Lineaarialgebra
5 op
Vektorit osa1
• Peruslaskutoimitukset
• Komponenttiesitys
• Vektorin pituus
• Jana vektorimuodossa
• Koordinaatistopisteen paikkavektori
Vektorit• Vektoreita tarvitaan mekaniikassa ja fysiikassa esittämään suureita,
joihin liittyy suuruuden lisäksi myös suunta: esim. voima F ja nopeus v.
Kuvioissa vektoreita esitetään nuolilla.
• Vektori voidaan esittää antamalla sen komponentit koordinaattiakselien
suunnassa, tai vaihtoehtoisesti antamalla pituus ja suuntakulma
esim. Lentokoneen nopeus
v = (200m/s, 100 m/s)
tai ts. v = 223.6 m/s suuntaan 26.6o
eli lyh. 223.6 <26.6o
Miten vektorin merkintä poikkeaa tavallisista luvuista eli skalaareista?
Suositeltava tapa: Jos alkupiste on A ja loppupiste B, käytetään
Huom: Koneella kirjoitetussa tekstissä (esim. Office) yläviivojen käyttäminen on hidasta. Tällöin
vektori erotetaan skalaarista pelkästä lihavoinnilla.
Esim. symbolijonossa (t , k , a, b, v, F, c) on 4 skalaaria ja kolme vektoria (a, v, F)
Peruslaskutoimitukset
b
a
a + b
a + b
-b
-b
a
a – b
= a + (-b)
a
b
suunnikassääntö
3b
Summa
a + b
erotus
vakio*vektori, esim. 3b
vastavektori
suunnikassääntö
a - ba
b
Esim1) Kuvan suunnikkaan kärjestä A lähtevät vektorit a ja b. Pisteet K ja L ovat suunnikkaan
sivujen AD ja CD keskipisteessä. Piste M sijaitsee ¼ matkaa C:stä kohti B:tä.
Esitä vektorien a ja b avulla seuraavat vektorit:
a) 𝐴𝐶= a + b
b) 𝐵𝐷= -a + b ( eli b – a)
c) 𝐾𝐶= ½ b + a
d) 𝐴𝐿= b + ½ a
e) 𝐿𝐾= - ½ a – ½ b
f) 𝐾𝑀 = ½ b + a – ¼ b = a + ¼ b
Vektorit koordinaatistossa
a = (2,4)
b = (-3, 2)
c = (-1, -4)
Vektorien peruslaskutoimitukset
komponenttimuodossaAlgebrallisesti:
(a1,a2) + (b1,b2) = (a1+ b1, a2 + b2,)
(a1,a2) - (b1,b2) = (a1 - b1, a2 - b2)
t (a1, a2) = (t a1, t a2)
Esim. Vektori a = (1,2) ja b = (3,-2) . Laske
a) a + b = (1+3, 2 -2) = (4, 0)
b) a – b = (1-3, 2 – (-2)) = (-2, 4)
c) -2 b = (-2*3 , -2*(-2)) = (-6, 4)
d) 3 a – 4 b = (3,6) – (12, -8) = (3-12, 6 + 8) =(-9, 14)
Useat laskimet, mm. wolframalpha osaavat laskea vektoreilla:
Esim. tehtävä d) voidaan syöttää 3*(1,2) -4*(3,-2) [Enter]
Eräissä TI-laskimissa sulkujen pitää olla muodossa {1,2} tai [1,2]
2
2
2
1|| aaa
a)
b)
Esim.
√(22+42) = √20 = 4.5
√(32+22) = √13 = 3.6
√(12+42) = √17 = 4.1
Summavektori ja sen pituus
s = (2,4)+(-3,2)+(-1,-4) =(-2, 2)
|s| = √(22+22) = √8 = 2.8
Janan AB vektorimuoto AB
Sääntö: Vektori AB saadaan vähentämällä janan loppupisteen
koordinaateista janan alkupisteen koordinaatit
b) Laske myös janan pituus
a) Esitä jana AB vektorina, kun
päätepisteiden koordinaatit ovat
A(-2,3) ja B(3,7)
(3,7) – (-2,3) =(3-(-2), 7-3) = (5,4)
|𝑨𝑩| = √(52+42)= √41 = 6.4
EsimerkkiSuunnistaja juoksee ensin rastilta A rastille B, joiden
koordinaatit ovat A(150, 200) ja B (340, 320).
Sitten hän jatkaa rastille C (400, 620)
Laske
a) välimatka rastilta A rastille B
b) välimatka rastilta B rastille C
c) rastin A ja rastin C välimatka linnuntietä.
rastivälit vektorimuodossa rastivälien pituudet
(340,320)-(150,200) = (190, 120) √(1902+1202)=225m
(400,620)-(340,320) = (60, 300) 306 m
(400,620) – (150,200) =(250,420) 489 m
Napakoordinaatit r ja φ
Muunnokset
(r < φ) =>(x,y)
(x,y) => (r < φ)
r
φ
Napakoordinaatit r,φ
sinry
Vektoreita esitetään komponenttimuodossa (x,y) tai vaihtoehtoisesti
napakoordinaattien avulla (merk. r < φ) , missä r = vektorin pituus ja φ on
vektorin suuntakulma (vektorin kulma positiivisen x – akselin kanssa)
cosrx
Vektorin komponentit (x,y)
saadaan napakoordinaateista
muunnoskaavoilla
Tehtävä: Laske kuvan vektoreiden summavektori ja sen pituus.
Eräillä laskinmalleilla (mm. Ti-89) tämän tehtävän voisi ratkaista erittäin helposti:
[12<60] + [7<155] + [9<270] Enter
antaa suoraan summavektorin pituuden ja suunnan
[4.53 < 104.4] (ei toimi enää Ti CAS:ssa)
Muunnoskaavat molempiin suuntiin
(x,y) = (r cosφ, r sinφ)
φ
r
r = √(x2+y2)
φ = tan-1(y/x) (+ 180o, jos x<0)
Komponenttimuoto ja napakoordinaattiesitys
Esim. laske ao. kuvan vektorien summavektori ja sen pituus
(x,y)
12 cos60o 12 sin60o
+ 7 cos155o 7 sin 155o
+ 9 cos265o 9 sin265o
= - 1.129 = 4,385
Summavektori s = (-1.13 , 4.39)
pituus |s| = √(1.132 + 4.392) = 4.53
suunta tan-1(4.39/-1.13) + 180o = 104.4o
Esim. Suunnistaja juoksee ensin itään 500 m , ja sitten koilliseen
300 m. Kuinka kaukana hän on lopussa lähtöpisteestään?
Lasketaan väli AB vektorimuodossa:
AB = (500, 0 ) + (300 cos45o, 300 sin45o) = (712.1 , 212.1)
Välimatka = vektorin pituus |AB| = √(712.12+212.12) m= 743 m
Esim. Maanmittari määrittää pisteiden A ja B välimatkan. Välissä on este, joka
täytyy kiertää, joten mittaus tehdään kuvan mukaisesti pätkissä. Laske vektoreita
käyttäen väli AB. (Tehtävä tehtiin syksyllä ”vaikealla tavalla” kosinilauseella)
(150, 0 ) + (130 cos40o, 130 sin40o)+(180 cos85o, 180 sin85o) = (265.3 , 262.9)
Vektorin pituus |AB| = √(265.32+262.92) m= 373.5 m
Napakoordinaattilaskimella tehtävä olisi helppo:[150<0] + [130<40] + [ 180<85] [Enter]
antaa [373.5 < 44.7]
Laske tehtävät 9 - 11
3D Vektorit kolme komponenttia (x,y,z)
2
2
2
1|| aaa
2D –vektori (a1,a2)
3D –vektori (a1,a2,a3)
2
3
2
2
2
1|| aaaa
Kuvassa on vektori (2,3,5) jonka pituus on
2.638532 222
ke. 25.1
Vektorien pistetulo
Vektorien väl. Kulma
*tehtäväosiot E ja F:
Teht. 12 - 18
lasketaan To 26.1
Vektorien kertolaskut
pistetulo antaa reaaliluvun
ristitulo antaa vektorin
Vektorien skalaaritulo eli pistetulo
Vektoreille on määritelty ns. skalaaritulo eli pistetulo ഥ𝒂.ഥ𝒃
a
bφ
Määritelmä
Cos – funktio on 1- säteisessä ympyrässä kulmaa vastaavan
kehäpisteen x – koordinaatti => cos0o = 1, cos90o = 0, cos180o = -1
= pituuksien tulo x vektorien välisen kulman kosini
Pistetulon laskeminen
komponenttimuodosta
2D -vektorien a = (a1,a2) ja b = (b1,b2) pistetulo laskettuna komponenteista
3D –vektoreille
Esim. Laske (1, 4) . (3, 2 )
Esim. Laske (5, -1, 3) . (3, 2, -4 )
= 1*3 + 4*2 = 11
= 5*3 + (-1)*2 + 3*(-4) = 15 – 2 – 12 = 1
Pistetulo laskimissa
WOLFRAMALPHA
Esim. (1,2,3) . (4,5,6) = 1*4+2*5+3*6 = 4+10+18=32
TI INSPIRE CAS
TI -89dotP({1,2,3},{4,5,6})
Käytetään pistettä
kertomerkkinä
Käytetään dotP() funktiota
Esim1.
Laske vektorien a ja b pistetulo a.b, kun
a) |a| = 5, | b |= 2 ja vektorit ovat samansuuntaiset
b) |a| = 5, | b | = 2 ja vektorit ovat vastakkaissuuntaiset
c) |a| = 5, | b | = 2 ja vektoreiden välinen kulma = 90o
Esim2.
Laske vektorien a ja b pistetulo a.b, kun
a) a = (2,4) ja b = (3,1)
b) a = (1,4,2) ja b = (3,1, -1)
Kaava: a.b=|a||b|cos φ =a1b1+a2b2+a3b3
a) 2*5*cos0o = 10
b) 2*5*cos180o = -10
c) 2*5*cos90o = 0
(2,4).(3,1) = 2*3+4*1 = 10
(1,4,2).(3,1,-1) = 1*3+4*1+2*(-1) = 5
Pistetulon sovelluksia
1.Vektorien välisen kulman laskeminen
2. Vektorin projektiot toisen vektorin
suunnassa (skalaari- ja vektoriprojektio)
1. Vektorien välisen kulman laskeminen
||||cos
ba
ba
Esim. Laske vektorien ( 3, 1) ja ( 1, 2) välinen kulma.
7071.0510
2*11*3
2113
)2,1()1,3(cos
2222
=> γ = cos-1(0.7071) = 45o
a.b = |a||b|cosPistetulon määritelmästä
seuraa, että vektorien a ja b välisen kulman voi laskea yhtälöstä
2. Kolmion sivujen ja kulmien ratkaiseminen, kun kärkipisteet on annettu
Kolmion kärkipisteet ovat A(3,4) , B(1,1) ja C(5,2) . Määritä
kolmion ABC a) sivujen pituudet b) kulmat c) ala
AB = (1,1) – (3,4) = (-2,-3) |AB| = √13
AC = (5,2) – (3,4) = (2,-2) |AC| = √ 8
BC = (5,2) – (1,1) = (4,1) |BC| = √ 17
b) Kulmat o
ACAB
ACAB7.78)
813
)2,2).(3,2((cos)
||||(cos 11
o
BCBA
BCBA3.42)
1713
)1,4).(3,2((cos)
||||(cos 11
α = 180o – 78.7o – 42.3o = 59.0o
c) Ala: A = ½ a b sin γ = ½ √ 13 √ 8 sin78.7o = 5.0
A B
C
α
(”ala = ½*kahden sivun tulo*niiden välisen kulman sini” )
a) Sivut esitetään vektoreina. Lasketaan pituudet
3. Vektorin kohtisuoruuden tutkiminen a ┴ ba.b = 0
Esim. Määrää jokin vektoria ( 2, 3) vastaan kohtisuora vektori.
Ratkaisu: esim. (3, - 2), koska (2,3).(3,-2) = 2*3 + 3* -2 = 0
4. Annetun vektorin kanssa kohtisuoran
vektorin löytäminen.
Mitkä kaksi vektoreista a = (1,2) , b = ( 1, - 2) ja c = (4,-2) ovat
toisiaan vastaan kohtisuorassa ?
a.b = (1,2).(1,-2) = 1*1+ 2*(-2) = 1 – 4 = - 3 (≠ 0 =>eivät ole kohtisuorassa)
a.c = (1,2).(4,-2) = 1*4+ 2*(-2) = 4 – 4 = 0 (=>ovat kohtisuorassa)
pitempi laskutapa olisi laskea vektorien väliset kulmat edellisen kalvon tapaan
• Muitakin ratkaisuja on: mm. kaikki vektorin (3,-2) monikerrat.
• Yleisesti vektorin (a, b) kanssa kohtisuora vektori on ainakin (b,-a), koska
pistetulo on tällöin ab-ba = 0.
ProjektiotSkalaariprojektio
Vektoriprojektio
Yksikkövektori
Yksikkövektori (cosφ , sinφ)
Määritä vektori, joka on vektorin (3,5) suuntainen ja jonka pituus on 1 ?
Tapa1: Ratkaistaan vektorin (3,5) suuntakulma ϕ yhtälöstä tan ϕ = 5/3 = 1.66667ϕ = tan-1(1.66667) = 59.04o
Kysytty yksikkövektori on siten (1*cos(59.04o) , 1*sin(59.04o)) = (0.514 , 0.857)
Tapa2: Lasketaan vektorin (3, 5) pituus: r = √(32 + 52) = √34 = 5.831Kaavoista x = r cos ϕ ja y = r sin ϕ saadaan
cos ϕ = x/r ja sin ϕ = y/r
Sovellettuna esimerkin vektoriin:(cos ϕ , sin ϕ ) = ( x/r , y/r ) = (3/5.831, 5/5.831) = (0.514 , 0.857)
Vektorin a = (x, y) suuntainen yksikkövektori
),()sin,(cos0
r
y
r
xa missä vektorin pituus r = √(x2 + y2)
Ongelma, joka voidaan ratkaista projektioillaTien päätepisteet ovat A(100, 50) ja B(700, 150). Pisteessä M(350,450) on muuntaja, josta on vedettävä kaapeli suoraan tielle pisteeseen P. Laskea) Pisteen P etäisyys pisteestä Ab) Kaapelin pituusc) Pisteen P koordinaatit
Ratkaisu aiemmin opittuja menetelmiä hyödyntäen.
Tien päätepisteet ovat A(100, 50) ja B(700, 150). Pisteessä M(350,450) on muuntaja, josta on vedettävä kaapeli suoraan tielle pisteeseen P. Laskea) Pisteen P etäisyys pisteestä Ab) Kaapelin pituusc) Pisteen P koordinaatit
a) AP:n pituus saadaan kaavalla |AM|cosα𝐴𝑀 = (350,450) – (100,50) = (250, 400) , pituus |𝐴𝑀| =√(2502+4002)= 471.7𝐴𝐵 = (700,150) – (100,50) = (600, 100) , pituus |𝐴𝐵| =√(6002+1002)= 608.3
cosα = 𝐴𝑀.𝐴𝐵
|𝐴𝑀||𝐴𝐵|=250∗600+400∗100
471.7∗608.3= 0.662
Siten janan AP pituus on |AM|cosα = 471.7*0.662 = 312 m
b) Kaapelin pituus |AM|sinsαcosα = 0.662 => α = cos-1(0.662) = 48.55o, Kaapelin MP pituus |AM|sinα = 471.7*sin(48.55o) = 354 m m3543127.471 22
tai Pythagoraan lauseella
c) Vektoriesitys 𝐴𝑃 :lle : pituus r = 312 m Suuntakulma ϕ = tan-1(100/600) = 9.46o, joten 𝐴𝑃 = ( r cos ϕ, r sin ϕ) = (312 cos(9.46o), 312 sin(9.46o) = (308.1 , 51.4) Pisteen P koordinaatit : ത𝑃 = ҧ𝐴 + 𝐴𝑃 = (100, 50 ) + (308.1, 51.4) = (408.1, 101.4)
Esimerkkitehtävä voidaan tehdä lyhyemmin seuraavilla kaavoilla
Kuvassa on vektorit a ja b, sekä a:n projektiovektori ab
vektorin b suunnassa.
Projektiovektorin pituutta kutsutaan skalaariprojektioksi :
||||||||cos||
b
ba
ba
baaaab
Projektiovektoria vektorimuodossa kutsutaan vektoriprojektioksi :
bb
ba
b
b
b
babaa bb 2
0
||||*
||
Teht. 19, 20,21
Tien päätepisteet ovat A(100, 50) ja B(700, 150). Pisteessä M(350,450) on muuntaja, josta on vedettävä kaapeli suoraan tielle pisteeseen P. Laskea) Pisteen P etäisyys pisteestä Ab) Kaapelin pituusc) Pisteen P koordinaatit
a) Janan AP pituus on juuri vektorin AM skalaariprojektio vektorilla AB. Ts. kaavan a = AM = (250, 400) ja kaavan b = AB = (600, 100)
mb
baaAP b 312
100600
)100,600()400,250(
||||
22
b) Kaapelin pituus lasketaan helpoimmin Pythagoraan lauseella:
|a| = 𝟐𝟓𝟎𝟐 + 𝟒𝟎𝟎𝟐 = 471.7, ab = 312 => |MP|= 𝟒𝟕𝟏. 𝟕𝟐 − 𝟑𝟏𝟐𝟐 = 354m
c) Vektori AP = vektoriprojektio ഥ𝒂b
)4.51,1.308()100,600(*514.0)100,600(100600
)100,600()400,250(
|| 222
b
b
baaAP b
Pisteen P koordinaatit saadaam lisäämällä A:n paikkavektoroon vektori AP:P = A + AP = (100, 50) + ( 308.1, 51.4) = (408.1, 101.4)
Aiempi esimerkki projektiokaavoja käyttäen
Janan keskipiste
Janan keskipisteen ja kolmion painopiste lasketaan koordinaattikeskiarvoina pääte- ja kärkipisteistä
)2
,2
(: 2121 yyxxKeskipiste
Kolmion painopiste
)3
,3
(: 321321 yyyxxxPainopiste
Vektoriyhtälöiden ratkaisu – algebrallinen menetelmä
Esim. 2 kg (G = mg =19.6 N) kuula on juuttunut
kahden seinämän väliin kuvan mukaisesti. Laske
tukivoimat N1 ja N2 seinämästä palloon.
Käytä menetelmänä vektorien jakoa
komponentteihin. Vastauksena riittää yhtälöpari.
Kokeile sen ratkaisua wolframalpha.com:lla
(0, -19.6) + (N1cos15, N2sin15) + (N2 cos135, N2sin135) = (0,0)
Tasapainoehto G + N1 + N2 = 0 =>
N1 cos(15o) + N2 cos(135o) = 0
N1 sin(15o) + N2 sin(135o) = 19.6
Vektoriyhtälöiden ratkaisu – geometrinen menetelmä
Esim. 2 kg (G = mg =19.6 N) kuula on juuttunut
kahden seinämän väliin kuvan mukaisesti. Laske
tukivoimat N1 ja N2 seinämästä palloon.
Käytä menetelmänä vektorien jakoa
komponentteihin. Vastauksena riittää yhtälöpari.
Kokeile sen ratkaisua wolframalpha.com:lla
Tasapainoehto G + N1 + N2 = 0 esitetään voimakolmiona
Voimat ratkaistaan sinilauseella
75sin45sin60sin
6.19 21 NN
Vektorien ristituloengl. cross product
ba
Huom! Ristitulo on määritelty vain 3D vektoreille (ei 2D)
Ristitulon ഥ𝒂xഥ𝒃 määritelmä
Ristitulo ഥ𝒂xഥ𝒃 on vektori, joka on 1) Kohtisuorassa vektoreita a ja b vastaan 2) Suunta saadaan oikean käden säännöllä: (etusormi a, keskisormi b, peukalo axb)
3) Ristitulovektorin pituus on|ത𝑎xത𝑏 | = |a || b | sinϕ
sen pituus on vektorien a ja b määräämän suunnikkaan ala
Ominaisuuksia:ഥ𝒃xഥ𝒂 = - ഥ𝒂xഥ𝒃 kun järjestys tulossa vaihdetaan, suunta vaihtuu päinvastaiseksiMuuton normaalit osittelulait pitävät paikansaഥ𝒂x(ഥ𝒃+ത𝒄) =ഥ𝒂xഥ𝒃 + ത𝐚xത𝒄 j.n.e
Ristitulo = (0,0,0), kun vektorit a ja b ovat saman- tai vastakkaissuuntaiset.
Ristitulon laskeminen
A) kynällä ja paperilla, B) laskimella , C) WolframAlphalla
A) Käsin laskeminen tapahtuu determinantin avulla
Matriisi = lukutaulukko
𝐴 =2 51 4
Esim. on 2 x 2 neliömatriisi, jonka alkiot ovat 2, 5, 1 ja 4
Determinantti = neliömatriisiin liittyvä reaaliluku
2 x 2 neliömatriisin determinantti lasketaan sen lävistäjien tulojen erotuksena. Determinanttia merkitään itseisarvomerkeillä tai kirjoittamalla det(A).
Kaava: 𝑎 𝑏𝑐 𝑑
= a d – c b
Det(𝐴) =2 51 4
= 2*4 –1*5 = 8 – 5 = 3Esim.
3x3 - neliömatriisi
𝐵 =2 5 13 1 74 1 2
Esim. on 3 x 3 neliömatriisi
3 x 3 neliömatriisin determinantin laskeminen
WolframAlphalla: det ((2,5), (1,4)) antaa tulokseksi 3
Ylärivin alkiot kerrotaan niitä vastaavilla 2x2 alideterminanteilla, jotka saadaan peittämällä alkion rivi ja sarake. Tulot lasketaan yhteen siten, että keskimmäisen tulon etumerkki vaihdetaan negatiiviseksi
Det(𝐵) =2* 1 71 2
- 5*3 74 2
+ 1*3 14 1
= 2*(-5) – 5*(-22) + 1*(-1) = 99
Tarkistus koneella:WolframAlpha: det ((2,5,1),(3,1,7),(4,1,2)) antaa 99Laskimissa tarvitaan yhdet sulut enemmän det (((2,5,1),(3,1,7),(4,1,2))) antaa 99
Excelissä on helppo laskeadeterminantit
3D vektorin esitys koordinaattiakselien suuntaisten yksikkövektorien avulla
Merkitään x, y ja z – akselien suuntaisia yksikkövektoreja symboleillai = (1,0,0) , j = (0, 1, 0) , k = ( 0,0,1)
Tällöin jokainen 3D vektori voidaan esittää niiden avulla, esimVektori ( 2, 4, 1) = 2 i + 4 j + k
Tätä merkintätapaa käyttäen voi myös laskea vektoreja yhteen:Esim ( 2, 1, - 5) + ( 4, 2, 7 ) = ( 2 + 4, 1 + 2, -5 + 7) = (6, 3, 2)voidaan laskea myös seuraavasti:2 i + j -5 k + 4 i + 2j + 7 k = (2 +4) i + (1+2) j + (-5+7) k = 6 i +3 j + 2kmikä muistuttaa paljon polynomilausekkeiden sieventämistä
Laskimet eivät tunne yksikkövektoriesitystä
Vektorin esitysmuoto (x 𝑖 + y ҧ𝑗 + z ത𝑘)
Ristitulo lasketaan determinanttina
Vektorien a =(a1, a2, a3) ja b =(b1, b2, b3) ristitulovektori lasketaan determinanttina
ത𝑎𝑥ത𝑏 =ҧ𝑖 ҧ𝑗 ത𝑘
𝑎1 𝑎2 𝑎3𝑏1 𝑏2 𝑏3
Esim. (1, 5, 2) x (3, 1, 3) =ҧ𝑖 ҧ𝑗 ത𝑘1 5 23 1 3
= i * 5 21 3
- j*1 23 3
+ k*1 53 1
= 13 i – (-3) j + (-14) k
= 13 i +3 j -14 k = (13, 3, -14)
Ristitulo laskimissa:
1) WolframAlpha(1,5,2)*(3,1,3)
Result: (13,3,-14)
2) TI – laskincrossP((1,5,2),(3,1,3))
ssa suluista voi olla aaltosulkujaSovellustehtävissä ristitulo kannattaa laskea koneella !
Maanmittareiden kaava kolmion alalle
Yleisesti : Kolmion samasta kärjestä lähtevät sivuvektorit ovat (x1,y2) ja (x2, y2). Laske kolmion ala .
ҧ𝑖 ҧ𝑗 ത𝑘𝑥1 𝑦1 0𝑥2 𝑦2 0
= k𝑥1 𝑦1𝑥2 𝑦2
= ( 0, 0, 𝑥1 𝑦1𝑥2 𝑦2
)
Kolmion ala A = ½ |𝑥1 𝑦1𝑥2 𝑦2
|
Kun lisätään vektoreihin z- komponentti 0, ja lasketaan vektorien ristitulo, saadaan
(x1,y2,0) x (x2, y2, ,0) =
Esim. Kolmion samasta kärjestä lähtevät vektori ovat (2,4) ja (5,1)
Kolmion ala A = ½ |2 45 1
| = ½*|-18| = 9
Ristitulon sovelluksia
Pinta-alalaskut
Tunnit ennen hiihtolomaa:To 9.2 ristitulon sovellukset
Ma 13.2 Skalaarikolmitulo +laskuharjoituksia
Ke 15.2 (laskujen tekoa + kertauslaskuja )
Ti 21.2 kertauslaskujen läpikäynti
Ke 22.2 koe vektoriopistaHuom aika: 9:30 – 11.45+ Laskutehtävien palautus
Ke 1.3 koepalautus 1 hTo 2.3 uusintakoe
Kolmion pinta-alan laskeminen
Seuraus:Olkoot a ja b kaksi vektoria, jotka lähtevät kolmion samasta kärjestä.Kolmion ala = puolet ristitulovektorin a x b pituudesta.
||2
1baA Kolmion ala
Ristitulon määritelmä:
Lasketaan kärjestä A lähtevät vektorit:AB = (5,2,1) – (1,1,1) = (4,1,0) AC = (2,7,3) - (1,1,1) = (1,6,2)
2.122382|| 222
21
21 baA
ESIM1: Kolmion kärkipisteet A,B ja C annettu. (3D – avaruudessa). Laske kolmion ala
Lasketaan ristitulovektori ABxAC :(4,1,0)x(1,6,2) = (2, -8, 23)
Ala on puolet ristitulovektorin pituudesta:
Laskimissa norm() = vektorin pituus
Lasketaan kärjestä A lähtevät vektorit:AB = (45,2) – (10,5) = (35,-3) AC = (25,30) – (10,5) = (15,25)
460920*21 A
ESIM1: Kolmion kärkipisteet A,B ja C ovat 2D koordi-naattipisteitä (x,y) kartassa. Laske kolmion ala
Lasketaan ristitulovektori ABxAC :(35,-3,0)x(15, 25, 0) = (0, 0, 920)
Huom! XY – tason vektorien pistetulo on z- akselin suuntainenAla on puolet ristitulovektorin pituudesta:
LISÄTÄÄN VEKTOREIHIN Z- KOORDINAATTI 0
Yksinkertaisempi kaava kartassa olevien kolmion muotoisten alueiden pinta-alojen laskentaan
LISÄTÄÄN VEKTOREIHIN Z- KOORDINTAATTI 0 ja lasketaan ristitulovektori
kyx
yx
yx
yx
kji
22
11
022
011
Vektorilla on vain z- komponentti, joten sen pituus on puolet tämän arvosta
|22
11|
2
1
yx
yxA
Maanmittauksessa pinta-alalaskenta perustuu kolmioihin ja tämän kaavan käyttöön.
Huom! Kaavan determinantti voi olla < 0 , joten kaavassa on vielä determinantin ympärillä itseisarvomerkit
Lasketaan kärjestä A lähtevät vektorit:AB = (45,2) – (10,5) = (35,-3) AC = (25,30) – (10,5) = (15,25)
460))3(*1525*35(|2515
335|
21
21
A
ESIM1 ratkaistuna maanmittareiden kaavalla Kolmion kärkipisteet A,B ja C ovat 2D koordi-naattipisteitä (x,y) kartassa. Laske kolmion ala
Lasketaan kärjestä A lähtevät vektorit:AB = (45,2) – (10,5) = (35,-3) AC = (25,30) – (10,5) = (15,20)
Lasketaan aiempi esimerkki maanmittareiden kaavalla
5.372)3152035(2015
335
2
1_
21
AAla
Huom! Kaavan determinantti voi olla < 0 , joten kaavassa on vielä determinantin ympärillä itseisarvomerkit
Esim. Lammen pinta-alan laskeminen
Ala voidaan laskea neljän kolmion alan summana.Ensin pitää laskea vektorit jotka lähtevät pisteestä A:AF = (280, -10) AE = (260,450) AD = (10, 470) AC=(-260, 270) AB=(-310, -20)
Kierretään lampi ja mitataan pisteiden A- F koordinaatit GPS:llä:A = (810, 80) B = (500, 60) C = (550, 350) D =(820, 550) E =(1070, 530) F = (1090, 70)
2230050|)20310
270260||
270260
47010||
47010
450260||
450260
10280(|
2
1mA
Kaavat pinta-alalaskuihin
||2
1baA 3D kolmion ala
Laskin:
½* norm( a x b)
2D kolmion ala ||22
11||
2
1
yx
yxA
”Maanmittarien kaava”
Tehtäviä: alkuviikon tunteihin liittyviä (osio J: 27, 28)kolmion alan sovellukset (osio K: 29 – 32)
Skalaarikolmitulo ഥ𝒂xഥ𝒃. ത𝒄
Kolmitulo ഥ𝒂xഥ𝒃. ത𝒄
Kolmitulon laskeminen manuaalisesti:
Kolmitulo lasketaan vektoreiden muodostamana determinanttina
Esim. Laske (3,2,1) x (1,2,3) .(5,4,2)
4)6()13(2)8(345
211
25
312
24
323
245
321
123
WolframAlpha ja TI- laskimet
det( (3,2,1) , (1,2,3) , (5,4,2))antaa -4
1. Suuntaissärmiön tilavuuden laskeminen Olkoot suuntaissärmiön samasta kärjestä lähtevät kolme vektoriaa = (a1,a2,a3) , b = (b1,b2,b3) ja c = (c1,c2,c3)
Särmiön tilavuus V = vektorikolmitulonaxb.c itseisarvo.
|| cbaV
Perustelu: hAcbacba pohja cos||||||
ϕ
Lieriöiden tilavuus V = A h
Esim. Suuntaissärmiön kärkipisteen A(1,1,1) viereiset kärkipisteet ovatB(5,1,2) , C(3,7,4) ja D(2,2,9). Laske suuntaissärmiön tilavuus
Lasketaan pisteestä A lähtevät vektorit jotka määräävät kuvan suuntaissärmiönAB = (4,0,1)AC = (2, 6, 3)AD = (1, 1, 8)
det( (4,0,1), (1,6,3), (1,1,8)) = 176
Tilavuus saadaan determinantin avulla
V = 176
2. Pisteen D kohtisuora etäisyys kolmion ABC tasosta
Kysytty etäisyys h= suuntaissärmiön korkeus.
Suuntaissärmiön korkeus on sen tilavuus V jaettuna pohjauunnikkaan alalla A
||
||
ba
cba
A
Vh
ഥ𝒂, ഥ𝒃 ja ത𝒄 ovat pisteestä A lähtevät vektorit AB, AC ja AD
Esim. Laske pisteen D(3,7,2) etäisyys kolmion A(1,2,1)B(7,2,1)C(1,4,3) tasosta
83.297.16
48
||
||
ba
cba
A
Vh
Lasketaan pisteestä A lähtevät vektorit jotka määräävät kuvan suuntaissärmiönAB = (6,0,0)AC = (0, 2, 2)AD = (2, 5, 1)
Kysytty etäisyys (kuvan h) = suuntaissärmiön tilavuus V jaettuna sen pohjasuunnikkaan alalla A
det( (6,0,0), (0,2,2), (2,5,1)) = -48 => V = 48
norm( (6,0,0)*(0,2,2) ) = 16.97 => A = 16.97
||
||
ba
cba
A
Vh
Laskimissa ja WolframAlphassaVektorin pituus lasketaan funktiolla norm()
Ti laskindet( {{6,0,0}, {0,2,2}, {2,5,1}} )norm(crossP( {6,0,0}, {0,2,2} ))
norm( {1,2,3} )
3. Tutki, ovatko pisteet A(1,1,1) B(2,3,4) C(7,2,1) ja D(5,2,1) samassa tasossa.
Pisteet ovat samassa tasossa jos vektorien AB, AC ja AD virittämänsuuntaissärmiön tilavuus V = 0
Lasketaan A:sta lähtevät vektorit:AB = (1,2,3)AC = (6,1,0)AD=(4,1,0)
Vastaus: Pisteet eivät ole samassa tasossa, koska tilavuus V > 0
Suuntaissärmiön tilavuus (laskimella)det( (1,2,3) , (6,1,0) , (4,1,0) ) = 34
4. Laske tetraedrin tilavuusa, kun sen kärkipisteet ovat A(1,1,1) B(2,3,4) C(7,2,1) ja D(5,2,1)
Lasketaan A:sta lähtevät vektorit:AB = (1,2,3)AC = (6,1,0)AD=(4,1,0)
Pyramidin ja kartion tilavuuden kaava V = 1/3 A *h
Tedraedrillä on sama korkeus h kuin suuntaissärmiöllä, mutta pohja on puolet suuntaissärmiön pohjasta:
Tilavuus = 1/3* (1/2A)*h 1/6 A h = 1/6 suuntaissärmiön tilavuudesta = 34/6 = 5. 33
22.2 kokeen koealue:
2D – vektorit1. Peruslaskutoimitukset summa, erotus, vakio*vektori komponenttimuodossa2. Vektorin pituus3. Yksikkövektori4. Vektorien pistetulo5. Vektorien välinen kulma6. Sovellus: kolmion sivujen pituudet ja kulmat7. Muunnokset napakoordinaateista komponentteihin ja päinvastoin8. Vektoriyhtälön ratkaiseminen ( esim. voimien ratkaiseminen ) 9. Skalaariprojektio ja vektoriprojektio
3D vektorit10. Vektorin pituus ja pistetulo 3D vektoreille11. Ristitulon laskeminen12. Ristitulon käyttö pinta-alalaskuissa13. Skalaarikolmitulon laskeminen14. Skalaarikolmitulon sovellukset (suuntaissärmiön tilavuus ym)