OPERACIONA ISTRAŢIVANJA · 2020. 3. 19. · Sadrţaj Linearno programiranje -obnavljanje Geometrijska interpretacija - obnavljanje Algebarska interpretacija Simpleks metoda 2

Gordana Savic, [email protected]/15/2018

1

OPERACIONA ISTRAŢIVANJA

GORDANA SAVIĆ

UNIVERZITET U BEOGRADU, FAKULTET ORGANIZACIONIH NAUKA

LABORATORIJA ZA OPERACIONA ISTRAŢIVANJA ”JOVAN PETRIĆ”

CENTAR ZA MERENJE EFIKASNOSTI

Sadrţaj

Linearno programiranje -obnavljanje

Geometrijska interpretacija - obnavljanje

Algebarska interpretacija

Simpleks metoda

2

Simpleks metoda3

Simpleks metoda

Simpleks metoda je tehnika koja sistematizuje

postupak pretraţivanja baznih rešenja i nalaţenja

optimalnog rešenja zadatka LP.

Razvijena je 1947. godine od strane Dţordţa

Danciga (George Dantzig), ali je i danas široko

zastupljena i sa uspehom se primenjuje uz pomoć

računara.

4

Simpleks metoda – osnovna ideja

Pretraţivanje baznih rešenja tj. geometrijski

posmatrano pretraţivanje temena konveksnog

poliedra

5

Simpleks metoda

Osnovni koraci

1. Inicijalizacija: naći početno bazno dopustivo rešenja.

Ovo rešenje se smatra tekućim.

2. Test optimalnosti: da li je tekuće bazno rešenje

optimalno? Ako jeste, KRAJ. Ako nije 3.

3. Nalaţenje “boljeg” rešenja: naći susedno bazno

dopustivo rešenje za koje je vrednost funkcije cilja

veća i usvojiti ga kao tekuće rešenje. Vratiti se na

korak 2.

6

Simpleks metoda - geometrijska interpretacija

1. Inicijalizacija: generisati neko početno teme X0 dopustive

oblasti. Ovo teme se smatra tekućim, tj. k = 0.

2. Test optimalnosti: ako teme Xk nema boljih susednih

temena, ono je optimalno. Ako jeste, KRAJ. Ako nije 3.

3. Nalaženje “boljeg” temena: generisati susedno teme Xk +1za koje je vrednost funkcije cilja veća i usvojiti ga kao

tekuće. Vratiti se na korak 2.

7

Kanonski oblik problema8

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

1 20, 0,..., 0

n n

n n

m m mn n m

n

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

x x x

1 1 2 2max ( )

. .

n nf x c x c x c x

p o

Simetričan

oblik


11 1 12 2 1 1 1

21 1 22 2 2 2 2

1 1 2 2

1 20, 0,..., 0

n n n

n n n

m m mn n n m m

n

a x a x a x x b

a x a x a x x b

a x a x a x x b

x x x

1 1 2 2max ( )

. .

n nf x c x c x c x

p o

Pretpostavka:svi slobodni članovi bi, i=1,...,m su nenegativni;

Standardni

oblik


11 1 12 2 1 1 1

21 1 22 2 2 2 2

1 1 2 2

1 20, 0,..., 0

n n n

n n n

m m mn n n m m

n

a x a x a x x b

a x a x a x x b

a x a x a x x b

x x x

1 1 2 2max ( )

. .

n nf x c x c x c x

p o

Pretpostavka:svi slobodni članovi bi, i=1,...,m su nenegativni;

Kanonski

oblik


(max) Tc x

.

0

N B

p o

Ax IX b

x

0

N Bx x x

b

1 2, ,...,n n n mB x x x

Simpleks algoritam

Početni korak: Nalaţenje početnog baznog rešenja

Iterativno korak:

Test optimalnosti

Pronalaţenje boljeg susednog baznog rešenja

12

Kanonski oblik problema-značaj

Na osnovu kanonskog oblika problema LP se

direktno moţe dobiti početno bazno rešenje.

13

1 2 1 2, ,..., , ,...,B n n n m mx x x x b b b

0

N BX x x

b

1 2, ,..., 0,0,...,0N nx x x x

0 0( ) 0F f x

Početno bazo rešenje

Vrednost početnog

baznog rešenja

Početna vrednost

funkcije cilja

Nalaţenje početnog baznog rešenja

Primer14

1 2(max) ( ) 5 2

. .

f x x x

p o

1 6x

22 18x

1 23 2 24x x

1 20, 0x x

Nalaţenje početnog baznog rešenja15

1 2(max) ( ) 5 2

. .

f x x x

p o

1 3

2 4

1 2 5

1 5

6

2 18

3 2 24

0, ..., 0

x x

x x

x x x

x x

Kanonski oblik modela

Nalaţenje početnog baznog rešenja16

1 2(max) ( ) 5 2

. .

f x x x

p o

1 3

2 4

1 2 5

1 5

6

2 18

3 2 24

0, ..., 0

x x

x x

x x x

x x

0 3 4 5, , 6,18,24Bx x x x

0 1 2, 0,0Nx x x 0 0F

Iterativni korak

Test optimalnosti

Kanonski oblik problema u k-toj (k=0,1,2,...) iteraciji

17

1 1 2 2max ( )

. .

k k k k k k

n n kf x c x c x c x F

p o

11 1 12 2 1 1 1

21 1 22 2 2 2 2

1 1 2 2

k k k k k k k k

n n n

k k k k k k k k

n n n

k k k k k k k k

m m mn n n m m

a x a x a x x b

a x a x a x x b

a x a x a x x b

1 2, ,..., 0k k k

n mx x x

Iterativni korak

Test optimalnosti


koeficijenti kanonskog oblika, dobijeni nizom odgovarajućih transformacija

problema u prethodnih k iteracija, pri čemu su slobodni članovi bi≥0 za i=1,…,n.

18

max ( ). .

Tk k

N kf x c x F

p o

0, 0

k k k k

N B

k k

B N

A x x b

x x

1 2 1 2( , ,..., ), [ ] , ( , ,..., )k k k k k k k k k k

n ij m n mc c c c A a b b b b

1 2 1 2, ,..., , ,...,k k k k k k kB n n n m mx x x x b b b 1 2, ,..., 0,0,...,0k k k k

n nx x x x

Iterativni korak

Test optimalnosti


koeficijenti kanonskog oblika, dobijeni nizom odgovarajućih transformacija

problema u prethodnih k iteracija, pri čemu su slobodni članovi bi≥0 za i=1,…,n.

19

max ( ). .

Tk k

N kf x c x F

p o

0, 0

k k k k

N B

k k

B N

A x x b

x x

1 2 1 2( , ,..., ), [ ] , ( , ,..., )k k k k k k k k k k

n ij m n mc c c c A a b b b b

1 2 1 2, ,..., , ,...,k k k k k k kB n n n m mx x x x b b b 1 2, ,..., 0,0,...,0k k k k

n nx x x x

Bazno rešenje problema u k-toj (k=0,1,2,...) iteraciji (k-ta

baza)

Vrednost f-je cilja Fk

Proveriti da li je rešenje xk optimalno!!!

Iterativni korak

Test optimalnosti20

1 2 1 2, ,..., , ,...,k k k k k k kB n n n m mx x x x b b b 1 2, ,..., 0,0,...,0k k k kn nx x x x

1 2 1 2, ,..., , ,...,k k k k k k kn n n m mB x x x b b b

Ako bi u nekom dopustivom rešenju nebazna promenljiva xjk,

j{1,2,...,n}, dobila neku vrednost > 0, dok bi sve ostale

nebazne promenljive ostale jenake 0, nova vrednost funkcije

cilja bi bila Fk + cjk .

Ukoliko nebazna promenljiva xjk dobije vrednost veću od 0,

ona tada postaje bazna, a da bi sledeće rešenje ostalo

bazno, neka bazna promenljiva mora da izađe iz baze, tj. da

dobije vrednost 0.

Iterativni korak

Test optimalnosti21

Ako bi u nekom dopustivom rešenju nebazna promenljiva xjk,

j{1,2,...,n}, dobila neku vrednost > 0, dok bi sve ostale

nebazne promenljive ostale jenake 0, nova vrednost funkcije

cilja bi bila Fk + cjk .

Ukoliko nebazna promenljiva xjk dobije vrednost veću od 0,

ona tada postaje bazna, a da bi sledeće rešenje ostalo

bazno, neka bazna promenljiva mora da izađe iz baze, tj. da

dobije vrednost 0.

Iterativni korak

Test optimalnosti22

Iterativni korak

Test optimalnosti

Pošto se ove dve baze razlikuju tačno za jednu

promenljivu, ova dva rešenja su susedna dopustiva

bazna rešenja.

Ulazak promenljive xjk u bazu mogao da ima

sledeći uticaj na vrednost funkcije cilja:

ako je cjk > 0, vrednost funkcije cilja bi se povećala,

ako je cjk < 0, vrednost funkcije cilja bi se povećala,

ako je cjk = 0, vrednost funkcije cilja bi ostala ista.

23

Iterativni korak

Test optimalnosti

Kriterijum optimalnosti:

Ako je cjk≤0 za svako j = 1, 2, ..., n, tada je xk

optimalno rešenje problema, a Fk maksimalna

vrednost funkcije cilja.

xk je optimalno rešenje ako se nikakvim povećanjem vrednosti

nebaznih promenljivih ovog rešenja ne moţe povećati vrednost

funkcije cilja

tj. ako nijedno susedno bazno rešenje nije bolje od xk .

24

Iterativni korak

Test optimalnosti - primer25

1 2(max) ( ) 5 2

. .

f x x x

p o

1 3

2 4

1 2 5

1 5

6

2 18

3 2 24

0, ..., 0

x x

x x

x x x

x x

0 1 2 3 4 5, , , , 0,0,6,18,24x x x x x x

0 0

1 20, 0c c Rešenje nije optimalno

Iterativni korakNalaţenje boljeg susednog baznog dopustivog rešenja

Ako xk nije optimalno rešenje potrebno je odreditinovo bazno rešenje xk+1 koje je susedno u odnosu na

rešenje xk.

Potrebno je odrediti:

koja nebazna promenljiva xsk, s{1,2,...,n}, treba da

uđe u bazu,

koja bazna promenljiva xn+rk, r{1,2,...,m}, treba da

izađe iz baze.

26


Prilikom izbora promenljive koja će da uđe u bazu,

bira se ona nebazna promenljiva za koju se

pretpostavlja da će najviše popraviti vrednost

funkcije cilja.

Kriterijum ulaska promenljive u bazu

U bazu Bk+1 ulazi ona promenljiva xsk, s{1,2,...,n}

za čiji indek s vaţi

27

{1,2,..., }max { : 0}k k ks j j

j nc c c

Iterativni korakKriterijum za ulazak promenljive u bazu - primer

28

1 2(max) ( ) 5 2

. .

f x x x

p o

1 3

2 4

1 2 5

1 5

6

2 18

3 2 24

0, ..., 0

x x

x x

x x x

x x

0 1 2 3 4 5, , , , 0,0,6,18,24x x x x x x

0 0

1 2max{ , } max{5,2}c c x1 ulazi u bazu


Prilikom izbora promenljive koja će da izađe iz

baze, bira se ona koja će obezbediti da sledeće

bazno rešenje ostane dopustivo.

29

1 1 1

2 2 2

1, ,..., 0

k k k k

s s n

k k k k

s s n

k k k k

ms s n m m

k k k

s n n m

a x x b

a x x b

a x x b

x x x


Prilikom izbora promenljive koja će da izađe iz

baze, bira se ona koja će obezbediti da sledeće

bazno rešenje ostane dopustivo.

30

0, 1,2,..., , 0k k k k kn i i is s sx b a x i m x

0 / , 1,2,...,k k k k k ki is s s i isb a x x b a i m

min{ / }k k ks i isi

x b a


Kriterijum izlaska iz baze

Iz baze Bk izlazi ona promenljiva za izlazi ona

promenljiva xn+rk, r{1,2,...,n} za čiji indeks r vaţi

Nova baza i nova f-ja cilja

31

{1,2,..., }min : 0

kkkirisk ki m

rs is

bba

a a

1k k k k

s sF F c x 1 \k k k ks n rB B x x

Iterativni korakKriterijum za izlazak promenljive u bazu - primer

32

1 2(max) ( ) 5 2

. .

f x x x

p o

1 3

2 4

1 2 5

1 5

6

2 18

3 2 24

0, ..., 0

x x

x x

x x x

x x

0 1 2 3 4 5, , , , 0,0,6,18,24x x x x x x

x1 ulazi u bazu

x3 izlazi iz baze

3 1

4

5 1

1

6 0

18

24 3 0

0

x x

x

x x

x

1

1

1

6

8

0

x

x

x

1 min{6,8} 6x

Iterativni korakNalaţenje boljeg susednog baznog dopustivog rešenja - primer

33

1

1 2 3 4 5

1

, , , ,

6,0,0,18,6

x x x x x x

x

1

1 4 5

1

, ,

6,18,6

B

B

x x x x

x

1 5*6F

Iterativni korakNovi kanonski oblik

34

1 2(max) ( ) 5 2

. .

f x x x

p o

1 3

2 4

1 2 5

1 5

6

2 18

3 2 24

0, ..., 0

x x

x x

x x x

x x

1

1 4 5

1

, ,

6,18,6

B

B

x x x x

x

Model je u standardnom obliku

Model nije u kanonskom obliku

Iterativni korakNovi kanonski oblik –

Transformisanje standardnog u kanonski oblik35

1

kk r

k k s k

rs

bF F c

a

1

, {1,2,..., },

, za

kk kri isk

rsk

i k

r

k

rs

bb a za i m i r

ab

bi r

a

1

, {1,2,..., },

, za

kk kirij isk

rsk

ij k

ir

k

rs

aa a za i m i r

aa

ai r

a

Iterativni korakTransformisanje standardnog u kanonski oblik

(pivotiranje)

1. r-to ograničenje iz se deli sa arsk ;

2. Ako je aisk ≤0, tada se i-to ograničenje,

transformisano u koraku (1), mnoţi sa -aisk i

dodaje i-tom, i{1,2,...,n}, ir ;

3. Ako je csk0 tada se i-to ograničenje,

transformisano u koraku (1), mnoţi sa -csk, pa se

njegova leva strana dodaje funkciji cilja, dok se

njegova desna strana oduzima od ove funkcije.

36

Iterativni korakNovi kanonski oblik –

Transformisanje standardnog u kanonski oblik37

1

kk r

k k s k

rs

bF F c

a

1

, {1,2,..., },

, za

kk kri isk

rsk

i k

r

k

rs

bb a za i m i r

ab

bi r

a

1

, {1,2,..., },

, za

kk kirij isk

rsk

ij k

ir

k

rs

aa a za i m i r

aa

ai r

a

Iterativni korak

Novi kanonski oblik –

Kanonski oblik problema u k+1-toj (k=0,1,2,...)

iteraciji

Provera optimalnosti

38

1 1 1 1 1 1

1 1 2 2 1max ( )

. .

k k k k k k

n n kf x c x c x c x F

p o

1 1 1 1 1 1 1 1

11 1 12 2 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

21 1 22 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 2 2

k k k k k k k k

n n n

k k k k k k k k

n n n

k k k k k k k k

m m mn n n m m

a x a x a x x b

a x a x a x x b

a x a x a x x b

1 1 1

1 2, ,..., 0k k k

n mx x x

Iterativni korakNovi kanonski oblik k=1

39

2 3(max) ( ) 2 5 30

. .

f x x x

p o

1 3

2 4

2 3 5

1 5

6

2 18

2 3 6

0, ..., 0

x x

x x

x x x

x x

0

1 0c Rešenje nije optimalno


40

2 3(max) ( ) 2 5 30

. .

f x x x

p o

1 3

2 4

2 3 5

1 5

6

2 18

2 3 6

0, ..., 0

x x

x x

x x x

x x

2 min{9,3}x x2 ulazi u bazu

x5 izlazi iz baze

1

4 2 2

5 2 2

1 5

6

18 2 0 9

6 2 0 3

0, ..., 0

x

x x x

x x x

x x


41

3 5(max) ( ) 2 36

. .

f x x x

p o

1 3

3 4 5

2 3 5

1 5

6

3 12

3 12 3

2 2

0, ..., 0

x x

x x x

x x x

x x

2 1 2 4, , 6,12,3Bx x x x

2 3 5, 0,0Nx x x 2 36F

Rešenje je optimalno

(c3


42

2 3(max) ( ) 2 5 30

. .

f x x x

p o

1 3

2 4

2 3 5

1 5

6

2 18

2 3 6

0, ..., 0

x x

x x

x x x

x x

2 min{9,3}x x2 ulazi u bazu

x5 izlazi iz baze

1

4 2 2

5 2 2

1 5

6

18 2 0 9

6 2 0 3

0, ..., 0

x

x x x

x x x

x x

Simpleks metoda - tabelarni oblik43

Baza (xb) KSČ(b) X1 x2 ... xn xn+1 xn+2 ... xn+m

xn+1k b1

k a11k a12

k ... a1nk 1 0 ... 0

xn+2k b2

k a21k a22

k ... a2nk 0 1 ... 0

...

...

...

xn+mk bm

k

am1k am1

k ... amnk 0 0 1

- f -f(x) c1k c2

k ... c1k 0 0 ... 0

1

kx 2kx knx 1k

nx 2k

nx k

n mx 1k

nx 1kb 11ka 12ka 1k

na 2k

nx 2kb 21

ka 22ka 2k

nak

n mx k

mb 1k

ma 2k

mak

mna kF1kc 2kc knc

Simpleks metoda - tabelarni oblik

Zadatak na tabli!!!

44

Pojmovi

Konveksan skup, konveksna kombinacija, ekstremna tačka

Dopustiva tačka

Dopustiva oblast (ograničena, neograničena, prazna )

Opšti, standardni i simetrični oblik LP

Dopustivo teme i rešenje LP

Degenerisno teme i rešenje LP

Nedopustivo teme i rešenje LP

Bazno rešenje LP

Bazne i nebazne promenljive (nezavisne i zavisne)

Kanonski oblik LP

Bazno dopustivo rešenje kanonskog oblika

Simpleks metoda

45

Pojmovi

Kriterijum ulaska promenljive u bazu

Kriterijum izlaska promenljive u bazu

Novi kanonski oblik (pivot transformacija)

46

Rešenje LP

Optimalno rešenje postoji ako je dopustivi skup

konveksan

Konveksan skup ima bar jedno teme

Optimalno rešenje se nalazi u temenu ili na ivici

dopustive oblasti

Teme prestavlja optimalno rešenje ako ne potoji

bolje susedno teme.

47

Rešenje LP

Rešenje je jedinstveno (singularno) ako se gornja (donja)

potporna prava i dopustiva oblast seku u jednom temenu

odnosno f-ja cilja postiţe najbolju vrednost u jednom temenu

Rešenje je višestruko (nesingularno) ako f-ja cilja postiţe

optimalnu i jednaku vrednost u više temena. Optimalno rešenje

predstavlja njihovu konveksnu kombinaciju.

Ako je skup neograničen odozgo, optimalno rešenje ne postoji

ako je i f-ja cilja neograničena odozgo

Ako je dopustivi skup prazan ne postoji optimalno rešenje.

48

Rešenje LP

Standardni oblik LP – sva ograničenja su jednačine.

Bazno rešenje - Svako rešenje zadatog sistema jednačina za koje

nezavisne promenljive imaju vrednost 0.

Dopustivo bazno rešenje- bazno rešenje u kom su vrednosti promenljivih

veće ili jednake 0.

Kanoski oblik – specijalni oblik standardnog problema u kome su desne

strane ograničenja nenegativne i u svakom ograničenju postoji bar jedna

promenljiva sa keoficijentom jedan i ne pojavljuje se nigde više (postoji

jedinična dijagonalna matrica baze).

Značaj kanonskog oblika: Dopustivo bazno rešenje se moţe pročitati

direktno (nezavisne promenljive su jednake 0, a zavisne su jednake desnoj

strani ograničenja).

49

Rešenje LP

Kriterijum ulaska promenljive u bazu (naveći jedinični priraštaj)

Kriterijum izlaska promenljive iz baze (najmanji količnik b/a)

50

Pitanja

1. Osnovni koraci pri formulisanju LP?

2. Opšti oblik LP modela?

3. Osobine promenljivih u zadacima LP?

4. Šta je konveksan skup?

5. Šta je konveksna kombinacija?

6. Šta je dopustivi skup?

7. Kada je rešenje dopustivo?

51

Pitanja

8. Gde se nalazi optimalno rešenje u dopustivom

skupu?

9. Kada postoji optimalno rešenje?

10. Kada je optimalno rešenje jedinstveno?

11. Kada je optimalno rešenje višestruko?

12. Kada je optimalno rešenje neograničeno?

13. Kada je optimalno rešenje neograničeno i

višestruko?

14. Kada je optimalno rešenje nedopustivo?

52

Pitanja

Odnos između geometrijske i algebarske

interpretacije rešenja (dopustivo i nedopustivo teme)?


interpretacije rešenja (degenerisano teme)?

Egzistencija optimalnih rešenja i temena?


interpretacije rešenja (jednistveno i višestruko

optimalno rešenje)?

Uslov optimalnosti temena dopustive oblasti ?

53

Pitanja

Standardni oblik LP?

Simetrični oblik LP?

Bazno dopustivo rešenje standardnog LP?

Kanonski oblik problema ?

Bazno dopustivo rešenje kanonskog LP?

Osnovna ideja Simpleks metode?

Osnovni koraci Simpleks metode?

54

Pitanja

Kriterijum optimalnosti?

Kriterijum ulaska promenljive u bazu?

Kriterijum izlaska promenljive iz baze?

Pivot transofrmacija (dobijanje novog kanosnog

oblika)?

55

56

Hvala na pažnji

Documents

OPERACIONA ISTRAŢIVANJA · 2020. 3. 19. · Sadrţaj Linearno programiranje -obnavljanje Geometrijska interpretacija - obnavljanje Algebarska interpretacija Simpleks metoda 2