Logique, vocabulaire ensembliste et raisonnementblazere.ece1.free.fr/2017_2018/Cours/Chapitre2.pdf · 2.2. CONNECTEURS LOGIQUES On retiendra que : 1. Pour montrer qu’une proposition

Chapitre 2

Logique, vocabulaire ensembliste etraisonnement

Sommaire2.1 Quelques bases de vocabulaire et de logique . . . . . . . . . . . . . . 34

2.1.1 Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.1.2 Différents types d’énoncés mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2 Connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2.1 Connecteurs logiques et opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2.2 Règles relatives à la négation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.2.3 Règles relatives au et et au ou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2.4 Règles relatives à l’implication et à l’équivalence . . . . . . . . . . . . . 40

2.3 Notion d’ensembles et opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . 412.3.1 Notion d’ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3.2 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.4 Différents types de raisonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.4.1 Raisonnement direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.4.2 Raisonnement par contraposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.4.3 Raisonnement par double implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.4.4 Réfutation par contre-exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.4.5 Raisonnement par disjonction de cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.4.6 Raisonnement par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.4.7 Démontrer une (in)égalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.4.8 Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Ce chapitre présente des points de vocabulaire, des notation, ainsi que certains types de raisonne-ment (par l’absurde, par contraposée, par récurrence...) et de démonstration (d’implications, d’équi-valences, d’inclusions...) dont la maîtrise s’avère indispensable à une argumentation rigoureuse surle plan mathématique.

Le terme de logique était inconnu à Aristote qui, néanmoins, a été l’auteur de la première doctrinelogique systématique, dans laquelle l’élève détermine, pour les opérations de l’esprit, lesquelles sontvalides, lesquelles ne le sont pas. Cette étude est conduite d’un point de vue formel, c’est-à-direindépendamment du contenu proprement dit. Les traités d’Aristote consacrés à la logique (PremiersAnalytiques, Seconds Analytiques, etc.) ont été rassemblés, au IIème siècle ap. J-C. sous le nomd’Organon, c’est-à-dire Instrument de la pensée. Aristote, dans cette œuvre logique s’attache à la

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démonstration, c’est-à-dire au syllogisme partant de prémisses vraies et premières et procédant demanière scientifique et rigoureuse.

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CHAPITRE 2. LOGIQUE, VOCABULAIRE ENSEMBLISTE ET RAISONNEMENT

2.1 Quelques bases de vocabulaire et de logique

2.1.1 Quantificateurs

• Pour exprimer qu’un énoncé mathématique est vrai quelque soit la valeur de lavariable, on utilise le quantificateur universel, noté ∀, qui se lit « quelque soit »ou « pour tout ».

• Pour exprimer qu’un énoncé mathématique est vrai pour au moins une valeur dela variable, on utilise le quantificateur existentiel, noté ∃, qui se lit « il existe(au moins) un ».

• Pour exprimer qu’un énoncé mathématique est vrai pour une unique valeur de lavariable, on utilise le pseudo quantificateur existentiel, noté ∃!, qui se lit « ilexiste un unique ».

Définition 2.1 (Quantificateurs)

Exemple 2.1.

• L’énoncé mathématique « ∀n ∈ N, n2 ≥ n » se lit « pour tout n entier naturel, n2 estsupérieur ou égal à n ».

• L’énoncé mathématique « ∃x ∈ N, x2 − 5x+4 = 0 » se lit « il existe un entier naturel x telque x2 − 5x+ 4 = 0 ».

• L’énoncé mathématique « ∃!x ∈ R, x + 2 = 0 » se lit « il existe un unique réel x tel quex+ 2 = 0 ».A l’inverse, il est aussi important de savoir passer du langue naturel au langage mathéma-tiques.

• L’énoncé « Etant donné un nombre entier naturel quelconque, en lui ajoutant 2, on obtientencore un nombre entier naturel », se traduit par :

∀n ∈ N, n+ 2 ∈ N.

Exercice 2.1.1. Traduire par une phrase les expressions suivantes :

(a) ∀x ∈ R, ∀y ∈ R, x+ y = y + x.(b) ∃x ∈ [0; +∞[ , x2 − 2x+ 1 = 0.

2. Soit f une fonction définie sur un intervalle I.Exprimer à l’aide des quantificateurs les propositions suivantes :

(a) La somme de deux nombres positifs estun nombre positif.

(b) f ne s’annule pas sur I.

(c) f prends deux fois la même valeur sur I.

Exercice 2.2. ✒

1. Traduire par une phrase les expressions suivantes :(a) ∃y ∈ R, ∀x ∈ R, y ≤ x

(b) ∃x ∈ R, ∃y ∈ R, xy = 1.(c) ∀x ∈ R+, ∃ y ∈ R, x = y2.

2. Soit f une fonction définie sur un intervalle I.Exprimer à l’aide des quantificateurs les propositions suivantes :

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2.1. QUELQUES BASES DE VOCABULAIRE ET DE LOGIQUE

(a) Le carré de n’importequel réel est un nombrepositif.

(b) Tout réel positif possèdeune racine carrée.

(c) f admet un minimum sur

I.(d) f est constante sur I.(e) f est croissante sur I.

• Les quantificateurs identiques commutent.Par exemple :

�∀x ∈ E, ∀y ∈ F, . . .

�≡

�∀y ∈ F, ∀x ∈ E, . . .

�.

De même �∃x ∈ E, ∃y ∈ F, . . .

�≡

�∃y ∈ F, ∃x ∈ E, . . .

�.

Ainsi les phrases mathématiques

∀x ∈ R, ∀y ∈ R, x+ y = y + x

et∀y ∈ R, ∀x ∈ R, x+ y = y + x

ont même sens.De même, les phrases mathématiques

∃x ∈ R, ∃y ∈ R, xy = 1

et∃y ∈ R, ∃x ∈ R, xy = 1

ont même sens.

Remarque 2.7 (Ordre des quantificateurs)

� De façon générale, on ne peut pas intervertir l’ordre de deux quanti-ficateurs différents ! Ainsi

�∃x ∈ E, ∀y ∈ F, . . .

�n’est pas équivalent à�

∀y ∈ F, ∃x ∈ E, . . .�. Par exemple, si f : R → R est une fonction, les phrases

mathématiques suivantes :

∃M ∈ R, ∀x ∈ R, f(x) ≤ M et ∀x ∈ R, ∃M ∈ R, f(x) ≤ M

n’ont pas le même sens ! L’une peut-être vraie et l’autre fausse.

1. Ne pas mélanger des quantificateurs avec du texte en français. Je ne veux pas voirécrit « ∀x ∈ R, cosx est compris entre -1 et 1 » mais « ∀x ∈ R,−1 ≤ cosx ≤ 1 » ou« Pour tout x réel, cosx est compris entre -1 et 1 ».

2. Lorsqu’une question commence par "Montrer que pour tout x ∈ I, ...", la réponsedoit commencer par "Soit x ∈ I".

Remarque 2.8 (Rédaction)

2.1.2 Différents types d’énoncés mathématiques

Les énoncés du monde mathématiques font intervenir des ensembles de nombres (N,R, ...), desconstantes (0, 2, ln 2, ...), des variables (x, u,m, a, ...), des opérations (+,×,−, ...), des relations(=,≤, >, ...), des symboles (∀, ∃,∈,⊂, ...), etc.



• Une proposition /assertion/ affirmation est un énoncé qui peut être vraiou faux. Par exemple « 3 = 7 » est une assertion fausse, « 3 = −(−3) » est uneassertion vraie, « 2 est un nombre pair » est une assertion vraie. On utilisera plutôtle terme de proposition pour parler d’une assertion vraie.

• Un théorème est une proposition vraie (ou en tout cas démontrée comme telle)particulièrement importante, un lemme est une proposition intermédiaire utileà la démonstration d’une autre proposition et un corollaire est la conséquenced’une proposition ou d’un théorème.

• La démonstration d’une assertion est un processus respectant strictement lesrègles de la logique, partant des hypothèses, supposées vraies, et en aboutissantà la conclusion attendue. La démonstration permet d’établir qu’une assertion estvraie.

• Une conjecture est une assertion dont on pense qu’elle est vraie, mais qui n’apas été démontrée.

Définition 2.2

Exercice 2.3. Dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses : « Tout carré d’un nombreréel est un réel positif », « La fonction logarithme est toujours positive ».

Une assertion est complète si toutes les variables qui interviennent dedans sont quanti-fiées par un quantificateur ∀ ou ∃.

Définition 2.3

Exemple 2.2.

L’ assertion « ∀x ∈ R, x > 1 » est complète (à noter qu’elle est fausse), de même que « 3 > 7 ».Par contre, l’assertion « x > 1 » n’est pas complète, car elle dépend de la variable x. Or, il n’a pasété précisé à quoi x faisait référence. De ce fait, on ne peut pas dire si cette assertion est vraie oufausse.

� Lorsqu’un calcul, une preuve...fait intervenir des variables, on précisera toujoursà l’aide de quantificateur à quels ensembles les variables appartiennent.

Le jeu mathématiques consiste ensuite à établir si des assertions complètes sont vraies ou fausses.

Exercice 2.4. Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses :

1. ∃y ∈ R, ∀x ∈ R, y ≤ x

2. ∀x ∈ R, x2 > 0

3. ∃x ∈ R,√x2 �= x

4. ∃x ∈ R, ∀y ∈ R, x+ y > 0

5. ∀x ∈ R, ∃y ∈ R, x+ y > 0

Exercice 2.5. ✒ Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses :

1. ∀x ∈ R, x = exp(lnx)

2. ∃x ∈ R,√x = −x

3. ∀x ∈ R, ∀x� ∈ R, (x �= x� ⇒ f(x) �= f(x�)).

4. ∀x ∈ R, ∀y ∈ R, x2 = y2 ⇒ x = y

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2.2. CONNECTEURS LOGIQUES

On retiendra que :1. Pour montrer qu’une proposition du type « ∀x ∈ I,P(x) » est fausse, il suffit de

trouver un contre-exemple, c’est à dire une valeur de x telle que la propositionP(x) ne soit pas vérifiée.

2. Pour montrer qu’une proposition du type « ∃x ∈ I,P(x) » est vraie, il suffit detrouver une valeur de x telle que la proposition P(x) soit vérifiée.

Remarque 2.9

Un prédicat est un énoncé qui dépend d’une ou plusieurs variables et qui est une formeincomplète d’assertion.

Définition 2.4

Exemple 2.3. P(x) : « x ≥ 0 » est un prédicat dépendant d’un nombre réel x. En spécifiant x,on obtient une assertion complète. Par exemple P(2) est une assertion complète vraie, alors queP(−2) est une assertion complète fausse.

Deux prédicats P et Q sont logiquement équivalents s’ils ont la même valeur de véritépour toutes les valeurs des variables dont ils dépendent (c’est à dire si pour une valeurdonnée de x, ils sont soient tous les deux vrais, soient tous les deux faux). On note P ≡ Q.

Définition 2.5

Exemple 2.4. Le prédicat Q(x) : « −x ≤ 0 » est logiquement équivalent à P(x) : « x ≥ 0 ».

2.2 Connecteurs logiques

2.2.1 Connecteurs logiques et opérations

Exemples de connecteurs logiques

Les connecteurs logiques permettent de créer une nouvelle proposition à partir d’une ou plusieursproposition. On les définit à l’aide de tables de vérité.



Soit P et Q deux propositions• Négation : la négation de (P) est (non P).

C’est la proposition qui dit le contraire de P.• Et : (P et Q) est la proposition qui est vraie lorsque P et Q sont toutes les deux

vraies.• Ou : (P ou Q) est la proposition qui est vraie sauf si P et Q sont toutes les deux

fausses.Autrement dit, la proposition est vraie si P seule est vraie ou si Q seule est vraieou si les deux sont vraies.

• Implication : (P ⇒ Q) est la proposition qui exprime l’idée que si P est vraiealors Q doit être vraie aussi ( sans qu’il y ait pour autant une relation de causeà effet).

• Equivalence : (P ⇔ Q) est la proposition exprime l’idée que P et Q sont vraiessimultanément.Autrement dit

(P ⇔ Q) signifie (P ⇒ Q) et (Q ⇒ P)

Définition 2.6 (Connecteurs logiques)

� Le « ou » mathématique est inclusif, il est vrai lorsque exactement l’une despropositions qui le compose est vraie, mais aussi lorsque les deux sont vraiessimultanément (c’est un « ou » au sens large). Il ne faut pas le confondre avec le« ou » exclusif, qui marque l’alternative (par exemple « fromage ou dessert »).

Remarque 2.10

Soit P et Q deux propositions.

P non P

V F

F V

P Q P et Q

V V V

V F F

F V F

F F F

P Q P ou Q

V V V

V F V

F V V

F F F

Proposition 2.20 (Tables de vérités)

2.2.2 Règles relatives à la négation

Voici quelques règles relatives à la négation.

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2.2. CONNECTEURS LOGIQUES

1. La négation « échange » les quantificateurs :

non�∀x ∈ E, P(x)

�≡ ∃x ∈ E, non

�P(x)

�

non�∃x ∈ E, P(x)

�≡ ∀x ∈ E, non

�P(x)

�

2. non ( non P(x)�= P(x).

Propriétes 2.6

Exemple 2.5. non (x < y) donne (x ≥ y), non (0 < x < 1) donne (x ≤ 0 ou x ≥ 1)

Exercice 2.6. Dire si les propositions suivantes sont vraies et en donner la négation.

1. ∃y ∈ R, ∀x ∈ R, y ≤ x

2. ∀x ∈ R, x2 > 0

3. ∃x ∈ R,√x2 �= x

4. ∃x ∈ R, ∀y ∈ R, x+ y > 0

Lorsqu’on a des propositions qui commencent par ∀x..., il peut être pertinent de consi-dérer sa négation, de voir si elle est vraie (resp. fausse) et d’en déduire respectivementque la proposition initiale est fausse (resp. vraie).

Remarque 2.11

Exercice 2.7. ✒

Dire si les propositions suivantes sont vraies et en donner la négation.

1. ∃M ∈ R, ∀x ∈ R, ex ≤ M .2. ∃x ∈ R,

√x = −x

3. ∀x ∈ R, ∀y ∈ R, x2 = y2 ⇒ x = y

4. ∀x > 0,√x2 = x.

2.2.3 Règles relatives au et et au ou

Soient P,Q et R trois propositions. Alors les connecteurs vérifient :1. Distributivité :

(P et (Q ou R)) ≡ ((P et Q) ou (P et R));

(P ou (Q et R)) ≡ ((P ou Q) et (P ou R)).

2. Lois de Morgan

( non (P ou Q)) ≡ ( non (P) et non (Q));

( non (P et Q)) ≡ ( non (P) ou non (Q)).

Proposition 2.21

Exercice 2.8. Soient A,B et C trois assertions. Donner la négation des assertions suivantes :



1. A ou non(B) 2. A ou (B et C) 3. A et (B ou C)

Exercice 2.9. ✒ Soient A,B et C trois assertions. Donner la négation des assertions suivantes :1. A et (non(B) ou C) 2. A et non(B)

Exercice 2.10. Dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses et les nier :1. 2 ≤ 0 ou 2 + 3 = 5.2. 46 > 47 et

√16 = 4.

3. ∃ x ∈ R, (x+ 1 = 0 et x2 − 2 = 0)

Exercice 2.11. ✒ Dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses et les nier :1. 2 < 3 et non(2 divise 5).

2. ∀x ∈ R,√x2 = x ou

√x2 = −x

3. (∃ x ∈ R, x+ 1 = 0) et (∃ x ∈ R, x2 − 2 = 0).

2.2.4 Règles relatives à l’implication et à l’équivalence

P ⇒ Q se lit « Si P alors Q ».

Exercice 2.12. Soit f une fonction définie sur R.Traduire en français les propositions suivantes avec des « si...alors... » :

1. Toute suite croissante et majorée est convergente2. La somme de deux entiers naturels est un entier naturel.3. ∀x ∈ R, ∀x� ∈ R, (x �= x� ⇒ f(x) �= f(x�)).4. ∀x ∈ R, f(x) > 0 ⇒ x ≤ 0.

Soient P et Q deux propositions.• Réciproque : (Q ⇒ P ) est appelée la réciproque de l’implication ( P ⇒ Q).• Contraposée : (non Q ⇒ non P ) est appelée la contraposée de l’implicationP ⇒ Q.On a :

(P ⇒ Q) ≡ ( non (Q) ⇒ non (P)).

Définition 2.7

Exemple 2.6. L’implication ∀x ∈ R, (x = x2) ⇒ (x ≥ 0) est vraie, mais l’implication réciproqueest fausse.

Exercice 2.13. Donner la réciproque des assertions suivantes et dire si elles sont vraies (on pourrapréciser les équivalences) :

1. ∀x ∈ R, x = 2 ⇒ x2 = 4.2. ∀x ∈ R, ∀y ∈ R, (x ≥ 0 et y ≥ 0) ⇒ xy ≥ 0.

Exercice 2.14. ✒

Donner la réciproque des assertions suivantes, dire si elles sont vraies (on pourra préciser leséquivalences) :

1. ∀x ∈ R, (x = y) ⇒ (x2 = y2).2. ∀x ∈ R, ∀y ∈ R∗

+, (y = ex) ⇒ (x = ln(y)).

Exercice 2.15. Donner la contraposée des implications suivantes et dire lesquelles sont vraies.

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2.3. NOTION D’ENSEMBLES ET OPÉRATIONS SUR LES ENSEMBLES

1. ∀n ∈ N, (n < 1) ⇒ (n divise 2) 2. ∀n ∈ N, (n < 2) ⇒ (n2 = n)

Attention, lorsque l’on donne la contraposée, on ne nie pas les quantificateurs.

Remarque 2.12

Exercice 2.16. ✒ Donner la contraposée des implications suivantes et dire lesquelles sont vraies.

1. ∀n ∈ N, (n ≥ 5) ⇒ (n > 3) 2. ∀n ∈ N, (n < 1) ⇒ (2 divise n)

Soit P une proposition.On appelle :

• Condition nécessaire (CN) pour P toute proposition Q qui vérifie P ⇒ Q.• Condition suffisante (CS) pour P toute proposition Q qui vérifie Q ⇒ P.• Condition nécessaire et suffisante (CNS) pour P toute proposition Q qui

vérifie Q ⇔ P.

Définition 2.8

Exercice 2.17. Dire à chaque fois quel type de condition est Q pour P.1. P : « Voter pour les élections présidentielles » et Q : « Avoir au moins 18 ans »2. P : « Avoir son bac » et Q : « Être admis en ECE 2 »

Exercice 2.18. ✒

Dire quel type de condition est « Q : x > 5 » pour « P : x2 > 25 ».

Soient P et Q deux propositions.• Implication : (P ⇒ Q) ≡ ((non P) ou Q).• Négation de l’implication : non (P ⇒ Q) ≡ (P et non Q)

Proposition 2.22 (Négation de l’implication)

Exercice 2.19. Donner la négation des propositions suivantes :1. ∀x ∈ R, ∀x� ∈ R, (x �= x� ⇒ f(x) �= f(x�)).2. ∀x ∈ R, ∀y ∈ R, x2 = y2 ⇒ x = y

Exercice 2.20. ✒

Soit f une fonction définie sur R.Donner la négation des propositions suivantes :

1. ∀x ∈ R, x > 0 ⇒ f(x) > 0.2. ∀x ∈ R, ∀y ∈ R, x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y).

2.3 Notion d’ensembles et opérations sur les ensembles

2.3.1 Notion d’ensembles

On rappelle qu’on appelle ensemble une collection ou un groupement d’objets distincts, que l’onappelle les éléments de cet ensemble. Pour décrire un ensemble, on peut :



• donner la liste de tous ses éléments, entre accolades : E = {0; ln(2); 3} ;• le définir comme la partie d’un ensemble dotée d’une propriété : E = {x ∈ R, x2 = 2}.

• L’ensemble contenant aucun élément est un ensemble qui s’appelle l’ensemblevide et se note ∅.

• Soient p et q deux entiers naturels, on note �p, q� = {n ∈ N/p ≤ n ≤ q}.• Précédemment, nous avons rappelé les ensembles de nombre usuels N,Z,Q,R.• E∗ désigne l’ensemble E privé de 0.

Remarque 2.13

� Ne pas confondre {0, 1} qui ne contient que 0 et 1 et [0, 1] qui contient tous lesréels compris entre 0 et 1.

• Un ensemble E qui possède un nombre fini d’éléments est appelé un ensemblefini. Le nombre d’élements de E est appelé le cardinal de E et est noté card(E)ou |E|.

• Si à chaque élément d’un ensemble E, on peut faire correspondre un unique entieret réciproquement, on dit que E est un ensemble dénombrable (un tel ensemblea donc un nombre infini d’éléments).

• Les ensembles qui ne sont pas dans les deux premières catégories sont des en-sembles non dénombrables.

Définition 2.9

Exemple 2.7. N (par définition), Z et Q sont dénombrables. En revanche, R ou même [0; 1] sontnon dénombrables.

Soient E et A deux ensembles et x un élément de E. On écrit :• x ∈ E pour signifier que x est un élément de E.• x /∈ E pour signifier que x n’appartient pas à l’ensemble E.

C’est donc la négation de x ∈ E.• A est dit inclus dans E si tout élément de A est un élément de E.

On dit aussi que A est un sous-ensemble de E ou une partie de E et on écritdans ce cas A ⊂ E.

• A �⊂ E est la négation de A ⊂ E. Cela signifie qu’il existe au moins un élémentde A qui n’est pas dans E.

Définition 2.10 (Appartenance et inclusion)

Exemple 2.8. 3 ∈ [3, 7], 7 /∈ [3, 7[, {2, 4, 6} ⊂ [0, 8], {0, 2, 4} �⊂ R∗.

Pour tout ensemble E, on a ∅ ⊂ E.

Remarque 2.14

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2.3. NOTION D’ENSEMBLES ET OPÉRATIONS SUR LES ENSEMBLES

Exemple 2.9. On a les inclusions : N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

Soient A et B deux ensembles.• A ⊂ A• A ⊂ B et B ⊂ A est équivalent à A = B.• Si A ⊂ B et B ⊂ C, alors A ⊂ C.

Propriétes 2.7

Soit E un ensemble, on note P(E) l’ensemble des parties de E, c’est à dire l’ensembledes ensembles inclus dans E.

Définition 2.11 (Parties d’un ensemble)

Exemple 2.10. E = {a, b, c} alors P(E) = {∅, {a} , {b} , {c} , {a, b} , {a, c} , {b, c} , E}.

Exercice 2.21. Décrire P(�1, 3�).

2.3.2 Opérations sur les ensembles

Soient A et B deux parties d’un ensemble E.1. L’intersection de A et B est l’ensemble des éléments de E qui appartiennent à

A et B :x ∈ A∩B ⇐⇒ (x ∈ A et x ∈ B).

2. La réunion de A et B est l’ensemble des éléments de E qui appartiennent à Aou B

x ∈ A∪B ⇔ (x ∈ A ou x ∈ B).

3. Si A ⊂ B, le complémentaire de A dans B, noté CBA, est l’ensemble de tousles éléments de B qui ne sont pas dans A.

Définition 2.12

On le notera A en probabilité lorsque B correspond à l’univers sur lequel on travaille.On utilise de façon plus générale cette notation pour désigner le complémentaire d’unensemble A dans un autre ensemble B, sauf s’il peut y avoir confusion sur l’ensemble Bpar rapport auquel on considère le complémentaire.

Remarque 2.15



Figure 2.1 – Intersection Figure 2.2 – Union

Exemple 2.11.

1. [1, 2] ∩ ]−5, 7[ = [1, 2].2. ]−2, 3] ∪ {−2} = [−2, 3].3. ]−∞, 5[ ∩ [2,+∞[ = [2, 5[ .

4. ]−∞, 4] ∪ [3,+∞[ = R.5. A = [0, 1[, CR(A) = ]−∞, 0[ ∪ [1,+∞[ .

6. A = [0, 1[, C[0,2](A) = [1, 2] .

Soit E un ensemble et I un ensemble fini ou dénombrable d’indices.On considère une famille de sous ensembles de E, notée (Ai)i∈I . Alors :

1. On note�

i∈I

Ai la réunion des Ai, pour i ∈ I, définie comme l’ensemble des éléments

x de E tels qu’il existe au moins un entier i ∈ I tel que x ∈ Ai.

2. On note�

i∈I

Ai l’intersection des Ai, pour i ∈ I, définie comme l’ensemble des

éléments x de E tels que x ∈ Ai pour tous les entiers i ∈ I.

Définition 2.13 (Réunion et intersection d’une famille d’ensembles)

Exercice 2.22. Soit��1; 1 + 1

n

��n∈N∗ une famille de sous-ensembles de R.

Déterminer�

n∈N∗�1; 1 + 1

n

�et

�n∈N∗

�1; 1 + 1

n

�

2.4 Différents types de raisonnement

Un théorème est une proposition complète, dont on affirme qu’elle est vraie en s’appuyant sur unedémonstration. Une démonstration d’une proposition P est un processus respectant strictementles règles de la logique, partant des hypothèses, supposées vraies, et en aboutissant à la conclusionattendue en utilisant des définitions, des règles ou des théorèmes déjà démontrés. La démonstrationpermet ainsi d’établir qu’une proposition est vraie. Dans cette section, nous allons décrire différentesfaçons typiques d’organiser une démonstration.

2.4.1 Raisonnement direct

Une manière de démontrer l’implication « P ⇒ Q » est de commencer par l’hypothèse« supposons que P est vraie », et au terme d’un raisonnement déductif, obtenir « alorsQ est vraie ».

Méthode 2.5 (Raisonnement direct)

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2.4. DIFFÉRENTS TYPES DE RAISONNEMENT

Lorsqu’on rédige, les variables utilisées doivent être introduites.En particulier, la réponse à une question du type« Démonter que pour tout réel x... » ou « Prouver que : ∀x ∈ R, ... »commencera par« Soit x ∈ R. »

Remarque 2.16

Exercice 2.23. Prouver que : ∀n ∈ N, n impair ⇒ n2 impair.

Exercice 2.24. ✒ Montrer que : ∀x ∈ R, x < 1 ⇒ |x− 4| > 3.

2.4.2 Raisonnement par contraposition

L’implication contraposée de (P ⇒ Q) est ( non Q ⇒ non P).D’après la définition 2.7, une implication et sa contraposée sont logiquement équivalentes.Pour prouver une implication P ⇒ Q, on peut supposer que Q est faux et en déduire Pest faux.

Méthode 2.6 (Prouver une implication avec sa contraposée)

Exemple 2.12. Montrer que si x et y sont des réels distincts de 1, et si x �= y, alors1

x− 1�= 1

y − 1.

Démonstration. La contraposée de l’énoncé est : « si x et y sont des réels distincts de 1, et si1

x− 1=

1

y − 1alors x = y ». Ceci est vrai, car

1

x− 1=

1

y − 1⇒ x− 1 = y − 1 ⇒ x = y.

Exercice 2.25. Montrer que : ∀n ∈ N, n2 impair ⇒ n impair .

Exercice 2.26. ✒ Soit n ∈ N. Montrer que si (n2 + n) est strictement négatif alors n eststrictement négatif.

2.4.3 Raisonnement par double implication

Pour prouver une équivalence, on peut prouver séparément les deux implications, directeet réciproque.

Méthode 2.7 (Prouver une équivalence par double implication)

Démontrer une équivalence, c’est démontrer deux implications. Sauf dans des situations simples,je vous conseille de démontrer une équivalence en démontrant séparément les deux implications.Cela vous évitera des erreurs.

Exercice 2.27. Prouver que : ∀n ∈ N, n2 impair ⇔ n impair.

Exercice 2.28. ✒ Soit deux réels a et b. Montrer que :

(∀n ∈ N, a× 2n + b× 3n = 0) ⇔ (a = b = 0).



2.4.4 Réfutation par contre-exemple

On peut utiliser ce type de raisonnement pour démontrer qu’une proposition est fausse.

Pour démontrer qu’une proposition du type « ∃x ∈ E, P(x) » est vraie, il suffit dedonner un exemple de x qui convient. En passant à la négation, pour démonter qu’uneproposition du type « ∀x ∈ E, P(x) » est fausse, il suffit de donner un exemple d’un xqui ne convient pas. On appelle cela un contre exemple de la proposition P.

Méthode 2.8 (Contre-exemple)

On retiendra que pour montrer qu’une proposition commençant par un quantificateur universel estfausse, il suffit de donner un contre-exemple particulier, c’est à dire un exemple qui met en défautla proposition.

Exercice 2.29. Une fonction f : R → R est paire si et seulement si ∀x ∈ R, f(x) = f(−x).

Montrer que f : x �→ x+ 1 n’est pas paire.

Exercice 2.30. ✒ Montrer que l’assertion : "tout entier positif est somme de trois carrés" estfausse.

2.4.5 Raisonnement par disjonction de cas

Pour prouver une assertion, on peut la prouver séparément sur une famille exhaustive decas.

Méthode 2.9 (Disjonction de cas)

Exemple 2.13. À l’aide de la définition de la valeur absolue, démontrer que pour tout réel x ona |− x| = |x|.

Démonstration. Soit x ∈ R.

1. 1er cas : si x ≥ 0 alors

| x |= x

| −x |= −(−x) = x

(car si x ≥ 0 alors −x ≤ 0).

On a donc bien que | x |=| −x |, puisque ces quantités égalent toutes les deux x.

2. 2ème cas : si x ≤ 0 alors

| x |= −x

| −x |= −x

(car si x ≤ 0 alors −x ≥ 0).

On a donc bien que | x |=| −x |, puisque ces quantités égalent toutes les deux −x.

Exercice 2.31. Prouver que : ∀n ∈ N, n(n+ 1) est pair.

46 Cour ECE1


2.4.6 Raisonnement par l’absurde

Pour prouver P, il suffit de prouver que ( non (P) ⇒ Q) où Q est une assertion fausse(contradictoire).

Méthode 2.10 (Raisonnement par l’absurde)

Exercice 2.32. Montrer que 0 n’admet pas d’inverse.

Exercice 2.33. ✒

Montrer que pour tout nombre réel x différent de −3, on a :x+ 1

x+ 3�= 1.

2.4.7 Démontrer une (in)égalité

Pour démontrer une égalité, on commence par introduire toutes les variables qui inter-viennent avec « soit ... », puis on part d’un membre de l’égalité, et, après une successiond’égalités, on aboutit à l’autre. On conclut par une phrase.Si on échoue, on peut essayer de transformer séparément les deux membres pour aboutirau même résultat.

Méthode 2.11 (Démontrer une égalité)

� Ne pas confondre « = » (relation d’égalité entre deux expressions) et « ⇔ »(connecteur logique entre propositions, qui n’intervient pas dans la démonstra-tion d’égalités).

Remarque 2.17

Exercice 2.34. Démontrer que : ∀n ∈ N, 1n(n+1) =

1n − 1

n+1 .

Exercice 2.35. ✒ Soient a, b ∈ R+. Montrer que si a ≤ b alors a ≤ a+ b

2≤ b et a ≤

√ab ≤ b.

2.4.8 Raisonnement par récurrence

Récurrence classique

Soit P(n) une propriété dépendant d’un entier n.Si

• [Initialisation] P(n0) est vrai pour un certain entier n0,• [Hérédité] P(n) =⇒ P(n+ 1) est vrai pour tout entier n ≥ n0,

alors P(n) est vraie pour tout entier n ≥ n0.

Proposition 2.23 (Principe du raisonnement par récurrence)



On admet cette proposition qui reprend le principe des dominos. Si on fait tomber le premierdomino et que, dès qu’un domino tombe il entraîne le suivant dans sa chute, alors tous les dominosvont tomber.

En pratique :1. On énonce ce que l’on va démonter, c’est à dire que l’on écrit

Montrons par récurrence que pour tout n ≥ n0, on a ....

2. On énonce clairement la propriété P(n) à prouver, c’est à dire que l’on écrit :

Pour tout n ≥ n0, on pose P(n) : ....

3. Initialisation : on montre que P(n0) est vraie.4. Hérédité : on suppose que P(n) est vraie pour un entier n ≥ n0 fixé, et on

déduit de cette hypothèse la propriété au rang n+ 1 : P(n+ 1).On écrit :

Soit n ≥ n0 fixé. Supposons P(n) vraie, c’est à dire... Montrons que P(n+ 1) estvraie aussi, c’est à dire...

5. Conclusion : on affirme que la propriété est vraie pour tout entier n ≥ n0, d’aprèsle principe de récurrence.On écrit :

Par le principe de récurrence, on en déduit que pour tout n ≥ n0, ....

Méthode 2.12 (Rédiger une récurrence)

Exemple 2.14. 1. Montrons par récurrence que : ∀n ≥ 1, 2n ≥ n.2. Pour tout n ≥ 1, on note P(n) : 2n ≥ n.3. Initialisation : 21 = 2 ≥ 1, donc P(1) est vraie.4. Hérédité : soit n ≥ 1 fixé. Supposons que P(n) est vraie, c’est à dire que

2n ≥ n.

Montrons que P(n+ 1) est vraie, c’est à dire que

2n+1 ≥ n+ 1.

On a2n+1 = 2× 2n.

Or, par hypothèse de récurrence, on a :

2n ≥ n

D’où, 2× 2n ≥ 2n.Et donc 2n+1 ≥ 2n.Par ailleurs, comme n ≥ 1, on a 2n ≥ n+ 1 (en effet, 2n ≥ n+ 1 ⇔ n ≥ 1).Finalement, comme 2n+1 ≥ 2n et 2n ≥ n+ 1, on en déduit que

2n+1 ≥ n+ 1.

Donc P(n+ 1) est vraie.5. Conclusion : par le principe de récurrence, 2n+1 ≥ n+ 1 pour tout entier n ≥ 1.

Exercice 2.36. On note Sn la somme des n premiers entiers naturels non nuls. Prouver que

Sn =n(n+ 1)

2.

48 Cour ECE1


Exercice 2.37. ✒ Montrer que pour tout entier n et tout réel x ≥ −1, (1 + x)n ≥ 1 + nx.La récurrence porte t-elle sur x ou sur n ?

Ce raisonnement est souvent source d’erreurs :

� Avant de l’utiliser, vérifier qu’il n’existe pas de démonstration directe.De même, au cours de la transmission, on prouve la propriété au rang n + 1sans utiliser l’hypothèse de récurrence, cela signifie que l’on peut prouver direc-tement le résultat. Dans ce cas, on n’utilise pas le raisonnement par récurrence,mais une preuve directe.

� Si la propriété à démontrer ne dépend pas d’un entier, mais parexemple d’un nombre réel, la démonstration par récurrence est im-possible !

� Si, dans la transmission, on suppose la propriété vraie pour « tout n » au lieude « un n », la démonstration n’a plus de valeur, car on a supposé vrai lerésultat que l’on voulait prouver ! ! !

La plupart du temps la propriété est vraie à partir du rang n0 = 0 ou n0 = 1, mais cen’est pas une généralité.

Remarque 2.18

Raisonnement par récurrence forte

Soit P(n) une propriété dépendant d’un entier n. Si• [Initialisation] P(n0) est vrai pour un certain entier n0,• [Hérédité] P(n0),P(n0 + 1), ...,P(n) =⇒ P(n + 1) est vrai pour tout entiern ≥ n0,


Proposition 2.24 (Principe du raisonnement par récurrence forte )




Montrons par récurrence forte que pour tout n ≥ n0, on a ....

2. On énonce clairement la propriété P(n) à prouver, c’est à dire que l’on écrit :

Pour tout n ≥ n0, on pose P (n) : ....

3. Initialisation : on montre que P(n0) est vraie.4. Hérédité : on suppose que P(n0),P(n0 + 1), ...,P(n) sont vraies pour un entier

n ≥ n0 fixé, et on déduit de cette hypothèse la propriété au rang n+1 : P(n+1).On écrit :

Soit n ≥ n0 fixé. On suppose P(n0),P(n0 + 1), ...,P(n) vraies. Montrons queP(n+ 1) est vraie aussi.

5. Conclusion : on conclut que la propriété est vraie pour tout entier n ≥ n0,d’après le principe de récurrence forte.

Méthode 2.13 (Rédiger une récurrence forte)

� On ne peut pas remplacer une récurrence forte par une récurrence faible.

Seule l’étape d’hérédité change.

Remarque 2.19

Exercice 2.38.

On considère la suite (un) définie par : u0 = 1 et ∀n ∈ N, un+1 =n�

k=0

uk.

Montrer que : ∀n ∈ N∗, un = 2n−1.

Récurrence double

Soit P(n) une propriété dépendant d’un entier n. Si• [Initialisation] P (n0) et P(n0 + 1) sont vraies pour un certain entier n0,• [Hérédité] P(n) et P(n+ 1) =⇒ P(n+ 2) est vrai pour tout entier n ≥ n0,


Proposition 2.25 (Principe du raisonnement par récurrence double)

50 Cour ECE1



Montrons par récurrence double que pour tout n ≥ n0, on a ....

2. On énonce clairement la propriété P(n) à prouver. C’est à dire que l’on écrit :

Pour tout n ≥ n0, on pose P(n) : ....

3. Initialisation : on montre que P(n0) et P(n0 + 1) sont vraies4. Hérédité : on suppose que P(n) et P(n + 1) sont vraies pour un entier n ≥ n0

fixé, et on déduit de cette hypothèse la propriété au rang n+ 2 : P(n+ 2).On écrit :

Soit n ≥ n0 fixé. Supposons P(n) et P(n+ 1) vraies. Montrons que P(n+ 2) estvraie aussi.

5. Conclusion : on affirme que la propriété est vraie pour tout entier n ≥ n0, d’aprèsle principe de récurrence double.

Méthode 2.14 (Rédiger une récurrence double)

Exercice 2.39. On définit la suite (un)n∈N par :

u0 = 1, u1 = 3,

∀n ∈ N, un+2 = 2un+1 − un.

Montrer que pour tout n ∈ N, un = 2n+ 1.

Exercice 2.40. ✒ On définit la suite (un)n∈N par :

u0 = 2, u1 = 5,

∀n ∈ N, un+2 = 5un+1 − 6un.

Montrer que pour tout n ∈ N, un = 2n + 3n.

Dans le cas d’une récurrence d’ordre 2, pour un entier n donné, on a besoin de la véritéde P(n) et de P(n+1) pour établir celle de P(n+2). On ne peut pas, contrairement à larécurrence faible, déduire P(1) de P(0) uniquement : il faut P(0) et P(1) pour obtenirP(2), puis enclencher la récurrence.

Remarque 2.20


Documents

Logique, vocabulaire ensembliste et raisonnementblazere.ece1.free.fr/2017_2018/Cours/Chapitre2.pdf · 2.2. CONNECTEURS LOGIQUES On retiendra que : 1. Pour montrer qu’une proposition