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5/24/2018 logaritmos.doc

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LOGARITMOS

Dado un nmero real apositivo, no nulo y distinto de 1, (a> 0; a0; a1), y un

nmero Npositivo y no nulo (N> 0; N0), se llama logaritmo en base ade Nal

exponentexal que hay que elevar dicha base para obtener el nmero

!ara indicar quexes el logaritmo en base ade Nse escribe"

logaN = x

y se lee #logaritmo en base ade Nes igual ax$

!or lo tanto, logaN = x (notaci%n logar&tmica) equivale a decir que ax= N

(notaci%n exponencial)

'otaci%n logar&tmica 'otaci%n exponencial

Consecuencias de la definicin de logaritmo1.l logaritmo de 1, en cualquier base, es 0" loga1 0, ya que a

0 1

2.l logaritmo de un nmero igual a la base es 1" logaa 1, ya que a1 a

3.l logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual alexponente de la potencia" logaa

m= m, ya que am am

.'o existe el logaritmo en cualquier base de un nmero negativo o cero

!.l logaritmo de un nmero Nmayor que cero y menor que 1, estrictamente, 0*N1

".l logaritmo de un nmero Nmayor que cero y menor que 1, estrictamente, 0*N


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#.l logaritmo de un nmero N>1 es positivo si la base es a>1

+s&, log- .; ya que . -

$.l logaritmo de un nmero N>1 es negativo si la base es a


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3. Logaritmo de una &otencia

l logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de labase de la potencia

logaXn= n logaX

Demostracin:

/ea logaX = x; esto signiica que axX

logaXn= loga(a

x)n logaanx = nx = n logaX

. Logaritmo de una ra'(

l logaritmo de una ra&3 es igual al logaritmo del radicando dividido entre el &ndice de lara&3

Demostracin:

ste es un caso particular del apartado anterior, logaritmo de una potencia

5bs6rvese que las propiedades anteriores se reieren al logaritmo de un producto, uncociente, una potencia y una ra&3, pero nada se ha dicho sobre el logaritmo de unasuma o una resta l logaritmo de una suma o de una resta no admite desarrollo

Logaritmos: ejercicios

1) Hallar el logaritmo de:

a) log24 =

b) log327 =

c) log216 =

d) log5 125 =

e) log3243 =

f) log20,5 =

g) log20,25 =

h) log20,125 =

i) log6 216 =

j) log 100000 =
http://soko.com.ar/matem/matematica/logaritmos.htmhttp://soko.com.ar/matem/matematica/logaritmos.htm


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Rta: a) 2, b) 3, c) 4, d) 3 e) 5, f) ! 1, g) ! 2, h) ! 3, i) 3, j) 5

2) Resol"er a#lica$do las #ro#iedades de logaritmos

a) log %5 3) =

b) log %23

3) =c) log %7 : 3) =

d) log %2 3 : 4)5=

e)

Rta: a) log 5 & log 3, b) 3 log 2 & log 3, c) log 7 ! log 3, d) 5 %log 2 & log 3 ! log 4), e) ' %log 3 &log 5) ! log 2

3) (ambio de base:

a) log25 = c) log37 =

b) log32 = d) log524 =

Rta: a) log 5 log 2, b) log 2 log 3, c) log 7 log 3, d) log 24 log 5

4) *c+acio$es:

Rta: a) 2 b) ! 4 - 4 c) 2 d) 2,3 - ! 1,3 e) 2

5) .ara determi$ar la edad de +$a roca la cie$cia act+alme$te ha #odido desarrollar +$a t/c$ica basadae$ la co$ce$traci$ de material radiacti"o e$ s+ i$terior (+a$to ms jo"e$ es la roca ma-orco$ce$traci$ de material radiacti"o e$co$traremos (%x)= 3 ! t es la frm+la +e se +tilia, do$de (%x)re#rese$ta la co$ce$traci$ del material radiacti"o, t el tiem#o tra$sc+rrido medido e$ cie$tos de


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aos - la co$ce$traci$ del eleme$to e$ el mome$to de formarse la roca i = 4500 a)8(+$totiem#o debe haber #asado #ara +e hallemos +$a co$ce$traci$ de 15009 b) 8+/ co$ce$traci$te$dr;amos al cabo de dos siglos 9 c)8 *$ +/ tiem#o se acabar;a este material 9

Rta: a) como t = 1, #asaro$ cie$ aos b) 1,7 10! mero cero, #or lo +e tericame$te siem#re +edar;a +$ m;$imo resto de material radiacti"o


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)*ercicios &ro&iedades logaritmacin+

/impliicar las siguientes expresiones"

recordando la propiedad del logaritmo de una potencia" 7ogba

n

n 7ogba , el t6rmino . 7oga8 se puedeescribir como 7oga8.por lo tanto queda"

teniendo en cuenta que 7ogb( p q ) 7ogbp 2 7ogbq y 7ogb( p " q ) 7ogbp 9 7ogbq , queda

operando y simpliicando se obtiene"

luego, se puede escribir que

aplicando la propiedad del logaritmo de un producto queda"

si ahora se tiene en cuenta la propiedad del logaritmo de una divisi%n

por lo tanto, la soluci%n es


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*?*R(@(@A B* ACDR@EFA

1 ) 10 log % 7 ) = 7

2 ) 10 2 & log % 3 ) = 10 2G 10 log % 3 ) = 100 G 3 = 300

3 ) log % 64 ) & log 4% 64 ) = log % 2 ) & log 4% 4 3) = 2 & 3 = 5

4 ) log 4% ) & log 4% 2 ) = log 4% G 2 ) = log 4% 16 ) = 2

5 ) log


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J 1 = 2 J 2 = 3

i log % 2 ) = a , log % 3 ) = b - log % 7 ) = c , e$to$ces:

1 ) log % 6 ) = log % 2 G 3 ) = log % 2 ) & log % 3 ) = a & b

2 ) log % 4< ) = log % 7 2) = 2 log % 7 ) = 2 c

3 ) log % 5 ) = log % 10 2 ) = log % 10 ) ! log % 2 ) = 1 ! a

4 ) log % 2 ) = log % 2 0,5 ) = 0,5 log % 2 ) = 0,5 a

5 ) log % 12 ) = log % 2 2 G 3 ) = log % 2 2) & log % 3 ) = 2 log % 2 ) & b = 2 a & b

6 ) log % 700 ) = log % 7 G 100 ) = log % 7 ) & log % 100 ) = c & 2

7 ) log % 0,5 ) = log % 2 ! 1) = ! log % 2 ) = ! a

) log % 3 7 ) = log % 3 ) ! log % 7 ) = b ! c

< ) log % 0,125 ) = log % 2 ! 3) = ! 3 log % 2 ) = ! 3 a


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),)RCICIOS -) LOGARITMOS

@ ) (alc+lar :1 ) log 2 = R : 32 ) log 3< = R : 23 ) log 42 = R : 0,5

4 ) log 273 = R : 1 35 ) log 50,2 = R : 16 ) log 20,25 = R : 27 ) log 0,516 = R : 4 ) log 0,1100 = R : 2< ) log 327 & log 31 = R : 310 ) log 525 log 55 = R : 111 ) log 464 & log 64 = R : 512 ) log 0,1 log 0,01 = R : 113 ) log 5 & log 20 = R : 2

14 ) log 2 log 0,2 = R : 115 ) log 32 log 2 = R : 516 ) log 3 log 1 = R : 0,2517 ) log 23 log 34 = R : 21 ) log


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@@@ ) i log 2 = 0,301 , log 3 = 0,477 - log 7 = 0,45 , e$to$ces :1 ) log = R : 0,


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CAMBIO DE BASE

.ara +$ mismo $>meroXeJiste$ i$fi$itos logaritmos, de#e$die$do de la base +e se tome

.or ejem#lo, el logaritmo de es 1, M1, 3, M3, 0,mero e$ otra base b, si$ ms +e a#licar la sig+ie$te frm+la:

Demostracin:

N Eoma$do logaritmos e$ base ae$ la ig+aldad a$terior, se tie$e:loga a

D= logabONA logaa =B logab

N Bes#eja$doB, - te$ie$do e$ c+e$ta +e logaa= 1, se tie$e:

Ejercicios: abie$do +elog2 = 3, calc+lar log16

Resolucin:

abie$do +e log327 = 3, calc+lar log


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LOGARITMOS DECIMALES Y LOGARITMOS NEPERIANOS

Be todas las #osibles bases +e #+ede$ tomarse #ara los logaritmos, las ms +s+ales so$ la base 10 - la base e

os logaritmos +e tie$e$ base 10 se llama$ logaritmos decimales, logaritmos "+lgares o logaritmos de Origgs, -#ara re#rese$tarlos se escribe se$cillame$te logsi$ $ecesidad de es#ecificar la base:

log10X = log X

as tablas +e tradicio$alme$te se ha$ +sado #ara calc+lar logaritmos, so$ tablas de logaritmos decimales

e escribe$ a co$ti$+aci$ alg+$os ejem#los de logaritmos decimales:

log1 = 0 #+esto +e 100 = 1 log10 000 = 4 #+esto +e 104 = 10 000log10 = 1 #+esto +e 101 = 10 log0,1 = M1 #+esto +e 10M1 = 0,1

os logaritmos +e tie$e$ base ese llama$ logaritmos neperianoso $at+rales .ara re#rese$tarlos se escribe lnobie$L:

logeX = ln X = LX

Dlg+$os ejem#los de logaritmos $e#eria$os so$:ln 1 = 0 #+esto +e e0 = 1ln e2 = 2 #+esto +e e2 = e2ln eM1= M1 #+esto +e eM1= eM1

*l $>mero etie$e gra$ im#orta$cia e$ las Fatemticas Po es racio$al %$o es cocie$te de dos $>meros e$teros) - esel l;mite de la s+cesi$

+ "alor, co$ seis cifras decimales, es

e= 2,7121

Relaci etre logaritmos !ecimales " e#eriaos

(o$ocido el logaritmo decimal de +$ $>mero, la frm+la +e #ermite obte$er s+ logaritmo $e#eria$o es:

(o$ocido el logaritmo $e#eria$o de +$ $>mero, la frm+la +e #ermite obte$er s+ logaritmo decimal es:

log1aX = -logaX


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os logaritmos logab - logbaso$ i$"ersos

Ejercicios: Bado el log25 = 1,3


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R)%R)S)TACI/ GR0ICA -) A CI/ LOGARTMICA

7a funcin logartmicade base aes aquella unci%n que asigna a cada nmero sulogaritmo en base a

!uesto que los nmeros negativos no tienen logaritmo, la unci%n logar&tmica se deine

en el con:unto de los nmeros reales positivos excluido el cero, y toma valores en elcon:unto de los nmeros reales

representa al con:unto de los nmeros reales positivos, excluido el cero

n la representaci%n gr4ica de la unci%n logar&tmica conviene distinguir dos casos"

A4unci%n logar&tmica de base mayor que 1"

a > 1

7a representaci%n gr4ica pone de relieve los principales resultados sobre logaritmos"

l logaritmo de 1 es cero" loga1 0

l logaritmo de la base es la unidad"

logaa 1

7os nmeros comprendidos entre 0 y 1 (0 *x* 1) tienen logaritmo negativo

7os nmeros mayores que 1 (x> 1) tienen logaritmo positivo

7a unci%n es creciente

54unci%n logar&tmica de base menor que 1"

a


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l logaritmo de la base es la unidad"

logaa =1

7os nmeros comprendidos entre 0 y 1 (0 *x 1) tienen logaritmo negativo

7a unci%n es decreciente

)*ercicio+


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/e llama funcin exonencialde base a, siendo aun nmero real positivo y distinto de1, a la unci%n

sta unci%n se escribe tambi6n como f!x" = exaxy se lee #exponencial en base a

dex$

+ntes de dar un e:emplo de unci%n exponencial, conviene recordar algunaspropiedades de las potencias"

)*em&los de funciones e7&onenciales1.7a unci%n y .x es una unci%n exponencial de base . +lgunos de los valores


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%ro&iedades de la funcin e7&onencial y = ax

1a !arax 0, la unci%n toma el valor 1" f(0) a0 1

.a !arax 1, la unci%n toma el valor a" f(1) a1 a

a 7a unci%n es positiva para cualquier valor de x" f!x ">0

sto es debido a que la base de la potencia, a, es positiva, y cualquier potencia debase positiva da como resultado un nmero positivo

?a /i la base de la potencia es mayor que 1, a>1, la unci%n es creciente

8a /i la base de la potencia es menor que 1, a


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R)LACI/ )TR) LAS CIO)S LOGARTMICAS 9 )6%O)CIAL)S7a unci%n logar&tmica es la inversa de la unci%n exponencial !ara comprobar quedos unciones son inversas basta con"

1o Antercambiar entre s& las variablesxe yen una de las dos unciones

.o Despe:ar la variable y, y comprobar que se obtiene la otra unci%n

n este caso"

1o n la unci%n logar&tmica y = logaxse intercambiaxpor y,

obteniendo"x = logay

.o Despe:ando la variable yenx logay, se tiene y = a

x, es decir la unci%n

exponencial

7as gr4icas de dos unciones inversas son sim6tricas respecto de la bisectri3 delprimer y tercer cuadrante


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Logaritmos de base diez: (+a$do escribimos la #alabra log - $o aclaramos de +e base se trata, setoma % #or co$"e$ci$ o ac+erdo) +e la base es die

*$ t+ calc+ladora "as a e$co$trar +$a tecla +e dice log *sta tecla halla a+tomticame$te el logaritmode base die

og 2 = %*$ la ma-or;a de las calc+ladoras basta co$ #o$er el 2 - des#+/s a#retar la teclalog )

*l res+ltado es la #ote$cia a la +e tie$es +e ele"ar a 10 #ara +e te de 2

10= 2

i te$emos el "alor del logaritmo - +eremos saber el "alor del $>mero al +e le hemos efect+ado estao#eraci$ tambi/$ +tiliamos la calc+ladora:

log = 0,30102mero *$ este caso, al #ri$ci#io estaba e$ base dos - lacambiamos a base die

Ce$eralia$do:

Logaritmo Ne#eriao o Nat%ral&

os logaritmos so$ o#eracio$es matemticas am#liame$te +sadas, es #or eso +e los hallamos e$ lascalc+ladoras cie$t;ficas *$tre todos los $>meros +e se #+ede$ em#lear como base e$co$tramos dos+e so$ los ms dif+$didos:

a) Log%+e -a lo hemos "isto)


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b) a otra base es +$ "alor co$sta$te de$omi$ado e%2,71212) c+-o logaritmo, #ara difere$ciarlodel a$terior, se de$omi$a logaritmo naturalo $e#eria$o e escribe l .or s+#+esto +e #aracalc+larlo tambi/$ #odemos +tiliar la calc+ladora, basta co$ teclear el $>mero - l+ego la tecla l

ogaritmos de base die: (+a$do escribimos la #alabra log - $o aclaramos de +e base se trata, setoma % #or co$"e$ci$ o ac+erdo ) +e la base es die

*$ t+ calc+ladora "as a e$co$trar +$a tecla +e dice l *sta tecla halla a+tomticame$te el logaritmode base e

og 2 = % *$ la ma-or;a de las calc+ladoras basta co$ #o$er el 2 - des#+/s a#retar la tecla l$ )

*l res+ltado es la #ote$cia a la +e tie$es +e ele"ar a e#ara +e te de 2

e= 2

i te$emos el "alor del logaritmo $e#eria$o - +eremos saber el "alor del $>mero al +e le hemos

efect+ado esta o#eraci$ tambi/$ +tiliamos la calc+ladora:l$ = 0,30102


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o$ f+$cio$es do$de el dominio debe ser mayor que cero, #+es $o eJiste el logaritmo de cero $i de +$$>mero $egati"o, el #or +e de dicha caracter;stica reside e$ el hecho +e al ele"ar +$a base #ositi"a$+$ca #+ede obte$erse como res+ltado +$ "alor $egati"o $i me$or de cero .ara hallar el domi$io de laf+$ci$ co$"ie$e establecer +$a i$ec+aci$ co$ la f+$ci$ afectada #or el logaritmo %u%x) 0) -des#ejarx.a sol+ci$ de dicha i$ec+aci$ ser el domi$io de la f+$ci$ %siem#re - c+a$do $o see$c+e$tre +$a "ariablex#or f+era del logaritmo)

a image$ de la f+$ci$ abarca a todo el co$j+$to de los $>meros reales

%x) = l$ % u%x))

Bomi$io : u%x) 0

@mage$: R %reales)

Q+$ci$ *J#o$e$cial: D+;xes la #ote$cia %x)= ax

*l domi$io de esta f+$ci$ es el co$j+$to de los $>meros reales, c+al+ier real #+ede ser #ote$cia *l#roblema lo e$co$tramos e$ las bases, estas debe$ ser #ositi"as, ma-ores +e +$o - disti$tas de cero8.or +/ slo #ositi"as9 .ara hallar la res#+esta toma +$ "alor $egati"o #ara ae i$te$ta graficarlo,e$co$trars "arios #roblemas: a) todas las #ote$cias #ares dar$ res+ltados #ositi"os, las #ote$cias$egati"as co$ser"ar$ el sig$o de la base, #or lo +e te$dremos +$a s+cesi$ de $>meros #ositi"os -

$egati"os #ero $i$g>$ cero de la f+$ci$ e$ medio b) las #ote$cias fraccio$arias c+-o de$omi$adorsea #ar %ra;ces #ares) $o te$dr$ image$

(omo la base debe ser #ositi"a, la image$ de la f+$ci$ est dada e$ los reales #ositi"os, i$cl+idos elcero

Ds; como la f+$ci$ logar;tmica ms +tiliada es la del logaritmo $e#eria$o %e$ base e), la f+$ci$eJ#o$e$cial ms +sada ser la de base e: %x) = ex


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PRUEBA DE MATEMTICA

NOMBRE:

1. Determina el valor de x:

a) logx(1/25) = -2

b) log0,52 = x

c) logxo,25 = 0,5

d) log2(1/4) = x

2. Desarrolla, tili!ando las "ro"iedades de los logaritmos:

a)

b)

c)

#. $x"resa como n solo logaritmo:

a)

b) -log a - log b

c) log a % 2 - 2log b

4. Dados log 2 = 0,# & log # = 0,4', calcla:

a) log 1

b) log

c) log 15

d) log 0,'5

e)


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'( MEDIO PR)EBA DE LOGARITMOS

NOMBRE:

1 Era$sforma a la forma eJ#o$e$cial - calc+la J *+ #%to ca!a %a,

a) log2x = 4 b) loxx1 = 4 c) logx(1/) = #

d) log1/2x = -# e) log24 = x *) log4x = #/2

2 Besarrolla, a#lica$do las #ro#iedades de los logaritmos: *- #%to ca!a %a,

a) log

a) log (#ab) b) log (5a/2) c) log (4a2/#)

d) log (a#b5) e) log (2/ab)*) log

g)

+)

i) log

) log ) log

l) log (abc)#

m)log (a2- b2) n)log (a4- b4) ) log (m - n)/2

ACDR@EFA: B*Q@P@(@SP T .RA.@*BDB*

1) Betermi$a J +tilia$do la defi$ici$ de logaritmos

a) log2J = 4 b) log5J = 0 c) log34J = 2d) log12J = M3 e) loJJ1 = 4 f) logJ16 = M4g) logJ%1) = 3 h) log264 = J i) log3%11) = Jj) log4J = 32 ) logJ4 = M25 l) log164J = 56

2 Besarrolla a#lica$do las #ro#iedades de los logaritmos:


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a) log %3ab) b) log %5a2) c) log %4a23)d) log %a3b5) e) log %2ab) f) logg) h) i) logj) log ) log l) log %abc)3m)log %a2 M b2) $)log %a4 M b4) ) log K%m M $)2L

3 Red+ce las eJ#resio$es sig+ie$tes a +$ solo logaritmo:a) log a & log b b) log J M log -c) 12 log J & 12 log - d) log a M log b M log ce) log a & log b M log c M log d f) log J M 2 log - & log g) 25 log a & 35 log b h) log a & 12 log b M 4 log ci) 12 log a M 23 log b & 34 log c j) log %J & -) M log 3) 13%log a M 3log b) & 14%log c M 3log d) l) Mlog a M log b

4 abie$do +e log 2 = 0,3 log 3 = 0,47 log 5 = 0,6< - log 7 = 0,4 calc+la, slo +tilia$do estos"alores, los sig+ie$tes logaritmos:

a) log 4 b) log 12 c) log 1 d) log 42 e)f) g) log %57) h) log 3,5 i) 2log 250 j) %log 1)U%log 16)

5

1) log 4J = 3log 2 & 4log 3

2) log %2JM4) = 2

3) 4log %3 M 2J) = M1

4) log %J & 1) & log J = log %J &

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