Pengertian : Jika hasil substitusi langsung adalah tertentu, maka hasil tersebut adalah hasil akhir, tetapi jika hasilnya tak tentu maka gunakan teorema limit. Limit Fungsi Aljabar

1. Bentuk tak tentu 00 dapat diselesaikan dengan 2 cara :

a. Memfaktorkan :

ax

Lim→

)()(

xGxF =

axLim→ )()(

)()(xgaxxfax

−−

Contoh :

1→xLim

1

22 2

−−

xx =

1→xLim

)1(

)1(2 2

−−

xx

= 1→x

Lim)1(

)1)(1(2−

+−x

xx

= 1→x

Lim

1)1(2 +x

= 1

)11(2 + = 4

b. L’Hospital pembilang dan penyebut didifferensialkan

ax

Lim→

F(x) = ax

Lim→

)()(

'

'

xGxF

Contoh : Penyelesaian di atas dapat juga diselesaikan dengan cara L’Hospital

1→x

Lim

122 2

−−

xx =

1→xLim

14x =

11.4 = 1

(turunan 2 22 −x adalah 4x ; turunan x-1 adalah 1 )

2. Bentuk tak tentu ~~ dapat diselesaikan dengan rumus :

a. membagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi penyebut Contoh :

~→xLim

12

32 −+

−xx

x = ~→x

Lim

222

2

2

12

3

xxx

xx

xxx

−+

−

= ~→x

Lim

2

1211

31

xx

xx

−+

−

= 001

00−+

− = 0

Bentuk soal tersebut adalah seperti berikut:

~→x

Lim......

1

1

++++

−

−

nn

mm

qxpxbxax

Jika m = 0 hasilnya pa

Jika m > n hasilnya ~ Jika m< n hasilnya 0 maka dapat langsung dijawab dengan

~→x

Lim

123

2 −+−xx

x = 0 karena pangkat pembilang

< pangkat penyebut

3. Untuk ax

Lim→

)()(

xgxf , Jika f(x) atau g(x) merupakan

bentuk akar, maka f(x) atau g(x) dikalikan dengan sekawan f(x) atau sekawan g(x). Rumus lain:

~→xLim

( )qpxaxcbxax ++−++ 22 = apb

2− ;

berlaku jika konstanta kuadratnya sama (nilai a sama)

LIMIT FUNGSI

Contoh: ~→x

Lim ( )11252 22 ++−+− xxxx =

Diketahui : a = 1, b = -2 , p =2

apb

2− =

1222 −− =

24− = -2

Fungsi Irasional: Jika menemui pembilang atau penyebut mengandung bentuk x - y maka bentuk tersebut disubstitusikan.

Contoh : yx −

1 = yx −

1 yxyx

+

+

= yx

yx−+

Limit Fungsi Trigonometri :

1. 0→x

Lim

bxaxsin =

0→xLim

bx

axsin

= 0→x

Limbxax

sinsin =

ba

2. 0→x

Lim

bxaxtan =

0→xLim

bxax

tan =

0→xLim

bxax

tantan =

ba

3. 0→x

Lim

bxax

tansin =

0→xLim

bxax

sintan =

ba

4. 0→x

Lim= 2

2cos1x

ax− = 0→x

Lim2

2sin2x

ax

= 0→x

Limx

axsin2xaxsin = 2 . a.a= 2a 2

catatan:

cos 2ax = cos 2 ax - sin 2 ax cos 2 ax + sin 2 ax = 1 cos 2ax = 1 - sin 2 ax - sin 2 ax = 1 - 2 sin 2 ax

5. ax

Lim→ ax

axk−− )(sin = k

6. ax

Lim→ ax

axk−− )(tan = k