limites2

7/17/2019 limites2

http://slidepdf.com/reader/full/limites2-568c31d3a67ec 1/24

Anotacoes sobre limite de funcoes

Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡

Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ

[email protected]

‡

7/17/2019 limites2


1

7/17/2019 limites2


Sumario

1 Limite de funcoes 3

1.1 Limite de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Limite e sequencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Propriedades aritmeticas dos limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Funcao de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.2 Limite da composicao de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Limites e desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1 Teorema do sanduıche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.2 Criterio de Cauchy para limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 Limites no infinito e limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5.1 Definicoes com limites de x → ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5.2 Definicoes com limites de x → −∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5.3 Definicoes de limites tendendo ao infinito . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5.4 Definicoes de limites tendendo a menos infinito . . . . . . . . . . . 19

1.5.5 Criterio de comparacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5.6 limx→a

f (x) = ∞ e sequencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.6 Limites de funcoes em espacos metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.7 Stolz-Cesaro para limite de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2

7/17/2019 limites2


Capıtulo 1

Limite de funcoes

1.1 Limite de funcoes

Definicao 1 (Definicao de limite). Sejam A ⊂ R um conjunto de numeros reais, f de

A em R uma funcao real cujo domınio e A e a ∈ A′ um ponto de acumulacao do conjunto

A. Definimos

limx→a

f (x) = L

sse

∀ε > 0, ∃δ > 0|x ∈ A, 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − L| < ε.

Dizemos que L e o limite de f quando x tende para a ou que limite de f (x) com x

tendendo para a e L.

0 < |x − a| < δ significa que x ∈ (a − δ, a) ∪ (a, a + δ ), ou x ∈ (a − δ, a + δ ), x = a.

Pela definicao dada, nao e necessario que a ∈ A em limx→a f (x), precisamos apenas quea ∈ A′, isto e, todo intervalo (a − δ, a + δ ) possua pontos de A distintos de a. A funcao f

pode mesmo nao estar definida em a e quando esta definida em a, nao vale necessariamente

limx→a

f (x) = f (a).

Quando falarmos de limites usaremos sempre que a ∈ A′ onde A e o domınio da funcao

da qual queremos estudar limx→a

f (x).

3

7/17/2019 limites2


CAP ITULO 1. LIMITE DE FUNC ˜ OES 4

Propriedade 1 (Unicidade do limite). Sejam A ⊂ R, f de A em R. Se limx→a

f (x) = L1

e limx→a

f (x) = L2 entao L1 = L2.

Demonstracao. ∀ε > 0 existem (δ 1, δ 2)(> 0) tais que para x ∈ A vale 0 <

|x − a| < δ 1 implica |f (x) − L1| < ε

2 e 0 < |x − a| < δ 2 implica |f (x) − L2| <

ε

2, usando a

desigualdade triangular para δ = min{δ 1, δ 2} segue |L1−L2| ≤ |L1−f (x)|+|f (x)−L2| < ε

o que significa que L1 = L2.

Propriedade 2 (Limite da funcao constante). Se g(x) = c para todo x ∈ A entao

limx→a

g(x) = c.

Demonstracao. Tem-se que g(x) − c = 0 logo |g(x) − c| = 0 ∀x ∈ A entao ∀ε > 0

∃δ > 0| x ∈ A, 0 < |x − a| < δ ⇒ |g(x) − c| = 0 < ε.

Exemplo 1. Seja f : R∗ → R dada por f (x) = x⌊1

x⌋ entao f (x) = 0 para x > 1,

pois 0 < 1

x < 1 e daı ⌊

1

x⌋ = 0, isso implica que

limx→∞

x⌊1

x⌋ = 0.

Propriedade 3 (Limite da funcao identidade). Seja g : A → R dada por g(x) = x

entao vale

limx→a

g(x) = a.

Lembrando que a nao necessariamente pertence ao conjunto A, entao a princıpio nao

tem-se g(a) = a.

Demonstracao. Tomamos δ = ε e daı Para 0 < |x − a| < δ tem-se |g(x) − a| =

|x − a| < δ = ε.

Exemplo 2. Dada uma funcao r : R → R tal que limh→0

r(h)h

= 0 pode nao vale que

limh→0

r(h)

h2 = 0, por exemplo, r(h) = h2, tem-se

r(h)

h = h e

r(h)

h2 = 1.

1.1.1 Limite e sequencias

⋆ Teorema 1 (Criterio de sequencias para limite). limx→a

f (x) = L ⇔ limn→∞

f (xn) = L

para toda sequencia de pontos xn ∈ A \ {a} tal que lim xn = a.

7/17/2019 limites2



Demonstracao. ⇒.Suponhamos que limx→a

f (x) = L e lim xn = a com xn ∈ A \{a}.

Pela definicao de limite tem-se que ∀ε > 0 ,∃δ > 0 tal que

0 < |x − a| < δ, x ∈ A ⇒ |f (x) − L| < ε

e pelo limite da sequencia ∀ε1 > 0, ∃n0 ∈ N |n > n0 ⇒ 0 < |xn −a| < ε1, como e garantida

a relacao para qualquer ε1 > 0, tomamos ε1 = δ de onde segue 0 < |xn − a| < δ , usando

essa desigualdade com a definicao do limite de f (x) segue |f (xn) − L| < ε que implica

lim f (xn) = L.

⇐ Agora para provar a recıproca, vamos usar a contrapositiva que e

limx→a

f (x) = L ⇒ lim f (xn) = L.

∃ε > 0 tal que ∀n ∈ N podemos obter xn ∈ A com 0 < |xn − a| < 1

n e |f (xn) − L)| ≥ ε.

Entao xn → a, mas nao se tem lim f (xn) = L.

Corolario 1 (Criterio de divergencia por sequencias). Dadas duas sequencias (xn), (yn) ∈

A \ {a} com lim xn = lim yn = a entao se lim f (xn) = lim f (yn) ou um deles nao existir,

entao limx→a

f (x) nao existe.

Exemplo 3. Sejam f : gR → R definidas como

f (x) = 0 se x ∈ R \ Q, f (x) = x se x ∈ Q.

g(0) = 1 e g(x) = 0 se x = 0.

Nessas condicoes vale limx→0

f (x) = limx→0

g(x) = 0 e nao existe limx→0

g(f (x)).

Vale limx→0

f (x) = 0, pois tomamos ε = δ entao par 0 < |x| < δ vale |f (x)| < δ = ε,

tanto para x irracional, pois no caso vale |f (x)| = 0 < ε, tanto no caso de x racional poisnesse caso vale |f (x)| = |x| < δ = ε, entao em qualquer desses casos temos |f (x)| < ε.

Tambem vale que limx→0

g(x) = 0, pois tomando ε = δ , 0 < |x| < δ implica x nao nulo,

portanto g(x) = 0 e daı |g(x)| = 0 < δ = ε.

Nao existe limx→0

g(f (x)).

Seja xn → 0 por valores racionais, entao f (xn) = xn e daı lim g(f (xn)) = lim g(xn) = 0.

Tomando yn → 0 por valores irracionais temos f (yn) = 0 e lim g(f (yn)) = lim g(0) = 1,

7/17/2019 limites2



logo nao pode existir limx→0

g(f (x)), pois o limite depende de como se aproxima de zero

(usamos o criterio de divergencia por meio de sequencias).

Propriedade 4. Se ∀(xn) em A \ {a} com lim xn = a implicar (f (xn)) convergente

entao limx→a

f (x) existe.

Demonstracao. Usaremos que limx→a

f (x) = L ⇔ ∀ (z n) ∈ A \ {a} com lim z n = a

vale lim f (z n) = L. Por isso vamos tomar duas sequencias arbitrarias (xn) e (yn) com

lim xn = lim yn = a em A \ {a} e vamos mostrar que lim f (xn) = lim f (yn). Tomamos

(z n) definida como z 2n = xn e z 2n−1 = yn, daı lim z n = a, portanto lim f (z n) existe, como

(f (xn)) e (f (yn)) sao subsequencias de (f (z n)) entao elas convergem para o mesmo limite

L, daı provamos que ∀ (z n) ∈ A \ {a} com lim z n = a vale lim f (z n) = L que implica

limx→a

f (x) = L.

Propriedade 5. Seja f : A → R, a ∈ A′, B = f (A \ {a}). Se limx→a

f (x) = L entao

L ∈ B.

Tal propriedade significa que o limite L pertence ao fecho da imagem f (A \ {a}), isto

e, existem pontos de f (A \ {a}) arbitrariamente proximos de L.

Demonstracao. Usaremos o criterio de sequencias. Como limx→a

f (x) = L, entao

existe sequencia (xn) em A \ {a} tal que lim f (xn) = L, daı tome f (xn) = yn, (yn) e uma

sequencia em f (A \ {a}) tal que lim yn = L, portanto L ∈ B.

Exemplo 4. limx→0

sen(1

x) nao existe.

Tomamos as sequencias xn = 1

2nπ e yn =

1

2nπ + π2

vale lim xn = 0 = l i m yn e

sen( 1

xn

) = sen(2nπ) = 0 e sen(2nπ+π

2) = 1 logo os limites sao distintos entao lim

x→0sen(

1

x)

nao existe.

Em geral, existe t ∈ R tal que sen(t) = v ∈ [−1, 1], tomando xn = 1

t + 2πn vale

lim xn = 0 e sen( 1

xn

) = sen(t + 2πn) = sen(t) = v.

Exemplo 5. limx→0

1

x nao existe, pois se existisse seria um numero real a e tomando

a sequencia xn = 1

n, terıamos que ter lim n = a o que nao acontece, pois vale lim n = ∞.

7/17/2019 limites2



Exemplo 6. limx→a

⌊x⌋ nao existe se a ∈ Z.

Tomamos as sequencias que convergem para a, xn = a − 1

n + 1 e yn = a +

1

n + 1, daı

⌊xn⌋ = a − 1 e ⌊yn⌋ = a, logo essas sequencias nao tem o mesmo limite, implicando que

nao existe limx→a

⌊x⌋.

Exemplo 7. Seja f : R \ {0} dada por f (x) = |x|

x , entao lim

x→0

|x|

x nao existe. Se

x > 0 entao |x|

x =

x

x = 1 se x < 0,

|x|

x =

−x

x = −1, tomamos uma sequencia xn =

1

n daı

f (xn) = 1 e tomando yn = −1

n tem-se f (yn) = −1, os limites sao distintos, logo lim

x→0

|x|

xnao existe.

Exemplo 8. Se a nao e inteiro, entao limx→a

⌊x⌋ = ⌊a⌋.

Dado a nao inteiro, tem-se que a ∈ (m, m+1) onde m e inteiro, logo podemos escolher

δ > 0 tal que (a − δ, a + δ ) ⊂ (m, m + 1) e daı para esses valores, vale ⌊x⌋ = m = ⌊a⌋,

implicando que ⌊x⌋ − ⌊a⌋ < ε para qualquer ε > 0.

Propriedade 6. (ver isso depois) Sejam f,gA → R. Se g(x) e limitada numa vizi-

nhanca de a e limx→a

f (x) = 0 entao limx→a

f (x).g(x) = 0.

Demonstracao. Tomamos uma sequencia (xn) em A tal que lim xn = a, temos

que (g(xn)) e limitada e lim f (xn) = 0, logo lim f (xn)g(xn) = 0, por propriedade de

sequencias, como a sequencia (xn) e arbitraria, segue que limx→a

f (x).g(x) = 0.

Exemplo 9. limx→0

x⌊1

x⌋ = 1 pois escrevemos

1

x = ⌊

1

x⌋ + {

1

x} daı

x⌊1

x⌋ = 1 − x{

1

x}

como {1

x} e limitada, segue que lim

x→0x⌊

1

x⌋ = 1.

1.2 Propriedades aritmeticas dos limites

Propriedade 7 (Limite da soma). Se limx→a

f (x) = L e limx→a

g(x) = M entao limx→a

f (x) +

g(x) = L + M.

7/17/2019 limites2



Demonstracao. Tomamos uma sequencia (xn) em A com lim xn = a, daı temos

lim f (xn) = L e lim g(xn) = M , e por propriedade de limite de sequencias lim f (xn) +

g(xn) = L + M , pela arbitrariedade da sequencia (xn) concluımos que limx→a

f (x) + g(x) =

L + M.

Propriedade 8. Se limx→a

f k(x) = Lk entao

limx→a

n∑k=1

f k(x) =n∑

k=1

Lk.

Demonstracao.

Propriedade 9 (Limite do quociente). Se limx→a


g(x) = M = 0 entao

limx→a

f (x)

g(x) =

L

M .


lim f (xn) = L e lim g(xn) = M , e por propriedade de limite de sequencias

lim f (xn)

g(xn) =

L

M

pela arbitrariedade da sequencia (xn) concluımos que limx→a

f (x)

g(x) =

L

M .

Propriedade 10 (Limite do produto). Se limx→a


g(x) = M = 0 entao

limx→a

f (x)g(x) = L.M


lim f (xn) = L e lim g(xn) = M , e por propriedade de limite de sequencias

lim f (xn)g(xn) = LM

pela arbitrariedade da sequencia (xn) concluımos que limx→a

f (x)g(x) = L.M


f k(x) = Lk entao

limx→a

n∏k=1

f k(x) =n∏

k=1

Lk.

Corolario 2. Se p ∈ N , f : A → R dada por f (x) = x p entao

limx→a

x p = a p.

7/17/2019 limites2



Corolario 3. Se f : A → R e polinomial f (x) =n∑

k=0

akxk entao

limx→c

n∑k=0

akxk =n∑

k=0

akck.

Demonstracao.

1.2.1 Funcao de Dirichlet

Definicao 2 (Funcao de Dirichlet). E a funcao g : R → R definida como

g(x) = 1 se x ∈ Q

0 se x /∈ Q

Propriedade 12. Para qualquer a ∈ R nao existe limx→a

g(x).

Demonstracao. Como Q e R \ Q sao ambos densos em R, podemos tomar uma

sequencia de racionais (xn) que converge para a e daı g(xn) = 1, entao lim g(xn) = 1,

porem tomando uma sequencia (yn) de irracionais tais que lim(yn) = a, temos g(yn) = 0

e lim g(yn) = 0, como os limites sao diferentes segue que limx→

a

g(x) nao existe.

1.2.2 Limite da composicao de funcoes

⋆ Teorema 2 (Limite da composicao de funcoes). Sejam A, B ⊂ R, f de A em R e g

de B em R com f (A) ⊂ B. Se limx→a

f (x) = b e limy→b

g(y) = c ainda com c = g(b), tem-se

limx→a

g(f (x)) = c.

Demonstracao. Da existencia do limite de g(x) temos que para todo ε > 0

existe δ 1 > 0 tal que y ∈ B, |y − b| < δ 1 ⇒ |g(y) − c| < ε, onde tiramos a restricao

de y = b, pois no caso y = b a propriedade vale. Agora usando a existencia do limite

de f tomando δ 1 como εf , ε para f , temos que para δ 1 existe δ 2 > 0 tal que x ∈ A,

0 < |x − a| < δ 2 ⇒ |f (x) − b| < δ 1 como f (x) ∈ B , podemos tomar y = f (x) de onde do

primeiro limite que |g(f (x)) − c| < ε implicando que limx→a

g(f (x)) = c.

Se x = a implicar f (x) = b ainda teremos a propriedade pois , repetindo o argumento

com pequenas alteracoes:

7/17/2019 limites2



Da existencia do limite de g(x) temos que para todo ε > 0 existe δ 1 > 0 tal que y ∈ B,

0 < |y − b| < δ 1 ⇒ |g(y) − c| < ε, onde agora mantemos a restricao de y = b. Usando a

existencia do limite de f tomando δ 1 como εf , ε para f , temos que para δ 1 existe δ 2 > 0

tal que x ∈ A, 0 < |x − a| < δ 2 ⇒ 0 < |f (x) − b| < δ 1 ( aqui usamos que x = a implica

f (x) = b) como f (x) ∈ B, podemos tomar y = f (x) de onde do primeiro limite que

|g(f (x)) − c| < ε implicando que limx→a

g(f (x)) = c.

Exemplo 10. Nesse exemplo mostramos que e necessario supor g(b) = c. Suponha

que g(x) = x, ∀x = 1 e g(1) = 0. Temos que

limx→1

g(x) = 1 = g(1) = 0.

Tomando f (x) = 1, ∀x, segue que

limx→a

f (x) = 1,

porem

limx→a

g(f (x)) = limx→a

g(1) = 0 = limx→1

g(x) = 1.

1.3 Limites e desigualdades

1.3.1 Teorema do sanduıche

⋆ Teorema 3 (Teorema do sanduıche). Sejam f , g, h de A em R, a ∈ A′ e limx→a

f (x) =

limx→a

g(x) = L. Se f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) para todo x ∈ A \ {a} entao limx→a

h(x) = L.

Demonstracao. ∀ε > 0 ∃(δ 1, δ 2)(> 0) tais que x ∈ A,

0 < |x − a| < δ 1 ⇒ L − ε < f (x) < L + ε

e

0 < |x − a| < δ 2 ⇒ L − ε < g(x) < L + ε

, tomando δ = min{δ 1, δ 2} tem-se L − ε < f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) < L + ε

que implica limx→a

h(x) = L.

7/17/2019 limites2



Propriedade 13. Sejam f, g de A em R, a ∈ A′,se limx→a


g(x) = M com

M > L entao existe δ > 0 tal que g(x) > f (x) para todo x ∈ A com 0 < |x − a| < δ.

Demonstracao. Pela definicao de limite temos ∀ε > 0, ∃δ 1 > 0 tal que x ∈ A ,

0 < |x − a| < δ 1 implica f (x) ∈ (L − ε, L + ε) e o mesmo para g(x) , ∃δ 2 > 0 tal que x ∈ A

, 0 < |x − a| < δ 2 implica g(x) ∈ (M − ε, M + ε), podemos tentar tomar M − ε = L + ε,

com isso M − L

2 = ε, como M > L tal ε cumpre a condicao ε > 0, tomando ε =

M − L

2e δ = min{δ 1, δ 2} tem-se f (x) < L − ε = M − ε < g(x), isto e, f (x) < g(x) para x ∈ A,

0 < |x − a| < δ.

Corolario 4. Se limx→a

f (x) = L < M entao existe δ > 0 tal que f (x) < M para todo

x ∈ A com 0 < |x − a| < δ.

Tome g(x) = M para todo x ∈ A, assim limx→a

g(x) = M e aplicamos a propriedade

anterior.

Corolario 5. Sejam limx→a


g(x) = M . Se g(x) ≥ f (x) para todo

x ∈ A − {a} entao M ≥ L.

Pois se fosse L > M , existiria δ > 0 tal que f (x) > g(x) para 0 < |x − a| < δ o que

entra em contradicao com g(x) ≥ f (x).

Corolario 6 (Conservacao de sinal). Se limx→a

g(x) = M > 0 entao existe δ > 0 tal que

g(x) > 0 para todo x ∈ A com 0 < |x − a| < δ , tomamos f (x) = 0 e usamos a propriedade

ja demonstrada.

Propriedade 14 (Existencia de limite e limitacao da funcao). Sejam X ⊂ R, f :

X → R, a ∈ X ′. Se existe limx→a

f (x) entao f e limitada numa vizinhanca de a, isto e,

existem A > 0, δ > 0 tais que 0 < |x − a| < δ , x ∈ X ⇒ |f (x)| < A.

Seja L = limx→a

f (x) e ε = 1 na definicao de limite, entao existe

δ > 0|x ∈ X, 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − L| < 1

L − 1 < f (x) < L + 1 multiplicando por −1 segue e invertendo as desigualdades tem-se

−L − 1 < −f (x) < −L + 1

7/17/2019 limites2



como temos L ≤ |L| e −L ≤ |L| segue L + 1 ≤ |L| + 1 e −L + 1 ≤ |L| + 1 e

−f (x) ≤ |L| + 1, f (x) ≤ |L| + 1 ⇒ |f (x)| ≤ |L| + 1

tomando A = |L| + 1 segue a propriedade.

1.3.2 Criterio de Cauchy para limites

Propriedade 15. limx→a

f (x) existe sse

∀ε > 0 ∃δ > 0 |0 < |x − a| < δ, 0 < |y − a| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ε.

Demonstracao. Se limx→a

f (x) = L entao

∀ε > 0, ∃δ > 0 | x, y ∈ A, |x − a| < δ, |y − a| < δ ⇒ |f (x) − b| < ε2

, |f (y) − b| < ε2

tomando a desigualdade triangular segue

|f (x) − f (y)| ≤ |f (y) − b| + |f (x) − b| < ε

2 +

ε

2 = ε

logo nessas condicoes |f (x) − f (y)| < ε.

Para toda sequencia de pontos (xn) em A com lim xn = a, com as condicoes dadas a

sequencia (f (xn)) e de Cauchy em R como R e completo ela converge o que implica que

existe o limite limx→a f (x).

1.4 Limites laterais

Definicao 3 (Limite a direita). Seja a ponto de acumulacao a direita de A, isto e,

∀δ > 0 vale A ∩ (a, a + δ ) = ∅ entao

limx→a+ f (x) = L ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0, x ∈ A, 0 < x − a < δ ⇒ |f (x) − L| < ε.

Podemos escrever 0 < x − a < δ como a < x < a + δ.

Definicao 4 (Limite a esquerda). Seja a ponto de acumulacao a esquerda de A, isto

e,∀δ > 0 vale A ∩ (a − δ, a) = ∅ entao

limx→a−

f (x) = L ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0, x ∈ A, 0 < a − x < δ ⇒ |f (x) − L| < ε.

7/17/2019 limites2



Podemos denotar os limites laterais como

limx→a−

f (x) = f (a−)

limx→a+

f (x) = f (a+).

Propriedade 16. Sejam X ⊂ R, f : X → R, a ∈ X ′

+. Tomando Y = X ∩ (a, +∞) e

g = f |Y entao

limx→a+

f (x) = L ⇔ limx→a

g(x) = L.

Demonstracao. Se x ∈ Y temos x ∈ (a, +∞), de onde segue a < x, 0 < x − a.

Se limx→a+

f (x) = L ⇒

∀ε > 0, ∃δ > 0 | x ∈ X, 0 < x − a < δ ⇒ f (x) ∈ (L − ε, L + ε)

de x ∈ X e 0 < x − a, implica x ∈ Y e nesse intervalo g = f logo f (x) ∈ (L − ε, L + ε)


g(x) = L.

Se limx→a

g(x) = L entao

∀ε > 0, ∃δ > 0 | x ∈ Y, 0 < x − a < δ ⇒ |g(x) − L| < ε

mas em Y , g = f entao |f (x) − L| < ε que implica limx→a+

f (x) = L.

Propriedade 17. Seja A ⊂ R, f : A → R e a ∈ A′

+ ∩ A′

− entao lim

x→af (x) = L sse

existem e sao iguais os limites laterais

limx→a+

f (x) = L = limx→a−

f (x)

Demonstracao. Se limx→a+

f (x) = L = limx→a−

f (x) entao ∀ε > 0, ∃(δ 1, δ 2)(> 0) tais

que x ∈ X ∩ (a, a + δ 1) implica |f (x) − L| < ε e x ∈ X ∩ (a − δ 2, a) implica |f (x) − L| < ε.

Tomando δ = min{δ 1, δ 2} entao x ∈ (a − δ, a) ∪ (a, a + δ ) implica |f (x) − L| < ε e

limx→a

f (x) = L. Falta a outra parte.

Propriedade 18. Sejam A ⊂ R, f : A → R uma funcao monotona limitada, a ∈ A′

+

e b ∈ A′

−. Entao existem os limites laterais

limx→a+

f (x) = L, limx→b−

f (x) = M.

7/17/2019 limites2



Demonstracao. Seja B = inf {f (x), x ∈ A,x > a}, tal conjunto e nao vazio pois a

e ponto de acumulacao a direita e limitado inferiormente , pois f e limitada inferiormente,

logo ele possui ınfimo L . L+ε nao e cota inferior de B , logo existe δ > 0 tal que a+δ ∈ A

e vale L ≤ f (a + δ ) < L + ε, como f e nao-decrescente tem-se com a < x < a + δ que

L ≤ f (x) < f (a + δ ) < L + ε daı limx→a+

f (x) = L.

Exemplo 11. Vale limx→a+

⌊x⌋ = a e limx→a−

⌊x⌋ = a − 1 logo nao existe o limite limx→a

⌊x⌋

se a e inteiro. Podemos tomar δ < 1 com a < x < a + δ < a + 1 e nesse intervalo vale

⌊x⌋ = a logo limx→a+

⌊x⌋ = a, da mesma maneira tem-se a − 1 < a − δ < x < a, logo nesse

intervalo vale ⌊x⌋ = a − 1 de onde tem-se limx→a−

⌊x⌋ = a − 1 .

Propriedade 19. limx→a+

f (x) = L ( limx→a−

f (x) = L) ⇔ ∀(xn) em A decrescente (cres-

cente) com lim xn = a tem-se lim f (xn) = L.

Demonstracao. Vale que limx→a+

f (x) = L ⇔ limx→a

g(x) = L onde g : B → R onde

B = A ∩ (a, ∞). Porem limx→a

g(x) = L ⇔ ∀(xn) em B com lim xn = a vale lim g(xn) = L.

Vamos entao provar a propriedade.

⇒). Se limx→a+

f (x) = L entao limx→a

g(x) = L que implica ∀(xn) em B com lim xn = a

vale lim g(xn) = L, em especial para as sequencias (xn) que sejam decrescentes.

⇐). Vamos usar a contrapositiva que e se limx→a

g(x) = L entao existe (xn) em A decres-

cente com lim xn = a tal que lim g(xn) = L. Supondo que temos limx→a

g(x) = L entao existe

sequencia (yn) em B com lim yn = a tal que lim g(yn) = L, como (yn) ∈ (a, a + ε) ∩ A,

podemos tomar (xn) subsequencia de (yn) tal que lim xn = a e lim g(xn) = L (pois as

subsequencias devem convergir para o mesmo valor das sequencias), assim fica provado o

resultado.

Exemplo 12. Tomamos f : R \ {0} → R definida como f (x) = 1

1 + a1

x

com a > 1,

vamos analisar os limites laterais limx→0+

f (x) e limx→0−

f (x).

Seja (xn) em R \ {0} tal que lim xn = 0 entao vale lim a 1xn = ∞, pois como lim xn = 0

podemos tomar c > 0 tal que ac > M > 0 arbitrario e 0 < xn0 < 1

c < 1 daı axn0 < a

1c ⇒

M < ac < a1

xn0 e como xn e decrescente para n0 < n vale xn < xn0 portanto axn < axn0 ⇒

M < a1

xn0 < a 1xn logo lim a

1xn = ∞ de onde segue que lim f (xn) = lim

1

1 + a 1

xn

= 0 que

por sua vez implica limx→0+

f (x) = 0.

7/17/2019 limites2



Admitimos agora (yn) crescente em R \ {0} tal que lim yn = 0. a 1yn =

1

a 1

−yn

, como

yn+1 > yn segue que −yn > −yn+1, (−yn) e decrescente e tende a zero logo pelo resultado

anterior lim a 1

−yn = ∞ ⇒ lim a 1yn = lim 1

a 1−yn

= 0, portanto lim 1 + a 1yn = 1 e lim f (xn) =

lim 1

1 + a 1xn

= 1 daı vale limx→0−

f (x) = 1.

Propriedade 20. Seja f : A → R monotona. Se existe (xn) em A com xn > a,

lim xn = a e lim f (xn) = L entao limx→a+

f (x) = L.

Demonstracao. Suponha f nao decrescente, vamos mostrar que

B = {f (x), x ∈R

, x > a}

e um conjunto limitado inferiormente. Dado x arbitrario e fixo tal que x > a existe xn > a

que satisfaz x > xn > a, pois lim xn = a, f nao decrescente implica f (x) ≥ f (xn), como

(f (xn)) e convergente, vale que tal sequencia e limitada inferiormente, portanto existe M

tal que f (xn) > M ∀n ∈ N daı f (x) ≥ f (xn) > M para f (x) ∈ B arbitrario, logo B e

limitado inferiormente. Por B ser limitado inferiormente ele possui ınfimo .

Seja L′ = inf B = inf {f (x), x ∈ R, x > a}, vale que limx→a

f (x) = L′ (resultado ja

demonstrado), disso segue pelo criterio de sequencias para limite lateral que lim f (xn) =

L′ = L, pela unicidade de limite, portanto limx→a

f (x) = L.

Exemplo 13. Seja f : R\{0} dada por f (x) = sen(1

x)

1

1 + 21

x

. Determine o conjunto

dos pontos L tais que lim f (xn) = L, com lim xn = 0, xn = 0.

Tomando o modulo da expressao

sen(

1

x)

1

1 + 21

x

= 1

1 + 21

x

< 1

pois 0 < 21x , daı nao podemos ter limites dessa expressao fora do intervalo [−1, 1], vamos

mostrar que temos limites em cada ponto desse intervalo .

Existe −t ∈ R tal que sen(−t) = v ∈ [−1, 1]., Tomando xn = −1

t + 2πn vale sen(

1

xn

) =

sen(−t) = v, alem disso (xn) e decrescente com lim xn = 0, portanto vale lim f (xn) =

lim v

1 + 2 1xn

= v, pois o limite no denominador resulta em 1 (limite ja calculado).

7/17/2019 limites2



1.5 Limites no infinito e limites infinitos

1.5.1 Definicoes com limites de x → ∞

Definicao 5. Seja A ⊂ R ilimitado superiormente e f : A → R, dizemos que

limx→∞

f (x) = L ⇔ ∀ε > 0 ∃A > 0, x > A ⇒ |f (x) − L| < ε.

Tal definicao abrange a definicao para limite de sequencias, que e tomada como o caso

A = N.

Definicao 6. limx→∞f (x) = ∞ ⇔

∀A > 0, ∃B > 0 | x > B ⇒ f (x) > A.

Propriedade 21. Se limx→∞

f (x) = ∞ entao limx→∞

1

f (x) = 0.

Demonstracao. Pela primeira propriedade temos ∀B > 0, ∃A > 0 | x > A ⇒

f (x) > B entao a funcao assume apenas valores positivos a partir de certo valor de x, se

f (x) > 0 entao 0 < 1

f (x)1

f (x) <

1

B = ε

logo vale limx→∞

1

f (x) = 0.

Exemplo 14. Pode acontecer de limx→∞

1

f (x) = 0 porem lim

x→∞f (x) = ∞, como o caso

de f (x) = −x vale

limx→∞

1

−x = 0

e

limx→∞

−x = −∞.

Definicao 7. limx→∞

f (x) = −∞ ⇔

∀A > 0, ∃B > 0 | x > B ⇒ f (x) < −A.

7/17/2019 limites2



Propriedade 22. Seja f : B → R limitada superiormente e nao-decrescente, B

ilimitado superiormente entao

limx→∞

f (x) = sup{f (x), x ∈ B}.

Demonstracao.

f e limitada superiormente logo existe sup{f (x), x ∈ B} = L. Como L e o supremo,

dado ε > 0, existe xA ∈ B tal que f (xA) ∈ (L − ε, L], como f e nao-decrescente temos

para x > xA, L ≥ f (x) ≥ f (xA), logo f (x) ∈ (L − ε, L] o que implica

limx→∞

f (x) = L.

Propriedade 23 (Limite da soma). Sejam g, f definidas em B ⊂ R ilimitado. Se

limx→∞

f (x) = L1 e limx→∞

g(x) = L2 entao

limx→∞

f (x) + g(x) = L1 + L2.

Demonstracao. Dado ε > 0 arbitrario existe A1 > 0 tal que x ∈ B , x > A1

implica |f (x) − L1| < ε e existe A2 > 0 tal que x ∈ B,x > A2 implica |f (x) − L1| < ε

2|g(x) − L2| <

ε

2 pela existencia de lim

x→∞f (x) = L1 e lim

x→∞g(x) = L2, tomando A > A1 + A2

valem ambas propriedades descritas e daı temos por desigualdade triangular

|f (x) + g(x) − (L1 + L2)| ≤ |f (x) − L1| + |g(x) − L2| < ε

2 +

ε

2 = ε.

1.5.2 Definicoes com limites de x → −∞

Definicao 8. Seja A ⊂ R ilimitado inferiormente e f : A → R, dizemos que

limx→−∞

f (x) = L

sse∀ε > 0 ∃A > 0, x < −A ⇒ |f (x) − L| < ε.

Definicao 9. limx→−∞

f (x) = −∞ sse

∀A > 0, ∃B > 0 | x < −B ⇒ f (x) < −A.

Definicao 10. limx→−∞

f (x) = ∞ sse

∀A > 0, ∃B > 0 | x < −B ⇒ f (x) > A.

7/17/2019 limites2



1.5.3 Definicoes de limites tendendo ao infinito

Definicao 11. Dizemos que limx→a+

f (x) = ∞ quando

∀A > 0, ∃δ > 0 | 0 < x − a < δ ⇒ f (x) > A.

Definicao 12. Dizemos que limx→a−

f (x) = ∞ quando

∀A > 0, ∃δ > 0 | 0 < a − x < δ ⇒ f (x) > A.

Definicao 13. Dizemos que limx→a

f (x) = ∞ quando

∀A > 0, ∃δ > 0 | 0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) > A.

Negar que limx→a

f (x) = ∞ significa dizer

∃A > 0, ∀δ > 0 | ∃x ∈ A com 0 < |x − a| < δ e f (x) < A.


f (x) = ∞ e limx→a

g(x) = ∞ entao

limx→a

(f (x) + g(x)) = ∞

.

Intuitivamente, temos que se f (x) e g(x) assumem valores arbitrariamente grandes

com x proximo de a, entao f (x) + g(x) tambem assume valor arbitrariamente grande

nessas condicoes. Por isso dizemos que ∞ + ∞ nao e uma forma indeterminada, ela e

determinada com valor ∞.

Demonstracao. Seja A > 0 arbitrario , temos por condicoes de que limx→a

f (x) = ∞

e limx→a g(x) = ∞ , existem δ 1 > 0 e δ 2 > 0 tais que

0 < |x − a| < δ 1 ⇒ f (x) > A,

0 < |x − a| < δ 2 ⇒ g(x) > A,

tomando entao δ = min{δ 1, δ 2} segue que tanto f (x) > A e g(x) > A para |x − a| <

δ , por isso tambem temos f (x) + g(x) > 2A > A com |x − a| < δ e daı segue que

limx→a

(f (x) + g(x)) = ∞ , por definicao de limite infinito .

7/17/2019 limites2




f (x) = ∞ e g(x) > c > 0 numa vizinhanca de a entao

limx→a

f (x).g(x) = ∞.

Demonstracao. Para todo A > 0 existe ε > 0 tal que x ∈ (a − ε, a + ε) implica

g(x) > c e f (x) > A

c , daı g(x).f (x) > A o que implica lim

x→af (x).g(x) = ∞.

Exemplo 15.

limx→0

1

x2(2 + sen(

1

x)) = ∞

pois o limite da primeira funcao e infinito e a segunda funcao e limitada inferiormente

por 1 .

1.5.4 Definicoes de limites tendendo a menos infinito

Definicao 14. Dizemos que limx→a+

f (x) = −∞ quando

∀A > 0, ∃δ > 0 | 0 < x − a < δ ⇒ f (x) < −A.

Definicao 15. Dizemos que limx→a−


∀A > 0, ∃δ > 0 | 0 < a − x < δ ⇒ f (x) < −A.

Definicao 16. Dizemos que limx→a


∀A > 0, ∃δ > 0 | 0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) < −A.


f (x) = ∞ entao f e ilimitada numa vizinhanca de a. Pois para

qualquer A > 0 que escolhermos, ira existir δ > 0 tal que |x − a| < δ implique f (x) > A,

logo f nao e limitada.


f (x) = −∞ entao f e ilimitada numa vizinhanca de a. Pois para

qualquer A > 0 que escolhermos, ira existir δ > 0 tal que |x − a| < δ implique f (x) < −A,

logo f nao e limitada.

Propriedade 26 (Unicidade do limite). Se limx→a

f (x) = ∞ entao nao acontece de

limx→a

f (x) = L para algum L real ou limx→a

f (x) = −∞.

7/17/2019 limites2



Demonstracao. Se limx→a

f (x) = L entao f seria limitada numa vizinhanca de a,

o que nao pode acontecer. Se limx→a

f (x) = −∞ entao existiria δ > 0 tal que |x − a| < δ

implicaria f (x) < −A e por limx→a

f (x) = ∞ implicaria existir δ 1 > 0 tal que |x − a| < δ 1

implica f (x) > A, tomando δ 2 < min{δ, δ 1} terıamos que ter f (x) > A e f (x) < −A, logo

f (x) > 0 e f (x) < 0 o que e absurdo.

1.5.5 Criterio de comparacao

Propriedade 27 (Criterio de comparacao). Se g(x) ≥ f (x) numa vizinhanca qualquer

de a, entao limx→a

f (x) = ∞ implica limx→a

g(x) = ∞, isto e, se a funcao ”menor”tende ao

infinito a ”maior”tambem tende ao infinito.

Demonstracao. Existe δ > 0 tal que x ∈ A, |x − a| < δ implica g(x) ≥ f (x),

como limx→a

f (x) = ∞ entao para todo A > 0 existe δ 1 > 0 tal que |x − a| < δ 1 implica

f (x) > A, tomando δ 2 < min{δ 1, δ } tem-se que g(x) ≥ f (x) e f (x) > A daı g(x) > A o


g(x) = ∞.


f (x) existe e limx→a

g(x) = ∞ entao g(x) > f (x) numa vizinhanca

de a, pois f e limitada valendo f (x) ≥ |f (x)| < A e g e ilimitada numa vizinhanca de a

valendo g(x) > A > f (x).

Exemplo 16. limx→0

1

|x| = ∞ pois para qualquer A > 0 tomando δ =

1

A tem-se de

0 < |x| < 1

A que A <

1

|x| logo lim

x→0

1

|x| = ∞.

Exemplo 17. Tomando −1 < x < 1, x = 0 tem-se 0 < |x| < 1 e daı |x|2 < |x|, isto

e, x2 < |x| logo 1

x2 >

1

|x| isso implica que lim

x→0

1

x2 = 0 pelo criterio de comparacao.

Propriedade 28 (Teorema do sanduıche). Se vale f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) para x sufici-

entemente grande, se limx→∞

f (x) = limx→∞

h(x) = L entao limx→∞

g(x) = L.

Demonstracao. Existem A1, A2 > 0 tais que para x > A1 vale

L − ε ≤ f (x) ≤ L + ε

para x > A2 vale

L − ε ≤ g(x) ≤ L + ε

7/17/2019 limites2



e para x > A3 vale f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) , tomando B > A1 + A2 + A3 e x > B segue que

L − ε ≤ f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) ≤ L + ε

que implica limx→∞

g(x) = L.

1.5.6 limx→a

f (x) = ∞ e sequencias.

Propriedade 29. limx→a

f (x) = ∞ sse lim f (xn) = ∞ com xn ∈ B \ {a} e lim xn = a.

Demonstracao. ⇒. Do limite da funcao tem-se ∀A > 0, ∃δ > 0 tal que

0 < |x − a| < δ implica f (x) > A, do limite da sequencia temos que existe n0 ∈ N tal que

n > n0 implica |xn − a| < δ e daı f (xn) > A que significa lim f (xn) = ∞.

⇐. Usaremos a contrapositiva. Existe A > 0 tal que podemos construir uma sequencia

xn que satisfaz 0 < |xn − a| < 1

n e f (xn) < A, daı lim xn = a e lim f (xn) = ∞.

Propriedade 30. Seja P : R → R com P (x) =n∑

k=0

akxk com an = 0, n ≥ 1. Se n e

par entao limx→∞

P (x) = limx→−∞

P (x) sendo ∞ se an > 0 e −∞ se an < 0. Se n e ımpar entao

limx→∞

P (x) = ∞ e limx→−∞

P (x) = −∞ com an > 0 e limx→∞

P (x) = −∞ e limx→−∞

P (x) = ∞ se

an < 0.

Demonstracao. Escrevemos P (x) = anxn

→1 (n−1∑k=0

ak

anxn−k

→0

+1). Se n e par limx→∞

xnan =

∞ = limx→−∞

xnan com an > 0 e limx→∞

xnan = −∞ = limx→−∞

xnan se an < 0, portanto o mesmo

segue para P (x).

Se n e ımpar, limx→∞

xnan = ∞ e limx→−∞

xnan = −∞ com an > 0, caso an < 0 tem-se

limx→∞xnan = −∞ e limx→−∞xnan = ∞.

Propriedade 31. Seja f : [a, ∞) → R limitada. Para cada t ≥ a definimos

M t = sup{f (x) | x ∈ [t, ∞)} = sup At

mt = inf {f (x) | x ∈ [t, ∞)} = sup At

7/17/2019 limites2



wt = M t − mt, chamada de oscilacao de f em I = [t, ∞). Nessas condicoes, existem

limt→∞

M t e limt→∞

mt.

∃ limt→∞f (t) ⇔ limt→∞wt = 0.

Demonstracao. M t e nao-crescente e mt e nao-decrescente. Se s > t vale

que {f (x) | x ∈ [s, ∞} = As ⊂ {f (x) | x ∈ [t, ∞)} = At, portanto sup At ≥ sup As,

implicando M t ≥ M s logo mt e nao-crescente. Da mesma maneira mt e nao-decrescente,

pois de As ⊂ At segue inf As ≥ inf At e daı ms ≥ mt que significa que mt e nao-decrescente.

Ambas funcoes sao limitadas logo os limites limt→∞

M t e limt→∞

mt existem.

limt→∞

M t = L, limt→∞

mt = l ⇒ limt→∞

wt = L − l.

Agora provamos a equivalencia enunciada. ⇐). Se limt→∞

wt = 0 entao ⇒ limt→∞

f (t)

existe. Vale que mt ≤ f (t) ≤ M t (pois mt e M t sao ınfimo e supremo respectivamente),

se ⇒ limt→∞

wt = 0 entao L − l = 0 ⇒ L = l, daı por teorema do sanduıche tem-se

L = limt→∞

mt ≤ limt→∞

f (t) ≤ limt→∞

M t = L

de onde segue limt→∞

f (t) = L.

⇒). Se limt→∞

f (t) = L entao ∀ε > 0 ∃x ≥ a tal que para t ≥ a vale L −ε < f (t) < L+ ε,

logo L − ε ≤ mt ≤ f (t) ≤ M t ≤ L + ε pois mt e ınfimo e M t e supremo, portanto

M t − mt ≤ 2ε (pois ambos pertencem ao intervalo (L − ε, L + ε)) e isso implica que

limt→∞

M t = limt→∞

mt = L daı lim wt = 0.

1.6 Limites de funcoes em espacos metricos

Definicao 17. Sejam A ⊂ M , a ∈ A e f : A → N , b ∈ N e o limite de f (x) quando

x tende a a quando

∀ε > 0, ∃δ > 0 | d(x, a) < δ ⇒ d(f (x), b) < ε.

7/17/2019 limites2



1.7 Stolz-Cesaro para limite de funcoes

Propriedade 32 (Stolz-Cesaro para limite de funcoes). Sejam f , g : R+ → R limita-

das em cada intervalo limitado, g crescente, com

limx→∞

∆f (x)

∆g(x) = L lim

x→∞g(x) = ∞

entao

limx→∞

f (x)

g(x) = L.

Demonstracao. Dado ε > 0 existe, tal que para x > M vale

ε − L < ∆f (x)

∆g(x) < ε + L

como g e crescente vale ∆g(x) > 0 entao podemos multiplicar a desigualdade por tal

termo, substituir x por x + k onde k natural e aplicar a soman−1∑k=0

, que resulta em

(ε − L)(g(x + n) − g(x)) + f (x) < f (x + n) < (ε + L)(g(x + n) − g(x)) + f (x)

por soma telescopica, dividimos por g(x + n), que pode ser considerado positivo pois

g → ∞

(ε − L)(1 − g(x)

g(x + n)) +

f (x)

g(x + n) <

f (x + n)

g(x + n) < (ε + L)(1 −

g(x)

g(x + n)) +

f (x)

g(x + n)

agora passamos as sequencias, tomamos x = yn em [M, M + 1] e xn = n + yn e uma

sequencia arbitraria que tende a infinito, g e f sao limitadas em [M, M + 1] daı

(ε − L)(1 −

g(yn)

g(xn)) +

f (yn)

g(xn) <

f (xn)

g(xn) < (ε + L)(1 −

g(yn)

g(xn)) +

f (yn)

g(xn)

a passagem do limite nos garante que lim f (xn)

g(xn) = L pois g(yn) e f (yn) sao limitadas e

lim g(xn) = ∞ .

Documents

limites2