal.

11000 10110 1111 1000 11101

Explica el procedimiento que usaron en tu equipo para ordenarlos.

Escribe en sistema decimal la cantidad que representa cada uno de los núme-ros escritos en el sistema binario.

sistema binario sistema decimal

1 1 0 0 0

1 0 1 1 0

1 1 1 1

1 0 0 0

1 1 1 0 1

Ahora ordena de menor a mayor las cantidades en sistema decimal. ¿Se obtie-ne el mismo orden en el sistema binario que en el sistema decimal?

números en sistema binario

números en sistema decimal

ordenamiento en sistema decimal

1 1 0 0 0

1 0 1 1 0

1 1 1 1

1 0 0 0 1°

1 1 1 0 1

Discute con tu equipo cuáles son las semejanzas y las diferencias entre el sis-tema binario y nuestro sistema decimal. Luego, escribe en tu cuaderno las conclusiones.

El sistema binario tiene varias semejanzas con nuestro sistema decimal, pero requiere usar muchas cifras aun para expresar cantidades pequeñas.

22 Bloque 1

Recuerda que en el sistema decimal necesitamos 10 símbolos para po-der escribir cualquier cantidad: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. A estos símbolos se les llama dígitos.Realicen por equipo el siguiente juego usando el sistema de numeración de-cimal.

1. Cada equipo debe escribir los diez dígitos en papeles separados, doblar los papeles e introducirlos en una bolsa en la que se puedan revolver bien.

2. Cada integrante del equipo debe dibujar en su cuaderno una tabla con cinco espacios como el de la izquierda.

3. Un miembro del equipo saca uno de los papeles y muestra el número. Cada integrante lo escribe en el espacio del cuadro que prefiera. El pa-pel se regresa a la bolsa y se repite el procedimiento anterior, anotando el nuevo dígito en alguno de los lugares vacíos, y así sucesivamente has-ta que se hayan llenado todos los espacios.

4. Al terminar, cada estudiante lee el número que formó y gana aquel que haya formado el número más grande.

Después de realizar varias veces el juego anterior, contesta lo siguiente:

¿Qué valor tiene el dígito 6 colocado en la primera casilla del lado izquierdo?¿Qué valor tiene el dígito 6 colocado en la segunda casilla de izquierda a derecha?¿Qué valor tiene el dígito 6 colocado en la última casilla de izquierda a de-recha?Si en el juego anterior sale el 9 o el 8, ¿en qué casilla los colocarías? ¿Por qué?

Y si sale el 0 o el 1, ¿en qué casilla los escribirías? ¿Por qué?

En primaria estudiaste las características del sistema decimal y el significado de cada dígito en las cantidades escritas en ese sistema. Por ejemplo, el 657 se puede ver como resultado de la suma 600 + 50 + 7.

La forma de representar cantidades en ese sistema se puede analizar forman-do agrupamientos de palitos de paleta como los que usaste en el sistema bina-rio. Un solo palito representaría una unidad.

¿Cuántos palitos tendrían los agrupamientos que están representados en la segun-da cifra de derecha a izquierda?¿Cuántos tendrían los agrupamientos que están representados en la tercera ci-fra de derecha a izquierda?

>3º

600 507

Actividad individual


Actividad colectiva


¿Cuántas decenas caben en una centena?¿Cuántos palitos tendrían los agrupamientos que están representados en la cuarta cifra de derecha a izquierda?¿Cuántas centenas caben en una unidad de mi-llar?¿Cuántos grupos del tamaño anterior tendría cada nuevo agrupamiento?El número 908, ¿cuántas centenas tiene? ¿Cuán-tas decenas? ¿Cuántas unidades?

Analiza el cuadro anterior y completa en tu cua-derno los siguientes desarrollos:

821 = (8 × ) + (2 × )+ (1 × )

20 937 = ( × 10 000) + ( × 1 000) + ( × 100) + ( × 10) + ( × 1)

1 548 804 = ( × ) + ( × ) + ( × )+

( × ) + ( × ) + ( × ) + ( × )

Para escribir este tipo de desarrollos de manera más clara, vamos a usar una for-ma breve de escribir multiplicaciones como 10 × 10, 10 × 10 × 10, etcétera.

Una multiplicación repetida del mismo factor se puede escribir en forma re-sumida de la siguiente manera:

2 × 2 × 2 × 2 = 24

3 × 3 = 32

10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 105

Expresiones como 24, 32 o 105 se llaman potencias.

La base de una potencia es el factor que se repite y el exponente es el nú-mero que indica cuántas veces se repite el factor.

Usando potencias de base 10, el desarrollo que corresponde a un número en-tero escrito en sistema decimal se escribe de la siguiente forma:

560 047 = (5 × 100 000) + (6 × 10 000) + (0 × 1 000) + (0 × 100) + (4 × 10)

+ (7 × 1) = (5 × 105) + (6 × 104) + (0 × 103) + (0 × 102) + (4 × 10) + (7 × 1)

Es por eso que este sistema se llama decimal o de base 10.

Cuando en un sistema posicional cada lugar o posición tiene un valor que se puede expresar como potencia de un mismo número, se dice que ese nú-mero es la base del sistema.

¿Cuál es la base del sistema binario?

agr

upam

ient

o de

10 x

10

x 10

x 1

0 x

10 x

10

=1 0

00

00

0

agr

upam

ient

o de

10 x

10

x 10

x 1

0 x

10 =

100

00

0

agr

upam

ient

o de

10 x

10

x 10

x 1

0 =

1 0 0

00

agr

upam

ient

o de

10 x

10

x 10

=1 0

00

agr

upam

ient

o de

10 x

10

=10

0

agr

upam

ient

o de

10

agr

upam

ient

o de

1

8 2 1

2 0 9 3 7

1 5 2 8 8 0 4

56

base exponente

Monumento egipcio.

24 Bloque 1

>4º Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guijarros, mar-

cas en huesos, nudos en una cuerda y algunas otras formas. Pero seguramente, al tornarse más complejas las sociedades, fue necesario representar cantidades cada vez más grandes y estos métodos resultaron insuficientes. Por esta razón, surgió la idea de usar símbolos que representaran cantidades. Así nacieron dis-tintos sistemas de numeración formados por varios símbolos y ciertas reglas para usar esos símbolos al escribir cantidades.

En un libro de historia de las matemáticas, Carla encontró la siguiente tabla con algunos números egipcios y su equivalente en sistema decimal:

sistemaegipcio

sistemadecimal

32

396

1 910

24 289

300 000

Analiza la tabla anterior y escribe en sistema decimal la cantidad que repre-senta cada uno de los siguientes símbolos egipcios.

sistema egipcio sistema decimal sistema egipcio sistema decimal

¿Los símbolos egipcios representan potencias de algún nú-mero? Explica tu respuesta.

Escribe en sistema egipcio el año en que naciste.

Al escribir el número 728 000 en sistema egipcio,

¿cuántas veces se repite el símbolo que representa 100 000?

¿Cuántas veces debes escribir el símbolo que representa10 000?

¿Y el símbolo que representa 1 000?



¿Cuántos símbolos debes escribir para expresar las siguientes cantidades del sistema decimal en sistema egipcio? 9 99 999Los números del 1 al 9 se escriben repitiendo el símbolo tantas veces como sea necesario, pero para el número 10 hay otro símbolo: . Los números del 10 al 99 se escriben repitiendo tantas veces como sea nece-sario los símbolos y , pero sin exceder nueve repeticiones de cada uno de ellos porque para el número 100 hay otro símbolo. ¿Cuál es el mayor número de que se puede escribir? ¿Por qué?

Para facilitar la lectura de los números egipcios, se ordenan los símbolos de derecha a izquierda de acuerdo con el valor de cada uno de ellos. No debe confundirse este ordenamiento con el hecho de que el sistema de numera-ción sea posicional. Recuerda que la característica esencial de los sistemas po-sicionales es que un mismo símbolo colocado en distintas posiciones adquiere diferentes valores, como sucede en el sistema decimal, en el binario y en el sistema de la abuela.

Analiza con tu equipo si el sistema egipcio es posicional o no lo es y argumen-ta tu respuesta.

Para comparar la forma en que se pueden hacer operaciones en el sistema egipcio y en el sistema decimal, realiza las siguientes actividades: El siguiente cuadro contiene una resta escrita en sistema decimal. En la se-gunda columna hay que escribir la misma operación usando números egip-cios. Efectúa la operación y escribe el resultado en cada uno de los dos sistemas numéricos.

sistemadecimal

sistemaegipcio

226–

124

En el sistema decimal requerimos un cero para indicar que no hay decenas en el resultado. ¿Por qué en el sistema egipcio no es necesario un símbolo para el cero al escribir el resultado de esta resta?

Discute con tu equipo las semejanzas y las diferencias entre el sistema deci-mal y el sistema egipcio. Escríbelas en tu cuaderno.

En el sistema egipcio fue necesario inventar más y más símbolos para escribir cantidades cada vez más grandes.

Actividad colectiva

Actividad colectiva

Coliseo romano.

26 Bloque 1

>5º Los antiguos romanos también constru-

yeron su propio sistema de numeración. Actualmente, seguimos usando los núme-ros romanos, por ejemplo, al escribir los si-glos, los tomos de una enciclopedia o los capítulos de un libro. Los símbolos del sis-tema romano son las siguientes letras ma-yúsculas:

Completa la siguiente tabla:

¿Cuántos símbolos debes escribir para expresar la cantidad 888 en sistema romano?¿En el sistema romano el valor de un símbolo depende de su po-sición? Explica tu respuesta.

Los romanos introdujeron una regla para escribir más breve-mente números como el 4, el 9, el 40, el 90, etcétera.

número romano IV IX XL XC CD CM

número decimal 4 9 40 90 400 900

En los números romanos de la tabla anterior, el valor del símbolo de la izquier-da se resta al del símbolo de la derecha. Pero no cualquier símbolo puede es-cribirse a la izquierda de cualquier otro símbolo romano.

Analiza la tabla anterior.¿A la izquierda de cuáles símbolos se puede escribir el número romano C? ¿Y el número X? ¿Y el I?Explica por qué no es correcto escribir 999 como IM y escribe correctamente ese número en el sistema romano.

Al final de las antiguas películas mexicanas, aparece en números romanos el año en que fueron realizadas. En la siguiente lista aparecen los nombres de varias películas, el actor principal y el año. Escribe en sistema decimal los años en se realizaron:



sistemaromano

sistemadecimal

I 1

V 5

X 10

L 50

C 100

D 500

M 1 000

Actividad colectiva

sistema romano sistema decimal

257 CCLVII

CCCXXV

538

663 DCLXIII

725

DCCCLXXXVIII

2 153 MMCLIII

MMMDCCXXVI

4 863


Santa, Lupita Tovar, MCMXXXILa Valentina, Jorge Negrete, MCMXXXVIIIEl ahijado de la muerte, Jorge Negrete, MCMXLVINosotros los pobres, Pedro Infante, MCMXLVIIEscuela de rateros, Pedro Infante, MCMLVI

Escribe las diferencias entre el sistema romano y el sistema de numeración de-cimal. Compara tu respuesta con las de tus compañeros.

Aunque hay muchas diferencias entre los sistemas egipcio y romano y la for-ma en que ahora escribimos números en el sistema decimal, estos sistemas antiguos tienen una estructura similar a la que usamos para leer números ac-tualmente.

Por ejemplo, el número 130 547 123 se lee 130 millones 547 mil 123.Los nombres que usamos para los primeros números se construyen de manera parecida hasta el 999, los nombres de los siguientes números se construyen de manera simi-lar hasta el 999 999 y así sucesivamente.

Al llenar un cheque, se tiene que escribir la cantidad que se debe pagar por él con números y con palabras. El cajero de un banco recibió cheques por las si-guientes cantidades:

novecientos unotreinta mil ciento siete doscientos veinte mil trescientosdos millones cinco mil cinco

Escribe en tu cuaderno los números correspondientes.

Escribe el nombre de cada uno de los siguientes números:El número entero que sigue después del nueve mil novecientos nueve. El número entero anterior a mil millones.

Para leer números cada vez másgrandes se han tenido que inventarmás y más nombres.

Escribe los nombres de las siguientes cantidades:

1 000

1 000 000

1 000 000 000

1 000 000 000 000

1 000 000 000 000 000

Aplicación

Habrás oído que se venden docenas de naranjas o gruesas de naranjas. Una docena está inte-grada por 12 naranjas. Una gruesa consta de doce docenas, es decir, 122 = 12×12 = 144 naranjas. Para ventas más grandes se pueden formar docenas de gruesas, es decir, 123 = 12×12×12 = 1 728 naranjas.

El sistema de las docenas es un sistema de numeración de base 12. En el siglo XVIII, el francés Georges-Louis Leclerc, conde de Buffon, lo propuso para contar las mercancías.Su utilidad radica en que hay muchas partes de una docena que son números enteros. Por ejemplo: La mitad de una docena es 6. La tercera parte de una docena es 4. La cuarta parte de una docena es 3. La sexta parte de una docena es 2.

Los tres huastecos, Pedro Infante, MCMXLVIIIDoña Diabla, María Félix, MCMXLIXLa malquerida, Dolores del Río, MCMXLIXCalabacitas tiernas, Tin Tan, MCMXLVIII El Ceniciento, Tin Tan, MCMLI


MM CCC X VI

Dos mil Trescientos dieciséis

28 Bloque 1

>6º1. Escoge un símbolo que represente la cantidad 20, otro que equivalga a 5

y otro que represente 1. Con estos símbolos escribe los primeros 25 nú-meros en un sistema numérico no posicional.

2. Revisa el sistema de la abuela que se vio al principio de esta lección.

a) Escribe de todas las formas posibles la cantidad 145 en este sistema.

b) Supongamos que al sistema de la abuela se agrega la siguiente regla: “las cantidades se deben escribir usando siempre el menor número posible de billetes y monedas de cada denominación”. Ahora vuelve a escribir 145 de todas las formas posibles.

3. En el rectángulo de la izquierda, escribe en cada cuadrito uno de los nú-meros 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, de manera que se forme un número de 7 cifras en sistema decimal que cumpla lo siguiente:

Tiene 4 cifras iguales y están juntas. La cifra de las unidades es el entero anterior a la cifra de las decenas. Sólo tiene una cifra impar y el doble de su valor es la cifra de las unidades de millar. En las unidades de millón, tiene una cifra que es el doble de la que está en las decenas.

4. Escribe en sistema decimal las siguientes cantidades:

a) Trescientas decenas.

b) 32 decenas de millar y 70 centenas.

c) 90 unidades de millón, 35 unidades de millar y 435 unidades.

5. Escribe el valor de la cifra 9 en los siguientes números:

En 1 940 765

En 891

En 9 237

6. Si se escriben todos los números enteros del 1 al 1 000, ¿cuántas veces aparece el dígito 5?

7. Las placas de los vehículos que circulan en cierta isla usan únicamente ceros y unos. Cada placa puede tener de una a cinco cifras. Ninguna pla-ca puede empezar con un cero en el extremo izquierdo.

a) ¿Cuál es el número más grande que se puede escribir en las placas? b) ¿Cuántas placas distintas puede haber en la isla?

4


>para terMinar8. Éstos son los primeros números de un sistema desconocido y su equiva-

lencia en el sistema decimal. Analízalo y contesta.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24 25 26 27

a) ¿Cuántos símbolos diferentes se usan?

b) ¿Es un sistema posicional?

c) ¿En qué cantidades se requiere agregar una cifra? ¿Esas cantidades son potencias de algún número?

d) ¿Cuál es la base del sistema desconocido?

e) ¿Coincide la base del sistema con el número de símbolos?

f) Escribe las diferencias entre el sistema desconocido y nuestro sistema decimal.

Torito

Para numerar las páginas de un libro en sistema decimal, se usaron 4 221 caracteres. ¿Cuántas páginas tiene el libro?

30 Bloque 1

>para coMenZar... necesitas recordar:

1. Cómo se suman, restan y multiplican los números enteros.2. Cómo se encuentra el perímetro de un polígono regular.3. Cómo se encuentra el área de un cuadrado y de un rectángulo.

> en esta lección, abordarás los temas de:

• Fórmulas geométricas en lenguaje natural.• Sucesiones de números.

31Lección 2 > Números y letras

>1º

Laura y Alicia juegan a formar cuadrados con losetas cua-dradas. Alicia dibujó las losetas acomodadas así:

Dibuja en tu cuaderno los dos cuadrados que siguen.¿Cuántas losetas tendría el cuarto cuadrado?¿Y el quinto? ¿Cuántas losetas tendrá el cuadrado número 10? ¿Qué operación hiciste para encontrar el número de losetas del décimo cua-drado?

Completa la siguiente tabla:

número de figura 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...

lado del cuadrado 1 2 3

número de losetas 1 4 9

Los números que corresponden al número de losetas en la tabla, se llaman números cuadrados.

¿Cuál es el decimosegundo número cuadrado? ¿Cuál es el vigésimo? ¿Y el quincuagésimo?

Describe una regla que indique cómo calcular cualquier número cuadrado. Compara la regla que obtuviste con las obtenidas por el resto del grupo.

En Matemáticas se acostumbra usar literales para representar ciertos nú-meros. Por ejemplo, se dice “el número natural n” para simbolizar cual-quiera de los números naturales.También se hacen operaciones usando símbolos de este tipo. Así, el doble de un número n se puede escribir como n + n o como 2 × n.

Explica qué tendrías que hacer para encontrar el número cuadrado que co-rresponde a la figura n–ésima.

Escribe una fórmula para el número cuadrado correspondiente a la n–ési-ma figura.

Ahora imagina que el lado de las losetas mide un decímetro.

¿Cuántos decímetros cuadrados mide el área de la cuarta figura?¿Y el área de la décima figura?

2> números y letras

1 2 3 ...

32 Bloque 1

¿Qué relación observas entre los números cuadrados y el área de cada figu-ra? Explica.

Los números cuadrados n2 = n × n representan el área de un cuadrado de lado n.

Observa la siguiente sucesión de escaleras formadas con palillos:

Analiza con tu equipo las tres escaleras. Observa que la primera tiene un pel-daño, la segunda tiene dos y la tercera tiene tres. Cuenta el número de palillos que se usó en cada una de las figuras. Después contesta:

¿Cuántos palillos se necesitan para formar una escalera del mismo tipo con 4 peldaños? ¿Y para formar una con 5 peldaños?

¿Será cierto que para formar una escalera similar con 11 peldaños, se nece-sitan 35 palillos? En ese caso, ¿cuántos palillos se necesitan para formar una con 12 peldaños?

¿Cuántos palillos se necesitan para formar una escalera con 20 peldaños?Escribe en tu cuaderno cómo encontrarías el número de palillos que se re-quieren para formar una es-calera con n peldaños. Luego escribe una fórmula para ob-tener el número de palillos en ese caso.

Compara la explicación y la fórmula que obtuvieron en tu equipo con las que hayan ob-tenido los demás compañeros de tu grupo. ¿Cuántas fórmu-las distintas encontraron en tu grupo? ¿Todas ellas son co-rrectas? Explica por qué.

Actividad colectiva


>2º Considera la siguiente sucesión de números: 3, 7, 11, 15, . . .

Siguiendo el patrón que muestran los números escritos, ¿qué número coloca-rías en quinto lugar? ¿Qué número colocarías en sexto lugar?

Copia en tu cuaderno una tabla como la siguiente y llena los datos que faltan:

lugar número

1 3

2 7

3 11

4 15

5

6

7

¿Qué número colocarías en el lugar 10 de la sucesión? ¿Por qué?

¿Qué número colocarías en el lugar 100 de la sucesión? ¿Por qué?

¿Qué número colocarías en el lugar n de la sucesión? ¿Por qué?

Discute tus respuestas con el resto del grupo.

Considera la siguiente sucesión de números: 2, 4, 8, 16, . . .

¿Qué número colocarías en el quinto lugar?

¿Qué número colocarías en el sexto lugar?

Copia en tu cuaderno una tabla como la siguiente y llena los datos que faltan:

Describe cómo construiste los números de la sucesión y compara tu respues-ta con la de tus compañeros.

Escribe una fórmula que represente al término n de la sucesión. Compara tu fórmula con la de tus compañeros.

lugar que ocupa el número número

1 2

2 4

3 8

4 16

5

6

10

. . .

n



34 Bloque 1

Diseña una sucesión de números que siga cierto patrón y escribe los primeros cinco términos en una hoja de papel. Intercambia tu hoja con otro integrante del equipo para que encuentre los siguientes términos de tu sucesión y escri-ba la fórmula correspondiente al patrón.

En la siguiente tabla se han escrito los primeros términos de las sucesiones de números pares y los primeros términos de la sucesión de números impares, co-menzando con el 3.

Anota los datos que faltan en la tabla.

2 4 6 8

3 5 7 9

Describe cómo construiste los números de la sucesión y compara tu respues-ta con la de tus compañeros.

Números impares, primeros términos Números pares, primeros términos

Representa al segundo término de la sucesión de números pares mediante una regla. Haz lo mismo para el tercer término de la sucesión.Escribe una fórmula que represente al término n de la sucesión de números pares.

En cada columna compara el número de arriba con el de abajo ¿Encuentras alguna relación? Explícala.

Si el término n de la sucesión de pares se representa como 2 × n, ¿cómo se re-presenta el término n de la sucesión de números impares?

¿Cuál es el término 100 de la sucesión de números impares?


Actividad colectiva

La longitud de las regletas va de 1 a 10 cm. Cada una tiene una altura determinada: La regleta blanca 1 cm. La regleta roja 2 cm La regleta verde claro 3 cm. La regleta lila 4 cm. La regleta amarilla 5 cm. La regleta verde oscuro 6 cm. La regleta negra 7 cm. La regleta café 8 cm. La regleta azul 9 cm. La regleta naranja 10 cm.

Estas fotografías muestran un modelo de los primeros términos de las sucesiones de números pares y números impares utilizando regletas de Cuisenaire


>3º Observa la siguiente sucesión de figuras, donde el lado de cada una mide

dos unidades:

figura 1 figura 2 figura 3 figura 4

¿Qué figura colocarías en el quinto lugar? ¿Cuántos lados tendrá la figura del noveno lugar? ¿Cuántos lados tendrá la figura del decimotercer lugar?¿Cuántos lados tendrá la figura que ocupe el lugar n? ¿Cuánto mide el perímetro de la primera figura? ¿Cuánto mide el perímetro de la quinta figura? ¿Qué tendrías que hacer para obtener el perímetro de la figura n?

Completa la tabla.

número de figura

números de ladosde la figura perímetro de la figura

1 3 2 + 2 + 2 = 3 x 2

2 4

3 5

4 6

9

10

13

n

Si el lado de los polígonos regulares midiera 5 unidades, ¿cómo obtendrías el perímetro de cada uno de los primeros cuatro polígonos?

Escribe una fórmula para determinar el perímetro de un polígono regular de n lados cuyo lado mide 5 unidades.


36 Bloque 1

En la sucesión de rectángulos de la izquierda, la base mide 4 cm, pero varía la altura. El primero tiene 1 cm de altura, el segundo 2, el tercero 3.Completa en tu cuaderno la siguiente tabla.

números de rectángulo altura perímetro área

1 1 1 + 1 + 4 + 4 = 2 + 8 = 10 4 x 1 = 4

2 2

3 3

4

5

. . .

15

¿Cómo expresarías el perímetro del rectángulo con altura n? ¿Cómo expresarías el área del rectángulo con altura n?Discute tus respuestas y procedimientos con el resto del grupo.

Observa las figuras de la izquierda.Construye las cuatro figuras siguientes en tu cuaderno.Elabora una tabla como la siguiente y llénala:

número de figura 1 2 3 4 5 6 7

Número de cuadrados blancos 8 12

Número de cuadrados rojos 1 9

Número total de cuadrados en la figura 9 16

¿Cuántos cuadrados rojos habrá en la figura 6? ¿Y en la figura 10? ¿Por qué?

Escribe una regla para encontrar el número de cuadrados rojos para la figura n.

¿Cuál es el total de cuadrados en la figura 6? ¿Y en la figura 10?

¿Cuál es el total de cuadrados en la figura n?

¿Cuántos cuadrados blancos habrá en la figura 6? ¿Y en la figura 10?

Analiza tu tabla. En cada figura, ¿qué relación observas entre el número de cua-drados rojos y los otros dos renglones de la tabla? Explica esa relación.Escribe una regla para encontrar el número de cuadrados blancos en la figura n.



Figura 1

Figura 2

Figura 3


>4º Observa la siguiente sucesión de figuras.

1 2 3

Construye las figuras 4 y 5 de acuerdo al patrón que siguen las tres primeras. Compara las figuras que obtuvo tu equipo con las de los demás compañeros del grupo.

Haz una tabla como la siguiente y completa los datos que faltan, hasta la fi-gura número 10:

números de figura

número de puntos en la figura

número de puntos que se agregaron a la figura anterior

1 1 –

2 3 2

3 6 3

4

. . .

Los números que escribiste en la segunda columna se llaman números trian-gulares.

¿Cuál es el décimo número triangular? ¿Cuál es el decimosegundo? ¿Qué ne-cesitarías saber para calcular el vigésimo número triangular?

Discute con tus compañeros de equipo cómo se encuentra cualquier núme-ro triangular. Escribe la propuesta de tu equipo y compárala con la de los de-más.

Actividad colectiva

38 Bloque 1

Ahora completa en tu cuaderno los datos que faltan en la siguiente tabla:

cantidad de puntos del número triangular número de sumandos resultado

1 1 1

1 + 2 2 3

1 + 2 + 3 3 6

1 + 2 + 3 + 4 4...

10

¿Hasta qué número debes sumar para obtener la cantidad de puntos del nú-mero triangular 12?¿Hasta qué número debes sumar para obtener la cantidad de puntos del nú-mero triangular n?

Discute las respuestas de tu equipo con las de los demás compañeros.

Aplicación

El uso de literales para representar números es muy útil en diversas áreas del conocimiento. Por ejemplo, en física se suele representar la rapidez de un objeto en movimiento por la letra v, la distancia que recorre por la letra d y el tiempo de viaje por la letra t.

Si un automóvil viaja siempre a una rapidez de 100 km/h, la distancia que recorre en una hora es 100 km, la que recorre en 1.5 horas es 150 km, etcétera. Se puede entonces representar la distancia recorrida por el automóvil mediante la fórmula

d = 100 × t En esta fórmula, la letra t puede representar cualquier número de horas, y la letra d repre-senta el número de kilómetros correspondiente. Observa que tanto t como d representan cantidades que pueden ser números enteros o fraccionarios. ¿Cómo escribirías la fórmula que representa la distancia recorrida por un automóvil que viaja a v km/h después de t horas de viaje?

>para terMinar


>5º1. En arbolitos de Navidad de distintos tamaños se colocan luces de acuer-

do con el siguiente patrón:

a) ¿Cuántas luces serán necesarias para un árbol de Navidad de tamaño 4? ¿Y para uno de tamaño 5?

b) Analiza cómo crece el número de luces al ir aumentando el tamaño. Determina cuántas luces serán necesarias para un árbol de Navidad de tamaño 20.

c) Explica cómo se puede obtener el número de luces para un árbol de tamaño n.

d) Escribe una fórmula para determinar el número de luces en un árbol de tamaño n.

2. Escribe las operaciones que deben hacerse para encontrar el perímetro de los dos primeros paralelogramos. Posteriormente, escribe una fórmu-la para determinar el perímetro de los otros dos paralelogramos.

Tamaño 1

Tamaño 2

Tamaño 3

3

4

3

5

a

b

n

m

>para terMinar

40 Bloque 1

3. Observa la siguiente colección de figuras. ¿Cuántos puntos tendrá en la base y en la altura la figura que sigue?

Completa la siguiente tabla.

números de puntos en la base

número de puntos en la altura total de puntos

1 1 x 2

2 2 x 3

. . .

n

4. ¿Cuántos lados tiene cada uno de los siguientes polígonos regulares? ¿Cómo encontrarías su perímetro?

Figura 1 Figura 2 Figura 3

a

b

c d


5. El número que aparece en cada figura representa la longitud del lado del rombo (recuerda que un rombo es un cuadrilátero con todos sus la-dos iguales)

¿Cómo encontrarías el perímetro del rombo que ocupa el lugar n en la sucesión?

6. Encuentra los primeros términos de una sucesión de números con las si-guientes características y escribe la expresión que describe el término n de la sucesión:a) La diferencia entre cualquier par de términos consecutivos es 3 y el pri-

mer término es 5.b) El primer término es 2 y cada término posterior es el triple del anterior.c) La diferencia entre cualquier par de términos consecutivos es 7 y el pri-

mer término es 12.

7. El primer término de una sucesión de números es 1 y cada nuevo término se obtiene multiplicando el anterior por 3 y restando 1 al resultado. Encuentra los 6 primeros términos de esta sucesión.

Torito

Completa esta tabla. Luego busca un patrón y trata de justificarlo.

número de sumandos resultado

1 1 1

1 + 2 2 3

1 + 2 + 3 3 6

1 + 2 + 3 + 4 4

1 + 2 + 3 + 4 + 5 5

Sin hacer la suma, halla el resultado de:1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15¿Cuál es el resultado de la suma de los primeros 50 números naturales?

>para terMinar

1 2 3

11

Secundaria 1 Matemáticas11Luis Briseño, Guadalupe Carrasco, Pilar Martínez,

Óscar Palmas, Francisco Struck, Julieta Verdugo

Mat

emát

icas

Mate 1 integral cov.indd 1Mate 1 integral cov.indd 1 3/7/08 7:33:27 PM3/7/08 7:33:27 PM

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Libro Matematicas 1