FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Ingegneria dell’Energia - Canale A A.A. 2013/2014 Elenco delle domande principali per la TEORIA (Enunciare e) dimostrare i seguenti: • Criterio affinch´ e un sottoinsieme sia un sottospazio. • L’intersezione di sottospazi di uno stesso spazio vettoriale ` e un sottospazio. In particolare, l’intersezione di due o pi` u sottospazi di uno stesso spazio vettoriale non ` e mai vuota. • Formula di Grassmann. • Il nucleo di un’applicazione lineare ` e un sottospazio. • L’immagine di un sottospazio tramite un’applicazione lineare ` e un sottospazio. In particolare, l’immagine di un’applicazione lineare ` e un sottospazio. • Criterio di iniettivit` a di un’applicazione lineare. • Teorema delle dimensioni (o teorema di nullit` a pi` u rango) e sue conseguenze. • Teorema di Rouch´ e–Capelli. • Matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico. (vale viceversa?) • Matrici simili hanno lo stesso determinante. (vale viceversa?) • Composizione di applicazioni lineari e descrizione della matrice associata. • Propriet` a degli autospazi. • α ∈ K ` e un autovalore di un endomorfismo ϕ di un K-spazio vettoriale V se e solo se α ` e uno zero del polinomio caratteristico di ϕ. • Dato un autovalore α, la molteplicit` a algebrica di α ` e maggiore o uguale alla molteplicit` a geometrica di α, e la molteplicit` a geometrica di α ` e maggiore o uguale a 1. • Diagonalizzabilit` a su R: condizioni necessarie e sufficienti. • Disuguaglianza di Cauchy–Schwarz. • Disuguaglianza triangolare. • L’ortogonale di un sottospazio ` e un sottospazio. • Se T ` e un sottospazio di R n , allora T ⊕ T ⊥ = R n , dove T ⊥ ` e l’ortogonale di T . • Teorema Spettrale.
Criterio affinche un sottoinsieme sia un sottospazio.
Lintersezione di sottospazi di uno stesso spazio vettoriale e` un
sottospazio. In particolare,lintersezione di due o piu` sottospazi
di uno stesso spazio vettoriale non e` mai vuota.
Formula di Grassmann. Il nucleo di unapplicazione lineare e` un
sottospazio. Limmagine di un sottospazio tramite unapplicazione
lineare e` un sottospazio.In particolare, limmagine di
unapplicazione lineare e` un sottospazio.
Criterio di iniettivita` di unapplicazione lineare. Teorema
delle dimensioni (o teorema di nullita` piu` rango) e sue
conseguenze. Teorema di RoucheCapelli. Matrici simili hanno lo
stesso polinomio caratteristico. (vale viceversa?) Matrici simili
hanno lo stesso determinante. (vale viceversa?) Composizione di
applicazioni lineari e descrizione della matrice associata.
Proprieta` degli autospazi. K e` un autovalore di un endomorfismo
di un K-spazio vettoriale V se e solo se e` unozero del polinomio
caratteristico di .
Dato un autovalore , la molteplicita` algebrica di e` maggiore o
uguale alla molteplicita`geometrica di , e la molteplicita`
geometrica di e` maggiore o uguale a 1.
Diagonalizzabilita` su R: condizioni necessarie e sufficienti.
Disuguaglianza di CauchySchwarz. Disuguaglianza triangolare.
Lortogonale di un sottospazio e` un sottospazio. Se T e` un
sottospazio di Rn, allora T T = Rn, dove T e` lortogonale di T .
Teorema Spettrale.
