1

LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC CÂU TRUNG BÌNH, KHÓ

ĐỀ THI THPT QG TOÁN 2017 Lê Phúc Lữ thực hiện, thân tặng các em học sinh

Mã đề 101.

Câu 32. Cho 2( )F x x là một nguyên hàm của hàm số 2( ) .xf x e Tìm nguyên hàm của

hàm số 2( ) .xf x e

A. 2 2x x C . B. 2 .x x C C. 22 2 .x x C D. 22 2 .x x C

Lời giải.

Vì 2x là nguyên hàm của 2( ) xf x e nên 2 2( ) ( ) 2 .xf x e x x

Xét nguyên hàm 2( ) .xI f x e dx

Đặt 2 , ( )xu e dv f x dx thì 22 xdu e dx và ( ).v f x Ta đưa về

2 2 2( ) 2 ( ) 2 2 .x xI e f x f x e dx x x C

Chọn câu D.

Câu 33. Cho hàm số 1

x my

x

với m là tham số và [2;4 ]min 3.y Mệnh đề nào đúng?

A. 1.m B. 3 4.m C. 4.m D. 1 3.m

Lời giải. Theo giả thiết thì 3, [2;4]1

x mx

x

hay

3 3 2 3, [2;4].x m x m x x

Do đó [2;4]

max(2 3) 5.m x Điều này cho thấy 4m là đúng. Chọn câu C.

Câu 36. Cho số phức z a bi với ,a b thỏa mãn 1 3 0.z i z i Tính

3 .S a b

A. 7.

3S B. 5.S C. 5S . D. 7

.3

S

Lời giải.

2

Theo giả thiết thì 2 2

1( 1) ( 3 ) 0

3 0.

aa b z i

b a b

Suy ra 2 43 1 .

3b b b

Do đó 43 1 3 5.

3S a b

Chọn câu B.

Câu 39. Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc ( / )v km h phụ thuộc vào thời gian ( )t h có đồ thị vận tốc như hình vẽ bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của parabol có đỉnh (2;9)I và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển trong 3 giờ đó (làm tròn đến hàng phần trăm).

A. 23,25( ).s km B. 21,58( ).s km C. 15,50( ).s km D. 13,83( ).km

Lời giải.

Parabol đã cho có đỉnh là (2;9)I nên phương trình của nó có dạng 2( 2) 9.y a t

Do parabol đi qua (0;4) nên 54 4 9 .

4a a

Suy ra 25( ) ( 2) 9

4v t t với [0;1].t

Với 1,t ta có 314

v và giá trị này cố định trong suốt [1; 3]t . Do đó, quãng đường

cần tìm là 1 3

2

0 1

5 31 259( 2) 9 21.58 .

4 4 12t dt dt km

Chọn câu B.

Câu 44. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng .a Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của ,AB BC và E là điểm đối xứng với B qua .D Mặt phẳng ( )MNE chia khối tứ diện

ABCD thành hai khối đa diện trong đó khối đa diện chứa A có thể tích là .V Tính .V

A. 37 2

216a

V B. 311 2

216a

V C. 313 2

216a

V D. 32

18a

V

Lời giải.

3

Thể tích tứ diện ABCD là 3 2

.12ABCD

aV Giả sử , .ME AD R NE CD S

Theo định lý Menelaus thì 1MA RD EBMB RA ED

hay 1.

3 3a

RD AD Tương tự .3a

SD

Chú ý rằng chiều cao h của ABCD là 6.

3a

Thể tích tứ diện MBNE là 31 1 6 1 2

2 sin603 2 3 6 2 2 24MBNE BNE

h a a aV S a .

Thể tích tứ diện RSDE là 31 1 6 1 2

sin1203 3 3 9 2 3 108RSDE DSE

h a a aV S a .

Từ đó suy ra 3 3 3 3

.

2 2 2 11 212 24 108 216A MNSR ABCD MBNE RSDE

a a a aV V V V .

Chọn câu B.

Câu 45. Trong không gian với hệ trục tọa độ ,Oxyz cho mặt cầu 2 2 2( ) : 9S x y z , điểm (1;1;2)M và mặt phẳng ( ) : 4 0P x y z . Gọi là đường thẳng đi qua M , thuộc ( )P và cắt ( )S tại hai điểm ,A B sao cho AB nhỏ nhất. Biết rằng có vectơ chỉ

phương là (1; ; )u a b

. Tính .T a b

A. 2T B. 1T C. 1T D. 0.T

Lời giải.

Ta thấy rằng ( )M P nên điểm M nằm bên trong đường tròn giao tuyến.

S

R

E

N

M

A

B

C

D

4

Tâm của hình tròn là 4 4 4; ;

3 3 3H

nên AB ngắn nhất khi khoảng cách từ H đến AB xa

nhất, khi đó .AB MH

Ta có 1 1 2; ; (1;1; 2)

3 3 3MH

và (1;1;1).

Pn

Do đó [ , ] (3; 3;0) (1; 1; 0)AB P

u MH n

nên 1, 0a b , suy ra 1.T

Chọn câu C.

Câu 46. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 3 5z i và 4

zz

là số thuần ảo?

A. 0. B. Vô số C. 1. D. 2.

Lời giải.

Đặt z a bi với , .a b Điều kiện 4z hay ( , ) (4,0).a b

2

2 2 2 2

( )( 4 ) ( 4) 44 4 ( 4) ( 4)

z a bi a bi a bi a a b biz a bi a b a b

.

Đây lả số thuần ảo khi 2( 4) 0.a a b

Mặt khác 2 23 5 ( 3) 25.z i a b

Giải hệ này, ta có 16 24( , ) ; ,(4;0).

13 13a b

Tuy nhiên, không nhận bộ (4;0) nên chỉ có

một số phức 16 2413 13

z i thỏa mãn đề bài. Chọn câu C.

Câu 47. Xét các số thực dương ,x y thỏa mãn 3

1log 3 2 4

2xy

xy x yx y

. Tìm giá trị

nhỏ nhất min

P của .P x y

A. min

9 11 199

P

B. min

9 11 199

P

C. min

18 11 2921

P

D. min

2 11 33

P

Lời giải. Từ điều kiện đã cho, ta suy ra

5

3 3log (3 3 ) 3 3 log ( 2 ) 2xy xy x y x y .

Xét hàm số 3

( ) logf t t t với 0t thì 1( ) 1 0

ln 3f t

t nên đây là hàm đồng

biến. Do đó, (3 3 ) ( 2 )f xy f x y hay 3 3 2xy x y , thay 3 21 3

yx

y

vào P , ta có

3 2( )

1 3y

P y f yy

.

Khảo sát hàm số này với 30

2y , ta có

min

11 1 2 11 33 3

P f . Chọn câu D.

Câu 48. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng 1y mx m cắt

đồ thị hàm số 3 23 2y x x x tại ba điểm , ,A B C phân biệt sao cho .AB BC

A. ( ; 0] (4; )m B. 5;

4m

C. ( 2; )m D. m

Lời giải. Xét phương trình hoành độ giao điểm

3 2 2

02

3 2 1 ( 1)( 2 1) 0

1

2 1 0.

x x x mx m x x x m

x

x x m

.

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x khi 1 ( 1) 0 2.m m

Yêu cầu bài toán tương đương B A C B

x x x x hay 2 .A C B

x x x

Theo định lý Viete thì khi đó (*) có hai nghiệm 1 2 0

2 2 1 2x x x , luôn đúng.

Do đó, ( 2; )m , chọn câu C.

Câu 49. Cho hàm số ( ).y f x Đồ thị của hàm số ( )y f x như hình bên. Đặt 2( ) 2 ( )h x f x x . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. (4) ( 2) (2).h h h B. (4) ( 2) (2).h h h

C. (2) (4) ( 2).h h h D. (2) ( 2) (4).h h h

6

Lời giải. Ta có ( ) 2 ( ) 2 2 ( )h x f x x f x x . Dựa

vào đồ thị, ta thấy

( ) , [2;4]f x x x và ( ) , [ 2;2].f x x x Suy ra

( ) 0h x với [2; 4]x và ( ) 0h x với [ 2;2].x

Do đó, ( )h x đồng biến trên [ 2;2] và nghịch biến trên [2;4].Ta được ( 2) (2)h h và (2) (4).h h

Ta lại tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )f x và y x thì diện tích từ 2 2 lớn hơn từ 2 4 nên

2 4

2 22 ( ) 2 2 ( ) 2f x x dx f x x dx

, suy ra (2) ( 2) (2) (4).h h h h

Do đó ( 2) (4).h h Kết hợp lại, ta có (2) (4) ( 2).h h h Chọn câu C.

Câu 50. Cho hình nón đỉnh S có chiều cao h a và bán kính đáy 2 .r a Mặt phẳng

( )P đi qua S cắt đường tròn đáy tại A và B sao cho 2 3AB a . Tính khoảng cách d từ tâm của đường tròn đáy đến ( ).P

A. 3.

2d a B. .d a C. 5

.5

d a D. 2.

2d a

Lời giải. Gọi H là trung điểm AB và I là tâm của đường tròn đáy hình nón thì 2 2(2 ) ( 3) .IH a a a Gọi K là hình chiếu của I lên SH thì ( ).IK P

Tam giác SIH vuông cân tại I nên 2.

2d IK a Chọn câu D.

S

IA

B

HK

7

Mã đề 102.

Câu 33. Trong không gian ,Oxyz cho mặt cầu 2 2 2( ) : ( 1) ( 1) ( 2) 2S x y z và

hai đường thẳng 2 1 1: , :

1 2 1 1 1 1x y z x y z

d

. Phương trình nào sau đây là

của mặt phẳng song song với ,d và tiếp xúc với ( )S ?

A. 1 0.x z B. 1 0.x y

C. 3 0.y z D. 1 0.x z

Lời giải. Mặt phẳng cần tìm có hai vectơ chỉ phương là

1 2(1,2, 1), (1,1, 1)u u

.

Suy ra 1 2, ( 1;0; 1) (1;0;1).

Pn u u

Đặt phương trình mặt phẳng cần tìm là

( ) : 0P x z d thì /( )

2I P

d hay 2 2

1 2 12 3 2

51 1

d dd

d

.

Có hai mặt phẳng thỏa mãn là 1 0x z và 5 0.x z Chọn câu A.

Câu 35. Cho hàm số 1

x my

x

với m là tham số, thỏa mãn [1;2] [1;2]

16min max

3y y . Khi

đó, khẳng định nào sau đây là đúng?

A. 0.m B. 4m C. 0 2.m D. 2 4.m

Lời giải. Do hàm đã cho luôn đơn điệu trên [1;2] nên

[1;2] [1;2]

1 2 16min max (1) (2)

2 3 3m m

y y y y

.

Giải phương trình này thu được 5.m Chọn câu B.

Câu 37. Cho ,x y là các số thực lớn hơn 1 thỏa mãn 2 29 6 .x y xy Tính

12 12

12

1 log log

2 log ( 3 )

x yM

x y

.

A. 1.

4M B. 1.M C. 1

.2

M D. 1.

3M

8

Lời giải. Theo giả thiết thì 2( 3 ) 0x y hay 3 .x y Thay vào M , ta có

212 12 12

12 12

1 log (3 ) log log (36 )1.

2 log (3 3 ) 2 log (6 )

y y yM

y y y

Chọn câu B.

Câu 38. Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc ( / )v km h phụ thuộc vào thời gian ( )t h có đồ thị vận tốc là một phần của parabol có đỉnh (2;9)I và trục đối xứng song song với trục tung. Tính quãng đường s mà vật di chuyển trong 3 giờ đó (làm tròn đến hàng phần trăm).

A. 24,25( )km B. 26,75( )km

C. 24,75( )km D. 25,25( )km

Lời giải.

Parabol đã cho có đỉnh là (2;9)I nên phương trình của nó có

dạng 2( 2) 9.y a t Do parabol đi qua (0;6) nên 36 4 9 .

4a a

Suy ra 23( ) ( 2) 9

4v t t với [0;3].t

Quãng đường cần tìm là 3

2

0

3( 2) 9 24,75( ).

4s t dt km

Chọn câu C.

Câu 40. Cho ( ) ( 1) xF x x e là một nguyên hàm của 2( ) xf x e . Tìm nguyên hàm của hàm

số 2( ) .xf x e

A. (4 2 ) .xx e C B. 2 .2

xxe C

C. (2 ) .xx e C D. ( 2) .xx e C

Lời giải. Theo giả thiết thì 2( ) ( 1)x x xf x e x e xe .

Xét nguyên hàm 2( ) .xI f x e dx Đặt 2 , ( )xu e dv f x dx thì 22 , ( )xdu e dx v f x .

Ta có 2 2 2 2 2( ) 2 ( ) 2( 1) (2 ) .x x x x xI f x e f x e dx xe x e C x e C Chọn câu C.

6

9

Câu 41. Cho hàm số ( )y f x có bảng biến thiên như bên dưới:

Đồ thị hàm số ( )y f x có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 4 B. 2 C. 3 D. 5

Lời giải. Ta có 2( ) ( )y f x f x nên ( ) ( )

( )

f x f xy

f x

.

Điểm cực trị của hàm số này bao gồm điểm cực trị của ( )f x và nghiệm của ( ) 0.f x

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy ( )y f x có hai điểm cực trị là 1, 3x x .

Ngoài ra, ( ) 0f x có một nghiệm trên ( ; 1) nên tổng cộng ( )y f x có ba điểm

cực trị. Chọn câu C.

Câu 44. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 2 2 2z i và 2( 1)z là số thuần ảo?

A. 0 B. 4 C. 3 D. 2.

Lời giải. Đặt z a bi với ,a b thì

2 2( 2) ( 1) 8a b và 2 2( 1) 0a b .

Giải hệ này, ta có ( , ) (0,1),( 1 3,2 3),( 1 3,2 3)a b .

Do đó, có tất cả ba số phức, chọn câu C.

Câu 45. Tìm tất cả các tham số m để đường thẳng y mx cắt đồ thị hàm số 3 23 2y x x m tại ba điểm phân biệt , ,A B C sao cho .AB BC

A. ( ; 3)m B. ( ; 1)m C. m D. (1; ).m

Lời giải. Xét phương trình hoành độ giao điểm

10

3 2 2

02

3 2 ( 1)( 2 2) 0

1

2 2 0.

x x m mx x x x m

x

x x m

.

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x khi 1 ( 2) 0 3. m m

Yêu cầu bài toán tương đương B A C B

x x x x hay 2 .A C B

x x x

Theo định lý Viete thì khi đó (*) có hai nghiệm 1 2 0

2 2 1 2x x x , luôn đúng.

Do đó, ( ; 3)m , chọn câu C.

Câu 46. Xét các số thực dương ,a b thỏa mãn 2

1log 2 3

abab a b

a b

. Tìm giá trị

nhỏ nhất min

P của 2 .P a b

A. min

2 10 32

P

B. min

3 10 72

P

C. min

2 10 12

P

D. min

2 10 52

P

Lời giải. Từ điều kiện đã cho, ta suy ra

2 2log (2 2 ) 2 2 log ( )ab ab a b a b .

Xét hàm số 2

( ) logf t t t với 0t thì 1( ) 1 0

ln2f t

t nên đây là hàm đồng

biến. Do đó, (2 2 ) ( )f ab f a b hay 2 2ab a b , thay 22 1

ba

b

vào P , ta có

22 ( )

2 1b

P b f bb

.

Khảo sát hàm số này với 0 2b , ta có min

10 2 2 10 34 2

P f

. Chọn câu A.

Câu 47. Trong không gian với hệ trục tọa độ ,Oxyz cho (4;6;2), (2; 2;0)A B và mặt phẳng ( ) : 0P x y z . Xét đường thẳng d thay đổi thuộc ( )P và đi qua ,B gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên .d Biết rằng khi d thay đổi thì H luôn thuộc một đường tròn cố định, tính bán kính R của đường tròn đó.

11

A. 6R B. 2R C. 1.R D. 3R .

Lời giải. Gọi K là hình chiếu của A lên ( )P thì dễ thấy ,AH d AK d nên ( )d AHK hay

90 .HK d BHK Điểm H di chuyển trên đường tròn đường kính .BK Ta có

72AB và [ ,( )] 4 3AK d A P , suy ra

72 486

2 2BK

R

. Chọn câu A.

Câu 48. Cho hàm số ( ).y f x Đồ thị của hàm số ( )y f x như

hình bên. Đặt 2( ) 2 ( ) ( 1)g x f x x . Mệnh đề nào là đúng?

A. ( 3) (3) (1).g g g B. (1) ( 3) (3).g g g

C. (3) ( 3) (1).g g g D. (1) (3) ( 3).g g g

Lời giải.

Ta có ( ) 2 ( ) 2( 1) 2 ( ) ( 1)g x f x x f x x . Dựa vào đồ thị,

ta thấy

( ) 1, [1; 3]f x x x và ( ) 1, [ 3;1].f x x x Suy ra

( ) 0g x với [1; 3]x và ( ) 0g x với [ 3;1].x

Do đó, ( )g x đồng biến trên [ 3;1] và nghịch biến trên [1; 3].Ta được ( 3) (1)g g và (1) (3).g g

Ta lại tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )f x và 1y x thì diện tích từ 3 1

lớn hơn từ 1 3 nên 1 3

3 12 ( ) 2( 1) 2 ( ) 2( 1)f x x dx f x x dx

, suy ra

(1) ( 3) (1) (3).g g g g

Do đó ( 3) (3).g g Kết hợp lại, ta có ( 3) (3) (1).g g g Chọn câu D.

Câu 49. Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB x và tất cả các cạnh còn lại đều bằng

2 3. Tìm x để tứ diện có thể tích lớn nhất.

A. 6.x B. 14.x C. 3 2.x D. 2 3.x

Lời giải.

A

K

HB

12

Ta thấy tứ diện ABCD có mặt đáy cố định nên thể tích lớn nhất khi chiều cao AH lớn nhất. Gọi ,M N lần lượt là trung điểm ,CD AB và H là hình chiếu của A lên ( )BCD thì .H BM

Tam giác ABM cân tại M có MN là đường cao,

33

2MA MB CD là cạnh bên và AB x là cạnh

đáy. Dễ thấy 3AH AM nên thể tích ABCD lớn nhất

khi ABM vuông tại M , khi đó 3 2.AB Chọn câu C.

Câu 50. Cho mặt cầu ( )S có bán kính 4 , hình trụ ( )H có chiều cao bằng 4 và hai

đường tròn đáy nằm trên ( ).S Gọi 1 2,V V lần lượt là thể tích của ( ),( ).H S Tính tỷ số 1

2

.V

V

A. 1

2

9.

16

V

V B. 1

2

1.

3

V

V C. 1

2

3.

16

V

V D. 1

2

2.

3

V

V

Lời giải.

Ký hiệu mô hình như hình vẽ. Theo định lý Pytago thì 2 28 4 4 3AB .

Do đó, bán kính đáy của hình trụ là 2 3R . Suy ra

21

4 (2 3) 48V và 3

2

4 2564 .

3 3V

Tỷ lệ cần tính là 1

2

256 948 : .

3 16

V

V Chọn câu A.

A

4

4

4

D C

O

A B

N

B

C

D

A

MH

13

Mã đề 103. Câu 34. Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc ( / )v km h phụ thuộc vào thời gian ( )t h có đồ thị vận tốc như hình vẽ bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của parabol có đỉnh (2;9)I và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển trong 4 giờ đó (làm tròn đến hàng phần trăm).

A. 26,5( ).s km B. 28,5( ).s km C. 27( ).s km D. 24( ).s km

Lời giải. Parabol đã cho có đỉnh là (2;9)I nên phương trình của nó có dạng

2( 2) 9.y a t Do parabol đi qua (0;0) nên 9

0 4 9 .4

a a

Suy ra 29( ) ( 2) 9

4v t t với [0;3].t

Với 3,t ta có 274

v và giá trị này cố định trong suốt [3; 4]t . Do đó, quãng đường

cần tìm là

3 42

0 3

9 27 259( 2) 9 27 .

4 4 12t dt dt km Chọn câu C.

Câu 37. Cho 3

1( )

3F x

x là một nguyên hàm của hàm số ( )

.f xx

Tìm nguyên hàm của

hàm số ( ) ln .f x x

A. 3 5

ln 1.

5

xC

x x B.

3 5

ln 1.

5

xC

x x

C. 3 3

ln 1.

3

xC

x x D.

3 3

ln 1.

3

xC

x x

Lời giải. Vì 3

1

3x là nguyên hàm của ( )f x

x nên

3 4

( ) 1 1.

3

f xx x x

Xét nguyên hàm ( )ln .I f x xdx Đặt ln , ( )u x dv f x dx thì dx

dux

và ( ).v f x

Ta đưa về 3 3

( ) ln 1( )ln .

3

f x xI f x x dx C

x x x Chọn câu C.

14

Câu 38. Cho số phức z thỏa mãn 3 5, 2 2 2 .z z i z i Tính .z

A. 17.z B. 17.z C. 10.z D. 10.z

Lời giải. Đặt z a bi với ,a b thì ta có hệ

2 2

2 2 2 2

( 3) 5

( 2) ( 2) ( 2)

a b

a b a b.

Giải hệ này, ta có ( , ) (1, 3),(1, 3).a b Suy ra 10z . Chọn câu C.

Câu 44. Xét khối chóp .S ABC có đáy là tam giác vuông cân tại ,A SA vuông với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( )SBC bằng 3. Gọi là góc giữa mặt phẳng ( )SBC và ( )ABC , tính cos khi thể tích khối chóp .S ABC nhỏ nhất.

A. 1cos

3 B. 3

cos3

C. 2cos

2 D. 2

cos3

.

Lời giải.

Gọi H là hình chiếu của A lên BC và K là hình chiếu

của A lên .SH Theo giả thiết thì 2 2 2

1 1 1

3SA AH hay

2 2 2

1 1 1 19SA AB AC

.

Đặt ,SA h AB AC a nên 2 2

1 2 19h a

. Suy ra

32 2 2 2 2 2 2 2 49( 2 ) 9( ) 27h a a h a h h a h .

Do đó 2 81 3a h . Ta cũng có 21 27 3

6 6 2a h

V AS AB AC .

Đẳng thức xảy ra khi a h hay 2 3, cos cos

2 3a

SA a AH SHA .

Chọn câu B.

S

A

B

CH

K

15

Câu 45. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số 4 22y x mx có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích nhỏ hơn 1.

A. 0m B. 1m C. 30 4m D. 0 1.m

Lời giải.

Điều kiện để hàm số có ba cực trị là 0.m

Gọi , ,A B C là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số (trong đó A Oy ).

Tam giác ABC có 22

bBC m

a và chiều cao

22

4b

h ma

.

Diện tích tam giác ABC là 211 1 1

2S BC h m m hay 1.m

Do đó, 0 1.m Chọn câu D.

Câu 46. Cho hàm số ( )y f x . Đồ thị của hàm số ( )y f x có đồ thị như hình bên. Đặt 2( ) 2 ( ) .g x f x x Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. (3) ( 3) (1)g g g B. (1) (3) ( 3).g g g

C. (1) ( 3) (3)g g g D. ( 3) (3) (1).g g g

Lời giải. Ta có ( ) 2 ( ) 2g x f x x . Xét đồ thị của hàm số y x thì

( ) , [ 3;1]f x x x và ( ) , [1; 3]f x x x .

Suy ra ( )g x nghịch biến trên [ 3;1] và đồng biến trên [1; 3].

Do đó ( 3) (1)g g và (1) (3).g g

Ta lại tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )f x và y x thì diện tích từ 3 1 lớn

hơn từ 1 3 nên 1 3

3 12 ( ) 2 2 ( ) 2f x x dx f x x dx

, suy ra

( 3) (1) (3) (1).g g g g

Do đó, ( 3) (3) (1).g g g Chọn câu B.

Câu 47. Cho hình nón ( )N có đường sinh tạo với đáy một góc 60 . Mặt phẳng qua trục của ( )N được thiết diện là một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp là 1. Tính thể tích V của khối nón giới hạn bởi ( ).N

16

A. 9 3V B. 9V C. 3 3V D. 3V

Lời giải.

Gọi SAB là tam giác thiết diện thì đây là tam giác đều, ta cũng có 1IH , trong đó H là trung điểm .AB

Suy ra 3SH và 3HA HB .

Thể tích của khối nón là 213 ( 3) 3 .

3V Chọn

câu D.

Câu 48. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 3 13z i và 2

zz

là số thuần ảo?

A. Vô số B. 2. C. 0. D. 1.

Lời giải.

Đặt z a bi với , .a b Điều kiện 2z hay ( , ) ( 2, 0).a b

2

2 2

( )( 2 ) ( 2) 22 2 ( 2 )( 2 ) ( 2)

z a bi a bi a bi a a b biz a bi a bi a bi a b

.

Đây lả số thuần ảo khi 2( 2) 0.a a b

Mặt khác 2 23 13 ( 3) 13.z i a b

Giải hệ này, ta có 1 3( , ) ; ,(4;0).

5 5a b

Tuy nhiên, không nhận bộ ( 2;0) nên chỉ có

một số phức 1 35 5

z i thỏa mãn đề bài. Chọn câu D.

Câu 49. Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho (3; 2;6)A , (0;1;0)B và mặt cầu 2 2 2( ) : ( 1) ( 2) ( 3) 25.S x y z Mặt phẳng ( ) : 2 0P ax by cz đi qua ,A B

và cắt ( )S theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính .T a b c

A. 3.T B. 5.T C. 2.T D. 4.T

Lời giải. Từ phương trình mặt cầu, suy ra (1;2;3)I là tâm của ( ).S

H

I

S

A B

17

Đường thẳng AB có phương trình là 1

2

x t

y t

z t

. Gọi ( ,1 ,2 )H t t t là hình chiếu của I

lên .AB Suy ra ( 1; 1 ;2 3)IH t t t

và IH AB

nên tính được 1.t

Khi đó, (0, 2, 1).IH

Giao tuyến có bán kính nhỏ nhất khi khoảng cách I đến ( )P lớn nhất.

Chú ý rằng [ ,( )]d I P IH và đẳng thức xảy ra khi ( )IH P .

Suy ra (0; 2; 1) (0;2;1)IH

là pháp tuyến của ( ).P

Phương trình mặt phẳng ( )P là

0( 0) 2( 1) 1( 0) 0 0 2 1 2 0x y z x y z hay 0, 2, 1.a b c

Do đó 3.T a b c Chọn câu A.

Câu 50. Xét hàm số 2

9( )

9

t

tf t

m

với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các

giá trị của m sao cho ( ) ( ) 1f x f y với mọi số thực ,x y thỏa mãn ( ).x ye e x y Tìm số phần tử của .S

A. 0 B. 1. C. Vô số D. 2.

Lời giải. Xét bất phương trình 1te t tương ứng với hàm số 1( ) tf t e t với .t

Ta có 1( ) 1tf t e và ( ) 0 1.f t t

Khảo sát hàm số ( )f t trên , ta thấy ( ) 0f t với mọi .t Suy ra

1 ( ) 0, , ( ), , .x y x ye x y x y e e x y x y

Do đó, kết hợp với giả thiết thì ( )x ye e x y hay 1.x y

Thay 1, 0x y , ta có 2 2

9 11

9 1m m

, giải ra, ta có 2 3.m Suy ra 3.m

Thử lại với 2 3m thì 9

( )9 3

t

tf t

dễ thấy thỏa mãn điều kiện đã cho.

Vậy có tất cả hai số thỏa mãn đề bài và 2.S Chọn câu D.

18

Mã đề 104. Câu 35. Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc ( / )v km h phụ thuộc vào thời gian ( )t h có đồ thị là một phần của parabol có đỉnh là

1;8

2 và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính

quãng đường người đó đi được trong 45 phút đầu.

A. 4,0( ).s km B. 2,3( ).s km

C. 4,5( ).s km D. 5,3( ).s km

Lời giải.

Parabol trong hình có đỉnh là

1;8

2 nên phương trình có dạng

22 1 8y a t . Do

nó đi qua (0;0) nên 0 8 8.a a

Phương trình parabol là 28(2 1) 8.y t

Quãng đường cần tìm là 3

24

08(2 1) 8 4,5( ).s t dt km Chọn câu C.

Câu 42. Cho 2

1( )

2F x

x là một nguyên hàm của hàm số ( )f x

x. Tìm nguyên hàm của

hàm số ( ) ln .f x x

A. 2 2

ln 1.

2

xC

x x B.

2 2

ln 1.

xC

x x

C. 2 2

ln 1.

xC

x x D.

2 2

ln 1.

2

xC

x x

Lời giải.

Vì 2

1

2x là nguyên hàm của ( )f x

x nên

2 3

( ) 1 1.

2

f xx x x

Xét nguyên hàm ( )ln .I f x xdx Đặt ln , ( )u x dv f x dx thì dx

dux

và ( ).v f x

Ta đưa về 2 2

( ) ln 1( )ln .

2

f x xI f x x dx C

x x x Chọn câu A.

19

Câu 44. Cho mặt cầu ( )S tâm O , bán kính 3.R Mặt phẳng ( )P cách O một khoảng bằng 1 và cắt ( )S theo giao tuyến là đường tròn ( )C tâm H . Gọi T là giao điểm của tia HO với ( ),S tính thể tích V của khối nón có đỉnh S và đường tròn đáy là ( ).C

A.

32.

3V B. 16 .V C.

16

.3

V D. 32 .V

Lời giải. Bán kính đường tròn ( )C là 2 23 1 2 2 .

Chiều cao của hình nón là 1 3 4.

Suy ra thể tích của hình nón là 2 32

4 (2 2) .3 3

V Chọn câu A.

Câu 45. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của 3 2 33 4y x mx m có hai điểm cực trị ,A B tạo với trục tọa độ tam giác có diện tích bằng 4.

A. 4

1

2m . B. 1.m C. 1.m D. 0.m

Lời giải.

Ta có

32 0 4

3 6 02 0

x y my x mx y

x m y. Do đó 3(0,4 ), (2 ,0)A m B m nên tam

giác OAB vuông tại .O

Suy ra 3 414 2 4 1 1.

2m m m m Chọn câu B.

Câu 46. Xét các số nguyên dương ,a b sao cho phương trình 2ln ln 5 0a x b x có

hai nghiệm phân biệt 1 2,x x và phương trình 25 log log 0x b x a có hai nghiệm

phân biệt 3 4

x x thỏa mãn 1 2 3 4

.x x x x Tìm giá trị nhỏ nhất min

S của 2 3 .S a b

A. min

30.S B. min

25S . C. min

33.S D. min

17.S

Lời giải. Phương trình thứ nhất có hai nghiệm phân biệt khi 21

20 0b a . Đó

cũng là điều kiện có nghiệm phân biệt của phương trình thứ hai.

Đặt lnt x thì phương trình thứ nhất là 2 5 0at bt và 1 2 1 2

ln( )b

t t x xa

.

Tương tự đặt logt x thì 25 0t bt a và 3 4 3 4

log( )5b

t t x x .

20

Theo giả thiết thì

5

1 2 3 4

510 ln10 2,17.

5 ln10

b b

ab b

e x x x x aa

.

Vì a nên 3.a Suy ra 2 20 60b a nên 2 64b và 8.b

Do đó 2 3 3 8 30.S Chọn câu A.

Câu 47. Trong không gian, cho ( 2;0;0), (0; 2;0), (0;0; 2)A B C . Gọi D là điểm khác O sao cho , ,DA DB DC đôi một vuông góc nhau và ( , , )I a b c là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện .ABCD Tính .S a b c

A. 4.S B. 1.S C. 2.S D. 3.S

Lời giải. Chú ý rằng , ,OA OB OC cũng đôi một vuông góc nhau nên , , , , ,O D A B C là 5 trong 8 đỉnh của một hình hộp chữ nhật có đường chéo dài nhất là .OD

Ta có ( 2; 2; 2)D và ( 1; 1; 1)I là trung điểm OD chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp cần tìm.

Do đó 3.S Chọn câu D.

Câu 48. Cho hàm số ( ).y f x Đồ thị của hàm số ( )y f x

như hình bên. Đặt 2( ) 2 ( ) ( 1)g x f x x . Mệnh đề nào là đúng?

A. (1) (3) ( 3).g g g B. (1) ( 3) (3).g g g

C. (3) ( 3) (1).g g g D. (3) ( 3) (1).g g g

Lời giải.

IO

DC

A

B

21

Ta có ( ) 2 ( ) 2( 1) 2 ( ) ( 1)g x f x x f x x . Dựa vào đồ thị, ta thấy

( ) ( 1), [ 3;1]f x x x và ( ) ( 1), [1;3]f x x x . Suy ra

( ) 0g x với [ 3;1]x và ( ) 0g x với [1; 3].x

Do đó, ( )g x nghịch biến trên [ 3;1] và đồng biến trên [1; 3].Ta được ( 3) (1)g g và (1) (3).g g

Ta lại tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )f x và ( 1)y x thì diện tích từ

3 1 lớn hơn từ 1 3 nên

1 3

3 12 ( ) 2( 1) 2 ( ) 2( 1)f x x dx f x x dx , suy ra

( 3) (1) (3) (1).g g g g

Do đó ( 3) (3).g g Kết hợp lại, ta có ( 3) (3) (1).g g g Chọn câu A.

Câu 49. Trong tất cả hình chóp tứ giác đều nội tiếp hình cầu có bán kính bằng 9, tính thể tích V của hình chóp có thể tích lớn nhất.

A. 144.V B. 576.V C. 576 2.V D. 144 6.V

Lời giải.

Ta xét mặt cắt dọc của hình cầu có chứa hình chóp bên trong như hình bên dưới.

Trong đó ,M N là hai đỉnh đối nhau của mặt đáy. Rõ ràng để thể tích lớn nhất thì I phải nằm giữa , .S H

Đặt IH x thì 9SH x và 281HM HN x nên 22 81MN x và cạnh

hình vuông mặt đáy sẽ là 22 81MN x .

H

I

M N

S

22

Suy ra thể tích khối chóp là 22(9 )(81 )

3x x . Khảo sát hàm số này, ta có

max576.V

Câu 50. Cho S là tập hợp giá trị của tham số m sao cho tồn tại duy nhất số phức z thỏa

mãn 1z z và 3 .z i m Tìm số phần tử của .S

A. 2. B. 4. C. 1. D. 3.

Lời giải.

Ta có 1 1.z z z Suy ra số phức z có điểm biểu diễn nằm trên đường tròn tâm

,O bán kính là 1. Ngoài ra, với điều kiện 3z i m thì điểm biểu diễn z còn nằm

trên đường tròn tâm ( 3, 1)I và bán kính là m .

Để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn điều kiện đề bài thì hai đường tròn phải tiếp xúc với nhau, và dễ thấy rằng ta có thể vẽ được hai đường tròn như thế. Chọn câu A.

2

2

4

O

I