LIMIT FUNGSI

Definisi : Limit merupakan salah satu pengetahuan dasar untuk memahami integral dan

diferensial. Limit dapat digunakan untuk menjelaskan pengaruh variabel fungsi yang

bergerak mendekati suatu titik terhadap fungsi tersebut.

1 Teorema

1. )x(glim)x(flim)x(g)x(flimaxaxax

4. )x(glim).x(flim)x(g).x(flimaxaxax

2. )x(glim)x(flim)x(g)x(flimaxaxax

5. )x(gax

lim

)x(fax

lim

)x(g

)x(f

axlim

dengan 0)x(glimax

3. )x(flim.c)x(f. climaxax

, c = konstanta 6. n

ax

n

ax)x(flim)x(flim

2 Bentuk Tak Tentu

Bentuk di dalam matematika ada 3 macam, yaitu :

1. Bentuk terdefinisi (tertentu) : yaitu bentuk yang nilainya ada dan tertentu,

misalnya : 63

04

, .

2. Bentuk tak terdefinisi : yaitu bentuk yang tidak mempunyai nilai, misalnya :

50

3. Bentuk tak tentu : yaitu bentuk yang nilainya sembarang, misalnya :

dan,

00

Penting : Persoalan limit adalah mengubah bentuk tak tentuk menjadi bentuk

tertentu.

3 Limit Fungsi Aljabar

Jika diketahui fungsi f(x) dan nilai f(a) terdefinisi, maka lim ( ) ( )x a

f x f a

Contoh : 1. lim( ) ( ( ))x

x x

3

2 22 3 2 3 9 6 15

2. lim( )

x

x xx

0

5 70 0

5 0 707

2 2

0

Berikut ini akan dibahas limit Limit Fungsi Aljabar Bentuk Tak Tentu yaitu :

dan,

00 .

3.1 Bentuk 00

Limit ini dapat diselesaikan dengan memfaktorkan pembilang dan

penyebutnya, kemudian “mencoret” faktor yang sama, lalu substitusikan

nilai x = a.

Catatan :

1. Karena xa, maka (xa) 0 sehingga pembilang dan penyebut boleh

dibagi dengan (x a)

2. Nilai limitnya ada dengan syarat : Q(a) 0

3. Jika pembilang atau penyebutnya memuat bentuk akar, maka sebelum

difaktorkan dikalikan dulu dengan bentuk sekawannya.

Contoh :

1. lim lim lim( )( )

( )( )x

x x

x x

x x

x xx

xx

3

5 6

9 3

3 2

3 33

23

3 23 3

16

2

2

2. lim lim( )

( ) ( )x

x x x

x x x

x x x

x x x x

x x

x x

0

5

4 2

5

4 2 0

5

4 2

0 0 5

0 4 0 2

52

3 2

3 2

2

2

2

2

2

2

3. lim lim lim( ) ( )

( )x

x x

x x x

x x

x

x x

x x x

x x

x x x

1

3 5 1

1

3 5 1

1

3 5 1

3 5 1 1

3 5 1

1 3 5 1

2

2

2

2

2

2

2

2 2

lim lim lim( )

( )( )

( )( )

( )

( )x

x x

x x x x

x x

x x x x x

x

x x x

1

5 4

1 3 5 1 1

1 4

1 1 3 5 1 1

4

1 3 5 1

2

2 2 2 2

1 4

1 1 4 4

32 2 2

38

38

( ) ( )

3.2 Limit Bentuk

Limit ini dapat diselesaikan dengan membagi pembilang dan penyebut

dengan variabel pangkat tertinggi, kemuadian digunakan rumus : limx

ax

0 .

Contoh :

1. 2

1

12

6

0012

006

12

6limlim

x8x7x12

x5x2x6lim

2x

8x7

2x

5x2

x3x

x83x

2x73x

3x12

3x

x53x

2x23x

3x6

x23

23

x

)a(Q

)a(P

)x(Q

)x(P

ax)x(Q)ax(

)x(P)ax(

ax)x(g

)x(f

axlimlimlim

2. 0

2

0

002

000

2limlim

x4xx2

x3x7x6lim

2x

4x1

3x

32x

7x6

x4x

2x44x

3x4x

4x2

4x

x34x

2x74x

3x6

x234

23

x

3.

0

5

000

0055

limlim7x4x2

2x3x5lim

4x

72x

4x2

4x

22x

3

x4x

74x

2x44x

3x2

4x

24x

2x34x

4x5

x23

24

x

Kesimpulan:

Jika f x a x a x an n

n( ) .....

0 1

1

g x b x b x bm m

m( ) .....

0 1

1

maka: 1. lim( )

( )x

f x

g x

a

b

0

0 untuk n = m

2. lim( )

( )x

f x

g x

0 untuk n < m

3. lim( )

( )x

f x

g x

atau - untuk n > m

4. limx

x x x

x x x

2 7

6 2 8

26

13

5 4 3

5 3 2 (kesimpulan (1))

5. limx

x x x

x x x

10 8 7

12 5 2

2 3

120 (kesimpulan (2))

6. limx

x x

x x x

3 6 2

2 7

7 4

6 4 3 (kesimpulan (3))

3.3 Limit Bentuk

Limit ini umumnya memuat bentuk akar:

Cara Penyelesaian :

1. Kalikan dengan bentuk sekawannya !

)x(g)x(f

)x(g)x(f

x)x(g)x(f

)x(g)x(f

xlim)x(g)x(flim

2. Bentuknya berubah menjadi

3. Selesaikan perkalian sekawannya

)x(g)x(flimx

Contoh:

1.

1x4x2x6xlim 22

x

1x42x2x62x

1x42x2x62x22

x1x4x2x6xlim

1x42x2x62x

1x10

x1x42x2x62x

)1x42x()2x62x(

xlimlim

5lim210

11

10

1x42xx2x2

1x10

x

2.

x32xx2x2

x32xx2x2222

x

22

xx3xxx2limx3xxx2lim

x32xx2x2

x42x

xx32xx2x2

)x32x)(x2x2(

xlimlim

Secara umum:

rqxpxcbxaxlim 22

x

1) b q

a

2 jika a = p

2) jika a > p

3) - jika a < p

3. 21

42

42

)5(322

x2x5x41x3x4lim

4.

8xx31x7x4lim 22

x

5.

7x4x53x2x4lim 22

x

4 Limit Fungsi Trigonometri

Teorema :

1. lim limsinsin

x

xx

x

xx

0 01

2. lim limtantan

x

xx

x

xx

0 01

pangkat tertinggi pembilang 1,

pangkat tertinggi penyebut 1,

sebab xx2

pangkat tertinggi pembilang 2,

pangkat tertinggi penyebut 1.

Untuk keperluan praktis teorema tersebut dapat dikembangkan menjadi:

ba

bxsinaxtan

0xbxtanaxsin

0xbxtanaxtan

0xbxtanax

0xbxaxtan

0xbxsinax

0xbxaxsin

0xlimlimlimlimlimlimlim

Seperti pada fungsi aljabar, maka pada fungsi trigonometri juga berlaku bahwa

jika f(a) terdefinisi, maka: lim ( ) ( )x a

f x f a

Selain itu, jika terdapat bentuk identitas trigonometri gunakan rumus berikut ini:

1 – cos cx = 2 sin2 xc

2

1 + cos cx = 2 cos2 xc

2

sin cx = 2 sin xc2 cos xc

2

1 – sin2 cx = cos

2 cx

1 – cos2 cx = sin

2 cx

Contoh :

1. lim sin cos sin cosx

x x

0

2 0 0 0 1 1

2. 21

0201

21cos3

21sin2

21cos

21sin

xcos3xsin2xcosxsin

21x

lim

Berikut ini akan dibahas limit Fungsi Trigonometri bentuk tak tentu yaitu :

,00 .

4.1 Limit Bentuk 00

1. 43

x4tanx3sin

0xlim

2. 32

32

xsinxsin

x3sin2

0xxsinx3x2sin2

0xxsin.x3

)x2sin21(1

0xxsin.x3x2cos1

0x)1.(.limlimlimlim

3. )ax(

)ax(21sin

21

axax

)ax(21sin).ax(

21cos2

axaxasinxsin

ax).ax(cos2limlimlim

acos).aa(cos221

21

4.2 Limit Bentuk

Limit bentuk dapat diselesaikan dengan mengubahnya ke bentuk

00

.

Contoh :

)x2

sin(

xsin.2

sin

2x

xcosxsin1

2x

xcosxsin

xcos1

2x

2x

limlim)(lim)xtanx(seclim

)x

2sin(

)x2

(21sin

221

2x)x

2sin(

)x2

(21sin)x

2(

21cos2

2x

.xcos2limlim

0cos].[cos221

21

2221

5 Kontinuitas dan Diskontinuitas Suatu Fungsi Limit

Definisi : Fungsi f(x) dikatakan kontinu di x = a jika dan hanya jika

lim ( ) ( )x a

f x f a

.

Dari definisi terlihat ada tiga syarat fungsi f(x) kontinu di x = a, yaitu :

1. f(a) terdefinisi (ada)

2. lim ( )x a

f x

terdefinisi ada

3. lim ( ) ( )x a

f x f a

Apabila satu di antara ketiga syarat itu tidak dipenuhi, maka fungsi f(x) diskontinu

di x =a.

Perhatikan gambar berikut :

y

f(a)

f(x)

x a

f(x) kontinu di x = a,

sebab )()(lim afxfax

1.

y

f(a)

f(x)

x a

f(x) diskontinu di x = a,

sebab lim ( )x a

f x

tidak ada

2.

Contoh :

1. Tunjukkan bahwa fungsi 3)( 2 xxxf kontinu di x = 1

Jawab : 1) f ( )1 1 1 3 12 f(1) terdefinisi

2) 13113xxlim)x(flim 22

1x1x

lim ( )

xf x

1 terdefinisi

3) lim ( ) ( )x

f x f

1

1 Jadi fungsi f x x x( ) 2 3 kontinu di x =1.

2. Selidiki apakah fungsi f x x

x( )

2 9

3 kontinu di x = 3

Jawab : 1) f ( )3 3 9

3 3

0

0

2

(tidak terdefinisi)

Karena f(3) tak terdefinisi, maka f(x) diskontinu di x = 3

3. Selidiki apakah fungsi

2untuk ,4

2untuk ,)( 2

42

x

xxf x

x

kontinu di x = 2

Jawab : 1) f(1) = 4 (terdefinisi)

2) 31111xxlimlimlim)x(flim 22

1x1x

)1x2x)(1x(

1x1x13x

1x1x

(terdefinisi)

3) )1()(lim1

fxfx

, berarti f(x) diskontinu di x = 1

f(x) diskontinu di x = a,

sebab lim ( )x a

f x

f(a)

y

f(a)

f(x)

x

a

3.

DAFTAR PUSTAKA

www.mathsolar.com

Sobirin. 2009. Fokus Matematika dan Ujian Nasioanal untuk SMA/MA. Jakarta.

Erlangga.

Soedyarto N, Maryanto. 2008. Matematika Untuk SMA dan MA Kelas XI Program IPA.

Jakarta. Pusat Perbukuan Kemendikbud.