BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam matematika konsep limit digunakan untuk menjelaskan sifat dari

suatu fungsi, saat argumen mendekati ke suatu titik, atau tak hingga; atau sifat dari

suatu barisan saat indeks mendekati tak hingga. Limit dipakai dalam kalkulus (dan

cabang lainnya dari analisis matematika) untuk mencari turunan dan kekontinuan.

Konsep yang berkaitan dengan limit saat x mendekati sebuah angka adalah

konsep limit saat x mendekati tak terhingga, baik positif atau negatif. Ini bukan

berarti selisih antara x dan tak terhingga menjadi kecil, karena tak terhingga

bukanlah sebuah bilangan. Namun, artinya adalah x menjadi sangat besar (untuk

tak terhingga) atau sangat kecil (untuk tak terhingga negatif).

Limit biasanya identik dengan sesuatu yang mendekati. Persamaan

matematika dapat secara mudah menerangkan tentang operasi penggunaan limit.

Semakin berkembangnya zaman, maka kebutuhan teknologi akan semakin

meningkat. Oleh karena itu, digunakan aplikasi Maple untuk operasi perhitungan

limit secara mudah dan cepat.

1.2 Tujuan

Mengetahui penggunaan aplikasi Maple dalam pengoperasian limit.

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

Dalam matematika konsep limit digunakan untuk menjelaskan sifat dari

suatu fungsi, saat argumen mendekati ke suatu titik, atau tak hingga; atau sifat dari

suatu barisan saat indeks mendekati tak hingga. Limit dipakai dalam kalkulus (dan

cabang lainnya dari analisis matematika) untuk mencari turunan dan kekontinuan

(Wikipedia).

Limit sebuah fungsi

Jika f(x) adalah fungsi real dan c adalah bilangan real, maka:

berarti f(x) dapat dibuat agar mempunyai nilai sedekat mungkin dengan L

dengan cara membuat nilai x dekat dengan c. Dalam contoh ini, "limit dari

f(x), bila x mendekati c, adalah L". Perlu diingat bahwa kalimat sebelumnya

berlaku, meskipun f(c) L. Bahkan, fungsi f(x) tidak perlu terdefinisikan

pada titik c.

Definisi formal

Sebuah limit didefinisikan secara formal sebagai berikut: Bila f adalah

fungsi yang terdefinisikan pada sebuah interval terbuka yang mengandung

titik c (dengan kemungkinan pengecualian pada titik c) dan L adalah bilangan

real, maka

berarti bahwa untuk setiap terdapat yang untuk semua x

dimana , berlaku .

Limit sebuah fungsi pada titik tak terhingga

Konsep yang berkaitan dengan limit saat x mendekati sebuah angka

adalah konsep limit saat x mendekati tak terhingga, baik positif atau negatif.

Ini bukan berarti selisih antara x dan tak terhingga menjadi kecil, karena tak

terhingga bukanlah sebuah bilangan. Namun, artinya adalah x menjadi sangat

besar (untuk tak terhingga) atau sangat kecil (untuk tak terhingga negatif).

Sebagai contoh, .

f(100) = 1.9802

f(1000) = 1.9980

f(10000) = 1.9998

Semakin x membesar, nilai f(x) mendekati 2. Dalam contoh ini, dapat

dikatakan bahwa

Limit barisan

Secara formal, misalkan x1, x2, ... adalah barisan bilangan riil. Kita

menyebut bilangan riil L sebagai limit barisan ini dan menuliskannya sebagai

yang artinya :

Untuk setiap bilangan riil ε > 0, terdapat sebuah bilangan asli n0 sehingga

untuk semua n > n0, |xn − L| < ε.

Secara intuitif ini berarti bahwa pada akhirnya semua elemen barisan

tersebut akan mendekat sebagaimana yang kita kehendaki terhadap limit,

karena nilai absolut |xn − L| adalah jarak antara x dan L. Tidak semua barisan

memiliki limit. Bila ada, kita menyebutnya sebagai konvergen, bila tidak,

disebut divergen. Dapat ditunjukkan bahwa barisan konvergen hanya

memiliki satu limit.

Limit barisan dan limit fungsi berkaitan erat. Pada satu sisi, limit

barisan hanyalah limit pada tak terhingga dari suatu fungsi yang didefinisikan

pada bilangan asli. Di sisi lain, limit sebuah fungsi f pada x, bila ada, sama

dengan limit barisan xn = f(x + 1/n).

Bentuk Tak Tentu

Bentuk di dalam matematika ada 3 macam, yaitu :

1. Bentuk terdefinisi (tertentu) : yaitu bentuk yang nilainya ada dan

tertentu, misalnya : .

2. Bentuk tak terdefinisi : yaitu bentuk yang tidak mempunyai nilai,

misalnya :

3. Bentuk tak tentu : yaitu bentuk yang nilainya sembarang, misalnya :

Penting : Persoalan limit adalah mengubah bentuk tak tentuk menjadi

bentuk tertentu.

BAB 2. LANGKAH – LANGKAH

Berikut akan diuraikan langkah – langkah pengoperasian limit dengan

menggunakan aplikasi matematika “Maple”. Langkah – langkah yang digunakan

adalah sebagai berikut :

Untuk menulis persamaan limit digunakan perintah seperti contoh dibawah

ini :

> Limit((x^2-4)/(x-2),x=2); (enter)

Untuk menentukan nilai limit dari Maka dapat menggunakan

perintah

> value(%); (kemudian di enter)

Maka akan muncul hasil

Untuk menuliskan limit beserta nilainya dapat menggunakan cara seperti

dibawah ini

> Limit((x-1)/((sqrt(x))-1),x=1);value(%);

(rumus)

(hasil)

Penulisan limit yang berakar dapat dituliskan seperti contoh yang ada di

bawah ini :

Apa bila ingin menuliskan

Maka dalam program Maple dapat dituliskan sebagai berikut :

> Limit((sqrt(x+2)-sqrt(6-x))/(x-2),x=2);value(%);

“Tekan enter maka akan muncul”

Untuk menuliskan limit tak hingga ( ) atau infinity, maka setiap akhir

penulisan perinah ditambah dengan perintah infinity. Contoh : ketika ingin

menulis maka perintahnya adalah :

> Limit(((3*x^2-4)^2)/(6*x^4+3*x^2-5*x+1),x=infinity);

“Tekan enter maka akan muncul”

Untuk menulis limit trigonometri seperti maka dapat

dituliskan menggunakan rumus :

> Limit((tan(1/2*x))^2/(sin(3*x)*sin(2*x)),x=0);

“Tekan enter kemudian akan muncul”

Untuk mencari hasil dari dapat digunakan rumus

>Limit((tan(1/2*x))^2/(sin(3*x)*sin(2*x)),x=0);value(%);

“Tekan enter kemudian akan muncul”

menulis limit trigonometri seperti maka dapat

dituliskan menggunakan rumus :

>Limit((sin(x)+cos(x))/(cos(2*x)),x=(3*Pi/4));value(x);

“Tekan enter kemudian akan muncul”

Langkah kerja diatas merupakan langkah kerja pengoperasian Maple 12.

Akan tetapi tidak ada perbedaan hasil antara Maple 8 ataupun Maple 12. Dan

perlu diperhatikan setiap selesai member perintah diketik tanda titik koma ( ; ).

BAB IV

APLIKASI

1. >

>

2. >

>

3. >

>

4. >

>

5. >

>

6. >

>

7. >

>

8. >

>

9. >

>

10. >

>

11. >

>

12. >

>