Lineāras vienādojumu sistēmas

Sistēmas ar konstantiem koeficientiem

2

1

2221

1211 ,

,

, vai)(

f

ff

aa

aaA

y

xX

AXdt

dXtfAX

dt

dX

)(

)(

22221

11211

tfyaxay

tfyaxax

Lineāra nehomogēna 2 vienādojumu sistēma, ja 0f

Lineāra homogēna sistēma

yaxay

yaxax

2221

1211

(1)

(2)

AXdt

dX

Sistēmai

atrisinājumu meklē formā

2,)( RaaetX t

Ievietojot sistēmā, iegūstam vienādojumu noteikšanai:

0)det(

AE

AaaAaeae tt

(3)

(3) ir matricas A harakteristiskais vienādojums, jābūt

matricas A īpašvērtībām, bet a atbilstošajiem īpašvektoriem.

Praktiski 2 vienādojumu sistēmu gan homogēnu, gan nehomogēnu var risināt ar izslēgšanas metodi.

Piemērs.

yxy

yxx

25

2

Reducējam sistēmu par vienu otrās kārtas vienādojumu, izslēdzot y:

xxxxxxyxxyxx 12)(210)25(22

Iegūts vienādojums 012 xxx

Atrodam x(t):tt eCeCtx 4

23

1

212

)(

4,3012

Ievietojot sistēmas pirmajā vienādojumā, atrodam y(t):

tt eeCtxtxty 431 2

5))()((

2

1)(

Divi lineāri neatkarīgi sistēmas atrisinājumi ir, piemēram, vektori:

tt ee 43

5

2 ,

1

1

Sistēmas vispārīgais atrisinājums ir šo vektoru lineāra kombinācija ar patvaļīgiem koeficientiem. Risinot ar izslēgšanas metodi, iegūstam vispārīgo atrisinājumu.

x(t) y(t)

Trajektorijas (x,y) plaknē

2.piemērs.

yy

yxx

Atvasinot otro vienādojumu, nav iespējams izslēgt funkciju x, tāpēc šoreiz noteikti jāatvasina pirmais vienādojums un jāizslēdz y:

)()(

1012

02

)(

21

2,12

CtCetx

xxx

xxxyxyxx

t

No pirmā vienādojuma, ievietojot: teCty 1)(

Lineāri neatkarīgie atrisinājumu vektori:

tt et

e

1

,0

1

Plaknes lineāras sistēmas trajektoriju klasifikācija

Sistēma (2)

AXdt

dX

yaxay

yaxax

2221

1211

ir autonoma. Plaknē (x,y) izdarot lineāru transformāciju, kuras rezultātā koordinātu asis tiek vērstas matricas A īpašvektoru virzienos, sistēmu (2) iespējams reducēt iespējami vienkāršā formā.

vai

APYPYAPYYPPYX 1

Iegūtās lineārās sistēmas matrica ir līdzīga matricai A. Turpmāk pieņemsim 0det ASistēmai ir viens pats stacionārs punkts x=y=0.

2

1121 0

0 ,

APPRj1)

Šādās koordinātēs sistēma iegūst izskatu

,2

1

vv

uu

kur koordinātu asis ir vērstas matricas īpašvektoru virzienos.

Sistēmas trajektorijas ir taisnes u=0,v=0, bet pārējās atrodam no vienādojuma

1

2

1

2

Cuvu

v

du

dv

a) Ja 021 , sistēmas trajektorijas ir parabolu loki.

Šādu stacionāro punktu sauc par mezgla punktu.

yxy

yxx

5

3

4 ,208605 1

3 121

2

--

Īpašvektori:baaba

b

a

b

a3232

5- 1

3 1

baabab

a

b

a

4345- 1

3 1

Piemērs.

Piezīmes.

1) Kustības virzienu pa trajektorijām nosaka lauka vektoru virziens. Šo pašu virzienu var noteikt pēc īpašvērtību zīmēm: ja abas īpašvērtības ir negatīvas, visas trajektorijas, t pieaugot, tiecas uz stacionāro punktu, turpretī pozitīvām īpašvērtībām trajektorijas tiecas uz bezgalību.

tgandrīz visas trajektorijas tiecas pieskarties tam īpašvektoram, kurš atbilst pēc moduļa mazākajai īpašvērtībai.

2)

b) Ja 021 , trajektorijas ir hiperbolu loki.

Stacionāro punktu sauc par sedlu punktu.

Piemērs: skat. 4., 5., 6.slaidu

2) 21 a) Matrica var būt formāAPP 1

1

1

0

0

Sistēmaivv

uu

1

1

trajektorijas ir visi stari, kas iziet

no koordinātu sākuma punkta.

Stacionāro punktu sauc par dikritisku mezglu.

b) Ja

1

11

0

1

APP

matricai ir tikai viens īpašvektors. Sistēmas

vv

vuu

1

1

trajektorijas ir vērstas īpašvektora virzienā v=0, bet pārējās atrod, atrisinot vienādojumu

vvu

v

u

dv

duln

11

11

Trajektoriju izvietojumu skat. nākošā piemērā.

diff(x(t),t)=-x(t)+4*y(t)diff(y(t),t)=-x(t)-5*y(t)

321 Īpašvektors

1

2

Stacionāro punktu sauc par deģenerētu mezglu.

Kustība, t pieaugot, notiek virzienā uz stacionāro punktu.

3) Ja i 21

Koordinātu asis vēršot kompleksi saistīto īpašvektoru reālās un imaginārās daļas virzienā, sistēmu iespējams reducēt reālā kanoniskā formā

ivu

vuv

vuu

Pārejot uz polārajām koordinātēm

,sin

cos

rv

ru

iegūstam sistēmu izskatā

rr

Cer Tātad:

a) Ja ,0 stacionāro puntu sauc par fokusu.

diff(x(t),t)=-x(t)+13*y(t)diff(y(t),t)=-x(t)-5*y(t)

Piemērs.

i332,1

b) Ja =0, r=C, stacionāro punktu sauc par centru.

diff(x(t),t)=5*x(t)+13*y(t)diff(y(t),t)=-2*x(t)-5*y(t)

Piemērs.

i2,1

Ievērot: centra punkta gadījumā kustības virzienu pa trajektorijām īpašvērtības nenosaka. Piemērā: 0,00,0 yxyx

x aug, y dilst.

Plaknes lineāras autonomas sistēmas x‘=Ax stacionāro punktu tipi

Mezgls

Sedli

Dikritisks mezgls

Deģenerēts mezgls

Fokuss

Centrs0 , , 2121 Rj

0 , , 2121 Rj

21

21 1 īpašvektors

0 ,2,1 i

i2,1

Lineāras nehomogēnas sistēmas.

Ja , m ir naturāls vai 0, C ir kompleksa konstante, sistēmas partikulāro atrisinājumu var meklēt ar nenoteikto koeficientu metodi. Atrisinājuma komponentes ir formā:

Qm(t)et, ja nav matricas A īpašvērtība, kur Qm(t) ir

polinomi, kuru pakāpe nepārsniedz m;

Qm+k(t)et, ja sakrīt ar matricas A īpašvērtību ar kārtu k.

ntm Raeattf ,)(

)(tfAxdt

dx

Piemērs.

teyy

tyxx

121 Matricai ir divkārša reāla īpašvērtība

t

t

eCty

etCCtx

2hom

21hom

)(

)()(

0

0

1

1

0)( teetf t

Sistēmaiyy

tyxx

Partikulāro atrisinājumu meklējam izskatā

2,1,1,0 m

dctty

battx

)(

)(

1

1

Ievietojot sistēmas vienādojumos, dabū:

batc

tdctbata

Salīdzinot koeficientus pie vienādām t pakāpēm abu vienādojumu labajās un kreisajās pusēs, atrodam:

1)( ,1)(

1 ,1 ,1 ,0

11

ttytx

dbca

Sistēmaitexy

yxx

0 ,121 m

Partikulāro atrisinājumu meklējam formā

t

t

emltktty

ecbtattx

)()(

)()(2

2

22

mblka ,1 ,0 ,2

1Konstantes m,c paliek brīvas (kāpēc?)

1)(

12

1)()(

2

221

tteeCty

etetCCtx

tt

tt

Tātad var ņemt tt tetyet

tx )( ,2

)( 2

2

2

un sistēmas vispārīgais atrisinājums ir

Ja , Atrisinājuma komponentes ir

ja nav matricas īpašvērtības, Pm(t), Qm(t) ir

polinomi ar pakāpēm ne augstākām par m.

Ja ir matricas A īpašvērtības, polinomu pakāpe atrisinājumā var par 1 vienību palielināties, atrisinājuma komponentes ir meklējamas formā

. )sin)(cos)(( 11 ttQttPe mmt

)sin)(cos)(( ttQttPe mmt

RbRatbtaettf tm , ),sincos()(