Linear Algebra 2

เอกสารคําสอน รายวิชา 2102205 55

พีชคณติของเมทริกซ (Matrix Algebra)

2.1 การดําเนินการของเมทริกซ (Matrix Operations) 2.2 ตัวผกผันของเมทริกซ (Inverse of a Matrix) 2.3 เมทริกซขั้นมูลฐาน (Elementary Matrices) 2.4 การแปลงเชิงเสนที่ผกผันได (Invertible Linear Transformation) 2.5 การแบงสวนเมทริกซ (Partitioned Matrices) 2.6 การแยกตัวประกอบ LU ของเมทริกซ (LU Factorization) 2.7 ตัวกําหนด / ดีเทอรมิแนนต (Determinant) 2.8 บทสรุปทายบท (Summary) 2.9 แบบฝกหัดทายบท (Exercises)

ในบทที่ 1 เราไดพิจารณาระบบสมการเชิงเสนและการดําเนินการตางๆ เพื่อใหไดมาซึ่ง

ผลเฉลยของระบบ ทั้งนี้ เราพบวาการพิจารณาระบบสมการเชิงเสนใหอยูในรูปแบบของสมการเมทริกซและเวกเตอร จะสามารถทําใหการแกระบบสมการเชิงเสนเพื่อหาผลเฉลยเปนไปไดอยางมีประสิทธิภาพและเปนระบบมากขึ้น

ในบทนี้ เราจะแนะนําการดําเนินการตางๆของเมทริกซอยางละเอียด พรอมทั้งนําเสนอ

ตัวผกผันของเมทริกซ (Inverse of a Matrix) เมทริกซขั้นมูลฐาน (Elementary Matrices) การแปลงเชิงเสนที่ผกผันได (Invertible Linear Transformation) และตัวกําหนดหรือดีเทอรมิแนนต (Determinant) ของเมทริกซ นอกจากนี้ จะมีการกลาวถึงการแบงสวนเมทริกซ (Partitioned Matrices) และการแยกตัวประกอบเมทริกซ (LU Factorization) อีกดวย ซึ่งใชวิเคราะหเมทริกซ ดังในตัวอยางของการประยุกตใชงานแผนใหม (Modern Application) เชน การออกแบบเครื่องบิน [1] เปนตน

2


2.1 การดําเนินการของเมทริกซ (Matrix Operations) ในการพิจารณาสมบัติเชิงเสนของระบบสมการเชิงเสนหนึ่งๆ สามารถอธิบายในรูปของเวกเตอร (Vector) และเมทริกซ (รูปเอกพจน คือ Matrix และรูปพหูพจน คือ Matrices) ไดอยางเปนขั้นเปนตอน เพื่อความเปนระบบระเบียบมากขึ้น โดยจะมีการกลาวถึงเวกเตอรอีกครั้ง เมื่ออธิบายถึงปริภูมิเวกเตอร (Vector Space) ในบทที่ 5 สําหรับในบทนี้ จะใชคําวา เวกเตอร เมื่อหมายความถึง ชุดของจํานวนหรือตัวเลขหนึ่งชุด 2.1.1 เวกเตอรใน 2R โดยปกติแลว เราเรียกเมทริกซที่มีเพียงแถวตั้งหนึ่งแถววาเปน เวกเตอรแถวตั้ง (Column Vector) หรือเรียกวา เวกเตอร เฉยๆ ตัวอักษรที่ใชแทนเวกเตอร จะใช ตัวตาม (Lower Case Letter) ตอไปนี้เปนตัวอยางของเวกเตอรที่มีสมาชิก 2 ตัว เชน

1 0.4, ,

3 0.5

αβ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

x y z

เมื่อ α และ β เปนเลขจํานวนจริงใดๆ (โดยเรียกเซตของเวกเตอรทั้งหมดที่มีสมาชิก 2 ตัว วา 2R ) R หมายถึง เซตของเลขจํานวนจริงใดๆ และ 2 เปนเลขชี้กําลังของ R ที่บงบอกถึงจํานวนของสมาชิกในเวกเตอรหนึ่งๆ ใน 2R

• การบวกเวกเตอร (Vector Addition) เมื่อพิจารณาเวกเตอร x และ y ใน 2R จากที่กลาวไวกอนหนานี้ ผลบวกของเวกเตอร x และ y หาไดจากการบวกคาของสมาชิกที่ตําแหนงเดียวกันของแตละเวกเตอรเขาดวยกัน เชน

1 0.4 1 0.4 1.4

3 0.5 3 0.5 2.5

= + = + =⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

x + y

• การคูณเวกเตอรดวยสเกลาร (Scalar Multiplication)

เวกเตอร x หนึ่งๆ จะถูกคูณดวยคาคงที่ ∝ ซึ่งเปนเลขจํานวนจริงโดยการคูณสมาชิกแตละตัวของเวกเตอรนั้นๆ ดวยคาคงที่ ∝ ดังนี้

1

3 3

∝⎡ ⎤ ⎡ ⎤∝ = ∝ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − ∝⎣ ⎦ ⎣ ⎦

x


การอธิบายและทําความเขาใจเวกเตอร ใน 2R ดวยรายละเอียดทางเรขาคณิต (Geometric Description) จะชวยใหมองเห็นความสัมพันธกันของสมาชิกตางๆ ในเวกเตอรไดดีขึ้น และใชอธบิายในกรณีทีเ่ลขชี้กําลังไมใช 2 ได

x2

x1

(1,1)

(-1,-1) (2,-1)

รูปที่ 2-1 ตวัอยางของเวกเตอรใน 2R

สําหรับ 2R ใหพิจารณาระนาบ บนแกน 2 แกนที่ตั้งฉากกันดังรูปที่ 2-1 เราสามารถ

เรียกแทนจุด (a,b) บนแกน 1 2x x− ดวยเวกเตอรแถวตั้ง a

b

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

ได ดังนั้นเราสามารถนึกถึง จุด

ตางๆ บนแกน 1 2x x− เมื่อตองการพูดถึง 2R ได

x2

x1

A (1,1)

(-1,-1)BC (2,-1)

D(0,-3)

รูปที่ 2-2 ตวัอยางของเวกเตอรเรขาคณิตใน 2R


เมื่อให A , B, C และ D เปนจุดตางๆ 4 จุด ใน 2R ดังแสดงในรูปที่ 2-2 เสนที่ลากเชื่อมจากจุด A ไปยังจุด B แทนดวยสัญลักษณ AB จะเรียกวาเปน เวกเตอรเรขาคณิต (Geometric Vector) จากจุด A ไปยังจุด B - จุด A เปนหาง (Tail) ของ AB - จุด B เปนปลาย (Tip) ของ AB ในการพิจารณาเวกเตอรหนึ่งๆ โดยสวนมาก จะพิจารณาทั้งขนาด (Magnitude) ซึ่งบอกระยะหางระหวางจุดที่หางและจุดปลายของเวกเตอร หรือเรียกวาความยาวของเวกเตอร (Length) ใชสัญกรณ AB และทิศทาง (Direction) ซึ่งบอกวาปลายของหัวลูกศร (Arrow) ของเวกเตอรอยู ณ ตําแหนงของจุดปลายของเวกเตอร

ขอสังเกต เวกเตอร 2 เวกเตอรจะ เทากัน หากมี ความยาวเทากัน และมี ทิศทางเดียวกัน ถึงแมวาเวกเตอรทั้งสองนั้นจะไมมีจุดหางและจุดปลายเดียวกัน ดังนั้น AB CD= ในรูปที่ 2-2 เ มื่อให OA=v เปนเวกเตอร เรขาคณิตบนแกน 1 2x x− โดยระบุไดดวยจุด

1 2A ( , )x x ดังรูปที่ 2-3 เมื่อจุดกําเนิด O(0,0) เปนจุดหางของเวกเตอรและจุด 1 2A ( , )x x เปนจุดปลายของเวกเตอร

x2

x1

v

A (x1,x2)

(0,0)x1

x2

0

รูปที่ 2-3 ตวัอยางของเวกเตอรตําแหนงใน 2R


ดังนั้น เราสามารถเขียนไดวา

1 1

2 2

0

0

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥

⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦v

x x

x x (2.1)

[ ]T1 2= x x (2.2)

เมื่อ v ในสมการที่ (2.1) ถูกระบุดวยเวกเตอรแถวตั้ง ซึ่งเปนคูสลับ (Transposition) กับเวกเตอรแถวนอน หรือสัญกรณ [ ]T. ดังในสมการที่ (2-2) โดยเรียก v ในสมการที่ (2.1) หรือ (2.2) วาเปน เวกเตอรตําแหนง (Position Vector) ของจุด 1 2A ( , )x x กฎของรูปสี่เหลี่ยมดานขนานสําหรับการบวกเวกเตอร (Parallelogram Rule for Vector Addition) ใหเวกเตอร v และเวกเตอร w เปนเวกเตอร 2 เวกเตอรที่ตองการหาเวกเตอรผลลัพธของการบวก เมื่อนําสวนหางของเวกเตอร v และเวกเตอร w มาอยู ณ จุดเดียวกัน เราสามารถสรางรูปสามเหลี่ยมดานขนานขึ้นมาไดรูปหนึ่ง โดยมีตัวประกอบเปนขนาดและทิศทางของเวกเตอร v และเวกเตอร w นั้น ผลบวกของเวกเตอรทั้งสองนี้จะเปนเวกเตอรในแนวเสนทแยงมุม (Diagonal) ของรูปสี่เหลี่ยมดานขนานโดยเวกเตอรผลลัพธของการบวกนี้ จะมีสวนหางอยู ณ จุดเดียวกันกับทั้งสวนหางของเวกเตอร v และสวนหางของเวกเตอร w ดังแสดงในรูปที่ 2-4

x3

x2

x1

v

w

u

รูปที่ 2-4 การบวกเวกเตอรโดยใชกฎของรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน

ดังนั้น จะเขียนเปนสมการคณิตศาสตรไดวา

= +u v w (2.3)


เวกเตอร u เปนเวกเตอรผลบวกของเวกเตอร v และเวกเตอร w

ตัวอยางที่ 2-1 กําหนดให 2

2

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

v และ 4

3

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

w จงหาเวกเตอรผลลัพธ +v w

วิธีทํา ใหเวกเตอร u เปนเวกเตอรผลลัพธของการบวกเวกเตอร v และเวกเตอร w ดังนั้น = +u v w

2 4 2 4 2

2 3 2 3 5

= + − = − = −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ตอบ

โดยสามารถแสดงใหเห็นภาพในรูปที่ 2-5 โดยใชกฎของรูปสี่เหลี่ยมดานขนานสําหรับการบวกเวกเตอร

x2

x1

v

w

u

(2,2)(-4,3)

(-2,5)

รูปที่ 2-5 ตวัอยางหนึ่งของการบวกเวกเตอรโดยใชกฎของรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน


2.1.2 เวกเตอร ใน 3R เวกเตอรที่มีสมาชิก 3 ตัว สามารถแสดงใหเห็นภาพไดดวยรูป 3 มิติ ในปริภูมิพิกัด (3-dimensional coordinate space) ดังแสดงในรูปที่ 2-6 สําหรับเวกเตอรตัวอยาง เชน เวกเตอร

1

2

3

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

v และเวกเตอร 2

2 4

6

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

v เปนตน

x3

x2

x1

v

2v

รูปที่ 2-6 ตวัอยางของเวกเตอรใน 3R

2.1.3 เวกเตอรใน Rn Rn เปนเซตหรือชุดของเลขจํานวนจริง n ตัว หรือ n สิ่งอันดับ (Ordered n-tuple) โดยสวนมากเขียนใหอยูในรูปแบบเวกเตอรแถวตั้ง เชน

1

2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

u

n

u

u

u

ในกรณีทั่วไป เมื่อสมาชิกของเวกเตอรหนึ่งๆ เปนศูนยทั้งหมด เราเรียกเวกเตอรนั้นๆ วา เวกเตอรศูนย (Zero Vector / Null Vector)

0

0

0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

0


สมบัติทางพีชคณิตของเวกเตอร สําหรับเวกเตอร , ,u v w ใน Rn และสเกลาร c กับ d (i) =u + v v + u (ii) ( ) ( )+ = + +u + v w u v w (iii) + = + =u 0 0 u u (iv) ( )+ − = − + =u u u u 0 เมื่อ ( 1)− = −u u (v) ( )+ = +u v u vc c c (vi) ( )+ = +u u uc d c d (vii) ( ) ( )=u uc d cd (viii) 1 =u u ขอสังเกต สําหรับการลบเวกเตอร (Vector Subtraction) ใหพิจารณาโดยใชสมบัติขอ (iv) ของการบวกเวกเตอร เชน −u v มีความหมายเชนเดียวกันกับ ( 1)+ −u v ซึ่งหมายความวาเราสามารถหาเวกเตอรผลลัพธของการลบเวกเตอรทั้งสองนี้ไดจาก ( )+ −u v ดังรูปที่ 2-7

x2

x1

v

0

-v

u

u-v

รูปที่ 2-7 ตัวอยางหนึ่งของการลบเวกเตอรใน 3R


2.1.4 เมทริกซ (Matrix) เมทริกซ เปนแถวลําดับของตัวเลขหนึ่งชุดซึ่งมีทั้งแถวตั้ง (Column) และแถวนอน (Row) พหูพจนของเมทริกซ เรียกวา Matrices ตัวอักษรที่ใชแทนเมทริกซหนึ่งๆ จะใช ตัวนํา (Upper Case Letter) ตอไปนี้เปนตัวอยางของเมทริกซ

22 1 3 1 1

50 1 5 2 3

3

−⎡ ⎤− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

A B C

โดยทั่วไปแลว เมทริกซหนึ่งๆ ที่มีแถวนอน m แถวและมีแถวตั้ง n แถวจะเรียกวาเปนเมทริกซขนาด m n× ดังนั้นจากตัวอยางขางบนนี้ จะเห็นวาเมทริกซ A มีแถวนอน 2 แถว และมีแถวตั้ง 3 แถว จึงกลาวไดวา เมทริกซ A มีขนาด 2 3× เมทริกซ B มีขนาด 2 2× และเมทริกซ C มีขนาด 3 1× ตามลําดับ ทั้งนี้ เมทริกซขนาด 1 n× จะเปนเมทริกซแถวนอน (Row Matrix) หรือเรียกวาเปน เวกเตอรแถวนอน (Row Vector) ในขณะเดียวกัน เมทริกซขนาด 1m× จะเรียกวาเปน เมทริกซแถวตั้ง (Column Matrix) หรือเรียกวา เวกเตอรแถวตั้ง (Column Vector) ขอสังเกต เมทริกซที่มีจํานวนแถวนอนเทากันกับจํานวนแถวตั้ง หรือมีขนาด ×n n เมื่อ n เปนเลขจํานวนเต็มที่มากกวาศูนย จะเรียกวา เมทริกซจัตุรัส (Square Matrix) ตําแหนงของสมาชิกในเมทริกซ (Entry) จะเปนไปตามแถวนอนและแถวตั้งของสมาชิกนั้นๆ โดยใหนับแถวนอนเริ่มจากบนลงลางและใหนับแถวตั้งจากซายไปขวา ดังนั้น ( ,i j )-entry ของเมทริกซ A หนึ่งๆ หรือใชแทนวา ija จะเปนตัวเลขในเมทริกซ A ที่อยูบนแถวนอนที่ i แถวตั้งที่ j ตัวอยางเชน

2 1 3

0 1 5

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

A

12

23

(1, 2) entry of 1

(2,3) entry of 5

= − == − =

A

A

a

a

โดยทั่วไปแลว เมทริกซ A ขนาด m n× สามารถเขียนแจกแจงสมาชิกไดดังนี้


11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 3

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A

n

n

m m m mn

a a a a

a a a a

a a a a

หรือสามารถเขียนไดเปน ⎡ ⎤= ⎣ ⎦A ija เมื่อ 1≤ ≤i m และ 1≤ ≤j n ดังนั้น เมทริกซ A และเมทริกซ B จะเทากันก็ตอเมื่อเมทริกซทั้งสองนั้นมีขนาดเทากัน (เปน m n× ) และสมาชิกแตละตัวของเมทริกซ A มีคาเทากันกับสมาชิกแตละตัวของเมทริกซ B ณ ตําแหนงหนึ่งๆ และทุกตําแหนง (กลาวคือ ij ija b= สําหรับทุกคา ,i j )

ตัวอยางที่ 2-2 กําหนดให 1 2 1 2 1

1 0 1 0 3

− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A B Ca b

c d

(1) จงพิจารณาวาเมทริกซ A และ B เทากันหรือไม เมทริกซ A กับเมทริกซ B ไมเทากันเนื่องจากเมทริกซทั้งสองมีขนาดตางกัน กลาวคือ เมทริกซ A มีขนาด 2 2× ในขณะที่ เมทริกซ B มีขนาด 2 3× ตอบ (2) จงพิจารณาวาเมทริกซ B และ C เทากันหรือไม

เมทริกซทั้งสองไมเทากัน เนื่องจากเมทริกซ B และ C มีขนาดตางกัน ตอบ

(3) จงพิจารณาวา เมทริกซ A และ C เทากันหรือไม มีความเปนไปไดที่เมทริกซ A และ C จะเทากัน เนื่องจาก เมทริกซทั้งสองมีขนาด

2 2× เชนเดียวกัน โดยเมทริกซ =A C ก็ตอเมื่อ 1, 2, 1a b c= = − = และ 0d = ตอบ

2.1.4.1 การบวกเมทริกซ (Matrix Addition) ถาเมทริกซ A และเมทริกซ B มีขนาด m n× เทากัน ผลบวกของเมทริกซทั้งสองจะเปนเมทริกซผลลัพธที่นําคาสมาชิกของทั้งสองเมทริกซ A และ B มาบวกกัน ณ ตําแหนงที่สอดคลองกัน (ทั้งนี้การบวกเมทริกซที่มีขนาดตางกันจะไมสามารถทาํได) เมื่อให ⎡ ⎤= ⎣ ⎦A ija และ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦B ijb แลว ผลบวกของเมทริกซทั้งสองหาไดจาก

⎡ ⎤+ = +⎣ ⎦A B ij ija b


เชน 2 1 3 1 1 1,

1 2 0 2 0 6

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A B

2 1 1 1 3 1 3 2 2

1 2 2 0 0 6 1 2 6

+ + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A + B

2.1.4.2 การคูณเมทริกซดวยสเกลาร (Scalar Multiplication) สําหรับเมทริกซ A หนึ่งๆ ขนาด m n× เมื่อถูกคูณดวยคาคงที่ k เมทริกซผลลัพธจะหาไดจากการคูณสมาชิกทุกตัวของเมทริกซ A ดวยคาคงที่ k ดังนี้

⎡ ⎤= ⎣ ⎦A ijk ka เมื่อ 1≤ ≤i m และ 1≤ ≤j n

เชน 1 32 21

2 12

12 1 3 6 3 9, 3 ,

1 2 0 3 6 0 1 0

− −

−−⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= = = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦A A A

ขอสังเกต =A 0k (เมื่อ 0 เปนเมทริกซศูนย) อาจเกิดขึ้นไดจาก 2 สาเหตุ คือ (1) 0k = หรือ (2) =A 0 (เมทริกซศูนย) สมบัติของการบวกและการคูณเมทริกซดวยสเกลาร เมื่อให , ,A B C เปนเมทริกซขนาดเทากัน คือ m n× และให ,r s เปนคาคงที่ใดๆ แลว (i) สมบัติการสลับที่ (Commutative) =A + B B + A (ii) สมบัติการเปลี่ยนหมู (Associative) ( + ) + = + ( + )A B C A B C (iii) มีเมทริกซศูนย 0 ขนาด m n× เชนกันกับเมทริกซ A ที่ทําให A + 0 = A (iv) + (- ) = A A 0 เมื่อ = ( 1)− −A A (v) สมบัติการกระจายการคูณผลบวกของเมทริกซดวยสเกลาร ( + ) = + A B A Br r r (vi) สมบัติการกระจายการคูณเมทริกซดวยผลบวกของสเกลาร ( ) + + =A A Ar s r s


(viii) สมบัติการกระจายการคูณเมทริกซดวยผลคูณของสเกลาร ( ) = ( )A Ar s rs (viii) 1 = A A เมื่อ 1 เปนคาคงที่ 2.1.4.3 คูสลับของเมทริกซ (Matrix Transposition) คูสลับหรือการยายขางของเมทริกซ A ขนาดm n× จะไดเมทริกซใหม ที่มีจํานวนแถวนอนเทากับจํานวนแถวตั้งของเมทริกซตนฉบบัและมีจํานวนแถวตัง้ เทากับจํานวนแถวนอนของเมทริกซตนฉบับ ดังนั้น คูสลับของเมทริกซ A ซึ่งมีสัญกรณเปน AT จะมีขนาด ×n m ถา = ⎡ ⎤⎣ ⎦A ija แลว คูสลับของเมทริกซ A จะหาไดจาก ⎡ ⎤= ⎣ ⎦AT

ijb เมื่อ ij jib a= สําหรับ 1≤ ≤i m และ 1≤ ≤j n ซึ่งหมายความวา ถา = ⎡ ⎤⎣ ⎦A ija แลว ⎡ ⎤= ⎣ ⎦AT

jia เชน

1 41 2 3

, 2 54 5 6

3 6

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

A AT

1 3 3 1 3 3

3 1 4 , 3 1 4

3 4 1 3 4 1

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

B B BT

สมบัติของคูสลับของเมทริกซ ให A และ B เปนเมทริกซขนาดเทากัน และ k เปนคาคงที่ใดๆ (i) ( ) =A AT T (ii) ( ) =A AT Tk k (iii) ( )+ = +A B A BT T T ทฤษฏีบทที่ 2-1 เมื่อเมทริกซ A และคูสลับของเมทริกซ A เทากัน กลาวคือ =A AT แลว เมทริกซ A จะเปนเมทริกซจัตุรัส ขนาด n n× และ เปนเมทริกซสมมาตร (Symmetric) ดวย พิสูจน ให A มีขนาด ×m n ดังนั้น AT มีขนาด ×n m ถาเมทริกซ =A AT แลว นั้นหมายความวา =m n ซึ่งก็คือ เมทริกซ A เปนเมทริกซจัตุรัส ขนาด n n× เทานั้น ซ.ต.พ.


ตัวอยางที่ 2-3 ถา A และ B เปนเมทริกซสมมาตร ขนาด n n× จงแสดงใหเห็นวา +A B เปนเมทริกซสมมาตร วิธีทํา ถา A เปนเมทริกซสมมาตร แลว =A AT ถา B เปนเมทริกซสมมาตร แลว =B BT เมื่อหาคูสลับของผลบวกของเมทริกซ A กับเมทริกซ B จะได

( + ) = +A B A BT T T (จากสมบัติการยายขางของเมทริกซ)

= A + B (จากความเปนเมทริกซสมมาตร)

เมื่อ = ( )A + B A + B T ดังนั้นจึงสามารถสรุปไดวา +A B เปน เมทริกซสมมาตร ตอบ

ตัวอยางที่ 2-4 สมมติใหเมทริกซจัตุรัส A มีสมบัติดังนี้ คือ = 2A AT จงแสดงใหเห็นวา เมทริกซ A ตองเปนเมทริกซศูนยเทานั้น

วิธีทํา โจทยให = 2A AT

แทนคาเมทริกซ A ทางขวามือของสมมาตรขางบนนี้ดวย 2AT จะได

= 2 (2 )A AT T

ใชสมบัติคูสลับของเมทริกซ จะได

= 2 2( )

= 4 ( )

= 4

⎡ ⎤⎣ ⎦A A

A

A A

TT

T T

ลบออกดวยเมทริกซ A ทั้งสองขางของสมการ จะได

= 30 A

ดังนั้น เมทริกซ =A 0 เปนเมทริกซศูนยเทานั้น ตอบ


2.1.4.4 การคูณเมทริกซ (Matrix Multiplication) กําหนดให A เปนเมทริกซ ขนาด m n× และ B เปนเมทริกซขนาด n k′× การคูณเมทริกซ A กับเมทริกซ B จะกระทําไดก็ตอเมื่อ n n′= เทานั้น เมทริกซผลลพัธของการคณูนี้ คือ เมทริกซ AB จะมีขนาด m k× เมื่อเขียนเมทริกซ B ใหอยูในรูปของเวกเตอรแถวตั้ง [ ]1,....,=B b b k

[ ][ ]

1 2

1 2

= ....

= ....

AB A b b b

Ab Ab Ab

k

k

จะเห็นไดวา แตละแถวตั้งของเมทริกซผลคูณ AB จะอยูในรูปของการคูณเมทริกซ A กับเวกเตอรแถวตั้ง b j เมื่อ 1≤ ≤j k โดยที่ k เปนจํานวนแถวตั้งทั้งหมดของเมทริกซ B ตัวอยางที่ 2-5 จงหาเมทริกซผลคูณ AB เมื่อ

2 3 =

1 5

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

A และ 4 3 6 =

1 2 3

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

B

วิธีทํา เขียนเมทริกซ B ใหอยูในรูปของเวกเตอรแถวตั้ง [ ]1 2 3=B b b b และคํานวณหา 1 2 3, ,Ab Ab Ab

1 2

2 3 4 11 2 3 3 0,

1 5 1 1 1 5 2 13

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Ab Ab

3

2 3 6 21

1 5 3 9

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Ab

ดังนั้น [ ]1 2 3

11 0 21

1 13 9

=

⎡ ⎤= ⎢ ⎥− −⎣ ⎦

AB Ab Ab Ab

ตอบ

ขอสังเกต เวกเตอรแถวตั้งในแถวตั้งที่ 1 ของเมทริกซผลคูณ AB ซึ่งเทากันกับ 1Ab นั้นเปน ผลรวมเชิงเสน ของเวกเตอรแถวตั้ง 1a และ 2a ของเมทริกซ A กับสัมประสิทธ (Coefficient) หรือคาน้ําหนัก (Weight) ของสมาชิกในเวกเตอรแถวตั้ง 1b คําอธิบายจะเปนไปในทํานองเดียวกันสําหรับเวกเตอรแถวตั้ง 2Ab และ 3Ab (โปรดดูรายละเอียดเรื่อง ผลรวมเชิงเสน ในบทที่ 1)


กฎของแถวนอนแถวตั้งสําหรับการหาผลคูณของเมทริกซ (Row-column Rule) ในการหาผลคูณของเมทริกซ AB หากเมทริกซทั้งสองมีขนาดที่คูณกันไดแลว คือ จํานวนแถวตั้งของเมทริกซ A เทากับจํานสนแถวนอนของเมทริกซ B สมาชิก ณ ตําแหนงในแถวนอนที่ i และแถวตั้งที่ j ของเมทริกซ AB จะเกิดจาก ผลรวมของผลคูณของสมาชิกของเมทริกซ A ในแถวนอนที่ i กับสมาชิกของเมทริกซ B ในแถวตั้งที่ j ถาให ABij แสดงถึง ( , ) entryi j − ของเมทริกซ AB และถาเมทริกซ A มีขนาด m n× และเมทริกซ B มีขนาด n k× แลว เมทริกซผลลัพธ AB มีขนาด ×m k โดยที่

1 1 2 2 ....= + + +AB ij i j i j in nja b a b a b (2.4)

ตัวอยางที่ 2-6 จงหาผลคูณของเมทริกซ AB โดยใชกฎของแถวนอนแถวตั้ง

วิธีทํา เมื่อ 2 3

1 5

⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

A และ 4 3 6

1 2 3

⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

B

2 3 4 3 6 2(4) 3(1) * *

1 5 1 2 3 * * *

11 * *

* * *

↓

→ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

AB

ทําเชนเดียวกันกับการหาสมาชิกตัวอื่นของ AB เชน

2 3 4 3 6 11 * * 11 * *

1 5 1 2 3 * * 1(6) 5(3) * * 9

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥→ − − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

↑

ซึ่งพบวา การใชกฎของแถวนอนแถวตั้ง ในการหาผลคูณของเมทริกซ A และ เมทริกซ B จะใหผลเชนเดียวกันกับในตัวอยาง กอนหนานี้คือ

11 0 21 =

1 13 9

⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎣ ⎦

AB ตอบ


การคูณดวยเมทริกซ A การคูณดวยเมทริกซ B

การคูณดวยเมทริกซ AB

2.1.5 การประกอบของการสง (Composition of Mapping) เราสามารถพิจารณาการคูณเมทริกซกับเมทริกซดวย การสง (Mapping) กลาวคือ เมื่อเวกเตอร x หนึ่งๆ ถูกคูณดวยเมทริกซ B จะไดเวกเตอรผลลัพธ Bx และเมื่อเราคูณเวกเตอร Bx ดวยเมทริกซ A เราจะไดเวกเตอรผลลัพธ ( )A Bx ดังแสดงในรูปที่ 2-8 ซึ่งจะเห็นไดวา การคูณเวกเตอร x ดวยเมทริกซ B กอน ตามดวยเมทริกซ A จะใหผลลัพธเชนเดียวกันกับการคูณเวกเตอร x ดวยเมทริกซผลคูณ AB โดยเรียกรูปแบบของการคูณเวกเตอรดวยเมทริกซเดี่ยวหนึ่งเมทริกซ คือ เมทริกซ AB นี้วา การประกอบของการสง (Composition of Mapping) ของเวกเตอร x

xBx

A(Bx)

รูปที่ 2-8 ผลของการคูณเวกเตอร x ดวยเมทริกซ AB

สมบัติของการคูณเมทริกซกับเมทริกซ ให A เปนเมทริกซขนาด m n× และให B และ C เปนเมทริกซขนาดเดียวกันกับเมทริกซ A ซึ่งเมทริกซทั้งสามนี้สามารถบวกกันและลบกันได และ r เปนคาสเกลารใดๆ (i) กฎการเปลี่ยนหมูของการคูณ (Associative Law of Multiplication) A(BC) = (AB)C (ii) กฎการแจกแจงดานซาย (Left-Distributive Law) A(B + C) = AB + AC (iii) กฎการแจกแจงดานขวา (Right-Distributive Law) (B + C) A = BA + CA (iv) สมบัติการกระจายการคูณผลคูณของเมทริกซดวยสเกลาร ( ) ( )(AB) = A B = A Br r r (v) การมีเอกลักษณการคูณเมทริกซ (Identity for Matrix Multiplication) = =I A A AIm n


ขอสังเกต • เมทริกซผลคูณ AB กับเมทริกซผลคูณ BA ไมจําเปนตองเทากันเสมอไป • หากเมทริกซผลคูณ AB เทากันกับเมทริกซผลคูณ ACแลว เมทริกซ B อาจไม

เทากันกับเมทริกซ C • หากเมทริกซผลคูณ AB เทากับเมทริกซศูนยแลว เมทริกซ A และ เมทริกซ B อาจ

ไมเทากันกับเมทริกซศูนย

ตัวอยางที่ 2-7 กําหนดใหเมทริกซ 5 1=

3 2

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

A และเมทริกซ 2 0=

4 3

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

B

จงหาเมทริกซผลคูณ AB และเมทริกซผลคูณ BA วิธีทํา

5 1 2 0 14 3

3 2 4 3 2 6

2 0 5 1 10 2

4 3 3 2 29 2

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

AB

BA

จะเห็นวา ≠AB BA ตอบ ตัวอยางที่ 2-8 กําหนดใหเมทริกซ , ,A B C ดังตอไปนี้

2 3 8 4 5 2, ,

4 6 5 5 3 1

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A B C

จงหาเมทริกซผลคูณ AB และเมทริกซผลคูณ AC วิธีทํา

2 3 8 4 1 7

4 6 5 5 2 14

2 3 5 2 1 7

4 6 3 1 2 14

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

AB

AC

จะเห็นวา =AB AC ถึงแมวา ≠B C ตอบ


ตัวอยางที่ 2-9 กําหนดใหเมทริกซ 3 6=

1 2

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

A และเมทริกซ 2 4=

1 2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

B

จงหาเมทริกซผลคูณ AB วิธีทํา

3 6 2 4 0 0

1 2 1 2 0 0

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

AB 0

จะเห็นวา ถึงแมวา ≠A 0 และ ≠B 0 แตเมทริกซผลคูณ =AB 0 ได ตอบ 2.1.6 กําลังของเมทริกซ (Power of a Matrix) การคูณกันของเมทริกซ A กับเมทริกซ A เองเปนจํานวน k ครั้ง จะไดเมทริกซผลลัพธ ซึ่งเขียนไดในรูปของ kA (สังเกตวาเลขยกกําลัง k ของเมทริกซ A จะเทากับจํานวนครั้งของการคูณ) นั่นหมายความวา

terms

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅A = A Ak

k

(2.5)

ตัวอยางที่ 2-10 จงหาเมทริกซ 3A เมื่อกําหนดใหเมทริกซ 1 0

3 -2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

A =

วิธีทํา ⋅ ⋅3A = A A A

1 0 1 0 1 0

3 -2 3 -2 3 -2

⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠

=

1 0 1 0

-3 4 3 -2

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

=

1 0

9 -8

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

= ตอบ


2.2 ตัวผกผันของเมทริกซ (Inverse of a Matrix) สําหรับเมทริกซ A หนึ่งๆ ที่เปนเมทริกซจัตุรัสขนาด ×n n จะเปนเมทริกซที่ หาตัวผกผันได (Invertible) ถามีเมทริกซขนาดจัตุรัสอีกเมทริกซหนึ่ง เรียกวา ตัวผกผันของเมทริกซ A (Inverse of a Matrix) มีสัญกรณเปน 1−A ที่ทําให

1n=-AA I และ n

-1A A = I

เมื่อ nI เปนเมทริกซเอกลักษณขนาด n x n เมทริกซหนึ่งๆ ที่หาตัวผกผันได จะเรียกวาเปน เมทริกซไมเอกฐาน (Non-Singular Matrix) ในทางตรงขาม หากเมทริกซนั้นๆ ไมสามารถหาตัวผกผันได (Non-Invertible) จะเรียกวาเปน เมทริกซเอกฐาน (Singular Matrix) สูตรทั่วไปที่ใชในการหาตัวผกผันของเมทริกซ A เปนดังนี้

1 adj( )− AA =

A (2.6)

เมื่อ - เมทริกซผูกผัน (Adjoint Matrix) ของเมทริกซ A มีสัญกรณเปน adj( )A หาไดจาก ( )T

ijC - ijC เปนโคแฟกเตอร (Co-factor) ของสมาชิกแตละตัว ija ในเมทริกซ A - A เปนตัวกําหนด (Determinant) ของเมทริกซ (สําหรับรายละเอียดของการหาโคแฟกเตอรและตัวกําหนดของเมทริกซ จะไดกลาวถึงอยางละเอียดอีกครั้งหนึ่งในหัวขอ 2.6 ตอไป) สมบัติของตัวผกผันของเมทริกซ สําหรับเมทริกซจัตุรัส ×An n หนึ่งๆ ที่หาตัวผกผันได จะมีตัวผกผันของเมทริกซ คือ

1−A ขนาดเทากันกับเมทริกซ A ซึ่งมีสมบัติดังตอไปนี้

(i) ( ) 1−-1A = A

(ii) ( )-1 -1 -1AB = B A


(iii) ( ) ( )-1 -1A = ATT

(iv) -1 1A =

A

(v) adj( ) adj( )⋅ ⋅ ⋅A A = A I = A An

(vi) ( ) ( )- -1 -1A = A = Ar r r

(vii) +( )A A = Ar s r s

(viii) ( )( )A = Ar s rs

2.2.1 การใชตัวผกผันของเมทริกซในการหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเสน (Solution of a Linear System by using an Inverse of a Matrix) สําหรับระบบสมการเชิงเสนหนึ่งๆ ที่สามารถเขียนใหอยูในรูปของสมการเมทริกซและเวกเตอรไดเปน

=Ax b

เมื่อ A เปนเมทริกซสัมประสิทธิ์ของระบบสมการเชิงเสน ขนาด n x n และเปนเมทริกซไมเอกฐาน และ b เปนเวกเตอรใน Rn แลว ผลเฉลยของระบบสมการเชิงเสน x จะมีผลเฉลยหนึ่งเดียว คือ

= -1x A b (2.7)


ตัวอยางที่ 2-11 จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเสนนี้

1 2

1 2

7 3 2

5 2 1

x x

x x

− + =− =

โดยใชการหาตัวผกผันของเมทริกซสัมประสิทธิ์ของระบบสมการเชิงเสน -7 3

5 -2

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

A

วิธีทํา จากระบบสมการเชิงเสน =Ax b

เมื่อเมทริกซสัมประสิทธิ์ของระบบสมการเชิงเสนเปน -7 3

5 -2

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

A และ 1

2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

x

x เปนเวกเตอร

ของตัวแปรไมทราบคาของระบบ จะไดวา

-7 3 2

5 -2 1

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦1

2

x

x

จาก -1 1adj( )=A A

A

-2 -3 2 31

-5 -7 5 7(-7)(-2) - (5)(3)

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= =

ดังนั้นผลเฉลยของระบบสมการเชิงเสนนี้ คือ

-1 2 3 2 7

5 7 1 17

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦1

2

xA b

x

ซึ่งก็คือ 1 7x = และ 2 17x = เปนผลเฉลยของระบบ ตอบ


2.3 เมทริกซขั้นมูลฐาน (Elementary Matrices) เมทริกซขั้นมูลฐานหนึ่งๆ คือ เมทริกซผลลัพธที่ไดจากการดําเนินการตามแถวนอนขั้นมูลฐาน หนึ่งครั้งตอเมทริกซเอกลักษณ nI เราแบงการดําเนินการตามแถวนอนขั้นมูลฐานตอเมทริกซหนึ่งๆ ออกเปน 3 ประเภทดังนี้

• ประเภทที่ 1 การสับเปลี่ยนสัมประสิทธิ์ของเมทริกซระหวางแถวนอน 2 แถวนอน • ประเภทที่ 2 การปรับมาตราสัมประสิทธิ์ของเมทริกซในแถวนอนแถวหนึ่ง ดวยคาคงที่

คาหนึ่งที่ไมใชศูนย • ประเภทที่ 3 การแทนที่สัมประสิทธิ์ของเมทริกซในแถวนอนแถวหนึ่งดวยสัมประสิทธิ์

ชุดใหมที่เปนผลรวมของสัมประสิทธิ์ในแถวนอนสองแถวนอน ที่อาจมีการถูกปรับมาตราแลวดวย

ตัวอยางที่ 2-12

1 2 3

0 1 1 0 1 5, ,

1 0 0 9 0 1

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

E E E

เมทริกซ 1 2E ,E และ 3E เปนตัวอยางของเมทริกซขั้นมูลฐานประเภทที่ 1, 2 และ 3 ตามลําดับ โดย 1E เปนเมทริกซเอกลักษณ 2( )I ที่ถูกสับเปลี่ยนสัมประสิทธิ์ระหวางแถวนอนที่ 1 และ 2 2E เปนเมทริกซเอกลักษณ 2( )I ที่สัมประสิทธิ์ในแถวนอนที่ 2 ถูกปรับมาตราดวย '9 ' 3E เปนเมทริกซเอกลักษณ 2( )I ที่สัมประสิทธิ์ในแถวนอนที่ 1 ถูกแทนที่ดวย คาสัมประสิทธิ์ชุดใหมซึ่งเปนผลรวมของสัมประสิทธิ์ในแถวนอนที่ 1 กับสัมประสิทธิ์ ในแถวนอนที่ 2 ที่ถูกปรับมาตราดวยคาคงที่ '5 ' แลว ดังนั้น หากนําเมทริกซขั้นมูลฐาน 1 2 3E ,E ,E นี้ มาคูณกับเมทริกซ A จะใหผลโดยออมตอสัมประสิทธิ์ของเมทริกซ A หนึ่งๆ เชนเดียวกันกับการดําเนินการตามแถวนอนขั้นมูลฐานนั้นๆ กับเมทริกซ A โดยตรง ดังตัวอยางตอไปนี้

เมื่อใหเมทริกซ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

A =a b c

d e f

1

0 1

1 0

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦E A =

a b c d e f

d e f a b c

จะเห็นไดวา เมทริกซผลลัพธ 1E A ถูกสับเปลีย่นสัมประสิทธิ์ในแถวนอนที่ 1 และ 2


2

1 0

0 9 9 9 9

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦E A =

a b c a b c

d e f d e f

จะเห็นไดวา เมทริกซผลลัพธ 2E A มีการปรับมาตราสัมประสิทธิ์ในแถวนอนที่ 2 ดวยคาคงที่เปน 9

3

1 5 5 5 5

0 1

+ + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

E A = =a b c a d b e c c

d e f d e f

จะเห็นไดวา เมทริกซผลลพัธ 3E A มีการแทนที่สัมประสิทธิ์ในแถวนอนที่ 1 ดวยคาสัมประ-สิทธิ์ชุดใหม ซึ่งเปนผลรวมของสัมประสิทธิ์ในแถวนอนที่ 1 กับสัมประสิทธิใ์นแถวนอนที่ 2 ที่ถูกปรับมาตราดวยคาคงทีเ่ปน 5 แลว นอกจากนี้ เมทริกซขั้นมูลฐานทุกตัวหาตัวผกผันได โดยตัวผกผันของเมทริกซขั้นมูลฐานหนึ่งๆ เองนั้นก็เปนเมทริกซขั้นมูลฐานดวย โดยการดําเนินการตามแถวนอนขั้นมูลฐานตอเมทริกซเอกลักษณ 2I ที่ทําใหเกิดเมทริกซขั้นมูลฐานผกผัน -1E นั้น จะถือวาเปน การดําเนินการผกผัน (Inverse Operation) ของการดําเนินการตามแถวนอนขั้นมูลฐานที่ทําใหเกิดเมทริกซ E นั่นเองดังสรุปในตารางที่ 2-1

ตารางที่ 2-1 การดําเนินการตามแถวนอนขั้นมูลฐานและการดาํเนินการผกผัน

ประเภท การดําเนินการ การดําเนินการผกผัน 1 การสับเปลีย่นสัมประสิทธิร์ะหวางแถว

นอนที่ p และ q การสับเปลีย่นสัมประสิทธิร์ะหวางแถวนอนที่ p และ q

2 การคูณสัมประสิทธิใ์นแถวนอนที่ p ดวยคาคงที่ 0k ≠

การคูณสัมประสิทธิใ์นแถวนอนที่ p ดวยคาคงที ่ 1

k เมื่อ 0k ≠ 3

การบวกสัมประสิทธิใ์นแถวนอนที่ q ดวยสัมประสทิธิ์ในแถวนอนที่ p ซึ่งถูกปรับมาตรา ดวยคาคงที่ ' 'k แลว

การบวกสัมประสิทธิใ์นแถวนอนที่ q ดวยสัมประสิทธิ์ในแถวนอนที่ p ซึ่งถูกปรับมาตราดวยคาคงที่ ' 'k− แลว


ตัวอยางที่ 2-13 จากเมทริกซขั้นมูลฐาน 1 2 3, ,E E E ตอไปนี้

1 2 3

0 1 0 1 0 0 1 0 5

1 0 0 0 1 0 0 1 0

0 0 1 0 0 9 0 0 1

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

E = E = E =

จากตารางที่ 2-1 การดําเนินการผกผันของการดําเนินการตามแถวนอนขั้นมูลฐานตอเมทริกซ

1 2 3, ,E E E ทั้งสามนี้ ทําใหเกิดเมทริกซ -1 -1 -11 2 3, ,E E E ดังตอไปนี้

-1 -1 -11 2 3

0 1 0 1 0 0 1 0 -5

1 0 0 0 1 0 0 1 0

0 0 1 1 0 0 10 0 9

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

E = E = E =

(หมายเหตุ การตรวจความถูกตองของคําตอบ พบวา -1

3=E E Ii i เมื่อ 1,2,3i = เปนจริง) โดยสรุป การดําเนินการตามแถวนอนขั้นมูลฐานตอเมทริกซ ×Am n หนึ่งๆ สามารถกระทําตอเมทริกซ A ไดโดยตรง หรือกระทําการดําเนินการตามแถวนอนขั้นมูลฐานนั้นๆ ตอเมทริกซเอกลักษณ Im และนําเมทริกซขั้นมูลฐาน E ที่ไดไปคูณทางซายมือของเมทริกซ A

ไดโดยออม ตัวอยางที่ 2-14 กําหนดใหเมทริกซ A และ B เปนเมทริกซที่สมมูลกันตามแถวนอน

(A B)∼ เมื่อ 1 2 3 4

0 1 2 3

0 0 1 2

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A และ 1 1 1 1

0 1 1 1

0 0 1 1

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

B

จงหาเมทริกซขั้นมูลฐาน iE เมื่อ 1,2,i = … ที่นําไปคูณเมทริกซ A แลวทําใหเกิดผลลัพธเปนเมทริกซ B วิธีทํา จากโจทย เมื่อทําการดําเนินการตามแถวนอนขั้นมูลฐานตอเมทริกซ A จะไดเมทริกซรูปแบบขั้นบันไดเปนเมทริกซ B ดังนี้

1 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1

0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 1 1

0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 1 1

→→

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

-R +R R2 1 2- R + R R3 2 2A = B∼ ∼


ซึ่งจะเห็นไดวา มีการดําเนินการตามแถวนอนขั้นมูลฐานทั้งหมดรวม 2 ครั้งตอเมทริกซ A โดยตรง เพื่อใหไดเมทริกซผลลัพธเปนเปนเมทริกซ B ดังนั้น เมื่อพิจารณาถึงการดําเนินการโดยออมตอเมทริกซ A ดวยเมทริกซขั้นมูลฐาน จะประกอบดวยการหาเมทริกซขั้นมูลฐาน 2 เมทริกซ คือ 1E และ 2E ตามลําดับ ที่มีความสอดคลองกับการดําเนินการตามแถวนอนขั้นมูลฐานที่กระทําโดยตรงตอเมทริกซ A เพื่อนํามาคูณทางซายมือของเมทริกซ A ในการนี้เมทริกซเอกลักษณที่จะคูณทางซายกับเมทริกซ A ขนาด 3 4× ได ตองมีขนาด 3 3× เทานั้น คือเมทริกซ Im โดยเมทริกซขั้นมูลฐาน 1E หาไดดังนี้

3 1

1 0 0 1 -1 0

0 1 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1

→⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

-R +R R2 1 1

I = E∼

และเมทริกซขั้นมูลฐาน 2E หาไดดังนี้

3 2

1 0 0 1 0 0

0 1 0 0 1 -1

0 0 1 0 0 1

→⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

-R +R R3 2 2I = E∼

ซึ่งพบวา 2 1Ε Ε Α = Β

1 0 0 1 -1 0 1 2 3 4 1 1 1 1

0 1 1 0 1 0 0 1 2 3 0 1 1 1

0 0 1 0 0 1 0 0 1 2 0 0 1 1

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

เมื่อใหเมทริกซ 2 1P = E E จะเขียนไดใหมวา PA = B โดยการนําเมทริกซ P ไปคูณกับเมทริกซ A ทางซายมือ จะใหเมทริกซผลลัพธเชนเดียวกันกับการคูณเมทริกซ A ดวยเมทริกซ 1Ε กอน และคูณดวยเมทริกซ 2E ตอบ จากตัวอยางที่ 2-14 สามารถเขียนเปนกรณีทั่วไดดังนี้ สมมติใหเมทริกซ A ขนาด m n× ถูกทําใหสมมูลกันตามแถวนอนกับเมทริกซ B ซึ่งมีขนาดเทากัน ดวยการดําเนินการตามแนวนอนขั้นมูลฐาน k ครั้งโดยออม ดวยเมทริกซขั้นมูลฐานชุดหนึ่ง คือ 1 2, , ,E E .... Ek ตามลําดับกอนหลัง จะเห็นไดวา

1 2 1 k k-1 2 1A E A E E A .... E E ... E E A = B∼ ∼ ∼ ∼


เมื่อให -1 2 1U = E E ... E Ek k จึงสามารถเขียนใหมไดเปน

UA = B (2.8) จะเห็นไดวา การดําเนินการตามแนวนอนขั้นมูลฐาน k ครั้งตอเมทริกซ A จะใหเมทริกซผลลัพธเปนเมทริกซ B ขนาด m n× กลาวคือ A B∼ ในทํานองเดียวกัน การดําเนินการตามแถวนอนขั้นมูลฐานชุดเดียวกัน k ครั้งตอเมทริกซเอกลักษณ Im จะใหเมทริกซผลลัพธเปนเมทริกซ U ขนาด m m× ดวย โดยสามารถเขียนไดวา

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦A I B U∼m

เมื่อ -1 2 1U = E E ... E Ek k โดย 1 2, , ,E E ... Ek เปนเมทริกซขั้นมูลฐานชุดเดียวกัน (ตามลําดับกอนหลัง) ที่กระทําตอเมทริกซ A แลวกอใหเกิดเมทริกซ B นอกจากนี้ จากสมบัติที่วาเมทริกซขั้นมูลฐานทุกตัวสามารถหาตัวผกผันได ดังนั้น

( )1-1 2 1

-1 -1 -1 -11 2 -1

− -1U = E E ...E E

= E E ... E E

k k

k k

ตัวอยางที่ 2-15 เมื่อเมทริกซ 2 3 1

1 2 1

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

A = จงหาเมทริกซ R ซึ่งเปนเมทริกซขั้นบันได

ลดรูปของเมทริกซ A เมื่อ R = UA โดยเมทริกซ U หาตัวผกผันได วิธีทํา ทําการดําเนินการตามแถวนอนขั้นมูลฐานกับเมทริกซแตงเติม 2⎡ ⎤⎣ ⎦A I เพื่อใหไดเมทริกซแตงเติม ⎡ ⎤⎣ ⎦R U

2

1

1

2 3 1 1 0 1 2 1 0 1

1 2 1 0 1 2 3 1 1 0

1 2 1 0 1 1 2 1 0 1

0 -1 -1 1 -2 0 1 1 1 -2

1 0 -1 2 -3

0 1 1 -1 2

↔

+ → →

+ →

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ = →⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤→ →⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤→ ⎢ ⎥

⎣ ⎦R U

R R1 2

-2R R R2 2 -R R2 2

-2R R R2 1

A I


เมื่อสังเกตวา เมทริกซทางซายมือของเมทริกซแตงเติมอยูในรูปแบบเมทริกซขั้นบันไดลดรูปแลว จึงหยุดการดําเนินการตามแถวนอนขั้นมูลฐาน

โดยเมทริกซ R ซึ่งเปนเมทริกซขั้นบันไดลดรูปของเมทริกซ A ที่ไดคือ 1 0 -1

0 1 1

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

ตอบ

2.3.1 การใชเมทริกซขั้นมูลฐานในการหาตัวผกผันของเมทริกซ (Matrix Inversion by using Elementary Matrices) สําหรับเมทริกซ ×Am n และ เมทริกซ ×Bm n ที่สมมูลกันตามแถวนอน จะมีความสัมพันธกัน ดังนี้

UA = B

เมื่อ 1 2, , ,E E .... Ek เปนเมทริกซขั้นมูลฐานชุดหนึ่ง แตละตัวมีขนาด m m× โดยที่ -1 2 1U = E E ... E Ek k เปนเมทริกซผลลัพธขนาด m m× ในกรณีที่เมทริกซ B เทากับเมทริกซเอกลักษณ Im จะพบวา

UA = I

เมื่อคูณทางขวามือทั้งสองขางของสมการนี้ดวยเมทริกซ 1−A จะไดวา

-1U = A จากนั้น ทําการแทนคา -1 2 1U = E E ... E Ek k จะไดวา

-1

-12 1A = E E ... E Ek k

(2.9)

ซึ่งหมายความวา ตัวผกผันของเมทริกซ ×Am n จะสามารถหาไดจาก ผลคูณของเมทริกซขั้นมูลฐาน -1, , , ,2 1E E ... E Ek k ตามลําดับ โดยสามารถพิจารณาในรูปแบบของเมทริกซแตงเติม ดังนี้

1−⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦A I I A∼m m


ตัวอยางที่ 2-16 จงหา -1A เมื่อเมทริกซ -1 1 2

3 -1 1

-1 3 4

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A

วิธีทํา เริ่มตนจากเมทริกซแตงเติม 3⎡ ⎤⎣ ⎦A I และดําเนินการตามแถวนอนขั้นมูลฐานจนกระทั้งไดเมทริกซแตงเติมในรูปแบบของ 1

3−⎡ ⎤⎣ ⎦I A ดังนี้

3

-1 1 2 1 0 0 -1 1 2 1 0 0

3 -1 1 0 1 0 0 2 7 3 1 0

-1 3 4 0 0 1 0 2 2 -1 0 1

1 -1 -2 -1 0 0 1 -1 0 0.6 0.4 -0.4

0 1 3.5 1.5 0.5 0 0 1 0 -1.3 -0.2 0.7

0 0 1 0.8 0.2 -0.2 0 0 1 0.8 0.2 -0.2

1 0 0 -0.7 0.2 0.3

0 1 0 -1.3 -0.2 0

0 0 1

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡⎢⎢⎢⎣

I

∼

∼ ∼

∼ .7

0.8 0.2 -0.2

⎤⎥⎥⎥⎦

-1A

ตอบ

(หมายเหตุ การตรวจความถูกตองของคําตอบ ทําไดโดย 3-1 -1AA = A A = I )

2.4 การแปลงเชิงเสนที่ผกผันได (Invertible Linear Transformation) ในบทที่ 1 หัวขอที่ 1.7 เราไดกลาวถึงการแปลงเชิงเสนไปแลว และไดเกริ่นนําถึงการแปลงดวยเมทริกซไวในเบื้องตนแลวนั้น ในหัวขอนี้จะกลาวถึง การประกอบของการแปลง (Composition of Transformations) และ การแปลงผกผัน (Inverse of Transformation) 2.4.1 การประกอบของการแปลง (Composition) กําหนดให n mT : →R R และ m pS : →R R เปนการแปลงเชิงเสนสองการแปลงที่ตอเนื่องกัน โดย mR เปนโดเมนรวมเกี่ยวของการแปลงเชิงเสน T และเปนโดเมนของการแปลงเชิงเสน S กลาวคือ

T S⎯⎯→ ⎯⎯→R R Rn m p ซึ่งความสัมพันธนี้ สามารถอธิบายไดดังแสดงในรูปที่ 2-9


Rn Rm Rp

T S

รูปที่ 2-9 การประกอบของการแปลงเชิงเสน T และ S จากความสัมพันธขางตน สามารถเขียนเปนการแปลงเชิงเสนใหมอีกการแปลงหนึ่ง คือ

S Tn p⋅⎯⎯→R R

เรียกวา การประกอบของการแปลงเชิงเสน S และ T โดยที่ การแปลงเชิงเสน T เกิดขึ้นกอน แลวจึงตามดวยการแปลง S โดยการประกอบของการแปลงเชิงเสนนี้ มีความสัมพันธ ดังนี้

( )( ) ( )( )S T S T⋅ =x x (2.10)

สําหรับเวกเตอร x ใดๆ ใน nR โดยที่ การประกอบของการแปลง เปน การแปลงเชิงเสนดวย ถา เมทริกซ A เปนเมทริกซมาตรฐานสําหรับการแปลงเชงิเสน T และ เมทริกซ B เปนเมทริกซมาตรฐานสําหรับการแปลงเชงิเสน S แลว การประกอบของการแปลงเชิงเสน S T⋅ จะมีเมทริกซ BA เปนเมทริกซมาตรฐานสําหรับการแปลงเชิงเสนนั้น พิสูจน สําหรับเวกเตอร x ใดๆ ใน nR เมื่อ

T( ) =x Ax S( ) =x Bx

ดังนั้น

( ) ( )( )( )( )

( )

S T S T

S

⋅ =

=

=

=

x x

Ax

B Ax

BA x

ซ.ต.พ.


หมายเหต ุสําหรับการแปลงเชิงเสนตอไปนี้

T⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→S QR R R Rn m p k

จะมีการประกอบของการแปลงเปน ( )Q S T⋅ ⋅ ซึ่งเทากันกับ ( )Q S T⋅ ⋅ (สามารถพิสูจนไดในทํานองเดียวกันกับการประกอบของการแปลงเชิงเสน S T⋅ ) 2.4.2 การแปลงผกผัน (Inverse of Transformation) กําหนดให n nT : →R R เปนการแปลงเชิงเสนที่มีเมทริกซจัตุรัส A ขนาด ×n n เปนเมทริกซมาตรฐานสําหรับการแปลงเชิงเสน T คําถาม หากเมทริกซ A สามารถหาตัวผกผันได กลาวคือ สามารถหาเมทริกซ -1A ได เราอยากทราบวา เมทริกซดังกลาวนี้มีความสัมพันธอยางไรกับการแปลงเชิงเสน T กําหนดให ' n nT : →R R เปนการแปลงเชิงเสนอีกการแปลงหนึ่งที่มีเมทริกซ -1A เปนเมทริกซมาตรฐานสําหรับการแปลงเชิงเสน 'T แลว การประกอบของการแปลงเชิงเสน T' T⋅ สําหรับเวกเตอร x ใดๆ ใน nR จะไดวา

( )' -1T T( ) ( )

n

=

==

x A Ax

I x

x

ซึ่งสามารถอธิบายไดวา หากการแปลงเชงิเสน T สงเวกเตอร x หนึ่งๆ ใน nR ไปยังภาพของเวกเตอร x คือเวกเตอร T( )x ใน nR แลว การแปลงเชิงเสน T ' จะสงเวกเตอร T( )x กลับไปยังเวกเตอรตนแบบ x ใน nR ดังแสดงในรูปที่ 2-10

RnT

Rn

Axx

T'

รูปที่ 2-10 การแปลงเชิงเสน T และการแปลงผกผัน 'T


ในทํานองเดียวกัน การประกอบของการแปลงเชิงเสน 'T T⋅ จะไดวา ( ) ( )-1T T ( )

n

′ =

==

x A A x

I x

x

ซึ่งสามารถอธิบายไดวา หากการแปลงเชิงเสน 'T สงเวกเตอร x หนึ่งๆ ใน nR ไปยังภาพของเวกเตอร x คือเวกเตอร 'T ( )x ใน nR แลว การแปลงเชิงเสน T จะสงเวกเตอร 'T ( )x กลับไปยังเวกเตอรตนแบบ x ใน nR ไดเชนกัน ดังนั้น เราจึงสามารถสรุปเกี่ยวกับการแปลงเชิงเสน และการแปลงผกผันไดดังนี้ (1) การแปลงเชิงเสน T ' เปนการแปลงผกผันของการแปลงเชิงเสน T (2) การแปลงเชิงเสน T เปนการแปลงผกผันของการแปลงเชิงเสน T ' (3) ถาเมทริกซ A สามารถหาตัวผกผันได การแปลงเชิงเสน T จะมีการแปลงผกผัน (4) บทกลับของความสัมพันธในขอ (3) เปนจริง คือ ถาแปลงเชิงเสน T มีการแปลงผกผันเปนการแปลงเชิงเสน T ' แลว เมทริกซมาตรฐานสําหรับการแปลงเชิงเสน T คือเมทริกซ A จะสามารถหาตัวผกผันได 2.5 การแบงสวนเมทริกซ (Partitioned Matrix) สําหรับเมทริกซ A ขนาด m n× และเมทริกซ B ขนาด n p× นั้น หากทําการแบงสวนเมทริกซ A และ B เปนเมทริกซยอย เรียกวา เมทริกซแบบบล็อก (Block Matrix) ที่มีขนาดเล็กกวาเมทริกซ A และ B เชน

2 2 3

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

2 -1 4 2 1

3 1 -1 7 5

4 -2

5 6

7 3

-1 0

1 6

×

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

I 0A

P Q

XB =

Y

โดยเมทริกซยอย หรือเมทริกซแบบบล็อก ไดเรียกชื่อตามที่ไดแสดงไวแลว ซึ่งเมทริกซ A และ B ทั้งสองนี้ สามารถนํามาบวกกันหรือคูณดวยจํานวนสเกลารไดตามปกติ


สําหรับการหาเมทริกซผลคูณ AB การแบงสวนเมทรกิซจะเปนประโยชนอยางมาก เนื่องจากสามารถเขียนในรปูของบล็อกได เชน

4 -2

5 6

30 8

8 27

+⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

I 0 X IX 0YAB =

P Q Y PX QY

X= =

PX + QY

เมื่อ 3 -10

17 0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

PX =

27 18

-9 27

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

QY =

นอกจากนี้ สําหรับเมทริกซ A และเมทริกซ B ที่แบงสวนเปน

11 12

22

11 12

22

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

A AA =

0 A

B BB =

0 B เมื่อ บล็อก 11A และ 11B เปนเมทริกซจัตุรัสขนาดเทากัน

บล็อก 22A และ 22B ก็เปนเมทริกซจัตุรัสขนาดเทากันแลว เมทริกซผลคณู AB ในรูปแบบการคูณเมทริกซแบบบล็อกของเมทริกซ A และ B จะเปน

11 12 11 12

22 22

11 12 12 2211 11

22 22

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎤⎡⎥⎢

⎣ ⎦

A A B BAB =

0 A 0 B

A B + A BA B=

A B0

โดยการคูณเมทริกซแบบบล็อกเหมาะสําหรับระบบคอมพิวเตอรที่มีขอจํากัดในเรื่องของหนวยความจํา หากสามารถแบงเมทริกซใหญออกเปนบล็อกที่สามารถทําการคูณระหวางบล็อกไดทีละสวนยอย ก็สามารถชวยหาผลคูณของเมทริกซทั้งสองได


การกระจายแถวตั้งแถวนอนของผลคูณของเมทริกซสองเมทริกซ สําหรับเมทริกซ A ขนาด m n× และเมทริกซ B ขนาด n p× เมทริกซผลคูณ AB สามารถหาไดโดยการเขียนเมทริกซหนึ่งใหประกอบดวยเวกเตอรแถวตั้ง และอีกเมทริกซหนึ่งใหประกอบดวยเวกเตอรแถวนอน ดังนี้

( ) ( ) ( )

( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

21 2

1 1

row

rowcol col col

row

col row col row

n

n

n n

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

B

BAB = A A … A

B

= A B + ... + A B

นอกจากนี้ สําหรับเมทริกซเฉียงหนึ่งๆ ที่ถูกทําการแบงสวนใหอยูในรูปของ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

11 12

22

A AA =

0 A

เมื่อ 11A เปนเมทริกซ ขนาด p p× 22A เปนเมทริกซ ขนาด q q× หากเมทริกซ A สามารถหาตัวผกผันได จะไดวา

m

-1AA = I

เมื่อ m p q= +

เมื่อกําหนดใหเมทริกซ -1B = A ซึ่งสามารถแบงสวนเมทรกิซไดเปน ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

11 12

21 22

B BB =

B B

เมทริกซผลคณู AB จะกลายเปน

11 12 11 12

22 21 22

p

q

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

A A B BAB =

0 A B B

I 0=

0 I

เมื่อทําการคูณเมทริกซแบบบล็อก จะไดความสัมพันธดังนี้

11 11 12 21

11 12 12 22

22 21

22 22

....(1)

....(2)

....(3)

....(4)

p

q

A B + A B = I

A B + A B = 0

A B = 0

A B = I


จากสมการที่ (4) จะไดวา -122 22B = A

จากสมการที่ (3) จะไดวา -121 22B = A 0 = 0

จากสมการที่ (1) จะไดวา 11 11 pA B = I เนื่องจาก 11A หาตัวผกผันได ดังนั้น จะไดเมทริกซ -1

11 11B = A เมื่อแทนคาลงในสมการที่ (2) จึงไดเมทริกซ -1 -1

12 11 12 22−B = A A A ดังนั้น เมทริกซ -1A จะไดจากการแทนคาเมทริกซยอย 11 12 21 22, , ,B B B B ของเมทริกซ B

-1 -1 -111 11 12 22

-122

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

-1 A -A A AA =

0 A

จึงสามารถสรุปไดวา เมทริกซเฉียงที่สามารถถูกแบงเปนเมทริกซแบบบล็อกไดนั้น จะสามารถหาตัวผกผันได ก็ตอเมื่อ เมทริกซยอยแตละเมทริกซบนแนวเสนทแยงมุมหลักสามารถหาตัวผกผันได ซึ่งในกรณีนี้ หมายถึงวา สามารถหาเมทริกซ -1

11A และ 22-1A ได

2.6 การแยกตัวประกอบ LU ของเมริกซ (LU Factorization) เมทริกซ A ขนาด m n× เมทริกซหนึ่งสามารถเขียนใหอยูในรปูของเมทริกซผลคูณ LU ได เรียกวา การแยกตัวประกอบ LU ของเมทริกซ A เมื่อ L เปนเมทริกซแบบสามเหลี่ยมลาง (Lower Triangular Matrix) ขนาด m m× และ U เปนเมทริกซแบบสามเหลี่ยมบน (Upper Triangular matrix) ขนาด m n× ซึ่งที่อยูในรูปแบบขั้นบันไดจากการดําเนินการตามแถวนอนขั้นมูลฐานตอเมทริกซ A

1 0 0 0 • * * * *

* 1 0 0 0 • * * *

* * 1 0 0 0 0 • *

* * * 1 0 0 0 0 0

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A = LU =

หมายเหต ุ

• เมทริกซแบบสามเหลี่ยมบน มีสมาชิกขางใตและสมาชิกทางซายมือของสมาชิกบนแนวเสนทแยงมุมหลักเปน ‘ศูนย’ ทั้งสิ้น

• เมทริกซแบบสามเหลี่ยมลาง มีสมาชิกที่อยูเหนือและสมาชิกทางขวามือของสมาชิกบนแนวเสนทแยงมุมหลักเปน ‘ศูนย’ ทั้งสิ้น

• เมทริกซขั้นบนัได และเมทริกซขั้นบันไดลดรูป เปนเมทริกซแบบสามเหลี่ยมบน


ขอสังเกต (1) การดําเนินการตามแถวนอนขั้นมูลฐานตอเมทริกซ A เพื่อใหอยูในรูปแบบเมทริกซขั้นบันได คือเมทริกซ U นั้น ตองปราศจากการสับเปลีย่นแถวนอน (Row Interchange) (2) เมทริกซแบบสามเหลี่ยมลาง L ที่มีสมาชิกบนแนวเสนทแยงมุมหลักเปน ‘หนึ่ง’ ทั้งหมด จะมีชื่อเฉพาะวา เมทริกซแบบสามเหลี่ยมลางหนึ่งหนวย (Unit Lower Triangular Matrix) (3) เมทริกซ L สามารถหาตัวผกผันได ขั้นตอนการหาเมทริกซแบบสามเหลี่ยมลาง

• สมาชิกในเมทริกซแบบสามเหลี่ยมลาง L เกิดจากการนําสมาชิกในแถวตั้งตางๆ ของเมทริกซ A ที่ถูกนําไปใชหาตัวหลัก (Pivot) โดยในแตละแถวตั้งนั้น ใหคงคาไวซึ่งสมาชิกตั้งแตตัวหลัก (ในกรอบสี่เหลี่ยม) และเติมสมาชิกเหนือตัวหลัก (ในวงกลม) ใหเปน ศูนย

• จากนั้นทําการ หาร สมาชิกทุกตัว ในแตละแถวตั้งของเมทริกซ L ดวยคาของตัวหลัก ในแถวตั้งนั้นๆ เพื่อทําใหสมาชิกบนแนวเสนทแยงมุมหลักมีคาเปน หนึ่ง

ตัวอยางที่ 2-17 จงแยกตัวประกอบ LU ของเมทริกซ A ตอไปนี้

3 -7 -2 2

-3 5 1 0

6 -4 0 -5

-9 5 -5 12

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A =

วิธีทํา เริ่มตนดวยการดําเนินการตามแถวนอนขัน้มูลฐานตอเมทริกซ A จนไดเมทริกซขั้นบันได U ดังตอไปนี้

5 28 32 4 4 3 4 4

3 -7 -2 2 3 -7 -2 2

-3 5 1 0 0 -2 -1 2

6 -4 0 -5 0 10 4 -9

-9 5 -5 12 0 -16 -11 18

3 -7 -2 2 3 -7 -2 2

0 -2 -1 2 0 -2 -1 2

0 0 -1 1 0 0 -1 1

0 0 -3 2 0 0 0 -1

→→→

→→ →

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦

R +R R1 2 2-2R +R R1 3 33R +R R1 4 4

R +R R3 3- R +R R - R +R R

A

∼

∼∼

⎥⎥ =⎥⎥

U


เนื่องจากจํานวนแถวนอนของเมทริกซ A คือ 4m = เมทริกซแบบสามเหลี่ยมลาง L จะมีขนาด 4 4× โดยเมทริกซขั้นบันได U จะมีขนาดเทากันกับเมทริกซ A คือ 4 4× เมื่อใชขั้นตอนการหาเมทริกซแบบสามเหลี่ยมลาง L จะไดเมทริกซ L ดังนี้

3 - 2 -

3 0 0 0

-3 -2 0 0

6 10 -1 0

-9 -16 3 -1

1 0 0 0

-1 1 0 0

2 -5 1 0

-3 8 3

1 -1

1

÷ ÷ ÷ ÷

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

↓ ↓ ↓ ↓

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

L

โดยเมื่อทําการตรวจสอบ จะพบวา LU = A จริง ดังนั้น ตัวประกอบ LU ของเมทริกซ A คือ

1 0 0 0

-1 1 0 0

2 -5 1 0

-3 8 3 1

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

L และ

3 7 2 2

0 2 1 2

0 0 1 1

0 0 0 1

− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎣ ⎦

U ตอบ

เมื่อพิจารณาการดําเนินการตามแถวนอนขั้นมูลฐาน k ครั้ง ตอเมทริกซ A เพื่อใหอยูในรูปแบบเมทริกซขั้นบันได U นั้น (ทางตรง) จะใหผลเชนเดียวกับการคูณเมทริกซ A ดวยเมทริกซขั้นมูลฐาน iE เมื่อ 1,2,...,i k= ตามลําดับของการดําเนินการตามแถวนอนขั้นมูลฐานนั้นๆ (ทางออม) กลาวคือ

1 2 1 -1 2 1k k→ → → →A E A E E A ... E E ... E E A = U

เมื่อ 1 2 -1, , ..., ,k kE E E E เปนเมทริกซขั้นมูลฐานตางๆ ที่สอดคลองกับการดําเนินการตามแถวนอนขั้นมูลฐานตอเมทริกซ A ดังนั้น หากเมทริกซ A สามารถแยกตวัประกอบ LU ได กลาวคือ A = LU จะไดความสัมพันธดังตอไปนี้

-1 2 1...k k =E E E E A U (2.11) เมื่อทําการยายขางของสมการที่ (2.11) นี้ จะเขียนใหมไดเปน


( ) 1

-1 2 1...k k

−=A E E E E U (2.12) โดยจะไดความสัมพันธของเมทริกซแบบสามเหลี่ยมลาง L กับเมทรกิซขั้นมูลฐานตางๆ ที่สอดคลองกันกับลําดับของการดําเนินการตามแถวนอนขั้นมูลฐานตอเมทริกซ A คือเมทริกซ

iE เมื่อ 1,2,...,i k= เปนดังนี้ ( ) 1

-1 2 1

-1 -1 -1 -11 2 -1

k k

k k

−=

=

L E E E E

E E E E

…

… (2.13)

ในตวัอยางที่ 2-17 พบวามีการดําเนินการตามแถวนอนขั้นมูลฐานตอเมทริกซ A เปนจํานวน 6 ครั้ง จึงไดเมทริกซขั้นมูลฐาน iE ที่สอดคลองกัน เมื่อ 1,2,...,6i = เปนดังนี้

1 3

4 5 6

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0, ,

0 0 1 0 -2 0 1 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 0 1 3 0 0 1

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0, ,

0 5 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 -8 0 1 0 0 -3 1

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2E E E

E E E

เนื่องจากเมทริกซขั้นมูลฐานทุกตวัสามารถหาตัวผกผนัไดและตวัผกผันของเมทริกซขั้นมูลฐานก็เปนเมทริกซขั้นมูลฐานดวย จากตารางที่ 2-1 จะไดตัวผกผนัของเมทริกซขั้นมูลฐาน

-1 -1 -1 -1 -11 2 3 4 5, ,E , E , E E E และ -1

6E ดังตอไปนี้

1 1 11 2 3

1 1 14 5 6

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0, ,

0 0 1 0 2 0 1 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 0 1 3 0 0 1

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0, ,

0 5 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 8 0 1 0 0 3 1

− − −

− − −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

E E E

E E E⎥⎥⎥⎥⎦

ซึ่งเมื่อทําการตรวจสอบ พบวา ความสัมพันธตอไปนี้เปนจริงทั้งหมด


(1) 6 5 4 3 2 1E E E E E E A = U (2) -1 -1 -1 -1 -1 -1

1 2 3 4 5 6E E E E E E = L (3) -1 -1 -1 -1 -1 -1

1 2 3 4 5 6E E E E E E U = A อยางไรก็ดี ในการทําใหเมทริกซ A หนึ่งๆ อยูในรูปเมทริกซขั้นบันได U ดวยการดําเนินการตามแถวนอนขั้นมูลฐานนั้น ไมอาจหลีกเลี่ยงการสับเปลี่ยนแถวนอน (Row Interchange) ของเมทริกซ A ได จึงมีผลตอการแยกตัวประกอบ LU ของเมทริกซ A ดังจะไดอธิบายตอไปนี้ สมมติวา ในการดําเนินการตามแถวนอนขั้นมูลฐานตอเมทริกซ 3 3×A เมทริกซหนึ่ง เพื่อใหอยูในรูปแบบเมทริกซขั้นบันได U มีการสับเปลี่ยนแถวนอน 2 ครั้ง โดยที่ 1E เกิดจาก การสับเปลี่ยนสัมประสิทธิ์ในแถวนอนที่ 1 และ 2 ของเมทริกซ 3I 2E เกิดจาก การสับเปลีย่นสัมประสิทธิใ์นแถวนอนที่ 2 และ 3 ของเมทริกซ 3I

1

0 1 0

1 0 0

0 0 1

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

E 2

1 0 0

0 0 1

0 1 0

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

E

การสับเปลี่ยนแถวนอนของเมทริกซ A ดังตัวอยางนี้เปนจํานวน 2 ครั้งตามลําดับ จะ

ทําใหเกิดเมทริกซผลลัพธ PA ซึ่งสามารถหาตัวประกอบ LU ไดตามที่ไดอธิบายไปแลวขางตน เมื่อนิยามให P เปน เมทริกซสับเปลี่ยน (Permutation Matrix) ที่ไดจากผลคูณของเมทริกซขั้นมูลฐานตางๆ iE เมื่อ 1, 2i = ตามลําดับเหตุการณ โดยในตัวอยางนี้จะไดวา

2 1=P E E

(2.14)

เมทริกซ A ที่มีการสับเปลีย่นแถวนอนในการทําใหอยูในรูปเมทริกซขั้นบันได U จะสามารถแยกตัวประกอบ LU ไดดังนี้

PA = LU

(2.15)


ตัวอยางที่ 2-18 จงหาเมทริกซสับเปลี่ยน P ในการแยกตัวประกอบ LU ของเมทริกซ A ที่มีการสับเปลีย่นแถวนอน โดยกําหนดให

0 0 -1 2

-1 -1 1 2

2 1 -3 6

0 1 -1 4

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A

วิธีทํา เมื่อดําเนินการตามแถวนอนขั้นมูลฐานตอเมทริกซ A จนอยูในรูปแบบเมทริกซขั้นบันได จะไดเมทริกซ U ดังนี้

*

1 2 1 12

0 0 -1 2 -1 -1 1 2 1 1 -1 -2

-1 -1 1 2 0 0 -1 2 0 0 -1 2

2 1 -3 6 2 1 -3 6 0 -1 -1 10

0 1 -1 4 0 1 -1 4 0 1 -1 4

↔ − →+ →

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

R R R R

R R R1 3 3A

*1 1 -1 -2 1 1 -1 -2 1 1 -1 -2

0 -1 -1 10 0 1 1 -10 0 1 1 -10

0 0 -1 2 0 0 -1 2 0 0 1 -2

0 1 -1 4 0 0 -2 14 0 0 0 10

⎯⎯⎯⎯⎯→⎯⎯⎯⎯⎯→⎯⎯⎯⎯⎯→ →→↔

→ + →

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

-R R-R RR R 3 32 22 3

R +R R -2R R R2 4 4 3 4 4

ทั้งนี้ มีการสับเปลี่ยนแถวนอน 2 ครั้ง (ทีม่ีเครื่องหมาย *)

ครั้งที่ 1 สับเปลี่ยนแถวนอนที่ 1 และ 2

1

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥∴ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

E

ครั้งที่ 2 สับเปลี่ยนแถวนอนที่ 2 และ 3

2

1 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 0 0 1

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥∴ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

E


ดังนั้นจะไดเมทริกซสับเปลีย่น 2 1=P E E

1 0 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 0 1

0 1 0 0

0 0 1 0

1 0 0 0

0 0 0 1

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

หากเราดําเนินการสับเปลี่ยนแถวนอนนี้ (ตามลําดับที่เกิดขึ้น) ตอเมทริกซ A จะได เมทริกซผลลัพธ PA ซึ่งมีตัวประกอบ LU ดังนั้น เมื่อเราดําเนินการตามแถวนอนขั้นมูลฐานตอเมทริกซ PA เพื่อใหอยูในรูปเมทริกซขั้นบันได U จะสามารถหาเมทริกซแบบสามเหลี่ยมลาง L และเมทริกซรูปเมทริกซขั้นบันได U ได

1 12 1 2 2 2 2

2 4 4

-1 -1 1 2 1 1 -1 -2 1 1 -1 -2

2 1 -3 6 0 -1 -1 10 0 1 1 -10

0 0 -1 2 0 0 -1 2 0 0 -1 2

0 1 -1 4 0 1 -1 4 0 0 -2 14

− →+ → − →

+ →

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

R R

R R R R R

R R R

PA

∼

∼

3 3

12 4 43 4 4 10

1 1 -1 -2 1 1 -1 -2

0 1 1 -10 0 1 1 -10

0 0 1 -2 0 0 1 -2

0 0 0 10 0 0 0 1

− →

→− + →

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

R R

R RR R R

U∼∼

จากนั้น หาเมทริกซแบบสามเหลี่ยมลาง L ขนาด 4 4× โดยเมทริกซ L ในกรณีที่มีการสับเปลี่ยนแถวนอน จะไมอยูในรูปแบบของเมทริกซแบบสามเหลี่ยมลางหนึ่งหนวย กลาวคือ สัมประสิทธิ์บนแนวเสนทแยงมุมหลักไมจําเปนตองเทากับ หนึ่ง

จึงไดเมทริกซแบบสามเหลีย่มลาง

-1 0 0 0

2 -1 0 0

0 0 -1 0

0 1 -2 10

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

L ตอบ


และเมทริกซรูปเมทริกซขั้นบันได

1 1 -1 -2

0 1 1 -10

0 0 1 -2

0 0 0 1

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

U ตอบ

จากนั้น ทําการตรวจสอบการแยกตัวประกอบ LU ของเมทริกซ PA จะไดวา

0 1 0 0 0 1 -1 2 -1 -1 1 2

0 0 1 0 -1 -1 1 2 2 1 -3 6

1 0 0 0 2 1 -3 6 0 0 -1 2

0 0 0 1 0 1 -1 4 0 1 -1 4

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

PA

-1 0 0 0 1 1 -1 -2 -1 -1 1 2

2 -1 0 0 0 1 1 -10 2 1 -3 6

0 0 -1 0 0 0 1 -2 0 0 -1 2

0 1 -2 10 0 0 0 1 0 1 -1 4

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

LU

ดังนั้น จะเห็นไดวา =PA LU จริง

เมื่อเมทริกซสับเปลี่ยน คือ

0 1 0 0

0 0 1 0

1 0 0 0

0 0 0 1

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

P ตอบ

ขอสังเกต เมทริกซขั้นบันได U ที่เกิดจากการแยกตัวประกอบ LU ของเมทริกซ A และมีการสับเปลีย่นแถวนอน จะมีคาของตัวหลัก เปน หนึ่ง ทั้งหมด


ทฤษฎีบทที่ 2-2 สําหรับเมทริกซ A ขนาด m n× ใดๆ ที่ถูกดําเนินการตามแถวนอนขั้นมูลฐาน เพื่อทําใหอยูในรูปแบบเมทริกซขั้นบันได U จะมีเมทริกซสับเปลี่ยน P ที่มีความสัมพันธดังนี้

-1 2 1k k=P E E ... E E

เมื่อ 1 2 kE , E , ,E… เปนเมทริกซขั้นมูลฐานตางๆ ตามลําดับที่เกิดการสับเปลี่ยนแถวนอนของเมทริกซแลวระหวางการดําเนินการตามแถวนอนขั้นมูลฐานตอเมทริกซ A เพื่อทําใหอยูในรูปแบบเมทริกซขั้นบันได U แลว (1) เมทริกซผลลัพธที่เกิดจากการสับเปลี่ยนแถวนอนของเมทริกซ A (ตามลําดับที่เกิดขึ้น) จะเปนเมทริกซ PA (2) เมทริกซ PA จะสามารถแยกตัวประกอบ LU ได หมายเหต ุ

(1) หากไมมีการสับเปลี่ยนแถวนอนของเมทริกซ ในการดําเนินการตามแถวนอนขั้นมูลฐานตอเมทริกซ A เพื่อใหอยูในรูปแบบเมทริกซขั้นบันได U แลว เมทริกซสับเปลี่ยน P จะเปนเมทริกซเอกลักษณ mI เมื่อเมทริกซ A มีขนาด m n×

(2) เมทริกซขั้นบันได U ที่เกิดจากการดําเนินการตามแถวนอนขั้นมูลฐานตอเมทริกซ

A นั้นๆ จะไมเทากันกับเมทริกซขั้นบันได U ที่เกิดจากการดําเนินการตามแถวนอนขั้นมูลฐานตอเมทริกซ PA (ซึ่งเปนเมทริกซ A ที่มีการสับเปลี่ยนแถวนอน) จากทฤษฏบีทที่ 2-2 จะไดความสัมพันธวา

-1A = P LU (2.16) เมื่อเมทริกซสับเปลี่ยน P สามารถหาตัวผกผันได (ซึ่งหาได เพราะเปนผลคูณของเมทริกซขั้นมูลฐาน ซึ่งเมทริกซขั้นมูลฐานทุกตวัสามารถหาตัวผกผันได)


2.6.1 การประยุกตใชงานในการแกระบบสมการเชิงเสน สําหรับระบบสมการเชิงเสน Ax = b นั้น หากวาเราสามารถแยกตัวประกอบ LU ของเมทริกซ A ได จะชวยทําใหการหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเสนนี้สะดวกขึ้น และมีความซับซอนนอยลงกวาเดิม โดยเมื่อแทนคา =A LU ในระบบสมการเชิงเสน Ax = b นี้ จะไดวา

( ) ( )= =LU x L Ux b

(2.17)

จากนั้น ทําการเปลี่ยนตัวแปร (Change of Variable) โดยกําหนดให

y = Ux

(2.18)

ระบบสมการเชิงเสน Ax = b ในสมการที่ (2.17) กลายเปนระบบสมการเชิงเสนอีกระบบหนึ่ง

Ly = b

(2.19)

ดังนั้น การแกระบบสมการเชิงเสน Ax = b ระบบหนึ่งๆ เมื่อใชการแยกตวัประกอบ LU ของเมทริกซ A สามารถทําไดใน 2 ขั้นตอน ดังนี้ ขั้นตอนที่ 1 แกระบบสมการเชิงเสน Ly = b เพื่อหาผลเฉลย y ขั้นตอนที่ 2 จากผลเฉลย y ในขั้นตอนที่ 1 สามารถนําไปสูผลเฉลย x ไดโดยแกระบบสมการเชิงเสนอีกระบบหนึ่ง คือ =Ux y ทั้งนี้ สามารถอธิบายขั้นตอนและความสัมพันธของระบบสมการเชิงเสนทั้งสองระบบ ดังรูปที่ 2-11


xb

y

รูปที่ 2-11 การแยกตัวประกอบ LU ของเมทริกซ A ในระบบสมการเชิงเสน Ax = b ภายใตการแปลง ( ) =T x Ax

ทั้งนี้ เนื่องจากเมทริกซแบบสามเหลี่ยมลาง L และเมทริกซขั้นบันได U เปนเมทริกซ

แบบสามเหลี่ยมทั้งคู สัมประสิทธิ์ของเมทริกซแบบสามเหลี่ยมจะเปนศูนยเสียสวนมาก จึงทําใหการแกระบบสมการเชิงเสน =Ly b และ =Ux y มีความซับซอนนอยกวาการแกระบบสมการเชิงเสน =Ax b โดยสามารถแสดงไดดังตอไปนี้ ตัวอยางเชน ในการแกระบบสมการเชิงเสน

=Ax b เมื่อเมทริกซ A มีขนาด m n× หากเมทริกซ A นี้สามารถแยกตัวประกอบ LU ได ระบบสมการเชิงเสน Ly = b ที่ใชจะเปนดังนี้

1 1

21 1 2 2

31 1 32 2 3 3

1 1 2 2n n n n

y b

m y y b

m y m y y b

m y m y y b

=+ =+ + =

+ +…+ =

จากสมการแรก จะไดวา 1 1y b= เปนคําตอบสําหรับตัวแปร 1y และสามารถใชแทนคาในสมการที่สอง เพื่อหาคาของตัวแปร 2y ได ตามลําดับจนถึงสมการที่ n การแกระบบสมการเชิงเสนระบบหนึ่งที่เมทริกซสัมประสิทธิ์เปนเมทริกซแบบสามเหลี่ยมลาง L นี้ จะเรียกวา การแทนคาขางหนา (Forward Substitution) ในทางตรงกันขาม สําหรับการแกระบบสมการเชิงเสน =Ux y นั้นจะเปน การแทนคายอนหลัง (Backward Substitution)

นอกจากนี้ เมทริกซแบบสามเหลี่ยมลาง L เปนผลพลอยได (By-product) จากการ

ดําเนินการตามแถวนอนขั้นมูลฐานตอเมทริกซ A ใหอยูในรูปแบบเมทริกซขั้นบันได U ไม

การคูณดวยเมทริกซ A

การคูณดวยเมทริกซ U การคูณดวยเมทริกซ L


ตองการขั้นตอนพิเศษเพิ่มเติมใดๆ จึงสงผลใหการหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเสน =Ax b นี้ทําไดสะดวกขึ้น ตัวอยางที่ 2-19 จงแกระบบสมการเชิงเสน =Ax b โดยใชการแยกตัวประกอบ LU ของเมทริกซ A เมื่อ

วิธีทํา จากตัวอยางที่ 2-17 จะไดตัวประกอบ LU ของเมทริกซ A ดังนี้

จากนั้น แกระบบสมการเชิงเสน =Ax b ดังตอไปนี้ ขั้นตอนที่ 1 แกระบบสมการเชิงเสน =Ly b โดยทําการดําเนินการตามแถวนอนขั้นมูลฐานตอเมทริกซแตงเติม ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦L b I y∼ เพื่อหาผลเฉลย y ดังนี้

ผลเฉลยของระบบสมการเชงิเสนนี้ คือ

-9

-4

5

1

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

y

3 -7 -2 2 -9

-3 5 1 0 5

6 -4 0 -5 7

-9 5 -5 12 11

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A , b

1 0 0 0 3 -7 -2 2

-1 1 0 0 0 -2 -1 2

2 -5 1 0 0 0 -1 1

-3 8 3 1 0 0 0 -1

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

L , U

1 0 0 0 -9 1 0 0 0 -9 1 0 0 0 -9

-1 1 0 0 5 0 1 0 0 -4 0 1 0 0 -4

2 -5 1 0 7 0 -5 1 0 25 0 0 1 0 5

-3 8 3 1 11 0 8 3 1 -16 0 0 0 1 1

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∼ ∼


ขั้นตอนที่ 2 แกระบบสมการเชิงเสน =Ux y โดยทําการดําเนินการตามแถวนอนขั้นมูลฐานตอเมทริกซแตงเติม ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦U y I x∼ เพื่อหาผลเฉลย x ดังนี้

ผลเฉลยของระบบสมการเชงิเสน =Ux y นี้ ซึ่งเปนผลเฉลยของระบบสมการเชิงเสน =Ax b

ดวย คือ

3

4

- 6

-1

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

x ตอบ

3 -7 -2 2 -9 3 -7 -2 2 -9 3 -7 -2 0 -7

0 -2 -1 2 -4 0 2 0 -1 9 0 1 0 0 4

0 0 -1 1 5 0 0 1 0 -6 0 0 1 0 -6

0 0 0 -1 1 0 0 0 1 -1 0 0 0 1 -1

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∼ ∼

3 0 0 0 9 1 0 0 0 3

0 1 0 0 4 0 1 0 0 4

0 0 1 0 -6 0 0 1 0 -6

0 0 0 1 -1 0 0 0 1 -1

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∼ ∼


2.7 ตัวกําหนด (Determinant) โดยสวนมาก เราใชตัวกําหนด หรือดีเทอรมิแนนต ในการตรวจสอบเมทริกซจัตุรัส n n×A

หนึ่งๆ วามีตัวผกผันหรือไม นอกจากนี้ยังใชในการหาคาลักษณะเฉพาะ (Eigenvalue) และเวกเตอรลักษณะเฉพาะ (Eigenvector) ของเมทริกซ ซึ่งจะไดกลาวถึงตอไปในบทที่ 3 ในหัวขอยอยนี้ จะนําเสนอสูตรและวิธีการตางๆ ที่ใชในการหาตัวกําหนดของเมทริกซจัตุรัส รวมไปจนถึงสมบัติของตัวกําหนดดวย จากนั้น จะแสดงถึงการนําตัวกําหนดไปใชในการหาตัวผกผันของเมทริกซจัตุรัส ตามดวย...ตอไปดวย 2.7.1 หลักเกณฑของซารัส (Rules of Sarrus) หลักเกณฑนี้ ถูกคิดคนเมื่อ ค.ศ. 1833 โดยนักคณิตศาสตรชาวฝรั่งเศส ที่มีชื่อวา P.F. Sarrus [7] สามารถใชในการหาคาตัวกําหนดของเมทริกซจัตุรัสขนาด n n× เมื่อ 3n ≤ เทานั้น โดยตัวอยางตอไปนี้ แสดงการใชหลักเกณฑซารัสในการหาคาตัวกําหนดของเมทริกซ 3 3×A เชน

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A = เปนเมทริกซขนาด 3 3×

สัญลักษณของตัวกําหนดของเมทริกซ A ใชเปน A หรือ ( )det A ดังนั้น จะไดวา

( )11 12 13

21 22 23

31 32 33

det

a a a

a a a

a a a

= =A A

(2.20)

ขั้นตอนในการหาตัวกําหนดของเมทริกซจัตุรัส 3 3×A นี้ดวยหลักเกณฑของซารัส เปนดังตอไปนี้ - ใหเริ่มตนดวยการเขียนซ้ําแถวตั้ง 2 แถวแรกของเมทริกซ A โดยขยายตอจากแถวตั้งที่ 3 ดังนั้นจะไดเมทริกซใหมขนาด 3 5× - จากนั้นใหหาผลคูณของสมาชิกในแนวทแยงจากบนลงลาง ดังแสดงในรูปที่ 2-12 แลวนํามาบวกกัน - และหักออกดวยผลบวกของผลคูณของสมาชิกในแนวทแยงจากลางขึ้นบน ดังรูปที่ 2-12


11 12 13 11 12

21 22 23 21 22

31 32 33 31 32

a a a a a

a a a a a

a a a a a

+ + +

- - -

รูปที่ 2-12 การหาตัวกําหนดของเมทริกซจัตุรัสดวยหลักเกณฑของซารัส (กรณี 3n = )

ดังนั้น ตัวกําหนดของเมทริกซ A จะเปน

11 22 33 12 23 31 13 21 32

31 22 13 32 23 11 33 21 12

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

= + +

− − −

A

(2.21)

ในทํานองเดียวกัน เมื่อประยุกตใชในการหาคาตัวกําหนดของเมทริกซ 2 2×A

เมื่อ 11 12

21 22

a a

a a

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

A จะไดวา 11 22 21 12a a a a−A =

(2.22)

2.7.2 การขยายของลาปลาซ (Laplace Expansion)

วิธีการขยายของลาปลาซนี้ จะทําการลดอันดับ (Order) หรือขนาดของเมทริกซจัตุรัสขนาด n n× ลง เพื่อทําใหการหาคาตัวกําหนดของเมทริกซเปนไปไดอยางรวดเร็วขึ้น สะดวกขึ้น สําหรับการลดอันดับของเมทริกซลง 1 ขั้น จากขนาด n n× เปนขนาด ( 1) ( 1)n n− × − จะมีชื่อเรียกเฉพาะวา การขยายของโคแฟกเตอร (Co-factor Expansion)

โดยทั่วไป การขยายของลาปลาซ ประกอบดวย 3 ขั้นตอน ดังนี้

ขั้นตอนที่ 1 เริ่มตนจากการหาไมเนอร (Minor) ของเมทริกซ n n×A กอน ซึ่งนิยามวาเปนตัวกําหนดที่มีอันดับนอยวาอันดับของเมทริกซ n n×A คือมีอันดับเปน ( 1) ( 1)n n− × − ทั้งนี้การหาไมเนอร i jM ของเมทริกซ A ทําไดโดยการลบทิ้งหรือเลือกทิ้งสมาชิกในแถวนอนที่ i เมื่อ

1,2,..,i n= และสมาชิกในแถวตั้งที่ j เมื่อ 1,2,..,j n= แลวหาคาตัวกําหนดของสมาชิกชุดใหมตอไป ตัวอยางเชน


สําหรับเมทริกซ 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A

11 12 13

22 2311 21 22 23 22 33 23 32

32 3331 32 33

a a aa a

a a a a a a aa a

a a a

= = −M =

11 12 1312 13

31 21 22 23 12 23 13 2222 23

31 32 33

a a aa a

a a a a a a aa a

a a a

= = −M =

ขั้นตอนที่ 2 นําไมเนอรที่ไดในขั้นตอนที่ 1 ไปใชในการหาโคแฟกเตอร (C )ij ของเมทริกซ A เมื่อนิยามใหโคแฟกเตอรเปนตัวกําหนดที่สอดคลองกับไมเนอร ( )i jM ที่มีเครื่องหมายบวก/ลบที่ถูกตอง กลาวคือ

C ( 1)i j

ij ij+= − M

(2.23)

ขั้นตอนที่ 3 เมื่อไดโคแฟกเตอรครบทุกการจัดหมูของ i และ j แลว จึงนําไปคํานวณคาตัวกําหนดของเมทริกซ n n×A โดยหาไดจาก ผลรวมของผลคูณของสมาชิกในแถวนอนที่ i กับโคแฟกเตอรที่สอดคลองกัน เมื่อเลือกพิจารณาที่แถวนอนแถวใดแถวหนึ่งจากแถวนอนทั้งหมด n แถว ( 1,2,..., )i n= ดังนี้

1 1 2 2

1

C C ... C

C

i i i i in in

n

ij ijj

a a a

a=

= + + +

= ∑

A

(2.24)

ในทํานองเดียวกัน หากพิจารณาที่แถวตั้งแถวใดแถวหนึ่ง ( 1,2,... )j n= แทนการพิจาณาในแถวนอน คาตัวกําหนดของเมทริกซ n n×A ก็หาไดจากผลรวมของผลคูณของสมาชิกในแถวตั้งที่ j กับโคแฟกเตอรที่สอดคลองกัน คือ


1 1 2 2

1

C C ... C

C

j j j j nj nj

n

ij iji

a a a

a=

= + + +

= ∑

A

(2.25)

ตัวอยางที่ 2-20 จงหาตัวกําหนดของเมทริกซ A เมื่อ

1 2 3 4

2 1 4 3

3 4 2 1

4 3 1 2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A

วิธีทํา เมื่อใชการขยายของลาปลาซ หรือการขยายของโคแฟกเตอร โดยลดอันดับลง 1 ขั้น และเลือกคํานวณจากแถวนอนที่ 1i = จะไดไมเนอร 11 12 13, ,M M M และ 14M ซึ่งมีขนาด 3 3× เราจึงสามารถใชหลักเกณฑของซารัสในการหาคาตวักําหนดของไมเนอรทั้ง 4 ตัวไดดังนี้

11

1 2 3 41 4 3

2 1 4 34 2 1 23

3 4 2 13 1 2

4 3 1 2

= = = −M

12

1 2 3 42 4 3

2 1 4 33 2 1 17

3 4 2 14 1 2

4 3 1 2

= = = −M

13

1 2 3 42 1 3

2 1 4 33 4 1 13

3 4 2 14 3 2

4 3 1 2

= = = −M

14

1 2 3 42 1 4

2 1 4 33 4 2 27

3 4 2 14 3 1

4 3 1 2

= = = −M


จากนั้น นําไมเนอรที่ไดไปหาโคแฟกเตอที่สอดคลองกัน โดยเลือกคํานวณจากแถวนอนที่ 1i =

จึงไดคาตัวกําหนดของเมทริกซ 4 4×A ดังนี้

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

11 11 12 12 13 13 14 141

1 1 1 2 1 3 1 4

C C C C C

(1)(-1) 23 (2)(-1) 17 (3)(-1) 13 (4)(-1) 27

1 23 2 17 3 13 4 27

80

n

ij ijj

a a a a a=

+ + + +

= + + +

= − + − + − + −

= − + − − + − + − −

=

∑A =

ตอบ การขยายของลาปลาซสามารถลดอันดับของเมทริกซจัตุรัสขนาด n n× ลง 2 ขั้นได

จากขนาด n n× เปนขนาด ( 2) ( 2)n n− × − ซึ่งจะประกอบดวยขั้นตอนตางๆ ดังตอไปนี้ เมื่อพิจารณาการหาตัวกําหนดของเมทริกซ A ในตัวอยางที ่2-20

ขั้นตอนที่ 1 หาไมเนอร

1 2 1 2,i i j jM อันดับ ( 2) ( 2)n n− × − ที่เปนไปไดทุกตวั โดยเลือกแถวตั้ง 2 แถวแรกของเมทริกซ A ( 1 1j = และ 2 2j = ) สําหรับทุกแถวนอน โดยทําการจัดหมูแถวนอน 1 1, 2,3,4i = และแถวนอน 2 1, 2,3,4i = เมื่อ 1 2i i≠

1 2 3 4

2 1 4 3

3 4 2 1

4 3 1 2

j1 j2

12,12

1 23

2 1= = −M

13,12

1 22

3 4= = −M

14,12

1 25

4 3= = −M

23,12

2 15

3 4= =M

24,12

2 12

4 3= =M

34,12

3 47

4 3= = −M


ขั้นตอนที่ 2 นําไมเนอรตางๆ ที่ไดในขั้นตอนที่ 1 ไปหาสวนเติมเต็มทางพีชคณิต (Algebraic Complement) ของไมเนอรแตละตัว ซึ่งนิยาม ดังนี้

( ) 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2, ,1i i j j

i i j j i i j j+ + += −A M

(2.26)

เมื่อไมเนอรเติมเต็ม (Complementary Minor) 1 2 1 2,i i j jM หาจากคาตัวกําหนดของเมทริกซ A

ที่ลบทิ้งสมาชิกในแถวนอนที่ 1 2,i i และสมาชิกในแถวตั้ง 1 2,j j

1 2 3 4

2 1 4 3

3 4 2 1

4 3 1 2

j1 j2

12,122 1

31 2

= =M

13,124 3

51 2

= =M

14,124 3

22 1

= = −M

23,123 4

21 2

= =M

24,123 4

52 1

= = −M

34,123 4

74 3

= = −M

ดังนั้น จึงไดสวนเติมเต็มทางพีชคณิต ดังนี้

6

12,12

713,12

814,12

( 1) (3) 3

( 1) (5) 5

( 1) ( 2) 2

= − =

= − = −

= − − = −

A

A

A

8

23,12

924,12

1034,12

( 1) (2) 2

( 1) ( 5) 5

( 1) ( 7) 7

= − =

= − − =

= − − =

A

A

A

ขั้นตอนที่ 3 จากไมเนอรที่หาไดในขั้นตอนที่ 1 และสวนเติมเต็มทางพีชคณิตทีห่าไดในขัน้ตอนที่ 2 สามารถนําไปหาคาตัวกําหนดของเมทริกซ A ซึ่งถูกนิยามเปน ผลรวมของผลคูณของไมเนอรที่หาไดในขั้นตอนที่ 1 กับสวนเติมเตม็ทางพีชคณิตที่สอดคลองกัน


12,12 13,12 14,1212,12 13,12 14,12

23,12 24,12 34,1223,12 24,12 34,12

(-3)(3) (-2)(-5) (-5)(-2) (5)(2) (-7)(-7)

80

= + +

+ + +

= + + + +=

A M A M A M A

M A M A M A

ตอบ 2.7.3 การใชสมบัติของตัวกําหนดในการหาตัวกําหนด (Properties of Determinant) หัวขอยอยนี้ นําเสนอสมบัติตางๆ ของตัวกําหนดของเมทริกซจัตุรัสขนาด n n× ซึ่งสามารถนําไปประยุกตใชในการหาตัวกําหนดได โดยจะพิจารณาที่เมทริกซขนาด 2 2× สําหรับการพิสูจน ดังตอไปนี้ (1) คาตัวกําหนดของเมทริกซ A หนึ่งๆ จะเปลี่ยนเครื่องหมายเปนตรงกันขาม (บวกเปนลบ หรือ ลบเปนบวก) เมื่อมีการสลับสมาชิกในแถวนอน 2 แถวของเมทริกซ

พิสูจน สมมติให a b

c d

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

A และ ' c d

a b

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

A จะไดวา

( )-

- - -

ad bc

cb ad ad bc

=

′ = = =

A

A - A

ซ.ต.พ. หมายเหตุ การสลับสมาชิกในแถวนอนของเมทริกซ 1 ครั้ง จะเปลี่ยนเครื่องหมายของตัวกําหนดของเมทริกซ เปนตรงกันขาม 1 ครั้ง ดังนั้น หากมีการสลับสมาชิกในแถวนอน 2 ครั้ง เครื่องหมายของตัวกําหนดของเมทริกซจะไมมีการเปลี่ยนแปลง (2) ตัวกําหนดของเมทริกซเอกลักษณทุกขนาด n n× เมื่อ 1,2,3,...n = จะมีคาเทากับ ‘หนึ่ง’ เสมอ เชน

2

1 01,

0 1= =I 3

1 0 0

0 1 0 1

0 0 1

= =I เปนตน

3) ถาสมาชิกในแถวนอน 2 แถวของเมทริกซ A หนึ่งๆ มีคาเทากัน ตัวกําหนดของเมทริกซนั้นจะมีคาเทากับ ‘ศูนย’


พิสูจน

0a b

ab baa b

= − =

ซ.ต.พ. นอกจากนี้ ยังสามารถใชสมบัติของตัวกําหนดขออื่นมาทําการพิสูจนไดอีกดวย ดังตอไปนี้ สมมติใหเมทริกซ Β เปนเมทริกซที่เกิดจากการสลับสมาชิกในแถวนอน 2 แถวของเมทริกซ A เมื่อใชสมบัติของตัวกําหนดขอ ‘1’ ที่วา ตัวกําหนดของเมทริกซจะเปลี่ยนเครื่องหมายเปนตรงขามกัน เมื่อมีการสลับสมาชิกในแถวนอน 2 แถว จึงไดวา

= −Β A

สําหรับสมบัติในขอ ‘3’ นี้ กลาววา การสลับสมาชิกในแถวนอน 2 แถวจะไมทําใหเมทริกซเปลี่ยนไปจากเดิม เนื่องจากสมาชิกในแถวนอนทั้ง 2 แถวมีคาเทากัน ดังนั้น

= −A A

ซึ่งเปนจริงเมื่อ 0=A เทานั้น

ซ.ต.พ. (4) สําหรับเมทริกซ 3 เมทริกซที่มีความสัมพันธกัน กลาวคือ เมทริกซ , ,A B C ซึ่งมีสมาชิกในแถวนอนแถวหนึ่งเทากัน แตมีสมาชิกในแถวนอนอีกแถวหนึ่งแตกตางกัน (สมมติเปนแถวที่ i ) โดยสมาชิกในแถวนอนที่ i ของเมทริกซ C เกิดจากผลรวมของสมาชิกในแถวนอนที่ i ของเมทริกซ A และเมทริกซ B แลว จะทําใหตัวกําหนดของเมทริกซ C จะเทากับผลรวมของตัวกําหนดของเมทริกซ A กับตัวกําหนดของเมทริกซ B

พิสูจน สมมติให 11 12 11 12 11 12

21 22 21 22 21 21 22 22

, ,a a a a a a

a a b b a b a b

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A B C จะไดวา

( ) ( )( ) ( )

11 22 12 21 11 22 12 21

11 22 22 12 21 21

a a a a a b a b

a a b a a b

+ = − + −

= + − +

A B

( ) ( )11 1211 22 22 12 21 21

21 21 22 22

a aa a b a a b

a b a b= = + − +

+ +C


ดังนั้น จะไดวา = +C A Β ซ.ต.พ. หมายเหตุ สมบัตินี้เปนจริงสําหรับเมทริกซ 2 เมทริกซขนาด n n× ที่มีสมาชิกในแถวนอนแถวใดแถวหนึ่งเทานั้น ที่แตกตางกัน

(5) ตัวกําหนดของเมทริกซ A ซึ่งสมาชิกในแถวใดแถวหนึ่งถูกคูณดวยคาสเกลาร ‘ t ’ จะมีคาที่ถูกปรับมาตรา ‘ t ’ เทาของคาตัวกําหนดเดิมของเมทริกซ A พิสูจน

a bad bc

c d

⎡ ⎤= ⇒ = −⎢ ⎥⎣ ⎦

A A

ta tb

tab tbc tc d

⎡ ⎤= ⇒ = − =⎢ ⎥⎣ ⎦

B B A

ซ.ต.พ. (6) การดําเนินการตามแนวนอนขั้นมูลฐาน ประเภทที่ 3 กลาวคือ การแทนที่สัมประสิทธิ์ของเมทริกซในแถวนอนแถวหนึ่งดวยสัมประสิทธิ์ชุดใหม ที่เปนผลรวมของสัมประสิทธิ์ในแถวนอนสองแถวนอน ที่อาจมีการถูกปรับมาตราแลวดวยนั้น จะไมทําใหคาตัวกําหนดของเมทริกซเปลี่ยนแปลงไปจากเดิม (ทั้งนี้ การดําเนินการตามแนวนอนขั้นมูลฐาน ประเภทที่ 1 และ 2 อยูในสมบัติของตัวกําหนดขออื่น)

พิสูจน สมมติให a b

c d

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

A ซึ่งจะไดวา ad bc= −A

จากสมบัติของตัวกําหนดในขอ ‘4’ จะทําให

0

- -

-

a lc b ld a b lc ld

c d c d c d

a b l c d

c d c d

a b

c d

=

= −

=

= = A

ซ.ต.พ.


(7) ถาเมทริกซ A หนึ่งๆ มีสมาชิกในแถวนอนแถวใดแถวหนึ่งเปน ‘ศูนย ’ ทั้งหมด คาตัวกําหนดของเมทริกซ A นั้นๆ จะเทากับ ‘ศูนย’ พิสูจน

0 0 0 00

c d c d

⎡ ⎤= ⇒ = =⎢ ⎥⎣ ⎦

A A

ซ.ต.พ. นอกจากนี้ สามารถใชสมบัติของตัวกําหนดขอ 4 และ 5 มาใชในการพิสูจนได กลาวคือ การบวกสมาชิกในแถวนอนกับสมาชิกที่เปนศูนยทั้งแถวนอน จะไมทําใหคาตัวกําหนดเปลี่ยนแปลง ดังนี้

0 0c d c d

c d c d

+ +=

จะเห็นวาเมทริกซผลลัพธทางขวามือของสมการขางบนนี้ มีสมาชิกในแถวนอน 2 แถวมีคาเทากันทั้งแถว (ตามสมบัติขอ 3) ดังนั้น คาตัวกําหนดของเมทริกซนี้จะเทากับ ‘ศูนย’ 0=A ซ.ต.พ.

(8) สําหรับเมทริกซA หนึ่งๆ ที่เปนเมทริกซสามเหลี่ยม คาตัวกําหนดของเมทริกซจะหาไดจากผลคูณของสมาชิกในแนวเสนทแยงมุมหลัก

เชน 0

a bad

d

⎡ ⎤= ⇒ =⎢ ⎥⎣ ⎦

A A

และ 0aad

c d

⎡ ⎤= ⇒ =⎢ ⎥⎣ ⎦

A A เปนตน

พิสูจน สําหรับเมทริกซทแยงมุม (Diagonal Matrix) ขนาด n n×

11

22

0

0 nn

a

a

a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

D


เมื่อใชสมบัติขอ 5 จะไดตัวกําหนดของเมทริกซทแยงมุมเปนดังนี้

11 22

1 0

1...

0 1

nna a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

D

ซึ่งตัวกําหนดของเมทริกซเอกลักษณมีคาเปน ‘หนึ่ง’ เสมอ ดังนั้น

11 22 ... nna a a=D

ซ.ต.พ. (9) สําหรับเมทริกซ A และ Β ขนาด n n× ใดๆ ตัวกําหนดของผลคูณของเมทริกซ AΒ จะมีคาเทากับผลคูณของตัวกําหนดของเมทริกซ A และ ตัวกําหนดของเมทริกซ Β

=AΒ A Β

พิสูจน กําหนดให a b

c d

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

A และ e f

g h

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

B จะไดวา

a b

ad bcc d

e feh gf

g h

= = −

= = −

A

B

ดังนั้น ( )( )ad bc eh gf

adeh bcgf bceh adgf

= − −

= + − −

A B

( )( ) - ( )( )

- -

ae bg af bh

ce dg cf dh

ae bg cf dh ce dg af bh

adeh bcgf bceh adgf

+ +=

+ +

+ + + ++

AΒ

=

=

ซึ่งจะไดวา =AΒ A Β จริง ซ.ต.พ.


(10) ตัวกําหนดของคูสลับของเมทริกซ A ซึ่งมีสัญกรณเปน TA จะเทากันกับตัวกําหนดของเมทริกซ A กลาวคือ

=TA A พิสูจน

a bad bc

c d

⎡ ⎤= ⇒ = −⎢ ⎥⎣ ⎦

A A

T Ta c

ad bcb d

⎡ ⎤= ⇒ = − =⎢ ⎥⎣ ⎦

A A A

ซ.ต.พ. ตัวอยางที่ 2-21 จงหาคาตัวกําหนดของเมทริกซ A โดยใชสมบัติของตัวกําหนด เมื่อ

1 2 3 4

2 1 4 3

3 4 2 1

4 3 1 2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A

วิธีทํา ดําเนินการตามแถวนอนขั้นมูลฐานตอเมทริกซ A เพื่อใหอยูในรูปแบบเมทริกซขั้นบันได

-17 -233 3

24051

1 2 3 4 1 2 3 4

0 -3 -2 -5 0 -3 -2 -5

0 -2 -7 -11 0 0

0 -5 -11 -14 0 0 0

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A ∼ ∼

จะสังเกตเห็นวา เมทริกซขั้นบันไดที่ได อยูในรูปแบบเมทริกซสามเหลี่ยมบน ดังนั้นตัวกําหนดของเมทริกซ A จึงหาไดจากผลคูณของสมาชิกบนแนวเสนทแยงมุมหลัก (ทั้งนี้ การดําเนินการตามแถวนอนขั้นมูลฐาน จะไมทําใหคาตัวกําหนดของเมทริกซนั้นๆ เปลี่ยนแปลงไปจากเดิม) ดังนั้น

-17 240

(1)(-3) 803 51

⎛ ⎞⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

A ตอบ


2.7.4 การใชตัวกําหนดในการหาตัวผกผันของเมทริกซจัตุรัส (Inverse of a Matrix using Determinant) สืบเนื่องจากหัวขอยอย 2.2 ที่กลาวถึงตัวผกผันของเมทริกซที่เปนเมทริกซจัตุรัสไวนั้น ในหัวขอยอยนี้ จะไดกลาวถึงการใชตัวกําหนดในการหาตัวผกผันของเมทริกซ n n×A จากสูตรที่ใชหาตัวผกผันของเมทริกซ n n×A

1 1

adj( )− =A AA

(2.27)

เมื่อ adj( )A เปน แอดจูเกต (Adjugate) ของเมทริกซ A ซึ่งในบางครั้งเรียกวา เมทริกซผูกผัน (Adjoint of a Matrix) โดยนิยามวา แอดจูเกตของเมทริกซเปนเมทริกซคูสลับของเมทริกซโคแฟกเตอร ดังนี้

Tadj( ) = [C ]ijA (2.28) เมื่อ [C ]ij=C เปนเมทริกซโคแฟกเตอร (Cofactor Matrix) สําหรับแตละสมาชิกที่ ( ),i j ของเมทริกซ A เมื่อ 1 i n≤ ≤ และ 1 j n≤ ≤ ดังอธิบายไวในสมการที่ (2.23) ตัวอยางที่ 2-22 จงหาตัวผกผันของเมทริกซ A เมื่อ

1 3 -2

0 1 5

-2 -6 7

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A

วิธีทํา ขั้นตอนแรก ใหหาเมทริกซโคแฟกเตอรของเมทริกซ A ดังตอไปนี้

11 12 13

21 22 23

31 32 33

C C C

C C C

C C C

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

C

1 5 0 5 0 1

6 7 2 7 2 6

3 2 1 2 1 3

6 7 2 7 2 6

3 2 1 2 1 3

1 5 0 5 0 1

−− − − −

− −= − −

− − − −

− −−

37 -10 2

-9 3 0

17 -5 1

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦


ขั้นตอนถัดไป จึงใชสูตรในการหาตัวผกผันของเมทริกซ

1 1 T− =A CA

เมื่อ A เปนตัวกําหนดของเมทริกซ A ที่หาไดจากการขยายของโคแฟกเตอร โดยในตัวอยางนี้ เลือกแถวตั้งที่ 3j =

3

1

13 13 23 23 33 33

C

C C C

( 2)(2) 5(0) 7(1) 3

ij iji

a

a a a

=

=

= + +

= − + + =

∑A

ดังนั้น 1 1

37 -9 171

-10 3 -53

2 0 1

T− =

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A CA

ตอบ ขอสังเกต

adj( ) 1 3 -2 37 -9 17

0 1 5 -10 3 -5

-2 -6 -7 2 0 1

adj( )

3 0 0

0 3 0

0 0 3

⋅ = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= ⋅

= =⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

3

A A

A A

3I

จากสูตรในการหาตัวผกผันของเมทริกซ A ในสมการที่ (2.27)

1 1

adj( )− =A AA

เมื่อนําเมทริกซ A ไปคูณขางซายกับทั้งสองขางของสมการนี้ จะไดวา


1 1adj( )− = ⋅AA A A

A

เมื่อใชสมบัติที่วา 1− =AA I จะไดวา

adj( )⋅ = ⋅A I A A

(2.29)

นอกจากนี้ ถาพิจารณาเมทริกซที่มีโครงสรางเปนรูปแบบบล็อก

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

A X

0 Β หรือ ⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦

A 0

Y Β

เมื่อเมทริกซ A และ Β เปนเมทริกซจัตุรัสใดๆ แลวจะไดวา

=A X

A Β0 Β

(2.30)

และ ⎡ ⎤=⎢ ⎥

⎣ ⎦

A 0A Β

Y Β (2.31)

ตัวอยางที่ 2-23 จงหาคาตัวกําหนดของเมทริกซตอไปนี้

2 3 1 3

1 2 1 1

0 1 0 1

0 4 0 1

⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A

วิธีทํา ในตัวอยางนี้ หากดําเนินการสลับแถวตั้งที่ 2j = และ 3j = ของเมทริกซ A จะทําใหเมทริกซ A มีโครงสรางเปนรูปแบบบล็อกที่มีเมทริกซศูนยอยูมุมลางซาย

2 1 3 3

1 -1 -2 1

0 0 1 1

0 0 4 1

= −A

ทั้งนี้ การสลับแถวนอน หรือแถวตั้ง 2 แถว จะทําใหตัวกําหนดของเมทริกซนั้นมีเครื่องหมายเปนตรงขาม ดังนั้น


2 1 3 3

1 -1 -2 1

0 0 1 1

0 0 4 1

2 1 1 1

1 -1 4 1

( 3)( 3) 9

= −

= −

= − − − = −

A

A

2.7.5 หลักเกณฑคราเมอร (Cramer’s Rule) การหาตัวกําหนดและตัวผกผันของเมทริกซ A โดยใชการขยายของโคแฟกเตอรนั้น เราสามารถนําไปใชหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเสน =Ax b ไดอีกดวย ดังที่กลาวไปขางตนแลวในหัวขอยอยที่ 2.2 การใชการขยายของโคแฟกเตอรเพื่อหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเสนนี้ จะเรียกวา หลักเกณฑคราเมอร ดังจะไดอธิบายตอไปนี้ เมื่อพิจารณาระบบสมการเชิงเสน =Ax b ที่มีจํานวน n สมการ และมีตัวแปรไมทราบคาของระบบอยู n ตัว คือ 1 2, , , nx x x… โดยเวกเตอร [ ]1 2, , ,

T

nb b b=b … เปนเวกเตอรตัวเลขทางขวามือของระบบสมการเชิงเสน ถาเมทริกซ A ซึ่งเปนเมทริกซสัมประสิทธิ์ของระบบสมการเชิงเสนนี้เปนเมทริกซจัตุรัส ขนาด n n× และเปนเมทริกซไมเอกฐาน กลาวคือ สามารถหาเมทริกซผกผัน 1−A ได เมื่อนําเมทริกซผกผัน 1−A คูณทั้งสองขางของระบบสมการเชิงเสน =Ax b จะไดวา 1

adj( )=x A bA

11 21 1 1

12 2

1

1n

n nn n

C C C b

C b

C C b

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A

…

…

(2.32)

ซึ่งเมื่อแจกแจงสมการที่ (2.32) จะไดผลเฉลยของระบบสมการเชิงเสนนี้เปน


( )

( )

( )

1 1 11 2 21 1

2 1 12 2 22 2

1 1 2 2

1

1

1

n n

n n

n n n n nn

x b C b C b C

x b C b C b C

x b C b C b C

= + + +

= + + +

= + + +

A

A

A

…

…

…

โดยเราสามารถเขียนผลเฉลยดังกลาวใหอยูในรูปทั่วไป สําหรับ 1 i n≤ ≤ ไดเปน

1

1, 1, ,

n

i j jij

x b C i n=

= =∑A

… (2.33)

จากการสังเกต พบวาโคแฟกเตอรที่ใชในการหาผลเฉลย nx คือ 1 2, , ,n n nnC C C… เกี่ยวของกับสมาชิกในแถวตั้งที่ n ของเมทริกซ A ดังนั้น เมื่อนิยามให jD เปนตัวกําหนดของเมทริกซ A ที่ถูกแทนที่สมาชิกในแถวตั้งที่ j ของเมทริกซ A ดวยเวกเตอรแถวตั้ง b ของระบบสมการเชิงเสน =Ax b แลว ผลเฉลยของระบบสมการเชิงเสน =Ax b จะหาไดจาก

, 1, ,iix i n= =

D

A… (2.34)

ตัวอยางที่ 2-24 จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเสนตอไปนี้

1 2 3

2 3

1 2 3

3 2 1

5 0

2 6 7 1

x x x

x x

x x x

+ − = −+ =

− − + = −

วิธีทํา ระบบสมการเชิงเสนนี้ สามารถเขียนใหอยูในรปูสมการเมทริกซเวกเตอร =Ax b ได

เมื่อเมทริกซสัมประสิทธิข์องระบบสมการเชิงเสน คือ 1 3 -2

0 1 5

-2 -6 7

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A

เวกเตอรตวัแปรไมทราบคาของระบบ คอื [ ]1 2 3, ,T

x x x=x และ [ ]1, 0, 1

T= − −b เปนเวกเตอรตัวเลขทางขวามือของระบบ เมื่อใชหลักเกณฑคราเมอรในการหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเสนนี้ โดยที่เราทราบ คาตัวกําหนดของเมทริกซ A จากตัวอยางที่ 2-22 คือ 3=A จากสมการที่ (2.34) จะไดวา


1

1x =D

A, 2

2x =D

A, 3

3x =D

A

โดยที่

1

1 3 2

0 1 5 54

1 6 7

− −= = −

− −D

2

1 1 2

0 0 5 15

2 1 7

− −= =

− −D

3

1 3 1

0 1 0 3

2 6 1

−= = −

− − −D

ดังนั้นผลเฉลยของระบบสมการเชิงเสน =Ax b คือ 1 2 318, 5, 1x x x= − = = − ตอบ


2.8 บทสรุปทายบท (Summary) ในบทที่ 2 นี้ เราไดแนะนําการดําเนินการตางๆ สําหรับเวกเตอรใน 2R , 3R และ nR

รวมถึงการดําเนินการของเมทริกซ การแบงสวนเมทริกซ และการแยกตัวประกอบ LU ของเมทริกซซึ่งถูกนําไปใชในการวิเคราะห หรือดําเนินการอื่นๆ เกี่ยวกับเมทริกซอยางกวางขวาง

นอกจากนี้ยังไดนําเสนอการหาตัวผกผันของเมทริกซ พรอมทั้งแนะนําเมทริกซขั้นมูล

ฐาน ซึ่งสามารถนําไปใชในการหาตัวผกผันของเมทริกซไดอีกดวย พรอมกันนี้ การหาตัวกําหนดหรือดีเทอรมิแนนตของเมทริกซจัตุรัสก็ถูกรวมอยูในบทที่ 2 นี้ ซึ่งตัวกําหนดจะเปนสวนหนึ่งที่ใชในการหาตัวผกผันของเมทริกซจัตุรัส ทั้งนี้ เมื่อกลาวถึงตัวผกผันของเมทริกซ เราก็ควรอธิบายถึงความเชื่อมโยงกับการแปลงผกผันของการแปลงเชิงเสนหนึ่งๆ ไดดวย สุดทาย มีการนําเสนอหลักเกณฑคราเมอร เพื่อแสดงใหเห็นถึงการใชงานคาตัวกําหนดของเมทริกซจัตุรัสสําหรับการหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเสนอีกดวย


2.9 แบบฝกหัดทายบท (Exercises) 1. จงหาตัวผกผันของเมทริกซสัมประสิทธิ์ของระบบสมการเชิงเสนตอไปนี้

1 2

1 2

4 3 2

5 4 1

x x

x x

+ =+ = −

จากนั้น ใชตัวผกผันของเมทริกซสัมประสิทธิ์ดังกลาวในการแกระบบสมการเชิงเสน 2. จงหาเมทริกซมูลฐานตางๆ ที่ใชในการดําเนินการขั้นมูลฐานตอเมทริกซ A ตามลําดับการเกิดขึ้น จนกระทั่งไดเมทริกซเอกลักษณ เมื่อ

1 2 1

3 1 2

1 1 4

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

A

3. จงใชการแยกตัวประกอบ LU ของเมทริกซตอไปนี้

(1) 1 2

3 7

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

(2) 1 1 1

1 0 4

2 2 3

⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(3) 1 0.5 3

1 1.5 1

1 1 4

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

4. จงใชการแยกตัวประกอบ LU ของเมทริกซในการแกระบบสมการเชิงเสนตอไปนี้

1 2 3

1 3

1 2 3

2 2 1

3 0

8 5 4

x x x

x x

x x x

− + =− − =

− + =


5. จงใชการแบงสวนเมทริกซ เพื่อหาเมทริกซยอย X และ Y จากความสัมพันธตอไปนี้

11 12 11 12

21 22 22

31 32 32

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

I 0 0 A A B B

X I 0 A A 0 B

Y 0 I A A 0 B

โดยกําหนดให 11A เปนเมทริกซที่หาตัวผกผันได 6. จงแสดงใหเห็นวา

2 2

2

2 2

2 4( )

b ac bc c

ab ac bc abc

a ab b ac

+=

+

7. จงแสดงใหเห็นวา

2

b c c a a b a b c

q r r p p q p q r

y z z x x y x y z

+ + ++ + + =+ + +

8. จงหาคาตัวกําหนดของเมทริกซ A นี้

2

2

2

1

1

1

a a

b b

c c

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A

เรียกวา ตัวกําหนดของวองแดรมงค (Vandermondee’s determination) 9. จงหาคาตัวกําหนดของเมทริกซ G นี้

2 2 2 2

3 3 3 3

1 1 1 1

a b c d

a b c d

a b c d

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

G


10. จงหาคา k ที่ทําใหเมทริกซตอไปนี้ เปนเมทริกซเอกพันธุ 1 2 4

3 1 6

3 2k

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A

Documents

Linear Algebra 2