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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTÀ DI SCIENZE DELLA FORMAZIONE

_____________________________________________ Corso di Laurea in Scienze della Formazione Primaria

Indirizzo scuola primaria

“L’INSEGNAMENTO/APPRENDIMENTO DEI NUMERI RAZIONALI NELLA SCUOLA

PRIMARIA: ALCUNE CONSIDERAZIONI SPERIMENTALI”

Tesi di laurea di : Docente relatore: Alessia Amato Prof. Filippo Spagnolo (matricola n°0457467)

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Anno accademico 2007-2008  

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INDICE

INTRODUZIONE pag. 1 CAP. 1 I Numeri Razionali Q pag. 3 1.1 Alcuni modi di intendere le frazioni pag. 7 1.2 I Numeri Decimali pag. 10 1.3 I Numeri Decimali Periodici pag. 12 1.4 Frazione generatrice di un Numero Decimale pag. 13

CAP. 2 I problemi sull’insegnamento/apprendimento delle Frazioni pag. 14 2.1 Errori tipici nell’apprendimento delle Frazioni pag. 15 2.2 Il Contratto Didattico pag. 16 2.3 Conflitti e Misconcezioni pag. 17 CAP. 3 La mia ricerca … pag. 18 3.1 La domanda di ricerca pag. 19 3.2 La metodologia della ricerca pag. 19 3.3 La scelta del campione pag. 19 3.4 Gli strumenti impiegati pag. 20 3.5 Analisi a priori pag. 20 3.6 I Questionari pag. 21 Analisi a priori del questionario pag. 29 3.7 I Grafi pag. 36 3.8 Ipotesi di lavoro pag. 69 CAP. 4 Conclusioni e problemi aperti pag. 70 RINGRAZIAMENTI pag.73 BIBLIOGRAFIA/SITOGRAFIA pag.74 ALLEGATI pag.75

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INTRODUZIONE

 

Oggetto di studio di questo mio lavoro sono le difficoltà nell’apprendimento/ insegnamento delle frazioni e dei numeri decimali. Il mio interesse per lo studio di questo tema nasce da un’esigenza personale o per meglio dire dalla difficoltà che ho sempre avuto a scuola nell’eseguire esercizi e nel risolvere problemi sulle frazioni e sui numeri decimali. Il processo di insegnamento-apprendimento delle frazioni è certamente uno dei più studiati da quando esiste la ricerca in Didattica della Matematica, forse perché (insieme al tema, ad esso connesso, dei numeri “decimali”) costituisce uno dei più evidenti insuccessi della scuola, in tutti i Paesi del mondo. Il tema si presta bene a mettere in evidenza le peculiarità specifiche della trasposizione didattica. La trasposizione didattica, cioè il passaggio dal Sapere (accademico) al Sapere da insegnare, è troppo spesso banalizzata, pensandola come una semplice azione di semplificazione o di divulgazione; di fatto consta, al contrario, di un importante atto creativo da parte dell’insegnante che deve trasformare il Sapere. Proprio le frazioni rappresentano un esempio splendido in tal senso. Si rende così evidentemente necessaria un’azione forte di trasposizione didattica che permetta di trasporre Qa (insieme dei numeri razionali assoluti) in qualche cosa che sia accessibile all’allievo di primaria e poi di secondaria. Per la mia ricerca-sperimentazione ho seguito, tra gli altri, il testo della Prof.ssa Martha Isabel Fandiňo Pinilla, “Le frazioni, aspetti concettuali e didattici”. Qui l’autrice, dopo aver analizzato ricerche personali e di altri ricercatori sparsi in tutto il mondo, fa un elenco delle possibili difficoltà dell’apprendimento delle frazioni. Un punto che mi ha particolarmente colpito è stato quello della definizione che di solito si dà di frazione. Quel che spesso sorprende molto l’insegnante che non domina troppo la parte matematica (frazioni come rappresentazioni semiotiche dei numeri razionali in un registro opportuno), è che l’usuale definizione di frazione che viene proposta nei sussidiari e nei libri di testo, non è minimamente adeguata a fungere da supporto concettuale alle successive interpretazioni che della frazione vengono offerte (implicitamente) agli studenti e poi richieste (esplicitamente). La definizione data è: “Si ha una unità-tutto e la si divide in parti uguali; ciascuna di queste parti è una unità frazionaria. Se

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di queste unità frazionarie se ne prendono alcune, allora la parte presa dell’unità-tutto si chiama frazione. Ma l’aggettivo uguale, che sembra essere il cardine di tale definizione, dà luogo ad equivoci e malintesi, dunque a misconcezioni, più che a certezze. Un’analisi molto critica ed articolata dei lavori di ricerca sui processi di insegnamento-apprendimento delle frazioni, rivela che il rimedio all’evidente insuccesso planetario della didattica delle frazioni non si risolve banalmente modificando il loro insegnamento in termini matematici, ma affrontando la questione attraverso una minuziosa verifica degli errori tipici degli studenti in termini di didattica della matematica. In questo mio lavoro affronterò nel Cap.1 una introduzione dei principali concetti matematici che coinvolgono i numeri razionali (e quindi le frazioni, i numeri decimali, i numeri decimali periodici). Nel Cap.2 tratterò lo studio delle frazioni alla luce della didattica. Centrale, in questo capitolo, è il processo di apprendimento/insegnamento delle frazioni: vari modi di intendere le frazioni, difficoltà nell’apprendimento delle frazioni, la didattica della matematica. Il Cap.3, infine, farà riferimento alla mia sperimentazione. Un lavoro durato quasi un anno e sperimentato con gli insegnanti di scuola superiore, con i futuri insegnanti di scuola primaria e con gli alunni di una classe 5° primaria, a Palermo.

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CAP. 1 I NUMERI RAZIONALI Q

CHE COSA E’ LA FRAZIONE? Come è noto, i numeri naturali nascono dall’esigenza di contare; tuttavia essi si rivelano insufficienti per risolvere una grande varietà di questioni, per le quali si deve ricorrere alle frazioni. Le frazioni sono degli enti, costituiti da due numeri naturali (considerati in un dato ordine e di cui il secondo diverso da zero), che fanno passare da una grandezza (tempo, segmento, tavoletta di cioccolato, ecc.) ad una grandezza dello stesso tipo. Il secondo numero indica in quante parti “uguali” bisogna dividere la grandezza, il primo indica quante di queste parti bisogna prendere. Dei due numeri che costituiscono una frazione, il primo si chiama numeratore, il secondo denominatore ed entrambi prendono il nome di termini della frazione. Frazioni proprie, improprie ed apparenti Una frazione si dice propria se il numeratore è minore del denominatore. Es. Una frazione si dice apparente se il numeratore è multiplo del denominatore. Es.  Una frazione si dice impropria se il suo numeratore è maggiore, ma non multiplo del denominatore. Es.   Proprietà fondamentali L’equivalenza Se si moltiplicano, o se si dividono se è possibile, i due termini di una frazione per uno stesso numero diverso da zero, si ottiene una frazione equivalente alla data. Es. …

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Ne consegue che le frazioni equivalenti a sono illimitate; l’insieme di esse

si dice classe di equivalenza , e tutte rappresentano uno stesso numero che si dice numero razionale. Viceversa, data una qualunque delle frazioni dell’insieme formato dalle frazioni precedenti, ci si può ricondurre alla frazione .

Ad esempio dalla frazione , dividendo i due termini per il loro divisore comune 4, si ha: 8/12 = 8:4 = 2 . 12:4 3 La semplificazione Per semplificare una frazione basta dividere i suoi due termini per uno stesso loro divisore comune. Inoltre, una frazione è ridotta ai minimi termini quando il numeratore ed il denominatore sono primi fra loro. Es. dividendo i suoi due termini per 7, che è un loro divisore comune, avremo: 35/63 = 35:7 = 5/9 63:7 Si dice in tal caso che la frazione è stata ottenuta semplificando la

frazione .

Inoltre, la frazione ottenuta è irriducibile perché i due termini 5 e 9 non hanno alcun divisore comune, cioè sono primi fra loro, quindi la frazione è ridotta ai minimi termini. Confronto di due frazioni Confrontare fra loro due frazioni vuol dire riconoscere se una di esse è uguale, maggiore o minore dell’altra. Consideriamo i seguenti casi: 1. Le due frazioni sono equivalenti. Consideriamo ad es. le due frazioni: e

che sono equivalenti perché la seconda può ottenersi dalla prima moltiplicando i suoi termini per 3.

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Esse rappresentano la stessa frazione se le si riduce ai minimi termini: 6/8 = 6:2 = 3/4 e 18/24 = 18:6 = 3/4

8:2 24:6 Dunque, due frazioni sono uguali se ridotte ai minimi termini hanno rispettivamente uguali i numeratori ed i denominatori. 2. Le due frazioni hanno denominatori diversi. Supponiamo di avere le due frazioni: e

è maggiore di Per eseguire facilmente il loro confronto basterà ridurle al minimo comun denominatore e si ha: 3/4 = 3x2 = 6/8 1/2 = 1x4 = 4/8 4x2 2x4 Quindi, > cioè > . Per stabilire quale di due frazioni aventi denominatori disuguali è la maggiore, basta ridurle allo stesso denominatore e vedere quale delle due ha il numeratore maggiore. 3. Le due frazioni hanno lo stesso denominatore. Due frazioni che hanno lo stesso denominatore e numeratori diversi, sono disuguali; la maggiore è quella che ha il numeratore maggiore. Es. < . Operazioni con i numeri razionali Addizione La somma di più frazioni aventi lo stesso denominatore è la frazione che ha per numeratore la somma dei numeratori e per denominatore il denominatore comune. Es.

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Per addizionare più frazioni aventi denominatori diversi, basta ridurle al minimo comun denominatore. La frazione che ha per denominatore quello comune alle frazioni così ridotte, e per numeratore la somma dei loro numeratori, è la somma delle date frazioni. Es.  si trova il m.c.m. = 36 si riducono le frazioni al minimo comun denominatore e si ha: 7/18 = 7x2 = 14/36 5/12 = 5x3 = 15/36 18x2 12x3 Quindi,

Moltiplicazione Il prodotto di due frazioni è la frazione avente per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori delle date frazioni. Es. = = Sottrazione La differenza di due frazioni di uguale denominatore è quella terza frazione che ha per denominatore lo stesso denominatore e per numeratore la differenza dei numeratori delle date frazioni. Es. = 7-2 =   9 Per denominatori differenti si segue lo stesso procedimento dell’addizione tra frazioni con denominatore diverso. Divisione Per dividere una frazione per un’altra, basta moltiplicare la prima per l’inverso della seconda.

Es. = 7x2 = 9x5

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1.1 ALCUNI MODI DI INTENDERE IL CONCETTO DI FRAZIONE

Il termine “frazione” nasconde varie accezioni e questo genera confusione perché si pretende di dare una“definizione” iniziale definitiva di questa parola ma questa scelta non ha poi la forza di soddisfare tutti i significati che il termine assume. ESEMPIO DI FRAZIONE COME PARTE DI UNO-TUTTO Dividiamo una torta in 4 parti e ne coloriamo 3 parti la frazione corrispondente è . Si ha una unità-tutto e la si divide in parti “uguali”; ciascuna di queste parti è una unità frazionaria; per es., se l’unità-tutto è stata divisa in 4 unità frazionarie, allora ciascuna di esse si chiama “un quarto” e si scrive . Se di queste unità frazionarie se ne prendono alcune, allora la parte presa dell’unità-tutto si chiama frazione. Questo uno-tutto a volte è continuo (una torta, una pizza, la superficie di una figura) ed a volte è discreto (un insieme di palline o di persone); si chiede di dividere questa unità in parti “uguali”, aggettivo non sempre ben definito a scuola, e poi ci si trova di fronte a situazioni imbarazzanti, continue, come

o discrete, come trovare i di 12 persone. Offrire ad uno studente modelli concreti, pretendendo che egli ragioni in modo astratto, indipendente dal modello proposto, è una richiesta sicuramente destinata all’insuccesso.

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ESEMPIO DI FRAZIONE COME OPERATORE Molto spesso la frazione è considerata un operatore moltiplicativo, anzi questo è forse uno dei suoi significati più usati nella scuola. Per es. Trovare i di una raccolta di 20 pere… significa operare

(20:5)x4 quindi i di 20= 16

La frazione come operatore non è la frazione per come si è intesa prima (cioè come parte/tutto). La frazione come operatore agisce sui numeri puri piuttosto che sulle raccolte o sugli oggetti; è un nuovo modo di operare che combina la divisione e la moltiplicazione. Un punto di forza di questo tipo di approccio è quello di schematizzare l’operazione e quindi renderla più semplice agli occhi dei bambini. ESEMPIO DI FRAZIONE COME PUNTO DI UNA RETTA ORIENTATA Quando scriviamo , non stiamo valutando il fatto che se prendiamo

della stessa unità – tutto otteniamo meno che se ne prendiamo , ma stiamo invece direttamente trattando le frazioni come numeri razionali. Se vogliamo disporli entrambi sulla retta numerica, sappiamo che verrà

prima di .

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Per disporre bene i punti sulla semiretta si possono trasformare le due frazioni in altre equivalenti, con lo stesso denominatore: . Tutto risulta così più evidente.

Questo tipo di approccio può essere utile per far comprendere,visivamente, agli allievi l’ordine tra frazioni, cioè, che tra un punto e un altro della retta esistono infiniti numeri che sono le immagini di altrettanti numeri interi e frazionari. 0 1 2

1.2 I NUMERI DECIMALI

I numeri razionali si possono esprimere come decimali, in questo paragrafo faremo vedere come l'approccio al concetto di numero decimale nella maggior parte dei libri di testo in uso nella scuola elementare italiana è sostanzialmente sganciato da significative situazioni problematiche di applicazione. Si parla di unità, quasi sempre rappresentata da una torta o da un quadrato, che divisa in dieci parti uguali dà luogo ai decimi, etc... La virgola è immediatamente introdotta per separare le unità dai decimi. parte intera virgola parte decimale 15 , 25 La parte prima della virgola costituisce la parte intera; mentre la parte dopo la virgola è detta parte decimale. Un numero si dice decimale se contiene una virgola. I numeri senza virgola sono detti numeri interi. La parte decimale ha dei nomi particolari. parte intera virgola parte decimale Decimi centesimi millesimi 15 , 2 5 0

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La prima cifra dopo la virgola indica i decimi, cioè la decima parte dell'unità; nel nostro caso abbiamo 2 decimi. La seconda cifra dopo la virgola indica i centesimi, cioè la centesima parte di una unità; nel nostro caso abbiamo 5 centesimi. La terza cifra dopo la virgola indica i millesimi, cioè la millesima parte dell'unità; nel nostro caso abbiamo 0 millesimi. FRAZIONI DECIMALI Si dice frazione decimale ogni frazione avente per denominatore una potenza del 10. … Ogni frazione decimale si può porre sotto forma di numero decimale, scrivendo il solo numeratore e separando in esso con una virgola, partendo da destra verso sinistra, tante cifre decimali quanti sono gli zeri del denominatore.

… Un numero decimale è uguale alla frazione avente per numeratore il numero intero ottenuto sopprimendo in esso la virgola, e per denominatore la cifra 1 seguita da tanti zeri quante sono le cifre decimali del numero decimale considerato.

… Frazioni decimali danno origine a numeri decimali finiti; viceversa un numero decimale finito ammette una frazione generatrice decimale. In questo caso, dati due numeri qualsiasi a e b, eseguendone la divisione nell’ordine dato si avrà, dopo aver applicato un certo numero di volte l’algoritmo di divisione, resto zero, quindi: q · b = a essendo il resto pari a 0 Esempio: 6 : 2 = 3 resto 0, quindi 3 · 2 = 6 Esempio: 12 : 5 = 2,4 resto 0, quindi 2,4 · 5 = 12,0 Frazioni non decimali danno origine a numeri decimali illimitati periodici.

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1.3 I NUMERI DECIMALI PERIODICI Un numero decimale periodico è un numero in cui una parte della sua parte decimale si ripete indefinitamente. Ogni numero di questo tipo è razionale e può essere rappresentato mediante una frazione. Il numero periodico, generalmente, presenta tre elementi:

• la parte intera, composta dalle cifre poste prima della virgola; • il periodo, che è composto da una o più cifre che si ripetono

all'infinito dopo la virgola; • l'antiperiodo, la parte, talvolta assente, composta da una o più cifre

poste tra la virgola e il periodo. Un esempio di numero periodico è:

, in cui 8 è la parte intera, 5 il periodo e 43 l'antiperiodo. Dato che il numero è infinito esistono due convenzioni per scriverlo in forma compatta. Prendendo l'esempio del numero precedente è possibile scrivere oppure I numeri decimali periodici si dividono in:

• semplici se subito dopo la virgola è presente il periodo • misti se dopo la virgola è presente l'antiperiodo

Il periodo può essere composto da più cifre, per esempio: che si rappresenta con .

1.4 FRAZIONE GENERATRICE DI UN NUMERO DECIMALE Ogni numero periodico ha la propria frazione generatrice, per calcolarla occorre:

1. scrivere il numero, senza virgola e senza il periodo:

2. sottrarre dal numero tutto ciò che precede il periodo:

3. scrivere, sotto la barra della divisione, un 9 per ogni cifra del periodo ed uno 0 per ogni eventuale cifra dell'antiperiodo:

Lo stesso procedimento per il numero periodico è:

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E per il numero periodico è: Eseguendo la divisione tra numeratore e denominatore di una qualsiasi frazione, non apparente (nel qual caso si ottiene un numero naturale) e ridotta ai minimi termini, si possono ottenere numeri decimali finiti o illimitati a seconda dei casi.

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CAP. 2 I PROBLEMI SULL’INSEGNAMENTO DELLE FRAZIONI

Alcuni insegnanti mostrano di ignorare il fatto che vi è una grande differenza tra frazione e numero razionale. A che cosa serve costruire Qa partendo dalle coppie ordinate di NxN+ lo sanno in pochi. Il fatto che un numero razionale assoluto è una classe che contiene infinite coppie ordinate tra loro equivalenti di naturali (il secondo dei quali non nullo) risulta non a tutti chiaro. Solo pochissimi insegnanti sanno come stanno le cose e tendono a volte a confondere sé stessi e gli studenti, per esempio affermando che è una frazione mentre 0,(6) (periodico) è un numero razionale. In realtà, si tratta di due rappresentazioni semiotiche dello stesso oggetto; questa confusione capita spesso in Matematica. Un altro agguato sta nel tentativo di trascinare in Qa (o nel mondo delle frazioni) quel che si è appreso in N, per esempio l’idea di successivo. Se è vero che, in N, ogni numero ha un successivo, questo non è più vero né tra le frazioni né tra i razionali; per esempio, è falso pensare che il successivo di sia , come molti credono, perché fra queste due frazioni se ne trovano infinite altre; così, è falso pensare che il successivo di 0,5 sia 0,6 per lo stesso motivo. La conoscenza acquisita in un campo che si tenta ostinatamente di “trascinare” in un suo ampiamento costituisce di norma un “ostacolo”, nel senso di G. Brousseau. Altro ostacolo cognitivo è costituito dai numeri razionali periodici, che non hanno analogo in N e che includono in sé non solo il concetto di infinito, ma addirittura di infinito attuale, il che crea certo non solo ostacoli didattici, ma anche epistemologici ed ontogenetici. Il che spiega l’impossibilità, da parte di studenti anche maturi, di accettare il fatto che 0,3(9) non sia altro che un modo di scrivere 0,4 cioè che 0,3(9) = 0,4. Questo fatto stupisce di solito gli studenti (e non solo) perché molti si aspettano che 0,3(9)<0,4.  

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2.1 ERRORI TIPICI NELL’APPRENDIMENTO DELLE FRAZIONI

L’attuale ricerca in didattica disciplinare sembra tutta tesa ad accentrare l'attenzione sul fenomeno dell'apprendimento, ma da un punto di vista fondazionale e comunque non accettando un unico modello di teoria dell'apprendimento (anche se la psicologia cognitiva in questo momento sembra la più autorevole candidata al ruolo di organizzatrice fondazionale per molte esperienze di ricerca). Analizzerò, qui, alcune tra le problematiche che sembrano emergere con più forza negli ultimi anni nella scuola, che si sono consolidate come elementi di ricerca in didattica della matematica, e che mi sembrano fornire appigli solidi e significativi per una possibile generalizzazione. Il seguente schema, da me realizzato, mette ben in evidenza le difficoltà ad oggi testate:

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2.2 IL CONTRATTO DIDATTICO Fin dagli anni ’70 fece l’ingresso nel mondo della ricerca in Didattica della matematica l’idea di contratto didattico, lanciata da Guy Brousseau (1986), che si rilevò subito fruttifera e che venne definitivamente sancita dalle sue ricerche dei primi anni ’80. Il primo tentativo di “definizione” del contratto didattico è il seguente: «In una situazione d’insegnamento, preparata e realizzata da un insegnante, l’allievo ha generalmente come compito di risolvere un problema (matematico) che gli è presentato, ma l’accesso a questo compito si fa attraverso un’interpretazione delle domande poste, delle informazioni fornite, degli obblighi imposti che sono costanti del modo di insegnare del maestro. Queste abitudini (specifiche) del maestro attese dall’allievo ed i comportamenti dell’allievo attesi dal docente costituiscono il contratto didattico». (Brousseau, 1986) Spesso queste "attese" non sono dovute ad accordi espliciti, imposti dalla scuola o dagli insegnanti o concordati con gli allievi, ma alla concezione della scuola, della matematica, alla ripetizione di modalità. Queste supposte attese sono create sulla base delle convinzioni che lo studente si è fatto nel corso del tempo sull’insegnante, su sé stesso, sui loro rispettivi ruoli sociali, sulla scuola, sulla valutazione, sulle norme che, implicitamente, crede di aver dedotto dalla vita di aula. Molto di quel che accade in aula, infatti, è condizionato, regolato, deciso dal contratto didattico, anche per quanto concerne le frazioni.

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2.3 CONFLITTI E MISCONCEZIONI Un altro argomento di studio in didattica della matematica che sta emergendo con estrema forza e grande rilievo riguarda i conflitti cognitivi. Si tratta di questo: lo studente può nel tempo aver assunto un concetto ed essersene fatto un'immagine; questa immagine può essere stata rinforzata nel tempo da prove, esperienze ripetute. Ma può capitare che tale immagine si rilevi inadeguata, prima o poi, rispetto ad un’altra dello stesso concetto, per esempio proposta dall’insegnante stesso o da altri, e non attesa, in contrasto cioè con la precedente. Si crea così conflitto tra la precedente immagine, che lo studente credeva definitiva, relativamente a quel concetto, e la nuova; ciò accade specialmente quando la nuova immagine amplia i limiti di applicabilità del concetto, o ne dà una versione più comprensiva. Legata alle idee di “immagine di un concetto” e “conflitto”, c’è un’importante questione che riguarda la misconcezione. Una misconcezione è un concetto errato e dunque costituisce genericamente un evento da evitare; essa però non va vista sempre come una situazione del tutto o certamente negativa: non è escluso che, per poter raggiungere la costruzione di un concetto, si renda necessario passare attraverso una misconcezione momentanea, ma in corso di sistemazione. Si può notare come, almeno in taluni casi, alcune immagini possono essere delle vere e proprie misconcezioni, cioè interpretazioni errate delle informazioni ricevute. Qui si presenta la vasta ed interessante problematica del curricolo nascosto. Lo studente rivela le proprie misconcezioni quando applica correttamente regole scorrette. Spesso, all’origine di questo fatto c’è una mancata comprensione od un’errata interpretazione. Se l’insegnante non si rende conto di ciò, le sue sollecitazioni cadono a vuoto perché lo studente ha già incluso nel proprio curricolo quelle regole che ritiene corrette e che, in taluni casi, hanno funzionato.

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CAP. 3 LA MIA RICERCA … Oggetto di studio di questo mio lavoro sono le difficoltà nell’apprendimento/ insegnamento delle frazioni e dei numeri decimali. Il mio interesse per lo studio di questo tema nasce da un’esigenza personale o per meglio dire dalle difficoltà che ho sempre avuto a scuola nell’eseguire esercizi e nel risolvere problemi sulle frazioni e sui numeri decimali. Per la mia ricerca-sperimentazione ho seguito il testo della Prof.ssa Martha Isabel Fandiňo Pinilla, “Le frazioni, aspetti concettuali e didattici”. Qui l’autrice, dopo varie ricerche, fa un elenco delle possibili difficoltà nell’apprendimento delle frazioni. Un punto che mi ha particolarmente colpito è stato quello della definizione che di solito si dà di frazione.

Quel che spesso sorprende molto l’insegnante che non domina troppo la parte matematica (frazioni come rappresentazioni semiotiche dei numeri razionali in un registro opportuno), è che l’usuale definizione di frazione che viene proposta nei sussidiari e nei libri di testo, non è minimamente adeguata a fungere da supporto concettuale alle successive interpretazioni che della frazione vengono offerte (implicitamente) agli studenti e poi richieste (esplicitamente). La definizione data è: “Si ha una unità-tutto e la si divide in parti uguali; ciascuna di queste parti è una unità frazionaria. Se di queste unità frazionarie se ne prendono alcune, allora la parte presa dell’unità-tutto si chiama frazione”. Ma l’aggettivo uguale, che sembra essere il cardine di tale definizione, dà luogo ad equivoci e malintesi, dunque a misconcezioni, più che a certezze. Un’analisi molto critica ed articolata dei lavori di ricerca sui processi di insegnamento-apprendimento delle frazioni, rivela che il rimedio all’evidente insuccesso planetario della didattica delle frazioni non si risolve banalmente modificando il loro insegnamento in termini matematici, ma affrontando la questione attraverso una minuziosa verifica degli errori tipici degli studenti in termini di didattica della matematica.

3.1LA DOMANDA DI RICERCA Il presente lavoro ha l’obiettivo di indagare quali sono le concezioni spontanee e le misconcezioni riguardo le frazioni e i numeri decimali.

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3.2LA METODOLOGIA DELLA RICERCA Inizialmente in classe ho condotto delle lezioni frontali per valutare la preparazione degli allievi e capire quale fosse la loro concezione di frazione e numero decimale. Successivamente ho somministrato un questionario, da me ideato, contenente vari esercizi e problemi aperti. Lo stesso questionario è stato somministrato agli insegnanti di Scuola Superiore e anche ai futuri insegnanti di Scienze della Formazione Primaria (N.B. il questionario che ho dato agli alunni di Scuola Primaria è stato modificato in quanto non avevano ancora trattato alcuni argomenti).

3.3LA SCELTA DEL CAMPIONE L’indagine è stata rivolta a: * 44 insegnanti durante il corso della SISSIS di Palermo abilitante della classe 47 (Matematica nelle scuole secondarie superiori), 48 (Matematica Applicata nelle scuole secondarie superiori). Il corso, annuale, era rivolto a futuri insegnanti di tutta la regione Sicilia che per effetto della legge 143 seguivano il corso annuale invece di biennale. * 73 futuri insegnanti del corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, dell’Università di Palermo del secondo anno accademico 2007/2008. * 59 alunni delle classi 5° di Scuola Primaria della Scuola “F. RACITI” del quartiere Borgonuovo di Palermo.

3.4 GLI STRUMENTI IMPIEGATI Gli strumenti utilizzati per la sperimentazione sono stati: * un questionario composto da 9 item. Ogni item contiene vari esercizi e problemi aperti sulle frazioni e sui numeri decimali. * l’analisi a priori che mi ha permesso di analizzare le possibili risposte degli alunni, corrette e non. Tale analisi a priori ha tenuto conto delle questioni epistemologiche sia dell’elenco delle misconcezioni già analizzate dalla letteratura.

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3.5 L’ANALISI A PRIORI L’analisi a priori di una situazione didattica è un momento molto importante del controllo sperimentale. Essa è l’insieme delle rappresentazioni epistemologiche, storico-epistemologiche e dei comportamenti ipotizzati. L’analisi dei comportamenti ipotizzabili consente di individuare quelle attività che, nel rispetto dei diversi stili cognitivi degli alunni, favoriranno l’apprendimento. Alla base dell’analisi a priori vi è una serie di ipotesi su percorsi, strategie, ragionamenti, procedure, soluzioni che l’allievo può mettere in opera nella situazione che gli viene proposta. In particolare l’analisi a priori permette di prevedere le difficoltà e gli ostacoli che l’allievo può incontrare e gli errori che può commettere, e di conseguenza aiuta l’insegnante a capire le modifiche che dovrebbe apportare nell’insegnamento di quella situazione. Infatti, dopo aver condotto delle lezioni frontali ho constatato che il questionario che avevo preparato, e che avevo già sperimentato sia con gli insegnanti in servizio che con i futuri insegnanti, non poteva essere svolto alla stessa maniera dagli allievi, e quindi l’ho dovuto modificare in base alle loro conoscenze e capacità.

3.6 I QUESTIONARI Per la realizzazione di questo mio progetto sperimentale ho ideato un questionario. Esso è composto da 9 item (cioè dalla lettera A alla lettera I). Per ogni item ci sono due o più esercizi o problemi aperti. Di grande aiuto è stato il libro “Le frazioni, aspetti concettuali e didattici” della Professoressa Martha Isabel Fandiňo Pinilla, che è stata una vera guida durante tutto questo percorso di sperimentazione. Ogni item riguarda una difficoltà nell’apprendimento dei numeri razionali. Il questionario è stato somministrato agli insegnanti di Scuola Superiore, ai futuri insegnanti del corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria e agli alunni di una classe 5° primaria (a questi ultimi ho dovuto cambiare degli esercizi in quanto non avevano ancora svolto l’intero programma riguardante i numeri razionali, vedi ).

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QUESTIONARIO A: Difficoltà nell’ordinare Una delle più grandi difficoltà riscontrate negli studenti di qualsiasi età è quella di ordinare le frazioni, numeri con la virgola ed entrambi insieme. Ad esempio, può essere pensata minore di perché considerando il numeratore di entrambe le frazioni il 2 è minore di 4. Un’altra difficoltà sussiste dovendo ordinare frazione e numero scritto con la virgola, ad esempio, se si tratta di mettere in ordine e 0,75; bisogna rendere naturale o la trasformazione di 0,75 in frazione o eseguire la divisione 2:3. Anche l’ordine tra numeri scritti con la virgola crea qualche difficoltà, ad esempio, se si tratta di mettere in ordine 1,2 e 1,15; si segnalano casi in cui lo studente afferma che siccome 15>2, allora 1,15>1,2. Questo ragionamento è molto diffuso perché non sempre è naturale scrivere 1,2 nella forma 1,20. Questionario A Confronta le seguenti frazioni e mettile in ordine crescente, motivando tutti i passaggi.

.

Confronta le seguenti coppie di numeri decimali e metti il segno > = <, motivando tutti i passaggi. 1,2…1,15 3,5…3,23 0,3…0,35 2,1…2,10 6,21…6,20 78,536…78,539 Colora la frazione che vale di più e dai una motivazione.

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QUESTIONARIO B: Difficoltà nelle operazioni Alcune ricerche internazionali hanno mostrato la grande difficoltà concettuale che hanno gli studenti nell’eseguire le operazioni tra frazioni. Una regola che funziona molto bene e non dà problemi è la seguente: a/b x c/d = a x c/b x d; ma se si cerca di trovare l’analoga per l’addizione le cose non funzionano più. Inoltre, quando la moltiplicazione tra frazioni è richiesta formalmente, si hanno risultati migliori che non quando viene proposta attraverso un grafico. Passiamo infine alla divisione tra frazioni. Questa operazione crea molte difficoltà. Sono state studiate diverse tecniche didattiche, ma i risultati sono sempre stati fallimentari. È stato messo in evidenza che una difficoltà notevole degli studenti, nel campo delle frazioni, è capire quando, in un problema, si deve usare la moltiplicazione o la divisione tra frazioni. Questionario B Calcola le seguenti operazioni con le frazioni eseguendo tutti i passaggi.  

  

  

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 Calcola le seguenti operazioni con i numeri decimali e metti in colonna spiegando ogni passaggio. 245,13 + 39,27 = 569,45 – 57,32 = 2,38 x 100 = 16,3 : 12 = 25,7 + 364 + 9,283 = 137,8 – 48,326 – 11,1 = 2,35 x 4,8 = 184 : 1,2 = 3,56 x 24 = 86,45 : 3,7 = 1,5 : 10 =

245,13 + 39,27 = 569,45 – 57,32 = 2,38 x 100 = 16,3 : 12 = 25,7 + 364 + 9,283 = 137,8 – 48,326 = 2,35 x 4,8 = 184 : 1,2 = 3,56 x 24 = 86,45 : 3,7 = 1,5 : 10 = Risolvi il seguente problema mettendo in evidenza le operazioni che utilizzi per risolverlo. Mario sta leggendo un libro di 250 pagine. Ha già letto i . Quante pagine deve ancora leggere? QUESTIONARIO C: Difficoltà nel riconoscere gli schemi Gli schemi non sempre sono perfettamente esplicativi e, tra essi, alcuni sono più difficili da interpretare di altri. Spesso accade che lo studente non sa decidere qual è l’unità in gioco. Questionario C

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Dopo aver osservato attentamente il seguente schema motiva la risposta data.

?

Calcola la parte corrispondente alla frazione; poi controlla colorando opportunamente le figure e dai una tua spiegazione.

di 8        

                              

QUESTIONARIO D: Difficoltà nel gestire l’aggettivo “uguale” Molte volte lo studente non sa come interpretare la richiesta che le unità frazionarie devono essere uguali. Per esempio, se gli si chiede di dividere un quadrato in 4 parti uguali per trovarne , abbiamo una percentuale di successo molto alta; ma se si chiede di dividere in 5 parti uguali per avere , possiamo incontrare problemi. Infatti, una divisione in 5 non è canonica

per un quadrato. Il conflitto sta tra la richiesta di quell’aggettivo “uguali” e la richiesta “in 5”. Questa difficoltà dipende anche e soprattutto dall’uso di figure semplici da dividere che finiscono con il diventare obbligate ed attese. Questionario D Dividi questo quadrato in 5 parti “uguali” e motiva.

Dopo aver osservato la figura colorane e dai una motivazione.

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QUESTIONARIO E: Difficoltà nel gestire l’equivalenza Sono state sottoposte a studenti di età variabile alcune uguaglianze, nelle quali essi dovevano riempire i posti mancanti: (a 1) (a 2) ;

(b 1) ; (b 2) . Si è rivelato come (a 1) e (b 1) siano più facili da gestire che non le altre. Si è anche notato che lo studente si comporta differentemente a seconda che si passi da termini numerici al numeratore e denominatore piccoli a più grandi o viceversa. Questionario E Riempi i posti mancanti eseguendo le corrispettive uguaglianze. Motiva la tua strategia di risoluzione.

  Completa scrivendo sotto forma di numero decimale o di frazione decimale. Motiva tutti i passaggi. 7,5 = __ 0,4 = __ 0,19 = __

= __,__ = __,__ = __,__

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QUESTIONARIO F: Difficoltà nel gestire la riduzione ai minimi termini Connesso con il problema dell’equivalenza tra frazioni è la riduzione ai minimi termini. Nel passare da una frazione ad una sua equivalente, bisogna dividere o moltiplicare per uno stesso numero numeratore e denominatore; spesso quest’operazione è riassunta in un rapido ma pericoloso “cancellare sopra e sotto”. Questionario F Riduci ai minimi termini le seguenti frazioni fornendo una motivazione ad ogni passaggio.

.

Trova la frazione equivalente e spiega i passaggi.

.

.

QUESTIONARIO G: Difficoltà nel gestire figure non standard Per semplificare le attività, si tende a privilegiare sempre l’uso di figure standard, quali: rettangoli, quadrati, cerchi… Questo fatto è molto pericoloso perché genera una misconcezione secondo la quale si possono trovare le frazioni solo di quelle figure e non di altre. È dunque assolutamente necessario creare situazioni nelle quali si debba trovare frazioni di figure non standard. Questionario G Trova i di ciascuna di queste figure e dai una tua motivazione.

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Scrivi in cifre e in lettere le frazioni che corrispondono alle parti colorate e dai una breve spiegazione.

QUESTIONARIO H: Difficoltà nel passare da una frazione all’unità che l’ha generata Di solito, negli esercizi di routine, si dà una figura-unità e se ne cerca una frazione. Molto difficilmente si creano situazioni inverse che, invece, costituiscono parte essenziale per l’apprendimento delle frazioni. Questionario H Ecco i di una unità; trova l’unità di partenza e dai una breve

spiegazione.

Trova l’unità partendo dalla frazione. 20 equivale a di…

60 equivale a di…

Risolvi il seguente problema descrivendo tutti i passaggi.

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I 9 alunni di 5° B che prendono il pulmino per venire a scuola corrispondono ai degli alunni dell’intera classe. Quanti sono gli alunni della classe?

QUESTIONARIO I: Difficoltà nel gestire autonomamente schemi o figure Anche se un certo risultato positivo si ha proponendo allo studente schemi e modelli già precostituiti, si è messo in evidenza che lo studente entra in crisi quando deve gestire schemi, diagrammi, figure in modo spontaneo o produrli autonomamente. Su questa gestione autonoma bisogna lavorare didatticamente, in aula, non ci si può aspettare che sia un apprendimento spontaneo, indotto dall’abitudine. Questionario I Calcolare i di 12, utilizzando lo schema o il diagramma che conosci.

Completa la tabella e disegna i cartellini sulla linea dei numeri.

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L’ANALISI A PRIORI

Questionario A 1. Procede per tentativi 2. Confronta ed ordina le frazioni motivando i passaggi 3. Ordina le frazioni in ordine decrescente 4. Non riesce (o ha difficoltà) a mettere in ordine le frazioni 5. Confronta ed ordina le frazioni non motivando i passaggi eseguiti 6. Non svolge l’esercizio del confronto tra frazioni 7. Ordina le frazioni trovando il m.c.m. di ciascuna. Riducendole quindi tutte allo

stesso denominatore 8. Riesce ad ordinare le frazioni convertendole in numeri decimali, facendo

quindi la divisione tra numeratore e denominatore 9. Ha messo in ordine le frazioni confrontandole a due a due, utilizzando quindi il

prodotto in croce 10. Confronta ed ordina i numeri decimali 11. Non riesce (o ha difficoltà) a mettere in ordine i numeri decimali 12. Non svolge l’esercizio del confronto tra numeri decimali 13. Ha bisogno di scrivere per intero il numero decimale per riuscire a confrontarlo

con gli altri. Es. 1,2 = 1,20……. 14. Mette in ordine i numeri decimali portandoli a frazioni decimali. Es. 1,2 =

15. Ordina i numeri decimali mettendo i valori su un asse cartesiano 16. Individua la frazione che vale di più ma non dà una spiegazione 17. Individua la frazione che vale di più in base al valore del denominatore. Se è <

del numeratore allora il valore della frazione aumenta 18. Colora la frazione che vale di più trovando il m.c.m. 19. Non svolge l’esercizio del colorare la frazione che vale di più 20. Individua la frazione che vale di più portando le frazioni in numeri decimali 21. Colora la frazione che vale di più utilizzando il diagramma 22. Non distingue sempre la frazione che vale di più 23. Ordina le frazioni ponendole sulla linea dei numeri 24. Colora la frazione che vale di più facendo il prodotto in croce 25. Non riesce a confrontare i numeri decimali perché considera solo i numeri

dopo la virgola. Es. 1,2<1,15 perché 2<15 quindi non sa che 1,2=1,20 di conseguenza >1,15

26. Colora la frazione che vale di più facendo la divisione tra frazioni e confrontandole tra loro. Es 1:3 = 0,33; 1:7 = 0,14 quindi

27. Sbaglia ad inserire un dato 28. Abbandona l’esercizio del colorare la frazione che vale di più 29. Colora la frazione che vale di meno 30. Ha difficoltà solo nell’individuare l’uguaglianza fra numeri decimali.

Questionario B

1. Risolve operazioni con le frazioni dando direttamente il risultato senza eseguire tutti i passaggi

2. Non esegue la consegna 3. Risolve operazioni con le frazioni trovando il m.c.m. del denominatore 4. Ha difficoltà ad individuare il m.c.m. 5. Riduce ai minimi termini il risultato delle operazioni

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6. Tende a non semplificare l’operazione 7. Ha difficoltà nelle operazioni con le frazioni 8. Risolve operazioni con i numeri decimali, dando direttamente il risultato senza

mettere in colonna 9. Risolve operazioni con i numeri decimali, mettendo in colonna 10. Non esegue la consegna 11. Abbandona l’esercizio perché trova difficoltà nelle operazioni (soprattutto

divisioni) con i numeri decimali 12. Svolge correttamente la divisione fra numeri decimali, portando il dividendo a

numero intero 13. Non mette in colonna dovendo moltiplicare o dividere per 10 o per 100 14. Esegue correttamente la moltiplicazione tra numeri decimali, mettendoli in

colonna, ma non riesce a posizionare la virgola 15. Esegue correttamente la divisione tra numeri decimali mettendoli in colonna, ma

non riesce a posizionare la virgola 16. Effettua la divisione tra numeri decimali: porta i numeri decimali a numeri interi

e moltiplica l’inverso. Es. 16,3: 12 =

17. Effettua la moltiplicazione tra numeri decimali portando il numero decimale a numero intero

18. Esegue la sottrazione tra numeri decimali (a tre) mettendo in colonna i primi due numeri, e sottraendo poi il risultato per il terzo numero

19. Ha difficoltà nelle operazioni con i numeri decimali 20. Utilizza gli elementi del testo per scoprire quale operazione occorre per svolgere

il problema 21. Abbandona la consegna per incomprensione del testo 22. Sa utilizzare un diagramma 23. Non utilizza nessun diagramma 24. Utilizza il diagramma di flusso 25. Utilizza il diagramma a torta 26. Utilizza altro tipo di diagramma 27. Utilizza gli insiemi come diagramma 28. Non esegue la consegna 29. Non individua la frazione delle pagine lette 30. Individua la frazione delle pagine lette 31. Non identifica l’operazione che occorre per svolgere il problema 32. Risolve la divisione di decimali con le potenze 33. Abbandona l’esercizio dovendo calcolare le operazioni fra frazioni 34. Esegue le operazioni con le frazioni portando il risultato a numero decimale 35. Ha difficoltà (o non sa eseguire) operazioni tra frazioni con denominatore uguale 36. Esegue operazioni con le frazioni (con denominatore uguale) senza dare una

motivazione ai passaggi eseguiti 37. Utilizza il diagramma di flusso ma lo lascia incompleto 38. Lascia il problema incompleto (trova solo la frazione di un numero) 39. Ha difficoltà nell’utilizzare il diagramma 40. Non sa eseguire le divisioni e le moltiplicazioni di un numero decimale (x 10, x

100, x 1000) 41. Ha difficoltà nella risoluzione del problema perché sostanzialmente ha difficoltà

nelle operazioni

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42. Ha difficoltà nell’eseguire operazioni tra frazioni con denominatore uguale: infatti addiziona sia il numeratore che il denominatore.

Questionario C 1. Riesce a dare il giusto valore agli elementi presenti nello schema dell’insieme,

ma non motiva la risposta data 2. Riesce a dare il giusto valore agli elementi presenti nello schema dell’insieme,

motivando la risposta data 3. Non riesce a dare il giusto valore agli oggetti presenti nello schema dell’insieme 4. Non esegue la consegna 5. Non esegue la consegna per incomprensione del testo 6. Colora opportunamente i quadratini corrispondenti alla parte di frazione

richiesta, ma non motiva la risposta data 7. Non riesce ad identificare la parte di frazione richiesta 8. Non esegue la consegna relativa alla parte di frazione da colorare 9. Colora la parte di frazione richiesta dando una spiegazione alla risposta data (o

facendo vedere tutti i passaggi) 10. Identifica la parte di frazione richiesta ma non colora i quadratini 11. Colora la parte corrispondente alla frazione richiesta eseguendo i passaggi,

costruendo un diagramma 12. Ha difficoltà nel calcolarsi la frazione di un numero.

Questionario D 1. Riconosce le unità frazionarie in figure semplici dando una spiegazione ai

passaggi eseguiti 2. Ha difficoltà nell’applicare l’aggettivo “uguale” nelle figure semplici 3. Divide il quadrato in 5 parti “uguali” prendendo una unità di misura standard 4. Riconosce le unità frazionarie in figure semplici ma non da una spiegazione ai

passaggi eseguiti 5. Non riesce a dividere il quadrato in 5 parti “uguali” 6. Non esegue la consegna del dividere il quadrati in 5 parti “uguali” 7. Riconosce l’unità frazionaria nelle figure non divise in parti “uguali”, ma non da

una motivazione alla risposta data 8. Riconosce la frazione in figure non divise in parti “uguali” dando una

spiegazione ai passaggi eseguiti (o facendo vedere i passaggi) 9. Non esegue la consegna 10. Non riconosce la frazione nella figura data perché ha difficoltà nel gestire

l’aggettivo “uguale” 11. Non riconosce la frazione nella figura data, infatti divide tutto il rettangolo in

4 parti “uguali” (non considerando il fatto che dell’intero rettangolo fanno parte i 2 rettangoli e 2 triangoli)

12. Spiega il procedimento ma non colora la figura 13. Afferma che non si può dividere il quadrato in 5 parti “uguali” (semmai

dovrebbe essere un rettangolo) però poi lo divide 14. Non ha potuto svolgere il questionario D per errore non è stato stampato

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15. Riconosce la frazione nella figura data però poi smentisce dando una motivazione.

Questionario E 1. Inserisce i dati mancanti ma non motiva la risposta data 2. Non inserisce i dati mancanti perché non trova le corrispettive uguaglianze tra

frazioni 3. Non esegue la consegna 4. Moltiplica per uno stesso numero sia il numeratore che il denominatore,

trovando così la frazione equivalente 5. Esegue l’equivalenza per trovare i dati mancanti 6. Abbandona la consegna perché non riesce ad eseguire l’equivalenza o

moltiplicare per uno stesso numero la frazione di partenza 7. Inserisce il dato sbagliato 8. Esegue l’esercizio passando il numero decimale nella frazione equivalente 9. Non riesce sempre a trovare la frazione equivalente al numero decimale dato 10. Non esegue l’esercizio di completare sotto forma di numero decimale o di

frazione 11. Non riesce sempre a trasformare la frazione in numero decimale 12. Esegue l’esercizio trasformando la frazione in numero decimale 13. Non motiva i passaggi eseguiti 14. Inserisce il dato sbagliato 15. Abbandona l’esercizio 16. Porta i numeri decimali nelle corrispettive frazioni trasformando il denominatore

in centesimi 17. Semplifica la frazione ai minimi termini 18. Motiva i passaggi eseguiti 19. Non sempre trasforma il numero decimale in frazione decimale, trova comunque

una frazione equivalente al numero decimale 20. Esegue l’esercizio trasformando le frazioni decimali in numeri decimali con le

potenze 21. Non sa trovare né il numero decimale né la frazione decimale 22. Esegue l’esercizio passando il numero decimale nella frazione equivalente in

decimi e poi la semplifica trovando un’altra frazione equivalente 23. Ha difficoltà a inserire i dati mancanti

Questionario F 1. Riduce ai minimi termini le frazioni eseguendo tutti i passaggi 2. Dà la soluzione direttamente senza far vedere tutti i passaggi eseguiti 3. Non esegue l’esercizio del ridurre le frazioni ai minimi termini 4. Fornisce il risultato sbagliato riducendo una frazione ai minimi termini 5. Abbandona l’esercizio del ridurre una frazione ai minimi termini quando si tratta

di numeri alti 6. Fornisce una spiegazione alle risposte date 7. Non svolge l’esercizio ma fornisce una spiegazione 8. Non svolge l’esercizio per incomprensione del testo

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9. Individua la frazione apparente 10. Nel passare da una frazione ad una sua equivalente non moltiplica o divide

numeratore e denominatore per uno stesso numero, ma riassume quest’operazione cancellando semplicemente “sopra e sotto”

11. Aggiunge uno zero a numeratore e denominatore per trovare la frazione equivalente

12. Non svolge l’esercizio di trovare la frazione equivalente 13. Semplifica la frazione di partenza (dividendo per uno stesso numero sia il

numeratore che il denominatore), ma non mette in evidenza i passaggi che lo portano a dare quella soluzione

14. Semplifica la frazione di partenza (dividendo per uno stesso numero sia il numeratore che il denominatore), mettendo in evidenza tutti i passaggi eseguiti

15. Abbandona l’esercizio del trovare la frazione equivalente 16. Moltiplica per uno stesso numero sia il numeratore che il denominatore della

frazione di partenza per trovare quella equivalente 17. Non trova la frazione equivalente perché non è in grado di semplificare la

frazione di partenza 18. Invece di trovare la frazione equivalente trasforma la frazione in numero

decimale

Questionario G 1. Riconosce le frazioni in tutte le figure, ma non da una motivazione 2. Riconosce le frazioni solo nelle figure standard (quadrato, rettangolo…) perché

pensa che la suddivisione di un tutto in parti uguali possa essere fatta solo se questo tutto ha una forma geometrica regolare

3. Non svolge il 1° esercizio 4. Abbandona il 1° esercizio 5. Riconosce le frazioni in tutte le figure, dando una motivazione o facendo vedere

i passaggi eseguiti 6. Non riconosce la frazione in tutte le figure date 7. Si aiuta tracciando sulla figura data una nuova figura (ma non è quello che il

testo richiede) 8. Individua la frazione colorata in figure non standard, ma non fornisce una

spiegazione alla risposta data 9. Scrive in cifre la frazione 10. Non individua la frazione colorata 11. Non svolge il 2° esercizio 12. Individua la frazione in figure non standard e la riduce ai minimi termini 13. Scrive in lettere le frazioni 14. Individua la frazione colorata in figure non standard dando una motivazione alla

risposta data 15. Individua la frazione solamente di una delle 2 figure date 16. Non riconosce la frazione affermando che la figura non è divisa in parti uguali 17. Considera l’ultima figura come due distinte e trova quindi due volte i

18. Ha difficoltà nel calcolare la frazione nelle figure date 19. Ha calcolato l’inverso della frazione colorata.

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Questionario H 1. Non ha problemi nel trovare l’unità partendo dalla frazione 2. Ha difficoltà nel trovare l’unità partendo dalla frazione 3. Non svolge il 1° esercizio 4. Abbandona l’esercizio perché non sa trovare l’unità di partenza del trapezio 5. Abbandona l’esercizio perché non sa trovare l’unità di partenza del rettangolo 6. Riconosce situazioni problematiche. Stabilisce le strategie e le risorse necessarie

per la loro soluzione 7. Risolve il problema con l’equivalenza, trovando quindi il dato x (l’incognita) 8. Non risolve il problema 9. Dà la soluzione del problema direttamente senza descrivere tutti i passaggi 10. Risolve il problema calcolandosi il dato incognito ( con x indica gli alunni della

classe, né calcola i e lo uguaglia a 9 = 9, poi calcola il m.c.m. e trova

la x) 11. Risolve il problema trovando i di 9 (9= alunni che prendono il pulmino; = è

l’inverso della frazione data) 12. Ha difficoltà nel risolvere il problema, infatti procede per tentativi 13. Risolve il problema utilizzando un diagramma 14. Trova l’unità di partenza di una sola delle 2 figure date 15. Riesce a trovare l’unità partendo dalla frazione di un numero 16. Non riesce (o ha difficoltà) a trovare l’unità partendo dalla frazione di un

numero 17. Risolve il problema trovandosi l’unità e partendo dalla frazione di un numero 18. Trova l’unità ma non motiva i passaggi.

Questionario I 1. Padroneggia senza alcun problema schemi o diagrammi, calcolando i 5/6 di 2 2. E’ in difficoltà quando gli si chiede di trasformare i passaggi effettuati sotto

forma di diagramma o schema 3. Non svolge il 1° esercizio 4. Riesce a calcolare i di 12 ma non utilizza nessun diagramma o schema

5. Non calcola i di 12 ed è in difficoltà con lo schema o diagramma

6. E’ in grado di distinguere gli elementi della tabella e porli sulla linea dei numeri 7. E’ capace di distinguere le frazioni della tabella ma ha difficoltà nel porle sulla

linea dei numeri 8. Distingue le frazioni della tabella ma non le pone sulla linea dei numeri 9. Non esegue il 2° esercizio 10. Pone le frazioni sulla linea dei numeri ma non scrive il loro corrispettivo valore

nella tabella 11. Abbandona il 2° esercizio 12. Disegna ogni volta la linea dei numeri per porre le frazioni 13. Ha difficoltà a distinguere le frazioni nella tabella e a porle nella linea dei

numeri.

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3.7 I GRAFI (INSEGNANTI)

Dal diagramma a torta del Questionario A si evince che per quanto riguarda le: Frazioni l’8% degli insegnanti procede per tentativi; il 3% confronta ed ordina le frazioni motivando i passaggi eseguiti; l’8% confronta ed ordina le frazioni non motivando i passaggi eseguiti; l’8% non svolge l’esercizio del confronto tra frazioni; Il 17% individua la frazione che vale di più ma non da una spiegazione; l’11% individua la frazione che vale di più in base al valore del denominatore; Il 2% ordina le frazioni trovando il m.c.m. di ciascuna; Il 2% riesce ad ordinare le frazioni convertendole in numeri decimali, facendo quindi la divisione tra numeratore e denominatore. Decimali Il 30% degli insegnanti confronta ed ordina i numeri decimali; Il 2% ordina i numeri decimali mettendo i valori su un asse cartesiano;

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Il 2% non svolge l’esercizio del colorare la frazione che vale di più; Il 2% colora la frazione che vale di più utilizzando il diagramma.

Dal diagramma a torta del Questionario B si evince che per quanto riguarda le: Frazioni Il 7% degli insegnanti risolve operazioni con le frazioni dando direttamente il risultato senza eseguire tutti i passaggi; Il 13% risolve operazioni con le frazioni trovando il m.c.m. del denominatore; Il 9% riduce ai minimi termini il risultato delle operazioni. Decimali Il 7% risolve operazioni con i numeri decimali, dando direttamente il risultato senza mettere in colonna; Il 4% Risolve operazioni con i numeri decimali, mettendo in colonna; Il 6% non esegue la consegna.

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Il 17% Utilizza gli elementi del testo per scoprire quale operazione occorre per svolgere il problema

Dal diagramma a torta del Questionario C si evince che: Il 17% degli insegnanti riesce a dare il giusto valore agli elementi presenti nello schema dell’insieme, ma non motiva la risposta data; Il 24% riesce a dare il giusto valore agli elementi presenti nello schema dell’insieme, motivando la risposta data; Il 24% colora opportunamente i quadratini corrispondenti alla parte di frazione richiesta, ma non motiva la risposta data; Il 17% colora la parte di frazione richiesta dando una spiegazione alla risposta data (o facendo vedere tutti i passaggi).

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Dal diagramma a torta del Questionario D si evince che: Il 7% degli insegnanti riconosce le unità frazionarie in figure semplici dando una spiegazione ai passaggi eseguiti; Il 18% riconosce le unità frazionarie in figure semplici ma non da una spiegazione ai passaggi eseguiti; Il 14% non esegue la consegna del dividere il quadrato in 5 parti “uguali”; Il 14% non esegue la seconda consegna; Il 7% non riconosce la frazione nella figura data perché ha difficoltà nel gestire l’aggettivo “uguale”; Il 6% riconosce la frazione in figure non divise in parti “uguali” dando una spiegazione ai passaggi eseguiti (o facendo vedere i passaggi).

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Dal diagramma a torta del Questionario E si evince che: Il 18% degli insegnanti inserisce i dati mancanti ma non motiva la risposta data; Il 16% esegue l’esercizio passando il numero decimale nella frazione equivalente; Il 6% non esegue l’esercizio di completare sotto forma di numero decimale o di frazione; Il 16% esegue l’esercizio trasformando la frazione in numero decimale; Il 18% non motiva i passaggi eseguiti.

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Dal diagramma a torta del Questionario F si evince che: Il 23% degli insegnanti non svolge l’esercizio di trovare la frazione equivalente; Il 15% non esegue l’esercizio del ridurre le frazioni ai minimi termini; Il 13% dà la soluzione direttamente senza far vedere tutti i passaggi eseguiti; Il 12% nel passare da una frazione ad una sua equivalente non moltiplica o divide numeratore e denominatore per uno stesso numero, ma riassume quest’operazione cancellando semplicemente “sopra e sotto”.

Dal diagramma a torta del Questionario G si evince che: Il 10% degli insegnanti riconosce le frazioni in tutte le figure, ma non da una motivazione; Il 30% non svolge il 1° esercizio; Il 35% non svolge il 2° esercizio.

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Dal diagramma a torta del Questionario H si evince che: Il 10% degli insegnanti non ha problemi nel trovare l’unità partendo dalla frazione; Il 35% non svolge il 1° esercizio; Il 35% non risolve il problema.

Dal diagramma a torta del Questionario I si evince che: Il 45% degli insegnanti non svolge il 1° esercizio; Il 43% non esegue il 2° esercizio.

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I GRAFI (FUTURI INSEGNANTI DI SC. DELLA FORMAZ. PRIMARIA)

Dal diagramma a torta del Questionario A si evince che per quanto riguarda le: Frazioni Il 12% dei futuri insegnanti di Scienze della Formazione Primaria non riesce (o ha difficoltà) a mettere in ordine le frazioni; Il 13% non svolge l’esercizio del confronto tra frazioni; Il 16% individua la frazione che vale di più ma non dà una spiegazione; Il 6% individua la frazione che vale di più in base al valore del denominatore. Se è < del numeratore allora il valore della frazione aumenta; Il 5% non svolge l’esercizio del colorare la frazione che vale di più. Decimali Il 18% dei futuri insegnanti di Scienze della Formazione Primaria confronta ed ordina i numeri decimali; L’11% non riesce (o ha difficoltà) a mettere in ordine i numeri decimali; Il 4% non svolge l’esercizio del confronto tra numeri decimali.

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Dal diagramma a torta del Questionario B si evince che per quanto riguarda le: Frazioni Il 3% dei futuri insegnanti di Scienze della Formazione Primaria risolve operazioni con le frazioni dando direttamente il risultato senza eseguire tutti i passaggi; L’8% risolve operazioni con le frazioni trovando il m.c.m. del denominatore; Il 2% ha difficoltà ad individuare il m.c.m. L’1% riduce ai minimi termini il risultato delle operazioni; Il 2% tende a non semplificare l’operazione; Il 4% ha difficoltà nelle operazioni con le frazioni;

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Decimali Il 4% dei futuri insegnanti di Scienze della Formazione Primaria risolve operazioni con i numeri decimali, mettendo in colonna; Il 6% non esegue la consegna; Il 5% abbandona l’esercizio perché trova difficoltà nelle operazioni (soprattutto divisioni) con i numeri decimali; Il 4% non mette in colonna dovendo moltiplicare o dividere per 10 o per 100; Il 2% ha difficoltà nelle operazioni con i numeri decimali; Il 12% utilizza gli elementi del testo per scoprire quale operazione occorre per svolgere il problema; Il 6% sa utilizzare un diagramma; Il 7% non utilizza nessun diagramma; Il 3% utilizza il diagramma di flusso; Il 5% utilizza il diagramma a torta; Il 13% individua la frazione delle pagine lette; Il 2% non identifica l’operazione che occorre per svolgere il problema.

Dal diagramma a torta del Questionario C si evince che: L’11% dei futuri insegnanti di Scienze della Formazione Primaria Riesce a dare il giusto valore agli elementi presenti nello schema dell’insieme, ma non motiva la risposta data; Il 34% riesce a dare il giusto valore agli elementi presenti nello schema dell’insieme, motivando la risposta data;

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Il 9% colora opportunamente i quadratini corrispondenti alla parte di frazione richiesta, ma non motiva la risposta data; Il 36% colora la parte di frazione richiesta dando una spiegazione alla risposta data (o facendo vedere tutti i passaggi).

Dal diagramma a torta del Questionario D si evince che: Il 6% dei futuri insegnanti di Scienze della Formazione Primaria riconosce le unità frazionarie in figure semplici dando una spiegazione ai passaggi eseguiti; Il 10% ha difficoltà nell’applicare l’aggettivo “uguale” nelle figure semplici; Il 17% riconosce le unità frazionarie in figure semplici ma non da una spiegazione ai passaggi eseguiti; Il 6% non riesce a dividere il quadrato in 5 parti “uguali”; Il 9% non esegue la consegna del dividere il quadrato in 5 parti “uguali”; Il 15% riconosce l’unità frazionaria nelle figure non divise in parti “uguali”, ma non da una motivazione alla risposta data; Il 12% riconosce la frazione in figure non divise in parti “uguali” dando una spiegazione ai passaggi eseguiti (o facendo vedere i passaggi); L’8% non esegue la seconda consegna; Il 7% non riconosce la frazione nella figura data perché ha difficoltà nel gestire l’aggettivo “uguale”.

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Dal diagramma a torta del Questionario E si evince che: Il 16% dei futuri insegnanti di Scienze della Formazione Primaria inserisce i dati mancanti ma non motiva la risposta data; Il 4% non esegue la consegna; Il 4% moltiplica per uno stesso numero sia il numeratore che il denominatore, trovando così la frazione equivalente; L’8% abbandona la consegna perché non riesce ad eseguire l’equivalenza o moltiplicare per uno stesso numero la frazione di partenza; Il 17% esegue l’esercizio passando il numero decimale nella frazione equivalente; Il 5% non esegue l’esercizio di completare sotto forma di numero decimale o di frazione; Il 16% esegue l’esercizio trasformando la frazione in numero decimale; Il 18% non motiva i passaggi eseguiti.

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Dal diagramma a torta del Questionario F si evince che: Il 19% dei futuri insegnanti di Scienze della Formazione Primaria riduce ai minimi termini le frazioni eseguendo tutti i passaggi; Il 16% dà la soluzione direttamente senza far vedere tutti i passaggi eseguiti; Il 5% nel passare da una frazione ad una sua equivalente non moltiplica o divide numeratore e denominatore per uno stesso numero, ma riassume quest’operazione cancellando semplicemente “sopra e sotto”; Il 21% non svolge l’esercizio di trovare la frazione equivalente; Il 10% semplifica la frazione di partenza (dividendo per uno stesso numero sia il numeratore che il denominatore), mettendo in evidenza tutti i passaggi eseguiti; Il 6% moltiplica per uno stesso numero sia il numeratore che il denominatore della frazione di partenza per trovare quella equivalente.

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Dal diagramma a torta del Questionario G si evince che: Il 13% dei futuri insegnanti di Scienze della Formazione Primaria riconosce le frazioni in tutte le figure, ma non da una motivazione; Il 10% non svolge il 1° esercizio; L’11% non riconosce la frazione in tutte le figure date; Il 13% individua la frazione colorata in figure non standard, ma non fornisce una spiegazione alla risposta data; Il 21% scrive in cifre la frazione; Il 9% non svolge il 2° esercizio; Il 6% scrive in lettere le frazioni; Il 9% individua la frazione solamente di una delle 2 figure date.

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Dal diagramma a torta del Questionario H si evince che: Il 9% dei futuri insegnanti di Scienze della Formazione Primaria non ha problemi nel trovare l’unità partendo dalla frazione; Il 24% non svolge il 1° esercizio; Il 14% riconosce situazioni problematiche. Stabilisce le strategie e le risorse necessarie per la loro soluzione; Il 6% risolve il problema con l’equivalenza, trovando quindi il dato x (l’incognita); Il 20% non risolve il problema; Il 6% risolve il problema trovando i 7/3 di 9 (9= alunni che prendono il pulmino; 7/3= è l’inverso della frazione data); Il 7% ha difficoltà nel risolvere il problema, infatti procede per tentativi.

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Dal diagramma a torta del Questionario I si evince che: Il 18% dei futuri insegnanti di Scienze della Formazione Primaria padroneggia senza alcun problema schemi o diagrammi, calcolando i 5/6 di 2; Il 20% non svolge il 1° esercizio; Il 12% riesce a calcolare i 5/6 di 12 ma non utilizza nessun diagramma o schema; Il 12% è in grado di distinguere gli elementi della tabella e porli sulla linea dei numeri; Il 26% non esegue il 2° esercizio.

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I GRAFI (ALUNNI)

Dal diagramma a torta del Questionario A si evince che per quanto riguarda le: Frazioni Il 14% degli alunni ordina le frazioni in ordine decrescente; Il 18% confronta ed ordina le frazioni non motivando i passaggi eseguiti; Il 20% individua la frazione che vale di più in base al valore del denominatore. Se è < del numeratore allora il valore della frazione aumenta; Il 6% non distingue sempre la frazione che vale di più. Decimali L’8% degli alunni confronta ed ordina i numeri decimali; Il 24% non riesce (o ha difficoltà) a mettere in ordine i numeri decimali;

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 Dal diagramma a torta del Questionario B si evince che per quanto riguarda le: Frazioni L’11% degli alunni ha difficoltà (o non sa eseguire) operazioni tra frazioni con denominatore uguale; Il 3% esegue operazioni con le frazioni (con denominatore uguale) senza dare una motivazione ai passaggi eseguiti; Il 7% utilizza il diagramma di flusso ma lo lascia incompleto; Il 4% lascia il problema incompleto (trova solo la frazione di un numero). Decimali L’8% degli alunni risolve operazioni con i numeri decimali, mettendo in colonna; Il 5% svolge correttamente la divisione fra numeri decimali, portando il dividendo a numero intero;

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Il 6% non mette in colonna dovendo moltiplicare o dividere per 10 o per 100; Il 4% esegue correttamente la moltiplicazione tra numeri decimali, mettendoli in colonna, ma non riesce a posizionare la virgola; Il 7% ha difficoltà nelle operazioni con i numeri decimali; Il 2% utilizza gli elementi del testo per scoprire quale operazione occorre per svolgere il problema; Il 4% non utilizza nessun diagramma; Il 13% individua la frazione delle pagine lette;

 Dal diagramma a torta del Questionario C si evince che: Il 38% degli alunni riesce a dare il giusto valore agli elementi presenti nello schema dell’insieme, ma non motiva la risposta data; Il 22% colora opportunamente i quadratini corrispondenti alla parte di frazione richiesta, ma non motiva la risposta data; Il 9% non riesce ad identificare la parte di frazione richiesta; Il 17% Colora la parte di frazione richiesta dando una spiegazione alla risposta data (o facendo vedere tutti i passaggi).

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 Dal diagramma a torta del Questionario D si evince che: Il 24% degli alunni riconosce le unità frazionarie in figure semplici dando una spiegazione ai passaggi eseguiti; L’8% ha difficoltà nell’applicare l’aggettivo “uguale” nelle figure semplici; Il 25% riconosce le unità frazionarie in figure semplici ma non da una spiegazione ai passaggi eseguiti; L’8% non riesce a dividere il quadrato in 5 parti “uguali”; Il 30% riconosce l’unità frazionaria nelle figure non divise in parti “uguali”, ma non da una motivazione alla risposta data.

 Dal diagramma a torta del Questionario E si evince che:

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Il 10% degli alunni inserisce i dati mancanti ma non motiva la risposta data; Il 10% moltiplica per uno stesso numero sia il numeratore che il denominatore, trovando così la frazione equivalente; Il 12% esegue l’esercizio passando il numero decimale nella frazione equivalente; Il 7% non riesce sempre a trovare la frazione equivalente al numero decimale dato; Il 7% non riesce sempre a trasformare la frazione in numero decimale; Il 12% esegue l’esercizio trasformando la frazione in numero decimale; Il 20% non motiva i passaggi eseguiti; Il 9% ha difficoltà a inserire i dati mancanti.  

 Dal diagramma a torta del Questionario F si evince che: Il 27% degli alunni riduce ai minimi termini le frazioni eseguendo tutti i passaggi; Il 7% fornisce il risultato sbagliato riducendo una frazione ai minimi termini; Il 19% individua la frazione apparente; Il 6% non svolge l’esercizio di trovare la frazione equivalente; Il 7% semplifica la frazione di partenza (dividendo per uno stesso numero sia il numeratore che il denominatore), mettendo in evidenza tutti i passaggi eseguiti; Il 12% moltiplica per uno stesso numero sia il numeratore che il denominatore della frazione di partenza per trovare quella equivalente.

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 Dal diagramma a torta del Questionario G si evince che: Il 16% degli alunni riconosce le frazioni in tutte le figure, ma non da una motivazione; Il 9% non riconosce la frazione in tutte le figure date; Il 17% individua la frazione colorata in figure non standard, ma non fornisce una spiegazione alla risposta data; Il 25% scrive in cifre la frazione; Il 10% scrive in lettere le frazioni; L’8% individua la frazione solamente di una delle 2 figure date; Il 9% considera l’ultima figura come due distinte e trova quindi due volte i 3/4.  

 Dal diagramma a torta del Questionario H si evince che:

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Il 26% degli alunni riconosce situazioni problematiche. Stabilisce le strategie e le risorse necessarie per la loro soluzione; Il 10% risolve il problema utilizzando un diagramma; Il 25% riesce a trovare l’unità partendo dalla frazione di un numero; Il 26% risolve il problema trovandosi l’unità e partendo dalla frazione di un numero.

 Dal diagramma a torta del Questionario I si evince che: Il 26% degli alunni padroneggia senza alcun problema schemi o diagrammi, calcolando i 5/6 di 2; Il 28% è in grado di distinguere gli elementi della tabella e porli sulla linea dei numeri; Il 20% disegna ogni volta la linea dei numeri per porre le frazioni.

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CAP. 4 CONCLUSIONI E PROBLEMI APERTI Con questo lavoro sperimentale il mio intento è quello di far riflettere e poter approfondire gli aspetti più rilevanti sul tema numeri razionali. Grazie a questa esperienza di ricerca, sperimentata in classe con gli alunni ma anche con insegnanti e futuri insegnanti, ho avuto modo di conoscere alcune delle convinzioni possedute al riguardo. Convinzioni sulla cui costruzione e consolidamento, secondo me, riveste un ruolo centrale l’insegnamento ricevuto. Purtroppo l’indagine ha dimostrato come molte delle difficoltà degli alunni sono la diretta conseguenza di un’incerta spiegazione delle tematiche da affrontare da parte degli insegnanti. Incertezze che si fanno sempre più forti mano a mano che si sale di livello di istruzione degli insegnanti. L’osservazione condotta mi ha portato a maturare l’idea che la scuola oggi necessita di docenti che non si limitino a catalogare fatti e risultati, ma che partendo da una attenta analisi a priori stimolino gli alunni nelle situazioni problematiche, al dialogo, alla ricerca di nuove e varie soluzioni, e quindi allontanarli dall’idea comune di un’unica verità/soluzione (cioè quella dell’insegnante). Un tipico errore che fanno gli insegnanti è quello di affidarsi quasi esclusivamente solo ai libri di testo per la spiegazione di un argomento, che diventa così per gli allievi essere troppo riduttiva per la comprensione. Io credo che sia più opportuno:

Introdurre e poi utilizzare le frazioni e i numeri decimali nel modo più naturale e spontaneo possibile, usando per molto tempo il linguaggio quotidiano. Per es., se ci sono vendite con sconti, informazioni in TV ecc.

Quando si decide di iniziare una didattica delle frazioni è inutile illudersi che la classica definizione di frazione possa andare bene per sempre e in tutti i casi; è bene anzi introdurre man mano i vari tipi di accezione di questo termine in modo problematico, avviando anche discussioni in aula.

Per partire si dovrà necessariamente far uso di modelli concreti; ma sarebbe bene spiegare che quel che si sta apprendendo è teorico ed astratto per evitare che lo studente si leghi troppo al modello proposto.

Far attenzione all’utilizzo dell’aggettivo “uguale” che va interpretato di volta in volta.

Utilizzare un linguaggio semplice. L’adulto, infatti, tende a non ricordare le difficoltà che ha avuto in passato; per esempio, una volta

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assunta in modo completo una terminologia tende a non porre più attenzione a questo “dettaglio”, dandolo per acquisibile con semplicità. Mi è capitato, per esempio, durante la sperimentazione, che molti allievi avevano difficoltà nel comprendere la parola “crescente” metti in ordine crescente le seguenti frazioni.

È necessario fare spesso esercitazioni per così dire “contrarie”, partendo cioè da una frazione data per arrivare a determinare l’intero che l’ha generata, scegliendo situazioni e figure diverse.

Inoltre è opportuno:

Dare sempre l’opportunità di esprimere dubbi ed ascoltare le osservazioni. Durante la sperimentazione, ad esempio, è capitato che gli allievi esprimevano dei dubbi sui diversi tipi di scrittura di una frazione: a/b e .

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“ E’ innegabile che l’apprendimento delle frazioni è complesso, comunque lo si strutturi e lo si articoli ma, come ogni nemico in una battaglia che si rispetti, la mancata sottovalutazione dell’avversario e la sua perfetta conoscenza sono armi vincenti nelle mani di chi sa sfruttare la supremazia legata a competenza e consapevolezza” (Martha Isabel Fandiňo Pinilla)

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RINGRAZIAMENTI

Seduta alla mia scrivania, occupata negli ultimi sviluppi della tesi, ancora non mi rendo conto di essere arrivata alla fine di questo percorso che ha coinvolto tutta me stessa. Ripercorrendo la mia strada, non posso fare a meno di pensare a quanti mi hanno fatto da ala, come quando un ciclista, impegnando ogni fibra del suo essere per vincere la vetta che lo separa dal traguardo, trova forza e sostegno dal tifo che le persone gli offrono lungo il percorso. Il mio primo pensiero, ovviamente, va ai miei genitori, senza i quali non sarei mai potuta arrivare a questo punto; non parlo solo del sostegno economico, che sicuramente è stato indispensabile, ma di quell’aiuto tacito o esplicito che tante volte è venuto dal loro cuore: mi riferisco a tutte le occasioni in cui mia madre, celando in silenzio l’ansia, mi ha incoraggiata, vedendomi presa dai libri o preoccupata per un esame; ai discorsi di mio padre, quando, tuttora convinto che non sapessi nulla, chiedeva a mia madre di me orgoglioso. Desidero ringraziare il Prof. Filippo Spagnolo, relatore di questa tesi, per la grande disponibilità, pazienza e cortesia dimostratemi, e per tutto l’aiuto fornito durante la stesura. Ringrazio ancora la nonna Pupetta per avermi sopportato in tutti questi anni, mio fratello Pu e gli zii ai quali voglio un mondo di bene. Infine, un ringraziamento particolare va al mio Gianluca, non ci sono parole per spiegare l’aiuto che mi ha dato… lui sa!

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BIBLIOGRAFIA/SITOGRAFIA

• Fandiňo Pinilla M. I. (2005). Le frazioni, aspetti concettuali e didattici. Prefazione di A. Gagatsis. Bologna: Pitagora.

• E. Bovio – L. Manzone Bertone (1999). Aritmetica moderna. Torino: Lattes.

• Quaderni di Ricerca in Didattica, GRIM, n.3 e n.5 • Polo Maria. Il ruolo dell’insegnamento nella gestione delle attività in

classe: risonanza degli interventi degli alunni sul progetto dell’insegnante. Dipartimento di Matematica – Università di Cagliari.

• Brousseau G. (1980; 1981). Problèmes de didactique des décimaux, Recherches en Didactique des Mathématiques.

• D’Amore B. (2002). La ricerca in didattica della matematica come epistemologia dell’apprendimento della matematica. Scuola e Città.

• D’Amore B. (2001). Didattica della matematica. Bologna: Pitagora. • Sbaragli S. (2007). Le frazioni di tutti i giorni. Rubrica: I ferri del

mestiere. Il giornale della formazione. La Vita scolastica. 2, 63. • Castelnuovo E. “Didattica della Matematica”. La Nuova Italia. • Campa lucci L., Maori D., Fandiňo Pinilla M. I., Sbaragli S. (2006).

Cambi di convinzione sulla pratica didattica concernente le frazioni. La matematica e la sua didattica. 3, 353 – 400.

• www.dm.unibo.it/rsddm • http://math.unipa.it/~grim/

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ALLEGATO N. 1

CONFRONTO

A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

INSEGNANTI 10 4 1 0 11 11 3 3 1 40 0 0 1 1 2 22

F. P. 3 1 1 28 8 30 1 1 1 40 24 10 0 2 0 36

ALUNNI 0 0 25 0 32 2 0 0 0 15 43 0 0 0 0 7

17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

14 1 3 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0

13 1 12 2 0 3 2 3 2 1 1 2 0 0

35 0 0 0 1 10 0 0 0 0 0 0 7 2

B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

INSEGNANTI 16 3 31 5 22 8 4 16 10 14 6 2 7 1 3 1

F. P. 13 4 39 12 20 10 27 5 20 28 27 9 19 2 2 0

ALUNNI 0 4 0 0 0 0 2 2 29 2 9 20 21 15 6 0

17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

1 3 2 40 3 0 19 5 7 8 2 1 0 0 0 0 0 0

0 0 10 62 4 31 36 14 12 5 0 2 5 63 11 2 4 0

0 0 27 34 6 9 14 8 0 0 0 1 2 46 5 0 1 0

35 36 37 38 39 40 41 42

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

11 42 25 14 2 1 4 4

  64

C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

INSEGNANTI 15 21 0 7 1 21 2 5 15 1 0 0

F. P. 16 49 2 6 0 13 2 5 52 0 1 0

ALUNNI 46 3 7 2 0 26 11 2 20 0 0 3

D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

INSEGNANTI 7 5 5 18 5 14 16 6 14 7 4 1 0 0 0

F. P. 10 17 5 29 10 15 25 21 13 12 6 0 2 1 1

ALUNNI 42 15 0 43 15 1 53 1 2 3 0 0 0 0 0

E 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

INSEGNANTI 32 0 7 5 1 7 2 29 5 10 5 29 33 3 3 1

F. P. 46 0 13 11 2 23 7 48 7 15 8 45 51 2 1 0

ALUNNI 27 4 5 27 0 8 3 32 19 8 18 31 51 1 3 0

F 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

INSEGNANTI 8 15 17 1 5 4 0 1 1 14 3 26 8 5 4 2 1 0 0

F. P. 36 30 7 9 9 4 0 0 0 10 0 39 7 18 5 11 0 1 1

ALUNNI 48 2 3 12 3 0 2 0 34 5 0 10 6 13 6 22 6 1 4

17 18 19 20 21 22 23

7 1 0 0 0 0 0

0 1 3 2 1 2 1

0 0 0 0 0 0 23

  65

G 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

INSEGNANTI 10 0 29 3 2 3 1 7 4 1 34 2 0 0 0 0 0 0 0

F. P. 28 0 20 1 1 24 0 27 43 3 18 5 13 4 19 3 0 0 0

ALUNNI 36 1 0 1 0 19 0 38 54 2 2 0 22 0 17 0 20 6 1

H 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

INSEGNANTI 9 2 33 2 2 1 4 33 2 3 2 0 0 0 0 0 0 0

F. P. 16 4 41 3 7 24 10 34 2 0 11 12 2 7 0 0 0 0

ALUNNI 0 0 2 0 0 49 0 2 1 0 0 7 19 0 47 2 49 8

I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

INSEGNANTI 2 0 39 2 1 1 1 2 38 1 1 0 0

F. P. 27 2 29 17 0 17 9 5 39 2 2 0 0

ALUNNI 39 1 5 5 9 42 4 5 0 4 3 30 2