SASHENKA AVRAMI

LLOGARITJE GJEODEZIKE

SHTËPIA BOTUESE E TEKSTEVE MËSIMORE

TIRANË, 2013

Teksti është miratuar dhe financuar nga Ministria e Arsimit dhe e Shkencës.

Botues:

Shtëpia Botuese e Teksteve Mësimore (BOTEM)

Adresa:

Rruga e Durrësit, Nr. 219, Tiranë, Shqipëri

: + 355 4 2225659; botem2012@yahoo.com

Redaktor letrar:

Spartak Kumbaro (Drini)

Arti grafik:

Spartak Kumbaro (Drini)

Kopertina:

Klara Shoshi

Recensues:

Prof. asoc. dr. Gëzim Bisha

Aneta Dollani

© Shtëpia Botuese e Teksteve Mësimore, 2013.

Të gjitha të drejtat janë të rezervuara. Nuk lejohet shumëfishimi

me çdo mjet apo formë pa lejen me shkrim të botuesit.

3

PËRMBAJTJA

Parathënie 5

TEMA I

TEKNIKA E LLOGARITJEVE GJEODEZIKE

I.1. Njohuri të përgjithshme 6

I.2. Rrumbullakimi i numrave 6

I.3. Llogaritja me numra të përafërt 7

I.4. Llogaritja dhe kontrolli i veprimeve aritmetike 8

I.5. Mjetet e llogaritjeve 9

I.6. Makinat llogaritëse. Përshkrimi dhe përdorimi i tyre për katër veprime me vlerat

natyrore dhe ato logaritmike 17

I.7. Rastet e zgjidhjes së trekëndëshave 22

TEMA II

FORMULAT THEMELORE TË LLOGARITJEVE

GJEODEZIKE

II.1. Koordinatat ortogonale, kuadratet dhe shenjat 26

II.2. Detyra e drejtë e gjeodezisë. Shenjat dhe kuadratet 27

II.3. Detyra e kundërt e gjeodezisë. Shenjat dhe kuadratet 27

TEMA III

LLOGARITJET GJEODEZIKE NË SISTEMIN E

KOORDINATAVE ORTOGONALE

III.1. Llogaritja dhe ndërplotësimi i poligonit të mbyllur 29

III.2. Llogaritja dhe ndërplotësimi i poligonit të hapur 35

III.3. Llogaritja dhe ndërplotësimi i poligonit të mbështetur në dy pika (pa orientim) 38

III.4. Shndërrimi i koordinatave lokale në shtetërore 43

TEMA IV

MËNYRAT E LIDHJES SË POLIGONEVE ME RRJETIN

SHTETËROR

IV.1. Njohuri për mënyrat e lidhjes së poligonit me rrjetin shtetëror 45

IV.2. Metoda e uljes së koordinatave 45

IV.3. Prerja nga para 47

IV.4. Prerja nga prapa (Detyra e Potenotës) 48

4

TEMA V

NJOHURI MBI TEORINË E GABIMEVE

V.1. Klasifikimi i gabimeve në matje 51

V.2. Gabimet që karakterizojnë saktësitë e vlerave të matura 52

V.3. Ndërplotësimi i vrojtimeve të drejtpërdrejta me pesha të njëjta 53

V.4. Ndërplotësimi i vrojtimeve të drejtpërdrejta me pesha të ndryshme 56

V.5. Vrojtimet dyshe 57

TEMA VI

NDËRPLOTËSIMI DHE VLERËSIMI I LLOGARITJEVE

GJEODEZIKE

VI.1. Njohuri mbi ndërplotësimet 58

VI.2. Njohuri mbi ndërplotësimin e rrjeteve të triangulacionit 58

VI.3. Ndërplotësimi i drejtimeve (këndeve) 61

VI.4. Ndërplotësimi i një pike nyje me tri poligone të hapura. Vlerësimi 62

VI.5. Ndërplotësimi i grupit të poligoneve të mbyllurA 67

VI.6. Ndërplotësimi i një rrjeti të mbështetur në dy baza të forta 75

VI.7. Ndërplotësimi i sistemit qendror 79

5

PARATHËNIE

Teksti “Llogaritje gjeodezike” botohet për klasën XI të degës gjeodezi të shkollës së mesme të

ndërtimit dhe është hartuar nga inxhinierja Sashenka Avrami sipas programeve të hartuara prej saj dhe

të aprovuara nga Ministria Arsimit dhe e Shkencës, si dhe nga Agjencia Kombëtare e Arsimit dhe e

Formimit Profesional.

Ky tekst u përshtat për shkollën e mesme nga autorja në fjalë, duke u mbështetur në literaturën e

autorëve shqiptarë dhe të huaj.

Materiali është i ndarë në shtatë tema, ku janë përmbledhur të gjitha problemet gjeodezike dhe detyrat,

duke filluar nga teknika e llogaritjeve të thjeshta gjeodezike (tabelat logaritmike, mjetet grafike,

makinat llogaritëse), mënyrat e llogaritjes së koordinatave, llogaritjet gjeodezike me ndërplotësim,

vlerësimi i llogaritjeve gjeodezike dhe njohuri mbi teorinë e gabimeve. Në tekst janë dhënë shembuj të zgjidhur të 18 detyrave të kësaj lënde.

Katër temat e para janë ripunim i tekstit ekzistues “Llogaritje gjeodezike 1”, botuar në vitin 1992

nga Shtëpia Botuese e Librit Shkollor, ku autorë ishin inxh. Sashenka Avrami dhe inxh. Spiro Boçi.

Tri temat e tjera botohen për herë të parë dhe janë mbështetur në librin me titull “Manuali i

gjeodezisë 1 dhe 2”.

Tri temat e tjera dhe ripunimi i të parave është mbështetur në librin “Misure Rilievo, Progetto 1 e 2”

me autorë Renato Kanaroxon (Renato Cannarozzo), Xhanfranko Kukiarinin (Gianfranco Cucchiarini)

dhe Ulliam Meskierin (William Meschieri), ku janë marrë trajtimi i temave, i ushtrimeve, i detyrave

dhe figurat.

Temat që do të trajtohen në këtë tekst mësimor janë: Tema I: Teknika e llogaritjeve gjeodezike (20 orë mësimore)

Tema II: Formulat bazë të llogaritjeve gjeodezike (12 orë mësimore)

Tema III: Llogaritjet gjeodezike në sistemin e koordinatave ortogonale (20 orë mësimore)

Tema IV: Mënyrat e lidhjes së poligoneve me rrjetin shtetëror (16 orë mësimore)

Tema V: Njohuri mbi teorinë e gabimeve (10 orë mësimore)

Tema VI: Llogaritjet gjeodezike me ndërplotësim (20 orë mësimore)

Tema VII: Vlerësimi i llogaritjeve gjeodezike (10 orë mësimore)

AUTORJA

6

TEMA I

TEKNIKA E LLOGARITJEVE GJEODEZIKE

I.1. Njohuri të përgjithshme

Njerëzit janë marrë me llogaritje numerike që në kohët e lashta. Në bashkësinë primitive, njeriu

ishte i detyruar të numëronte pjesëtarët e fisit, gjahun etj. me anën e gishtave të dorës. Prodhimi i të

mirave materiale, zhvillimi i shkencës dhe i teknikës bëri të mundur që llogaritjet të kryheshin me

mjete të mekanizuara.

Përpjekja e parë për të mekanizuar llogaritjet numerike nxori gurët e vegjël. Më vonë u ndërtua

numëratori me kokrra. Fjala kalkulim do të thotë gur i vogël.

Sistemi dhjetor në numëratorin me kokrra, që përdoret në shkollën fillore, i lehtëson shumë

veprimet me numra. Një kokërr në rreshtin e parë është e barabartë me 10 kokrra të rreshtit të dytë,

kurse një kokërr e rreshtit të dytë është e barabartë me 10 kokrra të rreshtit të tretë dhe kështu me

radhë. Për të mbledhur dy numra, p.sh. numrin 1271 me numrin 381, veprohet kështu: në rreshtin e

parë lëvizet në të djathtë 1 kokërr, në të dytën 2, në të tretin 7 dhe në të katërtin 1 kokërr. Pastaj në

të katërtin lëvizet 1 kokërr, në të tretin duhet të lëvizen 8 kokrra. Por meqë aty ka vetëm 3, hiqen 2

kokrra nga të shtatat dhe në rreshtin e dytë, në vend të dy kokrra, lëvizen 3 kokrra, pra, rezultati

1652 regjistrohet me kokrra në anën e djathtë të numëratorit.

Numrat që përdoren sot njiheshin që në shekullin V dhe quheshin numra arabë, kurse në Evropë u

përdorën për herë të parë në shekullin XVI, kur numrat arabë zëvendësuan ata romakë. Në vend të

zeros arabët përdorin pikën (cifër), prej nga vjen fjala shifër.

Makina e parë llogaritëse u ndërtua në vitin 1623. Më vonë u ndërtuan makinat llogaritëse që u

dalluan për shpejtësi në llogaritje. Në shërbim të llogaritjes së projekteve të ndryshme e për punime

shkencore ka makina elektronike, të cilat zgjidhin probleme ekonomike e inxhinierike. Në gjeodezi

llogaritjet zënë një vend shumë të rëndësishëm, pasi nga saktësia e veprimeve varet cilësia e

punimeve si në projektim, ashtu dhe zbatim. Në gjeodezi llogaritjet kryhen në formularë të posaçëm

ose me programe kompjuterike.

I.2. Rrumbullakimi i numrave

Rezultatet e matjeve gjeodezike nuk përfaqësojnë vlerat e vërteta të madhësive të matura, sepse sado

me kujdes të kryhen matjet, rezultatet e tyre përmbajnë gabime. Numrat që i përcaktojnë këto vlera,

quhen numra të përafërt.

Në dallim nga numrat me zanafillë matematikore, numrat që përfaqësojnë rezultatet e matjeve

gjeodezike paraqiten vetëm në atë sasi shifrash të sakta sa e lejon saktësia e matjes.

Llogaritjet me numra të përafërt shoqërohen me gabime, të cilat e ulin saktësinë e vlerës së llogaritur

në krahasim me saktësinë e numrave fillestarë. Që rezultatet e përfituara nga llogaritjet të jenë sa më

afër realitetit, vlerat e matura jepen me një ose më shumë shifra mbi saktësinë e matjes, në varësi të

numrit të veprimeve në të cilat marrin pjesë këto vlera. Shifrat rezervë shërbejnë vetëm për të ruajtur

saktësinë e rezultateve të matura, kështu që në rezultatin përfundimtar numri paraqitet me aq shifra sa

e siguron saktësia e rezultatit të matjes, e cila merret si bazë në llogaritjet e dhëna. Për këtë arsye, në

llogaritje bëhet rrumbullakimi i numrave, i cili bazohet në heqjen e asaj pjese të numrit vlera e së cilës

të mos kalojë (në vlerë absolute) madhësinë 0.5 njësi të shifrës së fundit. Kjo do të thotë se shifra e

fundit e numrit që do të rrumbullakoset është më e vogël se 0.5 njësi, shifra para tij mbetet e

7

pandryshuar, në të kundërtën rritet me një njësi. P.sh.: numri 3.14159 i rrumbullakosur në të qindtat

do të jetë 3.14, kurse në të mijtat 3.141 etj.

Kur shifra është 5 njësi, rrumbullakosja bëhet duke e lënë shifrën para saj, kur numri është çift, lihet e

pandryshuar, kurse kur është tek, e rrisim me një njësi. P.sh.: 4.06•2.7=11.1650, që i rrumbullakosur

në të qindtat do të jetë 11.16, kurse 10.50•3.63=38.1150, që i rrumbullakosur në të qindtat do të jetë

38.12.

I.3. Llogaritja me numra të përafërt

Kur llogarisim me numra të përafërt të dalë nga matjet, edhe rezultatet e dala do të kenë gabime.

Prandaj llogaritjet bëhen sipas disa rregullave të caktuara, të thjeshta e të shpejta, por pa e humbur

saktësinë e duhur.

a) Mbledhja dhe zbritja me numra të përafërt

Ushtrimi-1: Të mblidhen numrat e përafërt: 22.2+7.6+5.2+0.8=35.8≈36.

Në këtë rast, gabimi i çdo numri është 0.05, si përfundim edhe gabimi i shumës nuk është më i

madh se 0.05•4=0.2. Kjo tregon se shifra e fundit e shumës është e dyshimtë (dhe duke ditur se

shifrat e fundit rezervë hiqen nga rezultati përfundimtar, rezultatin e nxjerrë e rrumbullakosim në

36).

Ushtrimi-2: Të mblidhen numrat e përafërt: 30.4+5.36+0.374+0.0322=36.16662.

Numri më pak i saktë në këta numra është 30.4, sepse shifra e të qindtave nuk është e njohur. Edhe

në shumën e kërkuar, shifra e të qindtave mbetet e dyshimtë, prandaj mbledhjen do ta bëjmë deri në

të qindtat dhe do ta rrumbullakosim në të dhjetat: 30.40+5.36+0.37+0.03=36.16≈36.2.

Ushtrimi-3: Të mblidhen numrat e përafërt: 14.475+14.47+215.8=243.27≈243.3.

Ushtrimi-4: Të zbriten numrat e përafërt: 305.6–5.94=299.66≈299.7.

b) Shumëzimi me numra të përafërt

Ushtrimi-5: Me çfarë saktësie mund të llogaritet sipërfaqja e një katërkëndëshi kënddrejtë që i ka

brinjët: a=41.52 m dhe b=38.24 m? Këtu çdo e dhënë përmban katër shifra të sakta, prandaj:

F=41.52•38.24=1587.7248 m 2

Të shohim se cilat shifra të këtij shumëzimi janë të dyshimta. Dimë se po të jepen numrat në këtë

mënyrë, atëherë gabimi do të jetë sa gjysma e njësisë së shifrës së fundit, pra ±0.005 njësi. Prandaj

do të shkruhet a=41.52±0.005 dhe b=38.24±0.005.

Duke u bazuar në sa më sipër, për numrat e dhënë mund të shkruajmë se numri a përfshihet në kufijtë

midis 41.515 dhe 41.525 (41.515≤a≤41.525), kurse numri b përfshihet në kufijtë midis 38.235 dhe

38.245 (38.235≤b≤38.245).

Pas shumëzimit do të na dalë se:

-kufiri i poshtëm do të jetë: 41.515•38.235=1587.326025≈1587.3260

-kufiri i sipërm do të jetë: 41.525•38.245=1588.123625≈1588.1236

Si vlerë e sipërfaqes do të merret mesatarja aritmetike e dy kufijve të mësipërm, pra:

F=2

44.3175

2

12.158832.1587

=1587.72

Duke krahasuar dy rezultatet kufi, shihet se nuk ka më tepër se tri shifra të sakta.

Ushtrimi-6: Sa shifra të sakta do të kemi në shumëzimin e numrave të përafërt 0.374 e 0.31?

Pp=0.3735•0.305=0.1139175

Ps=0.3745•0.315=0.1179675

P=0.374•0.31=0.11594

Kufiri i gabimit do të jetë: 0.11797–0.11392=0.004

8

Nga shumëzimet e mësipërme vetëm dy shifrat e para janë të sakta aq sa shifra përmban numri me

më pak shifra. Duke respektuar rregullën e rrumbullakosjes, përfundimisht produktin e shumëzimit

duhet ta pranojmë: P=0.374•0.31=0.11594≈0.12

c) Pjesëtimi i numrave të përafërt

Ushtrimi 7: Sa shifra të sakta do të kemi në herësin e pjesëtimit: 326:57.9=5.63039?

Le të shohim kufijtë në të cilët ndodhet herësi i pjesëtimit:

-kufiri i poshtëm: 325.5:57.95=5.616

-kufiri i sipërm: 326.5:57.85=5.643

Vlera është 5.63.

-kufiri i gabimit: (5.643-5.616)0.5=0.014

Si përfundim del se herësi e ka shifrën e të qindtave të pasigurt. Edhe nëse e rrumbullakosim, duhet

të pranojmë: 326:57.9=5.63

Ushtrimi 8: Të pjesëtohet numri i përafërt 3217.5:8.6.

Të pjesëtuarin e rrumbullakosim deri në tri shifra dhe te herësi mbajmë dy shifra të sakta:

3220:8.6=374.429≈374

Duke u bazuar në këta shembuj, gjatë llogaritjes me numra të përafërt duhet të kemi parasysh këto

rregulla:

1. Para llogaritjes duhet të saktësojmë se cilat të dhëna janë të sakta dhe cilat të përafërta.

2. Numrat e përafërt duhet të rrumbullakosen duke lënë në ta vetëm shifrat e sakta dhe jo më shumë

se një shifër rezervë.

3. Gjatë mbledhjes dhe zbritjes së numrave të përafërt me njësi dhjetore të ndryshme ne duhet të

shohim numrin që ka më pak shifra pas presjes dhe pastaj të gjitha numrat e tjerë që marrin pjesë në

llogaritje i rrumbullakosim me n+1 shifra pas presjes. Pas veprimeve pranojmë n shifra pas presjes.

4. Në shumëzimet dhe në pjesëtimet me numra të përafërt duhet shohim numrin e përgjithshëm të

shifrave që ka numri me më pak shifra para presjes. Të gjithë numrat e tjerë që marrin pjesë në

llogaritje, i rrumbullakosim në n+1 shifra. Rezultatin përfundimtar e pranojmë me n shifra.

5. Në rezultatin përfundimtar të ngritjes në fuqi e të nxjerrjes nga rrënja duhet të pranojmë aq shifra

sa shifra përmban baza e fuqisë ose numri nën rrënjë.

6. Gjatë veprimeve ndërmjetëse, numrin duhet të pranojmë me një shifër më shumë sesa tregojnë

rregullat e pikës c.

I.4. Llogaritja dhe kontrolli i veprimeve aritmetike

Gjatë llogaritjeve me numra të përafërt mund të ndodhë që të bëjmë gabime, të cilat shumë herë e

kalojnë saktësinë e kërkuar. Prandaj i kontrollojmë veprimet me mënyrën e nëntës, duke vepruar si

më poshtë vijon:

a) Mbledhja e numrave. Pasi kryhen veprimet, mblidhen vazhdimisht shifrat horizontalisht, derisa në

fund të dalë një shifër. Numri që del nga mbledhja horizontale e shifrave duhet të jetë i barabartë me

atë që del nga mbledhja vertikale. P.sh.: në shembullin e marrë del 2=2, që do të thotë se veprimet

janë kryer mirë.

27 435 2+7+4+3+5=21 2+1=3

68 948 6+8+9+4+8=35 3+5=8 +

------------- ------------------------------ ---------------

96 383 9+6+3+8+3=29 2+9=11→ 1+1=2

Nga mbledhja vertikale del: 3+8=11 → 1+1=2, pra e njëjtë me atë horizontale 2.

b-Zbritja e numrave. Këtu veprohet si në mbledhjen e tyre, por me ndryshimin se numrat zbriten

vertikalisht.

9

98 217 9+8+2+1+7=27 2+7=9

45 132 4+5+1+3+2=15 1+5=6 -

-------------- ------------------------------- ---------------

53 085 5+3+0+8+5=21 2+1=3

Zbritja vertikale 9–6=3 na del e njëjtë me atë horizontale 3.

c) Shumëzimi i numrave. Ai bazohet në mbledhjen e shifrave në të dyja numrat, produkti i të cilave

duhet të dalë i barabartë me numrin që del nga mbledhja e shifrave në rezultat:

5314 5+3+1+4=13 1+3=4

375 3+7+5=15 1+5=6 x

----------- -------------------------- ----------------

26570 24 → 2+4=6

27198

15942

--------------

1 992 750 1+9+9+2+7+5+0=33 → 3+3=6

Kontrolli: 6•4=24 2+4=6

d) Pjesëtimi i numrave. Ai bazohet në mbledhjen e shifrave të dy numrave që pjesëtohen, si dhe në

ato të rezultatit:

41 374:14

28 2 955 Mbledhim shifrat

-----------

133 2955 2+9+5+5=21 → 2+1=3

126 14 1 + 4 = 5

----------- 41 374 4+1+3+7+4=19→ 1+9=10

10

70

----------- Kontrolli: 3•5+4=19 → 1+9=10 → 1+0=1

74

70

-----------

4 mbetja

I.5. Mjetet e llogaritjeve

Për të thjeshtuar dhe shpejtuar llogaritjet, përdoren mjete të ndryshme, që nga tabelat e funksioneve

deri në makinat elektronike, të cilat shpesh kryejnë me miliona llogaritje në sekondë.

Në llogaritjet e thjeshta gjeodezike përdoren gjerësisht mjetet e thjeshta të llogaritjes, si: tabelat e

vlerave natyrore dhe logaritmike, grafikët, makinat e thjeshta dhe ato elektronike.

A) Tabelat e vlerave natyrore të funksioneve trigonometrike përdoren në llogaritjet inxhinierike.

Në gjeodezi përdoren tabelat me 5, 6, 7 dhe 8 shifra. Në gjeodezinë e ulët përdoren zakonisht tabelat

me 5 shifra e rrallë me gjashtë shifra (dhjetore). Në tabelë jepen katër funksionet trigonometrike, që

janë sinusi (sin), kosinusi (cos), tangjenti (tg) dhe kotangjenti (cotg). Në disa tabela jepen e vlerat

e sekantit (sec) dhe të kosekantit( cosec). Tabelat janë ndërtuar për vlerat me ndarje 360˚ ose 400g.

Me tabela zgjidhim dy probleme:

1. Problemën e drejtë, d.m.th. nxjerrjen e vlerës së funksionit, kur kemi vlerën e dhënë të argumentit

(këndin).

2. Problemën e kundërt, d.m.th. nxjerrjen e vlerës së këndit në bazë të vlerës së funksionit të dhënë.

10

Shembulli 1. Të gjenden funksionet trigonometrike sin, cos, tg, cotg të këndit 33˚31'32".

Në faqen e tabelës së funksioneve trigonometrike gjejmë vlerën e dy sinuseve të dy këndeve të

mëposhtëm: sin 33˚31'30"=0.552058 dhe sin 33˚31'40"=0.552099

Është e qartë se vlera e sinusit të këndit 33˚31'32" do të ndodhet midis vlerës së sin 33˚31'30" dhe

vlerës së sin 33˚31'40", prandaj mund të bëjmë interpolimin me rregullën e treshit, duke arsyetuar

kështu: Meqë për intervalin prej 10" diferenca e dy funksioneve të gjetura është: D=0.552099-

0.552058=0.000041, ose shkurt d=41, atëherë për 2" kjo diferencë do të jetë D1=x.

Nga kjo rregull nxjerrim se:

D1=10

2 '' D=

10

412 '' =

10

82=8.2≈8

Meqë vlerat funksioneve të sinusit rriten me rritjen e këndit, atëherë vlerës së funksionit të sin

33˚31'30"=0.552058 i shtojmë 8 njësi në shifrën e gjashtë pas pikës dhjetore, kështu për sin

33˚31'32"kemi: sin 33˚31'30"+8=0.552058+8=0.552066.

Kështu veprojmë për cos, tg dhe cotg, vetëm se për tg dhe cotg ndryshimet e llogaritura d nuk u shtohen

vlerave të funksioneve, por u zbriten. Kjo bëhet sepse me rritjen e këndeve, vlerat e këtyre funksioneve

zvogëlohen.

Shembulli 2. Njohim vlerën e funksionit trigonometrik dhe duhet të gjejmë këndin. P.sh. është dhënë

sin α=0.552271 dhe duam të gjemë se cilit kënd i përkon kjo vlerë. Për këtë veprojmë kështu:

a-Nga tabela e logaritmeve (pikërisht aty ku janë dhënë vlerat e sinuseve) gjejmë më parë dy vlera

të sinuseve të këndeve (në gradë, në minuta e në sekonda) që janë të përafërta me vlerën sinusit të

këndit të dhënë, pra me vlerën 0.552271: sin 33˚31'20"=0.552260 dhe sin 33˚31'30"=0.552301.

b-Gjejmë ndryshimin ndërmjet vlerave të sapogjetura të të dyja funksioneve të sinuseve:

D=0.552301–0.552260=0.000041, ose shkurt D=41. Gjithashtu gjejmë edhe ndryshimin D1

ndërmjet sin33˚31'20" dhe sin α=0.552271, që është: D1=0.552271-0.552260=11.

c-Zbatojmë rregullën e treshit dhe do të kemi:

x=41

101110 ""

1

D

D≈3"

Pra këndi është α=33˚31'20"+3"=33˚31'23".

Në tabelën e logaritmeve vlerat e funksioneve trigonometrike për këndet nga 00-45

0 merret nga lart-

poshtë, kurse për këndet nga 450-90

0 merret nga poshtë-lart.

B) Tabela e vlerave logaritmike

Vetitë e logaritmeve studiohen me hollësi në algjebër, por ne këtu do të rikujtojmë vetitë dhe

përdorimin e tabelës së logaritmeve.

Logaritmi i një numri të dhënë b (b>0) me bazë numrin e dhënë a (0<a≠1) quhet eksponenti x i fuqisë

në të cilën duhet ngritur baza a që të merret numri b, d.m.th.: ax=b.

Shkurt logaritmi shkruhet kështu: x=logab dhe lexohet logaritmi me bazë a i numrit b.

Shembull 3. Logaritmi me bazë a=3 i numrit b=27 është i barabartë me 3 (log327=3), sepse 33=27;

log21/64=6, sepse 2-6

=64.

Logaritmi i të njëjtit numër (p.sh. i numrit 81) ndryshon me ndryshimin e bazës. P.sh.: log381=4, sepse

34=81, kurse log981=2, sepse 9

2=81.

Vetitë e logaritmeve janë: 1-Logaritmi i zeros dhe i numrave negativë nuk ekziston.

2-Logaritmi i një numri, por që ka për bazë po atë numër, është barabartë me 1. P.sh. log22=1, sepse

21=2; log1010=1, sepse 10

1=10.

3-Logaritmi i njësisë (pra i numrit 1) është i barabartë me zero, pavarësisht nga vlera e bazës. P.sh.

log51=0, sepse 50=1; log101=0, sepse 10

0=1. Që këtej rrjedh se çdo numër i ngritur në fuqi zero (0)

është i barabartë me 1.

11

4-Për një bazë a>1, logaritmet e numrave më të mëdhenj se 1dhe logaritmet e numrave ndërmjet 0 dhe

1 janë negative. P.sh.: log10100=2 ose thjesht 2, kurse log10(0.01)=2.

5-Për një bazë 0<a<1, logaritmet e numrave më të mëdhenj se 1 janë negative dhe ato të numrave mes

0 dhe 1 janë pozitive.

6-Për një bazë a>1, numrit më të madh i përgjigjet logaritmi më i madh.

Nëse baza a<1, ngjet e kundërta.

Bashkësia e logaritmeve së të gjithë numrave pozitivë të marrë me të njëjtën bazë, formon atë që quhet

ndryshe sistemi i logaritmeve.

Zakonisht përdoren dy sisteme logaritmesh:

a-Sistemi i logaritmeve natyrore (me bazë numrin irracional të Neperit e=2.7192818...), që shënohet

me simbolin ln (që do ta shohim më poshtë).

b-Sistemi i logaritmeve dhjetore (me bazë numrin 10) që quhet logaritme të Brigsit, që shënohet me

simbolin log (që e pamë më sipër). Me marrëveshje është pranuar që për shënimin e logaritmeve

dhjetore përdoret zakonisht simboli log, pa e shënuar numrin 10 të bazës. Kështu me simbolin log b

duhet kuptuar log10b.

Kalimi nga një sistem logaritmesh në një tjetër

Logaritmi i numrit b me bazë a është i barabartë me logaritmin e të njëjtit numër b me një bazë tjetër

c, por të pjesëtuar me logaritmin e numrit a (që ishte baza e logaritmit të numrit b) me bazë numrin c:

logab=logcb/logca

Për a=10 dhe për c=e (numri i Neperit), kemi: log10b=logeb/logea ose logb=ln b•(1/ln 10).

Numri M=(1/ln 10)=0.4342945... quhet moduli i shndërrimit të logaritmeve:

log x=0.4342945 10•ln x.

Teoremat mbi logaritmet

1-Logaritmi i një prodhimi numrash pozitivë është i barabartë me shumën e logaritmeve të secilit

numër: log a (A•B•C)=logaA+logaB+logaC.

2-Logaritmi i herësit të dy numrave pozitivë është i barabartë me diferencën e logaritmit të të

pjesëtueshmit me logaritmin e pjesëtuesit: logaB

A=logaA-logaB

3-Logaritmi i fuqisë së një numri pozitiv me eksponent real është i barabartë eksponentin shumëzuar

me logaritmin e bazës së fuqisë: logaAn=n•logaA.

4-Logaritmi i rrënjës aritmetike është i barabartë me logaritmin e shprehjes A nën rrënjën aritmetike

pjesëtuar me treguesin n të rrënjës: logan A =

n

Aalog.

5-Nga teorema e tretë e logaritmeve rrjedh se logaritmi dhjetor i një fuqie të numrit 10 është i barabartë

me vetë eksponentin e fuqisë: log10n=n•log10=n. P.sh.: log10

3=3 etj.

Përdorimi i tabelave

Tabela e logaritmeve është e ndarë në tri pjesë.

1-Logaritmet dhjetore të numrave natyrorë (nga 1-9999), të cilat jepen në tabelën I (prej faqes 2-33).

2-Logaritmet dhjetore të funksioneve trigonometrike, të cilat jepen në tabelën II (prej faqes 36-125).

3-Vlerat natyrore të funksioneve trigonometrike, të cilat jepen në tabelën III (prej faqes 128-136).

-Me anën e tabelës së parë mund të zgjidhen këto dy problema:

I. Është dhënë numri, të gjendet logaritmi i tij.

II. Është dhënë logaritmi i një numri, të gjendet ky numër.

12

Shembull 1

Janë dhënë numrat 12; 493; 6169; 292.23 dhe duam të gjejmë logaritmet e tyre.

Le të gjejmë log 12. Dimë se karakteristika e tij është 1, kurse mantisën e tij e gjejmë në faqen 2 të

tabelës së logaritmeve (numrave që duam t’u gjejmë mantisën janë dhënë në shtyllën me mbishkrimin

N), ku janë dhënë mantisat e logaritmeve dhjetore të numrave 1-99. Kjo mantisë është 07918. Atëherë

log 12=1.07918. Kështu veprojmë edhe për numrat e tjerë të plotë 3- (pra për rastin tonë për numrin

493), 4-shifrorë (në rastin tonë për numrin 6169), si dhe për numrin jo të plotë 292.23. Pra:

-log 493=2.69285; log 6169=3.79021 dhe log 292.23=≈2.46568 (sipas teoremës së mantisës, mantisa

e logaritmit dhjetor të numrit jo të plotë 292.23 është e barabartë me mantisën e logaritmit dhjetor të

numrit të plotë 29 223, por mund të merret afërsisht e barabartë me mantisën e logaritmit dhjetor të

numrit 29220, që është 46568).

Për të gjetur karakteristikën e logaritmit dhjetor të një numri, zbatohen dy rregullat e mëposhtme:

a-Karakteristika e logaritmit të një numri më të madh se numri 1 është e barabartë me numrin e

shifrave të pjesës së plotë të tij minus 1. P.sh., karakteristika dhjetore e numrit 5432 është 3 (4-1),

sepse ky numër është me 4 shifra të pjesës së plotë të tij, kurse karakteristika e numrit 543.2 është 2

(3-1), sepse ky numër është me 3 shifra të pjesë së plotë të tij (që është 543), karakteristika e numrit

54.32 është 1 (2-1), sepse ky numër është me 2 shifra të pjesë së plotë të tij (që është 54) dhe

karakteristika e numrit 5.432 është 0 (1-1), sepse ky numër është me 1 shifër të pjesë së plotë të tij

(që është 5). b-Karakteristika e logaritmit dhjetor të një numri pozitiv më të vogël se numri 1 është

n (minus n), ku n është numri i zerove që gjenden përpara shifrës së parë me vlerë, duke futur edhe

zeron që është përpara presjes dhjetore. P.sh., karakteristika e logaritmit dhjetor të numrit 0.35 është

minus 1 (-1), sepse aq është edhe numri i zerove që gjenden përpara shifrës së parë me vlerë, që në

rastin tonë është numri 3, kurse karakteristika e logaritmit dhjetor të numrit 0.035 është minus 2

(2), sepse aq është edhe numri i zerove që gjenden përpara shifrës së parë me vlerë (duke futur

edhe zeron që është përpara presjes dhjetore), që në rastin tonë është numri 3.

Për të gjetur mantisën e një numri, përdoret tabela 1 (prej faqes 2-33) e librit me titull “Tabela e

logaritmeve”, botim i vitit 1984. Në këtë tabelë jepen logaritmet dhjetore të numrave natyrorë nga

1-9999.

Për mantisën ka një teoremë që thotë: “Nëse një numër shumëzohet me 10n, ku n është numër i plotë,

mantisa e logaritmit të tij mbetet e pandryshueshme, kurse karakteristika ndryshon.”

Nga kjo teoremë rrjedhe se:

a-Mantisa e logaritmit dhjetor të një numri dhjetor nuk ndryshon, nëse e zhvendosim presjen e

numrit dhjetor të dhënë. P.sh.: log174.2=2.24105; log1.742=0.24105; log1742=3.24105,

log0.01742=-2.24105 etj.

b-Mantisat e logaritmeve dhjetore të numrave të plotë që ndryshojnë vetëm nga numri i zerove të

fundit, janë të njëjta. P.sh., mantisat e logaritmeve dhjetore të numrave 72.720; 7200 etj., janë të njëjta.

Shembulli 2

Janë dhënë logaritmet e dy numrave: log N1=2.71542, log N2=1.59599 dhe kërkojmë që të gjenden

këta numra.

Kërkojmë në shtyllën me mbishkrim 0 dy shifrat e para të mantisës, pra numrin 71 (shih f. 17 të

tabelës së logaritmeve). Pastaj kërkojmë në shtyllat e tjera numrin 542, që gjendet ndërmjet grupeve

3-shifrore që ndodhen në anën e djathtë të numrit 71. Shohim se numri 542 ndodhet në shtyllën me

mbishkrimin 3. Në po atë rresht ku është edhe numri 542, por në shtyllën N, është shkruar numri

519. Prandaj mantisës 71542 që i përgjigjet numri 5193. Meqë karakteristika është 2, pjesa e plotë e

numrit të kërkuar përmban tri shifra, d.m.th. numri i kërkuar është N1=519.3.

Në po të njëjtën mënyrë gjemë se log N2=1.59599 i përgjigjet numri N2=39.44.

13

-Me anën e tabelës së dytë mund të zgjidhen këto dy problema:

I. Është dhënë funksioni trigonometrik i një këndi, të gjendet logaritmi i funksioneve trigonometrike

(sin, cos, tg.ctg) të këtij këndi (shih shembullin I).

II. Është dhënë logaritmi i një funksioni trigonometrik të një këndi, të gjendet ky kënd (shih shembullin

II).

Shembulli I Janë dhënë funksionet trigonometrike të sin 29˚14', të cotg 67˚25' dhe të tg 62˚13'39" dhe kërkohet

të gjenden logaritmet e funksioneve trigonometrike log sin 29˚14'; log cotg 67˚25' dhe log tg62˚13'39".

Në shembullin 1 do të dallojmë dy raste:

a-Kur këndi është dhënë vetëm në gradë e në minuta.

b-Kur këndi është dhënë në gradë, në minuta e në sekonda.

a-Kur këndi është dhënë vetëm në gradë e në minuta, logaritmi i çdo funksioni trigonometrik lexohet

drejtpërdrejt në tabelën II. Pra, për të gjetur log sin 29˚14', kërkojmë faqen sipër së cilës është shënuar

këndi 29˚, që në rastin tonë është faqja 94 e tabelës II të librit me titull “Tabela e logaritmeve”). Po në

këtë faqe (94), në shtyllën e parë nga e majta të shënuar me simbolin e minutës ('), gjejmë 14'

(katërmbëdhjetë minuta). Në rreshtin që është horizontalisht me 14' dhe në shtyllën sipër së cilës

shkruhet sin, lexojmë 9.68875. Këtij logaritmi i heqim 10 dhe gjejmë se:

log sin 29˚ 14'=-1.68875.

Le të gjejmë log cotg 67˚25'. Gradët e këtij funksioni trigonometrik (pra të kotangjentit) do t’i

kërkojmë poshtë faqes përkatëse, në të cilën është shënuar 670. Në rastin tonë është faqja 81. Minutat

do t’i kërkojmë në shtyllën e fundit djathtas të faqes 81. Në rreshtin që është horizontalisht me 25'

dhe në shtyllën me mbishkrimin cotg në fund të saj, lexojmë vlerën 9.61901. Këtij logaritmi i heqim

10 dhe në fund gjejmë se log cotg 67˚25'=-1.61901.

b-Kur këndi është dhënë në gradë, në minuta e në sekonda, veprojmë si më poshtë:

Në tabelë nuk ka asnjë kënd me vlerën 62˚13'39", por ka dy kënde që janë më të afërta me të: njëri

më i vogël dhe tjetri më i madh se 62˚13'39", e që janë përkatësisht 62˚13' dhe 62˚14'. Gjejmë

logaritmin e tangjentit të këndit më të vogël (f. 91): log tg 62˚ 13'=0.27830. Logaritmi i tangjentit të

këndit të kërkuar, pra të këndit 62˚13'39", do të jetë më i madh se log tg 62˚13'. Prandaj log tg 62˚13'

duhet ta zmadhojmë me njëfarë numri Z, që t’i përgjigjet 39".

Po në f. 91 gjejmë se log tg 62˚14'=0.27860, kështu që po në shtyllën me mbishkrimin d.c. të f. 91

gjejmë diferencën e log tg 62˚14' me log tg 62˚13', që është 0.27860-0.27830-0.00030, ose me 30 të

qindmijëtat. Diferenca ndërmjet këndeve që u përgjigjen këtyre logaritmeve është 1' (një minutë) ose

60" (gjashtëdhjetë sekonda këndore). Si rrjedhim del se kur këndi rritet me 60", logaritmi rritet me

0.00030, kurse kur këndi rritet me 39", logaritmi rritet me Z. Duke ditur se diferencat ndërmjet

logaritmeve të funksioneve trigonometrike të dy këndeve të njëpasnjëshme që gjenden në tabelë

janë afërsisht të përpjesshme me diferencat e këndeve përkatëse, sipas rregullës së treshit do të kemi:

60"/39"=30/Z. Që këtej gjejmë se Z=30•39/60=19.5≈20.

Vlerën e sapogjetur ia shtojmë log tg 62˚13'=0.27830, duke gjetur kështu se:

log tg 62˚13'39"=0.27830+20=0.27850.

Shembulli II

Në këtë shembull dallojmë dy raste:

a-Kur logaritmi gjendet në tabelë dhe e lexojmë këndin drejtpërdrejt.

a-Është dhënë log sin x=-1.40346. Të gjendet këndi x.

I shtojmë logaritmit të dhënë 10 dhe do të kemi 9.40346. E kërkojmë këtë numër në shtyllën sipër

(ose poshtë) së cilës është shkruar sin, duke kërkuar më parë dy shifrat e para dhjetore të logaritmit

të dhënë, pra duke kërkuar numrin 40. Pastaj kërkojmë edhe shifrat e tjera, pra në rastin tonë numrin

346. Të dyja këto shifra i gjejmë në f. 65, ku gjejmë se shifrës 40346 i përgjigjen 40'. Meqë mbishkrimi

14

sin gjendet sipër kësaj shtylle, gradët këndore i marrim nga sipër, kurse minutat këndore (në rastin

tonë 40') nga e majta. Duke vepruar kështu, gjejmë se: x=14040'.

b-Kur logaritmi nuk gjendet në tabelë, veprojmë sipas shembullit të mëposhtëm.

Është dhënë log sin x=-1.62034 dhe kërkojmë të gjendet këndi x.

I shtojmë këtij logaritmi 10 dhe do të përftojmë numrin 9.62034, i cili nuk gjendet në tabelën II.

Mirëpo në faqen 85 të kësaj tabele ka dy numra që janë më të përafërt me të: 9.62021 (më i vogël se

logaritmi i dhënë) dhe 9.62049 (më i madh se logaritmi i dhënë). Logaritmit më të vogël i përgjigjet

këndi 24039', kurse logaritmit më të madh i përgjigjet këndi 24

040'. Diferenca tabelore është D=28

të qindmijtat (9.62049-9.62021), që i përgjigjet këndit prej 60''. Diferenca ndërmjet logaritmit më të

vogël të gjetur në tabelë (për këndin 24039') dhe logaritmit të dhënë është 9.62034-9.62021=13 të

qindmijtat. Meqë diferencat ndërmjet logaritmeve të funksioneve trigonometrike të dy këndeve të

njëpasnjëshme që gjenden në tabelë janë afërsisht të përpjesshme me diferencat e këndeve përkatëse,

si dhe duke zbatuar rregullën e treshit, do të kemi: 28:13=60'':Z, nga ku nxjerrim se:

Z=13•60/28=27''.9≈28''. Këtë vlerë të Z-së ia shtojmë këndit më të vogël (24039') dhe do të marrim

kështu x=24039'28''.

-Është dhënë log cotg x=-1.73915. Të gjendet këndi x. Në faqen 93 gjejmë logaritmin më të vogël më

të afërt me logaritmin e dhënë, e që është 9.73897, të cilit i përgjigjet këndi 61016'. Po në f. 93 gjejmë

logaritmin më të madh më të afërt me logaritmin e dhënë, e që është 9.73927, të cilit i përgjigjet këndi

61015'. D=30 (9.73927-9.73897). Diferenca efektive do të jetë: 9.73915-9.73897=18 të qindmijëtat.

Duke arsyetuar si në shembullin e mësipërm, do të marrim: 30:18=60'':Z, nga ku nxjerrim se

Z=18•60''/30=36''. Për të gjetur këndin x, duhet që vlerën e sapomarrë të Z-së t’ia heqim këndit 61016',

që ndryshe mund ta shprehim edhe si këndi 61015'60''. Kështu: x=61

016'-36''=61

015'60''-

36''=61015'24''.

-Me anën e tabelës së tretë mund të zgjidhen këto dy problema:

a-Është dhënë këndi dhe duam të gjejmë vlerat natyrore të funksioneve trigonometrike.

Këtu do të dallojmë tri raste:

a1-Nëse këndet jepen në gradë dhe në dhjetëshe të plota të minutave, vlerat natyrore të funksioneve

trigonometrike të këtyre këndeve i gjejmë drejtpërdrejt në tabelë.

Shembull: Të gjendet sin 42˚30'.

Në faqen 136 (majtas) gjejmë në shtyllën e parë 42˚ dhe në shtyllën e dytë 30'. Në shtyllën që ka të

shënuar sipër mbishkrimin sin dhe në të njëjtin rresht me 30' gjejmë vlerën 0.67559. Pra sin42˚30'=

0.67559.

a2-Nëse minutat nuk jepen në dhjetëshe të plota, veprohet kështu: në të djathtë të shtyllës së secilit

funksion trigonometrik janë shtyllat me mbishkrimin D 1', ku paraqitet ndryshimi i funksionit

trigonometrik për 1 minutë (1'), i cili gjendet duke bërë diferencën ndërmjet dy vlerave njëpasnjëshme

të së njëjtës shtyllë të pjesëtuar pastaj me 10.

Së pari gjejmë vlerën e funksionit që i përgjigjet këndit në dhjetëshe të plota të minutave. Pastaj

diferencën D 1' e shumëzojmë me numrin e minutave që e kalojnë dhjetëshen e këndit të dhënë (që

në rastin tonë është 32'-30'=2'). Ky prodhim (i cili shprehet në të qindmijëtat, ashtu sikurse edhe D

1') i mblidhet vlerës së gjetur të funksionit, kur ky funksion është sinus dhe tangjent, dhe i zbritet

vlerës së gjetur të funksionit, kur ky funksion është kosinus dhe kotangjent.

Shembull: Të gjendet tg 42˚32'. Në f. 136 gjejmë se tg 42˚30'=0.91633, tg42˚40'=0.92170 dhe D 1'=

53.7=(0.92170-0.91633)/10. Për 2' diferenca do të jetë 2•53.7=107.4≈107. Vlerën e sapomarrë ia

shtojmë tg 42˚30' dhe do të kemi: 0.91633+107=0.91740. Pra tg42˚32'=0.91740.

Shembull: Të gjendet cos 27˚13'. Në f. 133 gjemë se vlera e cos 27˚10'=0.88968 dhe vlera e D 1'=

13.3. Pra gjejmë se D 3'=3•13.3=39.9≈40. Vlerën e sapomarrë ia heqim vlerës së cos 27˚10' dhe do

të kemi: 0.88968-40=0.88928. Pra cos 27˚13'=0.88928.

15

a3-Nëse këndi është në gradë, minuta dhe sekonda, veprohet si në rastin a2, por vetëm se tani D 1'

pjesëtohet me 60 dhe përftohet D1'' (diferenca për 1''). Pastaj numrit që del nga pjesëtimi shumëzohet

me numrin e sekondave të këndit të dhënë dhe ky prodhim i mblidhet ose i zbritet vlerës së gjetur të

funksionit.

Shembull: Të gjendet sin 63˚32'14''.

Në f. 133 gjejmë se sin 63˚30'=0.89493 dhe D 1'=12.9. Kështu që D 2'=2•13.9=25.8'. Po kështu gjejmë

se D1''=D1'/60=12.9/60=0.215, pra D14''=0.215•14=3.01''. Pra vlera e sin 63˚32'14''=sin 63˚30'+D2'

+D14''=0.89493+25.8+3.01=0.89522.

b-Është dhënë vlera natyrore e funksioneve trigonometrike dhe duam të gjejmë këndin.

Këtu dallojmë dy raste:

a-Vlera e dhënë e funksionit gjendet drejtpërdrejt në tabelë.

Shembull: Është dhënë sin x=0.57596 dhe duam të gjejmë këndin x.

Duke e kërkuar në f. 135 numrin 0.57596 në shtyllën e sinusit (shtylla mund ta ketë mbishkrimin

sin sipër ose poshtë saj, që në rastin tonë është sipër), gjejmë se këtij numri i përgjigjet këndi x=35010',

që është në shtyllën e parë në të majtë.

Shembull: Është dhënë cos x=0.62932 dhe duam të gjejmë këndin x.

Duke e kërkuar në f. 135 numrin 0.62932 në shtyllën e kosinusit (shtylla mund ta ketë mbishkrimin

sin sipër ose poshtë saj, që në rastin tonë është poshtë), gjejmë se këtij numri i përgjigjet këndi x=510,

që është në shtyllën e fundit në të djathtë.

b-Vlera e dhënë e funksionit nuk gjendet drejtpërdrejt në tabelë.

Shembull: Është dhënë tg =0.87810. Të gjendet këndi x.

Në tabelë kjo vlerë nuk gjendet, por ne do të marrim për të njëjtin funksion vlerën më të afërt me

mungesë (pra më të vogël), pastaj shkruajmë këndin përkatës në gradë këndore dhe në dhjetëshe të

plota të minutave këndore. Në rastin tonë gjejmë se vlera më e afërt me mungesë e 0.87810 është

0.87411, së cilës i përgjigjet këndi 41010' (shih f. 136 me mbishkrimin sipër tang). Gjejmë vlerën e

D1', e cila i përket intervalit të vlerës më të afërt me mungesë dhe asaj me shtesë, që është 0.87955,

për këndin41020': D1'=(0.87955-0.87441)/10=51.4. Bëjmë diferencën ndërmjet vlerës së dhënë të

funksionit dhe vlerës 0.87411: D=0.87810-0.87411=0.00399 (ose 399 të qindmijtat). Pjesëtojmë D

me D1', ku herësi i përftuar do të jetë numri i minutave që do t’u shtohen ose do t’u zbriten këndit të

fituar më parë, që në rastin tonë do t’i shtohen këndit 41010'. Pra: D/D1'=399/51.4=8, kështu që

këndi x=41010'+8'=41

018'.

Nëse pjesëtimi D/D1' nuk do të dilte i plotë, atëherë kjo gjë tregon se këndi që do të gjejmë ka edhe

sekonda. Në këtë rast mbetja e pjesëtimit D/D1' do të pjesëtohet me D1'' dhe ajo që del do t’i

shtohet/hiqet këndit të dhënë.

Shembull: Është dhënë cos x=0.20627. Të gjendet këndi x.

Në f. 130 gjejmë se vlera më e afërt e numrit 0.20627 është numri 0.20507, së cilit i përgjigjet këndi

78010'. Po aty gjejmë se D1'=28.5. Atëherë do të kemi: D=0.20627-0.20507=0.00120 (ose 120 të

qindmijtat). Herësi është D/D1'=120/28.5=4 plus mbetja (që është 6). Pra kemi 4' e disa sekonda.

D1''=D1'/60=28.5/60=0.475.

Duke e pjesëtuar mbetjen e herësit D/D1' (që na doli 6) me 0.475, do të gjejmë sekondat këndore:

6/0.475=12.6''. Atëherë këndi i kërkuar do të jetë: x=78010'-(4'+12.6'')=78

05'47.4''.

C) Mjetet grafike, ndërtimi dhe përdorimi i tyre

Shpeshherë në llogaritjet gjeodezike përdoren grafikët, siç janë diagramet e monogramet. Me vlerat

e funksioneve y=f (x), të llogaritura ose të marra nga tabela, mund të ndërtohen grafikë që mund të

përdoren ashtu si dhe tabelat. Në të, x-si përcakton grafikisht vlerën e funksionit y=f (x) ose vlerat e

funksioneve me më shumë ndryshore.

Paraqitjet grafike të varësive funksionale në gjeodezi quhen grafikë ose diagrame, të cilat ndihmojnë

16

shumë në llogaritje dhe japin saktësi me 2-3 shifra. Grafiku më i thjeshtë është monogrami, që paraqet

funksionin me një ndryshore (fig. 1.1) y=f (x).

Fig. 1.1 Fig. 1.2 Fig. 1.3

Grafik tjetër i funksionit me një ndryshore e që përdoret shpesh, por zë edhe pak vend, është shkalla

dyshe e funksionit (fig. 1.2). Ky lloj grafiku mund t’i zëvendësojë mirë tabelat, meqë mund ta

ndërtojmë me lartësi të çfarëdoshme, d.m.th. duke e ndarë në pjesë dhe duke i bashkuar ato pastaj

me njëra-tjetrën. Për funksionet me dy ndryshore z=f (x,y) mund të ndërtohen grafikët në rrjetë për

çdo vlerë të z=konst, duke përftuar kështu një rrjetë funksionesh (fig. 1.3).

Një grafik i tillë mund të ndërtohet për gjetjen e fs si funksion i f(x) dhe i f(y):

fs= )()( 22 yfxf

Në të njëjtën mënyrë ndërtohen edhe grafikët e funksioneve për shumëzimet: Z=x•y. Në këtë rast

mjafton të pranojmë x=konst., pastaj mund të llogarisim vlerat e Z për vlera të ndryshme të y, të cilat

i vendosim në drejtëzën me ekuacion x=konst. Në ndonjë rast tjetër mund pranojmë Z=konst dhe të

llogarisim vlerat e x në funksion të y. Shembull tipik është grafiku me ekuacion:

Δx=S cos α

Përveç këtyre tipave të grafikëve, në llogaritjet gjeodezike ndeshemi edhe me tipa të tjerë. Nga këto

grafikë, disa nuk paraqesin vështirësi në ndërtim, kurse të tjerë janë të vështirë. Meqë në llogaritjet

gjeodezike përgjithësisht kemi të bëjmë me formula që kanë varësi funksionale me dy ndryshore,

grafikët i ndërtojmë thjesht duke mbajtur njërën nga dy ndryshoret të pandryshueshme, duke kaluar

kështu në funksionin me një ndryshore.

Përdorimi i grafikëve është i thjeshtë dhe i shpejtë. Të dhënat që kemi i vendosim në shkallët e duhura

të grafikut dhe rezultatin e marrim po në grafik. Rezultati përftohet me 2-3 shifra të sakta. Saktësia

e nxjerrjes së shifrave të nevojshme varet nga përmasat e grafikut.

Detyra 1 Ndërtimi i monogramitΔ x=S cosα dhe i monogramit Δ y=S sin α.

Funksioni që përfaqëson Δ x=S cos α është i formës Z=x·y. Për ndërtimin e këtij monogrami do të

marrim një S=konst.=100.00 m, kurse vlerat e kosinusit do t’i llogarisim për çdo 50. Me këto kushte

vlerat e Δ x do të jenë si në tabelën e mëposhtme:

Këndi log sin log cos logS+logcosα Δx Këndi logS+logcosα Δx

0˚

5˚

10˚

15˚

20˚

25˚

30˚

35˚

40˚

45˚

0. 00000

8.94030

9.23967

9.41300

9.53405

9.62595

9.69897

9.70859

9.80807

9.84949

0.00000

9.88834

9.99335

9.98494

9.97299

9.95728

9.93753

9.91336

9.88425

9.84949

2.00000

1.99834

1.99334

1.98494

1.97041

1.95728

1.93753

1.91336

1.88425

1.84949

100.00

99.62

98.48

96.59

93.97

90.63

86.60

81.91

76.60

70.71

50˚

55˚

60˚

65˚

70˚

75˚

80˚

85˚

90˚

1.80807

1.75859

1.69897

1.62595

1.53405

1.41300

1.23967

1.94030

0.00000

64.28

57.36

50.00

42.26

34.20

25.88

17.37

8.87

0.00

17

Pas kësaj, në një letër milimetrike ndërtojmë një rrjet kuadratik me përmasat që duam ne; për rastin

tonë çdo 2 m. Në anën e majtë sipër tij shënojmë vlerat Δx për çdo 10 m. Meqë 10 m në grafik i takojnë

2 cm, atëherë 1 m=2 mm. Në anën e poshtme në çdo 2 cm shënojmë vlerat e largësive 10 m, 20 m, 30

m…100 m. Në anën e djathtë të rrjetit kuadratik, duke filluar nga sipër, vendosim vlerat e llogaritura

të Δx. Bashkojmë me vija të drejta vlerat e vendosura të Δ x me pikën 0 të rrjetit dhe këtu mbaron

ndërtimi i grafikut.

Përdorimi

Nëse duam të gjejmë vlerën e Δx për largësinë S=54 m dhe për α=40˚, veprojmë kështu: Nga largësia

S ngremë një pingule, derisa ajo të takojë vijën që i përket vijës së këndit α. Pastaj anash nga e majta,

pingul me vijën e parë të hequr, lexojmë vlerën e Δx=41.50 m (shih monogramin e mëposhtëm Δx=

Scos α të fig. 1.4).

Fig. 1.4 Fig. 1.5

E njëjta rrugë ndiqet edhe për ndërtimin e monogramit Δy=S sin α (fig. 1.5). Për këtë shërbejnë po të

njëjtat rezultate të llogaritura dhe për Δx, veçse vlerat e Δy janë ato që u përgjigjen këndeve

komplementare të Δx. P.sh., vlera e Δy për S=100 m dhe α=30˚ është e barabartë me vlerën e Δx për

α=60˚, d.m.th. monogrami i dytë është i njëjtë me të parin, por duke ndërruar Δx me Δy, kurse vlerat

e këndeve që janë në monogramin e parë, zëvendësohen me komplementarin e tyre, p.sh.: 85˚ me

5˚, 80˚ me 10˚ etj. Përdorimi është i njëjtë me shembullin e dhënë për Δx.

I.6. Makinat llogaritëse. Përshkrimi dhe përdorimi i tyre për katër veprimet me

vlerat natyrore dhe ato logaritmike

Zgjidhja e detyrave të ndryshme gjeodezike kërkon saktësi dhe vëllim të madh punimesh llogaritëse.

Kjo ka bërë që shumë mjete të thjeshta llogaritëse, që në fushat e tjera të teknikës kanë luajtur rol të

rëndësishëm, në llogaritjet gjeodezike nuk janë përdorur fare.

Po t’i referohemi teknikës llogaritëse, na del se në gjeodezi janë përdorur mjete të ndryshme, duke

filluar nga tabelat, grafikët e ndryshëm, makinat llogaritëse mekanike, ato elektromekanike etj.

Sot në llogaritjet gjeodezike është futur teknika llogaritëse elektronike ose kompjuterët (ordinatorët).

18

Kompjuterët klasifikohen në mënyra të ndryshme, por duke u nisur nga përmasat fizike dhe nga detyrat

që zgjidhin, ata klasifikohen në:

1-kompjuterë; 2-minikompjuterë; 3-mikrokompjuterë; 4-makina llogaritëse (kalkulatriçe), makina

llogaritëse elektronike xhepi.

Në këtë tekst do të trajtojmë detyrat kryesore që mund të zgjidhen me grupin e fundit, si dhe mënyrat

e përdorimit të makinës llogaritëse në zgjidhjen e problemave.

Vetë makinat llogaritëse ndahen në dy grupe:

1-Makina llogaritëse me program, në të cilat mund të regjistrojmë programe relativisht të vogla.

Këto përdoren për të zgjidhur detyrat.

2-Makina llogaritëse për llogaritje inxhinierike (shkencore). Këto dallohen sepse kanë një sërë

funksionesh, të cilat ndihmojnë shumë në llogaritjet inxhinierike.

Makinat e thjeshta llogaritëse përdoren në veprimet llogaritëse ekonomike e tregtare, pasi ato kryejnë

vetëm veprime të thjeshta aritmetike, si mbledhje, zbritje, shumëzim, pjesëtim dhe nxjerrje të rrënjës

katrore të një numri.

Ne do të trajtojmë më gjerë grupin e dytë të makinave llogaritëse, sepse ato përdoren në të gjitha

problemet inxhinierike. Pjesët kryesore të një makine llogaritëse janë:

1-ekrani (ku shpallet rezultati); 2-tastiera (sistemi i butonave); 3-qarku elektronik dhe 4-sistemi i

ushqimit.

Makinë llogaritëse

shkencore

Ekrani mund të jetë me llamba elektronike ose me polarizim. Grupi i dytë po përdoret gjithnjë e më

shumë dhe ka të mirë se është shumë më i rehatshëm për t’u lexuar dhe konsumon më pak energji.

Sistemi i ushqimit është me bateri, me rrjetin elektrik 120 V ose 220 V dhe me bateri diellore, që është

shumë më e mirë.

Tastiera ndahet në tri grupe:

-tastiera numerike, që paraqet numrat nga 0÷9;

-tastiera e veprimeve aritmetike: + (mbledhja); x (shumëzimi); - (zbritja); : (pjesëtimi);

-tastiera e funksioneve trigonometrike (sin, cos dhe tg), tastiera e funksioneve logaritmike (ln dhe

log) dhe tastiera e funksioneve eksponenciale: y=ab.

Në tastierë dallojmë:

I. Tastet e vënies në punë dhe ato të fshirjes, ku bëjnë pjesë:

Tasti i vënies në punë të makina llogaritëse.

Tasti i fikjes së makinës llogaritëse.

Tasti i fshirjes së përgjithshme, jo vetëm i ekranit, por dhe i kujtesës.

Tasti që fshin vetëm veprimin e fundit.

ON

OFF

AC

CI/C

19

II. Tastet e hyrje numerike, ku bëjnë pjesë:

Tastet numerike.

Tasti i pikës dhjetore.

Tasti që jep rezultatin ex=(2.71828…)

x.

Tasti që shërben për vënien e shenjës para numrit të shfaqur në ekran.

Tasti që shërben për të fshirë shifrën e fundit të numrit që po shkruajmë, kur vërejmë se është

shtypur gabim.

III. Tastet që shërbejnë për të zgjedhur mënyrën e punës (në anglisht quhet mode), ku bëjnë pjesë:

Tastet që shërbejnë për të punuar jo në funksionin e parë të tastierës, por me

mënyrën inverse (zakonisht funksionet e shënuara mbi tastet kanë të njëjtën ngjyrë me tastin INV).

P.sh., tasti sin jep tastin e sinusit të këndit të shkruar në ekran. Nëse shtypim tastin INV sin, do të

marrim arcsin (harksinusin) e madhësisë që është shkruar në ekran.

Tasti i mënyrës së llogaritjes. Duke shtypur këtë tast dhe pastaj një nga tastet 1, 2, në ekran,

del shënimi për mënyrën e llogaritjes, pra po llogarisim në sistemin me bazë 0, 2, 8, 16

apo jemi në gjendjen ku në makinë mund të shfrytëzojmë programet e llogaritjeve statistikore.

Tasti i zgjedhjes së pikës dhjetore.

Tasti që shërben për të zgjedhur njësitë e përdorura në kënde: shkallë (deg.), radian, gradë.

IV. Tastet e instruksioneve bazë, ku bëjnë pjesë:

+, -, x, : Tastet e funksioneve kryesore aritmetike.

Tasti i llogaritjes së përqindjes.

Tasti i vlerës reciproke.

Tastet për hapjen dhe për mbylljen e kllapave.

Tasti i kalimit nga numrat të përzier në thyesa.

Tasti për veprime me thyesa (numra të përzier).

V. Tastet e kujtesës, ku bëjnë pjesë:

Tasti i shtimit të përmbajtjes së kujtesës.

Tasti që thërret në ekran përmbajtjen që ndodhet në kujtesë.

Tasti i kujtesës së përgjithshme (që prish përmbajtjen që ndodhet në kujtesë dhe ruan në të

përmbajtjen ekranit).

Tasti i konvertimit/kthimit, i cili shpall në ekran përmbajtjen e kujtesës dhe regjistron në

kujtesë atë të ekranit. Pra shkëmben përmbajtjen e ekranit me atë të kujtesës.

VI. Tastet e numrave me bazë 2, 8 dhe 16, ku bëjnë pjesë:

Tastet e hyrjes për numrat me bazë 2, që ndryshe quhen numra binarë (BIN).

Tastet e hyrjes për numrat me bazë 8 (OCT).

0 ÷ 9

.

exp

+/-

→

INV 2ND

Mode

Fix

DRG

%

RV

( )

d/c

c

ba

M+

MR

SM

X-M

0 1

0 7

20

Tastet e hyrjes për numrat me bazë 16 (HEX).

VII. Tastet e funksioneve, ku bëjnë pjesë:

Tasti i katrorit të një numri.

Tasti i rrënjës katrore të një numri pozitiv.

Tasti i ngritjes në fuqi yx.

Tasti i rrënjës me tregues α.

Tasti i vlerës inverse të numrit x.

Tasti i rrënjës me tregues 3 ose ndryshe i rrënjës kubike të një numri.

Tasti që jep vlerën 3.14.

Tasti që llogarit n!=1•2•3•…•n, që quhet ndryshe edhe n faktorial.

Tasti i sinusit (sin) dhe i harksinusit (sin-1

).

Tasti i kosinusit (cos) dhe i harkkosinusit (cos-1

).

Tasti tangjentit (tg) dhe harktangjentit (tg-1

).

Tasti i logaritmit me bazë 10.

Tasti që jep y=10x.

Tasti i logaritmit me bazë numrin e=2.718281828..., pra tasti i logaritmeve natyrore.

Tasti që jep y=ex.

Tasti i funksioneve hiperbolike.

Tasti që shërben për të kaluar minutat dhe sekondat këndore në pjesë të shkallës apo të

orës.

Tasti që shërben për kalimin e të dhjetave të shkallës apo të orës në minuta dhe në

sekonda.

Tastet që shërbejnë për kalimin e koordinatave të pikës nga sistemi kënddrejtë në

atë polar dhe anasjelltas.

VIII. Tastet e llogaritjeve statistikore, ku bëjnë pjesë:

Tasti që shërben për të futur të dhënat kur punojmë me sipas mënyrës për llogaritjen

statistikore.

Tasti që shërben për të prishur të dhënat që kemi futur të fundit (kur kemi bërë gabim).

Tasti që llogarit shumën e vlerave të futura.

Tasti që llogarit shumën e katrorëve të vlerave të futura.

Tasti që tregon numrin e vlerave që janë futur.

0-9, A, B, C, D, E, F

x2

αx

1/x

3 x

n!

sin/sin-1

cos/cos-1

tg/tg-1

log

10x

ln

ex

Hyp

α→˚ ' "

α ←˚ ' "

R←P; R→P

SUM

DLT

Σx

Σx2

n

21

Tasti që llogarit vlerën mesatare të vlerave të futura.

Tasti që llogarit shmangien mesatare kuadratike: σn=

n

1 2

1

1 )(

xxn

i

Tasti që llogarit shmangien mesatare kuadratike të rregulluar: 1n =)1(

1

n· 2

1

1 )(

xxn

i

Ushtrime: Mbi përdorimin e makinës llogaritëse shkencore

Të kryhen veprimet e mëposhtme:

1. 2(3+4)=14. Për llogaritjen me makinë llogaritëse ndiqet radha e mëposhtme e shtypjes së tasteve:

2 x ( 3 + 4 ) = 14

2. 1+[(4–3.6+5)0.8–6]4.2=-6.056. Për llogaritjen me makinë llogaritëse ndiqet radha e mëposhtme e

shtypjes së tasteve:

1 + [ ( 4 - 3.6 + 5 ) x 0.8 - 6 ] x 4.2 = - 6.056

Duhet të kemi parasysh që po u hapën kllapat, ato patjetër duhet të mbyllen.

3. Më poshtë po shpjegojmë se si kryhen veprimet me makinën llogaritëse:

1-Llogariten funksionet kryesore.

2-Kryhen veprimet në kllapa.

3-Kryhen veprimet e ngritjes në fuqi dhe të nxjerrjes së rrënjës.

4-Kryhen veprimet e shumëzimit dhe të pjesëtimit.

5-Kryhen veprimet e mbledhjes dhe të zbritjes.

5 : 4 2 x 7 + 3 x 0.5 x cos 60˚

1 | | | |--4--|

|-2-| | | |---5---|

|----6------׀ |----3----|

|--------7--------|

Tastet që

shtypen

5 4 7 3 60 y

x x + x 5 cos =

Shpallja në

ekran

5 16 1 0.3155 2 2.1875 3 3 0.5 4 0.5 4 4.30882044 5

4. (321x10-14

)x(65x1028

)=2.0865x1018

. Për llogaritjen me makinë llogaritëse ndiqet radha e

mëposhtme e shtypjes së tasteve:

3 2 1 exp 1 4 +/- x 6 5 exp 2 8 = 2.086518

5. 84

832

4

5

7

43

3

2 . Për llogaritjen me makinë llogaritëse ndiqet radha e mëposhtme e shtypjes së

tasteve:

2

c

ba

3 + 3

c

ba

4

c

ba

7 - 5

c

ba

4 = 2

84

83

6. (200

8112:

5

2)

8

32

5

3 x . Për llogaritjen me makinë llogaritëse ndiqet radha e mëposhtme e

shtypjes së tasteve:

x

σn

σn-1

22

(

3 c

ba

5

+

2 c

ba

3 c

ba

8

)

x

2 c

ba

5 c

ba

:

2

-

1

= -200

81

7. sin530=0.798635. Në tastin DGR zgjidhet moda DEG, pra, për llogaritjen me makinë llogaritëse

ndiqet radha e mëposhtme e shtypjes së tasteve:

5 3 sin DEG 0.798635

8. sin 62˚13'41.6"=0.884810. Për llogaritjen me makinë llogaritëse ndiqet radha e mëposhtme e

shtypjes së tasteve:

Pra, në fillim shkruhet këndi në formën e një numri dhjetor, ku pjesën e plotë e përbëjnë shkallët e

këndit, të dhjetat dhe të qindtat përbëjnë minutat, kurse të mijtat e dhjetëmijtat e përbëjnë sekondat

dhe pjesët e sekondës. Pra: 62˚13'41.6" e shkruajmë si numër dhjetor 62.13416. Në fillim do të

shtypim DEG dhe do të përftojmë 62.228222, pastaj do të shtypim sin dhe do të marrim 0.884810.

9. Jepet ln sin x=0.906183 dhe duam të gjejmë këndin x.

Për këtë veprojmë kështu: Shkruajmë numrin 0.906183, shtypin tastet: 2ndF, sin, 2ndF, DEG dhe

përftojmë këndin 64˚58'59.1".

Në mënyrë të ngjashme veprohet edhe kur këndi është i shprehur në njësi të tjera: gradë ose radian,

por duhet pasur kujdes të zgjidhet mënyra (mode) e llogaritjes.

Në të njëjtën mënyrë bëhet dhe llogaritja e logaritmeve me bazë 10.

10. Të gjendet logaritmi me bazë 10 i sinusit të këndit 62˚13'41.6". Për këtë qëllim veprojmë

kështu: e shkruajmë këndin 62˚13'41.6" si numër dhjetor 62.13416. Pastaj shtypim tastin DEG dhe

në ekranin e makinës llogaritëse do të shfaqet numri dhjetor 62.228222. Pastaj shtypim tastin sin

dhe në ekran do të dalë numri 0.884810. Pastaj shtypin tastin log dhe në ekran do të na dalë numri

-0.0531497, pastaj shtypin numrin +10 dhe në ekran do të na dalë numri 9.946850.

Për të gjetur këndin kur është dhënë logaritmi i sinusit të tij, bëhet veprimi i kundërt.

Poshtë jepet skema e radhës së shtypjes së tasteve për gjetjen e log sin62˚13'41.6".

këndi DEG sin log + 10 → log

Poshtë jepet skema e radhës së shtypjes së tasteve për gjetjen e këndit, kur është dhënë logaritmi.

I.7. Rastet e zgjidhjes së trekëndëshave

Dimë se një trekëndësh çfarëdo ka 6 elemente kryesore: tri kënde dhe tri brinjë. Për të ndërtuar një

trekëndësh, mjafton që të jepen tri elemente, ku patjetër njëri prej tyre duhet të jetë brinja, sepse për

të ndërtuar një trekëndësh nuk mjafton dhënia e tri këndeve. Po të jepen vetëm tri kënde, dihet se me

to mund të ndërtohen një pafundësi trekëndëshash që mund ta kënaqin kushtin. Nëse njohim vetëm

dy elemente të një trekëndëshi, atëherë mund të ndërtojmë një pafundësi trekëndëshash, pasi ne

mund ta zgjedhim sipas dëshirës elementin e tij të tretë.

Trekëndëshi i fig. 1.6 është i përcaktuar plotësisht kur njihen:

1-Një brinjë dhe dy këndet e anëshkruar kësaj brinje, por me kusht që shuma e dy këndeve të jetë<1800

(K.B.K.). 2-Dy brinjë dhe këndi midis tyre, por me kusht që ky kënd të jetë<180

0 (B.K.B.).

3-Tri brinjët, por me kusht që gjatësitë e brinjëve të kënaqin teoremën e pabarazisë së trekëndëshit,

që thotë se shuma e gjatësisë së dy brinjëve të trekëndëshit duhet të jetë më e madhe se gjatësia e

brinjës së tretë (B.B.B.).

6 2 • 1 3 4 1 6 DEG sin 0.884810

log - 10 2ndF log 2ndF sin 2ndF DEG këndi

23

Fig. 1.6

Për zgjidhjen analitike përdoren formulat e trigonometrisë plane. Konkretisht, për dy rastet e para

përdoren formulat e teoremës së sinusit, kurse për rastin e tretë formulat e gjysmëperimetrit. Në

gjeodezi, për të tria rastet formulat e mësipërme zbatohen duke përdorur formularë të caktuar për t’i

zgjidhur me makinë llogaritëse.

Rasti i parë

Janë matur këndet β1 e β2 në trekëndëshin ABC dhe brinja c. Të llogaritet këndi β3 dhe brinjët a e b.

Nga gjeometria dimë se shuma e tri këndeve (β 1 , β 2 , β 3 ) të një trekëndëshi çfarëdo është 1800. Pra:

β 1 +β 2 +β 3 =1800. Që këtej nxjerrim se: β 3 =180

0-(β 1 +β 2 ). Gjithashtu po nga gjeometria dimë se:

1sin

a=

2sin

b=

3sin

c(e njohur si teorema e sinusit), nga ku del se:

a=sin β1

3sin

c dhe b=sin β2

3sin

c.

Rasti i dytë Janë dhënë brinjët a e b në trekëndëshin ABC dhe këndi β3 ndërmjet tyre Të llogariten brinja c dhe

këndet β1 e β2. Për këtë veprojmë sipas kësaj radhë pune:

1-Nga teorema e sinusit llogarisim brinjën e tretë c me formulën: c=1sin

a sinβ3 ose c=

2sin

bsinβ3

2-Për llogaritjen e këndit nisemi nga formula: 1sin

a=

2sin

b, të cilën e shkruajmë edhe si:

b

a=

2

1

sin

sin

Nëse u shtojmë dhe u heqim nga 1 të dyja anëve të këtij barazimi, atëherë ky është i njëvlershëm me

dy barazimet e mëposhtme:

b

a+1=

2

1

sin

sin

+1 ose:

b

a-1=

2

1

sin

sin

-1

Duke bërë disa veprime transformimi, do të kemi:

b

ba =

2

21

sin

sinsin

dhe

b

ba =

2

21

sin

sinsin

24

Duke i pjesëtuar anë për anë të dyja barazimet e mësipërme, si dhe duke shfrytëzuar formulat që na

japin lidhjet ndërmjet funksioneve trigonometrike të shumës dhe të diferencës së këndeve (pra në

rastin tonë të shumës sinβ1+sinβ2 dhe të diferencës sinβ1-sinβ2), do të kemi:

ba

ba

=

21

21

sinsin

sinsin

=

2sin

2cos2

2cos

2sin2

2121

2121

Formula e mësipërme mund të shkruhet në trajtën e mëposhtme:

ba

ba

=tg

2

21 •cotg

2

21 =

2

2

21

21

tg

tg

Nga formula e mësipërme nxjerrim se:

tg2

21 =tg

2

21 •

ba

ba

Duke shënuar me ε=2

21 dhe me E=

2

21 =

2

180 3 , atëherë do të marrim:

tg ε=ba

ba

•tg E dhe β1=E+ε dhe β2=E-ε

Për kontroll të llogaritjeve duhet që β1+β2+β3=180.0

Rasti i tretë Janë dhënë tri brinjët a, b, c të një trekëndëshi dhe kërkohet të llogariten këndet β1, β2 dhe β3.

Për zgjidhjen e këtij rasti përdorim formulat e gjysmëperimetrit p, i cili llogaritet me formulën:

p=2

1(a+b+c)

Gjithashtu përdoren edhe formulat që shprehin lidhjen ndërmjet funksioneve trigonometrike të

këndeve të një trekëndëshi me gjysmëperimetrin dhe rrezen (r) e rrethit të brendashkruar trekëndëshit:

tg2

1 =ap

r

, tg

2

2 =bp

r

, tg

cp

r

2

3

Ku r është rrezja e rrethit të brendashkruar trekëndëshit, e cila llogaritet me formulën e mëposhtme:

r=p

cpbpap ))()((

Për të lehtësuar llogaritjet, përdorim formularët e mëposhtëm.

DETYRA 2: Zgjidhja e rastit të parë të trekëndëshave, kur janë dhënë β1=71˚33'30",

β2= 32˚09'10"dhe brinja c=70.93.

Nr. Formulat Veprimet Nr. Formulat Veprimet

1 β1 71˚33'30" 7 a=8 • 9 69.26

2 β2 32˚09'10" 8 sin β1 0.948646

3 c 70.93 9

3sin

c

73.010582

4 β1+β2 103˚42'40" 10 sin β2 0.532179

5 β3=180-(β1+β2) 76˚17'20" 11 b=9 • 10 38.85

6 sin β3 0.971503

25

DETYRA 3: Zgjidhja e rastit të dytë të trekëndëshave, kur janë dhënë a, b dhe β3.

Nr. Formulat Veprimet Nr. Formulat Veprimet 1 a 69.26 11 β1=7+10 71˚33'41"

2 b 38.85 12 β2=7-10 32˚08'59"

3 a-b 30.41 13 β3 76˚17'20"

4 a+b 108.11 14 β1+β2+β3 180˚00'00"

5 (a-b)/(a+b) 0.281288 15 c=2•18 70.93

6 180-β 3

103˚42'40" 16 sin β3/sin β2 1.825674

7 E=(180-β 3 )/2

51˚51'51" 17 sinβ2 0.532134

8 tg E 1.273312 18 sinβ3 0.971503

9 tg ε=8x5

0.358167 19 sinβ1 0.948663

10 ε 19˚42'21"

20 sinβ3/sinβ1 1.024076

21 c=1•19 70.93

DETYRA 4: Zgjidhja e rastit të tretë trekëndëshave, kur janë dhënë tri brinjët e tij a, b dhe c.

Nr. Formulat Veprimet Nr. Formulat Veprimet

1 a 69.26 12 tg (β1/2)=11/6 0.720668

2 b 38.85 13 tg (β2/2)=11/7 0.288154

3 c 70.93 14 tg (β3/2)=11/8 0.785408

4 2p=1+2+3 179.04 15 β1/2 35˚46'45"

5 p=/2 89.52 16 β2/2 16˚04'28"

6 p–a=(5-1) 20.26 17 β3/2 38˚08'47"

7 p–b=(5-2) 50.67 18 β1 71˚33'30"

8 p–c=(5-3) 18.59 19 β2 32˚08'56"

9 (p-a)(p-b)(p-c) 19084.01438 20 β3 76˚17'34"

10 r2=9/5 /(p-a)(p-b)(p-c)/p 213.1815726 21 Σβ=β1+β2+β3 180˚00'00"

11 r 14.600739

26

TEMA II

FORMULAT THEMELORE TË LLOGARITJEVE GJEODEZIKE

II.1. Koordinatat ortogonale, kuadratet dhe shenjat

Pozicioni i një pike në rrafsh përcaktohet nga madhësi gjatësore, që merren në një sistem të caktuar

boshtesh kënddrejta të quajtura koordinata të kësaj pike. Boshti (+x -x), i cili quhet boshti abshisave,

kur koordinatat janë shtetërore, merret në drejtim të meridianit, pra në drejtimin veri-jug. Boshti (+y

-y), i cili quhet boshti i ordinatave, merret në drejtim të ekuatorit, pra në drejtimin perëndim-lindje.

Ndërprerja e këtyre boshteve përcakton pikën zero, që është origjina e koordinatave, formon katër

kuadrate, të cilat numërohen në kahun orar, si në fig. 2.1.

Fig. 2.1

Fig. 2.2

Pozicioni i segmentit AB (fig. 2.2) përcaktohet nga koordinatat e pikës A (XA,YA) dhe e pikës B

(XB,YB). Diferencat e koordinatave të pikës B me pikën A quhet ndryshime të koordinatave, të cilat

shënohen përkatësisht me ΔxAB e me ΔyAB, të cilat llogariten me formulat e mëposhtme:

ΔxAB=XB-XA dhe ΔyAB=YB-YA

Nga formula e mësipërme nxjerrim se koordinata e pikës B do të jetë e barabartë me koordinatën e

pikës A plus ndryshimin e koordinatave:

XB=ΔxAB+XA dhe YB=ΔyAB+YA

Në varësi të drejtimit të vijës, ndryshimi i koordinatave mund të jetë pozitiv ose negativ. Drejtimi i

vijës AB përcaktohet nga këndi i drejtimit, shenjat e të cilit varet nga intervali i këtij këndi (kuadrati).

Në tabelën e mëposhtme tregohen shenjat e ndryshimit të koordinatave të pikave sipas kuadrateve,

intervalit dhe këndit të tabelës.

Tabela 1 Intervali Kuadrati Pika Shenja e Këndi i drejtimit

Δx Δy

0˚-90˚ I 1 + + α12=φ1

90˚-180˚ II 2 - + α12=180–φ2

180˚-270˚ III 3 - - α12=180+φ3

270˚-360˚ IV 4 + - α12=360-φ4

Në fig. 2.3 janë dhënë koordinatat e pikës 1 (X1,Y1) dhe të pikës 2 (X2,Y2), këndi i drejtimit të kësaj

vije α12 dhe largësia S12 ndërmjet pikës 1 dhe pikës 2. Nga trekëndëshi nxjerrim këto formula kryesore:

27

1-Formula e ndryshimit të koordinatave: Δx12=S12•cos α12 dhe Δy12=S12 •sin α12

2-Formulat e tangjentes së këndit të drejtimit: tg α12=12

12

XX

YY

=

12

12

X

Y

3-Formula e largësisë midis dy pikave:

S12=12

12

cos

X ose :S12=

12

12

sin

Y; ose: S12=

12

12

cos

XX =

12

12

sin

YY ; ose: S12= 12

212

2 yx

4. Formula e llogaritjes së koordinatës së pikës 2: X2=X1+Δx12, dhe Y2=Y1+Δy12

Me ndihmën e këtyre formulave kryhen detyra të ndryshme me koordinata. Që llogaritjet të kryhen

shpejt dhe pa gabime, përdorim formularë të posaçëm.

II.2. Detyra e drejtë e gjeodezisë. Shenjat dhe kuadratet

Në gjeodezi ndeshemi shpesh me detyra që kanë të bëjnë me përcaktimin e koordinatave të një pike

kur njihen koordinatat e saj 1(X1,Y1), largësia midis dy pikave S12 dhe këndi i drejtimit α12 i këtij

segmenti. Kjo detyrë quhet detyra e drejtë e gjeodezisë. Për zgjidhjen e kësaj detyre kërkohet

koordinata e pikës tjetër 2, që llogaritet me formulat: X2=X1+Δx12 dhe Y2=Y1+Δy12. Llogarisim ndryshim e koordinatave me formulat: Δx12=S12•cos α12 dhe Δy12=S12 •sin α12.

Shenja e ndryshimit të koordinatave varet nga këndi i drejtimit.

II.3. Detyra e kundërt e gjeodezisë. Shenjat dhe kuadratet

Në detyrën e kundërt të gjeodezisë janë dhënë koordinatat e pikës 1 (X 1 ,Y 1 ) e të pikës 2 (X 2 ,Y 2 )

dhe kërkohet të llogariten gjatësia e segmentit S12 dhe këndi i drejtimit α12.

Këndi i drejtimit llogaritet me formulën:

tg α12=12

12

XX

YY

=

12

12

X

Y

Këndi që del nga veprimet është këndi i tabelës. Vetë këndi llogaritet me formulat e tabelës 1, sipas

kuadratit. Largësia ndërmjet dy pikave llogaritet me formulën:

S12=12

12

cos

XX =

12

12

sin

YY

Detyra llogaritet me makinë llogaritëse dhe duke përdorur një formular.

Detyra 5: Llogaritja e detyrës së drejtë të gjeodezisë

Janë dhënë këndi i drejtimit α12, largësia S12 dhe koordinata e pikës 1. Kërkohet koordinata e pikës 2.

Radha e veprimeve Formulat Vlerat Të dhënat

8 X 2 2236.59 X1=2354.26; Y1=1638.85

S12=165.42; α12=135˚20'30"

6 X 1 2354.26

4 Δx 12 =1 x 2 -117.67

2 cos α12 0.711312

1 S12 165.42

3 sin α12 0.702878

5 Δy12=1 x 3 +116.27 Koordinatat e pikës 2 janë:

X2=2236.59

Y2=1755.12 7 Y1 1638.85

9 Y2= 1755.12

28

Detyra 6: Llogaritja e detyrës së kundërt të gjeodezisë

Janë dhënë koordinatat e dy pikave 1 e 2. Kërkohet këndi i drejtimit α12 dhe largësia S12.

1 X2 12 354.61 4 Y2 11 597.39

2 X1 12 520.30 5 Y1 11 715.60

3 Δx12=X2-X1 -165.69 6 Δy12=Y2-Y1 -118.21

12

S 12 =12

12

sin

Y

203.54 α12=180˚00'00"+35˚30'20"=

215˚30'20". Ai ndodhet në kuadratin III.

10 sin α12 0.580783

7 tg α12=

12

12

X

Y

0.713441 8 φ12 35˚30'20"

11 cos α12 0.814059 9 α12 215˚30'20"

13 S 12 =

12

12

cos

X

203.54

29

TEMA III

LLOGARITJET GJEODEZIKE NË SISTEMIN E KOORDINATAVE

ORTOGONALE

III.1. Llogaritja dhe ndërplotësimi i poligonit të mbyllur

Poligoni është një shumëkëndësh, kulmet e të cilit janë të fiksuara në terren. Në poligon maten brinjët

me metër shirit dhe këndet horizontale. Sipas rastit, poligonet mund të jenë të hapura ose të mbyllura.

Detyra e poligonit të mbyllur qëndron në llogaritjen e koordinatave të kulmeve të tij. Për këtë qëllim

është e domosdoshme koordinata e një pike dhe këndi i drejtimit të brinjës fillestare. Në çdo poligon

të mbyllur duhet të plotësohen tri kushte kryesore gjeometrike (fig. 3.1):

1-Shuma e këndeve të matura duhet të jetë i barabartë me atë teorike:

Σβt=1800 (n-2), për kënde të brendshme (vetëm për shumëkëndësha të mysët);

Σβt=1800 (n+2), për kënde të jashtme.

Shumëkëndësh i mysët quhet shumëkëndëshi që diagonalet bien brenda tij dhe nuk ndërpresin asnjë

brinjë ose kur asnjë nga drejtëzat që kalon nga secila brinjë e shumëkëndëshit nuk përmban asnjë

pikë që gjendet brenda tij (shumëkëndëshit).

Gabimi në mbylljen këndore llogaritet me formulën: f βp=Σβt–Σβ=1800(n-2)-Σβ.

ku: n-numri i kulmeve në poligonin e mbyllur.

2-Shuma e ndryshimit të abshisave duhet të jetë zero, pra: ΣΔx=0.

3-Shuma e ndryshimit të ordinatave duhet të jetë zero, pra: ΣΔy=0.

Fig. 3.1

Për shkak të gabimeve të pashmangshme në procesin e matjes së këndeve dhe të brinjëve, këto kushte

nuk plotësohen, prandaj, para llogaritjeve përfundimtare, bëhet ndërplotësimi (kompensimi) i këndeve

dhe i ndryshimit të koordinatave. Zgjidhja e poligoni të mbyllur bëhet sipas radhës së mëposhtme:

a-Ndërplotësimi i këndeve të matura β të poligonit, shuma e të cilave duhet të jetë e barabartë me

shumën teorike:

Σβ=α'+β'+γ'+δ'+ε'

Ndryshimi ndërmjet shumës së këndeve teorike dhe shumës së këndeve të matura jep gabimin ose

mosmbylljen këndore të poligonit, që llogaritet me formulën:

fβp=Σβt-Σβ=1800 (n-2)-Σβ

Sipas kësaj formule del se kur shuma e këndeve të matura është më e madhe se ajo teorike, gabimi

f βp do të marrë shenjën minus (-), ndërsa kur kjo shumë është më e vogël se ajo teorike, atëherë

gabimi f βp do të marrë shenjën plus (+).

30

Gabimi i lejuar përcaktohet me formulën: f βt=1.5 δ n

ku:

δ-saktësia e instrumentit këndmatës;

n-numri i këndeve.

Kur mosmbyllja del brenda kufirit të lejuar, ajo shpërndahet sipas shenjës me formulën Δ=f βt/n në

vlerë të barabartë në të gjitha këndet e matura.

Mbas ndërplotësimit, shuma e këndeve duhet të japë shumën teorike.

b-Llogaritja e këndeve të drejtimit në dy drejtime. Për llogaritjen e ndryshimit të koordinatave janë

të domosdoshme këndet e drejtimit të çdo brinje të poligonit. Nga emërtimi i pikave në poligonin e

mbyllur, dallojmë poligon të emërtuar në kahun orar dhe poligon të emërtuar në kahun e kundërt me

atë orar.

Në poligonin e emërtuar në kahun orar (fig. 3.2) dhe në poligonin e emërtuar në kahun e kundërt me

atë orar (fig. 3.3), këndi i drejtimit llogaritet me formulat e mëposhtme:

α12 e dhënë α12 e dhënë

α23=α12+1800-β2 α23=α12-180

0+β2

α34=α23+1800-β3 α34=α23-180

0+β3

α45=α34+1800-β4 α45=α34-180

0+β4

α51=α45+1800-β5 α51=α45-180

0+β5

α12=α51+1800-β1 (për kontroll) α12=α51-180

0+β1 (për kontroll)

Fig. 3.2 Fig. 3.3

Shembull 1. Në poligonin e fig. 3.2 janë matur këto kënde:

Këndi i matur Këndi i korrigjuar

β1=121˚28'00" β1=121˚27'36"

β2=108˚27'00" β2=108˚26'36"

β3= 84˚10'00" β3=84˚09'36"

β4=135˚49'00" β4=135˚48'36"

β5= 90˚08'00" β5=90˚07'36"

Σβ=540˚02'00" Σβ=540˚02'00"

Σβt=1800(n-2)=180

0(5-2)=540

0 Δ=

n

f p=

5

''120=24" f βp=+02'

Është dhënë këndi i drejtimit α12=124˚43'00". Llogarisni këndet e drejtimit për çdo brinjë, duke

përdorur formulën me kënde në kahun orar: α23=α12+1800-β2.

31

124˚43' 00"=α12 K. II: Δx-, Δy+, φ 12 =55˚17'00"

+1800

__________

304˚43'00" 336˚18'12"=α45 K. IV

-108˚26'36" + 1800

_________ __________

196˚19'24"=α23 K. III 516˚18'12"

+1800 - 90˚07'36"

__________ __________

376˚16'24" 426˚10'36"

-84˚09'36" - 3600

__________ ________

292˚06'48"=α34 K. IV 66˚10'36"=α51 K. I

+1800 + 180

0

__________ __________

472˚06'48" 246˚10'36"

-135˚48'36" - 121˚27'36"

__________ _________

336˚18'12"= α45 K. IV 124˚43'00"=α12 K. II

Shembulli 2. Duke përdorur këndet e korrigjuara të shembullit 1, të llogariten këndet e drejtimit sipas

fig. 3.3, ku përdoret formula: α23=α12-180+β2.

124˚43'00"=α12 K. II, Δx-, Δy+, φ 12 =55˚17'00"

+108˚26'36"

_________

233˚09'36" 273˚07'48"=α45 K. IV

-180 + 90˚07'36"

_________ ________

53˚09'36"=α23 K. I 363˚15'24"

+84˚09'36" - 1800

_________ ________

137˚19'12" 183˚15'24"=α51 K. I

+1800 + 121˚27'36"

________ ________

317˚19'12"=α34 K. IV 304˚43'00"

+135˚48'36" - 1800

________ ________

453˚07'48" - 124˚43'00"=α12 K. II

-1800

________

273˚07'48"=α45 K. IV

Pasi llogariten këndet e drejtimit, llogariten këndet e tabelës, kuadrati dhe shenja përkatëse e

ndryshimit të koordinatave Δx dhe Δy.

c-Llogaritja dhe ndërplotësimi i ndryshimit të koordinatave në poligonin e mbyllur. Në këtë rast

llogariten ndryshimet e koordinatave për pesë këndet e drejtimit me formulat e mëposhtme:

ΔX ΔX12=S12cos α12 ΔX23=S23cos α23 ΔX34=S34cos α34 ΔX45=S45cosα45 ΔX51=S51cos α51

ΔY ΔY12=S12sin α12 ΔY 23 =S23sin α23 ΔY34=S34sin α34 ΔY45=S45sinα45 ΔY51=S51sin α51

32

Pas llogaritjes duhet të plotësohet kushti që ΣΔx=0 dhe ΣΔy=0.

Meqë kemi përdorur brinjët e matura që përmbajnë gabime dhe kënde të korrigjuara, shuma e

ndryshimeve të koordinatave nuk del zero, kështu që poligoni nuk mbyllet në pikën e fillimit të tij

(fig. 3.4).

Largësi fs midis dy pikave që nuk përputhen, quhet mosmbyllje gjatësore. Kjo mosmbyllje është

hipotenuza e trekëndëshit kënddrejtë, që ka si katete mosmbylljet në boshtet x e y. Katetet shënohen

me fx e fy dhe llogariten me formulat: fx=ΣΔx-Δx' dhe fy=ΣΔy-ΣΔy'.

ku: fx=-ΣΔx' dhe fy=-ΣΔy'.

Me mosmbylljet në boshtet e koordinatave llogaritim mosmbylljen gjatësore të poligonit me formulën:

fs= 22 fyfx . Madhësia fs varet nga saktësia e matjes së brinjëve e të këndeve. Në bazë të saj bëjmë

vlerësimin e matjeve. Për këtë qëllim krijojmë raportin:

fs=fsSS

fs

:

1

i cili duhet të jetë brenda gabimit relativ që kërkohet për poligonin e dhënë.

Fig. 3.4

Nëse mosmbyllja gjatësore fs është brenda kufirit, bëhet ndërplotësimi i ndryshimit të koordinatave,

d.m.th. bëhet shpërndarja e mosmbylljes fx e fy në ndryshimet e llogaritura të koordinatave, por kjo

në përpjesëtim të drejtë me gjatësinë e brinjëve. Prandaj në fillim llogaritet korrigjimi për njësinë e

perimetrit të poligonit, p.sh. për 1 m brinjë, me formulat: S

fx

dhe

S

fy

.

Këto dy formula të mësipërme, të shumëzuara me brinjët përkatëse, japin korrigjimet e ndryshimit

të koordinatave: dxi=S

fx

·Si , dy i =

S

fy

Si ; Δxi=Δx'+dxi; Δyi=Δy'+dyi

Korrigjimet e ndryshimit të koordinatave duhet të plotësojnë kushtin gjeometrik: ΣΔx=0 dhe ΣΔy=0.

d-Llogaritja e koordinatave në poligonin e mbyllur. Me ndryshimin e koordinatave të korrigjuara,

duke u nisur nga koordinata e pikës fillestare, llogarisim koordinatat e të gjitha pikave me formulat

e mëposhtme:

X1 e dhënë X2=X1+Δx12 X3=X2+Δx23 X4=X3+Δx34 X5=X4+Δx45 X1=X5+Δx51

Y1 e dhënë Y2=Y1+Δy12 Y3=Y2+Δy23 Y4=Y3+Δy34 Y5=Y4+Δy45 Y1=Y5+Δy51

Shembull: Janë dhënë këndet matura β, brinjët e poligonit S, këndi drejtimit α12 dhe koordinatat e

pikës 1 (X1,Y1). Kërkohen koordinatat e pikave të poligonit.

Llogaritja e poligonit të mbyllur llogaritet në formular të posaçëm të përshtatur për zgjidhje me

makinë llogaritëse dhe logaritme.

33

Detyra 7: Llogaritja e poligonit të mbyllur (me makinë llogaritëse).

Pika

Kёndet

e matura

Kёndet e

korrigjuara

Kёndet e

drejtimit

Kёndet e

tabelёs

S cosα

sinα

Ndryshimi i

koordinatave

Ndryshimi i

korrigjuar

Koordinatat Pika

Δ'x Δ'y Δx Δy X Y

1

124°43'00''

55°17'00''

201.60

0.56952

0.82190

-0.06

-114.82 +0.01

165.71

-114.88

165.72

1632.26 864.35 1

2

-24

108°27'00"

108°26'36"

1517.38 1030.07 2

53°09'36''

53°09'36''

263.42

0.59958 5.80031

-0.07

157.94 +0.01

210,82

157.87

210.83

3

-24

84°10'00"

84°09'36"

1675.25 1240.91 3

317°07'12''

42°52'48''

241.03

0,73515

0.67790

-0.06

177.19 +0.01

-

163.39

177.13

-163.38

4

-24

135°49'00"

135°48'36"

1852.38 1077.53 4

273°07'48''

93°07'48''

200.36

0.05460

0.99851

-0.06

+10.94 +0.01

-

200.06

+10.88

-200.05

5

-24

90°08'00"

90°07'36"

1863.26 877.48 5

183°15'24''

3°15'24''

321.31

0.99838

0.05681

-0.06

-230.94 +0.01

-13.14 231.00

-13.13

1

-24

121°28'00"

121°27'36" 1632.26 864.35 1

124°43'00''

+

-

346.07

345.76

+0.31

376.53

376.59

-0.06

Σβ=540°02'00" ΣS=1137.72

Σβt=540°00'00

"

fβt=+02'

Δβ=5

120 ''

=24"; fs= 22 fyfx =±0.32; fs=fsSS

fs

:

1

=

72.1137

32.0=

3600

1

34

Llogaritja e poligonit të mbyllur (me logaritme)

Pika

Kёndet

e matura

Kёndet

e

korrigjuara

Kёndet

e

drejtimit

Kёndet

e tabelёs

S cosα

log S

sinα

Ndryshimi i

koordinatave

Ndryshimi i

korrigjuar

Koordinatat Pika

Δ'x Δ'y Δx Δy X Y

1

K. II

124°43'00''

55°17'00''

201.60

9.755608 2.304490

9.914860

-0.06

-114.82

+0.01

165.71

-114.88

165.72

1632.26

864.35

1

2

-24

108°27'00"

108°26'36"

1517.38

1030.07

2 K. I

53°09'36''

53°09'36''

263.42

9.777848

2.420648 9.903259

-0.07

157.94 +0.01

210.82

157.87

210.83

3

-24

84°10' 00"

84°09' 36"

1675.25

1240.91

3 K. IV

317°07'12''

42°52'48''

241.03

9.866376

2.382071 9.831167

-0.06

177.19

+0.01

-163.39

177.13

-163.38

4

-24

135°49'00" 135°48' 36"

1852.38

1077.53

4 K. IV 273°07'48''

93°07'48''

200.36

8.737205 2.301811

9.999298

-0.06

+10.94 +0.01

-200.06 +10.88

-200.05

5

-24

90°08'00"

90°07'36"

1863.26

877.48

5 K. III

183°15'24''

3°15'24''

321.31

9.999298

2.364194 8.754416

-0.06

-230.94 +0.01

-13.14

231.00

-13.13

1

-24

121°28'00"

121°27'36"

1632.26

864.35

1

124°43'00''

+

-

346.07

345.76

+0.31

376.53

376.59

-0.06

Σ β 540°02' 00"

Σ βt 540°00' 00"

35

III.2. Llogaritja dhe ndërplotësimi i poligonit të hapur

Poligoni i hapur lidhet zakonisht në dy pika me koordinata dhe me kënde drejtimi të njohura.

Koordinatat në poligonit të hapur llogariten njëlloj si në poligonin e mbyllur, por duhet të plotësohen

këto kushte kryesore gjeometrike:

1-Shuma e këndeve të matura duhet të jetë i barabartë me atë teorike, kurse gabimi në mosmbylljen

këndore llogaritet me formulën: Σβt=Σβ-(αm-αf)-n·180

ku: n-numri i pikave që përcaktohen;

αm-këndi i drejtimit të mbarimit (i dhënë);

αf këndi i drejtimit të fillimit (i dhënë).

2-Shuma e ndryshimit të abshisave duhet të jetë: ΣΔx=Xf-Xm.

3-Shuma e ndryshimit të ordinatave duhet të jetë: ΣΔy=Yf-Ym.

ku: Xf, Yf-koordinatat e pikës së fillimit;

Xm,Ym-koordinatat e pikës së mbarimit.

Për shkak të gabimeve të pashmangshme në procesin e matjes së këndeve dhe të brinjëve, këto kushte

nuk plotësohen, prandaj, para llogaritjeve përfundimtare, bëhet ndërplotësimi i këndeve dhe i

ndryshimit të koordinatave.

Radha e llogaritjeve për gjetjen e koordinatave të pikave në poligonin e hapur bëhet si më poshtë:

a-Llogaritet ndërplotësimi i këndeve të matura β të poligonit, shuma e të cilave duhet të jetë e

barabartë me shumën teorike: Σβ=β'1+β'2+β'3+β'4+β5'.

Ndryshimi ndërmjet shumës së këndeve teorike dhe shumës së këndeve të matura jep gabimin ose

mosmbylljen këndore të poligonit, e cila llogaritet me formulën: Σβt=Σβ-(αm-αf)-n·180.

Sipas kësaj formule, gabimi f βp do të marrë shenjën minus (-) kur shuma e këndeve të matura është

më e madhe se ajo teorike dhe shenjën plus (+), kur shuma e këndeve të matura është më e vogël se

ajo teorike.

Kur mosmbyllja del brenda kufirit të lejuar, ajo shpërndahet në vlerë të barabartë në të gjitha këndet

e matura sipas shenjës, me formulën: Δ=fβp/n .

Mbas ndërplotësimit, shuma e këndeve duhet të japë shumën teorike.

Shembull (fig. 3.5) Këndi i

matur Këndi i

korrigjuar

Fig. 3.5

βA=69˚34'40" βA=69˚34'51"

β1=187˚04'10" β1=187˚04'21"

β2=187˚58'00" β2=187˚58'12"

βC=80˚37'10" βC=80˚37'21"

Σβ=525˚14'00" Σβ=525˚14'45"

Σβt=Σβ-(αm-αf)-n·180; Δ=(fβp)/n=45”/4≈11"; Σβt=525˚14'45" dhe f βp=-45".

b-Llogaritja e këndeve të drejtimit në poligonin e hapur. Për llogaritjen e ndryshimit të koordinatave

janë të domosdoshme këndet e drejtimit të çdo brinje të poligonit. Në poligonin e hapur këndet e

matur janë të majta (fig. 3.6) ose të djathta (fig. 3.7), kurse këndet e drejtimit llogaritet me formulat

e mëposhtme: Për këndet e majta dhe αf të dhënë Për këndet e djathta dhe αf të dhënë

αA1=αf+βA-1800

αA1=αf-βA+1800

α12=αA1+β1-1800 α12=αA1-β1+180

0

α23=α12+β2-1800 α23=α12-β2+180

0

α3B=α23+β3-1800 α3B=α23-β3+180

0

αm=α45+βB-1800

Σαm=αf+∑β-n•1800

αm=α45-βB+1800

Σαm=αf-∑β+n•1800

36

Fig. 3.6

Fig. 3.7

Këndet e drejtimit llogariten njësoj si në poligonin e mbyllur.

c-Llogaritja dhe ndërplotësimi i ndryshimit të koordinatave në poligonin e mbyllur. Në këtë rast

llogariten ndryshimet e koordinatave për pesë këndet e drejtimit me formulat:

ΔX ΔXA1=SA1cosA1 ΔX12=S12cos α12 ΔX23=S23cos α23 ΔX3B=S3Bcosα3B ΣΔx=XB-XA

ΔY ΔYA1=SA1sinαA1 ΔY12=S12sin α12 ΔY23=S23sin α23 ΔY3B=S3Bsinα3B ΣΔy=YB-YA

Kurse mosmbylljet në boshtet përkatëse do të jenë: fx=(Xm-Xf)-ΣΔx' dhe fy=(Ym-Yf)-ΣΔy'.

Mosmbyllja shpërndahet në përpjesëtim me brinjët e fundit.

d-Llogaritja e koordinatave në poligonin e hapur. Me ndryshimin e koordinatave të korrigjuara, duke

u nisur nga koordinata e pikës fillestare dhe e mbarimit, llogarisim koordinatat e të gjitha pikave me

formulat e mëposhtme, kur janë dhënë XA dhe YA:

X1=XA+ΔxA1 X2=X1+Δx12 X3=X2+Δx23 XB=X3+Δx3B

Y1=YA+ΔyA1 Y2=Y1+Δy12 Y3=Y2+Δy23 YB=Y3+Δy3

Shembull. Janë dhënë: këndet matura β, brinjët e poligonit S, këndi drejtimit αBA, αCD, koordinatat

e pikës A (XA,YA) dhe të pikës C (XC,YC).

Kërkohen: Koordinatat e pikave të poligonit.

Llogaritja e poligonit të hapur llogaritet në formular të posaçëm të përshtatur për zgjidhje me makinë

llogaritëse (fig. 3.5).

37

Detyra 8: Llogaritja e poligonit të hapur

Pika Kёndet e

matura

Kёndet e

korrigjuara

Kёndet e

drejtimit

Kёndet e

tabelёs

S cosα

sinα

Ndryshimi i

koordinatave

Ndryshimi i

korrigjuar

Koordinatat

Pika

Δ'x Δ'y Δx Δy X Y

B

K. I

97°39'50''

97°39'50''

B

A

+11

69°43'40" 69°43'51"

4686.48

5234.60

A K. IV

347°14'41''

12°45'19''

116.49

0.220792

0.975321

+0.04

113.62

-25.72

113. 66

-25.72

1

+11

187°04'10"

187°04'21"

4800.14

5208.88

1 K. IV 354°19'02''

5°40'58''

127.34

0.099060

0.995087

+0.04

126.71 -12.61

126.75

12.61

2

+12

187°58'00"

187°58'12"

4926.89

5196.27

2 K. I 2°17'14''

2°17'14''

91.00

0.039914

0.999203

+0.03

+90.93 -0.01

+3.63 +90.96

+3.62

C

+11

80°37'10"

80°37'21"

5017.85

5199.89

C K. III

262°54'35''

82°54'35''

331.26

331.37

34.70

34.71

Σβ=525°14'00" Σβt=525°14'45" fx=-11 fy=-1

fs= 22 fyfx =±11.04

Σβt=Σ-(αm–αf)-n·180 fs=fsSS

fs

:

1

=

04.11:83.334

1=

3000

1

38

III.3. Llogaritja dhe ndërplotësimi i poligonit të mbështetur në dy pika

(pa orientim)

Ndodh që poligoni i hapur të lidhet me dy pika me koordinata të dhëna. Një poligon i tillë është i

përcaktuar vetëm nga pozicioni i tij, por atij i mungon orientimi. Këto poligone quhen pa orientim.

Le të jenë dhënë pikat A dhe B me koordinata të dhëna A (XA, YA), B (XB, YA).

Janë matur këndet β1, β2, β3 dhe brinjët SA1, S12, S23, S3B.

Meqë nuk kemi kënd drejtimi, pranojmë një bosht provizor -x', +x' që kalon në brinjën A1, me qendër

të boshteve në pikën A. Kështu që këndi i drejtimit do të jetë 'A1=180˚, kurse këndet e tjera të

drejtimit do të llogariten me formulat për kënde të majta:

Fig. 3.8

'A1=1800; '12= A1-180

0+β1; '23= 12-180

0+β2; '3B= 23-180

0+β3.

Me këto kënde dhe me brinjët e matura llogariten ndryshimet e koordinatave, si dhe shumat ΣΔx'

dhe ΣΔy':

Δx'A1=SA1cos A1 Δy'A1=SA1sin A1

Δx'12=S12 cosα12 Δy'12=S12sinα12

Δx'23=S23cos 23 Δy'23=S23sin 23

Δx'3B=S3B cosα3B Δy'3B=S3Bsinα3B

ΣΔx' ΣΔy'

Kështu që koordinatat e pikës B (X'A, Y'B), kur koordinatat e pikës A i kemi pranuar me zero, do të

llogariten me formulat: XB=XA+ΣΔx'=ΣΔx' dhe YB=YA+ΣΔy'=ΣΔy'.

Me detyrën e kundërt të gjeodezisë llogariten dy këndet e drejtimit dhe dy brinjët:

tgαAB=AB

AB

XX

YY

; SAB=

AB

AB YY

sin

=

AB

AB XX

cos

tg α’AB=''

''

AB

AB

XX

YY

; S'AB=

AB

AB YY'

''

sin

=

AB

AB XX'

''

cos

Ndryshimi midis këtyre këndeve të drejtimit jep këndin δα, pra këndin që mbyll të dyja boshtet:

boshtin shtetëror -x +x dhe boshtin që zgjodhëm -x' +x': δα=αAB-α’AB.

Gabimi fs=SAB-S'AB duhet të jetë brenda tolerancave për terrene ku është kryer matja.

Llogaritja e poligonit kryhet në dy mënyra.

a-Mënyra e parë

Në fillim korrigjohen këndet e përkohshme të drejtimit me δ sipas formulave të mëposhtme:

αA1=α’A1+ δα; α12=α’12+ δα; α23=α’23+δα dhe α3B=α’3B+δα

Pastaj bëhet korrigjimi i brinjëve të matura me formulën:

39

AB

AB

S

S

S

S''

,ku: S=S'AB

AB

S

S'

Me këndet dhe me brinjët e ndërplotësuara llogariten koordinatat e pikës B me formulat:

XA e dhënë YA e dhënë

X1=Xa+ΔxA1 Y1=YA+ΔyA1

X2=X1+Δx12 Y2=Y1+Δy12

X3=X2+Δx23 Y3=Y2+Δy23

XB=X3+Δx3B YB=Y3+Δy3B

40

Detyra 9 Llogaritja e poligonit të mbështetur në dy pika (Rasti I)

Nr. Këndet e

matura

Këndet e

drejtimit

cos

sin

Brinja

S'

Ndryshimi i

koordinatave

Këndet e

drejtimit të

korrigjuar

cos

sin

Brinja

S

Ndryshimi i

koordinatave

Koordinatat Nr.

Δx' Δy' Δx Δy X Y

A

180°00'00"

-1

0

118.85

-118.85

0

169°57'47"

0.984695

0.174283

118.89

-117.07

20.72

52 138.14

93749.73

A

1

132°38'30"

52 021.07

93 770.45

1 132°38'30"

0.677411

0.755605

154.35

-104.56

113.54

122°36'17"

0.538840

0.842408

154.41

-83.20

130.08

2

131°26'15"

51 937.87

93 900.53

2

84°04'45"

0.103154 0.994665

158.22

16.32

157.38

74°02'32"

0.274929 0.961465

158.28

43.52

152.18

3

114°41'45"

51 981.38

94 052.71

3

18°46'30"

0.946790 0.521853

154.91

146.67

49.86

8°44'17"

0.988393 0.151917

154.97

153.17

23.54 B

51 134.55

94 076.25

B

∑Δx'=60.42 ∑Δy'=320.78 fx=-3.58 fy=326.52

XA=52 138.14 YA=93 749.73 SAB= 22 58.552.326 =26.539

XB=52 134.55 YB=94 076.25

ΔxAB=-3.59 ΔyAB=326.25 S'AB= 22 42.6078.326 =326.420

tg αAB=59.3

25.326=90.952646 tg α’AB=

42.60

78.320=5.309169 K=

AB

AB

S

S'

=1.00036

rAB=89˚22'12" r'AB=79˚19'59"

αAB=90˚37'48" α’AB=100˚40'01"

δα=αAB-α’AB=10˚02'13" δα=10˚02'13"

41

b-Mënyra e dytë

Me brinjët e matura dhe me këndet e korrigjuara të drejtimit llogaritet poligoni nga A në B.

Përftohen kështu koordinatat X'B, Y'B, të pikës B me koordinatat e dhëna XB, YB.

Llogaritet gabimi: fx=XB-X' B dhe fy=YB-Y'B.

Llogarisim dy koeficientet p dhe q me formulat: p=y

fy

dhe q=

x

fx

të cilat, po të shumëzohen me

ndryshimet e koordinatave Δx', Δy', japin korrigjimet përkatëse të mëposhtme:

dxA1=q Δx'A1 dyA1=p Δy'A1

dx12=q Δx'12 dy12=p Δy'12

dx23=q Δx'23 dy23=p Δy'23

dx3B=q Δx'3B dy3B=p Δy'3B

Kështu, ndryshimet e koordinatave të ndërplotësuara do të jenë:

ΔxA1=ΔxA1+dxA1 ΔyA1=ΔyA1+dyA1

Δx12=Δx12+dx12 Δy12=Δy12+dy12

Δx23=Δx23+dx23 Δy23=Δy23+dy23

Δx3B=Δx3B+dx3B Δy3B=Δy3B+dy3B

Me këto ndryshime të koordinatave llogaritet poligoni i hapur në formular.

42

Detyra 10 Llogaritja e poligonit të mbështetur në dy pika (Rasti II)

Nr. Këndet e

matura

Këndet e

drejtimit

cos

sin

Brinja

S'

Ndryshimi i

koordinatave

Këndet e

drejtimit të

korrigjuar

cos

sin

Brinja

S

Ndryshimi i

koordinatave

Koordinatat Nr.

Δx' Δy' Δx Δy X Y

A

132°38'30"

-1

0

118.85

-118.85

0

169°57'47"

0.984695

0.174283

118.85

-0.1

-117.03

+0.03

20.71

52 138.14

93 749.73

A

1

132°38'30"

52 021.00

93 770.47

1

84°04'45"

0.677411 0.735605

154.35

-104.56

113.54

122°36'17"

0.538840

0.842408

154.35 -0.12

-83.17 +0.03

130.03

2

131°26'15"

51 938.71

93 900.53

2

18°46'30"

0.103154 0.994665

158.22

16.32

157.38

74°02'32"

0.274929

0.961465

158.32

-0.12

43.50

+0.03

152.12

3

114°41'45"

51 981.09

94 052.68

3 0.946790 0.321853 154.91

146.67

49.86

8°44'17"

0.988393 0.151917

154.67

-0.12

153.58 +0.04

23.53

B

52 134.55

94 076.25

B

∑Δx'=-60.42 ∑Δy'=320.78 3.12

3.59

326.39

326.52

q=x

fx

=

12.3

47.0=0.1506; p=

y

fy

=

39.326

13.0= 0.000398; fx=3.59-3.12=0.47 dhe fy=326.52-326.39=0.13

43

III.4. Shndërrimi i koordinatave lokale në shtetërore

Shndërrimi i koordinatave bëhet në ato raste kur lind nevoja e kthimit të koordinatave lokale në

sistemin shtetëror dhe e kundërta. Për këtë janë të domosdoshme koordinatat e pikave në të dyja

sistemet.

Le ta shënojmë sistemin lokal të koordinatave me X'O1Y' (fig. 3.9), në të cilën është dhënë pika P me

koordinata (X'P,Y'P). Këto koordinata do të shndërrohen në sistemin e ri shtetëror XOY. Kërkohet të

gjejmë koordinatat e pikës P (XP,YP). Sipas figurës kemi:

XP=a1+x'' dhe YP=b1+y'', kurse ε është këndi i rrotullimit të boshteve (XOY) kundrejt boshteve

(X'O1Y').

Fig. 3.9

Madhësitë x'' dhe y'' llogariten me formulat: x''=Y'P sinε+X'P·cos ε dhe y''=Y'Pcosε-X'Psin ε.

Koordinatat e reja të pikës P do të jenë: XP=a1+YPsin ε+XPcos ε dhe YP=b1+YPcos ε-XPsin ε. Madhësitë a1 dhe b1 përcaktohen nga koordinatat e dy pikave të njohura në të dyja sistemet e

koordinatave, që janë: A (XA,YA); A (X'A,Y'A) dhe B (XB,YB); B (X'B,Y'B).

Këndi i drejtimit të kësaj vije në secilin sistem do të llogaritet me formulat:

tg αAB=AB

AB

XX

YY

dhe tg α'AB=

''

''

AB

AB

XX

YY

Këndi i rrotullimit llogaritet me formulën:ε=α'AB-αAB.

Për pikat e njohura në të dyja sistemet llogaritim x'' dhe y'', me të cilat përcaktojmë qendrën e rëndesës:

x''0=n

x" dhe y''0=

n

y ", si dhe qendrën e rëndesës në sistemin e ri: x0=

n

x dhe y0=

n

y.

Llogarisim zhvendosje paralele të sistemeve: a1=x0-x''0 dhe b1=y0-y''0.

Me këto të dhëna bëjmë shndërrimin e koordinatave së të gjitha pikave të sistemit të vjetër në sistemin

e ri.

Detyra 11 Shndërrimi i koordinatave lokale në shtetërore Janë dhënë koordinatat e pikave A dhe B në të dyja sistemet. Të shndërrohen koordinatat e pikave

1, 2, 3, 4, 5, nga sistemi lokal në sistemin shtetëror të koordinatave.

1-Llogarisim këndin e rrotullimit midis boshteve të dy sistemeve:

tgαAB=AB

AB

XX

YY

=

06.6442

04.5702

=0.884989→r=41˚31'30″ dhe αAB=318˚28'30″.

44

tg α’AB=''

''

AB

AB

XX

YY

=

60.8452

12.1606

=0.190014→r=10˚45'30″ dhe α'AB=349˚14'30″.

ε=α'AB-αAB=349˚14'30″-318˚28'30″=30˚46'00″

Pikat Koordinatat lokale Koordinatat shtetërore

X' Y' X Y

A 8280.93 5213.43 9934.68 5812.43

B 16 733.53 3607.42 16 377.74 110.39

1 10 814.52 8939.03

2 13 142.38 6191.75

3 15 777.26 7015.62

4 11 972.03 3575.41

5 17 885.36 4680.28

2-Llogarisim madhësitë a dhe b me formulat: a=x0-x''0 dhe b=y0-y''0, por më parë duhet të llogariten

x0, x''0, y0 dhe y''0 me formulat e mësuara.

Pikat Koordinatat shtetërore Koordinatat lokale

X Y X' Y' X'' Y''

A 9934.68 5812.43 8280.93 5213.43 9782.34 246.61

B 16 377.74 110.39 16 733.53 3607.42 16 225.40 -5455.43

Σ 26312.42 5922.82 26007.74 -5208.82

x0=n

x=

2

42,26312=13 156.21 dhe y0=

n

y=

2

82.5922=2961.41

x''0=n

x"=

2

74.26007=13 003.87 dhe y''0=

n

y "=

2

82.5208=-2604.41

a=x0-x''0=13 156.21-13 003.87=152.34 m

b=y0-y''0=2961.41+2604.41=5565.82 m

45

TEMA IV

MËNYRAT E LIDHJES SË POLIGONEVE ME RRJETIN SHTETËROR

IV.1. Njohuri për mënyrat e lidhjes së poligonit me rrjetin shtetëror

Për përcaktimin e koordinatave ortogonale (X,Y) të disa pikave, zhvillojmë:

1-Triangulacionin shtetëror të klasave I, II dhe III.

2-Rrjetin analitik (mikrotriangulacionin) që mbështetet në dy pikat e triangulacionit, pra pikat marrin

koordinata shtetërore.

3-Poligonet e hapura, të mbyllura të lidhura në pika-nyje ose të rrjetit analitik.

Për përcaktimin e koordinatave ortogonale të pikave të veçanta paraqiten këto raste:

1. Kur pikat përcaktohen duke vizuar në dy pika me koordinata të njohura, por duke mos shkuar në

asnjërën prej tyre (metoda e uljes së koordinatave).

2. Kur pika përcaktohet duke matur këndet horizontale në dy pika me koordinata të njohura (prerja

para).

3. Kur pika përcaktohet duke matur këndet horizontale në pikën që përcaktohet nga tri drejtime në

tri pika me koordinata të njohura (prerja prapa).

4. Kur duke vizuar në dy pika me koordinata të njohura, përcaktohen dy pika njëkohësisht, duke

matur në këto të fundit këndet horizontale ndërmjet drejtimeve për në pikat e njohura.

Rastet e zgjidhjes së këtyre katër problemave takohen:

-në lidhjen e poligoneve me koordinatat shtetërore.

-Gjatë rilevimeve për të shpeshtuar pikat e bazamentit të punës.

IV.2. Metoda e uljes së koordinatave

Metoda e uljes së koordinatave përdoret kur pikat e njohura A dhe B (fig. 4.1) janë larg e në to nuk

mund të qendërzohemi. Për të përcaktuar koordinatat e pikës M, matim dy baza b1 dhe b2 në të dyja

anët e pikës M, ku matim këndet β1, β2, , 1, 2.

Fig.4.1

Për llogaritjen e koordinatave të pikës M përdorim formulat e mëposhtme:

XM=XA+ΔxAM, ku: ΔxAM=b0cos AM

YM=YA+ΔYAM, ku: ΔyAM=b0sin AM

Në formulat e mësipërme janë të panjohura b0 dhe AM, të cilat llogariten si më poshtë vijon. Nga trekëndëshat AM1 dhe AM2 llogarisim b0 me teoremën e sinusit, sipas së cilës kemi:

b'0=b1

1

1

sin

sin

dhe b"0=b2

2

2

sin

sin

→b0=

2

''' 00 bb

46

ku: γ1=1800-(φ1+β1) dhe γ2=180

0-(φ2+β2).

Saktësia e b0 varet nga forma e trekëndëshit AM1 dhe e atij AM2, të cilët mundësisht të jenë

barabrinjës.

Për llogaritjen e këndit të drejtimit AM, në trekëndëshin ABM llogarisim:

1. tg AB=AB

AB

XX

YY

dhe SAB=

AB

AB YY

sin

=

AB

AB XX

cos

2. këndin ε me formulën: ABSb

sinsin

0

, ku: sinε=ABS

sinb0

3. λ=1800–(φ+ε)

4. AM= AB+λ.

Përfundimisht llogarisim koordinatat e pikës M.

Detyra 12 Ulja e koordinatave

Të llogariten koordinatat e pikës M, kur janë dhënë b1, b2, këndet β1, β2, të matura në pikën M, si

dhe këndet 1, 2 përkatësisht të pikës 1 dhe të pikës 2: β1=88˚00'20"; 1=73˚04'20" dhe b1=48.151;

β2=68˚26'50"; 2=81˚29'30" dhe b2=71.952; =76˚44'40".

Koordinatat e pikës A dhe të pikës B janë përkatësisht: XA=4 506 479.54, YA=4 436 886.23 dhe

XB=4 505 412.24, YB=4 437 061.68.

1-Me detyrën e kundërt të gjeodezisë gjejmë SAB dhe αAB.

1

3

YB

YA

4 437 061.68

4 436 886.23

2

4

XB

XA

4 505 412.24

4 506 479.68

7 tg AB 2.202294

5 YB-YA +175.45 6 XB-XA -867.30 8 rAB 11˚20'10.5"

10 sin αAB 0.198277 11 cos αAB 0.980146 9 αAB 168˚33'49.5"

12 SAB 884.873 13 SAB 884.868

2-Nga zgjidhja e trekëndëshave AM1 dhe AM2 llogarisim këndet γ1, γ2 dhe brinjën b0

1 1 73˚04'20" 3 b1 48.151 4 2 81˚29'30" 6 b2 71.952

2 β1 88˚00'20" 11 sin γ1 0.324284 5 β2 68˚26'50" 12 sin γ2 0.500965

7 1+β1 161˚04'40" 13 (9):(11) 148.484 9 2+β2 149˚56'10" 14 (6):(12) 143.627

8 γ1 18˚55'20" 15 sin 1 0.956672 10 γ2 30˚03'50" 16 sin 2 0.988987

b0 (13):(15) 142.050 b0 (14):(16) 142.046

3-Nga zgjidhja e trekëndëshit ABM gjejmë këndin ε dhe këndin λ

1 76˚44'40" 2 sin 0.979357

7 ε 8˚59'22" 3 S AB 884.869

8 +ε 85˚44'02" 4 (2):(3) 0.001100

9 λ=180- (8) 104˚15'58" 5 b0 mesatare 142.048

6 sin ε=(4): (5) 0.156252

4-Llogarisim koordinatat e pikës M me detyrën e drejtë të gjeodezisë

1 αAB 168˚33'49.5" 8 cosαAB 0.049370 10 ΔxAM +7.015 11 ΔyAM -141.875

2 λ 104˚15'58" 3 b0 142.048 4 XA 4 506 479.540 5 YA 4 436 886.230

6 αAM 272˚49'47.5" 9 sinαAB 0.998780 12 XM 4 506 486.555 13 YM 4 436 744.355

47

IV.3. Prerja nga para

Nëse në pikat e njohura A dhe B maten këndet horizontale β1 dhe β2, atëherë ne mund të llogarisim

koordinatat e pikës M (fig. 4.2).

Fig. 4.2

Një nga rastet e zgjidhjes së trekëndëshit ABM është kur njohim një brinjë dhe dy këndet e anëshkruara

kësaj brinje (KBK). Prandaj ndjekim këtë radhë veprimesh:

1-Me detyrën e kundërt të gjeodezisë llogaritim SAB dhe αAB me formulat e mëposhtme:

tg αAB=AB

AB

XX

YY

SAB=

AB

AB YY

sin

=

AB

AB XX

cos

2-Me teoremën e sinusit llogarisim brinjën a dhe brinjën b të trekëndëshit:

a=SAB

3

1

sin

sin

dhe b=SAB

3

2

sin

sin

, ku: β3=180-(β1-β2)

3-Llogarisim këndet e drejtimit αAm dhe αBm me formulat:

αAm=αAB-β1 dhe αBM=αBA+β2

4-Llogarisim ndryshimin e koordinatave ΔxAM, ΔyAM, ΔxBM dhe ΔyBM me formulat e mëposhtme:

ΔxAM=SAM cos αAM; ΔxBM=SBM cos αBM

ΔyAM=SAM sin αAM; ΔyBM=SαBM sin αBM

5-LlogariSim koordinatat e pikës M me detyrën e kundërt, nga pikat A dhe B me formulat:

X'M=XA+SAMcos αAM dhe X"M=XB+SBMcosαBM

Y'M=YA+SAMsin αAM dhe Y"M=YB+SBMsin αBM

XM=2

'''MM XX

YM=2

''' MM YY

Detyra 13 Prerja nga para

Të llogariten koordinatat e pikës M, kur janë dhënë: koordinatat e pikës A (XA=4 512 601.05 dhe

YA=4 404 496.37) dhe të pikës B (XB=4 512 357.45;YB=4 404 272.94), këndet e matura në pikat A,

B dhe M, që janë përkatësisht: β1=34˚31'43", β2=93˚29'03" dhe β3=51˚59'14".

1-Me detyrën e kundërt të gjeodezisë llogarisim SAB dhe αAB me formular:

1

3

YB

YA

4 404 272.94

4 404 496.37

2

4

XB

XA

4 512 357.45

4 512 601.05

7 tgαAB 0.917200

5 YB-YA -223.43 6 XB-XA -243.60 8 rAB 42˚31'37.5"

10 sin αAB 0.675938 11 cos αAB 0.736958 9 αAB 222˚33'37.5"

12 SAB 330.549 13 SAB 330.548

48

2-Me teoremën e sinusit llogaritim SAM dhe SBM të trekëndëshit me formulat e mëposhtme:

SAM=SAB

3

2

sin

sin

=330.548

787873.0

566180.0=237.805

SBM=SAB

3

1

sin

sin

=330.548

787873.0

998152.0=418.769 m

3-Llogaritim koordinatat e pikës M me detyrën e kundërt, duke përdorur formular:

Nga pika A Nga pika B

1

2

αAB

-β1

222˚33'37.5"

93˚29'03"

1

2 BA

β 2

42˚31'37.5"

93˚31'43"

6

7 AM =(1)-(2)

r AM

129˚02'34.5"

50˚57'25.5"

6

7 BM =(1)+(2)

r BM

77˚03'20.5"

77˚03'20.5"

12 X M 4 512 451.260 12 X M 4 512 451.256

4

10 X A

Δx AM

4 512 601.050

-149.790

4

10 X B

Δx BM

4 512 357.450

+93.806

8

3

9

cos AM

S AM

sin AM

0.629902

237.805

0.776674

8

3

9

cos BM

S BM

sin BM

0.224004

418.772

0.974588

11

15 Δy AM

Y A

+184.698

4 404 496.370

11

15 Δy BM

Y B

+408.120

4 404 272.940

13 Y M 4 404 681.068 13 Y M 4 404 681.060

IV.4. Prerja nga prapa (Detyra e Potenotës)

Koordinatat e pikës M (fig. 4.3) mund të llogariten në rast se tek ajo janë matur këndet horizontale

β1 dhe β2 midis drejtimeve që shkojnë në tri pikat me koordinata të njohura A, B, C.

Duke zgjidhur detyrën e kundërt të gjeodezisë për pikat A e B, si dhe për pikat B e C, gjejmë këndet

e drejtimit αBA dhe αBC, si dhe brinjët SAB e SBC. Nga fig. 4.3 kemi: αBA-αBC=γ1+γ2.

Fig. 4.3

49

Nga katërkëndëshi ABCM (që është i mysët) nxjerrim se shuma e këndeve të tij të brendshme llogaritet

me formulën e njohur tashmë: 1800(n-2)=180

0(4-2)=360

0= 1+ 2+γ1+γ2+β1+β2, nga ku del se:

1+ 2=3600-(γ1+γ2+β1+β2)

Ose:

2

21 =180

0-

2

2121

Që të zgjidhet problemi, duhet të llogarisim këndet 1, 2, të cilave u njohim vetëm shumën e tyre.

Duke zbatuar teoremën e sinusit për trekëndëshin ABM dhe atë BCM, mund të shkruajmë:

1sin

AB=

1sin

BM→

AB

BM=

1

1

sin

sin

2sin

BC=

2sin

BM→

BC

BM=

2

2

sin

sin

Duke i pjesëtuar anë për anë të dyja barazimet e mësipërme, kemi:

AB

BM.BM

BC=

1

1

sin

sin

.

2

2

sin

sin

→

2

1

sin

sin

=

AB

BC.

2

1

sin

sin

Krahu i djathtë i barazimit është i njohur, prandaj e zëvendësojmë me 1/tg , ku është këndi

ndihmës. Atëherë kemi:

2

1

sin

sin

=

tg

1ku: tg =

BC

AB.

1

2

sin

sin

Në bazë të vetive të përpjesëtimeve shkruajmë: 21

21

sinsin

sinsin

=

tg

tg

1

1

Duke ditur që tg 45˚=1, shkruajmë:

2sin

2cos2

2cos

2sin2

2121

2121

=

tgtg

tgtg

451

45

Ose:

tg2

.2

2121 ctg =tg (45

0+ )

Nga ku: tg2

21 =tg

2

21 : cotg (45

0+ )

Pasi kemi llogaritur nga formula e gjysmëshumës

2

21 dhe nga formula tjetër këndin θ, e

zëvendësojmë atë me shprehjen tg2

21 dhe gjejmë gjysmën e ndryshimit

2

21 .

Këndet 1 e 2 llogariten si më poshtë:

1 =2

21 +

2

21 dhe 2 =

2

21 -

2

21

Nga trekëndëshi ABM dhe ai CBM gjejmë: γ 1 =1800-(β1+ 1) dhe γ2=180

0-(β2+ 2).

Duke zbatuar teoremën e sinusit po për këta trekëndësha, gjejmë brinjët AM dhe CM:

AM=1

1

sin

sin

a dhe CM=

2

2

sin

sin

b

50

Koordinatat e pikës M të llogaritura nga pikat A dhe C janë:

X'M=XA+AM cos AM X"=XC+CM·cos CM

Y'M=YA+AM·sin AM Y"=YC+CM·sin CM

Nga ku: AM= AB+ 1 dhe CM= CB- 2

Nëse koordinatat e pikës M, të llogaritura dy herë nga pikat A dhe C, nuk ndryshojnë më shumë se

saktësia e llogaritjes, atëherë merret mesatarja e tyre.

XM=2

''' MM XX dhe YM=

2

''' MM YY

Prerja nga prapa mbetet e përcaktuar nëse pika M ndodhet në rrethin që kalon nëpër tri pikat e njohura

A, B, C.

Llogaritja e prerjes prapa me makinë llogaritëse

Formulat e llogaritjes janë:

K1=(YB-YA)·cotg β1-(XB-XA)

K3=(YC-YA)·cotg (β1+β2)-(XC-XA)

K2=(XB-XA)·cotg β1+(YB-YA)

K4=(XC-XA) cotg (β1-β2)+(YC-YA)

C=31

42

KK

KK

Δy=

2

12

1 C

CKK

=

2

34

1 C

CKK

Δx=C Δy

XM=XA+Δx

YM=YA+Δy

Detyra 14 Prerja nga prapa

Të llogaritet koordinata e pikës M, kur janë dhënë koordinatat e pikës A (XA=4 532 478.70, YA=4

459 468.06), të pikës B (XB=4 542 100.00, YB=4 452 250.00) dhe të pikës C (XC=4 554 514.37,

YC=4 465 981.91), këndet e matura në pikën M (β1=47˚37'13" dhe β2=69˚15'37") dhe këndi për

kontroll β3=63˚07'10". Zgjidhja është dhënë në formularin mëposhtëm:

Radha Formulat Veprimet Radha Formulat Veprimet 4 β1 47˚37'13" 18 K1=(12) (16)-9 -16 207.61

5 β2 69˚15'37" 19 K3=(13) (17)-10 -25 337.05

15 β1+β2 116˚52'50" 20 K1-K3 +9129.44

16 cotg β1 0.912477 21 K2=(9) (16)+12 +1561.15

17 cotg(β1+β2) -0.506902 22 K4=(10) (17)+13 -4657.07

2 XB 4 542 100.00 23 K2-K4 -3 095.92

3 XC 4 554 514.37 24 C=23 : 20 -0.339114

1 XA 4 532 478.70 25 C2

0.114999

9 XB-XA +9 621.30 26 1+C2

1.114999

10 XC-XA +22 035.67 27 K2-C K1 -3935.08

K XC-XB 12 414.37 28 K4-C K3 -3935.08

7 YB 4 452 250.00 29 Δy=27:26 -3529.22

8 YC 4 465 981.91 6 YA 4 459 468.91

6 YA 4 459 468.06 31 YM=29+6 4 455 938. 84

12 YB-YA -7218.06 30 Δx=24•29 +1196.81

13 YC-YA +6512.85 1 XA 4 532 478.70

K YC-YB 13 731.91 32 XM=1+30 4 533 675.51

51

TEMA V

NJOHURI MBI TEORINË E GABIMEVE

V.1. Klasifikimi i gabimeve në matje

Të gjitha matjet bëhen duke krahasuar madhësitë e panjohura me një madhësi të njohur që pranohet

si njësi matjeje. P.sh., largësitë e matura krahasohen me vlerat e njohura të sistemit metrik, kurse

këndet krahasohen me vlera të njohura të sistemit shkallor ose në gradë. Burimet e gabimeve janë të

shumta e të ndryshme, por sipas karakterit të tyre ato mund të ndahen në gabime të palejueshme,

sistematike dhe të rastit.

1-Gabimet e palejueshme kanë vlera të mëdha numerike, të cilat, për nga vlera absolute, e kalojnë

saktësinë e matjes. Përgjithësisht ato ndodhin nga mungesa e vëmendjes gjatë kohës së punës, p.sh.

nga humbja e një fisheje gjatë matjes me metër, nga leximet e gabuara (në vend të numrit 6 shkruhet

numri 9) ose të shkrimeve të gabuara (në vend të numrit 136 shkruajmë 163). Gjithashtu mund të

gabojmë 180ºgjatë leximit të limbës ose mund të gabojmë në metra të tërë ose pjesë të shkallëve etj.

Gabimet e palejueshme vihen në dukje (zbulohen) dhe mënjanohen kryesisht nga përsëritja e matjeve.

Teoria e gabimeve nuk merret me këto gabime.

2-Gabimet sistematike mund të shkaktohen nga mjedisit i jashtëm (temperatura, refrakcioni (thyerja)

i dritës, ndriçimi), nga vetë personi që bën matjen (për efekt të syrit), nga instrumenti, për shkak të

kontrollit jo të rregullt të mjeteve gjeodezike (gjatësisë së metrit shirit ose latës, të ndarjes së limbës

etj.) Në shumicën e rasteve këto gabime janë të qëndrueshme, d.m.th. nuk e ruajnë shenjën + ose - dhe

madhësinë e tyre, prandaj ato mund të mënjanohen nga vlerat e madhësive të matura duke vendosur

korrekturat (korrigjimet) përkatëse, p.sh., kur matim një largësi me një metër shirit, gjatësia e të cilit

ndryshon me një vlerë ΔS, kuptohet që ky gabim sistematik (që ka dalë nga kontrolli i metrit para

matjes) mund të mënjanohet nga përfundimi i matjes, nëse ndryshimi i gjetur vendoset në largësinë

e matur si korrekturë.

3-Gabimet e rastit (gabimet e ndryshueshme) janë gabime të vogla. Ato ndryshojnë si shenjën, ashtu

dhe madhësinë e tyre, pa iu përmbajtur një rregulli të caktuar, pavarësisht nga kujdesi dhe vëmendja

që tregohet gjatë matjeve, dhe për këtë arsye ato quhen gabime të rastit, të cilat nuk mënjanohen dhe

nga ndikimi i tyre varet kryesisht saktësia e matjeve. Me vetitë, me studimin dhe me analizën e

gabimeve të rastit merret kryesisht teoria e gabimeve. Ajo jo vetëm që analizon ligjësinë e shfaqjeve

të gabimeve gjatë matjeve, si dhe karakterin e tyre, por tregon edhe rrugët e përpunimit matematikor

të vlerave të matura. Detyra e saj është që të llogarisë korrigjime të tilla për vlerat e madhësive të

matura (më parë janë mënjanuar gabimet e palejueshme dhe ato sistematike), kështu që përfundimisht

vlerat që do të përftohen do të jenë sa më afër vlerës së vërtetë.

Në përgjithësi, vetitë e gabimeve të rastit, të përcaktuara në bazë të një numri shumë të madh

vrojtimesh a matjesh, janë:

a-Mundësia e bërjes së një gabimi të vogël gjatë matjes është më e madhe se ajo e një gabimi të

madh, gjë që do të thotë se gjatë matjes gabimet e vogla përsëriten më shpesh.

b-Numri i gabimeve të rastit me shenjë pozitive (+Δ) për një numër të madh matjesh, pothuajse është

i barabartë me numrin e gabimeve me shenjë negative (-Δ), kurse vlerat e tyre absolute janë afërsisht

të barabarta.

c-Madhësitë e gabimeve të rastit nuk i kalojnë asnjëherë kufijtë e caktuar, meqë ato varen nga saktësia

e instrumentit dhe e metodës që përdoret për matje.

52

V.2. Gabimet që karakterizojnë saktësitë e vlerave të matura

Nëse kemi kryer një sërë matjesh a1, a2, a3... an, në të cilat janë bërë Δ1, Δ2, Δ3 … Δn gabime të rastit,

atëherë në bazë të tyre mund të themi se cila nga n vlerat është më e sakta, por nuk kemi mundësi të

përcaktojmë saktësinë e vrojtimeve. Për të bërë vlerësimin e madhësive të matura përdoren njësitë e

saktësisë, të cilat, në një mënyrë ose në tjetrën, janë të lidhura me gabimet që kemi kryer në matjet e

dhëna.

a-Gabimi mesatar është vlera e mesatares aritmetike e shumës së të gjitha vlerave absolute të

gabimeve të rastit Δ1, Δ2, Δ3 … Δn. Pra: msnn

i

ni

in

1321 ....

Gabimi mesatar, megjithëse llogaritet shumë lehtë, përdoret pak në praktikë për vlerësimin e matjeve,

sepse nuk e përcakton si duhet saktësinë e kryer në matjet e ndryshme.

Vlera e përafërt e madhësive të matura (a1) gjendet me të mesataren aritmetike x të këtyre madhësive

të matura, pra:

x=n

aaaa n

22

321 ...

ku:

a1, a2, a3... an-vlerat e matura me kujdes të njëjtë, pra janë vlerat që maten me të njëjtin instrument,

që maten në të njëjtat kushte dhe nga i njëjti vrojtues;

n-numri i matjeve të përsëritura.

b-Gabimi mesatar kuadratik m është i barabartë me shumën e katrorëve të gabimeve të rastit,

pjesëtuar me numrin e matjeve n. Në bazë të përcaktimit të mësipërm kemi:

m2=

n

n

22

3

2

2

2

1 .... = n

2, ose: m=±

n

2

Gabimi mesatar kuadratik përdoret gjerësisht në punimet gjeodezike për të vlerësuar saktësinë e

matjeve, sepse është njësia që e tregon më mirë saktësinë e realizuar. Në përgjithësi gabimi mesatar

mS është i barabartë me 4/5 e gabimit mesatar kuadratik, pra: mS=0.8 m.

c-Gabimi relativ përfaqëson gabimin që i takon njësisë së madhësisë së matur, d.m.th. tregon raportin

e gabimit absolut në vlerën e madhësisë së matur. Gabimet për vlerësimin e saktësisë së madhësive

të matura, ashtu siç dalin llogaritjet, shpesh herë nuk japin një përfytyrim të qartë për saktësinë e kryer

në matje, sidomos kur duam të krahasojmë rezultatet e përftuara nga matjet e dy madhësive të

ndryshme. Prandaj për vlerësimin e saktësisë së matjeve të largësive e të sipërfaqeve, përdoret gabimi

relativ, që zakonisht jepet në formë thyese, numëruesi i së cilës është një njësi:

S

mS≤

1000

1,

2000

1,

3000

1 për matjen e largësive.

Gabimi relativ nuk përdoret për të karakterizuar saktësinë e matjeve të këndeve ose të ndryshimit të

lartësive (disniveleve), sepse këtu saktësia e matjeve nuk varet nga vlera e madhësisë së matur.

d-Gabimi i lejuar (kufi) është vlera brenda së cilës përmblidhen të gjitha gabimet e vlerave të matura

me madhësi më të vogël. Në matjet gjeodezike problemi i gabimit të lejuar është trajtuar vazhdimisht

në të gjitha drejtimet.

53

V.3. Ndërplotësimi i vrojtimeve të drejtpërdrejta me pesha të njëjta

Matjet (vrojtimet) e drejtpërdrejta e me kujdes të njëjtë kryhen në kushte të njëjta pune, d.m.th.

kujdesi që tregohet në matjen e parë është i njëjtë edhe në matjen e dytë e kështu me radhë.

Në matjet e drejtpërdrejta të një madhësie vlerat e matura ai ndryshojnë nga vlera e vërtetë X me një

madhësi që e quajmë gabim të rastit (gabim të vërtetë). Vlerat e matura a1, a2, a3... an do të ndryshojnë

nga njëra-tjetra, kështu që edhe për vlerën e matur X do të kemi “n” vlera të matura. Për çdo vlerë

të matur do të kemi një gabim të vërtetë: Δ1=X-a1, Δ2=X-a2, Δ3=X-a3...Δn=X-an

Po t’i mbledhim anë për anë barazimet e mësipërme, do të kemi:

Δ1+Δ2+Δ3+...+Δn=X-a1+X-a2+X-a3 +...+X-an Nga ku: [Δi]=nX-[ai] (ku i=1, 2, 3,...n).

Vlera e vërtetë e madhësisë X, të cilën e kemi vrojtuar n herë, do të jetë: X= n

a+ n

Shuma n

a quhet e mesmja aritmetike e të gjitha matjeve të kryera X, kurse

n

jep të mesmen

aritmetike të gabimeve të vërteta M. Kur n , atëherë: lim n

=0 dhe X=x.

Kjo vlerë do të përfaqësonte vlerën absolute të madhësisë së matur. Në praktikë numri i matjeve është

i kufizuar, kështu që vlera e vërtetë e madhësisë së matur në përgjithësi është e panjohur, prandaj

dhe vetë gabimet e vërteta Δi mbeten të panjohura. Në punimet praktike vlera e vërtetë e X-it

zëvendësohet me të mesmen aritmetike x, që na jep të gjitha vlerat e përfunduara gjatë matjeve:

x=n

aaaa n ....321 = n

a=

n

a

Ndryshimin midis vlerës më të mundshme (mesatare) x dhe vlerave të matura a të një madhësie të

caktuar do ta quajmë gabim të mundshëm: Vi=x-ai → x=ai+Vi

ku:

i-matje e çfarëdoshme midis n matjeve të kryera.

Gabimet e mundshme V mund të ketë vlerë pozitive (+) ose negative (-).

Gabimeve të mundshme u bëhet korrekturë i vlerës së matur, prandaj, si gabimi i mundshëm, ashtu

dhe korrektura kanë të njëjtat vlera absolute, por me shenja të kundërta.

Nëse një madhësi të dhënë e kemi matur n herë, pra me a1, a2, a3…an, atëherë gabimet e mundshme

do të jenë: V1=X-a1, V2=x-a2, V3=x-a3...Vn=x-an

Po t’i mbledhim anë për anë barazimet e mësipërme, do të kemi:

V1+V2+V3+...+Vn=x-a1+x-a2+x-a3 +...+x-an=nx-(a1+a2+a3 +...+an) Nga ku: [Vi]=nx-[ai] (ku i=1, 2, 3,...n).

Meqë: x= n

a, do të kemi: [V]=

n

an ][-[a]=0

Pra: shuma e gabimeve të mundshme (korrekturave) për të gjitha rastet është e barabartë me zero.

Ndryshimi midis vlerës së vërtetë të një madhësie X dhe vlerës më të mundshme x jep të mesmen

aritmetike të gabimeve të vërteta ose gabimin mesatar kuadratik M të vlerës më të mundshme x:

M=X–x ose: X=x+M

M= n

-

n

nn 1321 ...

54

Po t’i ngremë në katror të dyja anët e barazimit të mësipërm, do të kemi:

M 2 =2

1113121

22

3

22

1 )...(2....

n

nnn

Vlera 2(Δ 1 Δ 2 +Δ 1 Δ 3 +…Δ1Δn-1+Δ 1 Δn) përmban shumën e produkteve të dy gabimeve të vërteta Δ.

Kjo vlerë, për një numër të madh matjesh, shkon drejt zeros. Kështu që:

M 2 =nn

1][

Dimë që: m 2 =n

][, atëherë:

M 2 =n

1m 2 ose: M=±

n

m

Gabimi mesatar kuadratik i vlerës së mundshme është i barabartë me gabimin mesatar kuadratik të

një matjeje të veçantë pjesëtuar me rrënjën katrore të numrit të matjeve n. Në rastin e vrojtimeve të

drejtpërdrejta me kujdes të njëjtë të një madhësie të caktuar, gabimi mesatar kuadratik i vlerës më të

mundshme x mund të llogaritet e me ndihmën e gabimeve të mundshme. Dimë se gabimi i vërtetë Δ

është i barabartë me Δi=X-ai, kurse gabimi i mundshëm V, kur njohim vlerën e mundshme x, është:

Vi=x-ai. Po t’i zbresim anë për anë barazimet kemi: Δi-Vi=X-ai-(x-ai), nga del se: X-x=Δi-Vi. Meqë

X-x, atëherë marrim: Δi=Vi+M

Për n matje do të kemi n gabime të vërteta Δ. Pra: Δ1=V1+M, Δ2=V2+M, Δ3=V3+M,... Δn=Vn+M.

Po t’i ngremë në katror të dyja anët e barazimeve të mësipërme dhe pastaj të bëjmë shumën e tyre,

do të kemi: [ΔΔ]=[VV]+nM 2 +2 M [V]

Dimë se: [V]=0, të cilën, po ta zëvendësojmë në barazimin e mësipërm, do të kemi:

[ΔΔ]=[VV]+nM 2

Më lart kemi parë se: M 2 =2

][

n

, nga del se: M 2 n 2 =[ΔΔ]. Atëherë: M 2 n 2 =[VV]+nM 2

Nga: X→M 2 n 2 -M 2 n=[VV] ose: M 2 n(n-1)=[VV]

M 2 =)1(

][

nn

VV ose: M=±

)1(

][

nn

VV

Pra, gabimi mesatar kuadratik M i së mesmes aritmetike x (vlerës së mundshme) është i barabartë

me rrënjën katrore të shumës së katrorëve të gabimeve të mundshme pjesëtuar me numrin e vrojtimeve

n dhe matjeve të tepërta (n-1).

Me ndihmën e gabimeve të mundshme llogaritim edhe gabimin mesatar kuadratik të një vlerë të

çfarëdoshme të matur. Dimë se gabimi mesatar kuadratik i vlerës më të mundshme x i një gabimi

mesatar kuadratik të një vlere të matur lidhen me njëri-tjetrin me formulën:

M=±n

m ose M=±

)1(

][

nn

VV

Ku: m=±1

][

n

VV

Pra, gabimin mesatar kuadratik i një vlere të çfarëdoshme të matur në n matje me kujdes të njëjtë,

është i barabartë me rrënjën katrore të shumës së katrorëve të gabimeve të mundshme pjesëtuar me

numrin e matjeve minus një ose me numrin e matjeve të tepërta.

55

Shembulli 1

Në një pikë të caktuar këndi β është matur këndi 6 herë. Të llogaritet vlera më e mundshme (e mesmja

aritmetike), gabimi mesatar kuadratik i secilës matje m, si dhe gabimi mesatar kuadratik i së mesmes

aritmetike M.

Zgjidhja e detyrës bëhet sipas shembullit të dhënë në formularin e mëposhtëm:

Numri n i

matjeve

Këndet e

matura

V=βmes-βi VV Llogaritjet e kërkuara

1

2

3

4

5

6

88º30'30''

88º30'00''

88º30'15''

88º30'45''

88º30'30''

88º30'00''

-10

+20

+05

-25

-10

+20

100

400

25

625

100

400

1-βmes= n

=

6

120=20''=88º30'20''

2-m=±1

][

n

VV=±

16

1650

=±18.2''

3-M=±n

m=±

6

"2.18≈7''

βmes=88º30'20''±7''

βmes

88º30'20''

[V]=0

[VV]=1650

Shembulli 2

Të përcaktohet konstantja e instrumentit K dhe gabim mesatar kuadratik i saj në bazë të matjeve të

kryera në terren, të cilat janë paraqitur në formularët e mëposhtëm:

N

r

Largësia e matur me

metër shirit, L

Leximi në latë Diferenca e leximeve në latë

Ki=

i

i

l

L Fije e sipërme, S Fije e poshtme, P l=P-S

lmes=n

l

1

20.00

1000

1200

1500

1202

1400

1702

0.202

0.200

0.202

0.2013

99.35

2

40.00

1000

1200

1500

1403

1602

1902

0.403

0.402

0.402

0.4023

99.43

3

60.00

1000

1200

1500

1604

1803

2305

0.604

0.603

0.605

0.6040

99.34

4

80.00

1000

1200

1500

1806

2004

2305

0.806

0.804

0.805

0.8050

99.38

5

100.00

1000

1200

1500

2007

2208

2506

1.007

1.008

1.006

1.0070

99.30

Llogaritja e konstantes K dhe e gabimit mesatar kuadratik të saj

Nr. n i matjeve

Vlera e Ki V=Kmes-Ki VV Llogaritjet

1

2

3

4

5

99.35

99.43

99.34

99.38

99.30

+0.01

-0.07

+0.02

-0.02

+0.06

0.0001

0.0049

0.0004

0.0004

0.0036

1-Kmes=

n

K i=99.36

2-mK=±1

][

n

VV=

15

0094.0

=±0.049

3-MK=±

n

m=

5

049.0=0.022

Kmes=99.36±0.022 Kmes=99.36 ΣV=0 [VV]=0.0094

56

V.4. Ndërplotësimi i vrojtimeve të drejtpërdrejta me pesha të ndryshme

Matjet e drejtpërdrejta me kujdes të ndryshëm janë rast i përgjithshëm i matjeve të drejtpërdrejta.

Me këtë rast tërësia e kushteve të matjeve ndryshon nga njëra matje në tjetrën, kështu që dhe vlerat

e përftuara përmbajnë në vetvete ndikimin e ndryshimit të kushteve të matjes.

Kujdesin e ndryshëm që tregojmë për njërën ose tjetrën matje do ta shprehim me anën e peshave.

Peshat e vlerave të matura janë ata numra pozitivë që na lejojnë të vlerësojmë saktësitë e madhësive

të matura dhe përcaktohen nga inversi i katrorit të gabimit mesatar kuadratik: Pi= 2

1

im ose Pi= 2

im

k.

ku:

k-vlerë e çfarëdoshme, që është e barabartë për të gjitha llogaritjet e një rasti.

Pra, sa më i madh të jetë gabimi mesatar kuadratik m, aq më e vogël është pesha përkatëse e vlerës

së matur ose e kundërta. Zakonisht matjet a1, a2, a3 ... an të vrojtuara në kushte të ndryshme i kanë

gabimet mesatare kuadratike përkatësisht m1, m2, m3 ... mn dhe peshat përkatëse P1, P2, P3... Pn,

kurse raportet e peshave të tyre do të jenë:

P1 :P2 :P3 :...:Pn= 22

3

2

2

2

1

:.....:::nm

K

m

K

m

K

m

K

Nëse njihen gabimet mesatare kuadratike të matjeve, kemi mundësi që peshën e njërës prej tyre ta

pranojmë të barabartë me një njësi, pra P0=1, kurse peshat e tjera t’i llogarisim me formulën:

Pi= 2

2

0

im

m

ku: m i =

iP

m0

Matjen, peshën e së cilës e pranuam P0=1, do ta quajmë matje njësi dhe gabimin mesatar kuadratik

të saj do ta quajmë gabim mesatar kuadratik njësi m0.

Vlera e mundshme e përcaktuar nga disa matje me kujdes të ndryshëm për një madhësi, është e

barabartë me shumën e produkteve të çdo matjeje e peshave përkatëse, pjesëtuar për shumën e

peshave.

x0=n

nn

PPPP

aPaPaPaP

...

...

321

332211 → x0= P

Pa

Gabimi mesatar kuadratik njësi për vrojtimet me kujdes të ndryshëm, pesha e matjes së të cilës është

një P0=1, jepet me formulën: m0=±

n

P.

Vlera më e mundshme x0 e ka gabimin e saj mesatar kuadratik M0, i cili qëndron në raport të caktuar

me m0. Pra: P0:P=2

0

2

0

1:

1

Mm

Nga ku del se: 2

0

2

00

m

M

P

P

Meqë P0=1, atëherë: M02=

P

m2

0 , ku: P=n

p1

.

Kjo do të thotë se pesha e vlerës së mundshme është e barabartë me shumën e peshave të çdo matjeje

në një sërë matjesh me kujdes të ndryshëm, prandaj:

57

M0= P

m0

Meqë m 0 =±

n

, atëherë kemi: M 0 =±

Pn

P

Vlerat e vërteta të Δ nuk i njohim, prandaj atë e zëvendësojmë me gabimin e mundshëm V:

Δi=Vi+M0

Po t’i ngremë ato në katror dhe të kemi n matje, mbas veprimeve përkatëse, përfundimisht do të

kemi: M0=±

Pn

PVV

)1(

Pra del se gabimi mesatar kuadratik i vlerës së mundshme në një sërë matjesh me kujdes të ndryshëm,

është i barabartë me rrënjën katrore të shumës së produktit të peshave me katrorin e gabimeve të

mundshme, pjesëtuar me produktin e shumës së peshave me numrin e matjeve minus një (matjeve

të tepërta).

Kurse gabimi mesatar kuadratik njësi sipas vlerave të mundshme do të jetë: m 0 =±

1n

PVVdhe gabimi

mesatar kuadratik i një vlere të çfarëdoshme në një sërë matjesh me kujdes të ndryshëm është i

barabartë me gabimin mesatar kuadratik njësi m0 pjesëtuar me rrënjën katrore të peshës përkatëse

mi=P

m0 .

V.5. Vrojtimet dyshe

Gjatë matjeve të këndeve, largësive, të ndryshimit të lartësive etj., për të pasur kontroll, përdoren

matjet çift (dyshe) Për të përcaktuar gabimin mesatar kuadratik të çdo madhësie të matur, nuk mund

të përdorim plotësisht formulat që njohim deri tani, për arsye se numri i përsëritjeve të matjeve

është i vogël (vetëm dy herë).

Nëse kemi një numër të madh madhësish të një gjinie, të cilat janë matur nga dy herë, atëherë edhe

këtu mund të llogarisim gabimin mesatar kuadratik.

Le të jenë të dhëna vrojtimet a1, a2 dhe korrekturat V1,V2. Matjet do t’i pranojmë me pesha (kujdes)

të njëjta, sepse janë matur në të njëjtat kushte, prandaj do të kemi:

1-Ndryshimin midis dy matjeve: d=a1-a2

2-Vlera mesatare aritmetike: x=0.5(a1+a2)

3-Korrekturat: V1=x-a1=2

2

2

121 aaa

=

2

12 aa =-

2

d dhe V2=x-a2=

2

21 aa -

2

2 2a=

2

21 aa =+

2

d

Si shihet, korrekturat janë të njëjta, por me shenja të kundërta, d.m.th. se shuma e tyre është zero:

[V]=0.

[VV]= 44

22 dd

4

2 2d=

2

2d→ [VV]=

2

2d

4-Gabimi mesatar kuadratik për çdo matje do të jetë: m=±1

][

n

VV=±

2

d

5-Gabimi mesatar aritmetik do të jetë: M=±n

m=±

2

d

58

TEMA VI

NDËRPLOTËSIMI DHE VLERËSIMI I LLOGARITJEVE GJEODEZIKE

VI.1. Njohuri mbi ndërplotësimet

Për të përcaktuar vlerën e një madhësie të caktuar, matjet gjeodezike janë gjithmonë më të shumta

nga sa nevojiten. P.sh., në një trekëndësh mjaftojnë vetëm dy kënde, ndërsa ne i matim të tria këndet,

me qëllim që të kontrollohen matjet dhe të rritet saktësia e saj.

Përfundimet e matjeve të tepërta, për shkak të gabimeve në matje, nuk mund të kënaqin varësinë

matematike ndërmjet elementeve të figurave gjeometrike. Prandaj është e nevojshme që të gjendet

një sistem i tillë korrekturash ndaj vlerave të matura, që t’i kënaqë kushtet gjeometrike.

Meqenëse ka shumë sisteme korrekturash, ne vendosim kushte plotësuese, në mënyrë që të sigurohet

llogaritja e një sistemi të vetëm korrekturash ndaj madhësive të matura. Një kusht i tillë është marrja

e korrekturave të mundshme, d.m.th. e vlerave më afër së vërtetës të madhësive të matura, shuma e

katrorëve të së cilave duhet të jetë minimum: [V2]=minimum.

Nëse në një trekëndësh shuma teorike e këndeve duhet të dalë 180º, ne kemi mundësi të vendosim

shumë lloje korrekturash, por do të pranojmë vetëm ato që i përgjigjen kushtit që jep vetëm një

zgjidhje për korrekturën V, kurse vlera e madhësive të matura do të jetë më afër vlerës së madhësisë

së vërtetë.

Me ndërplotësimin e matjeve të tepërta merret teoria e katrorëve minimum (më të vegjël). Sipas

kësaj teorie vërtetohet matematikisht dhe vlera më e afërt (e mundshme) e madhësisë së vërtetë.

Nëse kemi kryer n matje a1, a2, a3 ... an, do të kemi dhe n korrektura.

Pra, vlera më afër së vërtetës (e mundshme) është: x= n

a dhe [v]=nx-[a]=0, sepse nx=a.

Pra, për kontroll duhet që shuma e korrekturave të dalë zero. Kjo vlen në rastin kur peshat janë të

njëjta, ndërsa kur matjet kanë pesha të ndryshme, si në rastin e nivelimit ku përcaktimi i një kuote

bëhet disa herë nga largësi të ndryshme, vlera më afër së vërtetës e kuotës x është: x= p

pa dhe për

kontroll duhet që [pv]=0.

VI.2. Njohuri mbi ndërplotësimin e rrjeteve të triangulacionit

Në rrjetet e triangulacionit kryejmë gjithmonë matje të tepërta, d.m.th. matje mbi numrin e

domosdoshëm. Këndet e matura në rrjet, të domosdoshme e të tepërta, hyjnë në marrëdhënie të

caktuara gjeometrike, të cilat shprehen lehtë në formë analitike dhe marrin emrin ekuacione të

kushtëzuara. Në rrjetin e triangulacionit jepen edhe të dhëna fillestare shtesë (kënde drejtimi, pika

mbështetëse bazë), të cilat shkaktojnë lindjen e kushteve plotësuese gjeometrike, dhe rrjedhimisht të

ekuacioneve të tyre të kushtëzuara.

Meqë gabimet e matjes së këndeve praktikisht kanë gjithmonë karakter të rastit, ndërplotësimi në më

të shumtën e rasteve kryhet sipas teorisë së katrorëve më të vegjël. Njihen dy metoda ndërplotësimi:

e kushtëzuar dhe e tërthortë. Të dyja japin përfundim të njëjtë, por zgjidhja së tyre varet nga vëllimi

i llogaritjeve. Rrjetet që kanë një numër të vogël të dhënash fillestare ndërplotësohen me metodën e

kushtëzuar, rrjetet që kanë shumë pika mbështetëse, ndërplotësohen me metodën e tërthortë.

Format e ekuacioneve të kushtëzuara janë: ekuacioni i kushtëzuar i figurës, ai i horizontit, ai i këndit

të drejtimit, ai polar dhe ai i bazave.

59

1-Ekuacioni i kushtëzuar i figurës. Figura më e thjeshtë në rrjetin e triangulacionit është trekëndëshi.

Kjo na jep kushtin që shuma e këndeve të ndërplotësuara të jetë 180˚, ekuacioni i kushtëzuar i të cilit

është:

(1)+(2)+(3)+Wf=0

ku: Wf=(1')+(2')+(3')-1800

2-Ekuacioni i kushtëzuar i horizontit. Në një pikë maten të gjitha këndet që mbyllin horizontin

(fig. 6.1), gjë që na jep kushtin që shuma e këndeve të ndërplotësuara të jetë 360˚, ekuacioni i

kushtëzuar i të cilit është: (1)+(2)+(3)+(4)+Wh=0

ku: Wh=(1')+(2')+(3')+(4')-3600

Fig. 6.1

3-Ekuacioni i kushtëzuar i këndit të drejtimit lind në ato raste kur dy ose më shumë brinjë të rrjetit

kanë vlera të përcaktuara të këndit të drejtimit.

Fig. 6.2

Nga fig. 6.2 nxjerrim se: αm=αf-(I)+(II)-(III)+(IV)-(V)±1800

Ekuacioni i kushtëzuar i këndit të drejtimit është: (I)+(II)-(III)+(IV)-(V)+Wα=0

ku: Wα=-(I')+(II')-(III')+(IV')-(V)-(αm-αf)±1800

4-Ekuacioni i kushtëzuar polar lind nga kërkesa që gjatësitë e brinjëve, të llogaritura nga zgjidhja

e trekëndëshave të ndryshëm, të japë përfundim të njëjtë. Ky kusht lind në sistemet qendrore dhe në

katërkëndëshat gjeodezikë. Në fig. 6.3, ku janë plotësuar të dyja kushtet si ai i figurës, ashtu dhe ai i

horizontit, nisur nga brinja e hyrjes 1-2, përftojmë brinjën 1'-2'.

Fig. 6.3

Fig. 6.3.1.

Me vendosjen e kushtit të polit, këndeve të rrjetit u jepen të tilla korrektura, që, përveç kushteve të

figurave dhe të horizontit, të plotësojnë dhe kushtin e polit. Me teoremën e sinusit nga brinja 1-2 në

drejtim të shigjetës, duhet të përfitohet gjatësia e saj 1-2. Është dhënë sistemi qendror (fig. 6.3.1) në

të cilën, duke u nisur nga brinja 0-1, me teoremën e sinusit llogarisim me radhë brinjët 0-2, 0-3, 0-4

dhe 0-5.

60

Kështu do të kemi: 110sin8sin6sin4sin2sin

9sin7sin5sin3sin1sin

01

01

Kjo formë ekuacioni nuk është lineare. Për ta shndërruar në formën lineare, atë e vendosim në formën

logaritmike (duke i logaritmuar të dyja anët e ekuacionit) dhe në vend të këndit të ndërplotësuar

vendosim këndin e matur plus korrekturën përkatëse. Kështu që pas logaritmimit të të dyja anëve të

ekuacionit të mësipërm, si dhe duke ditur teoremat 1 dhe 2 të logaritmeve, ekuacioni i mësipërm do

të ketë trajtën e mëposhtme:

log sin(1'+v1)+log sin(3'+v3) +log sin(5'+v5) +log sin(7'+v7)+log sin(9'+v9)-log sin(2'+v2)-

log sin(4'+v4)-log sin(6'+v6)-log sin(8'+v8)-log sin(10'+v10)=0

Meqë korrekturat vi janë të vogla, pranojmë se: log sin(1'+vi)=log (sin1'+δi•vi).

ku: δi-ndryshimi i log sin i' me ndryshimin e këndit i' me 1" në vendin e gjashtë të logaritmit. Duke

e vendosur vlerën e fundit në ekuacionin e mësipërm, marrim përfundimisht ekuacionin polar në

formë lineare:

δ1•v1+δ•v3+δ5•v5+δ7•v7+δ9•v9-δ2•v2- δ4•v4-δ6•v6-δ8•v8-δ10•v10+Wp=0

ku: Wp-vlera e lirë e ekuacionit ose mosmbyllja, e cila është e njohur dhe e barabartë me: Wp=log

sin1'+log sin3'+log sin5'+log sin7'+log sin9'-log sin2'-log sin4'-log sin6'-log sin8'-log sin10'.

5-Ekuacioni i kushtëzuar i bazave lind atëherë kur në rrjet maten dy a më shumë baza, të vendosura

në anët e zinxhirit të trekëndëshave (fig. 6.4), por ai lind edhe kur dy ose më shumë brinjë përcaktohen

nga koordinatat e tyre të njohura nga rrjeti i një klase më të lartë. Në këtë rast, bazat mund të kenë

një pikë të përbashkët.

Fig. 6.4

Ekuacionet e kushtëzuara të bazave kanë formë të ngjashme me ato polaret. Kështu kemi:

117sin14sin11sin8sin5sin2sin

16sin13sin10sin7sin4sin1sin

2

1 b

b

Duke pranuar formën lineare, do të kemi:

δ1•v1+δ4•v4+δ7•v7+δ10•v10+δ13•v13+δ16•v16- δ2•v2-δ5•v5-δ8•v8-δ11•v11-δ14•v14-δ17•v17 +Wb=0

ku: Wb=log sin1'+log sin4'+log sin7'+log sin10'+log sin16'-log sin2'-log sin5'-log sin8'-log sin11'-

log sin14'-log sin17'

Nga zgjidhja e këtyre ekuacioneve gjejmë korrekturat e këndeve përfundimtar W.

Numri i përgjithshëm i ekuacioneve të kushtëzuara në një rrjet të dhënë llogaritet me formulën:

R=N–2n+4+k

ku:

N-numri i këndeve të matura në rrjet;

n-numri i pikave të rrjetit;

k-numri i të dhënave fillestare suplementare (shtesë), mbi numrin e domosdoshëm, si baza e dytë,

këndi i dytë i drejtimit etj.

Numri i përgjithshëm i ekuacioneve ndahet në ekuacione figurash, horizonti dhe polare. Ekuacionet

e figurave llogariten me formulën: F=p-n+1

ku:

p-numri i brinjëve të rrjetit.

61

Ekuacionet polare llogariten me formulën: P=p-2n+3

Për kontroll duhet të vërtetohet barazimi: R=P+H+K

ku:

H-numri ekuacioneve të horizontit, që është i barabartë me numrin qendror të rrjetit;

K-numri i ekuacioneve të bazës.

VI.3. Ndërplotësimi i drejtimeve (këndeve)

Në stacion, ndërplotësimi i drejtimeve ka për qëllim të përcaktojë vlerat mesatare të drejtimeve të

ndryshme, kur ato maten me disa seri. Para se të bëhet ndërplotësimit, drejtimet duhen të korrigjohen

për mbylljen në horizont në drejtimin e parë dhe të reduktohet drejtimi i parë në zero. Korrigjimi i

drejtimit të parë bëhet duke pranuar si përfundimtare mesataren e dy vlerave të matura, duke i

korrigjuar të gjitha drejtimet proporcionalisht (përpjesëtimisht), derisa drejtimi i parë të barazohet në

të dyja matjet. Ndërplotësimi i drejtimeve bëhet sipas shembujve të mëposhtëm.

Shembulli 1. Të bëhet korrigjimi duke marrë mesataren e dy matjeve të drejtimit të parë.

Drejtimet e matura Drejtimet e korrigjuara Pika Seria I Seria II Seria III Pika Seria I Seria II Seria III

1

2

3

1

0º 07'14''

76019'11''

141033'21''

0007'18''

60º08'28''

136º20'26''

201º34'32''

60º08'34''

120º01'02''

196º12'58''

261º26'58''

120º00'59''

1

2

3

1

0º 07'16''

76º19'11''

141º33'21''

0º07'16''

60º08'31''

136º20'26''

201º34'32''

60º08'31''

120º01'0.5''

196º12'58''

261º26'58''

120º01'0.5''

Drejtimet pas reduktimit të drejtimit të parë në zero

Shembulli 2. Të bëhet korrigjimi i drejtimeve përpjesëtimisht me numrin e drejtimeve

Drejtimet e matura Pika Seria I Seria II Seria III

1

2

3

1

0º07'14''

76º19'11''

141º33'21''

0º07'18''

-1.3

-2,6

-4,0

60º08'28''

136º20'26''

201º34'32''

60º08'34''

-2

-4

-6

120º01'02''

196º12'58''

261º26'58''

120º00'59''

+1

+2

+3

Llogaritja e

korrekturave

14-18=-4

-4:3=-1.3

34-28-32=-6

-6:3=-2

62-59=+3

+3:3=+1

Drejtimet e korrigjuara

Pika Seria I Seria II Seria III

1

2

3

1

0º07'14''

76º19'09.7''

141º33'18.4''

0º07'14''

60º08'28''

136º20'24''

201º34'28''

60º08'28''

120º01'02''

196º12'59''

261º27'00''

120º01'02''

Drejtimet pas reduktimit të drejtimit të parë në zero

Pika Seria I Seria II Seria II

1

2

3

1

0º00'00''

76º19'55.7''

141º26'04.4''

0º00'00''

0º00'00''

76º11'56''

141º26'00''

0º00'00''

0º00'00''

76º11'57''

141º25'58''

0º00'00''

Pika Seria I Seria II Seria III

1

2

3

1

0º 00'00''

76º11'55''

141º26'05''

0º00'00''

0º00'00''

76º11'55''

141º26'01''

0º00'00''

0º00'00''

76º12'57.5''

141º25'57.5''

0º00'00''

62

Drejtimet që dalin pas reduktimit të drejtimit të parë në zero, kanë vlera të ndryshme në seri të

ndryshme. Ndërplotësimi bëhet duke marrë mesataren aritmetike të serive. Llogaritja për gjetjen e

drejtimeve mesatare dhe të korrekturave përkatëse paraqitet më poshtë.

Llogaritja e drejtimeve mesatare

Nr. i serive Drejtimi I V VV Drejtimi II V VV Drejtimi III V VV

I 0º00'00'' - - 76º11'55.7'' -0.5 0.25 141º26'04.4'' +3.6 12.96

II 0º00'00'' - - 76º11'56'' -0.2 0.04 141º26'00'' -0.8 0.64

III 0º00'00'' - - 76º11'57'' +0.8 0.64 141º25'58'' +2.8 7.84

Mes. 0º00'00'' - - 76º11'56.2'' +0.1 0.93 141º26'00.8'' 0.0 21.44

Vlerësimi

md=±

11

321

Sn

VVVVVV=±

1313

44.2193.0

=±

4

37.22=± 59.5 =±2.4''

Md=±S

md =±3

4.2= ±

7.1

4.2=±1.4''

Mβ=±Md 2 =±1.4'' 2 =±1.4''•1.4=1.96''

ku:

md-gabimi mesatar kuadratik për matjen e një drejtimi;

Md-gabimi mesatar kuadratik i mesatareve të drejtimeve;

S-numri i serive;

n-numri i drejtimeve;

Mβ-gabimi mesatar kuadratik i matjes së këndit.

VI.4. Ndërplotësimi i një pike nyje me tri poligone të hapura. Vlerësimi

Gjatë rilevimeve ndodh që në terren të vendosen disa poligone të hapura, të cilat duhet t’i

ndërplotësojmë e t’i llogarisim së bashku. Këto grupe poligonesh të hapura mund të mbështeten në

një pikë nyje me koordinata të dhëna ose në disa pika.

Për zgjidhjen e kësaj detyre ndiqet kjo radhë pune:

1-Llogarisim nga tri drejtimet këndin e drejtimit αEF (fig. 6.5) sipas këndeve të dhëna të drejtimit dhe

këndeve të matura. Për këtë qëllim përdorim formulat e mëposhtme:

Fig. 6.5

63

Për kënde të majta α'EF=αA+∑βI-n1•1800 α''EF=α'B+∑βII-n2•180

0 α'''EF=αC+∑βIII-n3•180

0

Për kënde të djathta α'EF=αA-∑βI+n11•800 α''EF=αB-∑βII+n2•180

0 α'''EF=αC-∑βIII+n3•180

0

Llogarisim këndin probabël (e mundshëm) të drejtimit me formulën:

αEF=321

3

'''

2

''

1

'

ppp

ppp EFEFEF

ku: p1, p2 dhe p3-peshat që përfaqësojnë inversin e numrit të këndeve për çdo vijë.

p=n

c

2-Llogarisim gabimin e mosmbylljes fβ dhe shpërndarjen e tyre për korrigjimin e këndeve të matura:

fβ I =(αEF-αA)-∑βI+n1•1800; fβ II =(αEF-αB)-∑βII+n2•180

0 fβ II dhe fβ III =(αEF-αC)-∑βIII+n3•180

0

Këto mosmbyllje shpërndahen në mënyrë të barabartë në të gjitha këndet e vijës përkatëse me

formulën: Δβi=n

f i

3-Me këndet e korrigjuara llogariten ndryshimet e koordinatave në secilën vijë. Me ndihmën e tyre

llogarisim koordinatat e përafërta të pikës nyje E nga pikat A, B dhe C:

X' E =X A +∑Δx' I Y' E =Y A +∑Δy' I

X'' E =X B +∑Δx' II Y'' E =Y B +∑Δy' II

X''' E =X C +∑Δx' III Y''' E =Y C +∑Δy' III

Llogarisim koordinatat e mundshëm të pikës nyje E me formulat:

X E =321

3'''

2''

1'

xxx

xE

xE

xE

ppp

pXpXpX

Y E =321

3'''

2''

1'

yyy

yE

yE

yE

ppp

pYpYpY

ku: p 1x , p 2

x , p 3x , p 1

y , p 2y , p 3

y -peshat që përfaqësojnë inversin e gjatësisë së vijave poligonale z1,

z2, z3: p=S

c

4-Duke pranuar koordinatat e pikës nyje si përfundimtare, llogaritja e koordinatave në çdo vijë dhe

ndërplotësimi i ndryshimit të koordinatave bëhet njëlloj si në poligonin e hapur.

Mosmbylljet në koordinata llogariten me formulat:

fX I =(X E -X A )-∑Δx' I fY I =(Y E -Y A )-∑Δy' I

fX II =(X E -X B )-∑Δx' II fY II =(Y E -Y B )-∑Δy' II

fX III =(X E -X C )-∑Δx' III fY III = (Y E -Y C )-∑Δy' III

5-Në bazë të mosmbylljeve në koordinatat për secilën vijë llogarisim mosmbylljen gjatësore

f S = 22 fyfx dhe gabimin relativ S

f S =T

1.

Vlerësimi i llogaritjeve bëhet me gabimin mesatar kuadratik për njësinë e peshës së këndit:

mβ=±kn

ffp

ku:

n-numri i vijave poligonale;

k-numri i pikave nyje.

64

Gabimi mesatar aritmetik llogaritet me formulën: Mβ=± p

m

Vlerësimi i koordinatave bëhet duke llogaritur gabimin mesatar kuadratik për ikset dhe ipsilonet:

m X =±kn

ffp xx

x

dhe m Y =±

kn

ffp yy

y

Ndërsa gabimi mesatar aritmetik i pikës nyje llogaritet me formulat:

M X =± X

X

p

m dhe M Y =±

Y

Y

p

m

Detyra 15. Ndërplotësimi i grupit të poligoneve të hapura

Të ndërplotësohet sistemi i poligoneve të hapura i paraqitur në fig. 6.6.

Fig. 6.6

Me këndet e drejtimit të dhëna për çdo drejtim llogarisim këndin e mundshëm të drejtimit α23 sipas

formularit të mëposhtëm.

Vija αf ∑β' α23 p=10/n fβ fβ•fβ p•fβ•fβ

I 295°51'02''9 357°01'55'' 112°52'57.9'' 3.3 -4.4 19.36 63.89

II 271°44'45'' 435°19'24'' 112°53'03'' 5.0 +0.7 0.49 2.45

III 322°51'05.5'' 962°23'16'' 112°53'05.5'' 3.3 +3.2 10.24 33.79

∑=11.6 ∑100.13

α23=112°53'+6.11

3.35.650.5633.39.57 =112°53'+

6.11

15.21631507.191 =112°53'+

6.11

22.722=

112°53'+62.3"=112°53'+1'02.3"=112°54''02.3"

65

Llogaritja e koordinatave në vijën I

Pika

Kёndet e

matura

Kёndet e

korrigjuara

Kёndet e

drejtimit

Kёndet

e

tabelёs

S cosα

sinα

Ndryshimi i

koordinatave

Ndryshimi i

korrigjuar

Koordinatat Pika

Δ'x Δ'y Δx Δy X Y

I 295°51'02''9 I II +1.5"

160°32' 35"

160°32'36.5"

3638.21

3426.69

II 276°23'39 ''4 81°53'50'' 454.93 0.993779

0.111369 +1

+50.17

+1

-452.10

50.17

-

452.10

1

+1.4"

85°05'51"

85°05'52.4"

3688.85 2974.58 1

181°29'31''8 27°49'59'' 467.66 0.026032

0.999661 +1

-467.49 +1

-12.17

-

467.49

-12.17

2 +1.5"

111°23'29"

111°23'30.5"

3221.32 2962.41 2

112°53'02''3

3 3 ∑fβ=+4.4"

∑βt=357°01'55"

Σβt=357°01'59.4

"

∑S=922.59 ∑Δ'x=-417.32 ∑Δ'y=

-464.27

Llogaritja e koordinatave në vijën II

Pika

Kёndet e

matura

Kёndet e

korrigjuara

Kёndet e

drejtimit

Kёndet e

tabelёs

S cosα

sinα

Ndryshimi i

koordinatave

Ndryshimi i

korrigjuar

Koordinatat Pika

Δ''x Δ''y Δx Δy X Y

III

271°44'45''

89°21'09''

III

IV

-0.4”

202°12'52"

202°12'51"6

3072.19 3307.18 IV

293°57'36.6''

81°53'50''

175.39

0.913828

0.406101

+1

+71.23 -+1

160.28

+71.23

-160.28

3

-0.3”

178°55'26"

178°55'25.7"

3143.43 3146.89 3

292°53'02''3

27°49'59''

200.24

0.921294

0.388864

+1

+77.87 -+1

184.49

141.86

141.86

2

3221.32 2962.41 2

fβ=-0.7"

∑=381°08'18"

Σβt=381°08'17.3" ∑S=375.63 ∑Δ''x=+149.10 ∑Δ''y=

-344.77

66

Llogaritja e koordinatave në vijën III

Pi

ka Kёndet e

matura

Kёndet e

korrigjuara

Kёndet e

drejtimit

Kёndet e

tabelёs

S cosα

sinα

Ndryshimi i

koordinatave

Ndryshimi i

korrigjuar

Koordinatat Pika

Δ'"x Δ'"y Δx Δy X Y

V

322°51'05.5''

V

VI

-1.1

263°48' 36" 263°48' 34"9

2576.00

2 630.14

VI

19°39'40.4''

19°39'40.4''

278.059

0.336458

0. 941698

+1

261.84 +1

93.55

+19.85

-139.30

4

-1.0

192°24'24"

192°24' 23"0

2837.85

2723.70

4 31°54'03.4''

31°54'03.4''

451.692

0.528452

0.848963

+1

383.47 +1

238.69 141.86

+74.92

2

-1.1

260°59'00"

260°58' 58"9

3221.32

2962.41

2 112°53' 02.3''

3

3

727°12'00" Σβt==727°11'56.8"

fβ=-3.2"

∑S=729.751 ∑Δ'"x=

+645.31

∑Δ'"y=

+332.24

Vija Xf ∑Δ'x X'2 p=

S

1000

fx' fx•fx p•fx•fx X 2 =3221+

11.5

37.131.066.229.008.138.0 =

11.5

42.077.041.0 =

11.5

60.1=0.31=3221.31

I 3638.21 -417.32 3221.38 1.08 +0.07 0.0049 0.0053

II 3072.19 +149.10 3221.29 2.66 -0.02 0.0004 0.0011

III 2576.00 +645.31 3221.31 1.37 0.00 0.0000 0.0000

∑p=5.11 ∑p•fx•fx=0.0064

Vija Yf ∑Δ'y Y'2 p=

S

1000

fy' fx•fx p•fx•fx Y2=2962+

11.5

37.138.066.241.008.142.0 x=

11.5

52.009.145.0 =

11.5

06.2=0.40=2962.40

X2=3221.31

I 3462.69 -464.27 2962.42 1.08 +0.02 0.0004 0.0004

II 3307.18 -344.77 2962.41 2.66 +0.01 0.0001 0.0000

III 2630.14 +332.24 2962.38 1.37 -0.02 0.0004 0.0001

∑p=5.11 ∑p•fx•fx=0.0005

67

Vlerësimi

Gabimi mesatar kuadratik për njësinë e peshës së këndit është:

Mβ=kn

ffp

=

13

13.1006.11

=

2

50.1161= 75.580 =±24.1"

Gabimi mesatar aritmetik llogaritet me formulën:

Mβ=± p

m=

6.11

''1.24=

40.3

''1.24=±7"

Koordinatat vlerësohen me gabimin mesatar kuadratik:

m X =±kn

ffp xx

x

=

13

0064.0

= 0032.0 ≈0.056

m Y =±kn

ffp yy

y

=

13

0005.0

= 00025.0 ≈0.016

Gabimi mesatar aritmetik llogaritet me formulën:

MX=± X

X

p

m=

11.5

056.0=0.02

MY=± Y

Y

p

m=

11.5

016.0=0.01

VI.5. Ndërplotësimi i grupit të poligoneve të mbyllura

Gjatë rilevimeve ndodh që në terren të vendosen disa poligone të mbyllura, të cilat duhet t’i

ndërplotësojmë e t’i llogarisim së bashku. Këto grupe poligonesh të mbyllura mund të mbështeten

ose në një pikë me koordinata të dhëna, ose në disa pika.

Për zgjidhjen e kësaj detyre ndiqet kjo radhë pune:

1-Gjejmë gabimin e mosmbylljes këndore fβ për secilin poligon me formulën:

fβ=Σβ-1800(n-2)

2-Përcaktojmë me formulën e mëposhtme numrin e ekuacioneve normale nga zgjidhja e të cilave

nxirren korrekturat përkatëse, me synimin për të ndërplotësuar këndet e matura: r=n+k-1.

ku:

n-është numri i poligoneve të mbyllura;

k-numri i pikave të forta (lidhjeve).

Në fig. 6.7 janë dhënë tri poligone dhe një pikë e fortë, prandaj numri i ekuacioneve normale do të

jetë: r=3+1-1=3

Në poligonin I do të kemi këto koeficiente: n1=5, n12=4 dhe n13=4, kurse ekuacioni për korrekturat

në poligonin I do të jetë: +(n1+n12+n13)K1-n12 K2-n13K3+fβI=0

Pas zëvendësimit të koeficienteve do të kemi: +(5+4+4)K1-4K2-4K3+fβI=+13K1-4K2-4K3+fβI=0

Në poligonin II do të kemi këto koeficiente: n2=6, n12=4 dhe n23=4, kurse ekuacioni për korrekturat

në poligonin II do të jetë:-n12K1+(n2+n12+n23)K2-n23K3+fβII=0

Pas zëvendësimit të koeficienteve do të kemi: -4K1+(6+4+4)K2-4K3+fβII=-4K1+14K2-4K3+fβII=0

Në poligonin III do të kemi këto koeficiente: n3=6, n13=4 dhe n23=4, kurse ekuacioni për korrekturat

në poligonin III do të ketë formën:-n13k1-n23k2+(n3+n13+n23)k3+fβ II =0

68

Pas zëvendësimit të koeficienteve do të kemi: -4K1 1 -4K2 2 +(6+4+4)K3 3 +fβIII=-4K1-4K2+14K3+fβIII=0

Fig. 6.7

Nga zgjidhja e këtyre ekuacioneve me metodën e eliminimit, gjendet më parë korrektura k3, e cila

zëvendësohet në ekuacionin e dytë dhe del korrektura: K2=K3K3+fβ II , e cila, duke u zëvendësuar në

ekuacionin e parë, na nxjerr korrekturën: K1=K2K2+K3K3+fβ I , sipas kriterit të së cilit korrigjohen

edhe këndet si më poshtë vijon:

Poligoni I

Në të gjitha këndet nga A në B vendosen korrekturat δ1=K1.

Në të gjitha këndet nga B në C vendosen korrekturat δ2=K1-K2.

Në të gjitha këndet nga A në C vendosen korrekturat δ3=K1–K3.

Në këndet e nyjës në pikën A vendosen korrekturat δ4=K1-0.5K3.

Në këndet e nyjës në pikën B vendosen korrekturat δ5=K1-0.5K2.

Në këndet e nyjës në pikën C vendosen korrekturat δ6=K1-0.5K2-0.5K3.

Për kontroll, shuma e korrekturave δ të shpërndara në këndet e poligonit I duhet të jetë e barabartë

me mosmbylljen fβ I ,por me shenjë të kundërt.

Në fig. 6.7 duhet që katër këndet midis nyjave A dhe B të korrektohen me δ1, tri këndet midis nyjave

B dhe C të korrektohen me δ2 dhe tri kënde midis nyjave A dhe C të korrektohen me δ3.

Në të njëjtën mënyrë bëhet shpërndarja edhe në poligonet e tjera.

Në të njëjtën mënyrë ndërtohen ekuacionet normale për korrekturat fx=ΣΔ'x dhe fy=ΣΔ'y në poligonet

e mbyllura.

Do të zgjidhim në këtë mënyrë dy sisteme ekuacionesh, nga të cilat njëri për fx e tjetri për fy. Në të

dyja sistemet koeficientet janë të njëjta. Në skemën e poligoneve brenda në rreth shënohet gjatësia në

kilometra e të gjitha brinjëve nga nyje në nyjën tjetër. Ekuacionet normale do të kenë formën për fx:

+(n1+n12+n13)K1x -n12K2

x -n13K3x +fx I =0

-n12K1x +(n2+n12+n23)K2

x –n23K3x +fx II =0

-n13K1x -n23K2

x +(n3+n13+n23)K3x +fx III =0

Ku me ni kemi shënuar gjatësinë e përgjithshme të brinjëve nga nyja në nyje.

Në këtë mënyrë shkruhen ekuacionet normal për fy:

+(n1+n12+n13)K1y-n12K2

y-n13K3

y+fy I =0

-n12K1y+(n2+n12+n23)K2

y–n23K3

y+fy II =0

-n13K1y-n23K2

y+(n3+n13+n23)K3

y+fy III =0

69

Detyra 16 Ndërplotësimi i grupit të poligoneve të mbyllura

Të ndërplotësohet sistemi i poligoneve të mbyllur i paraqitur në fig. 6.8.

1-Ndërplotësimi i këndeve Së pari gjejmë shumën e këndeve për çdo poligon dhe mosmbylljen përkatëse me formulën:

fβ=Σβ-1800(n-2).

Së dyti shtrojmë ekuacionet normale për ndërplotësimin e këndeve:

+8K1-3K2-2K3-900=0

-3K1+9K2-2K3+1200=0

-2K1-2K2+8K3-900=0

Fig. 6.8

Në formularin e mëposhtëm tregohet radha e veprimeve për zgjidhjen e ekuacioneve.

Renditja e veprimeve K1 K2 K3 fβ Shuma e kontrollit

1

2

3

8

-3

-2

-3

+9

-2

-2

-2

+8

-90

+120

-90

-87

+124

-86

4=1:8

5=2:3

6=3:2

1

-1

-1

-0.375

+3.000

-1.000

-0.250

-0.667

+4.000

-11.250

+40.000

-45.000

-10.875

+41.333

-43.000

7=4+5

8=4+6

+2.625

-1.375

-0.917

+3.750

+28.750

-56.250

+30.458

-53.875

9=7:2.625

10=8:1.375

1

-1

-0.349

+2.727

+10.952-

40.909

+11.603

-39.182

11=9+10 +2.378 -29.957 -27.579

12=11:2.378 1 -12.6 -11.6

K3=+12.6

K3=K2 +K3K3+fβ=-0.375+(-0.250)(-0.349)+(-11.250)=12.6

K2=K3K3+fβ=0.349(12.6)-10.952≈-6.3

K1=K2K2+K3K3+fβ=0.375(-6.34)+0.250(12.6)+11.250≈+12

Korrekturat për këndet përkatëse do të jenë:

Poligoni I

δ1=δ2=K1=+12''•2=24''

δA=K1-0.5K3=+12-0.5•12.6=6

70

δ B=K1-0.5K2=+12-0.5•(-6.3)=15

δ3=δ4=K1-K2=12-(-6.3)2=36

δC=K1-0.5K2-0.5K3=+12-0.5(-6.3)-0.5•12.6=9

δ6=K1-K3=12-12.6=0

ΣδI=+900

Shuma: 8K1-3K2-2K3=900

Poligoni II

Δ10=δ11=δ12=K2=-6.3•3=-18.9

δD=K2-0.5K3=-6.3-0.5•12.6=-12.6

δB=K2-0.5K1=-6.3-0.5•12=-12.3

δ3=δ4=K2-K1=-6.3-12•2=-36

δC=K2-0.5K1-0.5K3=-6.3-0.5•12-0.5•12.6=-18.6

δ5=K2-K3=-6.3-12.6=-18.9

ΣδII=-1200

Shuma: -3K1+9K2-2K3=-1200

Poligoni III

δA=K3-0.5K1=12.60.5•12=+6.6

δ6=K3-K1=12.6-12=0.6

δC=K3-0.5K1-0.5K2=12.6-0.5•12-0.5(-6.3)=+9.3

δ5=K3-K2=12.6-(-6.3)=+18.9

δD=K3-0.5K2=12.6-0.5(-6.3)=+15.7

δ7=δ8=δ9=K3=12.6•3=+37.8

ΣδIII=+900

Shuma: -2K1-2K2+8K3=+900

Këndet e korrigjuara paraqiten në formularët e llogaritjes së koordinatave të poligoneve të mbyllura.

2) Ndërplotësimi i ndryshimit të koordinatave

Siç shihet edhe nga fig. 6.8, mosmbyllja fx dhe ajo fy e çdo poligoni të marra nga formularët përkatës

të llogaritjes së koordinatave në çdo vijë poligoni, janë shprehur në cm. Pranojmë ni numrin në

hektometra të çdo vije (me rrumbullakim të numrave) që rezulton nga mbledhja e brinjëve përkatëse

të vijës.

Ekuacionet normale për ndryshimin e Δ'x dhe të Δ'y do të jenë:

+10K1x-3K2

x-3K3

x-8=0 +10K1

y-3K2

y-3K3

y+3=0

-3K1x+12K2

x-2K3

x-6=0 -3K1

y+12K2

y-2K3

y+0=0

-3K1x-2K2

x+9K3

x+3=0 -3K1

y-2K2

y+9K3

y+5=0

Korrekturat e vijave shpërndahen në ndryshimet e koordinatave proporcionalisht me gjatësinë e

brinjëve, por duke mos dhënë korrekturë më të vogël se 1 cm. Duhet pasur parasysh gjithashtu që

shtesat në brinjët e vijave kufitare të korrigjohen me madhësi të njëjtë, por me shenjë të kundërt.

Ekuacionet normale për Δ'y do të kenë koeficient të barabartë me atë të Δ'x, por ndryshojnë vetëm

vlerat e lira.

Në formularët e mëposhtme tregohet radha e veprimeve për zgjidhjen e ekuacioneve. Renditja e veprimeve K1

x K2

x K3

x fx Shuma e kontrollit

1

2

3

10

-3

-3

-3

+12

-2

-3

-2

+9

-8

-6

+3

-4

+1

+7

4=1:10

5=2:3

6=3:3

1

-1

-1

-0.30

+4.00

-0.67

-0.30

-0.67

+3.00

-0.80

-2.00

+1.00

-0.40

+0.33

-2.33

7=4+5

8=4+6

+3.70

-0.97

-0.97

+2.70

+2.80

-0.20

-0.07

+1.93

71

9=7:3.70

10=8:0.97

1

-1

-0.26

+2.78

-0.76

+0.20

+0.02

+2.00

11=9+10 +2.52 -0.56 +1.98

12=11:2.52 1 -0.20 -11.6

K3x=+0.2

K2x=K3

xK3

x+fx=(-0.26)•(-0.3)+(-0.76)=+0.8

K1x=K2

x K2

x+K3

x K3

x+fy=+0.30•0.8+0.30•0.2+0.80=+1.1

Korrekturat në vija të veçanta do të jenë:

Në vijën AB: -4K1=-4•1.1=+4 cm

Në vijën BC: -3(K1-K2)=-3(1.1-0.8)=+1 cm

Në vijën CA: -3(K1-K3)=-3(1.1-0.2)=+3 cm

Në vijën BD: -7K2=-7•0.8=+6 cm

Në vijën DC: -2(K2-K3)=-2(0.8-0.2)=+1 cm

Në vijën CB: -3(K2-K1)=-3(0.8-1.1)=-1 cm

Në vijën AD: -4K3=-4•0.2=+1 cm

Në vijën DC: -2(K3-K2)=-2(0.2-0.8)=-1 cm

Në vijën AC: -3(K3-K1)=-3(0.2-1.1)=-3 cm

Renditja e veprimeve K1y K2

y K3

y fy Shuma e kontrollit

1

2

3

10

-3

-3

-3

+12

-2

-3

-2

+9

-3

0

+5

+1

+7

+9

4=1:8

5=2:3

6=3:2

1

-1

-1

-0.30

+4.00

-0.67

-0.30

-0.67

+3.00

-0.30

0

+1.67

+0.10

+2.33

+3.00

7=4+5

8=4+6

+3.70

-0.97

-0.97

+2.70

-0.30

+1.37

+2.43

+3.10

9=7:2.625

10=8:1.375

1

-1

- 0.26

+2.78

-0.08

+1.41

+0.66

+3.20

11=9+10 +2.52 +1.33 +3.86

12=11:2.378 1 +0.53 +1.53

K3y=-0.53

K2y=K3

yK3

y+fx=0.26(-0.53)+0.08=-0.06

K1y=K2

yK2

y+K3

y K3

y+fy=0.30(-0.06)+0.26•0.53+0.30=+0.15

Korrekturat në vija të veçanta do të jenë:

Në vijën AB: 4K1=-4•0.15=+1 cm

Në vijën BC: -3(K1-K2)=-3(0.15-0.06)=0

Në vijën CA: -3(K1-K3)=-3(0.15-0.53)=+2 cm

Në vijën BD: -7K2=-7•0.06=-1 cm

Në vijën DC: -2(K2-K3)=-2(0.06-0.53)=+1 cm

Në vijën CB: -3(K2-K1)=-3(0.06-0.15)=0

Në vijën AD: -4K3=-4•0.53=-2 cm

Në vijën DC: -2(K3-K2)=-2(0.53-0.06=-1 cm

Në vijën AC: -3(K3-K1)=-3(0.53-0.15)=-2 cm

Me ndryshimet e koordinatave të korrigjuara, llogaritim koordinatat e pikave në poligone

duke u nisur nga koordinatat e pikës së dhënë C.

72

Llogaritja e koordinatave në poligonin I Pika

Kёndet e

matura

Kёndet e

korrigjuara

Kёndet

e drejtimit

Kёndet

e

tabelёs

S cosα

sinα

Ndryshimi i

koordinatave

Ndryshimi i

korrigjuar

Koordinatat Pika

Δ'x Δ'y Δx Δy X Y

C 270°38'51''

89°21'09''

134.05

0.01130 0.99994

+1

+1.51 +1

-134.04 +1.52

-134.03

1000.00 1000.00 C 6 +11

172°32'30"

172°32'41"

1001.52 865.97 6

278°06'10''

81°53'50''

140.72

0.14099 0.99001

+1

+19.84 +1

-139.31

+19.85

-139.30 A +11

70°16'00" 70°16'11"

1021.37 726.67

A

27°49'59''

27°49'59''

160.42

0.88427 0.46696

+1

141.85 +1

+74.91

141.86

+74.92 1 +12

161°34'00"

161°34'12"

1163.23 801.59 1

46°15'47''

46°15'47''

132.88

0.69120 0.72257

+1

+91.86

+96.02

+91.87

+96.02 2 +12

147°44'00"

147°44'12"

1255.10 897.61 2

78°31'35''

78°31'35''

152.05

0.19884

0.98003

+1

+30.23

149.01

+30.24

+149.01 B +11

59°20'30" 59°20'41"

1285.34 1046.62 B

199°10'54''

19° 10' 54''

101.53

0.94446 0.32862

+1

-95.89

-33.36

-95.88

-33.36

3 +11

191°13'00"

191°13'11"

1189.46 1013.26 3

187°57'43''

7°57'43''

95.72

0.99038

0.13854

+1

-94.80 -13.26

-94.79

-13.26

4 +11

187°57'30"

187°57'41"

1094.67 1000.00 4

180°00'02''

0°00'02''

94.68

1.00000

0.00000

+1

-94.68 0.00

-94.67

0.00

C +11

89°21'00" 89°21'11" 1000.00 1000.00 C

Σβ=

1079°58'30"

ΣS=

1012.07

ΣΔ'x=+285.29

-285.37

ΣΔ'y=319.94;

319.97

fx=+0.08 fy=-0.03

Σβt=1080°00'00"; fβ=Σβ-Σβt=1079°58'30"-1080°00'00"=-1'30"=-90" Δβ=8

''90=11.2"

fS=22

yx ff = 0009.0064.0 =0.085

2000

1

07.1012

085.01

T

73

Llogaritja e koordinatave në poligonin II

Pika Kёndet e

matura

Kёndet e

korrigjuara

Kёndet e

drejtimit

Kёnde e

tabelёs

S cosα

sinα

Ndryshimi i

koordinatave

Ndryshimi i

korrigjuar

Koordinatat Pika

Δ'x Δ'y Δx Δy X Y

C -13

190°15'30''

190°15'17''

0°00'00'' 0°00'00'' 94.68 1.00000

0.00000

+94.68 +0.00 +94.68 +0.00 1000.00 1000.00 C

4 -13

172°02'30" 172°02'17"

1094.68 1000.00 4 7°57'43'' 7°57'48'' 95.72 0.99035

0.13854 +94.80 +13.26 +94.80 +13.26

3 -13

168°47'00" 168°46'47"

1189.48 1013.26 3 19°10'56''

19°11'06''

101.53

0.94446

0.32862

+1

+95.89 +33.36

+95.90

+33.36

B -14

65°55'30"

65°55'16"

1285.38 1046.62 B

133°15'40''

46°44'12''

173.80

0.68535

0.72821

+1

-119.11 126.56

-119.10 126.56

12 -13

148°04' 30"

148°04'17"

1166.28 1173.18 12

165°11'23''

14°48'35''

170.08

0.96678 0.25560

+1

-164.43

+43.47

-164.42

+43.47 11 -13

129°02'30"

129°02'17"

1001.86 1216.65 11

216°09'06''

36°09'02''

156.18

0.80747

0.58990

+1

-126.11

-92.13

-126.10

-92.13 10 -13

164°03'30"

164°03'17"

875.76 1124.52 10

232°05'39''

52°05'39''

153.85

0.61436

0.78902

+1

-94.52

-121.39

-94.51

-

121.39 D -14

64°16'00"

64°15'46"

781.25 1003.13 D

347° 49'

53''

12°10'08''

110.15

0.97753

0.21000

+1

107.67 -23.22

107.68

-23.22

5 -14

157°35'00" 157°34'46"

888.93 979.91 5

10°15'11''

10°15'11''

112.87

0.98403 0.17799

-111.07

+20.09

-111.07

+20.09 C 190°15'30'' 1000.00 1000.00 C

Σβt=

1260°00'00"

Σβ=

1260°02'00"

ΣS=1168.86 ΣΔ'x=+504.11 ΣΔ'y=

504.17

fx=-0.06; fy =0.00

fβ=Σβ-Σβt=1260°02'00"-1260°00'00"=+2'=+120" fS=22

yx ff = 000.0036.0 =0.06

Δβ=9

''120=13.3"

86.1168

06.01

T=

20000

1

74

Llogaritja e koordinatave në poligonin III

Pika Kёndet e

matura

Kёndet e

korrigjuara

Kёndet e

drejtimit

Kёndet e

tabelёs

S cosα

sinα

Ndryshimi i

koordinatave

Ndryshimi i

korrigjuar

Koordinatat Pi

ka

Δ'x Δ'y Δx Δy X Y

C

190°15'11''

10°15'11''

112.87

0.98403

0.17799

-111.07 1

-20.09

-111.07

-20.10

1000.00 1000.00 C

5 +11

202°25'00"

202°25'11" 888.93 979.90 6

167°50'00'' 12°10'00'' 110.15 0.97799

0.21080

-101.67 +23.22 -101.67 +23.22

D +11

104°56'00" 104°56'11"

787.26 1003.12 A

242°53'49''

62°53'49''

120.05

0.45565

0.89016

-1

-54.70

-106.86

-54.71

-

106.86

9 +11

123°50'00" 123°50'11"

726.55 896.26 1

299°03'38'' 60°56'22'' 138.82 0.48567

0.87414

+67.42 -121.35 +67.42 121.35

8 +12

150°36'00"

150°36'12" 793.97 774.91 2

328°27'26''

31°32'34''

118.15

0.85218

0.52324

100.68 -1

-61.82

100.68

-61.83 7 +12

142°19'30" 142°19'42"

894.65 713.08 B

6°07'44''

6°07'44''

127.45

0.99429 0. 10669

-1

126.72 -1

+13.60

126.71

+13.59

A +11

88°01'00"

88°01'11" 1021.36 726.67 3

98°06'33''

81°53'27''

140.72

0.14099

0.99001

-19.84

-1

139.31 -19.84

139.30

6 +11

187°27'30"

187°27'42" 1001.52 865.97 4

90°38'51''

89°21'09''

134.05

0.01130

0.99994

-1

-1.51 -1

134.04 -1.52

134.03

C +11

80°23'30" 80°23'41"

1000.00 1000.00 C

Σβt=1080°00'00" Σβ=1079°58'30'' ΣS=1005.27 +294.82

-294.79

fx=+0.03

310.17

310.12

fy=+0.05

fβ=Σβ-Σβt=1079°58' 30''-1080°00'00"=-1'30"=-90

fS=22

yx ff = 0025.00009.0 = 0034.0 =0.06

16500

1

27.1005

06.01

T

75

VI.6. Ndërplotësimi i një rrjeti të mbështetur në dy baza të forta

Le të jetë dhënë rrjeti analitik i përbërë nga gjashtë trekëndësha (fig. 6.9). Llogaritja dhe ndërplotësimi

i një rrjeti të tillë zinxhir bëhet sipas radhës së mëposhtme:

Fig. 6.9

1-Me detyrën e kundërt të gjeodezisë llogariten dy këndet e drejtimit: ai i fillimit α12 dhe ai i mbarimit

α78, si dhe brinjët përkatëse të bazës S12 dhe S78:

tg α12=12

12

XX

YY

dhe S12=

12

12

sc

XX =

12

12

ns

YY

tg α78=78

78

XX

YY

dhe S78=

78

78

cos

XX =

78

78

sin

YY

2-Llogariten mosmbylljet këndore për secilin trekëndësh me formulën:

w1=1+2+3-1800 w4=10+11+12-180

0

w2=4+5+6-1800 w5=13+14+15-180

0

w3=7+8+9-1800 w6=16+17+18-180

0

3-Përcaktohet vija poligonale e lidhjes së këndeve të drejtimit. Në rastin tonë pranohet vija 2-1-4-6-

8-7, që, zakonisht, është vija e sipërme e rrjetit analitiko-zinxhir.

4-Llogaritet shuma e këndeve të matura, që gjendet në vijën poligonale të lidhjes, p.sh:

ΣUα=1+3+4+5+9+10+11+15+16+17

5-Llogaritet ndryshimi midis këndeve të drejtimit për kënde të djathta: αF-αM=ΣUα-n 1800

6-Përcaktohet gabimi në lidhje ose mosmbyllja: ω=ΣUα-(αF-αM+n 180˚)

7)-Llogaritet shuma algjebrike e gabimeve në trekëndëshat, brinjët e të cilëve gjenden në vijën e

sipërme poligonale të lidhjes, duke marrë parasysh shenjat: Σfα=f2+f4

8-Llogaritet një vlerë ndihmëse δ me formulën: δ=±n

ff

6

3

ku:

n-numri i trekëndëshave, që në rastin tonë është n=6.

9-Llogariten korrekturat e para për trekëndëshat që kanë dy kënde në vijën poligonale të lidhjes:

Δn=-3

1fn-δ për këndet 4, 5, 10, 11, 16, 17. P.sh.: Δ4=-

3

1f2-δ

dhe Δn=-3

1fn+2δ për këndet 6, 12, 18. P.sh.: Δ6=-

3

1f2+2δ

10-Llogariten korrekturat e para për trekëndëshat I, III, V, të cilët kanë vetëm një kënd në vijën

poligonale të lidhjes, me formulën:

Δn=-3

1fn-2δ për këndet 3, 9, 15 dhe Δn=-

3

1fn+ δ për këndet 1, 2, 7, 8, 13, 14.

11- Me korrekturat e para ndërplotësohen këndet e matura dhe përcaktohen logaritmet e të gjitha

76

këndeve me numër çift dhe me numër tek, pastaj bëhet shuma e logaritmeve të sinuseve të këndeve

me numër çift e të këndeve me numër tek.

12-Llogaritet gabimi V në brinjët me formulën: V=loga+Σlogsin (të këndeve me numër çift)-logb+

Σ log sin (të këndeve me numër tek).

13-Gjatë përcaktimit të logaritmeve, ndryshimet tabelore për intervalin 1' nxirren dhe shënohen në

formular (për këndet çift këto ndryshime tabelore shënohen me α dhe për ato tek me β, kurse shuma

e tyre shënohet me Σ(α+β).

14-Llogariten korrekturat e dyta përfundimtare me formulat:

Δ1=+)(

V=-Δ 2 (për këndet çift) dhe Δ2=-

)(

V (për këndet tek)

15-Meqë logaritmet e sinuseve i kemi gjetur një herë, korrektohen vetëm logaritmet me korrekturat

logaritmike, që dalin duke shumëzuar:

për këndet çift: δ1=Δ1β, kurse për këndet tek: δ2=Δ2α

16-Llogariten të gjitha brinjët të rrjetit me teoremën e sinusit:

2sin

a=

3sin

31

=

1sin

32

=

5sin

32

=

6sin

42

=

4sin

43

=

8sin

43

=

9sin

53

=...

17-Llogariten koordinatat e pikave të rrjetit duke llogaritur e ndërplotësuar poligonin e hapur 1-2-3-

4-5-6-7-8.

Detyra 17 Ndërplotësimi i një rrjeti të mbështetur në dy baza të forta Janë dhënë këndet e matura α12=180˚00', α78=229˚01, bazat a=334.14, b=288.83 dhe koordinata e

pikës 1. Nr.

Δ Pika Këndet

e

matura

Wi Këndet e

korrigjuara

log sinα Diferenca

α-β δ1,

δ2

Këndet e

korrigjuara

ln sinα Brinja Nr. i

brinjës

1 1 65˚59' +20 65˚59'20" 9.960674 +6 -0.1 65˚59'19.9" 0.913466 401.66 2-3

2 49˚27' +20 49˚27'20" 9.880721 +11 +0.1 49˚27'20.1" 0.759990 334.14 a

3 64˚33' +20 64˚33'20" 64˚33' 20" 0.903002 397.06 1-3

Σ 179˚59' -1 180˚00'00"

2 4 40˚45' +20 40˚45'20" 9.814753 +15 -0.1 40˚45'19.9" 0.652833 318.02 3-4

5 55˚33' +20 55˚33'20" 9.916254 +9 +0.1 55˚33'20.1" 0.824675 401.66 2-3

6 83˚41' +20 83˚41'20" 83˚41'20" 0.993939 484.11 2-4

Σ 179˚59' -1 180˚00'00"

3

7 104˚08' 0 104˚08'00" 9.986651 +3 -0.1 104˚07'59.9" 0.969730 515.43 4-5

8 36˚45' 0 36˚45'00" 9.776937 +17 +0.1 36˚45'00.1" 0.598325 318.02 3-4

9 39˚07' 0 39˚07'00" 39˚07'00" 0.630902 339.69 3-5

Σ 180˚00' 0 180˚00'00"

4 10 49˚28' +20 49˚28'20" 9.880830 +11 -0.1 49˚28'19.9" 0760091 400.15 5-6

11 78˚15' +20 78˚15'20" 9.990803 +3 +0.1 78˚15'20.1" 0.979065 515.43 4-5

12 52˚16' +20 52˚16'20" 52˚16'20" 0.790927 416.38 4-6

Σ 179˚59' -1 180˚00'00"

5 13 70˚15' +20 70˚15'20" 9.973671 +4 -0.1 70˚15'19.9" 0.941208 437.16 6-7

14 59˚29' +20 59˚29'20" 9.935246 +7 +0.1 59˚29'20.1" 0.861531 400.15 5-6

15 50˚15' +20 50˚15'20" 50˚15'20" 0.768904 357.13 5-7

Σ 179˚59' -1 180˚00'00"

6 16 39˚21' -20 39˚20'40" 9.802128 +16 -0.1 39˚20'39.9" 0.633981 288.83 b

17 73˚41' -20 73˚40'40" 9.982146 +4 +0.1 73˚40'40.1" 0.959696 437.16 6-7

18 66˚59' -20 66˚58'40" 66˚58'40" 0.920353 419.24 6-8

Σ 180˚01' +1 180˚00'00" 106

log a=log 334.14=2.523928; log b=288.83=2.460642; ΣI=61.942635, ΣII=61.942749;

77

δ1=-δ2=)(

7

w=

106

4.11=0.1; w7=ΣI-ΣII=11.4

Ekuacionet e kushtëzuara të këndeve të drejtimit llogariten me formulat e mëposhtme:

α'78=α12-3+6-9+12-15+18±1800

α'78=229˚00'40"

α78=229˚01' fα=α'78-α78=20"

Fig. 6.9.1

78

Llogaritja e koordinatave

Pika Kёndet e

matura

Kёndet e

korrigjuara

Kёndet e

drejtimit

Kёndet e

tabelёs

S cosα

log S

sinα

Ndryshimi i

koordinatave

Ndryshimi i

korrigjuar

Koordinatat Pika

Δ'x Δ'y Δx Δy X Y

1 K. II

180°00'00''

00°00' 00''

-0.06

-114.82 +0.01

165.71

-114.88

165.72

1632.26 864.35 1 2 64°33' 64°33'20" 1517.38 07 2

K. I

53°09'36''

53°09'36''

9.777848

2.420648 9.903259

-0.07

157.94 +0.01

210.82

157.87

210.83 3 83°41' 83°41'20" 1675.25 1240.91 3

K. IV

317°07'12''

42°52'48''

241.03

9.866376

2.382071

9.831167

-0.06

177.19 +0.01

-163.39

177.13

-163.38 4 39°07' 39°07'00" 1852.38 1077.53 4

K. IV 273°07'48''

93°07'48''

200.36

8.737205 2. 301811

9.999298

-0.06

+10.94 +0.01

-200.06 +10.88

-200.05 5

52°16'

52°16'20"

1863.26 877.48 5

K. III

183°15'24''

3°15'24''

321.31

9.999298

2.364194 8.754416

-0.06

-230.94 +0.01

-13.14

231.00

-13.13 6 50°15' 50°15'20" 6

7 66°59' 66°58'40" 26 864.35 7

229°01'00'' 288.83 +

-

346.07

345.76

376.53

376.59

fx=+0.31 fy=-0.06

79

VI.7. Ndërplotësimi i sistemit qendror

Sistemi qendror është një figurë gjeometrike që ka shumë matje të tepërta, si rrjedhim ka edhe

kontrolle në veprimet numerike. Ndërplotësimi i sistemit qendror bëhet sipas radhës së mëposhtme:

1-Vizatohet skema përkatëse (fig. 6.10.)

2-Ndërplotësohen më parë këndet e matura në qendër të sistemit,duke përdorur formulën:n

W p, ku

mosmbyllja e polit është: Wp=Σγ-360˚

3-Llogariten mosmbylljet këndore për secilin trekëndësh me formulën: fn=Σβ'-180˚

4-Llogariten korrekturat e para për këndet me numër çift e me numër tek të fig. 6.10, kurse këndet γ

nuk ndryshojnë, p.sh. për trekëndëshin e parë për këndet 1 e 2 jepen korrekturat:

Fig. 6.10

(1)=(2)=-2

1f , ku: f1=(1)+γ1+(2)-1800

5-Nga tabela e logaritmeve gjenden logaritmet e sinuseve të këndeve me numër çift dhe me numër

tek, si dhe ndryshimet tabelore d për 1', që shkruhen në formularin përkatës.

6-Llogaritet gabimi logaritmik W me formulën: W=Σ log sin (i këndeve me numër çift)-Σ log sin (i

këndeve me numër tek)

7-Llogariten korrekturat e dyta përfundimtare me formulat e mëposhtme:

Δ'=(1)=(3)=(5)=(7)=d

V

, Δ=(2)=(4)=(6)=(8)=-

d

V

8-Logaritmet ndërplotësohen me korrekturat logaritmike që përftohen duke shumëzuar d Δ' dhe d Δ

9-Për kontroll të veprimeve duhet që gabimi W=0.

Brinjët llogariten me teoremën e sinusit.

Detyra 18 Ndërplotësimi i sistemit qendror

Janë dhënë këndet e matura të sistemit qendror. Të kryhet ndërplotësimi i tij.

Ndërplotësimi i këndeve në qendër

Nr. Këndet e

matura

Korrektura

n

WP

Këndet e

korrigjuara

Nr. Këndet e

matura

Korrektura

n

WP

Këndet e

korrigjuara

γ1 73°39.7' +0.1 73°39.8' γ4 56°19' +0.1 56°19.1'

γ2 71°21.7' +0.1 71°21.8' γ5 82°19.2' +0.2 82°19.4'

γ3 76°19.8' +0.1 76°19.9' Σγ 359°59.4' 360°00'

Wp -0.6 +0.6

80

Ndërplotësimi i këndeve dhe llogaritja e brinjëve

Nr.

Δ

Nr.

i

kën

-dit

Këndet e

matura

W1 Këndet e

ndërplotë

-suara

log sin Dif.

d’

Korrekturat

e

dyta

Korrekturat

e

logaritmeve

Këndet e

ndërplotësuara

ln sin(kom) ln e

brinjëve

Brinja Nr.

i

brinjës

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

I

2

γ1

39˚20.5'

73˚39.8'

66˚59.8'

+0.1

+0.2

39˚20.6'

66˚59.6'

9.80207

9.96401

16

6

-0.1

+0.1

-1.6

+0.6

39˚20.5'

73˚39.8'

66˚59.7'

0.634018

0.959669

0.920524

5210.13

3303.31

5000.00

4796.05

0-1

1-2

0-2

Σ=

179˚59.7'

f1=-0.3

180˚00'

II

4

γ2

3

40˚48.9'

71˚21.8'

67˚49.7'

-0.2

-0.2

40˚48.7'

67˚49.5'

9.81530

9.96662

15

5

-0.7

+0.1

-1.5

+0.5

40˚48.6'

71˚21.8'

67˚49.6'

0.653641

0.947614

0.926090

7337.43 4796.05

6953.06

6795.13

0-2

2-3

0-3

Σ=

180˚00.4'

f2=+0.4

180˚00'

III

6

γ3

5

56˚08.8'

76˚19.9'

47˚31.2'

+0.1

0.0

56˚08.9'

47˚31.2'

9.91933

9.86777

3

11

-0.1

+0.1

-0.9

+1.1

56˚08.8'

76˚19.9'

47˚31.3'

0.830553

0.971721

0.737572

8181.45 6795.13

7950.08

6034.41

0-3

3-4

0-4

Σ=

179˚59.9'

f3=-0.1

180˚00'

IV

8

γ4

7

64˚44.5'

56˚19.1'

58˚57.4'

-0.5

-0.5

64˚44'

58˚56.9'

9.95633

9.93283

6

8

-0.1

+0.1

-0.6

+0.8

64˚43.9'

56˚19.1'

58˚57'

0.904393

0.832142

0.856717

6672.33 6034.41

5552.32

5716.30

0-4

4-5

0-5

Σ=

180˚01'

f4=+1.0

180˚00'

V

10

γ5

9

65˚51.3'

82˚19.4'

31˚48.4'

+0.4

+0.4

65˚51.7'

31˚48.9'

9.96026

9.72196

6

21

103

-0.1

+0.1

-0.6

+2.1

-10.3

65˚51.6'

82˚19.4'

31˚49'

0.912596

0.991048

0.527203

6263.77 5716.30

6207.59

3302.28

0-5

5-1

0-1

Σf5=

179˚59.2'

-0.8

180˚00'

Σ log sin të këndeve me numër çift=9.45329, Σ log sin të këndeve me numër tek=9.45319 dhe V=+10.