Linea Recta Unidad 1

09/05/13 LCI a Distancia M.N. Unidad 1

148.204.103.140/moodle/file.php/62/moddata/scorm/198/html/unidad_1_tema_1.html 1/25

El ejehorizontales "x"

Linea recta

Antes de iniciar establezcamos algunos acuerdos:

- Sea una recta horizontal:

Siempre comenzaremos en el 0 u origen; del cero a la derecha se ubican los númerospositivos, del cero a la izquierda se ubican los números negativos.

- Sea una recta vertical:

Comenzaremos en el origen (0); del origen hacia arriba se ubican los números positivos, delcero hacia abajo se ubican los números negativos.

http://148.204.103.140/moodle/file.php/62/moddata/scorm/198/pdf/unidad_1_b.pdf



El ejevertical es

"y"

Ahora juntemos las dos rectas, haciéndolas coincidir en el punto de origen de ambas:

Las dos rectas juntas se llaman “Plano cartesiano”, en honor al matemático francés RenéDescartes.

Les presento a Fulanito . Ubiquémoslo en el origen del Plano cartesiano:



Ahora le daremos instrucciones para llegar al punto A:

- Primero le daremos instrucciones sobre si debe moverse hacia la derecha o hacia laizquierda:

“Fulanito, camina cuatro pasos a la derecha”.

- Después, le daremos instrucciones para moverse hacia arriba o hacia abajo:

“Fulanito, camina cinco pasos hacia arriba”.

Aprendamos una forma más rápida para darle instrucciones a Fulanito:

( derecha: 4 , arriba: 5 )

De aquí en adelante, para decir derecha o izquierda escribiremos "x"; para decir arriba oabajo, escribiremos "y".

Así, para decir derecha 4, arriba 5, escribimos (x4, y5). Como todavía es un pococomplicado, aceptemos pues que si escribimos (4, 5) quiere decir 4 derecha, 5 arriba.



Representemos ahora (3, -4), es decir,

Observa la siguiente imagen donde te mostramos la relación entre el Plano cartesiano y lascoordenadas:

Grafiquemos ahora las siguientes coordenadas:



Observa ahora la siguiente representación:

La recta

Grafiquemos dos puntos:

A ( -6 , -8)

B ( 3 ,4 )

Lo primero que debemosaprender es a identificar el



signo de la recta. SiFulanito debe trasladarsede A a B, ¿quéinstrucciones le damos?:

Camina a la derecha (+) y

sube (+)

De la trigonometríatomemos la definición detangente:

luego, la recta es +

Grafiquemos

A (-8, -4)

B (2,8)

El concepto más importante de la recta es la tangente:



En geometría analítica se le llama pendiente y mide la razón de cambio, es decir, cómocambia y cuando cambia x.

Grafiquemos

A (-4, 6)

B (6, -4)

Por lo tanto, la recta es negativa.

Sea

A (-3, 4)

B (1, -6)



Como podemos observar la recta es negativa

Dibujemos una recta cualquiera

¿Es positiva o negativa?, vemos que entre más x, más y ∴ espositiva.

Dibujemos otra recta:



Sea

A (-2, 6)

B (4, -5)

¿Cómo es la pendiente?

Ahora midamos el cateto "y" y el cateto "x":

y = 11

x = 6



pero, ¿qué significa ?

Tiene dos lecturas:

1. quiere decir que a una disminución de 11 en "y", "x" aumenta 6.

2. quiere decir que a un aumento de 11 en "y", corresponde una disminución

de 6 en "x".

Calculemos la pendiente de:

A (-4, 7)

B (1, 1)

cuando "y" baja 6, "x" sube 5.

o

cuando "y" sube 6, "x" baja 5.

Otro ejemplo:

(-1, -1); (4, 4)



Cuando "y" sube 5, "x" sube 5 o cuando "y" baja 5, "x" baja 5.

Ejemplo:

Marinela vende 200,000 Gansitos a la semana a $5.00, su promoción de vender losGansitos a $4.00 provocó que se vendieran 318,000 en ese mismo lapso.

# deGansitos

PrecioEn forma

decoordenada

200 000 5.00(200 000,

5)

318 000 4.00(318 000,

4)

Graficándolo:

Cuando y disminuye, x aumenta



¿De cuánto fue el cambio en y, y de cuánto en x?

Sea $ 5.00 el precio inicial de y $ 4.00 el precio final, ¿de cuánto es la diferencia?

Restamos 5 – 4 = 1, el precio disminuyó 1 peso.

¿Qué pasó con la cantidad en este otro caso?

Sea 200,000 la cantidad inicial y 318,000 la cantidad final.

Restemos 318,000 – 200,000 = 118,000, la cantidad aumentó 118,000.

Expresémoslo como razón de cambio:

Todo esto tiene dos significados:

a) Si Marinela aumenta el precio de los gansitos en 1 peso las ventasdisminuirán 118000 piezas.

b) Si Marinela desea vender 118000 gansitos más debe disminuir el precio enun peso

Otro ejemplo:

Prodigy vende 10,000 computadoras a $ 8,000.00, pero a $ 7,200.00 vende 14,000.Veamos, grafiquemos en "x" la cantidad de computadoras y en "y", el precio:

CantidadPrecio



10 000 8 000

14 000 7 200

¿Qué quiere decir el último número? Tiene dos lecturas:

Si el precio baja 1, se venden 5 computadoras

más.

Si el precio aumenta 1, se venden 5

computadoras menos

De todo esto se desprende que para calcular la razón de cambio tenemos que efectuar lassiguientes operaciones:

1. Δy = Precio inicial – Precio final.

2. Δx = Cantidad inicial – Cantidad final.

3. Después hay que dividir ambas cantidades:

Asignemos variables:

Precioinicial

= y2

Cantidadinicial

= x2

Preciofinal

= y1



Cantidadfinal

= x1

Y ¡voilà!, tenemos la fórmula de la pendiente que sirve para expresar la razón de cambio.

Ejemplo. Sea la recta

A (1, 2)

B (9, 10)

Cuando y aumenta 1, x aumenta 1.

Más ejemplos:

Apliquemos la fórmula. Sea la recta

A (1, 2)

B (9, 10)



Observamos que es exactamente el mismo resultado

Ejemplo:

Calculemos la pendiente de la recta (-8, 6) y (4, -6):

Cuando x aumenta 1, y disminuye 1; cuando x disminuye 1, yaumenta 1.



Otro ejemplo:

Grafiquemos la recta de pendiente ½, recordemos que se lee

1 ↑y 1 y ↓ ó

2 →x

2 x←

Ubiquemos un punto cualquiera

Otro ejemplo:

En lo sucesivo, es irrelevante si decimos razón de cambio o pendiente. La pendiente sirvetambién para graficar.

Por ejemplo:

Grafiquemos una recta de pendiente

la clave es recordar que



-2 = y ↓

3 = x →

dibujamos un Plano cartesiano y en él ubicamos un punto cualquiera:

¡Voilà!, tenemos una recta.

Sea la recta:A (0, 0)

B (8, 12)

Dentro del triángulo dibujemos otro triángulo y midamos la razón de cambio

Agreguemos otro:

y otro:



Comparemos:

¿Qué observamos?, que la proporción es la misma.

¿Qué concluimos?

“Que dos puntos cualesquierasobre la misma recta

tendrán la misma pendiente”.

Lo demostraremos:

Si observamos los ángulos, notaremos que son iguales, por lo tanto, la pendiente nocambia, aún si la recta se prolongara al infinito, la pendiente no cambiará. Esta propiedades sumamente importante.

Ahora aprenderemos a traducir del lenguaje geométrico al lenguaje algebraico.

Sea la recta

http://148.204.103.140/moodle/mod/resource/view.php?id=3914



A (-5, 4)

B (3, -8)

Proyectemos la recta hasta un punto C con coordenadas (x, y). Sicalculáramos la pendiente entre C y A, ¿cuál será la nuevapendiente?

Recién leímos que si dos puntos cualesquiera están sobre la misma recta, la pendiente serála misma. Volvemos a preguntar ¿cuál es la pendiente entre los puntos C y A y entre A y B?, larespuesta es evidente: -

¿Qué pasa si volvemos a proyectar la recta hacia el punto D? Si calculamos la pendiente deB-D y A-D, ¿cuál será la pendiente D-C? Será una vez más -

PuntoCoordenadasC (x, y) → (x2, y2)

A (-5, 4) →(x1, y1)

B (3, -8)

Apliquemos la fórmula de la pendiente:

Ya conocemos la pendiente:



Ahora hagamos operaciones:

A esta última expresión se le llama ecuación general de la recta.

Esta expresión es una representación simbólica de la recta A (-5, 4); B (3, -8)

Ahora la pregunta es ¿para qué sirve una ecuación?

Veámoslo mediante el siguiente ejemplo:

El punto (1, 1) está sobre la recta, sustituyamos estos puntos en la ecuación general:

El número 13, entonces, no es igual que 0, esto significa que el punto (1, 1) no está sobre larecta.

Ahora tomemos la ecuación general y despejemos y.



A esto se le llama ecuación simplificada, pero, ¿para qué sirve?

Recordemos cuanto medía la pendiente: y si observamos la ecuación

simplificada:

En conclusión, ¿qué información da la ecuación simplificada?

Observemos que podemos describir totalmente a la recta sin un solo dibujo ese e el chistedel algebra, ahora dibujemos la recta y verifiquemos los resultados:

Construyamos una ecuación que describa la recta A (-8, -2); B (1, 9).



Veamos un ejemplo más:

¿El punto (3, 2) está sobre la recta?

Usemos la ecuación general:

11(3)-9(2)+70=0

33-18+70

103-18

85≠0

El punto (3, 2) no está sobre la recta.

Tomemos la recta general:

Transformémosla en simétrica:




Vamos a construir una ecuación especial que parte del siguiente principio: toda recta, si se

prolonga lo suficiente tocará al eje x y al eje y.

Esta última, es la llamada ecuación simétrica de larecta.



Aplicación

Cuando el dólar se cotizaba a $14.00, una empresa importadora compraba al mes 50,000unidades de celulosa de Islandia, pero cuando el dólar ha llegado a $15.60 sólo puedeimportar 32,000 unidades de celulosa.

Datos:

Cantidad Precio

50 000 $14.00(50000,

14.00)

32 000 $15.60(32000,

15.60)

Interpretación: por cada peso que aumenta el dólar, la compra de celulosa disminuye en11,250 unidades.




Construyamos una ecuación:

Comprobación: sustituyamos en la ecuación simplificada x por 32,000.

http://148.204.103.140/moodle/course/view.php?id=62&topic=2

Documents

Linea Recta Unidad 1