Matemática (Função Quadrática)

Pedro Rosa

116 1. Deseja-se construir um galpão com base retangular de perímetro igual a 100 m. A área máxima possível desse retângulo é: a) 575m2 b) 600m2 c) 625m2 d) 650m2 e) 675m2

Gab: C 2. Em um terreno, na forma de um triângulo retângulo, será construído um jardim retangular, conforme figura abaixo.

Sabendo-se que os dois menores lados do terreno medem 9 m e 4 m, as dimensões do jardim para que ele tenha a maior área possível, serão, respectivamente, a) 2,0 m e 4,5 m. b) 3,0 m e 4,0 m. c) 3,5 m e 5,0 m. d) 2,5 m e 7,0 m. Gab: A 3. Um jogador de futebol se encontra a uma distância de 20 m da trave do gol adversário, quando chuta uma bola que vai bater exatamente sobre essa trave, de atura 2 m. Se a equação da trajetória da bola em relação ao sistema de coordenadas indicado na figura é y = ax² + (1 – 2a)x, a altura máxima atingida pela bola é:

y

x

P(20,2)2

20 a) 6,00 m b) 6,01 m c) 6,05 m d) 6,10 m e) 6,50 m Gab: C

4. Deseja-se construir uma casa térrea de forma retangular, de modo que ocupe totalmente a área do terreno. O retângulo onde a casa será construída tem 80m de perímetro. Sabendo que a área da casa deve ser a maior possível, podemos afirmar que a casa será: a) retangular, com 80m2 de área. b) quadrada, com 100m2 de área. c) retangular, com dimensões 30m x 10m. d) quadrada, com 20m de lado. e) retangular, com 256m2 de área. Gab: D 5. Um veículo foi submetido a um teste para a verificação do consumo de combustível. O teste consistia em fazer o veículo percorrer, várias vezes, em velocidades constantes, uma distância de 100 km em estrada plana, cada vês a uma velocidade diferente. Observou-se então que, para velocidades entre 20 km/h e 120 km/h, o consumo de gasolina, em litros, era função da velocidade, conforme mostra o gráfico seguinte.

Consumo (litros)

20 60 100 120

10

8

Velocidade (km/h) Se esse gráfico é parte de uma parábola, quantos litros de combustível esse veículo deve ter consumido no teste feito à velocidade de 120 km/h? a) 20 b) 22 c) 24 d) 12,5 e) 28 Gab: D

6. O retângulo assinalado na figura possui área máxima.

Essa área é igual a a) 12 b) 10 c) 15 d) 8 e) 14 Gab: A 7. Um engenheiro, estudando a resistência de uma viga de certo material, obteve os seguintes dados:

O engenheiro suspeita que a deformação D pode ser dada em função do peso x por uma expressão do tipo D(x) = ax2 + bx + c. Usando os dados da tabela, ele escreve um sistema de equações lineares e determina os valores dos coeficientes a, b, c. O valor de a é: a) 9 b) 3

c) 3

1

d) 12

1

e) 36

1

Gab: D 8. Os cabos da ponte pênsil, indicada na figura abaixo, tomam a forma de arcos de parábola do segundo grau. As torres de suporte têm 24 m de altura e há um intervalo entre elas de 200 m. O ponto mais baixo de cada cabo fica a 4 m do leito da estrada. Considerando o plano horizontal do tabuleiro da ponte contendo o eixo dos x e o eixo de simetria da parábola como sendo o eixo dos y, perpendicular a x, determine o comprimento do

elemento de sustentação BA , que liga verticalmente o

cabo parabólico ao tabuleiro da ponte, situado a 50 m do eixo y.

Gab: 9,0m 9. Por ocasião da inauguração de um edifício, um promotor de eventos decidiu fazer uso simultâneo das projeções de um jato de água e de um canhão de luz efetuadas a partir de um pequeno prédio vizinho, localizado a 18 metros do edifício novo. O jato será lançado a partir do teto do pequeno prédio (a 9 metros de altura) e, após executar sua trajetória parabólica, atingirá a base do prédio novo. O canhão de luz, por sua vez, será disparado a partir do chão, da base do pequeno prédio. Seu feixe de luz atravessará exatamente o vértice da “parábola de água” e atingirá o topo do novo edifício, que se encontra a 36 metros de altura (conforme a figura abaixo). O jato de água e o feixe de luz se encontrarão, a partir do solo, à altura de

a) 11 metros. b) 12 metros. c) 13 metros. d) 14 metros. e) 15 metros. Gab: B

10. Na gravura abaixo, é possível observar as trajetórias parabólicas descritas pela água jogada por meio de duas bombas. Considere que as bombas e os pontos de alcance atingidos pela água sejam colineares, que a primeira bomba esteja localizada na origem de um sistema cartesiano e que o ponto mais alto da curva formada pelo jato dessa bomba tenha coordenadas (1, 2).

Com base nos textos e em seus conhecimentos, é correto afirmar que a função que determina a parábola representada no jato d’água e o ponto no qual esse jato chega ao solo são, respectivamente,

a) f(x) = 2x2 4x; P(2, 0)

b) f(x) = 2x2 4x; P(2, 0)

c) f(x) = +2x2 + 4x; P(2, 0)

d) f(x) = 2x2 4x; P(2, 0)

e) f(x) = 2x2 + 4x; P(2, 0) f) I.R. Gab: E 11. Fez-se um projeto para cercar com tela uma quadra de esportes retangular, aproveitando um muro paralelo a essa quadra, conforme representa a figura C.

Figura C

A quantidade de tela disponível é m220 . Sabendo que a área a ser cercada é dada por xyA , o valor numérico

da área máxima cercada é:

a) 2m1006 .

b) 2m0006 .

c) 2050m 6 .

d) 2m10012 .

e) 2m05010 .

Gab: C

12. Observe o portal de entrada de um museu de arte moderna, em forma de arco de parábola, esboçado a seguir:

Sabendo-se que a distância entre os pontos A e B, em que o arco toca o chão (horizontal), é de 6 metros, e que um homem de 2,0 metros de altura ereto encosta a cabeça no arco no ponto C quando seus pés distam 1 metro do ponto A, isto é, o segmento CD na figura mede 2,0 metros e é perpendicular ao segmento AD que mede 1 metro, então a altura máxima do portal, em centímetros, é: Gab: 360 13. Uma caixa de embalagens dos Correios, em formato de paralelepípedo reto-retângulo, foi utilizada pelo partido A para envio de materiais de campanha (cartazes, santinhos, ...) nas últimas eleições.

A função S(x) que representa a área da folha de papelão retangular utilizada para construção da caixa, conforme a planificação dada na figura, é a) S(x) = 4x2 + 900x + 48600 b) S(x) = 630x + 48600 c) S(x) = -4x2 + 180x + 48600 d) S(x) = -3x2 - 135x + 81000 e) S(x) = 3x2 - 135x - 81000 Gab: A

x

x

y

14. Um sitiante quer construir, ao lado de um muro retilíneo, dois viveiros retangulares para criação de galinhas e patos, sendo que a área destinada aos patos (P) tem que ter 40 m2 a mais que a destinada às galinhas (G). Para isso ele dispõe de 60 metros lineares de uma tela apropriada, que deverá ser usada para as cercas AB, CD, EF e BF, conforme a figura abaixo:

Para conseguir a maior área possível para os viveiros, a medida DF deverá ser de: a) 15 metros b) 16 metros c) 17 metros d) 18 metros e) 19 metros Gab: C 15. A janela de Norman é formada por um retângulo e um semicírculo justaposto, como ilustrado a seguir

Se a janela deve ter perímetro p e área máxima, qual deve ser o comprimento da sua base? a) ) 23/(p

b) ) 32/(p

c) ) 23/(p2

d) ) 32/(p2

e) ) 4/(p2

Gab: E 16. Uma caixa em forma de prisma, de base triangular eqüilátera, será cheia com bolas maciças iguais, de forma que seus diâmetros vão diminuindo para cada vez caber uma quantidade maior de esferas iguais. A quantidade de esferas que tangenciam cada lado do triângulo é igual a n, com n natural tal que 3n . Fazendo n variar de forma crescente e sabendo-se que existem esferas interiores que não tangenciam nenhum

lado, outras que tangenciam um ou dois lados, determine a função E(n) que define a quantidade de esferas interiores em função da quantidade n.

a) 13n.7n)n(E 2

b) 172

n.5

2

n)n(E

2

c) )1n.(3n)n(E 2

d) 32

n.5

2

n)n(E

2

e) 1n.8n.2)n(E 2

Gab: D 17. Um terreno retangular tem 800 m de perímetro e

será dividido pelos segmentos PA e CQ em três partes,

como mostra a figura.

Admita que os segmentos de reta PA e CQ estão

contidos nas bissetrizes de dois ângulos retos do terreno e que a área do paralelogramo PAQC tem medida S. Determine o maior valor, em m2, que S pode assumir. Gab: S = 20.000 m2

18. Para a construção de uma pousada, deseja-se cercar três lados de um terreno situado às margens de um rio, de modo que ele fique com a forma retangular, conforme a figura abaixo.

Sabe-se que o metro linear da cerca paralela ao rio custa R$ 12,00, das cercas perpendiculares ao rio custam R$ 8,00 e que o proprietário irá gastar R$ 3.840,00 com a construção total da cerca. Nessas condições, construa o gráfico da função que representa a área do terreno, em função da dimensão x, e determine as dimensões do terreno para que a sua área seja máxima. Gab:

Como o vértice dessa parábola indica a área máxima do terreno, tem–se que x = 120 m é uma das dimensões do terreno cuja área é máxima, com 19.200 m2. A outra dimensão do terreno é:

m 160120

200.19y

19. Um agricultor, que dispõe de 60 metros de tela, deseja cercar uma área retangular, aproveitando-se de dois trechos de muro, sendo um deles com 12 metros de comprimento e o outro com comprimento suficiente, conforme a figura abaixo.

Sabendo que ele pretende usar exatamente os 60 metros de tela, pode-se afirmar que a expressão que representa a área cercada y, em função da dimensão x indicada na figura, e o valor da área máxima que se pode obter nessas condições são, respectivamente, iguais a a) y = –2x2 +24x + 576 e 648 m2. b) y = –2x2 –24x + 476 e 548 m2. c) y = –x2 +36x + 576 e 900 m2. d) y = –2x2 +12x + 436 e 454 m2. e) y = –x2 +12x + 288 e 288 m2. Gab: A 20. No piso, em um espaço em forma de semicírculo de raio 2 m, no hall de um shopping center, será colocado um tapete retangular. Para que a área a ser coberta seja

máxima, o comprimento do tapete deverá ser de 2 2 m e ser disposto como se estivesse inscrito no semicírculo. Quantos metros quadrados de tapete serão necessários para cobrir a maior área possível?

a) 4 2 b) 4 c) 8

d) 2 2

e) 4 Gab: B