Trong quá trình phá huỷ đất đá, choòng khoan luôn chịu tác động của tổ hợp các lực tương tác cộng hưởng hoặc triệt tiêu lẫn nhau. Có thể thấy choòng khoan luôn làm việc trong một môi trường động phức tạp. Một số câu hỏi được đặt ra: Choòng đã làm việc trong trạng thái động lực học nào (ổn định hay không ổn định)?

Ổn định động học của hệ động lực học quá trình khoan có tác động rất lớn đối với hiệu quả công tác khoan. Các thông số chế độ khoan là yếu tố có thể điều chỉnh tức thời và ảnh hưởng đến hầu hết các chỉ tiêu khoan. Chính vì vậy, việc lựa chọn hợp lý các thông số chế độ khoan mang tính quyết định đến hiệu quả của công tác khoan.

Tốc độ cơ học là chỉ tiêu hàng đầu trong việc đánh giá hiệu quả công tác khoan. Việc tăng tốc độ cơ học sẽ làm giảm giá thành và làm tăng tất cả các tốc độ khác.

1. Lý thuyết tai biếnLý thuyết tai biến (catastrophe theory) viết tắt là LTTB được René Thom phát triển vào những năm đầu thập kỷ 70 trước [2],[3],[4],[5]. LTTB nghiên cứu những quá trình đột biến của một hệ và xếp loại các đột biến đó.

Lý thuyết tai biến cung cấp cho chúng ta một cách nhìn và mô tả thế giới có khả năng làm xuất hiện những điểm dị đồng giữa những hiện tượng và hình thái rất xa lạ của tự nhiên.Trong [2] René Thom đưa ra những khái niệm sau:1. Mỗi đối tượng hay nói cách khác mỗi hình thái vật lý được mô tả bởi một tập hút trong không gian trạng thái các biến số trong.2. Đối tượng như thế ổn định do đó nhận biết được chỉ trong trường hợp tập hút tương ứng là ổn định cấu trúc.3. Mọi tạo sinh hoặc hủy biến của hình thái (morphogenesis) có thể mô tả bởi sự biến mất của tập hút trong dạng thái ban đầu để được thay thế bởi tập hút mới trong dạng thái cuối cùng. Quá trình này gọi là tai biến và được mô tả trong không gian các biến số ngoài.LTTB là lý thuyết toán học nghiên cứu các đột biến gián đoạn. LTTB được xem như bộ phận của lý thuyết hỗn độn (chaos theory).

2. Bảy tai biến cơ bản những hiện tượng dễ đập vào giác quan chúng ta, chính là tập những điểm kỳ dị mà trong vật lý học người ta gọi là những điểm tới hạn. Có thể lấy một ví dụ khác về những điểm tới hạn quen thuộc hơn trong vật lý học: đó là những điểm tới hạn trong lý thuyết chuyển pha. Tại những điểm đó trạng thái của hệ đột biến, nói cách khác, hệ nhảy từ trạng thái này sang trạng thái khác một cách gián đoạn, ví dụ từ trạng thái lỏng sang trạng thái rắn. Những hiện tượng đột biến có tên là tai biến (catastrophe) trong LTTB của René Thom. Chữ tai biến mà René Thom sử dụng chỉ có ý nghĩa toán học.Các hiện tượng và hình thái của thiên nhiên rất đa dạng đến mức ta khó lòng nắm được mối liên quan giữa chúng. Có điểm gì giống nhau giữa các hiện tượng quang học và một hiện tượng tâm lý? Câu hỏi tưởng chừng như vô nghĩa, nhưng bạn đọc sẽ thấy LTTB cung cấp cho chúng ta một cách mô tả làm nổi lên những điểm dị đồng giữa nhiều hiện tượng và hình thái.René Thom tìm ra được 7 tai biến cơ bản (hình 3), theo đó có thể xếp hạng nhiều hiện tượng và hình thái trong thiên nhiên, và như vậy cho chúng ta thấy được mối liên quan ví dụ giữa một hiện tượng tâm lý với một hiện tượng quang học.3 . Hai biến số trong N & bốn biến số ngoài CĐối với một hàm có kỳ dị ta có thể tìm được một hệ tọa độ trong đó ta có thể phân hàm thành hai phần Q và G: Q là một dạng toàn phương không suy biến, còn G chứa số biến số còn lại. Hàm G gọi là kỳ dị thặng dư và số biến số trong G gọi là đối hạng của kỳ dị. Chỉ hàm G mới quan trọng về mặt tôpô và ứng với những hàm G khác nhau ta có những loại kỳ dị khác nhau. Hàm G chưa ổn định. Đem nhiễu loạn hàm G ta có những hàm mới chứa thêm các biến số ngoài a, b, c,... Các hàm này có tính ổn định cấu trúc, có nghĩa là khi chúng bị nhiễu loạn, hình học của hiện tượng vẫn không thay đổi. Các hàm có tính ổn định với số biến số ngoài nhỏ nhất đóng vai trò hàm thế nói trên. Như vậy mỗi mầm hàm có hai đặc trưng quan trọng là:-   đối hạng N tức số biến số trong còn lại trong kỳ dị thặng dư và-   đối chiều C tức số biến số ngoài đưa vào với mục đích thu được một hàm ổn định dưới các nhiễu loạn.Chiếu tập những điểm tới hạn của hàm V xuống không gian các biến số ngoài a, b, c,... ta có các hình thái đặc trưng cho các tai biến (xem hình 3).Hạn chế N # 2  và C # 4, René Thom tìm ra được 7 tai biến cơ bản. Các tai biến đó có ký hiệu (N,C):1/  nếp xếp (1,1) – fold catastrophe2/  nếp gấp lùi  (1,2) – cusp catastrophe3/  đuôi én (1,3) – swallowtail catastrophe4/  bướm (1,4)- butterfly catastrophe5/  rốn hyperbolic (2,3)- hyperbolic catastrophe6/  rốn elliptic (2,3)- elliptic catastrophe7/  rốn parabolic (2,4)- parabolic catastrophe

2. Woodcock- Catastrophe Theory

At the third, fourth, and fifth stages shown in Figure 3, there is a third possible equilibrium point, the unstable maximum.The theorem's consequences can be stated in the language we have already used: In any system governed by a potential, and in which the system's behavior is determined by no more than four different factors, only seven qualitatively different types of discontinuity are possible. In other words, while there are an infinite number of ways for such a system to change continuously (staying at or near equilibrium), there are only seven structurally stable ways for it to change discontinuously (passing through non-equilibrium states).

So the cusp catastrophe model adds a number of features not seen in the fold model: bimodality, divergence, two sets of catastrophic jumps, smooth or sudden passages between the same initial and final states, and hysteresis. The model is valuable because so many processes in the real world appear to have this cluster of behavior types. As a result, the cusp is the model most frequently used in qualitative applications.

Không dùng 3 thông số điều khiển vì: The swallowtail catastrophe is not particularly useful as a qualitative model because, under a wide range of conditions, no stable state can exist. As with the fold catastrophe, under these conditions, stable behavior cannot be observed .

2) Sách CT for Sicientists and Engineers

Phương trình Fi được giả sử là phụ thuộc trên thông số kiểm soát Cα

3. CT Semantics and Application of Rene’ Thorn’s Theory.

Chúng ta nhận được danh sách 7 tai biến gốc của Thom nếu chúng ta xem xét chỉ mở rộng tới 4 chiều và không biến âm của A3 và A5.

4. Sách Comprehensive Chemical Kinetic

Hệ động học tự trị (autonomous system)

Tính chất của một trạng thái dừng (trạng thái bất biến với thời gian). Nhờ có điều kiện (1.9), tai biến của loại này sẽ được xem như tĩnh học. Từ (1.6) và (1.9), trạng thái dừng của hệ tự trị thì điều kiện là :

Sự nghiên cứu trạng thái dừng của phương trình (1.6) là được quy về a vấn đề toán học nghiên cứu điểm 0 của một phép ánh xạ f = (f1,..,fn). Một sự nghiên cứu ảnh hưởng của những thay đổi những thông số kiểm soát C trên những tính chất của 1 tập nghiệm của những phương trình (1.11) là đối tượng của lý thuyết dị thường (singularity theory), nó là 1 sự tổng quát hóa trực tiếp của lý thuyết tai biến cơ bản (elementary catastrophe theory).

Điều kiện xảy ra của 1 tai biến của loại này được biểu diễn trong những số hạng của đạo hàm của những hàm số fi, ∂fi/∂ψj.

4. Gilmore

Swallowtail catastrophe