Loayza Rivas Mecanica de Fluidos i

7/22/2019 Loayza Rivas Mecanica de Fluidos i

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MECANICA DE FLUIDOS I


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INDICE

INTRODUCCION Y PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS 5

Los Fluidos. 5

Hidromecnica. 6

Densidad. 7

Densidad Relativa. 9

Viscosidad: Ley de la Viscosidad de Newton. 12

Viscosidad Cinemtica. 17

Mdulo de Elasticidad Volumtrica 18

Presin 21

Medida de la presin 34

ESTATICA DE LOS FLUIDOS 42

Fuerza Sobre Superficie Plana. 49

Fuerza Sobre Superficie Curva. 54

El Principio de Arqumedes. 58

CINEMATICA DE LOS FLUIDOS 63

El Campo de Velocidades. 63

El Campo de las Aceleraciones. 65

El Campo Rotacional. 71

Clasificacin de los Flujos. 74

Descripcin del Movimiento. 79

Lnea de Corriente. 80

Campo Potencial, solenoidal y Armnico. 84

Movimiento Plano de los Fluidos. 87

Ecuaciones de Cauchy Riemann. 97

Red de Corriente. 98

Gasto o Caudal-Ecuacin de Continuidad. 109

MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 2


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DINMICA DE LOS FLUIDOS

Principio de la Cantidad de Movimiento. 119

Dinmica de los Fluidos Perfectos. 128

Ecuacin de Bernoulli. 131

Dinmica de los Fluidos Reales. 138

Coeficiente de Coriolis. 140

Coeficiente de Boussinesq. 143

Ecuacin de la Energa.- Bombas y Turbinas. 146

Problemas de Aplicacin del Principio de la Energa con Bombas y Turbinas. 150



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INTRODUCCIN

En la formacin del Ingeniero, adems de las matemticas instrumento imprescindible

de trabajo y de la Fsica, base de la ingeniera han de intervenir las siguientes disciplinas

fundamentales: Mecnica de los cuerpos rgidos, mecnica de los cuerpos deformables, o

resistencia de materiales, termodinmica, transmisin de calor y mecnica de fluidos.

La explosin de la informacin, de hoy en da en el mundo de la ciencia y de tcnica,

hace necesario que toda aquella informacin que se sume a las existentes, stas deben reunir

ciertos requisitos de unidad y sntesis, que en el presente se ha tratado de cumplir; y van

principalmente orientados para mis alumnos de la Escuela Profesional de Ingeniera Civil, de la

Facultad de Ingeniera Civil, de Sistemas y de Arquitectura, de la Universidad Nacional Pedro

Ruiz Gallo, de la ciudad de Lambayeque.

La presente separata contiene parte del curso de Mecnica de los Fluidos I, que dicto

en mi Universidad, producto de mi experiencia docente, en el dictado del mismo, y que incluye

aspectos como: propiedades, esttica, cinemtica y dinmica de de los fluidos.

Por ubicarnos estratgicamente en medio de grandes proyectos de naturaleza

hidrulica, tales como el Proyecto Olmos y el Terminal martimo Puerto Eten, el Corredor

Bioceanico y Zona Franca Industrial, nos exige competencias, que este inicial trabajo, pretende

contribuir en destacar la importancia de la mecnica de los fluidos en la formacin del ingeniero

civil.



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CONTENIDO

Los Fluidos

Definicin de Fluidos: Son substancias (cualquier materia) que tiene la propiedad (capacidad)

de fluir; es decir de deslizarse a lo largo de un conducto ajustndose o adaptndose a su

forma.

Tambin se le define como substancias que se deforman continuamente cuando son sometidas

a esfuerzos cortantes o tangenciales.

Clases de Fluidos:

Pueden ser:

a) Fluidos lquidos: Es un estado tpico de la materia, se les puede considerar

prcticamente incomprensibles bajo las mismas condiciones de presin y temperatura; se

caracterizan por tener un volumen propio y su forma cambia dependiendo del conducto o

recipiente que lo contiene agregndose de que muestran una superficie libre.

b) Fluidos gaseosos: Es un estado tpico de la materia, son compresibles.

Se caracterizan por no tener volumen ni forma propia, son expansibles y no posee una

superficie libre.

Diferencia entre lquidos y gases:

LQUIDO GAS

POR SU VOLMEN 1.- Volumen propio

1.- No poseen volumenpropio; susceptible devariacin, acomodndoseal recipiente que loscontiene

POR SU

COMPRESIBILIDAD

2.-Son prcticamenteincompresible. lquidoperfecto (incompresible)

2.-Son compresibles Gasperfecto (infinitamentecompresibles)

Definicin Mecnica de Fluidos: Es la parte de la fsica que se ocupa de estudiar el equilibrio

y movimiento de los fluidos, as como de las aplicaciones y mecanismos de ingeniera.

La mecnica de los fluidos se subdivide en dos campos principales:

- La esttica de los fluidos o hidrosttica, que se ocupa de estudiar los fluidos en reposo,

- La dinmica de los fluidos, que se ocupa de estudiar los fluidos en movimiento.



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La Hidromecnica:

Es una rama importante de la mecnica los fluidos que se ocupa de estudiar el equilibrio y

movimiento de los fluidos incompresibles, especialmente los fluidos lquidos.

La Hidromecnica tcnica o hidrulica cuando las leyes y principios de la Hidromecnica se

aplican en estructuras que le interesan directamente al ingeniero civil.

La Dinmica de los fluidos se subdivide en:

- Hidrodinmica: Estudia el movimiento de los fluidos incompresibles, se aplica al flujo de

lquidos o al flujo de gases a baja velocidad, en el que puede considerarse que el gas es

esencialmente incompresible,

- La Aerodinmica, o dinmica de gases, se ocupa del comportamiento de los gases, cuando

los cambios de velocidad y presin son lo suficientemente grandes para que sea necesario

incluir los efectos de la compresibilidad.

Estados de la materia: La materia se presenta en diferentes estados, que se reducen

tpicamente a tres: slido, lquido y gaseoso, sin perjuicio de que existan estados intermedios,

que segn los casos, puedan asimilarse a uno u otro.

La diferencia entre slido y fluido: las cualidades esenciales de la materia son: la masa, la

forma y la duracin.

Magnitudes: son las cualidades de la materia, en cuanto a susceptibles de medicin.

La diferencia entre slido y fluido; que son estados contrapuesto; el patrn de ambas es el

grado de rigidez del enlace molecular.

Slido tpico, es capaz de resistir una accin deformante permanente, mientras que el fluido

es incapaz de ello.

Slido perfecto (infinita rigidez del enlace molecular) y fluido perfecto (infinita libertad del

enlace molecular).

MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E

1.- Slido Slido : Masa; volumen; forma geomtrica2.- LquidoFluidos :

Masa; volumen3.- Gas Masa.

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No existiendo en la naturaleza magnitudes infinitas es decir a falta de la infinita rigidez o de la

infinita libertad del enlace molecular, el slido perfecto y el fluido perfecto son entes de razn,

puras abstracciones.

1.- Densidad (): Es la masa contenido en la unidad de volumen.

Masa: Es la sustancias de la materia.

M: Es el smbolo de la magnitud de la masa.

: Es el smbolo del volumen de la masa M

Ecuacin de dimensiones:

- Sistema absoluto : [ ] 3= ML dimensiones

- Sistema gravitacional : [ ] 42 = LFT dimensiones.

Unidades:

M.K.S : [ ]3m

kgm=

- Sistema Absoluto

C.G.S : [ ]3cm

grm=

M.K.S : [ ]4

2

m

Skgf=

- Sistema GravitacionalC.G.S : [ ]

4

2

cm

Sgrf=

- Sistema Internacional [ ]3m

kgm=

Donde: kgm = Kilogramo masa.MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 7

=

M


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kgf = Kilogramo fuerza.

grm = gramo masa.

grf = gramo fuerza

2.- Peso Especfico ( ): Es el peso de la unidad de volumen.

=

W

w mgg = = =

g =


- Sistema absoluto : [ ] 22 = TML dimensiones

- Sistema gravitacional : [ ] 3= FL dimensiones

Unidades:

M.K.S : [ ]22sm

kgm

=

- Sistema Absoluto

C.G.S : [ ]22scm

grm=

M.K.S : [ ]3m

kgf= o [ ]

3m

Newton=

- Sistema Gravitacional

C.G.S : [ ]3cm

grf= o [ ]

3cm

Dinas=

- Sistema Internacional [ ]sm

kgm2

=

Para relacionar las unidades de medida entre los sistemas absolutos y gravitacionales, se usa

la segunda ley de Newton del movimiento:MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 8


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aMF .=SISTEMA

SISTEMA ABSOLUTO SISTEMA GRAVITACIONAL

M.K.S

C.G.S

2

m1NEWTON 1kgm x1s

=

2

1kgmxm1N

S=

La Unidad derivada para la fuerza es elnewton (N) definido como la fuerza queaplicada sobre 1 kgm le produce unaaceleracin de 1 m/s2. kgm, m y s; sonUnidades fundamentales.

2

m1kgf 1kgmx 9.81s=

2

kgmxm1kgf 9.81 9.81N

s= =

21 kgf xs1kgm

9.81 m=

La unidad derivada de masa es elkgm que adquiere la aceleracingravitacional cuando se le aplicauna fuerza de 1 kgf. Kgf, m y s; sonunidades fundamentales.

3.-Densidad Relativa.-(r): es otra forma de cuantificar la densidad de un liquido, refirindola a

la correspondencia al agua. Es decir es la relacin entre la densidad del fluido y la densidad del

agua a una presin y temperatura especifica. (4C y 1 atmsfera).

2

fluidor

H 0

=

Carece de dimensiones.

4.-Peso Especfico relativo ( r), o Gravedad Especfica.-: Anlogamente a la densidadrelativa; el Peso especfico relativo es la relacin entre el peso especfico del fluido y el peso

especfico del agua a una presin y temperatura especfica.

OH

FLUIDOr EG

2

..

== Carece de dimensiones



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OH

FLUIDO

OH

FLUIDOrr

22

===

5.-Volumen Especifico )( s : El volumen especfico se define de distinta manera en el

sistema absoluto y en el sistema gravitacional.

5.1.- Sistema Absoluto y Sistema Internacional: El volumen especfico es el volumen

ocupado por la unidad de masa (un kilogramo masa) de la sustancia.

Ms

=

11 =

=Ms

1=s

El volumen especfico es el reciproco de la densidad.


[ ] 13 = MLs

Unidades:

Sistema absoluto (MKS) y Sistema Internacional.

kgm

ms

31=



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Ejm. El "" s del agua destilada a la presin atmosfrica y 4C es aproximadamente igual a

kgm

m3310

. Es interesante observar que la densidad del aire a la presin atmosfrica y 4C es

aproximadamente 1.33m

kgmy su

kgm

ms

3.1

1 3= .

Es decir, 1 kgm de aire a la presin atmosfrica ocupa aproximadamente 800 veces mas

espacio que 1 kg.m de agua.

5.2.- Sistema Tcnico o Gravitacional: El volumen especfico es el volumen ocupado por la

unidad de peso (un kilogramo peso) de la sustancia.

Ws

=

11=

=Ws

1=s

El volumen especfico es el recproco del peso especfico.

El volumen especfico, como todas las magnitudes especficas, se han de referir en el sistema

absoluto (Tambin en el S.I), que es un sistema msico, a la unidad de masa (kgm); mientras

que en el sistema gravitacional, las mismas magnitudes especficas se han de referir a launidad de peso (kgp o kgf).

Ntese sin embargo, que siendo 1 kgp el peso de 1 kgm, los valores numricos de "" s

coinciden en ambos sistemas de unidades, pero expresados en unidades diferentes (kgm

m3

en el



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sistema absoluto ykgp

m3

en el sistema gravitacional). Asimismo, el valor numrico de en el

sistema Tcnico o Gravitacional es igual al valor numrico de en el sistema absoluto; pero

el valor numrico de en el sistema tcnico o gravitacional no es igual al valor numrico de

en el sistema absoluto, como es fcil de comprobar.

6.-Viscosidad.- ():

1. La viscosidad de un fluido es una medida de su resistencia a fluir, como resultado de la

interaccin y cohesin molecular.

2. La viscosidad de un fluido determina la cantidad de resistencia opuestas a las fuerzascortantes. La viscosidad se debe primordialmente a las interacciones (accin reciproca),

que se ejercen entre las molculas del fluido.

3. Tambin se define como una medida de su resistencia a la rapidez de deformacin,

cuando se someten a un esfuerzo tangencial que explica su fluidez.

4. Determina la resistencia opuesta al deslizamiento cuando se desplaza el fluido.

6.1.- Ley de la Viscosidad de Newton:

Hiptesis:

1.- Considrese dos superficies planas paralelas de grandes dimensiones, una fija y otra mvil,

con el espacio entre ellas llenos de fluidos, separadas a una pequea distancia yo.

2.- Que la placa superior se mueve a una velocidad constante V0, al actuar sobre ella una

fuerza F tambin constante.



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3.- El fluido en contacto con la placa mvil se adhiere a ella movindose a la misma

velocidad Vo, mientras que el fluido en contacto con la placa fija permanecer en

reposo.

4.- si la separacin yo y la velocidad Vo no son muy grandes, la variacin de las velocidades

vendr dado por una lnea recta

La experiencia ha demostrado que la fuerza F vara con el rea de la placa A, con la

velocidad V0 e inversamente proporcional con la separacin Y0.

0

0

y

AVF (1)

Por tringulos semejantes:dy

dv

y

V

V

dv

y

dy ==0

0

00

(2)

)1()2( dy

dvA

y

AVF =

0

0

dy

dv

A

F =

dy

dv = (I)

Donde:

= viscosidad absoluta o dinmica

Segn Newton el esfuerzo tangencial () que se produce entre dos lminas separadas una

distancia dy que se desplazan con velocidades (v) y (v + dv), esdy

dv

Ahora:

Analicemos el movimiento de un flujo sobre una frontera slida fija, donde las partculas se

mueven en lneas rectas paralelas (fluido viscoso: laminar) como consecuencia anterior

supondremos que el flujo se producen en forma de capas o laminas de espesor diferencial,

cuyas velocidades varan con la distancia Y normal a dicha frontera.



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Recordemos la definicin (3) de la Viscosidad: La Viscosidad es una medida de su

resistencia a la rapidez de deformacin, cuando se someten a un esfuerzo tangencial

que explica su fluidez.

Para las mismas hiptesis anteriores, es decir tratndose de un flujo bien ordenado en que las

partculas del fluido se mueven en lneas rectas y paralelas (flujo paralelo): flujo laminar, se

trata pues de un flujo de capas o lminas.

En tales condiciones Newton en el ao 1686, demostr:

t

(1) El esfuerzo cortante es proporcional a la rapidez de deformacin.

Adems sabemos que: ys = (2);

Donde: xs y en radianes y para ngulos pequeos: xs = (3)

)2()3( : yx = ; Luegoy

x= (4)



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)1()4( :x v

yt y =

v

y

y

v=

dy

dv=

De acuerdo con esta ecuacin el esfuerzo tangencial en cualquier punto de un fluido puede

desapareceren los siguientes casos:

a) Si se desprecia la accin de la viscosidad (fluido no viscoso)

b) Si la distribucin de velocidades es uniforme (v= cte) y por tanto dv/dy=0; sucede

cuando el flujo es turbulento y el efecto viscoso es despreciable.

c) En un lquido en reposo, donde la velocidad en cada punto (y como consecuencia

dv/dy vale cero.

6.2.- Ecuacin de Dimensiones:

Sistema Absoluto : [ ] 11 = TML dimensiones.

Sistema Gravitacional : [ ] TFL 2= dimensiones.

6.3.- Unidades:

M.K.S: [ ]sm

Kgm

=

Sistema Absoluto

C.G.S: [ ] = =

grm1poise

cm s

M.K.S: [ ]2

1

m

sKgf=

Sistema Gravitacional

C.G.S: [ ]2

1

cm

sgrf=

Sistema Internacional. [ ]sm

Kgm

=



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Conclusiones Adicionales: - La viscosidad de un lquido ocurre por la cohesin de

molculas. Esta cohesin y por tanto la viscosidad disminuyen cuando la temperatura aumenta.

La viscosidad de un gas es el resultado del movimiento aleatorio de las molculas, existe poca

cohesin entre ellas. Sin embargo las molculas interactan chocando unas con otras durantes

sus movimientos rpidos. La propiedad de la viscosidad resulta de estos choques. Este

movimiento aleatorio aumenta con la temperatura, de manera que la viscosidad aumenta con la

temperatura.

Nuevamente se nota que la presin tiene solo un efecto pequeo sobre la viscosidad y por lo

general sta no se toma en cuenta.

Frmulas Empricas para Calcular la Viscosidad Absoluta del Agua y del Aire.

- La viscosidad para el agua.- Est dada por la frmula de Poiseuille (1799-1869),

investigador Francs (mdico).

[ ]20002.00337.01

0178.0

tt++= Sistema Absoluto

Donde: [ ] poise= y Ct o=

[ ]20002.00337.01

0001814.0

tt++= Sistema Gravitacional

Donde:

[ ]2

m

sKgf= y Ct o=

Ejemplo: si t = 20 oC.

poisepoises 01.0010145.0 ==

centipoise1=

..1 pc=



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2

00010348.0m

sKgf=

- La viscosidad para el aire.-

)00000034.00275.01(10715.124

ttx +=

poise= y Ct o=

Estas frmulas funcionan para cualquier valor de la temperatura.

7.- Viscosidad Cinemtica.- ()

=

Para los clculos prcticos es ms conveniente relacionar la viscosidad dinmica del fluido y su

densidad.

Ecuacin de Dimensiones:

12 = TL Dimensiones.

Se aprecia que la ventaja de usar esta nueva propiedad es evidente, ya que sus dimensiones

son [L2T-1], esto es independiente de los conceptos de masa y fuerza.

Unidades:

Sistema M.K.S:s

m2=

Sistema C.G.S: Stoke1s

cm2

==

Equivalente til: .=2m

1Stoke 0 0001s

En la fig. se muestra los valores de y para el caso del agua y el aire en funcin de la

temperatura y la presin atmosfrica al nivel del mar.



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8.- Mdulo de Elasticidad Volumtrica (E): Expresa la compresibilidad de un fluido, es la

relacin entre el incremento de presin (P) y la disminucin unitaria de volumen (1

).

Es una medida del cambio de volumen (y por lo tanto de su densidad), cuando se somete a

diversas presiones.



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1

=

pE

12 pp >

En general, cuando un volumen de un lquido de densidad

y presin p se somete acompresin por efecto de una fuerza F, como se muestra en la Fig., la masa total de fluido

),( = m permanecer constante, es decir que: ( ) ( )= = + =d m d d d 0

De donde resulta:

=d d

Al multiplicar ambas muestras x dp (diferencial de presin), se obtiene:

dpd

dpd

=

d

dp

d

dp=

d

dp

d

dpE +=

=

El signo negativo de la ecuacin indica una disminucin en el volumen al aumentar la presin

p

2

6

)( 10*1.2cm

KgfE ACEROS =

2

6

)( 10*0105.0.

cm

KgfE AIREa =



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2

4

210*1.221000

2 cm

Kgf

cm

KgfE OH ==

2

8

2

8 10*1.210*1.22 cm

Kgf

cm

KgfE OH ==

- El aire es 20000 veces ms compresible que el agua.

- El agua es 100 veces ms compresible que el acero.


Sistema Absoluto: [ ] 21 = TMLE Dimensiones

Sistema Absoluto: [ ] 2= FLE Dimensiones

Unidades:

M.K.S: [ ]2sm

KgmE

=


C.G.S: [ ]2scm

grmE

=

M.K.S: [ ]2m

KgfE =


C.G.S: [ ]2cm

grfE =



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9.-Presin:

=dP

pdA

A

Fp N

=

La presin no es una fuerza sino el cociente de una fuerza sobre una superficie.

Donde:

NF = Es una fuerza normal a la superficie A

P = Presin media sobre la superficie A

Propiedades de la Presin

Primera Propiedad: La presin en un punto de un fluido en reposo, es igual en todas

direcciones (principios de Pascal). Es decir, una diminuta placa (infinitesimal) sumergida en un

fluido experimentara el mismo empuje de parte del fluido, sea cual fuere la orientacin de la

placa.

Demostracin:

a) Considrese un pequeo prisma triangular de lquido en reposo, bajo la accin del fluido

que lo rodea.

b) Los valores medios de la presin o presiones medias sobre las tres superficies son p1, p2

y p3.

En la direccin Z, las fuerzas son iguales y opuestas y se anulan entre ellas.

Sumando las fuerzas en la direccin x e y se obtiene:



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= 0Fx 032 = senPP

0)()(32

= sendsdzpdydzp

= 0Fy 0cos31 = dwPP

1 3

1p (dxdz) p (dsdz)cos ( dxdydz) 0

2 =

coscos dsdxds

dx==

Equivalencias

dssendyds

dysen ==

Las ecuaciones anteriores se reducen a:

0)()(32

= dydzpdydzp 32 pp =

1 3

1p p ( dy) 0

2 =

Cuando el prisma tiende a contraerse sobre un punto, dy tiende a cero en el lmite, y la

presin media se vuelve uniforme en la superficie que tiende a cero y queda definida la presin

en un punto. Por tanto al poner dy = 0 en la ecuacin (2) se obtiene 31 pp = y de aqu:

321 ppp == .

Presin de un fluido: Se transmite con igual intensidad en todas las direcciones y acta

normalmente a cualquier superficie plana, en el mismo plano horizontal.



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Demostracin: si se aplica una presin a un fluido incompresible (un liquido), la presin se

transmite, sin disminucin, a travs de todo el fluido.

Esto se demuestra utilizando la botella de Pascal; que bsicamente, consiste en una botella de

forma esfrica, a la cual se le ha aplicado varios agujeros. Tapados los agujeros con corchos,

se llena con un lquido.

Al aplicar una presin p por el mbolo, esta se transmite con igual magnitud en todas

direcciones, haciendo saltar todos los corchos al mismo tiempo.

Aplicaciones del Principio de Pascal: Prensa Hidrulica- Es aquel dispositivo o mquina que

est constituida bsicamente por dos cilindros de diferentes dimetros conectados entre s, de

manera que ambas confinen un liquido.

El objetivo de esta mquina es obtener fuerzas grandes aplicando fuerzas pequeas. Tener en

cuenta que esta mquina esta basado en el principio de Pascal. Esta mquina hidrulica

funciona como un dispositivo multiplicador de fuerzas.

Son ejemplos directos de este dispositivo: los sillones de los dentistas y los barberos, los frenos

hidrulicos, etc.



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02211 = dApdAp ; 21 dAdA =

21 pp =

Ni la gravedad, ni las presiones sobre la superficie lateral del cilindro tienen componente alguno

en la direccin del eje del cilindro. Como la orientacin del eje del cilindro es arbitraria queda

demostrada la segunda propiedad.

Tercera Propiedad.-

En un fluido en reposo la fuerza de contacto que ejerce en el interior de un fluido una parte del

fluido sobre la otra contigua al mismo tiene la direccin normal a la superficie de contacto.

Como esta fuerza normal es la presin, en el interior de un fluido en reposo no existe mas

fuerza que la debida a la presin.

Demostracin:

a) Consideremos un volumen cualquiera de fluido como en la figura.

b) Dividamos el volumen en dos partes (A) y (B) por una superficie cualesquiera.

Anlisis: Si la fuerza que ejerce B sobre A tuviera la direccin 1, se descompondra en dos

fuerzas 2 y 3.

El fluido no puede soportar la fuerza tangencial 3 sin ponerse en movimiento; pero por hiptesis

el fluido est en reposo, luego la fuerza no puede tener la direccin 1 y tiene que tener la

direccin 2, o sea, la direccin de la normal.

Este mismo argumento es valedero para la fuerza que el fluido en reposo ejerce sobre el

contorno slido en el cual est contenido.



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Cuarta Propiedad

La fuerza de la presin en un fluido en reposo se dirige siempre hacia el interior del fluido, es

decir, es una compresin, jams una traccin. Tomando como positivo el signo de compresin,

la presin absoluta no puede ser jams negativa.

Quinta Propiedad

La superficie libre de un lquido en reposo es siempre horizontal.

Demostracin: Segn la figura, supongamos que es la superficie libre de un lquido, no

horizontal. Cortado por un plano no horizontal y aislando la parte superior del lquido se ve

que siendo las fuerzas elementales de presin que el lquido inferior ejerce sobre el lquido

aislado normales al plano , su resultante tambin lo ser y no podr estar en equilibrio con la

fuerza de la gravedad, W.

Unidades (dimensiones): Sistema Absoluto: [ ] 21 = TMLp

Sistema Gravitacional: [ ] 2= FLp

- M.K.S: [ ] )1(11

* 22PaPascal

m

Newton

sm

Kgmp ===

ABSOLUTO

- C.G.S: [ ]22

1

*

1

cm

dina

scm

grmp ==



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- M.K.S: [ ]2m

kgfp =

GRAVITACIONAL

- C.G.S: [ ]2

1

cm

grfp =

En la prctica se expresa con frecuencia la presin en altura equivalente de columna de un

lquido determinado: por ejemplo en metros de columna de agua, en milmetros de columna

de mercurio, etc. Dimensionalmente la presin no es una longitud sino una fuerza partido por

una superficie. Por eso en el Sistema Internacional (SI) las alturas como unidades de

presin han sido abolidas aunque no hay dificultad en seguir utilizndose como alturas

equivalentes. Como excepcin puede seguirse utilizando como unidad de presin el mm. de

columna de mercurio, que recibe el nombre de Torr (en atencin a Torricelli), nombre que

debe sustituir al de mm. cm. :

Torr1etroHglimmi1 =

A continuacin se deduce una ecuacin, que permite pasar fcilmente de una presin

expresada en columna equivalente de un fluido a la expresada en unidades de presin

de un sistema cualquiera:

Consideremos un recipiente cilndrico de base horizontal A lleno de lquido de densidad

hasta una altura h.

Por definicin de presin:

ghA

gAh

A

g

A

Wp

==

==

)( = ghp

Ejemplo: Hallar la presin correspondiente a una columna de glicerina de h = 300mm.MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 27


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26.1)( =glicerinar ; Luego 31000*26.1 mkgm

glicerina =

Luego3

1260m

kgmglicerina = (S:I)

Aplicando ()3 2

kg mp 1260 9.81 0.3mm s

=

2*2.3708

segm

kgmp =

2

kgm1Pa

m seg=

Pap 2.3708=

Con frecuencia se presenta el caso al pasar de una columna del lquido x a otra de un

lquido distinto y.

Aplicando la ecuacin (), se tiene:

yyxx ghghp ==

)(

= x

y

xy hh

Si el lquido y es agua, se tiene:

x

OH

xOH hh

2

2

= xxrOH hh =2

Caso particular, para transformar a alturas equivalentes de columnas de agua.

Ejm:

Convertir 750 Torr en unidades diversas.

Solucin:

).....(136003

Tablam

kgmHG =

ghp =

mmHgTorrp 750750? === ; Luego:



29/157

28.9

750

seg

mg

mmHgh

=

=

Hg Hgp g h=

3 2

kg mp 13600 9.81 0.75mHg

m seg=

2

kgp 100062

m seg=

2kgm

1Pa 1m seg

=

Pap 062,100=

Presin Atmosfrica (Pamb)

Segn las normas DIN 1314 (Feb. 1977), que denomina a la presin atmosfrica Pamb (del

latn ambiens)

Sobre la superficie libre de un lquido reina la presin del aire o gas que sobre ella existe. Esta

presin puede adquirir un valor cualquiera en un recipiente cerrado; pero si el recipiente est

abierto, sobre la superficie libre del lquido reina la presin atmosfrica pamb, debido al peso

de la columna de aire que gravita sobre el fluido.

La presin atmosfrica vara con la temperatura y la altitud.

Presin atmosfrica estndar: Es la presin al nivel medio del mar y a la temperatura de

15C; equivale a la atmsfera real que se encuentra en muchas partes del mundo.

.lg7.14

.lg92.29

)..(1

.760

.33.10

)......(033227.1

2

2

2

pulbP

HgpuP

raunaatmosfeambP

mmP

mP

EEUUcm

kgP

stamb

stamb

stamb

Hgstamb

OHstamb

stamb

=

=

=

=

=

=2

ambst

amb 2st

amb 2st

ambst

ambst

ambst

6 2

ambst

P 2,116.2lb pie .

P 33.87pieH O.

P 406.79pulgH O.

P 101,325Pa.

P 101.325kPa.

P 1.01325Bars.

P 1.01325x10 dinas cm

=

=

=

=

=

=

=



30/157

En la tcnica se utiliza mucho la atmsfera tcnica.

kPam

Nbartecnicaatmosfera 1001011

2

5 ===

211

m

NPa =

El kilopascal es tambin usado como unidad de presin

Presin Atmosfrica Local y Temporal:- Es la presin atmosfrica reinante en un lugar y

tiempo determinado

Por lo tanto hay tres atmsferas:

1.- Atmsfera Estndar = 1.033227 kg/cm2=1.01396 bar

2.- Atmsfera Tcnica = 1.019368 kg/cm2=1 bar

3.- Atmsfera Local y Temporal = ?

Presin Absoluta y Presin Relativa o Excedente.

La presin en cualquier sistema de unidades se puede expresar como presin absoluta (pabs) o

como presin relativa o excedente (pr). Esta denominacin no afecta a la unidad, sino al cero

de la escala. Sucede lo mismo con la temperatura: Los grados centgrados expresan

temperaturas relativas, tomando como 0C la temperatura de fusin del hielo; mientras que las

temperaturas en Kelvin expresan temperaturas absolutas, medidas a partir del cero absoluto.

En el sistema ingls de unidades, los grados Farenheit expresan temperaturas relativas

(Temperatura de fusin del hielo 32F); mientras que los grados Rankine expresan



31/157

temperaturas absolutas. El cero absoluto de temperaturas es el mismo en todos los sistemas

de unidades. Lo mismo sucede con el cero absoluto de presiones.

180

32

100

= FCoo

9

32

5

= FCoo

Escala Kelvin.- Se sabe que la temperatura no tiene lmite superior; pero si un inferior.

Mtodos modernos de la fsica de bajar la temperatura de un cuerpo; mximo a la vecindad de

-273C; pero no se ha conseguido llegar hasta ella, ni bajar ms.

La temperatura de -273C se denomina cero absoluto y un gran fsico del siglo XIX llamado

Kelvin, propuso una construccin de una escala termomtrica cuyo cero fuese el cero absoluto

y cuyos intervalos de un grado fueran iguales a las de las escalas Celsius o Centgrados.

0K=273 + 0C

Las presiones absolutas se miden con relacin al cero absoluto (vaco total o 100% de

vaco) y las presiones relativas con relacin a la atmsfera.



32/157

La mayora de los manmetros (dispositivos para medir presiones), estn construidos de

manera que miden presiones relativas o excedentes con relacin a la Atmsfera local. Para

hallar la presin absoluta con exactitud habr que sumar a la presin leda en el manmetro la

presin atmosfrica local medida exactamente con un barmetro. Muchas veces no se necesita

gran precisin y entonces se suma a la lectura del manmetro (presin relativa) la Atmsfera

Tcnica, que es igual a 1 bar =1.019 Kg/cm2

222

5

2

5 019.168.193,1081.9

10101

cm

kg

m

Kg

m

Kgf

m

Nbar ====

De aqu resulta la Ecuacin Fundamental:

)..(.......... ambrabs PPP +=

Donde:

absP = Presin absoluta Pa, S.I

rP = Presin relativa, Pa, SI (medida con el manmetro)

ambP = Presin atmosfrica, presin ambiente o presin baromtrica, Pa, SI

(medida con un barmetro).

O bien la Ecuacin aproximada:

1+= rabs PP bar.()

1 bar = 1 atmsfera tcnica

Las ecuaciones () y () pueden estudiarse grficamente en la figura siguiente.

Finalmente los vacos se miden con mucha frecuencia en tanto por ciento de la presin

atmosfrica local. Es decir el cero absoluto es 100% de vaco y la presin atmosfrica local al

cero por ciento.



33/157

Torricelli, Fue el primero en medir la presin atmosfrica, su experimento consisti en:

a) Consigui un tubo de vidrio abierto por uno de los extremos, al cual llen completamente de

mercurio. Fig. A

b) Consigui un recipiente tambin al cual introdujo el mismo lquido mercurio. Fig. B

c) Tapando el extremo libre del tubo volte dicho tubo y lo sumergi en el recipiente antes

mencionado, para inmediatamente destaparlo.

d) El mercurio descendi por el tubo y se detuvo a una altura de 76 cm. Encima del nivel del

mercurio del recipiente. Fig. C..

Torricelli concluy que la presin atmosfrica al actuar sobre el recipiente equilibraba a la

columna de 76cm de mercurio, con la cual la presin atmosfrica sera:

cmHgPamb 76=



34/157

Medida de la Presin

La medida, la transmisin y el registro de presiones, es muy frecuente, tanto en laboratorios,

como en la industria.

Los medidores de presin o manmetros necesariamente son variadsimos, y que en los

laboratorios y la Industria se han de medir presiones desde un vaco absoluto del 100 por 100

hasta 10,000 bar y an mayores, con grado de precisin muy diverso y en medios

(temperaturas elevadas, atmsferas explosivas, etc.) muy diversos.

Los aparatos que sirven para medir las presiones se denominan manmetros. Los manmetros

pueden clasificarse segn los siguientes criterios:

1.-Clasificacin: segn la naturaleza de la presin medida:

a. -Instrumentos que miden la presin atmosfrica: barmetros

b. -Instrumentos que miden la presin relativa: manmetros.

c. -Instrumentos que miden la presin absoluta: manmetros de presin absoluta.

d. -Instrumentos para medir diferencias de presiones: manmetros diferenciales.

e. -Instrumentos para medir presiones muy pequeas: micromanmetros.

2.-Clasificacin segn el principio de funcionamiento.

A.-Mecnicos, el principio de funcionamiento de estos consiste en equilibrar la fuerza

originada por la presin que se quiere medir con otra fuerza, a saber, con el peso de una

columna de lquido, con un resorte en los manmetros clsicos o con la fuerza ejercida sobre

la otra cara de un mbolo en los manmetros de mbolo. Esta ltima fuerza se mide

mecnicamente.

B.-Elctricos, en este tipo de manmetros la presin origina una deformacin elstica, que

se mide elctricamente.

El grado de exactitud de cada manmetro depende del tipo, de la calidad de construccin, de

su instalacin y, por supuesto, de su adecuada lectura.



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A.-Barmetros

Son Instrumentos que sirven para medir la presin atmosfrica. Los principales son: barmetro

de mercurio de cubeta y barmetro de mercurio en U.

Barmetro de Mercurio de Cubeta.-

En la figura representada, encima del mercurio reina el vaco, p = 0, se ha tenido en cuenta de

eliminar el aire al sumergir el tubo. Una escala graduada mvil no dibujada en la figura, cuyo

cero se hace coincidir antes de hacer la lectura con el nivel del mercurio en la cubeta, permite

leer l, que es la presin atmosferita pamb en Torr. o en mm c.m.

Del diagrama del cuerpo libre de la figura se cumple:

P2=Pamb=P1+ Hg

Pero como P1=0, entonces:

Pamb= Hg h

Barmetro de Mercurio en U



36/157

En este barmetro la cubeta queda eliminada.

Por razonamiento similar y evaluando el diagrama del cuerpo libre de la columna de mercurio,

entre las secciones 0 y 1 y teniendo en consideracin que P o=0, pues corresponde al vaco

total; y adems de la segunda propiedad de la presin la presin en todos los puntos situados

en un mismo plano horizontal en el seno de un fluido en reposo es la misma; es decir: P1 = P2

= Pamb

Luego: Pamb= Hg h

B.-Piezmetros

Son tubos transparentes de cristal o plstico, recto o con un codo, de dimetro que no debe ser

inferior a 5 mm para evitar los efectos de capilaridad debidos a la tensin superficial. Este tubo

se conecta al punto que se quiere medir la presin, practicando cuidadosamente en la pared

del recipiente o tubera un orificio, que se llama orificio piezomtrico.

Los tubos piezomtricos constituyen el procedimiento ms econmico y al mismo tiempo de

gran precisin para medir presiones relativamente pequeas. Midiendo la altura de ascensin

del lquido en el tubo piezomtrico nos dar la presin requerida.

PA = h

Donde es el peso especfico del fluido en la tubera, que es mismo que asciende en el tubo

piezomtrico o simplemente piezmetro.



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C.-Manmetros

Se utilizan para medir presiones relativas, tanto positivas como negativas. Particularmente se

utilizan cuando el fluido es poco viscoso, pues en este caso trata de ganar grandes alturas,

utilizndose el mercurio como lquido manomtrico.

El lquido manomtrico se escoger apropiadamente de acuerdo a las presiones a medir.

Tipos:

Manmetro en U ; con Sobrepresin o Presin Relativa Positiva

Es aquel que es conectado a depsitos o tuberas a presin, por lo tanto las presiones a

registrar son mayores que la atmosfrica.

Objetivo, determinar la presin en A.

Se sabe que la presin en 1 es igual a la presin en 2

P1 = P2

Del diagrama del cuerpo libre, en equilibrio, de altura h, puesto que se est trabajando con

presiones relativas,

Luego,

Pamb =0

Entonces:

P1 = l h (1)

Del diagrama del cuerpo libre, en equilibrio de altura z,



38/157

P1 = PA + z (2)

Igualando (1) y (2):

PA = l h - z

Hagamos,

Sl

=

;

)zSh(PA =

Manmetro en U ; con Depresin o Presin Relativa Negativa

Es aquel que es conectado a depsito o tubera en vaco, por lo tanto las presiones a

registrar son menores que la atmosfrica.

Objetivo, determinar la presin en A.

Se sabe que la presin en 2 es igual a la presin en 3

P2 = P3

Del diagrama del cuerpo libre, en equilibrio, de altura z+h, puesto que se est trabajando con

presiones relativas,

Luego,

P3 =0 (1)

Entonces:

P2 = PA + z + l h (2)

Igualando (1) y (2):



39/157

PA = -( lh- z)

Hagamos,

Sl

=

Entonces:

)zSh(PA +=

Regla Prctica:

Consiste en dividir el fluido en secciones, correspondientes a los cambios de densidad. En la

prctica se escribe inmediatamente una sola ecuacin partiendo del punto inicial (A) y en

nuestro caso sumndole o restndole los trminos correspondientes a las columnas de lquido

hasta llegar al punto final (B); es una suma y resta de presiones; al considerar positivas las

presiones de secciones que se encuentran por debajo de la seccin inmediata de referencia y

negativas, las presiones que se encuentren por encima de la seccin inmediata de referencia;

ejemplo:

Dl

A PhzP =++

Pero,

PD = 0

Entonces:

)zSh(PA +=

Resultado que es el mismo obtenido por el procedimiento analtico o general.

Manmetro Diferencial

Mide la diferencia de presiones entre dos puntos. La sensibilidad del manmetro es tanto

mayor cuanto la diferencia ( m - ) sea menor. Siendo m el peso especfico del lquido

manomtrico.



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Objetivo, determinar la diferencia de presiones entre A y B.

Se sabe que la presin en 1 es igual a la presin en 2 y tambin a la Presin en 3

P1 = P2 = P3 (1)

Del diagrama del cuerpo libre en equilibrio de la columna de altura z,

PA = P1 + z (2)

Reemplazando (1) en (2) ,

Resulta:

PA = P3 + z (3)

Del diagrama del cuerpo libre, en equilibrio, de la columna de altura h,

P3 = P4 +l

h (4)

Pero, P4 =P5 (5)

Sustituyendo (5) en (4), resulta:

P3 = P5 + l h (6)

Adems, del diagrama del cuerpo libre de la columna de altura h+z:

PB = P5 + (h+z) (7)

Restando (3)-(7) y simplificando,

Resulta:

PA PB = P3 P5 - h (8)

(6) en (8):

PA PB = h ( l- )



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D.-Vacumetros

Sirve para medir presiones de lquidos o gases empleando un lquido manomtrico no miscible.

Aplicando los mismos principios que en los manmetros al vacumetro de lquido de la figura,

se obtiene la presin absoluta de la seccin 5:

P5 = (Sh-z)



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ESTTICA DE LOS FLUIDOS

La esttica de los fluidos estudia las condiciones de equilibrio de los fluidos en reposo, y

cuando se trata slo de lquidos, se denomina hidrosttica. Desde el punto de vista de

ingeniera civil es ms importante el estudio de los lquidos en reposo que de los gases, por lo

cual aqu se har mayor hincapi en los lquidos y, en particular, en el agua.

Si todas las partculas de un elemento fluido, visto como un medio continuo, estn en reposo o

movindose con la misma velocidad, se dice que el fluido es un medio esttico; por lo que el

concepto de propiedades de un fluido esttico pueden aplicarse a situaciones en las cuales se

estn moviendo los elementos del fluido, con tal de que no haya movimiento relativo entre

elementos finitos. Como no hay movimiento relativo entre las placas adyacentes, tampoco

existirn fuerzas cortantes, por lo que la viscosidad en este caso deja de ser importante y las

nicas fuerzas que actan sobre las superficies de los fluidos son las de presin. La esttica se

refiere a un estudio de las condiciones en las que permanece en reposo una partcula fluida o

un cuerpo.

Se distinguen dos tipos de fuerzas que pueden actuar sobre los cuerpos, ya sea en reposo o

en movimiento: Las fuerzas msicas y las fuerzas superficiales.

Las fuerzas msicas incluyen todas las fuerzas exteriores que actan sobre el material en

cuestin sin contacto directo, ejemplo la gravedad.

Las fuerzas superficiales incluyen todas las fuerzas ejercidas sobre su contorno, por su

proximidad, por contacto directo; es por esto una accin de contorno o superficial, ejemplo las

fuerzas de presin, de friccin, etc.

En mecnica de fluidos se usan las fuerzas relativas con las masas o reas, as:

am

FmaF II == g

m

FmgF GG ==

pA

FpAF

N

PNP == ==

T

TTT A

FAF

Ecuacin Fundamental de Variacin de la Presin en un Fluido en Reposo Absoluto



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Como el fluido se encuentra en reposo absoluto, estar sometido exclusivamente a su peso

propio, no existirn otro tipo de fuerzas de masa o exteriores; es decir, adems de la fuerza

gravitacional, existirn las fuerzas superficiales debido a la presin, no existiendo fuerzas de

friccin o tangenciales por encontrarse en reposo absoluto.

Evaluemos la variacin de la presin en un elemento diferencial ortodrico de dimensiones dx,

dy y dz, como se muestra en la figura, en donde se hallar las fuerzas que producen en el eje

y, la presin y la gravedad de las partculas fluidas.

Como la masa contenida en el elemento diferencial de volumen, est en equilibrio, y

conociendo por la segunda propiedad de la presin que todos los puntos contenidos en un

plano horizontal tienen la misma presin; por lo tanto las fuerzas debidas a las presiones en las

direcciones z y x se cancelan, por lo que resulta aplicable solo la ecuacin de equilibrio en la

direccin y:

( ) =+= gdydxdzdxdzdpppdxdzFYSimplificando y ordenando resulta:

gdydp = gdy

dp= ()

En general, la ecuacin de la esttica de los fluidos (), no se puede integrar a menos que se

especifique la naturaleza de . En la determinacin de la presin se trata entonces por

separado los gases y a los lquidos.

Pero como remarcamos al inicio del estudio del presente tema, como ingenieros civiles nos

interesa fundamentalmente el estudio de los lquidos, especialmente el agua, por lo que solo



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abordaremos el caso de fluidos lquidos; por lo que siendo as, integraremos para los puntos P1

y P2 en el interior y en la superficie libre, respectivamente del fluido en reposo:

==

=

2

1

2

1

y

y

pp

ppdygdp

( )1212 yygpp =

Donde, de la figura superior, extrema derecha: Amb2 pp =

Luego:

hppp Amb1 +== ()

Donde: pp1 = Presin absoluta

Ambp Presin atmosfrica

h Presin manomtrica o relativa

La expresin (), es conocida como la Ecuacin Fundamental de la Esttica de los Fluidos

Lquidos o Incompresibles en reposo absoluto.

Si se trabaja con presiones relativas, la expresin (), se transforma en:

hp = ()

Cuyo diagrama de variacin de la presin de la ecuacin () es:

Ecuacin Fundamental de la Hidrosttica

Resuelve el caso general, es decir el reposo absoluto y el reposo relativo, tanto para fluidos

lquidos y gases.

Consideremos un elemento diferencial ortodrico de dimensiones dx, dy y dz, el cual lo hemos

separado de un medio continuo de fluido en reposo, como se muestra en la figura siguiente, en



45/157

donde se hallar las fuerzas que producen en los diferentes ejes la presin y la aceleracin de

las partculas fluidas:

Sea p la presin que acta sobre cada una de las caras del triedro ms prximo al origen de

coordenadas. Sobre las caras del triedro opuesto las presiones sern respectivamente:

dxx

pp

+ ; dyy

pp

+ ; dzz

pp

+

Habindose despreciado infinitsimas de orden superior al primero.

Sea F = La Resultante de las fuerzas exteriores o Fuerza Total externa, por unidad de masa,

que suponemos aplicada en el centro de gravedad de la masa dm del elemento diferencial

ortodrico de volumen dxdydzd = .

Es decir : kZjYiXF ++= ()

Donde:

F= Fuerza por unidad de masa debida a la inercia que se origina por la aceleracin externa al

fluido; es una fuerza msica. X, Y y Z, son sus componentes. Tambin se le denomina

aceleracin externa ( )a .

Como el elemento diferencial de fluido se encuentra en equilibrio, se verifica, en cada eje

coordenado: = iF

Condicin de equilibrio en el eje y:



46/157

=+

+ dxdydzYdxdz)dyy

pp(pdxdz

Simplificando: Yy

p=

De igual manera realizando el equilibrio en los ejes x y z, resulta:

Xx

p=

Zz

p=

Donde: iXix

p =

, jYjy

p =

y kZkz

p =

()

Las expresiones (), son conocidas como las Ecuaciones estticas de Euler.

Sumando miembro a miembro las Ecuaciones estticas de Euler, tendremos:

kZjYiXkz

pj

y

pi

x

p ++=

+

+

El primer miembro de la ecuacin corresponde al desarrollo de p :

)kZjYiX(p ++=Adems reemplazando (), en la expresin anterior, resulta:

Fp = ()

La expresin (), es conocida como la Ecuacin Fundamental Vectorial de la Hidrosttica,

o Ecuacin de Euler, aplicable tanto para fluidos en reposo absoluto o relativo.

Proyectando la expresin (), segn la direccin dr:

Donde: kdzjdyidxdr ++=

drFdrp =

El desarrollo de la expresin anterior resulta:

ZdzYdyXdxdzz

pdy

y

pdx

x

p++=

+

+



47/157

El desarrollo del primer miembro de la ecuacin corresponde a dp, luego esta puede ser

escrita, como:

)ZdzYdyXdx(dp ++= ()

La expresin()

, es conocida como laEcuacin Fundamental Analtica de la Hidrosttica

,o Ecuacin de Euler, aplicable tanto para fluidos en reposo absoluto o relativo.

Variacin de la Presin de un Fluido Lquido Sometido a su Peso Propio

Aplicando la ecuacin fundamental analtica de la hidrosttica ()

Donde:

=X =Y y gZ =

Reemplazando en la Ecuacin (), tendremos:

dzgdzdp ==

dzdp =

dzdp

=

=+

dzdp

En el caso de los lquidos, = Cte; luego tendremos:

=+ dzdp1

Integrando para los puntos P1 y P2 en el interior y en la superficie libre, respectivamente del

fluido en reposo:



48/157

=+ p

z

z

2

1

dzdp1

=+

)zz(p1

12

Sabiendo que: hzz 12 = y reemplazando y acomodando la expresin anterior:

hp

=

hp = ()

La expresin (), es conocida como la Ecuacin Fundamental de la Esttica de los Fluidos

Lquidos o Incompresibles en Reposo Absoluto para el caso de presiones relativas.



49/157

Fuerza Hidrosttica sobre una Superficie Plana

Consideremos el caso general en que el plano donde se encuentra la superficie plana

sumergida A forme un ngulo con el plano piezomtrico.

Determinacin de la Fuerza (F)

- La fuerza elemental dF debida a la presin sobre el elemento dA es:

dApdF .= ; Pero hp =

hdAdF = ; Adems: ysenh =

Luego: )1.......(..........dAysendF =

- Siendo paralelas todas las fuerzas dF (ya que son normales a cada dA), la fuerza resultante

F, debida a la presin ser:

F dF= , sustituyendo (1)

= dAysenF

= )2.....(..........ydAsenF

Por definicin de centro de gravedad: = AYydA G .. (3).

Donde: =ydA momento del rea con respecto al eje X

=GY Ordenada del centro de gravedad

=A rea total de la superficie plana sumergida



50/157

(3) en (2): AYsenF G= . (4); pero GG hsenY =

)......(.......... AhF G=

Es decir:

La fuerza hidrosttica sobre una superficie plana sumergida, es igual a la presin

relativa al centro de gravedad, multiplicada por el rea.

b) Determinacin del Centro de Presiones

- La lnea de accin de la fuerza resultante F corta a la superficie en un punto que se llama

centro de presiones, que no coincide en general con el centro de gravedad (slo en las

superficies horizontales coinciden, porque Yg=Yp)

- Para determinar las coordenadas del centro de presiones (Xp, Yp); se utiliza el teorema de

los momentos (Teorema de Varignon): El momento de la resultante es igual a la suma de los

momentos de las componentes

Clculo de Yp

Aplicando el teorema de los momentos respecto al eje X, se tiene:

= ydFMR ; Pero pR yFM = . Donde:

=RM Momento de la resultante

= ydF Momento de las componentes

)5......(..........dFyyF p

=

De (1) dAysendF =

(1) y (4) en (5): = )()( dAysenyyAysen pG

Ay

dAyY

G

p

=2



51/157

Donde: == xIdAy 2 momento de inercia de la superficie A, respecto al eje x.

En (6): )7.(.....................Ay

IY

G

xp =

Pero es muy usual trabajar con los momentos de inercia respecto a los ejes centroidales,

paralelos a los ejes x e y.

Para ello aplicamos el teorema de Steiner

Respecto al eje x :

)8.(....................2Gxx AYII +=

(8) en (7):

AY

AYIY

G

Gx

p

2+=

AY

AY

AY

IY

G

G

G

x

p

2

+=

G

G

x

p YAY

IY +=

)......(AY

IYY

G

x

Gp += Donde: 0>AY

I

G

x

Es decir:

El centro de presiones est debajo del centro de gravedad, excepto en las superficies

horizontales que coinciden )( Gp YY =

b.2: Clculo de Xp

Ahora aplicamos el teorema de los momentos respecto al eje Y:

= xdFMR ; Pero pR XFM =

= )9(dFxXF p

(1) y (4) en (9):



52/157

= )()( dAysenxXAYsen pG

)10(AY

xydAX

G

p

=

Donde: = xyIxydA

Producto de inercia de la superficie A, respecto a los ejes x e y.

en (10): )11(AY

IX

G

xy

p = .

Aplicando Steiner respecto a los ejes centroidales x e y , se tiene:

)12(AYXII GGxyxy +=

(12) en (11):AY

AYXxyIX

G

GGp

+=

AY

AYX

AY

xyIX

G

GG

G

p +=

G

G

p XAY

xyIX +=

)(AY

xyIXX

G

Gp +=

El valor xyI puede ser positivo o negativo de modo que el Cp puede encontrarse a uno u otro

lado de de G. Basta que la superficie plana inclinada tenga un eje de simetra para que =xyI

, en cuyo caso:

Gp XX =

Comentario: Por lo general las situaciones de inters se relacionan con superficies planas que

tienen uno o dos ejes de simetra, de modo que slo se trata de determinar el valor de Yp.



53/157

=VF

Componentes de la Fuerza Hidrosttica de una Superficie Plana Inclinada:

= FsenFh

= SsenhF Gh

vGh ShF =

= cosFFV

= cosShF GV

hGV ShF =

Siendo: hGV ShF =

Luego:


vGH SpF =

hGV SpF =


54/157

Para calcular las componentes de la resultante total de las presiones, sobre una superficie

inclinada, se toman superficies imaginarias, que resultan de las proyecciones de dicha

superficie sobre planos perpendiculares a dichas componentes.

Fuerzas de Presin Sobre Superficies Curvas

La Resultante total de las fuerzas de presin que obran sobre una superficie curva, est

formada por la suma de los elementos diferenciales de fuerza (dF=pdA) normales a la

superficie. La magnitud y posicin de la Resultante de estas fuerzas elementales, no puede

determinarse fcilmente por los mtodos usados para superficies planas. Sin embargo, se

pueden determinar con facilidad las componentes horizontal y vertical de la Resultante para

luego combinarlas vectorialmente.

Considrense las fuerzas que obran sobre el prisma de lquido ilustrado en la fig.(A), limitado

por la superficie libre a-o, por la superficie vertical plana o-b, y por la superficie curva a-b. El

peso de este volumen es una fuerza w vertical hacia abajo, y actuando de derecha a

izquierda, sobre o-b est la fuerza horizontal vGh AhP = , en donde Av es el rea de la

superficie plana vertical imaginaria, uno de cuyos bordes es ob. Estas fuerzas se mantienen en

equilibrio por fuerzas iguales y opuestas de reaccin de la superficie curva a-b. Se deduce en

consecuencia, que la componente horizontal de la Resultante total de las presiones sobre una

superficie curva es igual, y est aplicada en el mismo punto, que la fuerza que acta sobre la

superficie plana vertical formada al proyectar en direccin horizontal la superficie curva. Por

otra parte, la componente vertical de dicha Resultante total sobre la superficie curva es igual al

peso del lquido que se encuentra encima de sta, y est aplicada en el centro de la gravedad

del volumen lquido. Un razonamiento semejante demostrar que cuando el lquido se

encuentra debajo de la superficie curva, la componente vertical es igual al peso del volumen

imaginario del lquido que se encontrara encima de la superficie y est aplicada hacia arriba

pasando por su centro de gravedad.

Por ejemplo la componente vertical de la Resultante total de presiones, ejercida sobre la

componente radial o de abanico de la fig. (B), es igual al peso del volumen representado por

LNM y acta hacia arriba pasando por G como se indica.MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 54


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Ejm 1.- La figura que se muestra, ilustra una seccin de un depsito de agua de 6 mts. de

longitud. La pared abc del depsito est articulado en c y es soportado en a por un tirante.

El segmento bc de la pared es un cuadrante de circunferencia de 1.20 m de radio.

a) Determinar la fuerza T que ejerce el tirante

b) Determinar la Resultante total de presiones que obra sobre la compuerta

c) Determinar la Fuerza Resultante sobre la articulacin, c, despreciando el peso de la

pared.

Solucin:

a) Determinar la fuerza T que ejerce el tirante

Kg4320)m20.1x00.6)(m60.0)(m

Kg1000(AhP 23Gh ===

Kg4320Ph =MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 55


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La posicin de P est a mmx 40.0)20.13

1( = arriba de C

mhP 80.0=

Kg6785m

Kg1000)m20.1(m64

rm6WP 3

22

v ==

==

KgPv 6785=

Pv esta aplicada en el centro de gravedad del cuadrante del circulo, el cual se encuentra a:

m51.03

)m20.1(4

3

r4

==, a la izquierda de oc

mxp 51.0=

Para calcular T, se halla tomado momentos respecto a la articulacin c como sigue:

= )m40.0(P)m51.0(WT50.1 h

Reemplazando valores:

KgT 3458=b) Determinar la resultante total de presiones que obra sobre la compuerta.

KgP 8043)6785()4320( 22 =+=

KgP 8043=

La direccin, sentido y la posicin de P se halla componiendo vectorialmente Pv y Ph en su

interseccin. Como todos los componentes elementales de P son normales a la superficie de

la compuerta y pasan, por consiguiente, por el punto o, se concluye que P pasar tambin

por o.



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c) Determinar la Fuerza Resultante sobre la articulacin, despreciando el peso de la

pared.

-) == hhH RPTF

hh PTR =

kg)43203458(Rh =

kg862Rh =

= kg862Rh

-) == VVV PRF

VV PR =

VR 6785kg=

Luego, la Fuerza Resultante sobre la articulacin, es:

2 2R (862) (6785) 6839Kg= + =

R = 6839 Kg.



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Principio de Arqumedes

Todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un lquido experimenta un empuje

vertical (fuerza vertical) ascendente igual al peso del volumen del lquido desalojado. El

punto de aplicacin de dicho empuje coincide con el Centroide del volumen sumergido (Igual al

del volumen desalojado) y se conoce con el nombre de centro de flotacin o de carena.

Centro de flotacin o de carena: es el centro de gravedad de la parte sumergida del cuerpo y

es el punto donde est aplicado el empuje.

Demostracin:

Sea el caso de un cuerpo slido cualquiera flotando en un lquido, existe un estado de equilibrio

debido a que el lquido ejerce sobre el cuerpo una presin ascendente de igual magnitud que el

peso propio del cuerpo, que se puede calcular a partir de los resultados anteriores.



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Parcialmente Sumergido

= vF en el volumen de control.

dEdFdF VV = 12HaHa dApdA)hp(dE +=

HaHHa dAphdAdApdE +=

HhdAdE =

= A HhdAELa integral es igual al volumen ( s ) de laparte del cuerpo en flotacin que seencuentra debajo de la superficie libre dellquido; esto es:

sE =

Totalmente Sumergido

= vF en el volumen de control

12 VV dFdFdE =

H1H2 dAhdAhdE =)hh(dAdE 12H =

HhdAdE =

HA dAhE =sE =

s = Volumen del lquido desalojado (volumen

del cuerpo sumergido) = Peso especfico del lquido.



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Relacin entre el Empuje y el Peso del cuerpo sumergido

Sea W = El peso total del cuerpo

E = Empuje del fluido sobre el cuerpo

1.- Si E < W, el cuerpo tiende a ir hacia el fondo

2.- Si E = W, el equilibrio del cuerpo es estable (el cuerpo se mantiene sumergido en la

posicin en que se le deje) Flotacin en Equilibrio.

3.- Si E > W, el cuerpo tiende a ir hacia la superficie.

Condiciones de Equilibrio de los Cuerpos en Flotacin

El equilibrio de un cuerpo flotante se clasifica en tres tipos:

1.- Estable.- Una fuerza actuante-por ejemplo el empuje del oleaje o del viento- origina una

inclinacin lateral, pero cuando aquella cesa el cuerpo vuelve a su posicin original. Este

tipo de equilibrio lo tienen los cuerpos de centro de gravedad bajo.

2.- Inestable.- La fuerza actuante origina el volteo brusco del cuerpo (zozobra), el cul despus

recupera una posicin ms o menos estable. Este equilibrio lo tienen aquellos cuerpos cuyo

centro de gravedad es alto.

3.- Indiferente.- La fuerza actuante origina un movimiento de rotacin continua del cuerpo;

cuya velocidad es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza y cuya duracin es

la misma que la de dicha fuerza. Este tipo de equilibrio lo poseen cuerpos cuya distribucin

de la masa es uniforme (por ejemplo la esfera con posicin de flotacin indiferente; el

cilindro cuya posicin de flotacin es indiferente con su eje longitudinal en la direccin

horizontal).

Las condiciones de equilibrio de un cuerpo flotante se explican con claridad utilizando como

ejemplo un barco (como el mostrado en la fig. a) cuya superficie de flotacin muestra una forma

simtrica con un eje longitudinal y otro transversal. La rotacin alrededor del primer eje se

conoce como Balanceo, y del segundo Cabeceo.

En La posicin de equilibrio (Sin fuerzas ocasionales) sobre el barco acta el peso W ejercido

en el centro de gravedad G, adems del empuje ascendente del lquido E que acta en el



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centro de flotacin o de carena, G1. Ambas fuerzas son iguales, colineales y de sentido

contrario.

Al producirse una fuerza ocasional el barco se inclina un ngulo y pasa a ocupar la posicin

mostrada en la fig. (b); el punto G1, pasa ahora a la posicin G1.

Por efecto de las cuas sombreadas- una que se sumerge y otra que emerge por encima de la

lnea de flotacin- se origina un movimiento producido por las fuerzas F1 y F2.

El empuje ascendente total E, en su nueva posicin G1, es la resultante de E en su

posicin original y las fuerzas F1 = F2 por efecto de las cuas.

El momento de la Fuerza Resultante con respecto a G1 ser igual a la suma algebraica de los

momentos de sus componentes, y considerando que es pequeo, por lo tanto W pasa por

G1.

mFnE 1 =

E

mFn 1

=

Clculo de 1F m .

1 cuadF d (1)= K K K K

Para un elemento de volumen ( d ) de la cua

ydAd cua = , donde gxy tan= .

dAxd cua tan=

)2(tan dAxd cua =

(2) (1): dAgtanxdF1 =

dM x tang dA x=

dAxgtandM 2=

dAxgtanMA

2 =

zIgtanM =

z1 IgtanmFM ==MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 61


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E

Igtann z

= ; sE =

s

z

s

z IgtanIgtann

=

=

Luego:

zI = Momento de Inercia del rea de la seccin del barco a nivel de la superficie de flotacin ab

con respecto al eje longitudinal Z del mismo que pasa por O.

El par de fuerzas E y W producen un momento M1 = W hsen, que tratar de volver al barco a

su posicin original o de voltearlo mas, hasta hacerlo zozobrar.

Para predecir el comportamiento del barco es importante conocer la posicin del punto M de

interseccin de E en G1, con el eje y del barco inclinado; punto que se denomina

metacentro y la altura metacntrica se indica con h. A medida que h aumenta es mas

estable la flotacin del cuerpo, es decir, ms rpidamente tratar de recobrar su posicin

original.

El equilibrio es estable si el punto M queda arriba del punto G (h>0) y es inestable si M

queda debajo de G; por tanto, la estabilidad del barco exige que sea h>0, esto es:

>

=

= 0s

z0 hsen

Igtanh

sen

nh , siendo pequeo, sen=tang

0

nh

sen

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Loayza Rivas Mecanica de Fluidos i