Linear Algebra 4

เอกสารคําสอน รายวิชา 2102205 141

ฟงกชันของเมทริกซจัตุรัส (FUNCTIONS OF SQUARE MATRICES)

4.1 การแปลงแบบคลาย (Similarity Transformation) 4.2 ทฤษฎีบทเคยเลยฮามิลตัน (Cayley-Hamilton Theorem) 4.3 ฟงกชันเลขชี้กําลังของเมทริกซ (Exponential Function of a Matrix) 4.4 ตัวอยางการประยุกตใชงานฟงกชันของเมทริกซจัตุรัสกับระบบสมการเชิงอนุพันธ (Systems of Differential Equations) 4.5 บทสรุปทายบท (Summary) 4.6 แบบฝกหัดทายบท (Exercises) ในบทนี้จะกลาวถึงฟงกชันตางๆ ที่เกี่ยวของกับการประยุกตใชงานกับเมทริกซจัตุรัส อาทิ เชน พหุนาม (Polynomials) ของเมทริกซจัตุรัส ฟงกชันเลขชี้กําลัง (Exponential Functions) ของเมทริกซ และระบบสมการเชิงอนุพันธแบบเชิงเสน (System of Linear Differential Equations) เปนตน โดยใชการแปลงแบบคลาย (Similarity Transformation) หรือการใชทฤษฎีบทเคยเลยฮามิลตัน (Cayley-Hamilton Theorem)

ตัวอยางหนึ่งของฟงกชันของเมทริกซจัตุ รัส ไดแก พหุนามของเมทริกซจัตุ รัส 2

0 1 2( ) ... nnp a a a a= + + + +A I A A A ดังตัวอยางตอไปนี้

ตัวอยางที่ 4-1 ถาพหุนามของตัวแปร x คือ 2 5 4p x x x( ) = + + แลว จงหาพหุนามของเมทริกซ A คือ p(A) เมื่อกําหนดให

1 2

3 -4

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A

วิธีทํา ทําการแทนคาตัวแปร x = A ลงในสมการของพหุนาม p x( ) จะไดวา

2( ) 5 4p A = A + A+ I

1 2 1 2 1 0

5 43 -4 3 -4 0 1

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

16 4

6 6

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

ตอบ

4


4.1 การแปลงแบบคลาย (Similarity Transformation) สําหรับเมทริกซจัตุรัส m n×A ที่มีคาลักษณะเฉพาะ iλ และเวกเตอรลักษณะเฉพาะที่สอดคลองกัน คือ ix สําหรับ 1,2,...,i n= จะมีความสัมพันธกันดังนี้

i i iλAx = x

(4.1)

ในการพิจารณาหาคาลักษณะเฉพาะและเวกเตอรลักษณะเฉพาะของเมทริกซ 2 3,A A และ โดยทั่วไป nA ซึ่งเปนฟงกชันหนึ่งของเมทริกซจัตุรัส จะใชความสัมพันธในสมการ (4.1) ในการหาคาดังกลาว คือ

2i i⋅A x = A A x

แทนคา iAx ทางขวามือของสมการนี้ ดวย i iλ x จะไดวา

( )i i iλ2A x = A x

( )i iλ= Ax (เนื่องจาก iλ เปนคาคงที่)

( )i i iλ λ= x 2 2

i i iλA x = x (4.2) จากสมการที่ (4.2) พบวา คาลักษณะเฉพาะของเมทริกซ 2A คือ 2

iλ ในขณะที่เวกเตอรลักษณะเฉพาะของเมทริกซ 2A คือเวกเตอร ix ซึ่งเปนเวกเตอรลักษณะเฉพาะของเมทริกซ A ดวย ในทํานองเดียวกัน การหาคาลักษณะเฉพาะและเวกเตอรลักษณะเฉพาะของเมทริกซ nA เมื่อ 2, 3,...n = จึงไดความสัมพันธโดยทั่วไป ดังสมการตอไปนี้

n n

i i iλA x = x

(4.3)

กลาวคือ คาลักษณะเฉพาะของเมทริกซ nA คือ niλ

โดยมีเวกเตอรลักษณะเฉพาะที่สอดคลองกันคือเวกเตอร ix เมื่อพิจารณาจากพหุนามอันดับ n ของเมทริกซจัตุรัส A ซึ่งมีรูปทั่วไป ดังนี้

20 1 2( ) ... n

np a a a a+ + + +A = I A A A

(4.4)


หากเวกเตอรลักษณะเฉพาะของเมทริกซ A นี้ เปนเวกเตอร ix เมื่อ 1,...,i n= จากนั้น ทําการคูณทั้งสองขางของสมการที่ (4.4) ดวยเวกเตอรลักษณะเฉพาะ ix จะไดวา

20 1 2( ) ... n

i i i i n ip a a a a+ + + +A x = x Ax A x A x

(4.5) ใชความสัมพันธของกําลังที่ n ของเมทริกซ A กับคาลักษณะเฉพาะ iλ และเวกเตอรลักษณะเฉพาะ ix ในสมการที่ (4.3) เพื่อทําใหเทอมทางขวามือของสมการที่ (4.5) เปนฟงกชันของ iλ และ ix เทานั้น ไดเปน

2( ) ( ... )ni i i n i ip a a a aλ λ λ+ + + +0 1 2A x = x

( )i ip λ= x (4.6) เมื่อ ( )ip λ เปนพหุนามของคาลักษณะเฉพาะ iλ จากสมการที่ (4.6) จะเห็นวาคาลักษณะเฉพาะของ ( )p A คือ ( )ip λ โดยมีเวกเตอรลักษณะเฉพาะที่สอดคลองกัน คือเวกเตอร ix จากตัวอยางฟงกชันของเมทริกซจัตุรัส A นี้สามารถสรุปเปนกรณีทั่วไปไดดังทฤษฎีบทตอไปนี้ ทฤษฏีบทที่ 4-1 ถาเมทริกซ n n×A มีคาลักษณะเฉพาะเปน iλ เมื่อ 1,...,i n= และมีเวกเตอรลักษณะเฉพาะที่สอดคลองกันเปน ix แลว ฟงกชันของเมทริกซ , ( )fA A จะมีคาลักษณะเฉพาะเปน

if λ( ) เมื่อ 1,....,i n= และมีคาลักษณะเฉพาะที่สอดคลองกันเปน ix ในบทที่ 3 เรากลาวถึงวิธีการแนวทแยงในการทําใหเมทริกซจัตุรัส n n×A อยูในรูปแบบของเมทริกซเฉียง D ได โดยเกี่ยวของกับคาลักษณะเฉพาะและเวกเตอรลักษณะเฉพาะของเมทริกซ A โดยที่ -1A = PDP โดยมีสมบัติวา ตัวกําหนดของเมทริกซ A กับตัวกําหนดของเมทริกซ D จะเทากัน และเปนผลคูณของคาลักษณะเฉพาะ iλ เมื่อ 1,...,i n= ดังนี้

=A D

1 2 ... nλ λ λ⋅=

(4.7)


จากทฤษฏีบทที่ 4-1 ที่วา คาลักษณะเฉพาะของฟงกชันของเมทริกซ , ( ),fA A คือฟงกชันของคาลักษณะเฉพาะ ของเมทริกซ , if λA ( ) ดังนั้น คาตัวกําหนดของ ( )f A จะเปนผลคูณของ if λ( ) เมื่อ 1,...,i n= กลาวคือ

( ) 1 2( ) ( ) ... ( )nf f f fλ λ λ⋅ ⋅ ⋅A =

(4.8)

นอกจากนี้ เมื่อเขียนใหมเมทริกซเฉียง D ใหอยูในรูปของเมทริกซ A และเมทริกซ P ดวยวิธีการแนวทแยง จะไดวา

-1D = P AP

(4.9)

จากนั้น จึงทําการยกกําลัง k ทั้งสองขางของสมการที่ (4.9) จะไดความสัมพันธในการหากําลังที่ k ของเมทริกซเฉียง D ดังนี้

( )kk -1D = P AP

( )( ) ( )...= -1 -1 -1P AP P AP P AP

k-1= P A P (4.10) ซึ่งสรุปไดวา เมทริกซ kA และ kD คลายกัน (Similar) เมื่อ k เปนคาคงที่และเปนกําลังของเมทริกซ ดังนั้น พหุนามอันดับ n ของเมทริกซเฉียง D สามารถเขียนไดเปน

2

0 1 2( ) ... nnp a a a a+ + + +D = I D D D (4.11)

20 1 1 2 1

20 1 2

1

0 0 0

0 0 0

0

0

n n

nn

nn n

a a a

a a a

a

a

λ λ

λ λ

λ

λ

⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+ +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

=


1

2

( ) 0

( )( )

0 ( )n

p

pp

p

λ

λ

λ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

D

(4.12)

เมื่อ 20 1 2( ) ... n

i i i n ip a a a aλ λ λ λ+ + + += เปนพหุนามอันดับ n ของคาลักษณะเฉพาะ iλ สําหรับ 1,2,...,i n= จากนั้น ทําการแทนคา k k= -1D P A P ลงในสมการที่ (4.10) สําหรับ 0,1,...,k n= ตามลําดับ บนแนวทแยงมุมหลัก ในสมการที่ (4.11) จะไดวา

0 1 2( ) ... nnp a a a a+ + + +-1 -1 -1 2 -1D = P IP P AP P A P P A P

0 1 2( ... )nna a a a+ + + +-1 2= P I A A A P

( ) ( )p p-1D = P A P (4.13) เมื่อ ( )p A เปนพหุนามอันดับ n ของเมทริกซจัตุรัส A โดยสามารถเขียนใหมสมการที่(4.13) ไดเปน

( ) ( )p p -1A = P D P

(4.14)

จากสมการที่ (4.13) และ (4.14) แสดงวาพหุนาม ( )p A และพหุนาม ( )p D คลายกัน ทั้งนี้ความสัมพันธนี้เปนจริงกับฟงกชันอื่นๆ นอกเหนือจากพหุนามของเมทริกซ A และเมทริกซ D ทฤษฏีบทที่ 4-2 การแปลงแบบคลาย (Similarity Transformation) ถาเมทริกซจัตุรัส A และเมทริกซเฉียง D คลายกันแลว ฟงกชันของเมทริกซจัตุรัส A คือ ( )f A และฟงกชันของเมทริกซเฉียง D คือ ( )f D จะคลายกันดวย ตามความสัมพันธนี้

f f -1(A) = P (D)P (4.15)

เมื่อ P เปนเมทริกซฐานนิยามของเมทริกซ A และหาตัวผกผันได


ตัวอยางที่ 4-2 กําหนดใหเมทริกซ 9 2 6

5 0 3

16 4 11

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

A

จงคํานวณหาฟงกชันของเมทริกซ A ดังนี้ 5 3( ) 2 5f = + +A A A I วิธีทํา ในการคํานวณหาคาของ f (A) นั้น หากใชวิธีคํานวณโดยตรงก็สามารถทําได กลาวคือ คํานวณแตละเทอม หาเมทริกซ 5A เมทริกซ 32A และเมทริกซ 5I แลวจึงนําทั้ง 3 เทอมมาบวกกัน ในตัวอยางนี้จะแสดงการคํานวณหาคาของ f (A) โดยใชการแปลงแบบคลาย เริ่มจากความสัมพันธ f f -1(A) = P (D)P ในลําดับแรก ตองทําการหาเมทริกซ P และเมทริกซ D จากเวกเตอรลักษณะเฉพาะ ix และคาลักษณะเฉพาะ iλ ของเมทริกซ A เมื่อ 1,2, 3i = โดยใชสมการลักษณะเฉพาะตอไปนี้

0λ−A I =

9 2 6

5 3 2 1 1 0

16 4 11

λ

λ λ λ λ

λ

− −

− − − − + =

− −

= ( )( )( )

จะไดคาลักษณะเฉพาะ 3 คา คือ 1 2λ = , 2 1λ = , และ 3 1λ −= สําหรับ 1 2λ = หาเวกเตอรลักษณะเฉพาะโดยใชความสัมพันธ 1 1λ−(A I) x = 0

1

-11 2 6 0

5 -2 -3 0

0-16 4 9

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

x

จากนั้น ดําเนินการตามแถวขั้นมูลฐานตอเมทริกซแตงเติม ⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦A 0 และไดผลเฉลยของระบบ

สมการเชิงเสนนี้เปน


1

-2

1

-4

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

x

ในทํานองเดียวกัน เวกเตอรลักษณะเฉพาะ 2x สําหรับคาลักษณะ 2 1λ = คือ

2

1

1

2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

x

และเวกเตอรลักษณะเฉพาะ 3x สําหรับคาลักษณะเฉพาะ 3 1λ −= คือ

3

2

1

3

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

x

ดังนั้นเมทริกซฐานนิยม คือ

1 2 3

2 1 2

1 1 1

4 2 3

⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤= = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

P x x x

และเมทริกซเฉียง คือ 1

2

3

0 0 2 0 0

0 0 0 1 0

0 0 10 0

λ

λ

λ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

D

ในการหาคาฟงกชันของเมทริกซเฉียง f (D) สามารถแทนคาของเมทริกซ A ดวยของเมทริกซเฉียง D ลงในความสัมพันธที่โจทยให ซึ่งคือ 5 32 5f + +(A) = A A I จะไดวา

5 32 5f = + +(D) D D I ทั้งนี้ การคํานวณหาเมทริกซ 5D เมทริกซ 32D และเมทริกซ 5I จะทําไดงายกวาฟงกชันเดียวกันของเมทริกซ A ดังนั้น ฟงกชันของเมทริกซเฉียง f (D) หาไดดังนี้

( )32 0 0 16 0 0 5 0 0

0 1 0 0 2 0 0 5 0

0 0 50 0 -1 0 0 -2

f

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

D


53 0 0

0 8 0

0 0 2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

นอกจากนี้ ยังสามารถหาจากความสัมพันธที่วา

1

2

3

( ) 0 0

( ) 0 ( ) 0

0 0 ( )

f

f f

f

λ

λ

λ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

D

เมื่อสมาชิกแตละตัวของฟงกชันของเมทริกซเฉียง หาไดจาก

5 32 5i i if λ λ λ+ +( ) = ( ) ( ) สําหรับ 1 2 32, 1, 1λ λ λ= = −=

ดังนั้น 1

2

3

( ) 32 16 5 53

( ) 1 2 5 8

( ) ( 1) ( 1) 5 2

f

f

f

λ

λ

λ

= + + =

= + + =

= − + − + =

ซึ่งก็จะหาเมทริกซเฉียง ( )f D ไดเชนกัน จากนั้น ใชวิธีการหาตัวผกผันของเมทริกซจัตุรัสในบทที่ 3 จะไดตัวผกผันของเมทริกซ P เปน

1

1 1 1

1 2 0

2 0 1

−

⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

P

(เมื่อตรวจสอบดวย = =-1 -1PP I P P พบวาเปนจริง) ขั้นตอนสุดทาย ใชการแปลงแบบคลาย จะไดคาฟงกชันของเมทริกซ A ในเทอมของฟงกชันของเมทริกซ D เมทริกซฐานนิยม P และตัวผกผันของเมทริกซฐานนิยม 1−P เปน

-1( ) ( )f f=A P D P


-2 1 -1 53 0 0 1 -1 -1

1 -1 1 0 8 0 -1 -2 0

-4 2 -3 0 0 2 -2 0 1

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

-106 90 102

57 -37 -51

-216 180 206

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

ตอบ

4.2 ทฤษฎีบทเคยเลยฮามิลตัน (Cayley-Hamilton Theorem) ทฤษฏีบทนี้ใชเพื่อเขียนใหม ฟงกชันพหุนามของเมทริกซจัตุรัส n n×A อันดับ n ใหอยูในเทอมของพหุนามของเมทริกซ A ที่มีอันดับต่ํากวา เชน 1n − หรือ 2n − หรือแมกระทั่งใชในการหาเขียนใหมเมทริกซ A ใหอยูในรูปของพหุนามของเมทริกซ A อันดับ m n> เพื่อชวยในการคํานวณหาคาเมทริกซผลลัพธของฟงกชันดังกลาว โดยมีขั้นตอนการดําเนินการดังตอไปนี้ เริ่มตนจากสมการลักษณะเฉพาะของเมทริกซ A ซึ่งเปนสมการพหุนามอันดับ n ของคาลักษณะเฉพาะ iλ ของเมทริกซ A คือ

11 ... ( 1) 0n n n

nb bλ λ −− + + − =

(4.16)

จากนั้นแทนคาลักษณะเฉพาะ λ ดวยเมทริกซ A จะไดวา

11 ... ( 1)n n n

nb b−− + + − =A A I 0

(4.17)

ดังนั้น จากสมการที่ (4.17) เราสามารถเขียนเมทริกซ nA ใหอยูในเทอมของเมทริกซ 1n−A เมทริกซ 2n−A และเทอมอื่นๆ ซึ่งมีอันดับต่ํากวาได กลาวคือ

1 21 2 ... ( 1)n n n n

nb b b− −= − + + −A A A I

(4.18)

นอกจากนี้ หากเราคูณทั้งสองขางของสมการที่ (4.17) ดวยเมทริกซ 1−A และจัดรูปใหม จะทําใหเราสามารถหาตัวผกผันของเมทริกซ A โดยไมตองหาตัวกําหนดของเมทริกซ A ไดอีกดวย ดังนี้


( )n

n n nn

n

b bb

11 1 2

1 1( 1)

... ( 1)−

− − −−

−= − + + −A A A I (4.19)

ตัวอยางที่ 4-3 จงเขียนฟงกชันของเมทริกซ A ตอไปนี้ ใหอยูในเทอมของเมทริกซ A ที่มี

อันดับต่ําที่สุด เมื่อ 5 3( ) 2 5f = + +A A A I และให 9 2 6

5 0 3

16 4 11

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

A

วิธีทํา ใชทฤษฏีบทเคยเลยฮามิลตัน โดยเริ่มจากสมการลักษณะเฉพาะของเมทริกซ A

0λ− =A I

3 22 2 0λ λ λ− − + =

จากนั้น แทนคาลักษณะเฉพาะ λ ดวยเมทริกซ A จะไดวา

3 2 2= + −2A A A I (1) จากสมการที่ (1) เราสามารถหาคาของเมทริกซ nA ในเทอมของ 1n−A เมื่อ 4n = ได โดยหากอยูในรูปของเมทริกซ 3A ก็สามารถแทนคาของเมทริกซ 3A โดยใชสมการที่ (1) ไดเพื่อใหอยูในเทอมของเมทริกซ 2A และเมทริกซ A ซึ่งมีอันดับต่ํากวาเมทริกซ 3A ดังนี้ 4 3= ⋅A A A 3 22 2= + −A A A

2 22(2 2 ) 2= + − + −A A I A A 5 4= −2A I (2)

ดังนั้น เราสามารถหาคาของเมทริกซ 5A ในเทอมของ nA เมื่อ 5n < ได โดยใชสมการที่ (2) 5 4= ⋅A A A 35 4= −A A 5(2 2 ) 4= + − −2A A I A 10 10= + −2A A I


จากนั้น แทนคาของเมทริกซ 5A และเมทริกซ 3A ในสมการฟงกชันของเมทริกซ A คือ ( )f A จะไดฟงกชันของเมทริกซ A ในเทอมของเมทริกซที่มีอันดับต่ําที่สุด คือ เมทริกซ 2A

และเมทริกซ A ดังนี้ ( ) (10 10 ) 2(2 2 ) 5f = + − + + − +2 2A A A I A A I I 14 3 9= + −2A A I ตอบ

หากโจทยตองการคํานวณหาคาของ ( )f A จะไดเมทริกซผลลัพธดังนี้

-5 6 6 -9 2 6 9 0 0

( ) 14 -3 -2 -3 3 5 0 -3 0 9 0

-12 -12 13 -16 4 11 0 0 9

f

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A

-106 90 102

57 -37 -51

-216 180 206

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

ตอบ

ตัวอยางที่ 4-4 จงคํานวณหาคาของพหุนามของเมทริกซ A โดยใชทฤษฏีบทเคยเลยฮามิลตัน

เมื่อ 5 4 3 2( ) 2 3p = − − + + −A A A A A A I และ 2 6

2 5

⎡− − ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A

วิธีทํา เริ่มจากสมการลักษณะเฉพาะของเมทริกซ A

0λ−A I =

จะไดพหุนามลักษณะเฉพาะ เปน 2 3 2 0λ λ− + = จากนั้น ทําการแทนคาลักษณะเฉพาะ λ ดวยเมทริกซ A จะได

3 2− + =2A A I 0

(1)

เขียนใหมสมการที่ (1) จะไดวา

3 2= −2A A I

หาคาเมทริกซ 3A ในเทอมของเมทริกซ A ที่มีอันดับต่ํากวาจะได


3 3 2= −2A A A 7 6= −A I

ในทํานองเดียวกัน จะไดคาของเมทริกซ 4A และเมทริกซ 5A ในเทอมของเมทริกซ A ที่มีอันดับต่ํากวา ดังนี้

4 7 6 15 14= − = −2A A A A I 5 15 14 31 30= − = −2A A A A I

แทนคาเมทริกซ A อันดับตางๆ จะไดฟงกชันพหุนามของเมทริกซ A ใหมเปน ( ) 6 9p = −A A I

-21 -36

12 21

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

ตอบ

ตัวอยางที่ 4-5 กําหนดใหพหุนามของตัวแปร x เปน

4 3 2( ) 4 6 3f x x x x x= − + − −

จงหาคาของพหุนามของเมทริกซ , ( ) ,fA A เมื่อเมทริกซ 0 2

1 3

⎡ − ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A

วิธีทํา หากใชการแปลงแบบคลาย -1A = PDP จะเริ่มจากการใชสมการลักษณะเฉพาะ 1λ และ 2λ ของเมทริกซ 2 2×A

10 1λ λ− = ⇒ =A I และ 2 2λ = จากนั้นหาเวกเตอรลักษณะเฉพาะดวยการแกระบบสมการเชิงเสน ( )i iλ− =A I x 0 เมื่อ 1,2i = จะได

1

-2

1

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

x และ 2

-1

1

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

x

ดังนั้น เมทริกซฐานนิยม 1 2

2 1

1 1

⎡− − ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

P x x


และเมทริกซผกผัน 11 1

1 2−

⎡− − ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

P

(โดยสามารถตรวจความถูกตองไดวา 11

2

0

0

λ

λ−

⎡ ⎤⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

P AP D ซึ่งเปนจริง)

เมื่อ 4 3 2

1 1 1 1 14 6 3 1f λ λ λ λ λ= − + − − = −( ) และ 4 3 2

2 2 2 2 2( ) 4 6 3 3f λ λ λ λ λ= − + − − = เมื่อใชวิธีการแปลงแบบคลาย จะได

( ) ( )f f= -1A P D P และ 1

2

( ) 0( )

0 ( )

ff

f

λ

λ

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

D

ดังนั้น

-2 -1 -1 0 -1 -1 -5 -8

( )1 1 0 3 1 2 4 7

f⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A ตอบ

ทั้งนี้ สามารถใชทฤษฏีบทเคยเลยฮามิลตันในการหาคําตอบไดดวย ดังนี้ จากสมการลักษณะเฉพาะ 20 3 2 0λ λ λ− = ⇒ − + =A I โจทยตองการหา 4 3 2( ) 4 6 3f = − + − −A A A A A I

จะไดเมทริกซ 2A ในเทอมของเมทริกซ A ที่มีอันดับต่ํากวา คือ 2 3 2= −A A I

3 3 2= −2A A A 3(3 2 ) 2 7 6= − − = −A I A A I

4 7 6 15 14= − = −2A A A A I ดังนั้นแทนคาลงในสมการของ ( )f A จะไดวา

( ) 15 14 4(7 6 ) 6(3 2 ) 3f = − − − + − − −A A I A I A I A I 4 5= −A I

แทนคาเมทริกซ A จะไดวา

0 -2 1 0 5 8

( ) 4 51 3 0 1 4 7

f⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡− − ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A ตอบ

ซึ่งตรงกันกับคําตอบที่หาไดดวยวิธีการแปลงแบบคลาย


4.3 ฟงกชันเลขชี้กําลังของเมทริกซ (Exponential Function of a matrix) ฟงกชันเลขชี้กําลังสําหรับคาสเกลาร a สามารถเขียนใหอยูในเทอมของอนุกรมกําลัง (Power Series) ไดดังนี้

2 31 11 ...

2 ! 3 !ae a a a= + + + +

(4.20)

ทั้งนี้ ฟงกชันเลขชี้กําลังสําหรับเมทริกซจัตุรัส n n×A ก็สามารถเขียนใหอยูในเทอมของอนุกรมไดเชนกัน ดังนี้

2 31 1...

2 ! 3 !e = + + + +A I A A A

(4.21)

เมื่อพิจารณากรณีของเมทริกซเฉียง n n×D ที่มีสมาชิกบนแนวเสนทแยงมุมหลักเปนคาลักษณะเฉพาะของเมทริกซ , iλA เมื่อ 1,...,i n= คือ

1

2

0

0 n

λ

λ

λ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

D

(4.22)

แลว ฟงกชันเลขชี้กําลังสําหรับเมทริกซเฉียง D จะสามารถเขียนใหอยูในเทอมของอนุกรมกําลัง เชนในสมการที่ (4.21) ไดเปน

21 1

lim ...2 ! !

n

ne

n→∞

⎛ ⎞⎟⎜= + + + + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠D I D D D

(4.23)

โดยที่อนุกรมกําลัง eD ลูเขา (Converge) เมื่อ n → ∞ จากนั้ นทํ าการแจกแจง เมทริ กซ kD เ มื่ อ 0,1,...,k n= ในรู ปแบบของค าลักษณะเฉพาะ iλ ของเมทริกซ A โดยใชสมการที่ (4.22) และกําลังของเมทริกซเฉียง D ในสมการที่ (4.10) อนุกรมกําลังของเมทริกซเฉียง D ในสมการที่ (4.4) กลายเปน

10

0

10

!

lim

10

!

nk

k

nn

kn

k

k

e

k

λ

λ

=

→∞

=

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∑

∑

D

โดย 0

1

!i

nki

k

ek

λλ=∑ = เปนอนุกรมกําลังของคาลักษณะเฉพาะ iλ ของเมทริกซ A เมื่อ

1,...,i n=


ดังนั้น 1

2

0

0 n

e

ee

e

λ

λ

λ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

D

(4.24)

หากเมทริกซจัตุรัส n n×A สามารถทําใหอยูในรูปแบบเมทริกซเฉียงได คือ

, 1,2,...k k k= =-1A PD P

(4.25)

เราสามารถหาฟงกชันเลขชี้กําลังของเมทริกซจัตุรัส n n×A นี้ไดจาก ฟงกชันเลขชี้กําลัง ของเมทริกซเฉียง D โดยใชสมการที่ (4.23) - (4.25) แทนคาลงในสมการที่ (4.21) แลวจัดรูปใหม จะไดวา

21

...2 !

e = + + +A -1 -1 -1PP PDP PD P

21...

2 !

⎛ ⎞⎟⎜= + + + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠-1P I D D P

e e=A D -1P P (4.26) ซึ่งสมการที่ (4.26) อยูในรูปของ ( ) ( )f f= -1A P D P ของทฤษฎีบทที่ 4.2 นั่นเอง ตัวอยางที่ 4-6 จงคํานวณหาคาของฟงกชันเลขชี้กําลังของเมทริกซ A เมื่อ

2 6

1 3

⎡− − ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A

วิธีทํา ใชสมการที่ (4.25) ในการหาคา eA ดังนั้น เริ่มตนจากสมการลักษณะเฉพาะของเมทริกซ A เพื่อหาคาลักษณะเฉพาะ 1 2,λ λ และเวกเตอรลักษณะเฉพาะที่สอดคลองกัน 1 2,x x จะได

1 20 1 , 0λ λ λ− = ⇒ = =A I

เวกเตอรลักษณะเฉพาะของเมทริกซ A คือ 1

2

1

⎡− ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

x และ 2

3

1

⎡− ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

x


ถาเมทริกซ A สามารถทําใหอยูในรูปเมทริกซเฉียง D ได

= -1A PDP

เมื่อ 1 2

2 3

1 1

⎡− − ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

P x x

1

2

0 1 0

0 00

λ

λ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

D

11 3

1 2−

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

P

จะไดวา e e=A D -1P P

1

0

-2 -3 1 30

1 1 -1 -20

e

e

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

3 2 6 6

1 3 2

e e

e e

⎡ − − ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

ตอบ

ทั้งนี้ ฟงกชันเลขชี้กําลังของเมทริกซ n n×A สามารถเขียนใหอยูในรูปของพหุนามที่มีอันดับต่ํากวา n ได โดยเขียนคํานิยามของฟงกชันเลขชี้กําลังของเมทริกซ A ในสมการที่ (4.21) (ทฤษฏีเคยเลยฮามิลตัน) ใหอยูในรูปทั่วไป คือ

1

0 1 2 1( ) ... nnf e α α α α −−= = + + + +A 2A I A A A

(4.27)

เมื่อ iα เปนตัวแปรไมทราบคา สําหรับ 0 1i n≤ ≤ − แทนคา เมทริกซ A ดวยคาลักษณะเฉพาะ iλ ลงในสมการที่ (4.27) จะไดเปน

i n

i i i nf e 2 10 1 2 1( ) ...λλ α α λ α λ α λ −

−= = + + + +

(4.28)

• ในกรณีที่เมทริกซ n n×A ไมมีรากซ้ําของคาลักษณะเฉพาะ iλ ดังนั้น

เมื่อแทนคา iλ สําหรับ 1 i n≤ ≤ ลงในสมการที่ (4.28) จะมีสมการเชิงเสนอยู n สมการ ก็จะสามารถแกระบบสมการเชิงเสน หาผลเฉลย iα ได

• ในกรณีที่เมทริกซ n n×A มีภาวะซ้ําของคาลักษณะเฉพาะ iλ

จะทําใหมีสมการเชิงเสนอยูนอยกวา n สมการ แตมีตัวแปรไมทราบคา iα อยู n คาก็จะทําใหไมสามารถหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเสนได


วิธีห นึ่งในการสรางสมการเชิ ง เสนขึ้น เ พิ่มเติม ใหทํ าการหาอนุ พันธ (Derivative) ของฟงกชันของเมทริกซ A นี้ ดังตัวอยางตอไปนี้

ตัวอยางที่ 4-7 จงหาคาโคซายนของเมทริกซ n n×A เมื่อ 1 0 0

1 1 0

1 0 2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A

วิธีทํา โจทยขอนี้กําหนดให ( ) cos( )f =A A เมื่อ 3n =

จากนั้นเขียน

f 2

0 1 2( ) α α α= + +A I A A

(1)

แทนคาเมทริกซ A ดวยคาลักษณะเฉพาะ iλ ของเมทริกซ A จะไดวา

20 1 2( ) cos( )i i i if λ λ α α λ α λ= = + +

(2)

หาอนุพันธอันดับที่หนึ่ง iλ

∂∂

ของ if λ( ) ในสมการที่ (2) จะได

1 2sin( ) 2iλ α α− = +

(3)

ใชสมการลักษณะเฉพาะของเมทริกซ A ในการหาคาลักษณะเฉพาะ , 1,2, 3i iλ = 2( 1) ( 2) 0λ λ λ− = − − =A I

1 2 32 , 1 , 1λ λ λ∴ = = =

แทนคา 1λ และ 2λ ลงในสมการที่ (2) และ 3λ ลงในสมการอนุพันธที่ (3) จะได

1 0 1 22; cos(2) 2 4λ α α α= + +=

(4)

2 0 1 21; cos(1)λ α α α= + += (5)

3 1 21; sin(1) 2λ α α− = += (6)


แกระบบสมการเชิงเสน =Ax b เมื่อ 0 1 2

Tα α α⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦x ดังนี้

0

1

2

cos(2)1 2 4

1 1 1 cos(1)

0 1 2 sin(1)

ααα

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ผลเฉลยของระบบสมการเชิงเสนนี้ คือ 0 cos(2) 2 sin(1)α = +

1 2 cos(1) 2 cos(2) 3 sin(1)α = − −

2 cos(1) cos(2) sin(1)α = − + +

แทนคา 0 1 2, ,α α α ลงในสมการที่ (1) เพื่อหาคาของ cos( )A จะได

0 1 2

1 0 0 1 0 0 1 0 0

cos( ) 0 1 0 1 1 0 2 1 0

0 0 1 1 0 2 3 0 4

α α α

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A

0 1 2

1 2 0 1 2

1 2 0 1 2

0 0

2 0

3 0 2 4

α α αα α α α αα α α α α

⎡ ⎤+ +⎢ ⎥⎢ ⎥= + + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+ + +⎢ ⎥⎣ ⎦

cos(1) 0 0

sin(1) cos(1) 0

cos(1) cos(2) 0 cos(2)

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎣ ⎦

ตอบ

ตัวอยางที่ 4-8 จงเขียนฟงกชันของเมทริกซ n n×A ตอไปนี้

( )3

f =+A

AA I

ใหอยูในรูปของฟงกชันพหุนามของเมทริกซ Aที่มีอันดับต่ําที่สุดเทาที่จะเปนไปได เมื่อ

0 -2

1 3

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A


วิธีทํา ใชทฤษฏีบทเคยเลยฮามิลตัน เขียน ( )f A ใหอยูในรูปของฟงกชันพหุนามของเมทริกซ A ที่มีอันดับ 1n − เมื่อ 2n =

0 1( )f α α= +A I A

(1)

แทนคาเมทริกซ A ดวยคาลักษณะเฉพาะ iλ เมื่อ 1,2i = จะได

0 1( ) ( )i if λ α α λ= +

(2)

ใชสมการลักษณะเฉพาะของเมทริกซ A หาคาลักษณะเฉพาะ iλ ดังนี้

( )( )1 2 0λ λ λ− = − − =A I

(3)

ดังนั้นคาลักษณะเฉพาะของเมทริกซ A คือ 1 21, 2λ λ= = แทนคา iλ ในสมการที่ (2) จะได

1 1,λ =

1

11

1( )

3 4f

λλλ

= =+

(4)

0 1 1 0 1( )α α λ α α+ = + (5)

2 2,λ =

22

2

2( )

3 5f

λλλ

= =+

(6)

0 1 2 0 1( ) 2α α λ α α+ = + (7)

เมื่อสมการที่ (4) และสมการที่ (5) เทากัน และเมื่อสมการที่ (6) และสมการที่ (7) เทากันจะไดระบบสมการเชิงเสนระบบหนึ่ง ดังนี้

140

21 5

1 1

1 2

αα

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ผลเฉลยของระบบสมการเชิงเสนนี้ คือ 1

100α = และ 3201α =

จากนั้น จะไดฟงกชันของเมทริกซ A ในสมการที่ (1) เปน 2 63 1 1

( )3 1120 10 20

f⎡ − ⎤⎢ ⎥= + = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A A I ตอบ


ในการแกสมการฟงกชันของเมทริกซที่อยูในรูปของ

( )f =X A

(4.29)

สําหรับเมทริกซ A เมทริกซหนึ่งที่เปนเมทริกซจัตุรัส ขนาด n n× เมื่อ f ⋅( ) เปนฟงกชันพหุนามของเมทริกซจัตุรัส X ขนาดเทากัน ซึ่งเมทริกซ X เปนผลเฉลยของสมการดังกลาว ใหใชวิธีการแนวทแยง -1A = PDP โดยแทนคาเมทริกซ X และเมทริกซ A ดวยเวกเตอรลักษณะเฉพาะ x และคาลักษณะเฉพาะ iλ ของเมทริกซ A ตามลําดับ สมการที่ (4.29) กลายเปน

( ) , 1if x i nλ= ≤ ≤

(4.30)

ตัวแปร ,i jx เปนคําตอบของสมการที่ (4.30) และ 1 j m≤ ≤ เมื่อ m เปนจํานวนรากสูงสุดของสมการพหุนาม ( ) if x λ= จากนั้นสรางเมทริกซ jR ดังนี้

1,

,

0

0

j

j

n j

x

x

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

R

(4.31)

ดังนั้นฟงกชันพหุนามของเมทริกซ jR เขียนไดเปน

1,

,

( ) 0

( )

0 ( )

j

j

n j

f x

f

f x

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

R

(4.32)

แทนคา ( )f x ในสมการที่ (4.29) ลงในสมการที่ (4.32) จะไดวา

0

( )

0

i

j

n

f

λ

λ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

R D

(4.33)

= -1P AP (4.34)

( )f= -1P X P (4.35)

( ) ( )jf f= -1R P X P

(4.36)


จากสมการที่ (4.36) เราสามารถสรุปไดวา

j = -1R P XP

(4.37)

ดังนั้น เราสามารถหาเมทริกซผลเฉลย jX ไดคือ

j j= -1X PR P

(4.38)

ตัวอยางที่ 4-9 กําหนดให ( )4 3

5 6f

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

X เมื่อ 2( ) 2 1f x x x= − +

โดยที่ x เปนตัวแปรใดๆ จงหาเมทริกซ X วิธีทํา ใชวิธีการแนวทแยง ( 2)n= =-1A PDP เริ่มตนโดยการหาคาลักษณะเฉพาะ iλ เมื่อ 1,2i = จากสมการลักษณะเฉพาะ 0λ− =A I ซึ่งใหคาลักษณะเฉพาะ 2 คา คือ 1 1λ = และ 2 9λ = จากนั้น นําคาลักษณะเฉพาะ 1 2,λ λ ไปหาเวกเตอรลักษณะเฉพาะที่สอดคลองกัน

โดยเริ่มจากสมการ ( )i iλ− =A I x 0 เมื่อ 4 3

5 6

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A

สําหรับ 1 1λ = เวกเตอรลักษณะเฉพาะคือ 1

1

1

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

x

สําหรับ 2 9λ = เวกเตอรลักษณะเฉพาะคือ 2

3

5

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎣ ⎦

x

ดังนั้น 1 0

0 9

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

D , 1 3

1 5

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

P , และ 5 -311 18

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

-1P

จากนั้น แกสมการเชิงเสน 2 สมการคือ 1( )f x λ= และ 2( )f x λ= ดังนี้


1( ) ;f x λ= 2 2 1 1x x− + =

จะได 1,1 0x =

และ 1,2 2x =

2( ) ;f x λ= 2 2 1 9x x− + =

จะได 2,1 2x −=

และ 2,2 4x =

นํามาสราง jR ที่เปนไปไดทั้งหมด ดังตอไปนี้

1,1

12,1

0 00

0 0 -2

x

x

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦R

1,1

22,2

0 00

0 0 4

x

x

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦R

1,2

32,1

0 2 0

0 0 -2

x

x

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦R

1,2

42,2

0 2 0

0 0 4

x

x

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦R

เมทริกซผลเฉลย หาไดจาก j j

-1X = P R P ดังนั้น คําตอบของสมการ ( )f =X A คือ

141 1 -3 -3

-5 -5

⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

-1X PR P

ตอบ

122 2 3 3

5 5

⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

-1X PR P

ตอบ

123 31 -3

-5 -1

⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

-1X PR P

ตอบ

144 411 3

5 13

⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

-1X PR P ตอบ


4.4 ตัวอยางการประยุกตใชงานฟงกชันของเมทริกซจัตุรัสกับระบบสมการเชิง อนุพันธแบบเชิงเสน (System of Linear Differential Equations)

ในระบบสมการเชิงเสนหนึ่งๆ ที่จําลองการทํางานของอุปกรณบางอยางนั้น มีตัวแปรขาเขามากกวาหนึ่งตัว และมีตัวแปรขาออกหลายตัวเชนกัน โดยที่ตัวแปรขาออกเปนอนุพันธอันดับที่หนึ่งของตัวแปรขาเขา อยางนอยหนึ่งตัวหรือมากกวานั้น แบบจําลองทางคณิตศาสตรของระบบดังกลาวเรียกวา ระบบสมการเชิงอนุพันธ (System of Linear Differential Equations)

เมื่อพิจารณาระบบสมการเชิงอนุพันธอันดับที่หนึ่ง (First-order) ที่เปนสมการเชิงเสน (Linear) ดังตอไปนี้

1 1 1 2( ) ( , , )y t f t y y′ =

(4.39 ก)

2 2 1 2( ) ( , , )y t f t y y′ =

(4.39 ข)

เมื่อ ( )iy t และ ( )iy t′ เปนตัวแปรขาเขาและตัวแปรขาออกของระบบหนึ่งๆ และ 1,2i = ทั้งนี้ตัวแปรขาออก ( )iy t′ เปนอนุพันธอันดับหนึ่งของตัวแปรขาเขา ( )iy t ในระบบตัวอยางนี้ ตัวแปรขาออก 1 ( )y t′ ซึ่งเปนฟงกชันของตัวแปรเวลา t และเปนฟงกชันของตัวแปรขาเขา 1( )y t และ 2( )y t

หากเขียนใหอยูในรูปทั่วไป ระบบสมการเชิงอนุพันธอันดับหนึ่งที่เปนเชิงเสน เมื่อมีตัวแปรขาเขา n ตัว และตัวแปรขาออก n ตัว โดยขออนุญาตละฟงกชันของเวลา t ไว เพื่อลดความซับซอนของสมการ จะไดวา

1 11 1 12 2 1

2 21 1 22 2 2

1 1 2 2

n n

n n

n n n nn n

y a y a y a y

y a y a y a y

y a y a y a y

′ = + +

′ = + +

′ = + +

เราสามารถเขียนระบบสมการเชิงเสนดังกลาว ใหอยูในรูปแบบของสมการเมทริกซเวกเตอรไดดังนี้

′ =y Ay

(4.40)

เมื่อ 1 2 ...

T

ny y y⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦y เปนเวกเตอรขาเขาของระบบ ขนาด 1n× และ

' ' ' '1 2 ...

T

ny y y⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦y เปนเวกเตอรขาออกของระบบ ขนาด 1n× เชนกัน


และ

11 12 1

21

1

n

n nn

a a a

a

a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A

……

…

เปนเมทริกซสัมประสิทธิ์ขนาด n n× ที่ประกอบไปดวย

คาคงที่ ija สําหรับ 1 i n≤ ≤ และ 1 j n≤ ≤ ในกรณีที่ 1n = สมการเชิงอนุพันธที่เปนเชิงเสน คือ

'y ay=

(4.41)

ผลเฉลยของสมการนี้ คือ ( ) aty t ce=

(4.42)

เมื่อ c เปนคาคงที่ และมีคาเปน (0)c y= หากพิจารณาระบบสมการเชิงอนุพันธ ที่มีตัวแปรขาเขา เปน 1 2, ( 1)y y n > และมีตัวแปรขาออกเปน 1y ′ และ 2y ′ ดังนี้

'1 1y ay=

(4.43 ก)

'2 2y by=

(4.43 ข)

เมื่อ a และ b เปนคาคงที่แลว เราจะเรียกระบบสมการนี้วา ระบบไมเชื่อมโยง (Uncoupled System) กลาวคือ ตัวแปรขาออก '

iy แตละตัว เปนฟงกชันของตัวแปรขาเขา iy เพียงตัวเดียวเทานั้น ไมเปนผลรวมเชิงเสนของตัวแปรขาเขาทั้งหมด เมื่อเขียนใหอยูในรูปแบบสมการเมทริกซเวกเตอรจะไดวา

' =y Ay

เมื่อ 1 2

Ty y⎡ ⎤′ ′ ′= ⎢ ⎥⎣ ⎦y และ 1 2

Ty y⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦y โดยที่

0

0

a

b

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A


ดังนั้น หากเมทริกซสัมประสิทธิ์ A เปนเมทริกซเฉียงแลว เราเรียกวา ระบบสมการเชิงอนุพันธนี้ถูกลดความเชื่อมโยง (decoupled) ผลเฉลยของระบบสมการนี้ คือ

1 1( ) aty t c e= (4.44 ก)

2 2( ) bty t c e= (4.44 ข)

ซึ่งสามารถเขียนใหอยูในรูปแบบสมการเมทริกซเวกเตอรไดเปน

( )0

( ) 00

at

bt

et

e

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

y y (4.45)

เมื่อตัวแปรขาเขา ณ เวลาเริ่มตน ( )0t = มีคาเปน 1 1

22

(0)(0)

(0)

y c

cy

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦y

ในกรณีทั่วไป 1n >( ) ระบบสมการเชิงอนุพันธอันดับที่หนึ่ง ที่เปนเชิงเสน

' =y Ay

(4.46)

เปน ระบบเชื่อมโยง (Coupled System) กลาวคือ เมทริกซสัมประสิทธิ์ A จะไมอยูในรูปแบบของเมทริกซเฉียง ผลเฉลยของระบบสมการนี้ จะอยูในรูปแบบของ

teλ=y x

(4.47)

เมื่อ λ เปนคาลักษณะเฉพาะของเมทริกซ A และ x เปนเวกเตอรลักษณะเฉพาะของเมทริกซ A ที่สอดคลองกันกับคา λ เราสามารถตรวจสอบความถูกตองของคําตอบนี้ได โดยหาอนุพันธอันดับที่หนึ่งของผลเฉลยในสมการที่ (4.47) ไดเปน

t te eλ λλ λ′ =y = x x

(4.48 ก)

λ= y

(4.48 ข)


หากทําการคูณทั้งสองขางของสมการที่ (4.47) ดวยเมทริกซ A จะไดวา

teλ=Ay Ax

(4.49)

จากระบบสมการเชิงอนุพันธ ' =y Ay จะทําใหสมการที่ (4.48 ก) และ (4.49) เทากัน กลาวคือ

t te eλ λλ =x Ax

ซึ่งหมายความวาระบบสมการเชิงอนุพันธ ' =y Ay จะเปนจริงก็ตอเมื่อ λ=Ax x เทานั้น โดยความสัมพันธ λ=Ax x ที่ไดนี้ จะเปนจริงสําหรับกรณีที่ λ เปนคาลักษณะเฉพาะของเมทริกซ A และ x เปนเวกเตอรลักษณะเฉพาะของเมทริกซ A เทานั้น ดังนั้น ผลเฉลยของระบบสมการเชิงอนุพันธ ' =y Ay ในสมการที่ (4.46) คือ teλ=y x จะมีชื่อเรียกเฉพาะวา ฟงกชันลักษณะเฉพาะ (Eigenfunctions) ของระบบสมการเชิงอนุพันธ การลดความเชื่อมโยงของระบบสมการเชิงอนุพันธแบบเชิงเสน สําหรับระบบสมการเชิงอนุพันธอันดับที่หนึ่งที่เปนเชิงเสน

' =y Ay

(4.50)

หากเราสามารถทําใหเมทริกซ A อยูในรูปแบบของเมทริกซเฉียงได (Diagonalizable) เราจะสามารถลดความเชื่อมโยงของระบบสมการเชิงอนุพันธแบบเชิงเสนได ทําใหสามารถหาผลเฉลยของระบบดังกลาวไดงายขึ้น สําหรับเมทริกซ A ขนาด n n× เราสามารถทําใหอยูในรูปแบบของเมทริกซเฉียงไดดังนี้

= -1A PDP

(4.51)

เมื่อเมทริกซ D เปนเมทริกซเฉียงที่มีสมาชิกบนแนวเสนทแยงมุมหลักเปนคาลักษณะเฉพาะของเมทริกซ A กลาวคือ

1 0

0 n

λ

λ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

D


โดยแถวตั้งแตละแถวของเมทริกซ P ประกอบไปดวยเวกเตอรลักษณะเฉพาะ ix ที่สอดคลองกันกับคาลักษณะเฉพาะ iλ ของเมทริกซ A เมื่อ 1,2, ,i n= …

1 2 ... n⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

P x x x

กําหนดให = -1w P y

(4.52)

หาอนุพันธอันดับที่หนึ่งทั้งสองขางของสมการที่ (4.52) จะไดวา

( )' '′= =-1 -1w P y P y

(4.53)

แทนคา ' =y Ay และ = -1A PDP ลงในสมการที่ (4.53) จะไดวา

' = -1w P Ay

( )= -1 -1P PDP y

'∴ = =-1w DP y Dw (4.54)

'1 1 1

'

0

0 nnn

λ

λ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

w w

ww

(4.55)

โดยจะเห็นไดวา การเปลี่ยนตัวแปร = -1w P y จะเปรียบเสมือนการแปลงระบบสมการเชิงอนุพันธ ' =y Ay ที่ เปนระบบเชื่อมโยงไปสูระบบสมการเชิงอนุพันธอีกระบบหนึ่ง คือ ' =w Dw ซึ่งเปนระบบไมเชื่อมโยง เนื่องจากเมทริกซ D เปนเมทริกซเฉียง สําหรับผลเฉลย

ของระบบสมการเชิงอนุพันธระบบใหม ' =w Dw คือ

( ) ( )

1 0

0

0 n

t

t

e

t

e

λ

λ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

w w

(4.56)

จากนั้นจึงนํามาหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงอนุพันธที่ตองการ คือ ' =y Ay โดยแทนคา = -1w P y หรือเขียนไดเปน =y Pw


( )

1

1

0

( ) = 0

0 n

t

t

e

t

e

λ

λ

−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

y P P y (4.57)

หากทําการแทนคาจะไดวา 1

1 2

0

( ) = ... (0)

0 n

t

n

t

e

t

e

λ

λ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

y x x x w (4.58)

จากสมการที่ (4.56) จะไดวา

' , 1i i i i nλ= ≤ ≤w w

ดังนั้นจะไดผลเฉลยวา

( ) it

i it c eλ=w เมื่อ ic เปนคาคงที ่

ที่เวลา 0t =

1 1

2

(0)

(0)

(0)n n

c w

c

c w

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

w

แทนคา (0)w จะไดสมการที่ (4.58) เปน

1

1

1

0

( ) ...

0 n

t

n

t n

e c

t

ce

λ

λ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

y x x

1

1 1( ) ... nt tn nt c e c eλ λ= + +y x x

(4.59)


ตัวอยางที่ 4-10 จงแกสมการเชิงอนุพันธดังตอไปนี้ 1 1 23 4y y y′ = + 2 1 23 2y y y′ = +

เมื่อใหเงื่อนไข ณ เวลา 0t = คือ 1 6y = และ 2 1y = วิธีทํา ระบบสมการเชิงอนุพันธอันดับที่ 1 แบบเชิงเสนนี้ สามารถเขียนใหอยูในรูปแบบของสมการเมทริกซและเวกเตอร เปนดังนี้

' =y Ay (ละฟงกชันของเวลา t ไว)

เมื่อ 1

2

3 4,

3 2

y

y

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦A y และ 1

2

'y

y

⎡ ⎤′⎢ ⎥= ⎢ ⎥′⎢ ⎥⎣ ⎦y

ผลเฉลยของระบบสมการ ' =y Ay อยูในรูปแบบดังนี้

1

1 1 2 2( ) nt tt c e c eλ λ= +y x x (เมื่อ 1c และ 2c เปนคาคงที่)

เมื่อ iλ และ ix สําหรับ 1,2i = เปนคาลักษณะเฉพาะ และเวกเตอรลักษณะเฉพาะ ของเมทริกซ A ตามลําดับ ในการหา iλ และ ix ใหเริ่มจากสมการลักษณะเฉพาะ 0λ− =A I จะได 1 6λ = และ 2 1λ −=

และจะไดเวกเตอรลักษณะเฉพาะที่สอดคลองกัน คือ 1

4

3

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

x และ 2

1

-1

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

x

ดังนั้น ผลเฉลยของระบบสมการเชิงอนุพันธนี้ ไดแก 6

1 2

61 2

4( )

3

t t

t t

c e c et

c e c e

−

−

⎡ ⎤+⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

y

จากนั้น นําเงื่อนไข ณ เวลา 0t = ที่โจทยกําหนดให คือ 6

(0)1

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

y มาใชเพื่อหาคาคงที่ 1c

และ 2c จะไดดังนี้ 1 2

1 2

4 6(0)

3 1

c c

c c

⎡ + ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

y

จะไดคาคงที่ เปน 1 1c = และ 2 2c =


สุดทาย ผลเฉลยของระบบสมการเชิงอนุพันธนี้ คือ

6

6

4 2( )

3 2

t t

t t

e et

e e

−

−

⎡ ⎤+⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

y ตอบ

ตัวอยางที่ 4-11 จงหาผลเฉลยทั่วไปของระบบสมการเชิงอนุพันธ นี้

'1 1y y= −

'2 1 23 2y y y= +

วิธีทํา ระบบสมการเชิงอนุพันธอันดับที่ 1 แบบเชิงเสนนี้ สามารถเขียนใหอยูในรูปแบบของสมการเมทริกซและเวกเตอร เปนดังนี้

' =y Ay (ละฟงกชันของเวลา t ไว)

เมื่อ 1 0

3 2

⎡− ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A , 1

2

y

y⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎣ ⎦

y และ '1''2

y

y

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

y

ผลเฉลยของระบบสมการ ' =y Ay นี้ อยูในรูปแบบของ

1

1 1 2 2( ) nt tt c e c eλ λ= +y x x (เมื่อ 1c และ 2c เปนคาคงที่)

(1)

ทั้งนี้ หากเปลี่ยนตัวแปรใหม เปน

= -1w P y

(2)

เมื่อ -1P เปนเมทริกซผกผันของเมทริกซฐานนิยม P สําหรับ 1,2i = ที่ประกอบไปดวยเวกเตอรลักษณะเฉพาะของเมทริกซ , ,iA x ในแตละแถวตั้งของเมทริกซ P ผลเฉลยของระบบสมการเชิงอนุพันธนี้ จะอยูในรูปของเมทริกซ P และ -1P ดังนี้

1

2

0( ) (0)

0

t

t

et

e

λ

λ

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

-1y P P y

(3)

เมื่อ iλ เปนคาลักษณะเฉพาะของเมทริกซ A สําหรับ 1,2i = จากนั้น ใชสมการลักษณะเฉพาะ 0λ− =A I เพื่อหาคา iλ และ ix จะไดวา คาลักษณะเฉพาะ คือ 1 1λ −= และ 2 2λ = โดยมีเวกเตอรลักษณะเฉพาะที่สอดคลองกัน คือ


1

1

-1

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

x และ 2

0

1

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

x

ทั้งนี้เมทริกซ A สามารถทําใหอยูในรูปเมทริกซเฉียงได คือ = -1A PDP

เมื่อ 1 2

1 0

1 1

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎢ ⎥⎣ ⎦

P x x

เมทริกซเฉียง คือ 1 0

0 2

⎡− ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

D

และเมทริกซผกผันของเมทริกซ P คือ 11 0

1 1−

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

P

(สามารถตรวจสอบความถูกตองไดวา 1 1− −= =PP P P I เปนจริง) ดังนั้น ผลเฉลยของระบบสมการเชิงอนุพันธในสมการที่ (3) จึงกลายเปน

1

22

01 0 1 0 (0)( )

1 1 1 1 (0)0

t

t

e yt

ye

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦y

( )1

21 1 2

(0)

(0) (0) (0)

t

t t

y e

y e y y e

−

−

⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥− + +⎢ ⎥⎣ ⎦

ตอบ


4.5 บทสรุปทายบท (Summary) ในบทนี้ เราไดทําความรูจักกับฟงกชันตางๆ ของเมทริกซจัตุรัส อันไดแก พหุนามของเมทริกซ ฟงกชันเลขชี้กําลังของเมทริกซ และการประยุกตใชงานฟงกชันของเมทริกซจัตุรัสกับระบบสมการเชิงอนุพันธ เปนตน โดยเราสามารถใชการแปลงแบบคลาย หรือภาวะคลายของเมทริกซจัตุรัส รวมถึงทฤษฎีบทเคยเลยฮามิลตันในการหาฟงกชันตางๆ ของเมทริกซจัตุรัสได


4.6 แบบฝกหัดทายบท (Exercises)

1. จงหาคาของฟงกชันของเมทริกซ 2 1

1 2

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A เมื่อกําหนดให 2( ) 4 3f x x x= − +

2. จงหาคาเจาะจงของฟงกชันของเมทริกซ 4 1

6 1

⎡ − ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

A เมื่อกําหนดให 3 2( ) 1f x x x x= + + + และจงแสดงใหเห็นวาคาเจาะจงของ ( )f A จะเทากับ ( )if λ เมื่อ iλ

เปนคาเจาะจงของเมทริกซ A

3. จงหาคาของฟงกชันของเมทริกซ 2 1

4 3

⎡ − ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

A เมื่อกําหนดให ( )4

xf x

x=+

4. จงคํานวณหาคาของพหุนามของเมทริกซ A โดยใชทฤษฏีบทเคยเลยฮามิลตัน

เมื่อ 5 4 3 2( ) 2 3p = − − + + −A A A A A A I และ 3 2

5 4

⎡ − ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

A

5. จงหาคาของ 5A ในเทอมของพหุนามที่มีอันดับต่ําที่สุดของเมทริกซ A เมื่อ

4 5 5

5 6 5

5 5 6

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

A

6. จงหาคาของ eA สําหรับเมทริกซตอไปนี้ 2 1 1

1 4 3

1 1 0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

A

จงแกสมการเมทริกซตอไปนี้

7. 21 4

5 32 5

⎡ − ⎤⎢ ⎥− + = ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

A A I

8. 36 14

7 15

⎡− ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

A


9. จงแกระบบสมการเชิงอนุพันธตอไปนี้

1 1 28 3y y y′ = − + และ 2 1 210 3y y y′ = − + เมื่อใหเงื่อนไข ณ เวลา 0t = คือ 1 1y = และ 2 1y −= 10. จงหาคาของ 5A โดยใชการแปลงแบบคลาย หรือภาวะคลายของเมทริกซ เมื่อกําหนดให

1 0 0

1 2 3

1 1 0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

A

Documents

Linear Algebra 4