LM2003_8

Lucrare A Subiecte clasa a VIII-a

1. Pentru care este cea mai mare valoare pe care o poate lua

diferena xy?a) 2 b) 3 c) 1 d) 2e) nici un rspuns din primele patru

x 4+8+12+...+120x,y *, = ,y 5+10+15+...+150

`

2. Trei roi cu zimi sunt interconectate. Dac prima roat se nvrte de 2 ori, a doua se va nvrti detrei ori iar a treia de 5 ori. Dac n total roile au 62 de zimi, ci zimi are a treia roat?

a) 24 b) 12 c) 15 d) 9 e) 20

3. Radu a nceput munca pe data de 11. Pentru fiecare zi de munc el ctig 100 000 lei, iar dumini-ca nu muncete. Pe data de 28 seara a aceleiai luni, dup o zi de munc, Radu i d demisia. Daca ctigat 1 500 000 lei, n ce zi a nceput munca?

a) luni b) mari c) miercuri d) joi e) vineri

5. Care este numrul de valori ntregi pe care le poate lua n astfel nct este ntreg?

a) 10 b) 3 c) 7 d) 12 e) 8

2nn+4

4. Gsii raportul dintre volumul piramidei BKDO i volumul cubului.a) 1/4

b) 1/8

c) 1/6

d) 1/12

e) 1/9

A

K O

E D

C

B

4

x 4+8+...+120 4(1+2+...+30) 4 5x x x= = = y= x y= =y 5+10+...+150 5(1+2+...+30) 5 4 4 4 x 1 x y 1

x 4 4 = , x,y x=My 5

`

x=302x=3y=5z

y=20x+y+z=62

z=12

3BKDO

3

3

OBODKO2

V 13= = =6V 6l

ll

2 2 2 2n n 16+16 n 16 16 16 n 16= = + =n 4+ ; n+4 { 1, 2, 4, 8, 16} n poate lua 10 valorin+4 n+4 n+4 n+4 n+4 n+4 n+4

` `

15 zile

y

De pe data de 11 pe 28 sunt 18 zile. Daca a castigat 1 500 000, a avut trei duminici libere.

L M M J V S D L M M J V S D L M M J V S D L M M J V S

15 zile

x

18 zile

Radu nu putea sa isi dea demisia duminica, deci x 1. Variantele de raspuns sunt L, M, M, J, V, x+y+15=18

xdeci y 2. x 1

y 2

=1Radu a inceput munca vineri

y=2

Lucrare ASubiecte clasa a VIII-a

6. Ariile dreptunghiurilor ABCD i APQR sunt a i b.Care relaie ntre a i b este adevrat?

a) 5a=4b b) 4a=3b c) a=b

d) 3a=2b e) a>b

RD

QC

P

BA

7. Calculai

a) b) c) d) e)

1 1+ , unde x (1;2).x+2 x 1 x 2 x 1

2x+2

2x+2 2

2 x1

2 x2 x

2

8. O enciclopedie are 10 volume. Fiecare volum are acelai numr de pagini. Numratoarea paginilorncepe de la prima pagin a volumului 1 i se termin la ultima pagin a volumului 10. Dac pagi-na 353 este n volumul 4 iar pagina 808 este n volumul 10, cte pagini are fiecare volum?

a) 92 b) 88 c) 91 d) 89 e) 90

9. Calculaia) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

22

1 1f( 2) dac f x =x + , x *.x x

\

10. ABCABC este o prism triunghiular regulat. Dac ABC esteechilateral de latur 5, iar AA=52. Atunci m()(AC,CB))=?

a) 120 b) 30 c) 45

d) 90 e) 60

C B

C B

A

A

AB APAPB ARD = AB AD=AR AP a=bAR AD

2 21 1 1 1 1 1+ = + = + =

( x 1+1) ( x 1 1) | x 1+1| | x 1 1|x+2 x 1 x 2 x 11 1 1 x 1 1+ x 1 2= + = + =

1 (x 1) 1 (x 1) 2 x1+ x 1 1 x 1

3x+1 353 4xFie n numarul de pagini al fiecarui volu m. Avem ca x= 89

9x+1 808 10x

22 2 2

2 21 1 1 1 1f x x x 2x + +2 x +2 f(y)=y +2 f( 2) 4x x x x x

= + = = =

C B

C B

A

A

B

22 2 2 2 2

Prelungim BB' pana in B'' cu BB'=B'B'' CB'||C'B'' m( (AC',B"C))=m( AC'B'').

AC'= AC +CC' =5 3. C'B"= C'B' B'B'' 5 3. AB''= AB BB'' =15.15

3 32sin AC'H= AC'H=60 AC'B''=120 (AC',CB')=120 .25 3 2 3

Cand c

+ = +

= =

) )

) ) ) )

onsideram unghiul format de 2 drepte luam valoarea ascutita a unghiului Deci (AC' CB')=60)


11. Pentru n>4, care este restul mpririi sumei 1!+2!+3!+...+n! la 5? (n!=12...n)a) 3 b) 2 c) 1 d) 0 e) 4

12. De fiecare dat cnd spune o minciun, lui Pinochio i crete nasul cu 1 cm. Dac mnnc una dinprjiturile znei, nasul i scade la jumtate. Pinochio a spus luni 12.05.2003 o minciun, mari 2 min-ciuni, miercuri 3 minciuni, joi 4 minciuni i vineri 5 minciuni. n fiecare zi dup prima minciun amncat una din prjiturile znei. Dac vineri seara nasul lui Pinochio avea 10 cm, ci cm a avutnasul lui Pinochio luni 12.05.2003 dimineaa, cnd s-a trezit?

a) 105 b) 99 c) 87 d) 91 e) 93

13. tiind c m2n=1 i m[1 ;3], calculaia) 26 b) 25 c) 10 d) 45 e) 46

2 2 2 2m +n +10 6m 2n + m +n +2m+2n+2.

14. n figura alturat, M i N sunt mijloacele laturilor AB i CD. Dacaria MNP=5 cm2, aflai volumul cubului ABCDPKLQ.

a) 8 b) 85

c) 12 d) 105

e) 27

Q

P K

N

MA B

C

L

D

15. n dreptunghiul ABCD de arie 4 cm2 avem BH=1 cmi BHAC. Calculai m()DBC).

a) 7,5 b) 15 c) 22,5

d) 30 e) 45

A

1

H

B

D

Cx

n!Pentru n 5, n!=1 2 3 4 5 ... n, deci . Deci res tul impartirii sumei 1!+2!+...+n! la 5 e ste egal cu restul 5

impartirii lui 1!+2!+3!+4! la 5, deci es te 3

`

i

ii i

Fie L,M,M ,J,V lungimile nasului lui Pino chio in zilele de Luni, Marti, ..., Vine ri, dimineata. Avem:M +1V+1 J+1 M+1 L+1+4=10 V=11; +3=V J=15; +2=J M =25; +1=M M=47; =M L =93

2 2 2 2 2

2 22 2 2 2 2 2 2 2 2

2 22

m 1 m 1m +n +10 6m 2n + m +n +2m+2n+2= (m 3) +(n 1) + (m+1) +( n+1) = (m 3) + 1 + (m+1)+ +1 =2 2

m 3 m+1 5 5 5 5= (m 3) + + (m+1)+ =|m 3| +|m+1| =(3 m) +(m+1) = 2 52 2 2 2 2 2

Q

P K

N

MA B

C

L

Dl

l/2

l/2

22

2

PMN

PA (ABC) 5PM MN. PM= + = . AM MN 2 2

PM MN 5A = = = 5 =2 V= 82 4

l ll

l l

A

1H

B

D

C

2 2xx x

O ABCDAAC BH BO= AC=4 in BHO dreptunghic avem ca BH= HOB=3 02 2 2

HBO=60 . 2x+ HBO=90 x= 15

)

) )


18. tiind c

a) b) c) 1 d) 2 e) 4

1 1 xx+ =2 i c y+ =4 , aflai .y x y

12

14

20a) 3 b) 10 c) 5 d) 2 e) 22

10+ 24+ 40+ 60 3 5=?

17. AB||CD, m()B)=48, m()D)=138, AB=2DC=4a, AE=EB iDF=FC. Calculai lungimea segmentului EF.

a) 2a b) c)

d) e) a

D

E

F C

A B

3a2

2a3

a2

16.a) 22 b) 2 c) 1 d) 0 e) 2

2 2(a+ a +1)(b+ b +1)=1 a+b=?

19. irul 2,3,5,6,7,8,10,11,... reprezint irul numerelor naturale din care lipsesc ptratele perfecte(1,4,9,16,...). Care este al 2003-lea element al irului?

a) 2047 b) 2048 c) 2049 d) 2050 e) 2051

2 2 2 2 2 22

2 2 2 2 2 22

1(a+ a +1)(b+ b +1)=1 a+ a +1= = b +1 b a+b= b +1 a +1 ( 1) b+ b +1

1(a+ a +1)(b+ b +1)=1 b+ b +1= = a +1 a a+b= a +1 b +1 ( 2)a+ a +1

Din (1) si (2) avem a+b= 0

D

E

F C

A B

G

42 48

138

A=42 ABG=90 GE este mediana in triunghiul dreptu nghic AGB GE= =2a. B=48 2

Cum DC este linie mijlocie EF= a

) ))

1 xy 1 xy+1 xy+1x+ =2 + =2 =22 x 1y y y y y = =xy+1 4 y 21 xy 1 xy+1y+ =4 + =4 =4 xx x x x

2 2Pana la 45 sunt 2025 45=1980 numere care apartin sirului. Ne trebuie al 23-lea nu mar dupa 45 care este 2048

2

10 24 40 60 3 5 2 3 5 2 2 3 2 2 5 2 3 5 3 2

( 2 3 5) 3 5 2

+ + + = + + + + + =

= + + =


21. tiind c a,b,c sunt cifre iar calculai a+b+c.a) 13 b) 15 c) 11 d) 14 e) 25

ab+bc+ac=165,

22. Lungimea segmentului AC=x, iar BC=y. Dac z este val-oarea razei cercului de centru D, tangent la dreapta AB i lasemicerc, care din urmtoarele relaii este adevrat?

a) 2z2=xy b) xz+yz=xy c) 2z2=x2+y2

d) zx+xy=zy e) x2=y2+z2 A

D

BCO

23 O cutie de chibrituri are dimensiunile 253545. Care este numrul minim de cutii cu care putemconstrui un cub?

a) 2835 b) 3675 c) 1575 d) 99225 e) 14173

24. Fie aN. Dac a mprit la 6 d restul 5, aflai restul mpririi lui a2+a la 6.a) 5 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0

25. Calculai

a) n2 b) c) d) e) n+2

1 1 11+ 1+ ... 1+ .2 3 n+1

n+13

n+22

n+2n+1

20a+11b+2c=16549 20a 105 a {3,4,5,6,7,8} 11b+2c {105,85,65,4 5,25,5}

a 11b+2c 11 9+2 9=11711b+2c este impar b este impar

11b+2c=5 nu are solutie iar pentru celel alte (a,b,c) (3,9,3), (4,7,4)(5,5,5)(6,

{ }3,6)(7,1,7 a+b+c= 15

A

D

BCO

x y

zM 2 2 2

2 2 2 22 2 2

2 2 2 2

OD =OC +DCOD=OM MD

x+y x+y x y x+y x yOD= z z z z z(x+y) +zAC+CB x+y 2 2 2 2 2OM= =2 2

x+y x yOC=AC AO=x =2 2

x y xy x y xy+ + xz yz= + xy=xz+yz4 4 2 4 4 2

= + + =

3

Latura cubului trebuie sa se divida cu 2 5,35,45 si cum se cere numarul minim de cutii, =cmmmc(25,35,45)=1575.

volumul cubului (1575)numar de cutii= = = 99225volumul cutiei 25 35 45

l

2 2 2 2 2 2a=6k+5 a =36k +60k+25 a +a=36k +66k+30=6(6k +11 k+5) a +a impartit la 6 da restul 0

1 1 1 31+ 1+ ... 1+ =2 3 n+1

42

3n+2...n+1

n+2=2


29 tiind c

a) 4 b) 2 c) 2 d) 1 e) 3

a 3 a 8 1a,b *, iar = i = , calculai b a.b 4 b 8 2

`

26. Fie AT= aria haurat. Calculai AT.

a) 21 b) 27 c) 33d) 42 e) 60

27. Calculai 5aa, dac

a) 2 b) 5 c) 1 d) 2 e) 2

+10 =a 27, a

a. \

28. ABCDABCD este un paralelipiped dreptunghic n careACBD={O}. Calculai d(O, AC).

a) 60/13 b) 30/13 c) 3

d) 2 e) 45/13B

D C

D C

BA

A 12

34

30. n patrulaterul ABCD, m()B)=m()D)=90, AB=BC. Fie BHAD, HAD, iar BH=3cm. Care estearia patrulaterului ABCD?

a) 3 cm2 b) 8 cm2 c) 9 cm2 d) 103 cm2 e) 123 cm2

S1+S2= =12S1

S2

6

2S3+S4= =12S4 S3

6

2

S5= =9

33

T 51 2 3 4A =S +S +S +S +S =33

2 210 10 a=a 27 =a 27 10 a =a 27a 10 a +2a=a 25a 2(5 a +a)=(a 5 a ) (a+5 a )aa

a 5 a 2 5 a a= 2

=

A

12H

A

C

C2,5

I

2,5

2 2 2 2

ACA'

Reprezentam dreptunghiul ACC'A'. AC= AB +B C =5; A'C= AA' +AC =13.

AA' AC A'C AA 12 5 13 AH 60 AH 30A = = = AH= OI= =2 2 2 2 13 2 13

a 3 3b= a=3b 2bb 4 4 = +4 b=16 a=12 b a= 4

a 8 1 b 4 4= a= +4b 8 2 2

B

C

A

D

I

H33 IBH= CBA=90 IBH CBH= CBA CBH IBC= HBA

BC=AB

) ) ) ) ) ) ) )

BHDIABCD ABH BCDH BCI BCDH

BCI BAH BI=3 H= I=90

A A +A =A +A =A = 9

=

) )


31. Pe o tabl sunt scrise numerele 1,3,5,7,...,99,101. Rnd pe rnd se terg cte dou numere, iar n locullor este scris un numr mai mic cu 1 decat suma celor dou. Care este ultimul numr care va rmnepe tabl?

a) 2555 b) 2551 c) 9600 d) 2501 e) 2550

32 A,B i C reprezint cifre. Dac calculai xy.a) 1998 b) 1898 c) 1988 d) 1798 e) 2098

x=A4BC2 i y=A2BC4,

33. Un pianjen se afl ntr-un col al unui cub i ncearc s ajung n colul diametral opus. Pianjenulse poate deplasa pe laturile cubului i nu poate parcurge de 2 ori aceeai latur la un drum. Un drumeste un ir ordonat de laturi pe care merge pianjenul. Care este numrul total de drumuri pe carepianjenul le poate folosi?

a) 12 b) 18 c) 24 d) 30

e) nici unul din rspunsuri

34. ABC este echilateral, m()BCD)=90, AB=4 iCD=23. Aflai lungimea segmentului AE.

a) b) c) 22

d) 3 e) 3

83

43

A D

CB

4E

23

35. n figura alturat, m()O1CO2) = 90 i cercurile sunt tangente la AB.Calculai m()ACB).

a) 15 b) 30 c) 45

d) 60 e) 75

Daca ar fi sa nu scadem 1 cand adunam 2 numere, atunci suma ar fi 1+3+...+101=2601.Cand facem o adunare, numarul de numere ramase pe tabela scade cu 1. Cum initial am avut 51 de numere,

vom face in total 50 de scaderi (la fiecare scadere sc oatem 1 din suma). Deci suma este 2551

A2BC4+1998=A2BC4+2000 2=A4BC4 2=A4BC2

D

A

A

DC

B

C

B

Cubul se poate

reprezenta in

urmatoarea forma

Vrem sa ajungem din A in C. Un drum se poate reprezenta ca o insusire de litere (varfurile prin

care trecem). Orice drum incepe cu A si se termina cu C. Din A am 3 alegeri (A,D,B). Vom

numara drumurile care incep cu AB si apoi le inmultim cu 3: ABCC, ABBC, ABCDDC,

ABBADC, ABCDAABC, ABCDAADC, ABCDDABC, ABBAADCC,

ABBAADDC, ABBADDCC n=310=30.

A D

CB

4E

23

H

l 3 AE AD 1AH= =2 3 AH=DC AD=HC=2 AED CEB = = 2AE=EC2 EC BC 2

AE+EC=4

4AE=3

C

B

A

O1

O2

D ( )

[ ]

1 2 1 1 2 2

1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2

1 2 2 1 2 1 1 2

1 1ACB= ACD+ BCD= AO D+ BO D = ( AO C DO C+ BO C DO C)=2 2

1= ( AO O + O O C+ BO O + O O C 2 O O C 2O O C)=21 1= ( AO O + BO O ) ( O O C O O C) = (180 90 ) 452 2

=

) ) ) ) ) ) ) ) )

) ) ) ) ) )

) ) ) )

C

B

AO1

O2


37. De cnd l-a udat, ceasul electronic al lui Ionel merge prea ncet. La ora 12.00, ceasul arta 13.00, iarla 19.00 arta 16.00. La ce or va arta ceasul lui Ionel ora exact?

a) 2.45 b) 14.45 c) 13.30 d) 7.45 e) 15.30

39. Un elev dorete s calculeze suma numerelor paginilor dintr-o carte, dar face o greeal adunnd dedou ori numrul unei pagini, i obine astfel rezultatul 1000. Care este numrul de pagin pe carel-a adunat de dou ori?

a) 10 b) 17 c) 20 d) 32 e) 41

36. La o coal exist trei sonerii care sun la intervale de 30, 40 i 45 de minute. Dac la ora 10.00 ausunat toate soneriile simultan, la ce or vor suna din nou mpreun?

a) 17.30 b) 18.15 c) 16.00 d) 15.30 e) 13.45

38 Pentru ce numr real a ecuaia x2(a+1)x2a2+2a=0 are ambele soluii mai mari ca zero?a) (1;3] b) c) (1;) d) (;0) e) (0;1)

cmmmc(30,40,215)=360=6 ore. 10+6=16.00

In 7 ore, ceasul lui Ionel parcurge doar 3, ceea ce este echivalent cu faptul ca la fiecare 7 ore, ora normala mai recupereaza 4ore. Daca la 19 ceasul arata 16, ca sa arate ora corecta, ora normala trebuie sa recupereze 21 de ore, ceea ce se va intampla in

21 7 36h 45min. 19.00+36.45=55.45=48+ 7.454

=

1 2

1

2

2 2x (a+1)x 2a +2a=0 x =2a, x =1 ax >0 2a>0 a>0

a (0;1)x >0 1 a>0 1>a

2 2 22 2

1+2+...+n+x=1000 (n este numarul de pagi ni, x este pagina pe care a adunat-o din greseala). Obtinem

n +n n +n n +n1 x n, 1+2+...+n= +1 1000 +n n +n+2 2000 n +3n n=44 x= 102 2 2

40. Priviti figura alturat. Dac ED||AC i AE=DC, aflai x.a) 35 b) 45 c) 15

d) 63 e) 55

x

G

K

E

A

F D

C

B

6060

1010

35

B

A C

DE

H

K

G

2010

30

60

5020

20

20

20

1010

35

110

60

5060

140 60 60

10

140

150

15

55

F

CAD= ADE= EAD=10 AE=ED=DC. ConstruimAG a.i. HAE=20 si H BF. In AKH, A=30 ,

K=120 H=30 AK=KH. AKE HKEEH=AE, EHK=10 AHE=20 AEH=140

HED=60 HD=ED=DC DCH=20 . In AHC, A= C=40 AH=HC

) ) )) )

) )) ) )

) )) ) . In AHB, H=30 , A=75

B=30 AH=HB BHC este isoscel 180 70x= =55 .

2

) ))

Documents

LM2003_8