Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa - Vaasan yliopistolipas.uwasa.fi/~mla/math1150/trigonometriaa.pdfAiheet Kulmayksik ot Pythagoran lause Trigonometriset funktiot Arcus-funktiot

Aiheet

Kulmayksikot

Pythagoran lause

Trigonometrisetfunktiot

Arcus-funktiot

Kulmanlaskeminen

Vektorit jakoordinaatistot

Kahden vektorinvalinen kulma

Avaruusvektoreista

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa

Kulmayksikot

Pythagoran lause

Trigonometriset funktiot

Arcus-funktiot

Kulman laskeminen

Vektorit ja koordinaatistot

Kahden vektorin valinen kulma

Avaruusvektoreista

Aiheet

Kulmayksikot

Pythagoran lause


Arcus-funktiot

Kulmanlaskeminen



Avaruusvektoreista

Kulmayksikot 1

I Aste, 1◦ (engl. degree) Taysi kierros on 360◦ (360astetta). Yksi aste jaetaan 60 kulmaminuuttiin(1◦ = 60′) ja yksi kulmaminuutti jaetaan 60kulmasekuntiin (1′ = 60′′).

I Gradiaani, grad, eli gooni (engl. grad, ransk grade,saks. gon, ruots. gon) on 1/400 taydesta kierroksesta.(Ala kayta, ellei ole aivan pakko.)

I Radiaani, rad, on kulman ympyrasta erottaman kaarenpituuden suhde ympyran sateeseen (kun ympyrankeskipiste on kulman karjessa). Taysi kierros on silloin2π radiaania.

I Piiru, Taysi kierros on 32 kompassipiirua ja 6400tykiston piirua.

Aiheet

Kulmayksikot

Pythagoran lause


Arcus-funktiot

Kulmanlaskeminen



Avaruusvektoreista

Kulmayksikot 2

360◦ = 2π180◦ = π 90◦ = π/2 45◦ = π/4

Kuva : (a) taysi kierros 2π, (b) oikokulma π, (c) suora kulma π/2,(d) suoran kulman puolikas π/4.

Kulma α on terava, jos 0◦ ≤ α < 90◦ (0≤ α < π/2). Kulmaα on tylppa, jos 90◦ < α < 180◦ (π/2< α < π).

Aiheet

Kulmayksikot

Pythagoran lause


Arcus-funktiot

Kulmanlaskeminen



Avaruusvektoreista

Kulmayksikot 3

ϕ

b =b

r

r

Aiheet

Kulmayksikot

Pythagoran lause


Arcus-funktiot

Kulmanlaskeminen



Avaruusvektoreista

Kulmayksikot 4

α

a

β

b

c

α +β = 90◦

c2 = a2+b2

sinα = a/ccosα = b/ctanα = a/bcotα = b/a

Sini = vastainen kateettihypotenuusa , sinα =

a

c

Kosini = viereinen kateettihypotenuusa , cosα =

b

c

Tangentti = vastainen kateettiviereinen kateetti , tanα =

a

b

Kotangentti = viereinen kateettivastainen kateetti , cotα =

b

a

Aiheet

Kulmayksikot

Pythagoran lause


Arcus-funktiot

Kulmanlaskeminen



Avaruusvektoreista

Pythagoran lause, ja muita lauseita 5

(Pythagoran lause:) Suorakulmaisessa kolmiossahypotenuusan pituuden nelio on kateettien pituuksiennelioiden summa.

α

c a

b

c2 = a2+b2

Seuraus:sin2 α +cos2 α = 1

Aiheet

Kulmayksikot

Pythagoran lause


Arcus-funktiot

Kulmanlaskeminen



Avaruusvektoreista


Lause: Kolmion kulmien summa on π (eli 180◦).

α β

γα β

α +β + γ = π

Lause:(Seuraus edellisesta) Jos kolmiossa on tylppa kulma(> π/2), niin muut kaksi kulmaa ovat teravia (< π/2).

Aiheet

Kulmayksikot

Pythagoran lause


Arcus-funktiot

Kulmanlaskeminen



Avaruusvektoreista


Lause: Kolmion ala on puolet kahden sivun pituuksien janiiden valisen kulman sinin tulosta.(Kaavana: A= 1

2 ·b · c · sinα.)

h

α

b

c

h

α

b A= 12bc sinα

Aiheet

Kulmayksikot

Pythagoran lause


Arcus-funktiot

Kulmanlaskeminen



Avaruusvektoreista


Lause: Sinilause:

a

sinα=

b

sinβ=

c

sinγ.

α β

γ

ab

c

Perustelu: Kolmion kaksinkertainen pinta-ala voidaan laskeaseuraavilla tavoilla: bc sinα = ac sinβ = ab sinγ. Vaiteseuraa, kun lausekkeet jaetaan abc:lla ja siirrytaankaanteislausekkeisiin. 2

Aiheet

Kulmayksikot

Pythagoran lause


Arcus-funktiot

Kulmanlaskeminen



Avaruusvektoreista


Lause: Kosinilause:

c2 = a2+b2−2ab cosγ.

Perustelu:

hγ

a

b

c

u”Terava γ”

b−u = acosγ

hγ

a

b

c

s”Tylppa γ”

s =−acosγ

Jos γ on terava, niin Jos γ on tylppa, niin

c2 = h2+u2

= a2− (b−u)2+u2

= a2−b2+2bu= a2+b2−2b(b−u)= a2+b2−2ab cosγ

c2 = h2+(b+ s)2

= a2− s2+(b+ s)2

= a2+b2+2bs= a2+b2−2ab cosγ

2

Aiheet

Kulmayksikot

Pythagoran lause


Arcus-funktiot

Kulmanlaskeminen



Avaruusvektoreista

Trigonometriset funktiot 10

c

s

(cx ,sx) = (cos(x),sin(x))

x

cos(x)

sin(x)

x

tan(x) =sin(x)

cos(x), cot(x) =

cos(x)

sin(x).

Sini-funktio, Kosini-funktio,Tangentti-funktio, Kotangentti-funktio.

Aiheet

Kulmayksikot

Pythagoran lause


Arcus-funktiot

Kulmanlaskeminen



Avaruusvektoreista


x−2π −π π 2π

sin(x)


cos(x)

Sini- ja kosini-funktioiden kuvaajat.

Aiheet

Kulmayksikot

Pythagoran lause


Arcus-funktiot

Kulmanlaskeminen



Avaruusvektoreista


x−π π

tan(x)


cot(x)

tangentti- ja kotangentti-funktioiden kuvaajat.

Aiheet

Kulmayksikot

Pythagoran lause


Arcus-funktiot

Kulmanlaskeminen



Avaruusvektoreista

Kaavoja 13

−1≤ sin(x)≤ 1, ja −1≤ cos(x)≤ 1, (1)

sin(−x) =−sin(x), ja cos(−x) = cos(x), (2)

sin(π−x) = sin(x), ja cos(π−x) =−cos(x). (3)

sin(π/2−x) = cos(x), ja cos(π/2−x) = sin(x). (4)

sin(x±y) = sin(x)cos(y)± cos(x)sin(y) (5)

cos(x±y) = cos(x)cos(y)∓ sin(x)sin(y) (6)

Aiheet

Kulmayksikot

Pythagoran lause


Arcus-funktiot

Kulmanlaskeminen



Avaruusvektoreista

Arcus-funktiot 14

Maaritelma: Maarittelemme funktiot arcsin, arccos, arctanja arccot valeille I0 = [−π

2 ,π

2 ] ja J0 = [0,π] rajoitettujentrigonometristen funktioiden kaanteisfunktioina seuraavasti:

funktio kaanteisfunktio

sin : [−π

2 ,π

2 ]→ [−1,1] arcsin : [−1,1]→ [−π

2 ,π

2 ]

cos : [0,π]→ [−1,1] arccos : [−1,1]→ [0,π]

tan : [−π

2 ,π

2 ]→ R arctan : R→ [−π

2 ,π

2 ]

cot : [0,π]→ R arccot : R→ [0,π]

(Arcus-sini, arcus-kosini, arcus-tangentti, arcus-kotangentti.)

Aiheet

Kulmayksikot

Pythagoran lause


Arcus-funktiot

Kulmanlaskeminen



Avaruusvektoreista

Arcus-funktiot 15

Sini- ja Arcus-sini -funktiot

α

y

−π/2 0 π/2

y = sin(α)

y

α

−1 0 1

α = arcsin(y)

Aiheet

Kulmayksikot

Pythagoran lause


Arcus-funktiot

Kulmanlaskeminen



Avaruusvektoreista

Arcus-funktiot 16

Kosini- ja Arcuskosini -funktiot

α

y

0 π/2 π

y = cos(α)

y

α

−1 0 1

α = arccos(y)

Aiheet

Kulmayksikot

Pythagoran lause


Arcus-funktiot

Kulmanlaskeminen



Avaruusvektoreista

Arcus-funktiot 17

Tangentti- ja Arcus-tangentti -funktiot

α

y

−π/2 0 π/2

y = tan(α)

y

α

−4 −2 0 2 4

α = arctan(y)

Aiheet

Kulmayksikot

Pythagoran lause


Arcus-funktiot

Kulmanlaskeminen



Avaruusvektoreista

Kulman laskeminen 18

Esimerkki Laske pisteiden P1 = (2,1), P2 = (−1,2),P3 = (−2,−1) paikkavektoreiden ja x-akselin valiset kulmat.

x

y

(2,1)

α1x

y(−1,2)

α2

x

y

(−2,−1)

α3

Periaatteessa tehtava on helppo, silla

tanαk =ykxk

⇒ αk = arctan

(ykxk

)+n ·π.

Nyt tulee muistaa, etta laskin antaa arctan-funktion arvonaina valilta −π/2≤ α ≤ π/2, joten laskijan tulee lisatalaskimen antamaan kulmaan π laskiessaan kulmia α2 ja α3

mutta ei tule lisata laskimen antamaan arvoon mitaanlaskiessaan kulmaa α1.

Aiheet

Kulmayksikot

Pythagoran lause


Arcus-funktiot

Kulmanlaskeminen



Avaruusvektoreista


Siis

α1 = arctan

(1

2

)= 0.46365(rad) = 26.565◦

α2 = arctan

(2

−1

)+π = 2.03444(rad) = 116.565◦

α1 = arctan

(−1−2

)+π = 3.60524(rad) = 206.565◦

Johtopaatos esimerkin perusteella

α =

{arctan(y/x), kun x ≥ 0,arctan(y/x)+π, kun x < 0.

Aiheet

Kulmayksikot

Pythagoran lause


Arcus-funktiot

Kulmanlaskeminen



Avaruusvektoreista

Vektorit ja koordinaatistot 20

x

y

P = (xP ,yP)

xP

yP

Pisteen koordinaatit tasossa.

Aiheet

Kulmayksikot

Pythagoran lause


Arcus-funktiot

Kulmanlaskeminen



Avaruusvektoreista


Vektorilla ~a on pituus |~a| ja suunta ~a0 =1|~a| ·~a.

Janalla PQ on paatepisteet P ja Q.

Suuntajanalla−→PQ on alkupiste P ja loppupiste Q.

~a

x

y

P

xP

yP

Q

xQ

yQ

−→PQ

Aiheet

Kulmayksikot

Pythagoran lause


Arcus-funktiot

Kulmanlaskeminen



Avaruusvektoreista


Merkitaan koordinaattiakselin suuntaisia yksikkovektoreitaerityisesti:

vektori pituus suunta~i 1 x-akselin suunta~j 1 y -akselin suunta

Suuntajanan pituus ja suunta on helppo esittaayksikkovektoreiden~i ja~j avulla:

x~i

y

~j~i ~i ~i

~j

~j3 ·~i+2 ·~j

”Kolme oikealle ja kaksi ylos”~i+~i+~i+~j+~j = 3 ·~i+2 ·~j”a oikealle ja b ylos”

= a ·~i+b ·~j

”Kolme oikealle ja kaksi ylos”.

Aiheet

Kulmayksikot

Pythagoran lause


Arcus-funktiot

Kulmanlaskeminen



Avaruusvektoreista


Kun tiedamme suuntajanan paatepisteiden koordinaatit, niinsuuntajanan pituus ja suunta saadaan seuraavasti

−→PQ = (xQ −xP) ·~i+(yQ −yP) ·~j

x~i

y

~j

P

Q

PQ

x~i

y

~j

P

xP

yP

Q

xQ

yQ −→PQ = (xQ −xP)~i+(yQ −yP)~j

|−→PQ|=

√(xQ −xP)2+(yQ −yP)2

Aiheet

Kulmayksikot

Pythagoran lause


Arcus-funktiot

Kulmanlaskeminen



Avaruusvektoreista


Kahden vektorin,~a ja ~b, summa~a+~b konstruoidaan piirtaensiten, etta ensin piirretaan jokin vektoria ~a edustava

suuntajana−→PQ, sitten piirretaan pisteesta Q alkava vektorin

~b edustaja−→QR. Nyt suuntajana

−→PR edustaa summavektoria

~a+~b.

x~i

y

~j

P

QR

−→PR =

−→PQ+

−→QR

x~i

y

~j

~a

ax~iay~j

~b

bx~iby~j

~a+~b = (ax +bx)~i+(ay +by )~j

Aiheet

Kulmayksikot

Pythagoran lause


Arcus-funktiot

Kulmanlaskeminen



Avaruusvektoreista

Kahden vektorin valinen kulma 25

Lause: Tason vektorin~a= ax~i+ay~j pituus |~a| voidaan laskealausekkeesta

|~a|=√

a2x +a2y .

Perustelu: Kun piirramme vektorille ~a origosta alkavanedustajan, syntyy luonnollisella tavalla suorakulmainenkolmio, jonka hypotenuusan pituus on sama kuin vektorinpituus ja kateettien pituudet ovat |ax | ja |ay |. Vaite seuraanyt Pythagoran lauseesta. 2

Aiheet

Kulmayksikot

Pythagoran lause


Arcus-funktiot

Kulmanlaskeminen



Avaruusvektoreista


Lause: Kaksi tasovektoria ~a= ax~i+ay~j ja ~b = bx~i+by~j janiiden valinen kulma γ toteuttavat yhtalon

cosγ =axbx +ayby

|~a| |~b|.

Perustelu: Piirretaan vektoreille origosta alkavat edustajat.Olkoon edustajien loppupisteita yhdistavan janan pituus c.Kosinilauseen mukaan:

x

y

~aa

~b

bγ

c

c2 = a2+b2−2ab cosγ

(ax −bx)2+(ay −by )

2 = a2x +a2y +b2x +b2y −2ab cosγ

−2axbx −2ayby = −2|~a||~b|cosγ

Aiheet

Kulmayksikot

Pythagoran lause


Arcus-funktiot

Kulmanlaskeminen



Avaruusvektoreista


Esimerkki: Laske vektoreiden ~a= 4~i +~j ja ~b =−2~i +3~jvalinen kulma.

|~a| =√

42+12 =√17

|~b| =√(−2)2+32 =

√13

cosγ =axbx +ayby

|~a| |~b|

=4 · (−2)+1 ·3√

17 ·√13

=−5√

17 ·√13

−→ γ = arccos

(−5√

17 ·√13

)= 109,65◦ = 0,6092π

Aiheet

Kulmayksikot

Pythagoran lause


Arcus-funktiot

Kulmanlaskeminen



Avaruusvektoreista

Avaruusvektoreista 28

x

y

z

x

y

z

P

Pxy

xP

yP

zP

(x ,y ,z)-koordinaatisto.Samoin kuin edella maaritellaan koordinaattiakseliensuuntaiset yksikkovektorit

vektori pituus suunta~i 1 x-akselin suunta~j 1 y -akselin suunta~k 1 z-akselin suunta

Aiheet

Kulmayksikot

Pythagoran lause


Arcus-funktiot

Kulmanlaskeminen



Avaruusvektoreista


x

y

z

~i~i~i~j ~j ~j ~j

~k

~k

~k

~k

~k P = (3,4,5)

−→OP = 3 ·~i+4 ·~j+5 ·~k

x

y

z

P Q −→PQ =

−→PO+

−→OQ

= ~rQ −~rP

Aiheet

Kulmayksikot

Pythagoran lause


Arcus-funktiot

Kulmanlaskeminen



Avaruusvektoreista


Lause: (1) Vektorin ~a= ax~i+ay~j+ay~j pituus saadaanlausekkeesta

|~a|=√a2x +a2y +a2z .

(2) Olkoon P = (xP ,yP ,zP) ja Q = (xQ ,yQ ,zQ) kaksipistetta. Pisteiden P ja Q etaisyys, eli janan PQ pituus, eli

suuntajanan−→PQ pituus saadaan lausekkeesta

|PQ|=√(xQ −xP)2+(yQ −yP)2+(zQ − zP)2.

Perustelu loytyy opetusmonisteesta.

Aiheet

Kulmayksikot

Pythagoran lause


Arcus-funktiot

Kulmanlaskeminen



Avaruusvektoreista


Lause: Kaksi avaruusvektoria ~a= ax~i+ay~j+az~k ja~b = bx~i+by~j+bz~k ja niiden valinen kulma γ toteuttavatyhtalon

cosγ =axbx +ayby +azbz

|~a| |~b|.

Perustelu loytyy opetusmonisteesta.

Aiheet

Kulmayksikot

Pythagoran lause


Arcus-funktiot

Kulmanlaskeminen



Avaruusvektoreista


Esimerkki: Laske vektoreiden ~a= 4~i +5~j+2~k ja~b = 3~i +6~j+~k valinen kulma.

|~a| =√

42+52+22 =√45

|~b| =√32+62+12 =

√46

cosγ =axbx +ayby +azbz

|~a| |~b|

=4 ·3+5 ·6+2 ·1√

45 ·√46

=44√

45 ·√46

−→ γ = arccos

(44√

45 ·√46

)= 14,7◦ = 0,0819π

Documents

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa - Vaasan yliopistolipas.uwasa.fi/~mla/math1150/trigonometriaa.pdfAiheet Kulmayksik ot Pythagoran lause Trigonometriset funktiot Arcus-funktiot