GÓC LƯỢNG GIÁC – CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

I. GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC:

1. Công thức đổi đơn vị:

Gọi a0 và lần lượt là số đo bằng độ và bằng radian của cùng 1 góc. Ta có công thức đổi đơn vị : 0

0

a

180

.

Suy ra: 0

0 .180a

hay

0

0

a .

180

Độ dài cung tròn bán kính R có số đo rad là R .

2. Định nghĩa góc lượng giác:

- Chiều dương lượng giác là chiều ngược chiều kim đồng hồ. Chiều âm lượng giác là chiều ngược lại.

- Cho hai tia Ou, Ov. Tia Om quay theo một chiều nhất định, bắt đầu ở Ou và kết thúc ở Ov. Khi đó ta nói

tia Om quét một góc lượng giác kí hiệu là (Ou, Ov).

0 0(Ou,Ov) a k360 (k Z)

(Ou,Ov) k2 (k Z)hay

II. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC (CUNG) LƯỢNG GIÁC:

1. Đường tròn lượng giác: là 1 đường tròn đơn vị (bán kính bằng 1), định hướng, trên đó có một điểm A gọi

là điểm gốc.

2. Định nghĩa các giá trị lượng giác:

Lấy điểm M x; y trên đường tròn lượng giác sao cho sđ OA,( OM) . Khi đó ta định nghĩa :

M

M

sin y OH

cos x OK

sintan AT (cos 0)

cos

coscot BS (sin 0)

sin

T/c:

sin, cos [-1,1]

tan xác định k ,k2

cot xác định k ,k

-

+

u

v

mM

V

O

U

x

y t

sS

TB

O A

M(x;y)

K

H

3. Giá trị lượng giác của các cung(góc) đặc biệt:

Góc

0 6

4

3

2

2

3

3

4

3

2

2

00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600

sin 0 1

2

2

2

3

2 1

3

2

2

2 0 –1 0

cos 1 3

2

2

2

1

2 0

1

2

2

2 –1 0 1

tan 0 3

3 1 3 || 3 –1 0 || 0

cot || 3 1 3

3 0

3

3 –1 || 0 ||

4. Dâu các giá trị lượng giác:

Dấu của các giá trị lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm M nằm trên đường tròn lượng giác.

Phần tư

Giá trị lượng giác

I II III IV

cos + – – +

sin + + – –

tan + – + –

cot + – + –

III. CÔNG THƯC CƠ BAN:

2 2

2 2

2 2

sin cossin cos 1; tan ; cot

cos sin

1 1tan .cot 1; 1 tan ; 1 cot

cos sin

Mở rộng: 4 4 2 2sin cos 1 2sin cos

6 6 2 2sin cos 1 3sin cos

PHẦN BÀI TẬP

1./ Tính sin và cos biết :

a) 0210 b) 0240 c) 17

2

2./ Biểu thị theo tan các biểu thức sau, trong đó k

a) tan k b) tan k c) cot k

3./ Cho 02

. Xét dấu các biểu thức

a) cos b) tan

c) 2

sin3

d) 3

cos4

4./ Tính biết :

a) cos 1 b) cos 1 c) cos 0

d) sin 1 e) sin 1 f) sin 0

5./ Chứng minh các đẳng thức:

a) 4 4 2 2sin x cos x 1 2sin x cos x

b) 6 6 2 2sin x cos x 1 3sin x cos x

c) 2 2 2 2cot x cos x cos x.cot x

d) 2

2

2

1 sin x1 2 tan x

1 sin x

e) 2 2

2 2

2 2

cos x sin xsin x cos x

cot x tan x

f) sin x cos x 1 2cos x

1 cos x sin x cos x 1

g) tan x tan y

tan x . tan ycot x cot y

h) 2 2sin a tan a cos a cot a 2sin a cosa tan a cot a

6./ Chứng minh các biểu thức sau đây không phụ thuộc x 4 4 2 2 2A 2cos x sin x sin x cos x 3sin x

2 2

B cot x tan x cot x tan x

2 cot x 1C

tan x 1 cot x 1

4 2 4 2D sin x 4cos x cos x 4sin x 2 2

2

cot x cos x sin x cos xE

cot x cot x

2

2

2 2 2

1 tan x 1F

4 tan x 4sin x cos x

7./ Cho biểu thức 6 6 4 4A sin x cos x m sin x cos x

Xác định m để biểu thức A không phụ thuộc vào x, khi đó hãy tính giá trị của A.

8./ Rút gọn các biểu thức sau :

2 2

A tan x cot x tan x cot x

2 2 2B 1 sin x cot x 1 cot x

cos xC tan x

1 sin x

2

cos x . tan xD cot x . cos x

sin x

1 sin x 1 sin xE

1 sin x 1 sin x

9./ Tính giá trị của các hàm số lượng giác của cung biết:

a) 0 04sin 90 180

5

b) 0 05cos 90 180

13

c) tan 22

d) 0 02cot 180 270

3

10./ Tính giá trị của các biểu thức :

2sin a 5cosaA

sin a cosa

biết tan a 2

2

2 2

sin x sin x cos x 1B

sin x cos x

biết cot x 2

2C 2cos a 5sin a cosa 1 biết cot a 5

cot a 3tan aD

2cosa tan a tan a

biết

2cot a

3

2 2

2 2

sin a 2sin a cosa 2cos aE

2sin a 3sin a cosa 4cos a

biết cot a 3

11./Cho 4 13s x cos x

2

4

in . Tính giá trị biểu thức: 4A s x 3cos x4

in

ĐƯỜNG THẲNG

Tóm tắt lý thuyết

I. Phương trình đường thẳng:

1) Vectơ u ≠ 0 được gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng giá của nó song song hoặc

trùng .

2) Vectơ 0n ,có giá vuông góc đường thẳng gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của đường thẳng .

3) Phương trình tham số - Phương trình chính tắc:

Đường thẳng qua điểm o oI x ; y , có VTCP 1 2u (a ;a )

phương trình tham số 0 1

0 2

x x a tt R

y y a t:

phương trình chính tắc 0 0x x y y( ):

1 2

1 2

vôùi a ,a 0

a a

Chú ý: Khi

1a 0 hay 2a 0 thì đường thẳng không có phương trình chính tắc.

4) Phương trình tổng quát:

Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng:

ax by c 0 2 2(a b 0) .

Khi đó có VTPT n (a;b)

VTCP a (-b;a) hay a (b;-a)

Đường thẳng qua điểm o oI x ; y , có VTPT n (a;b)

phương trình tổng quát: :0 0

a x-x +b y-y =0

Chú ý:

Đường thẳng by c 0 song song hoặc trùng Ox.

Đường thẳng ax c 0 song song hoặc trùng Oy.

Đường thẳng ax by 0 đi qua gốc tọa độ O.

II. Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát:

1) Phương trình đoạn chắn:

Đường thẳng cắt trục Ox tại A(a;0) và cắt trục Oy tại B(0;b) a,b 0 có phương trình: x y

1 (1)a b

Đây được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn.

2) Phương trình của đường thẳng theo hệ số góc:

Phương trình của đường thẳng theo hệ số góc có dạng: y kx b.

Đường thẳng ( ) qua o oI x , y và có hệ số góc k thì có phương trình:

o oy k x x y( )

Trong đó k tanα ; với là góc giữa tia Mt với tia Mx

( M ( ) Ox , tia Mt là phần của đường thẳng nằm phía trên Ox)

3) Phương trình của đường thẳng qua 2 điểm:

( ) qua 2 điểm A AA x , y và B BB x , y

A A

B A B A

x x y y(AB) :

x x y y

(với A B A Bx x ; y y )

III. Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng:

2 2

1 1 1 1 1 1

2 2

2 2 2 2 2 2

Cho : a x b y c 0 a b 0

: a x b y c 0 a b 0

Khi 2 2 2a ,b ,c 0

1 11 2

2 2

a b, ;

a bcaét nhau

1 1 11 2

2 2 2

a b c/ / ;

a b c

1 1 11 2

2 2 2

a b c

a b c

IV. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng:

Cho M MM x , y và : ax by c 0

M M

2 2

ax by cd(M, )

a b

V. Vị trí của 2 điểm đối với đường thẳng:

Cho đường thẳng : ax by c 0 và 2 điểm M MM x , y ; N NN x , y không nằm trên , khi đó:

M,N nằm cùng phía đối với

M M N Nax by c ax by c 0

M,N nằm khác phía đối với

M M N Nax by c ax by c 0

VI Phương trình đường phân giác:

Cho 2 đường thẳng cắt nhau,có phương trình:

1 1 1 1: a x b y c 0

2 2 2 2: a x b y c 0

Nếu 1 cắt 2 thì phương trình đường phân giác của góc tạo bởi 1 và 2 là:

1 1 1 2 2 2

2 2 2 2

1 1 2 2

a x b y c a x b y c

a b a b

Chú ý: Phân biệt phân giác trong, phân giác ngoài của góc trong tam giác bằng cách dùng điều kiện hai điểm

cùng phía, khác phía với đường thẳng.

VII. Góc giữa 2 đường thẳng:

Định nghĩa:

Góc giữa 2 đường thẳng 1 và 2 , kí hiệu 1 2,

hay 1 2,

Qui ước: 00 1 2, 900

Công thức:

1 1 1 1: a x b y c 0 có VTPT 1 1 1n (a ;b )

2 2 2 2: a x b y c 0 có VTPT 2 2 2n (a ;b )

1 2 1 2

2 2 2

2

22

2

1

1 1

a a b bcos ,

a b a b

Chú ý:

1 1 1 22 2a a b b 0

1 o

1 2

1

2

2

/ /, 0

Phần bài tập 1./ Lập phương trình tham số và phương trình chính tắc (nếu có) của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau :

a) d đi qua điểm M 3;6 và có 1 VTCP a 2; 1 .

b) d đi qua điểm M 3;16 và có 1 VTPT n 2;5 .

c) d đi qua hai điểm M 3 ;6 và N 5; –3 .

d) d đi qua A(–1; 2) và // với đường thẳng 5x + 1 = 0.

e) d đi qua B (7 ; –5) và với đường thẳng x + 3y – 6 = 0. f) d đi qua C(–2; 3) và có hệ số góc k –3 .

2/ Cho A 1; –3 , B 3 ; –1 , C 2; 5 trong mp Oxy. Tìm phương trình của đường thẳng qua A và vuông góc

với trung tuyến BM của tam giác ABC. 3./ Viết phương trình tổng quát của các đường thẳng sau:

a) x 1 2t

y 3 t

b)

x 2 t

y 2 t

c) x 3

y 6 2t

d)

x 2 3t

y 4

4/ Viết phương trình tham số của các đường thẳng sau đây: a) 3x – y – 2 0 b) –2x y 3 0

c) x –1 0 d) y – 6 0

5./ Cho tam giác ABC có đỉnh A(3 ; –4) và phương trình của hai đường cao là 7x – 2y –1 0 và 2x – 7y – 6 0 .

Tìm phương trình các cạnh của tam giác ABC. 6./ Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC khi biết

a) Đỉnh A(4; –1), phương trình một đường cao và một trung tuyến vẽ từ cùng một đỉnh là 2x – 3y 12 0

và 2x 3y 0 .

b) Đỉnh A(2; –7), phương trình một đường cao và một t rung tuyến vẽ từ hai đỉnh khác nhau là 3x y 11 0 và x 2y 7 0 .

7./ Cho tam giác ABC có phương trình cạnh BC là x 1 y 3

1 2

, phương trình các đường trung tuyến BM và

CN lần lượt là 3x y – 7 0 và x + y – 5 = 0. Viết phương trình các cạnh AB, AC.

8./ Lập phương trình 3 cạnh của tam giác ABC biết rằng A(1; 3) và phương trình 2 đường trung tuyến là: x – 2y 1 0 và y –1 0 .

9./ Cho A –2;5 , B 1;4 , C –4; –1

Viết phương trình đường trung tuyến BM, đường trung trực cạnh AC, đường cao AH và đường phân giác

trong của A của ABC 10./ Cho hai cạnh hình bình hành có phương trình: 2x – 7y 3 0 , x – 3y 1 0 . Một đỉnh A(1; 2). Viết phương

trình hai cạnh còn lại 11./ Tìm phương trình 3 cạnh và 3 đường trung trực của một tam giác có 3 trung điểm 3 cạnh là M(–1; –1),

N 1;9 , P(9 ; 1). Suy ra tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

12./ Cho đường thẳng D : x – y – 3 0 và điểm A(1; 2)

a) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng của A qua D.

b) Tìm phương trình đường thẳng đối xứng của đường thẳng 1D : x – y 1 0 qua (D).

c) Tìm phương trình đường thẳng đối xứng của đường thẳng 2D : x 3y – 7 0 qua (D).

13./ Lập phương trình đường thẳng đi qua P(6; 4) và tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng

2.

14./ Qua A(2; 3) dựng đường thẳng cắt các trục tọa độ theo các đoạn bằng nhau. Viết phương trình đường

.

15./ Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau và tìm giao điểm (nếu có) của chúng

a) 2x – 5y 3 0 và 5x 2y – 3 0

b) x – 3y 4 0 và 0,5x –1,5y 4 0

c) 10x 2y – 3 0 và 5x y –1,5 0

16./ Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau:

a) 1d : 2x – 5y 6 0

2d : –x y – 3 0

b) 1d : –3x 2y – 7 0

2d : 6x – 4y – 7 0

c) 1d : x y – 3 02 2d : 2x 2y – 3 2 0

d) 1d : m –1 x my 1 0 2d : 2x y – 4 0

17./ Cho hai đường thẳng

d1 : 1

1

x x at

y y bt

d2 :

2

2

x x ct '

y y dt '

(1 2 1 2x ,x , ,y y là các hằng số). Tìm điều kiện của a, b, c, d để hai đường thẳng d1 và d2

a) cắt nhau b) // nhau

c) trùng nhau d) nhau

18./ Xét vị trí tượng đối của các cặp đường thẳng sau và tìm tọa độ giao điểm của chúng (nếu có)

a) 1

x 1 2t

y 3 t:

3

và

2 : 2x – y –1 0

b) 1

x 2t

y 1 t:

và 2

x 2 y 3

4:

2

c) 1

x 2 t:

y t

và 2

x 4t '

y 2:

t '

b) 1

x 2:

y 3

1 5

và 2

x 1 y 18

2 10:

19./ Cho hai đường thẳng

d1 : x 2 3t

y 1 t

d2 :

x 1 2t '

y 3 t '

a) Tìm tọa độ giao điểm M của d1 và d2

b) Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của

- Đường thẳng đi qua M và vuông góc với d1

- Đường thẳng đi qua M và vuông góc với d2

20./ Biện luận vị trí tương đối của 2 đường thẳng sau theo tham số m

1 : 4x – my 4 – m 0

2 : 2m 6 x y – 2m –1 0

21./ a) Tính góc tù tạo bởi hai đường thẳng: 5x – y 7 0

và 3x 2y 0

b) Tìm góc của hai đường thẳng: 1d :3x – 2y 11 0

và 2d : x – 5y – 5 0

22/ Lập phương trình đường thẳng qua I(2; 1) và hợp với đường thẳng 2x 3y 4 0 một góc 450.

23./ Viết phương trình đường thẳng

a) Qua A(–2; 0) và tạo với đường thẳng d : x 3y – 3 0 một góc 45°.

b) Qua B(–1; 2) và tạo với đường thẳng d: x 2 3t

y 2t

một góc 600

24./ Xác định các giá trị của a để góc tạo bởi 2 đường thẳng

x 2 at

y 1 2t

và 3x 4y 12 0 bằng 45°.

25./ Cho hai đường thẳng 1 : x 2y – 3 0 và 2 : 3x – y 2 0

Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm P 3;1 và cắt 21 , lần lượt ở A, B sao cho tạo

với 21 , một tam giác cân có cạnh đáy là AB.

26./ Cho hình vuông có đỉnh A –4;5 và một đường chéo nằm trên đường thẳng có phương trình 7x – y 8 0

. Lập phương trình các cạnh và đường chéo thứ hai của hình vuông.

27./ Cho 3 điểm A(3 ; 0), B(–5 ; 4) và P(10; 2). Viết phương trình đường thẳng đi qua P đồng thời cách đều A và

B.

28./ Viết phương trình của đường thẳng (D) trong các trường hợp sau:

a) (D) qua A(4; –2) và cách góc O với khoảng cách bằng 2.

b) (D) qua A(1; 2) và cách các điểm M(2; 3), N(4 ; –5) các khoảng bằng nhau.

c) (D) qua M(2; 7) và cách N(1; 2) một khoảng bằng 1.

29/ Cho điểm A (–1; 2) và đường thẳng x 1 2t

y 2t:

Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng . Từ đó suy ra diện tích của hình tròn tâm A tiếp xúc với

.

30./ a) Cho 2 điểm A(1; 1) và B(3 ; 6). Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cách B một khoảng bằng 2.

b) Cho đường thẳng d có phương trình: 8x – 6y – 5 0 . Viết phương trình đường thẳng // với d và cách

d một khoảng bằng 5.

31./ Cho 3 điểm A 1;1 , B 2;0 , C 3;4 . Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cách đều 2 điểm B, C.

32/ Cho 2 đường thẳng (D1): 3x + 4y –12 = 0; (D2): 3x + 4y – 2 = 0

a) Viết phương trình // và cách đều (D1), (D2).

b) Tìm điểm M trên 3D : x – 2y 1 0 và cách (D1) một khoảng bằng 1.

33/ Cho d :3x 4y – 2 0 và 2 điểm A 1;2 , B 4;0

So sánh khoảng cách từ A và B đến (d).

34./ a) Cho tam giác ABC cân tại A, biết phương trình các đường thẳng AB, BC lần lượt là: x 2y –1 0 và

3x – y 5 0 . Viết phương trình đường thẳng AC biết rằng đường thẳng AC đi qua điểm M (1; –3) .

b) Cho hai đường thẳng 1 : 2x – y 5 0 và 2 : 3x 6y –1 0 và điểm M(2 ; –1). Viết phương trình

đường thẳng đi qua M và tạo với hai đường thẳng 21 , một tam giác cân có đỉnh là giao điểm

của 21 , .

35./ Lập phương trình đường thẳng qua A 3;0 và cắt các đường thẳng 2x – y – 2 0 , x y 3 0 tại các điểm

I, J sao cho A là trung điểm của IJ.

36./ Cho : x 2y 1 0 ; A 1;2 , B –1;1

a) Tìm M : MA MB bé nhất.

b) Tìm N : NA NB lớn nhất.