M102 : Fondements de l'analyse 1

8/8/2019 M102 : Fondements de l'analyse 1

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Notes de CoursM102 : FONDEMENTS DE LANALYSE 1

Clment BoulonneWeb : http://clementboulonne.new.fr

Mail : [email protected]

Universit des Sciences et Technologies de LilleU.F.R de Mathmatiques Pures et AppliquesLicence de Mathmatiques Semestre 1
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Table des matires

Chapitre I Nombres rels 1I.1 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1I.2 Le corps des rels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1 Addition des nombres rels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Multiplication des rels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2I.3 Relation dordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3I.4 Valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5I.5 Intervalles de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1 Dfinition dun intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Les diffrents types dintervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Caractrisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Notion de voisinage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

I.6 Borne suprieure et infrieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1 Maximum et minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Majorant et minorant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Borne infrieure et suprieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

I.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Chapitre II Suites numriques 11II.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11II.2 Exemple de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1 Suite arithmtique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Suite gomtrique relle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Srie gomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Suite comparable une suite gomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Approximation dun rel par des rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . 19

II.3 Thormes de convergence des suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Les suites convergentes sont bornes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 Suites rcurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.1 Proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

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iv TABLE DES MATIRES

5.2 Reprsentation graphique des suites rcurrentes . . . . . . . . . 255.3 Mthode pour rsoudre un exercice sur les suites rcurrentes . . 26

II.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Chapitre III Fonctions relles 29III.1 Dfinition dune fonction relle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29III.2 Monotonie de la fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30III.3 Fonctions minores, majores et bornes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31III.4 Parit de la fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32III.5 Priodicit dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33III.6 Oprations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34III.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Chapitre IV Limites et continuit des fonctions relles 35IV.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.1 Limite finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.2 Limite infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.3 Limite droite, limite gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.4 Limites en linfini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2 Proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 Formes indetermines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 Passage la limite dans les ingalits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 Thorme des gendarmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

IV.2 Continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 Proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 Prolongement par continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434 Image dun intervalle par une application continue . . . . . . . . . . . . 43

IV.3 Fonctions rciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1 Thorme dexistence des fonctions rciproques . . . . . . . . . . . . . 462 Fonctions rciproques usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.1 La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.2 La fonction racine ne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.3 La fonction arccosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.4 La fonction arcsinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.5 La fonction arctagente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.6 Les fonctions trigonomtriques hyperboliques et leur rciproque 52

IV.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52


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TABLE DES MATIRES v

Chapitre V Fonctions drivables 57V.1 Drivabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1 Drive en un point et en un interavlle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572 Tangente en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583 Rapport avec la continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

V.2 Proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601 Somme et produit de deux fonctions drivables . . . . . . . . . . . . . 602 Drive de linverse et du quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603 Drive de la compose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614 Drive dune fonction rciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

V.3 Drives des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62V.4 Extremum local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64V.5 Thorme des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

1 Thorme de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642 Thorme des accroissements finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

V.6 Drives successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68V.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68


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vi TABLE DES MATIRES


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PROGRAMME DU COURS

Math102 : Fondements de lanalyse 1 [S1, 5 ECTS]Prrequis : Aucun

(6 h) Nombres rels.Proprits de R (la construction de R nest pas au programme de cette unit) :oprations sur R. Relation dordre, R est totalement ordonne. R est archimdien.Partie entire. Q est dense dans R. Valeur absolue. Intervalles, voisinages. Majo-rant, minorant, plus petit lment, plus grand lment, borne suprieure, infrieure.Proprit de la borne sup (admise).

(12 h) Suites numriques.Dfinition dune suite, dune suite majore, minore, monotone. Limite, convergence,proprits de base (somme, produit, quotient). Suites gomtriques, suites comparables des suites gomtriques. Thorme sur la convergence des suites croissantes majores(dmonstration partir de la proprit de la borne sup). Thorme des suites adjacentes.

Suites extraites. Thorme de Bolzano-Weierstrass (dmonstration par dichotomoie).Suites rcurrentes : reprsentation graphique, tude de la convergence. (4 h) Fonctions relles : Dfinitions gnrales.

Ensemble de dpart (domaine de dfinition ou ensemble de dfinition) et darriveImage et graphe. Image directe et rciproque dun ensemble. Injectivit, surjectivit,monotonie, croissance, priodicit. . . Fonction rciproque dune fonction injective :domaine (ou ensemble) de dfinition, image. Graphe de la fonction rciproque f1.

(16 h) Fonctions relles : Limites et continuit.Dfinition de la limite. Proprits de base : f + g, f g, f /g, g f. Passage la limitedans les ingalits et thorme des gendarmes .

Dfinition de la continuit. Proprits de base (somme, produit, compose). Prolon-gement par continuit. Continuit et suites : f est continue en un point a si etseulement si toute suite (un) convergeant vers a, (f(un)) converge vers f(a) . Retouraux suites rcurrentes. Thormes de base : valeurs intermdiaires, maximum surun intervalle ferm born, image dun intervalle. Fonction rciproque dune fonctioncontinue strictement montone.Fonctions usuelles : exp, log, fonctions puissances et puissances inverses, trigonom-triques et trigonomtriques inverses, trigonomtriques hyperboliques et inverses.

(12 h) Fonctions relles : Drivabilit.Drivabilit en un point, interprtation gomtrique. Drive de f+ g, f g, g f et de

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viii CHAPITRE . PROGRAMME DU COURS

f1. Drives des fonctions rciproques usuelles. Minima, maxima (locaux). Drivedordre suprieur. Formule de Leibniz, Thormes de Rolle et des accroissements finis.Lien entre la monotonie et le signe de la drive. Rgle de lHospital.


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CHAPITRE I

NOMBRES RELS

I.1 Historique

Le mathmaticien Pythagore tait toujours convaincu que les phnomnes physiquestaient rgis par les nombres. Par exemple, pour avoir un son mlodieux, il faut pincerla corde au 1

2. Les nombres, cet poque, taient des entiers naturels et des fractions

(rationnels). Mais, vient lapparition du thorme de Pythagore :

Thorme I.1 (Pythagore). Un triangle est rectangle si et seulement si la somme descarrs de deux cts a, b est gale au carr du plus grand ct c, cest--dire :

c2 = a2 + b2.

A

B

C 1

1

a

Figure I.1 Triangle rectangle en B de cts AB = 1, BC = 1 et dhypothnuse a. Que

vaut a ?

Dans le triangle prsent en figure I.1, daprs le thorme de Pythagore vaut

a2 = 12 + 12 = 2.

Do, on note : a =

2. Pythagore croyait que a peut se noter pq

mais il nen est rien 1.On a donc une insuffisance de lensemble Q des nombres rationnels qui sont les nombres

1. car a =2 nest pas un nombre rationnel, cest ce quon appelera un nombre irrationnel

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2 CHAPITRE I. NOMBRES RELS

quon peut reprsenter comme fraction pq

avec p, q des entiers. On verra, dans ce cours, quilexiste, entre deux rationnels, des rels. Ici :

1 < 2 < 2.

On passera la construction des nombres rels qui sera rserv une autre unit, voir [4, 5]Finalement, comme Pythagore ne voulait pas entendre parler de nombres rels 2, il

construisit, avec ses diciples, les triples pythagoriciens.

I.2 Le corps des rels

On ne rappellera pas les dfinitions de groupes, danneaux et corps. Si vous ne lesconnaissez pas (encore), vous pouvez vous rfrer [3, Chap III.]. On va montrer dans cette

section que, muni des oprations daddition et de multiplication usuelles, R est un corps.

1 Addition des nombres rels

Dfinition I.2 (Addition des nombres rels). On dfinit sur lensemble R, une oprationnomm addition et not + telle que :

1. La loi + est associative, cest--dire que pour tout x,y,z R, on a :

(x + y) + z = x + (y + z) = x + y + z.

2. La loi + possde un lment neutre qui est 0 . On a alors, pour tout x R,x + 0 = 0 + x = x.

3. Pour tout x R, on a lexistence dun inverse quon appelle oppos quon note x.On a ainsi que pour tout x R, il existe un x R tel que :

x + x = 0 x = x.

Proposition I.3. (R, +) est un groupe daprs la dfinition I.2. De plus, on a :

x + y = y + x, pour tout x, y R.

(R, +) est donc un groupe commutatif (ou ablien).

2 Multiplication des rels

Dfinition I.4 (R). On note R, lensemble R priv de llment neutre de laddition 0 , cest--dire R = R \ {0}.

2. Lensemble R a t formalis au cours du XVIIe grce lanalyse infinitsimal


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I.3. RELATION DORDRE 3

Dfinition I.5 (Multiplication des rels). On dfinit sur lensemble R, une oprationnomm multiplication et not telle que :

1. La loi est associative, cest--dire que pour tout x,y,z R, on a :(x y) z = x (y + z) = x y z.

2. La loi + possde un lment neutre qui est 1 . On a alors, pour tout x R,

x 1 = 1 x = x.

3. Pour tout x R, on a lexistence dun inverse qui est 1x

. On a ainsi que pour toutx R, il existe un x R tel que :

x x = 0 x = 1x

.

Proposition I.6. On dit que (R, +) est un groupe qui est, en plus, ablien car pour toutx, y R, on a : xy = yx.Proprit I.7 (Distributivit). La loi est aussi distributive avec la loi +, cest--direque pour tout x,y,z R, on a :

x (y + z) = xy + xz

Proposition I.8. On dit que R est un corps car chaque lment de R est inversible parla multiplication.

I.3 Relation dordre

Dfinition I.9 (Relation, [3]). Soit E un ensemble. Une relation R dans E est un sous-ensemble de E E.Exemple I.10. Soit la relation R dans Z dfinie par :

pRq =

{(x, y)

Z, 4

|p

q

}.

On a : 12R8 mais 15 R12.Dfinition I.11 (Relation dordre). On dit que R est une relation dordre si :

1. R est rflexive, cest--direx E, xRx,

2. R est anti-symtrique, cest--dire

x, y E, (xRy et yRx) x = y,


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3. R est transitive, cest--dire :

x,y,z

R, (xRy et yRz)

xRz

Dfinition I.12 (Relation dordre totale). Soit E un ensemble etR une relation dordresur E. On dit que R est totale (ou E est totalement ordonn si on peut comparer deuxlments quelconques de E, cest--dire :

x, y E, xRy ou yRx.

A B

Figure I.2 Lensemble A est inclu dans B

Exemples I.13. 1. Soient E un ensemble et P(E) lensemble des parties de E. Parexemple, si E =

{1, 2, 3

}alors :

P(E) = {, {1} , {2} , {3} , {1, 2} , {1, 3} , {2, 3} , E} .On munit P(E) de la relation dite inclusion densembles , cest--dire si A et Bsont deux sous-ensembles de E alors ARB A B. La figure I.2 nous reprsentedeux ensembles inclus lun dans lautre. On montre que est une relation dordre :Rflexivit Si A E, on a bien A A car tout lment de A sont trivialement

dans A.

Anti-symtrie Soient A, B E. Si A B alors tous les lments de A sont dansB. Si B A alors tous les lment de B sont dans A. On suppose quon a lesdeux assertions simultanment, cest--dire tous les lments de A sont dans Bet vice-versa. Do : A = B.

Transitivit Soient A,B,C E. On suppose que A B donc tous les lments deA sont dans B et que B C alors tous les lments de B sont dans C. Ainsitous les lments de A sont dans B donc dans C, do A C.

Conclusion faite, la relation est une relation dordre. Par contre, elle nest pastotale car on ne peut pas comparer des singletons de E.

2. La relation est une relation dordre totale dans R car elle est rflexive, antisym-trique, transitive et on peut toujours comparer deux nombres rels entre eux.


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I.4. VALEUR ABSOLUE 5

Proprits I.14. Soient x , y, z, t R,1. si z y et x t alors x + z y + t ;2. si x y et z 0 alors xy yz et xz yz.

Proposition I.15 (R est archimdien). Pour tout x R, il existe un n N tel que n x.On dit alors que R est archimdien.

Dfinition I.16 (Partie entire). Soit x R alors il existe un unique entier k tel que :k x k + 1.

Cet entier sappelle la partie entire de x et se note E (x).

Proposition I.17. E (x) est le plus grand entier infrieur ou gale x. Cest--dire, pourtout x

R,

E (x) x E (x) + 1.Exemples I.18. 1. E (2,713) = 2,

2. E () = 3,

3. E

2

= 1,

4. E (2,713) = 3.

I.4 Valeur absolue

Dfinition I.19 (Valeur absolue). Soit x

R, la valeur absolue de x (quon note

|x

|) est

le rel dfinie par :

|x| =x si x 0,x si x 0.

Proprits I.20. Soient x, y R,1. |x| 0 et |x| = 0 si et seulement si x = 0,2. |xy| = |x| |y|,3. pour y = 0,

x

y

=|x|

|y

|,

4. (x)2 = |x|,5. |x| x |x|,On peut donner une interprtation gomtrique de la valeur absolue. Soit deux points

x, y sur la droite relle R, la valeur absolue |x y| reprsente la distance qui spare lespoints x et y (voir la figure I.3).

Proposition I.21 (Ingalit triangulaire). Soient x, y R, on a :||x| |y|| |x y| |x| + |y| .


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O x y

|x y|

Figure I.3 La valeur absolue de x y reprsente la distance qui spare les pointsdabscisses x et y

I.5 Intervalles de R

1 Dfinition dun intervalle

Dfinition I.22 (Intervalle, [7]). On appelle intervalle, un ensemble de nombres dlimitpar deux bornes qui sont des nombres rels. Cet intervalle contient tous les nombres rels

compris entre ces deux bornes.

2 Les diffrents types dintervalles

Dfinition I.23 (Intervalle ferm). Soient a et b deux nombres rels tels que a < b. Onappelle intervalle ferm, tout intervalle de type :

[a , b] = {x R, a x b} .Dfinition I.24 (Intervalle ouvert). Soient a et b deux nombres rels tels que a < b. Onappelle intervalle ouvert, tout intervalle du type :

]a , b[ = {x R, a < x < b} ,]a , +[ = {x R, a < x} ,] , b[ = {x R, x < b} .

Dfinition I.25 (Intervalle semi-ouvert). Soient a et b deux nombres rels tels que a < b.On appelle intervalle semi-ouvert, tout intervalle du type :

]a , b] = {x R, a < x b} ,[a , b[ = {x R, a x < b} ,

]

, b] ={

xR, x

b}

,

[a , +[ = {x R, a x} .

3 Caractrisation

On cherche savoir si un ensemble I est un intervalle ou non de R.

Proposition I.26 (Caractrisation). Soit I une partie non vide de R. I est un intervallesi et seulement si, pour tout a, b I avec a < b, [a , b] est inclu dans I.Exemple I.27. I = [0 , 1] Q nest pas un intervalle.


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I.6. BORNE SUPRIEURE ET INFRIEURE 7

Thorme I.28. Tout intervalle ouvert de R contient une infinit de rationnels et uneinfinit dirrationnels, cest--dire pour tout I, intervalle ouvert non-vide, on a :

(i) IQ = ,(ii) I (R \Q) = .

On dit que Q est dense dans R.

4 Notion de voisinage

Dfinition I.29 (R). On note R = R {+, } = [ , +] et on lappelle droiterelle acheve.

Dfinition I.30 (Voisinage). Soit a R et V une partie non vide R. On dit que V est unvoisinage de a si :

dans le cas o a est fini (cest--dire si a R), V contient un intervalle ouvertcontenant a, dans le cas o a est infini, V continent un intervalle du type [b , +[ ou ] , b] avec

b R.Exemples I.31. 1. Soit a = 5 et on dfinit les intervalles V1 = [4 , 6] et V2 = [4 , 10] Q.

Do les intervalles V1 et V2 sont des voisinages de a car a appartient bien auxintervalles.

2. Si V = [4 , 10] Q nest pas un voisinage car il ne contiennt aucun intervalle, V nepeut tre au voisinage daucun point de R.

I.6 Borne suprieure et infrieure

1 Maximum et minimum

Dfinition I.32 (Minimum et maximum). Soit (E, ) un ensemble ordonn.1. On dit que est un lment minimum de E si E et si pour tout x E, on a :

x.2. On dit que est un lment maximum de E si E et si pour tout x E, on a :

x .Proposition I.33 (Unicit). (i) Si un plus petit lment de E existe alors il est unique,

il est appel lment minimum de E et not min(E).(ii) Si un plus grand lment de E existe alors il est unique, il est appel lment maximum

de E et not max(E).

Dmonstration. On montre lunicit dun lment maximal de E (et on laisse au lecteur lesoin de dmontrer lunicit dun lment minimal de E). Supposons que , E soientdes lments minimaux de E. On a donc :

x E, x, (I.1)x E, x. (I.2)


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En particulier, dans (I.1), on peut prendre x = , on aura donc et dans (I.2), onpeut prendre x = et ainsi . Donc : = et il y a quun seul lment minimal.

2 Majorant et minorant

Dfinition I.34 (Majorant et minorant). Soient (E, ) un ensemble ordonn et A unepartie non vide de E.

1. On dit que M est un majorant de A si M E et pour tout a A, on a : a M. Lapartie de A est dite majore si A admet un majorant.

2. On dit que m est un minorant de A si m E et pour tout a A, on a : m a. Lapartie de A est dite minore, si A admet un minorant.

3 Borne infrieure et suprieure

Dfinition I.35 (Borne infrieure et suprieure). Soit (E, ) un ensemble ordonn et Aune partie non vide de E.

1. On appelle borne suprieure de A (not supEA, le plus petit de tous les majorants.

2. On appelle borne infrieure de A (not infEA), le plus grand de tous les minorants.

Proposition I.36 (Caractrisation de la borne suprieure). Soient A une partie non videde R et R. = supR A si et seulement si :

(i) a A, a ,(ii)

> 0, il existe x

A tel que x >

.

Il y a une infinit de x sauf quand x = (lment maximal).

Proposition I.37 (Caractrisation de la borne infrieure). Soient A une partie non videde R et R. alpha = infR A si et seulement si

1. a A, a,2. > 0, il exise x A tel que x < + .

Il y a une infinit de x sauf quand x = (lment minimal).

Thorme I.38 (Thorme de Bolzano-Weirestrass). Toute partie non vide majore deR admet une borne suprieure. Toute partie non vide minore de R admet une borne

infrieure.

I.7 Exercices

Exercice I.1. 1. Dmontrer que si r Q et x / Q alors r + x / Q et si r = 0, r x / Q.2. Montrer que

2 / Q.

3. En dduire quentre deux rationnels, il y a toujours un nombre irrationnel. (On pourrautiliser la proprit suivante : pour tout rel a > 0, il existe un entier n tel quen > a.)


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I.7. EXERCICES 9

Exercice I.2. Montrer que lensemble des nombres dyadiques :

a2k , (a, k) ZNest dense dans R.

Exercice I.3. tant donn un ensemble A R, crire avec des quantificateurs les propritssuivantes :

1. 10 est un majorant de A,

2. m est un minorant de A,

3. P nest pas un majorant de A,

4. A est major,

5. A nest pas minor.

Exercice I.4. Dterminer (sils existent) : les majorants, les minorants, la borne suprieure,la borne infrieure, le plus grand lment, le plus petit lment des ensembles suivants :

[0 , 1] Qq, ]0 , 1[ Q, N,

(1)n + 1n

, n N

.


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CHAPITRE II

SUITES NUMRIQUES

II.1 Dfinitions

Dfinition II.1 (Suite relle). Une suite relle est une application

u : N Rn u(n) = un .

On note (un) cette suite (ou (un)nN). Si la suite est dfinie, pour n n0, on note (un)nn0.Dfinition II.2 (Croissance et dcroissance). Soit (un)nN une suite relle. On dit que lasuite est

1. croissante si un+1

un, pour tout n

N,

2. strictement croissante si un+1 > un, pour tout n N,3. dcroissante si un+1 un, pour tout n N,4. strictement dcroissante si un+1 < un, pour tout n N.

Dfinition II.3 (Monotonie). Soit (un)nN une suite. Elle est dite monotone si elleest croissante ou dcroissante. Elle est dite strictement monotone si elle est strictementcroissante ou strictement dcroissante.

Remarque II.4. Une suite peut tre ni croissante ni dcroissante (cest--dire elle nestpas monotone). Par exemple, on peut considrer la suite (un)nN dfinie de la manire

suivanteun = (1)n, n N.

Dfinition II.5 (Suite majore et minore). Soit (un)nN une suite relle. Elle est dite :

1. majore sil existe un M R tel que pour tout n N, on ait : M un,2. minore sil existe un m R tel que pour tout n N, on ait : m un,3. borne si la suite est majore et minore, cest--dire :

M R, n N, |un| M.

11


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12 CHAPITRE II. SUITES NUMRIQUES

Dfinition II.6 (Limite finie). Soit (un)nN une suite rel et un rel. On dit que la suitetend vers ou quelle admet comme limite si :

> 0, N N, n N, |un | < .On note :

limn+un =

la limite de la suite (un)nN.

Remarque II.7 ([8]). Lassertion > 0, N > 0, n N veut dire que pour tout > 0, il existe un rang N tel que pour tout indice n, on ait la proprit ou encore que toutintervalle I = ] , + [ tel que > 0 contient tous les termes de la suite partir duncertain rang (comme le montre la figure II.1 pour la suite un = 1n .).

( = 0, 2)

]

[+0

u1u2u3u4

Figure II.1 Convergence de la suite1n

nN : en trait noir, les termes qui ne sont pas

dans lintervalle ] , +[ et en rouge, les termes qui le sont. On voit bien que les pointsrouges forment un segment continu au bout dun certain momnet car les termes sont deplus en plus rapprochs.

Dfinition II.8 (Limite infinie). Soit (un)nN une suite relle.

1. On dit que la suite tend vers + et on note limn+ un = + si

A > 0, N N, n N, un > A.

2. On dit que la suite tend vers et on note : limn+ un = si

A > 0, N N, n N, un < A.

Remarque II.9 ([8]). Lassertion

A > 0,

N > 0,

n

N veut dire quil existe un

intervalle ouvert ]A , +[ ou ] , A[ qui contient tous les termes de la suite partir duncertain rang (voir la figure II.2).

(A = 4)]A

[0

u1 u2 u3

Figure II.2 Convergence de la suite (n)nN : en trait noir, les termes qui ne sont pasdans lintervalle ]A , +[ et en rouge, les termes qui le sont.


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II.1. DFINITIONS 13

Dfinition II.10 (Convergence de suites). Soit(un)nN une suite relle. On dit que (un)nNconverge si et seulement si elle admet une limite finie et quelle diverge si elle nadmet pasde limites ou si limn

+

un =

.

Exemples II.11. 1. La suite (un)nN dfinie, pour tout n N, par :

un = 1 +(1)n

n

converge vers 1.

2. La suite (vn)nN dfinie, pour tout n N, par :vn = n

diverge car elle admet une limite infinie.

3. La suite (wn)nN dfinie, pour tout n N, par :wn = (1)n

diverge car elle na pas de limite.

0 1 2u1 u2u3 u4u5 u6

Figure II.3 Le comportement surprenant de la suite un = 1 +(1)nn

Proposition II.12. Soient et deux rels.

(i) Si (un)nN admet une limite alors cette limite est unique.

(ii) Si lim un = alors lim |un| = ||.(iii) Si lim un = et lim vn =

alors :

lim(un + vn) = + et lim(un vn) = .

(iv) Si lim un = et si = 0 alors :lim

1

un

=1

.

(v) Si lim un = + alors lim 1un = 0.(vi) Si (un)nN et (vn)nN sont deux suites convergentes tels que un vn (pour tout

n n0) alors lim un lim vn. De plus, si lim un = + alors lim vn = +.(vii) [Thorme des gendarmes ] Soient(un)nN, (vn)nN, (wn)nN trois suites tels que :

un vn wn, n n0.Si (un)nN et (wn)nN convergent et si lim un = lim wn alors (vn)nN converge etlim un = lim vn = lim wn.


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Dmonstration. (i) Supposons que et sont deux limites distincts. On pose =( + ell)/3 > 0. On a limn+ un = do lexistence dun rang N tel que pour toutn

N,

|un

|

< . De plus limn

+

un = , do il existe un rang N tel que pour

tout n N, on ait |un | < . On pose n max(N, N) et on a :|un | < et |un | < .

On obtient donc une contradiction, soit nexiste pas ou = .(ii) On veut dmontrer que

> 0, N N, n N, ||un| ||| < .On a, daprs lingalit triangulaire, ||un| ||| |un |. Or lim un = , donc :

> 0, N N, n N, |un | < .Or, on a : ||un| ||| < et |un | ||un| |||. Donc : lim |un| = ||.

(iii) On veut dmontrer que, pour tout > 0, il existe un rang N N tel que n N,on ait :

|(un + vn) ( + )| < .On a, par lingalit triangulaire,

|(un + vn) + | = |un + vn | |un | + |vn | .Or, on a suppos la convergence des suites (un)n

N

et (vn)nN

, do

N1 N, n N1, |un | = 2

,

N2 N, n N2, |vn | = 2

.

On pose N = max(N1, N2). Si n N alors |un | = 2 et |vn | = 2 . Do lasomme :

|un | + |vn | |un + vn | < 2

+

2< .

On obtient la mme chose pour le produit des limites. On a :

|(un vn) ( )| |(un )(vn )| < .Or, on assure la convergence des suites (un)nN et (vn)nN donc :

N1 N, n N1, |un | =

,

N2 N, n N2, |vn | =

.

Soit N = max(N1, N2). Si n N, on a : |un | 1 ou si q = 1 alors (sn)nN diverge.

Exemple II.24. Soit q = 1 alors :k+p+rn=k1

qn =qk1 qk+p+r+1

1 q .

4 Suite comparable une suite gomtrique

Thorme II.25 (Critre de dAlembert). Soit (un)nN une suite tel que un = 0 partirdun certain rang. On suppose que la srie

un+1un

nN est convergente et on note sa

limite.

(i) Si < 1 alors (un)nN converge et lim un = 0.

(ii) Si > 1 alors lim |un| = + donc (un)nN diverge.(iii) Si = 1, on ne peut rien dire (on dit, dans ce cas, que cest un cas douteux).

Dmonstration, [10]. Soit (an)nN

une suite termes strictement positifs telle que :

limn+

an+1an

= 0.

Si < 1, il existe k tel que < k < 1, et N entier naturel tel que, pour n > N :

an < k an1 < knNaN,donc la srie

an+N converge, do le rsultat pour

an.

Si > 1, il existe k tel que 1 < k < , et N entier naturel tel que pour n > N :

an > kan1 > knNaN,

donc la suite ne tend pas vers 0.

Thorme II.26 (Critre de Cauchy). Soit (un)nN une suite, on suppose un = 0 et quela suite

n

unnN est convergente. On note sa limite.

(i) Si < 1, alors (un)nN converge et lim un = 0.

(ii) Si > 1 alors lim |un| = + donc (un)nN diverge.(iii) Si = 1, on ne peut rien dire !


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II.3. THORMES DE CONVERGENCE DES SUITES 19

5 Approximation dun rel par des rationnels

Thorme II.27. Soit

R alors il existe une suite de rationnels qui converge vers .

Plus prcisment, si on pose, pour tout n N,un =

E(10n)

10n,

la suite des rationnels (un)nN et lim un = .

Dmonstration. Il est clair que la suite (un)nN dfinie est bien une suite de rationnelscar 10n N et E (10n) Z. Maintenant, si on note : x0x1 xn la partie dcimale dunnombre rel, on a :

= ypyp1 y1y0 + 0,x0x1 xn.

On obtient alors :u0 = E () = ypyp1 y1y0,u1 = ypyp1 y1y0 + 0,x0

On calcule |un | :

|un | < 0, 0 . . . 0 n

xn+1xn+2xn+3 < 0, 0 . . . 0 n

1 =1

10n= 10n.

On a alors :

0 < |un | 0,

ce qui est impossible cause de lhypothse lim(unvn) = 0. On peut montrer que les suites(un)nN et (vn)nN sont adjacentes. Leur limite commune vrifie pour tout n, un vn,cest--dire [un , vn] = In et pour tout n, I. Donc :

I =+n=0

In = {} .

4 Suites extraites

Exemple II.37 (Exemple introductif). Soit (un)nN

une suite relle. On veut dfinir une

suite qui prend certains des termes de la suite (un)nN. Soit, donc, (vn)nN tel que :

v0 = u1, v1 = u4, v2 = u9, v3 = u10.

On a alors vn = u(n) o : N N

n (n)est une application strictement croissante (cest--dire pour tout m, n N, si n m alors(n) (m).


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Dfinition II.38 (Suites extraites). Soit (un)nN une suite. Une suite extraite (ou sous-suite) de (un)nN est une suite du type

u(n)

nNavec :

: N Nn (n)

une application strictement croissante.

Exemple II.39. Soit (un)nN une suite relle et (vn)nN une suite dfinie de la maniresuivante :

v0 = u0, v1 = u2, v2 = u4, v3 = u6, . . .

On a, pour tout n N, vn = u2n, cest--dire la suite (vn)nN est une sous-suite de (un)nN.

Thorme II.40. Soit (un)nN une suous-suite convergente de limite . Alors toute suiteextraite de (un)nN est convergente et de limite .

Avant de dmontrer le thorme II.40, on montre la proprit suivante :

Proprit II.41. Soit : N N

n (n)une application strictement croissante. Alors, pour tout n N, (n) n.

Dmonstration de la proprit II.41. On montre cette proprit par rcurrence sur n N.Initialisation Dans le cas o n = 0, on a bien (0) 0 car (0) N.Hrdit On suppose que (n) n et on montre que (n+1) n+1. On a (n+1) (n)

d la croissance de lapplication. De plus, (n) n donc (n + 1) n car(n + 1) N. Do (n + 1) n + 1.

Par rcurrence, (n) n pour tout n N.

Dmonstration du thorme II.40, [11]. On suppose que la suite (un)nN a pour limite .Alors :

> 0, N N, n N, |un | < .Soit : N N une application strictement croissante et on veut montrer que lim u(n) = .Soit V un voisinage de . Il existe un rang N partir duquel un V. Soit alors n N.La croissance de et la proprit II.41 nous montre que (n) (N) N. On a donc :u(n) V, do la convergence de la suite

u(n)

nN vers .

Corollaire II.42. Soit (un)nN une suite. Si (vn)nN et (wn)nN sont deux suites extraitesde (un)nN qui divergent ou qui convergent vers des limites diffrentes alors (un)nN diverge.


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Exemple II.43. Soit la suite (un)nN dfinie pour tout n N par :un = (

1)n

On considre les suites (u2n)nN et (u2n+1)nN. Or, on a :

u2n = 1 et u2n+1 = 1, n N.Les limites des suites (u2n)nN et (u2n+1)nN sont diffrents donc (un)nN est une suitedivergente.

Thorme II.44. Soit (un)nN une suite. Si (u2n)nN et (u2n+1)nN sont convergentes etde mme limite alors (un)nN convergente et de limite .

Dmonstration. On suppose que lim u2n = = lim u2n+1. On a donc :

> 0, N1 N, n N1, |u2n | < > 0, N2 N, n N1, |u2n+1 | <

Soit la suite (up)pN constitu des u2n et u2n+1. Si p = 2n, alors n N1 p 2N1 et sip = 2n + 1, n N2 p 2N2 + 1. On prend donc p max(2N1, 2N2 + 1) pour assurer laconvergence des up vers .

Thorme II.45 (Thorme de Bolzano-Weirestrass). De toute suite borne, on peut enextraire une qui est convergente.

Exemple II.46. Soit la suite (un)nN dfinie pour tout n N par :un = (1)n

La suite (un)nN na pas de limite donc elle diverge mais par contre, (u2n)nN converge(car u2n = 1, pour tout n N).

5 Suites rcurrentes

5.1 Proprits

Dfinition II.47 (Suites rcurrentes). Soit f: [a , b] [a , b] une fonction continue sur[a , b]. On dit que (un)n

N

est une suite rcurrente si elle est dfinie de la manire suivante :u0 [a , b],un+1 = f(un), n 0.

Proprit II.48. Soit f: [a , b] [a , b] une fonction continue sur [a , b] et (un)nN unesuite rcurrente telle que :

u0 [a , b],un+1 = f(un), n 0.Alors,


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(i) Si (un)nN converge vers alors f() = .

(ii) Si f est croissante, (un)nN est monotone et convergente.

(iii) Si f est dcroissante, (u2n)nN et (u2n+1)nN sont monotones et convergentes.Dmonstration de lassertion (i). Soit f: [a , b] [a , b] une fonction continue sur [a , b].On a f([a , b]) [a , b] (on dit alors que lintervalle [a , b] est stable par f). Or, un+1 = f(un)et lim un = . On vrifie que, pour tout n N, un [a , b].Initialisation Pour n = 0, u0 [a , b] par hypothse.Hrdit On suppose que un [a , b] et on dmontre que un+1 [a , b]. Or : un+1 = f(un)

et lintervalle [a , b] est stable par f.

Donc, pour tout n N, un [a , b]. La suite (un)nN est borne par a et b et donc admetune limite . COmme f est continue sur [a , b], doit vrifier = f() (on dit que est un

point fixe de f).Dmonstration de lassertion (ii). 1. On suppose que u0 u1. On montre par rcurrence

que, pour tout n, un un+1.Initialisation Par hypothse, pour n = 0, on a : u0 u1.Hrdit On suppose que pour un n fix dans N, on ait un un+1. Comme f est

croissante sur [a , b], on a f(un) f(un+1), cest--dire un+1 un+2.Donc, pour tout n N, un un+1, cest--dire que (un)nN est croissante.

2. On suppose que u0 u1. On montre par rcurrence que, pour tout n, un un+1.Initialisation Par hypothse, pour n = 0, on a : u0

u1.

Hrdit On suppose que pour un n fix dans N, on ait un un+1. Comme f estcroissante sur [a , b], on a f(un) f(un+1), cest--dire un+1 un+2.

Donc, pour tout n N, un un+1, cest--dire que (un)nN est dcroissante.On a montr par ces deux points que si f est croissante alors la suite (un)nN est

monotone, cela dpend des deux premiers termes de la suite : Si u0 u1 alors (un)nN est croissante. Si u0 u1 alors (un)nN est dcroissante.

Comme (un)nN est monotone et borne (par le (i)) alors elle est convergente.

Avant de dmontrer lassertion (iii), on a besoin dune proprit sur les fonctions

dcroissantes.Proprit II.49. Soit f: [a , b] [a , b] une fonction continue sur [a , b]. Si f est dcrois-sante alors f est croissante.

Dmonstration de la proprit II.49. Soit f une fonction continue dcroissante sur [a , b].On a donc :

x1 x2 f(x1) f(x2) f(f(x1)) f(f(x2)) f f(x1) f f(x2).Do, f est croissante.


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Dmonstration de lassertion (iii). On considre les suites (u2n)nN et (u2n+1)nN. On adonc :

u2n+2 = f f(u2n) et u2n+3 = f f(u2n+1).Or f f est croissante, on est donc ramen au cas de lassertion (ii). On en dduit que(u2n)nN est monotone et borne (donc elle est convergente) et (u2n+1)nN est monotone etborne (donc convergente). On pose 0 = lim u2n et 1 = lim u2n+1. On a, en plus, que lasuite (un)nN est convergente si et seulement si 0 = 1.

5.2 Reprsentation graphique des suites rcurrentes

On considre une suite reccurente (un)nN dfinie par un+1 = f(un) et u0 [a , b]. On se

place dans un repre orthonorm de R2

et on trace les fonctions f et x sur lintervalle [a , b].On place u0 sur lintervalle [a , b] et on marque le point (u0, f(u0)). On projette ce pointsur laxe Oy, ce qui donne le point (0, f(u0)). Ensuite, on marque le point (f(u0), f(u0))qui se trouve sur la droite y = x et on le projette sur laxe Ox, ce qui nous donne u1sur lintervalle [a , b]. Ainsi de suite pour trouver les termes de la suite (un)nN.

Pour exemple, on considre la suite (un)nN dfinie par :

u0 = 0,1

un+1 = f(un) avec f(x) = ex

et on donne une reprsentation graphique de cette suite la figure II.4.

0, 5

1

y

xu0 u1u2 u3u4

Figure II.4 Reprsentation graphique de la suite rcurrente un+1 = eun


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5.3 Mthode pour rsoudre un exercice sur les suites rcurrentes

On considre une suite reccurente (un)nN

dfinie par un+1 = f(un).

1. tudier la fonction f(x) : drive, limites et sens de variations. . .2. Trouver un minorant ou un majorant de f.

3. tudier les variations de (un)nN en tudiant f(x) x.4. Conclusion sur la convergence.

5. Utiliser les thormes prcdents pour dterminer la limite .

II.4 Exercices

Exercice II.1. Montrer que la suite (un)nN

dfinie par :

un = (1)n + 1n

nest pas convergente.

Exercice II.2. En justifiant la rponse, dire si les noncs suivants, sont vrais ou faux.

1. Si une suite est croissante et minore, alors elle converge.

2. Si une suite est non majore, alors elle tend vers +.3. Si une suite termes postifs tend vers 0, alors elle est dcroissante partir dun

certain rang.

4. Si une suite a une limite strictement positive, tous ses termes sont strictement positifs partir dun certain rang.

5. Si une suite dentiers converge, elle est stationnaire.

6. Si une suite a un nombre fini de valeurs, elle converge si et seulement si elle eststationnaire.

7. Une suite est convergente si et seulement si elle est borne.

8. Si une suite nest pas majore, elle est minore.

9. Il existe une suite (un)nN avec un = vn wn (resp. un = vn + wn) convergente telleque lune au moins des suites (vn)nN et (wn)nN diverge.

10. Il existe une suite (un)nN divergente telle que (un+1 un) tend vers 0.Exercice II.3. tudier la convergence des suites dfinies par :

un =1 2 n

1 4 (3n 2) , vn =n!

nn.

Exercice II.4. tudier la convergence de la suite dfinie par :

un =

n

2n + 1

n.


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II.4. EXERCICES 27

Exercice II.5 ([8]). Soit (un)nN une suite borne et (vn)nN une suite convergeant vers0. Dmontrer que la suite (unvn)nN converge vers 0.

Exercice II.6. On considre les deux suites :

un = 1 +1

1!+ + 1

n!, n N,

vn = un +1

n!, n N.

Montrer que (un)nN et (vn)nN sont adjacentes. En dduire quelles convergent vers unemme limite. Montrer que cette limite est un lment de R \Q.Exercice II.7. 1. Soient a, b > 0. Montrer que

ab a+b

2.

2. Montrer les ingalits suivantes (b a > 0) :a a + b

2 b et a ab b.

3. Soient u0 et v0 des rels strictement positifs avec u0 < v0. On dfinit deux suites(un)nN et (vn)nN de la faon suivante :

un+1 =

unvn et vn+1un + vn

2.

Montrer que (un)nN

et (vn)nN

sont adjacentes.

Exercice II.8. On donne la suite (un)nN dfinie par :

u1 =

2 et un =

2 un1.

En tudiant les suites (u2n)nN et (u2n+1)nN, montrer que la suite (un)nN est convergente.

Exercice II.9. Soit (un)nN la suite relle dfinie par rcurrence en posant u0 = 1 etun+1 =

1 + un si n N.

1. Montrer que la suite (un)nN est croissante et majore.

2. Montrer que la suite (un)nN converge vers le nombre rel positif qui vrifie 2

1 =0 et calculer .Exercice II.10. tudier les suites :

1. u0 = 0 et un+1 =

un + 2.

2. u0 R et un+1 = un u2n.


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CHAPITRE III

FONCTIONS RELLES

III.1 Dfinition dune fonction relle

Dans tout ce chapitre, on considre U une partie de R.

Dfinition III.1 (Fonction relle, [12]). Une fonction relle f dune partie U de R dansR (quon note f: U R) est une correspondance qui tout lment x de U associe unrel et un seul not f(x).

On notera la fonction :f : U R R

x f(x) .

Dfinition III.2 (Image). Soit f: UR une fonction relle. On appelle f(x) limage de

x par f.

Exemple III.3. La fonctionf : [0 , 1] R

x exest une fonction relle.

Dfinition III.4 (Graphe de la fonction). Soit f: U R une fonction relle. On appellegraphe de la fonction lensemble

Gf = {(x, f(x)), x U} = UR

.

Exemple III.5. Soit la fonction relle suivante :

f : R Rx f(x) = x2 .

Le graphe de la fonction f est reprsent en figure III.1.

29


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30 CHAPITRE III. FONCTIONS RELLES

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

y

3 2 1 1 2 3x

Figure III.1 Graphe de la fonction x x2

III.2 Monotonie de la fonction

Dfinition III.6 (Monotonie de la fonction). Soient U une partie de R et f: U R une fonction relle. On dit que :

f est croissante sur U si

x, x U, x x f(x) f(x),

f est strictement croissante sur U si

x, x U, x x f(x) < f(x),

f est dcroissante sur U si

x, x U, x x f(x) f(x),

f est strictement dcroissante sur U si

x, x U, x x f(x) > f(x),

Exemples III.7. 1. La fonction f: R R dfinie par x f(x) = x2 est dcroissantesur ] , 0] et croissante sur [0 , +[.

2. La fonction f: R R dfinie par x g(x) = ex est croissante sur R. On donne legraphe de la fonction x g(x) = ex sur lintervalle [3 , 3] en figure III.2.


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III.3. FONCTIONS MINORES, MAJORES ET BORNES 31

10

20

y

3 2 1 1 2 3x

Figure III.2 Graphe de la fonction x ex

III.3 Fonctions minores, majores et bornes

Dfinition III.8 (Fonction minore). SoientU une partie de R et f: U R une fonctionrelle. On dit que f est minore sil existe m R tel que :

x U, f(x) m.

Dfinition III.9 (Fonction majore). SoientU une partie de R et f: U R une fonctionrelle. On dit que f est majore sil existe M R tel que :

x U, f(x) M.

Dfinition III.10 (Fonction borne). SoientU une partie de R etf: U R une fonctionrelle. On dit que f est borne sil existe m, M R tels que :

x U, M f(x) m.ou encore il existe M R tel que :

x U, |f(x)| M.

Exemples III.11. 1. La fonction f: R R telle que x f(x) = 1 ex est majorepar 1 (son graphe est reprsente en figure III.3).

2. La fonction g : R R telle que x g(x) = x2 nest ni majore, ni minore.


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3, 2

2, 8

2, 4

2

1, 6

1, 2

0, 8

0, 4

0, 4

0, 8

y

1 1 2 3x

Figure III.3 Graphe de la fonction x 1 ex

III.4 Parit de la fonction

On considre I un intervalle centr en 0 (cest--dire si x I alors x I).Dfinition III.12 (Fonction paire). Soit f: I

R une fonction relle sur I. On dit que

f est paire si, pour tout x I, f(x) = f(x). La courbe reprsentative de f (ou le graphede f) dans un repre orthonorm (O, # , # ) est symtrique laxe Oy.

Exemple III.13. La fonction relle

f : R Rx x2

est une fonction paire car sa courbe reprsentative est symtrique par rapport laxe Oy(voir la figure II.4).

Dfinition III.14. Soit f: I

R une fonction relle. On dit que f est impaire si, pour

tout x I, f(x) = f(x). La courbe reprsentative de f dans un repre orthonorm(0, # , # ) est symtrique par rapport lorigine du repre.

Exemple III.15. La fonction relle

f : R Rx x3

est une fonction paire car sa courbe reprsentative est symtrique par rapport loriginedu repre. (voir la figure III.4).


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III.5. PRIODICIT DUNE FONCTION 33

8

6

4

2

2

4

6

8

y

2 1 1 2x

Figure III.4 Graphe de la fonction x x3

III.5 Priodicit dune fonction

Dfinition III.16 (Fonction priodique). Soient f: R R une fonction relle et T R.On dit que f est une fonction priodique de priode T si :

x R, f(x + T) = f(x).Exemple III.17. La fonction relle :

f : R [1 , 1]x f(x) = sin(x)

est 2-priodique (voir la figure III.5).

y

6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6x

Figure III.5 Graphe de la fonction x sin(x)

Remarque III.18. Dans la dfinition III.16, T doit tre le plus petit rel qui vrifie :

x R, f(x + T) = f(x).


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III.6 Oprations sur les fonctions

Dfinition III.19 (Addition de deux fonctions). Soient f: UR et g : U

R deux

fonctions relles dfinies surU. Alors la fonction f+ g est une addition de deux fonctions :

f + g : U Rx (f + g)(x) = f(x) + g(x) .

Dfinition III.20 (Multiplication de deux fonctions). Soient f: U R et g : U Rdeux fonctions relles dfinies sur U. Alors la fonction f g est une multiplication de deuxfonctions :

f g : U Rx (f g)(x) = f(x) g(x) .

Dfinition III.21 (Multiplication dune fonction par un scalaire). Soient f: U R etune fonction relle dfinie sur U et k R. Alors la fonction k f est une multiplicationpar un scalaire de la fonction f, cest--dire :

k f : U Rx k f)(x) = k f(x) .

Dfinition III.22 (Composition de deux fonctions). Soient f: U V et g : V R deux fonctions relles. Alors la fonctiong f est la fonction composition des fonctions f parg.

g

f : U

R

x g f(x) = g(f(x)).

Exemple III.23. Soient les deux fonctions relles :

f : R Rx f(x) = x2 x + 1 et

g : R Rx g(x) = cos(ex)

Alors la fonction g f sobtient de la manire suivante :

g(f(x)) = g(x2

x + 1) = cos(ex

2x+1).

III.7 Exercices

Exercice III.1. Soient les fonctions f : x x2 + 1, g : x cos2(x) et h : x ex2+1.Calculer la fonction g f, h g, h g f.


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CHAPITRE IV

LIMITES ET CONTINUIT DES FONCTIONSRELLES

IV.1 Limites

1 Dfinitions

1.1 Limite finie

Dfinition IV.1 (Limite finie). Soient a R, U un intervalle ouvert contenant a etf: U\ {a} R une fonction dfinie sur U\ {a}. On dit que f(x) tend vers R lorsquex tend vers a si f(x) est aussi proche de que lon veut, pourvu que x soit suffisamentproche de a. En dautres termes :

> 0, , x U, (0 < |x a| < ) (|f(x) | < ).La limite de f(x) en a est not :

limxa f(x) = .

1.2 Limite infinie

Dfinition IV.2 (Limite infinie). Soient a R, U un intervalle ouvert contenant a etf: U\ {a} R une fonction dfinie sur U\ {a}.

1. On dit que f(x) tend vers + lorsque x tend vers a et on note limxa f(x) = +,si :

A > 0, A > 0, x U, (0 < |x a| < A) (f(x) > A).2. On dit que f(x) tend vers lorsque x tend vers a et on note limxa f(x) = ,

si :A > 0, A > 0, x U, (0 < |x a| < A) (f(x) < A).

1.3 Limite droite, limite gauche

Dfinition IV.3 (Limite gauche finie). Soient a R, I un intervalle ouvert contenanta et f: U\ {a} R une fonction relle. On dit que f admet pour limite quand x tend

35


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36 CHAPITRE IV. LIMITES ET CONTINUIT DES FONCTIONS RELLES

vers a gauche si :

> 0,

> 0,

x

I, (a

< x < a)

(

|f(x)

|< .

Si f admet pour limite quand x tend vers a gauche, on le note :

limxa

f(x) = .

Dfinition IV.4 (Limite droite finie). Soient a R, I un intervalle ouvert contenant aet f: U \ {a} R une fonction relle. On dit que f admet pour limite quand x tendvers a droite si :

> 0, > 0, x I, (a < x < a + ) (|f(x) | < .

Si f admet pour limite quand x tend vers a droite, on le note :

limxa+

f(x) = .

Dfinition IV.5 (Limite infinie gauche). Soienta R, U un intervalle ouvert contenanta et f: U\ {a} R une fonction dfinie sur U\ {a}.

1. On dit que f(x) tend vers + lorsque x tend vers a gauche et on notelimxa

f(x) = +,

si : A > 0, A > 0, x U, (a A < x < a) (f(x) > A).2. On dit que f(x) tend vers lorsque x tend vers a gauche et on note

limxa

f(x) = ,

si :A > 0, A > 0, x U, (a A < x < a) (f(x) < A).

Dfinition IV.6 (Limite infinie droite). Soient a R, U un intervalle ouvert contenanta et f: U\ {a} R une fonction dfinie sur U\ {a}.

1. On dit que f(x) tend vers + lorsque x tend vers a droite et on note limxa+ f(x) =+, si :

A > 0, A > 0, x U, (a < x < a + A) (f(x) > A).

2. On dit que f(x) tend vers lorsque x tend vers a droite et on note limxa+ f(x) =, si :

A > 0, A > 0, x U, (a < x < a + A) (f(x) < A).


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IV.1. LIMITES 37

1.4 Limites en linfini

Dfinition IV.7 (Limite finie en linfini). Soient I = ]a , +

[, a

R, et f une fonction

relle dfinie sur I.1. On dit que f tend vers (avec R) lorsque x tend vers + (notlimx+ f(x) = )

si : > 0, A, (x > A) (|f(x) | < .

2. On dit que f tend vers (avec R) lorsque x tend vers (notlimx f(x) = )si :

> 0, A, (x > A) (|f(x) | < .Dfinition IV.8 (Limite infinie en linfini). Soient I = ]a , +[, a R, et f une fonctionrelle dfinie sur I.

1. On dit que f tend vers + lorsque x tend vers + (not limx+ f(x) = +) si :A > 0, BA, (x > BA) (f(x) > A).

2. On dit que f tend vers + lorsque x tend vers (not limx f(x) = +) si :A > 0, BA, (x > BA) (f(x) > A).

3. On dit que f tend vers lorsque x tend vers + (not limx+ f(x) = ) si :A > 0, BA, (x > BA) (f(x) < A).

4. On dit que f tend vers

lorsque x tend vers

(not limx f(x) =

) si :

A > 0, BA, (x > BA) (f(x) < A).

2 Proprits

Proprit IV.9 (Unicit de la limite). Soienta R oR = R{, +} etf: U Rune fonction relle. Si f admet une limite finie ou infinie en un point fini ou infini alorscette limite est unique.

Proprit IV.10 (Oprations sur les limites). Soient a R oR = R {, +} etf: U R une fonction relle. Soient , R tels que limxa f(x) = et limxa g(x) = .Alors

1. limxa(f + g)(x) = + ,

2. limxa(f g)(x) = ,3. si = 0 alors limxa 1f(x) = 1 ,4. si > 0 et si limx+ g(x) = + alors limxa f g(x) = +,5. si limxa f(x) = + alors limxa 1f(x) = 0,6. Compose : si limxa f(x) = et si limx g(x) = alors :

limxa(g f)(x) =

.


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3 Formes indetermines

Les formes indtermines sont les suivantes :

1. + ,2. 0 ,3. 0

0,

4. ++ ,

5. 1,

6. 0,

7. 0.

4 Passage la limite dans les ingalits

Proprit IV.11 (Passage la limite dans les ingalits). Soient , R, a R etf: U R et g : U R deux fonctions relles telles que f g dans un voisinage de a.

1. Si limxa f(x) = et limxa g(x) = alors .2. Si limxa f(x) = + alors limxa g(x) = +.3. Si limxa g(x) = alors limxa f(x) = .

5 Thorme des gendarmes

Thorme IV.12 (Thorme des gendarmes). Soient a, R et f: U R, g : U R,h : U R trois fonctions relles tels que f(x) h(x) g(x) dans un voisinage de a. Silimxa f(x) = et limxa g(x) = alors :

limxa h(x) = .

IV.2 Continuit

1 Dfinition

Dfinition IV.13 (Continuit). Soient f: I R une fonction dfinie sur un intervalleouvert I et a I. On dit que f est continue en a si lim f(x) = f(a). On dit que f estcontinue sur I si f est continue en chaque point de I. Si f nest pas continue dans I, ondit que f est discontinue.

Remarque IV.14. Quand une fonction f: I R est continue en I, on dit aussi quelleest de classe 0 sur I (ou en abrg C0).


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IV.2. CONTINUIT 39

2 Proprits

Proposition IV.15. Soit f: I

R une fonction continue en un point a

I o I est un

intervalle ouvert de R. Si f(a) = 0 alors il existe un voisinage de a (disons V = [ , ]avec < a < R tel que

x V, f(x) = 0.

Dmonstration. Supposons f(a) > 0 et prenons = f(a)2

> 0. Comme f est continue en a,on a :

limxa f(x) = f(a),

cest--dire il existe un > 0 tel que pour tout x ]a , a + [, on a :

f(x)

]f(a)

, f(a) + [,

autrement dit :

f(a) < f(x) f(a) f(a)2

< f(x).

Si on pose V = ]a , a + [ alors pour tout x V, f(x) > 0, do f(x) = 0. On peutaussi voir, figure IV.1, une illustration de la proposition.

y

1 2 3 4x

2 2 +

f(2)

f(2)

f(2) +

Figure IV.1 Si f(a) = 0 alors dans un voisinage de a, la fonction est non nulle

Proposition IV.16. Soient f: I R et g : I R deux fonctions continues en un pointa de I.

(i) La fonction f + g est continue en a.

(ii) Pour R, la fonction f est continue en a.


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(iii) La fonctionf g est continue en a.(iv) Si g(a) = 0, alors 1

gest une fonction continue en a.

(v) Si g(a) = 0, alors fg est une fonction continue en a.Dmonstration de lassertion (i). On a (f + g)(a) = f(a) + g(a), donc :

limxa(f + g)(x) = limxa(f(x) + g(x)).

Or f et g sont continues en a donc :

limxa f(x) = f(a) et limxa g(x) = g(a).

Do :

limxa(f(x) + g(x)) = f(a) + g(a) = (f + g)(a).et la fonction f + g est continue en a.

Dmonstration de lassertion (ii). Soit R. Comme f est continue en a, il existe un R+ tel que pour tout x I.

|x a| < |f(x) f(a)| < || + 1 .

On a alors :

|x a| < |f(x) f(a)| ||

||

+ 1.

Do la continuit de f en a. Comme ceci est valable pour tout a de I, f est continuesur I.

Avant de dmontrer que le produit de deux fonctions continues est continue, on a besoindu lemme suivant :

Lemme IV.17. Si g est continue en a alors il existe un voisinage K de a sur lequel g estborne.

Dmonstration du lemme IV.17. Choissisons = 1. Comme g est continue en a, il existe0

R+ tel que :

|x a| < 0 |g(x) g(a)| < 1.Ainsi, pour tout x K = [a 0 , a + 0], on a :

g(a) 1 < g(x) < g(a) + 1Donc g est bien borne sur K.

Dans la dmonstration qui suit, on notera :

M = max(|g(a) 1| , |g(a) + 1|).


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IV.2. CONTINUIT 41

Dmonstration de lassertion (iii). Soit > 0. Comme f est continue en a, il existe un1 R+ tel que pour tout x I

|x a| < 1 |f(x) f(a)| < .Comme g est continue en a, il existe un 2 R+ tel que, pour tout x I :

|x a| < 2 |g(x) g(a)| < .On note = min(1, 2), on crit :

f(x)g(x) f(a)g(a) = (f(x) f(a)) g(x) + (g(x) g(a))f(a).Ainsi :

|x a| < |f(x)g(x) f(a)g(a)| |f(x) f(a)| |g(x)| + |g(x) g(a)| |f(a)| (M + |f(a)|).Ce qui prouve la continuit de f g en tout a de I et donc sur I.Dmonstration de lassertion (iv). On se sert de la proposition IV.15 pour dmontrer las-sertion (iv). Soit > 0. Comme g est continue en a et g(a) = 0, il existe R+ tel quepour tout x I :

|x a| < |g(x) g(a)| < et g(x) = 0.On a ainsi :

|x a| < 1g(x) 1g(a) g(x) g(a)|g(x)| |g(a)| 2|g(a)|2 ,ce qui prouve la continuit de 1

gsur I.

Dmonstration de lassertion (v). Elle dcoule de celle de linverse combine avec celle duproduit.

Proposition IV.18 (Continuit de fonctions composes). Soient I, J des intervalles de Ret soit a I. Soient f: I R et g : J R deux fonctions relles telles que f(I) J. Sif est continue en a et si g est continue en f(a) alors g f est continue en a.

Dmonstration. Soit > 0. Comme g est continue en f(a), il existe > 0 tel que pour touty J :|y f(a)| |g(y) g(f(a))| < .

Comme f est continue en a, il existe > 0 tel que pour tout x I :|x a| < |f(x) f(a)| < .

Do|x a| < |f(x) f(a)| < |g(f(x)) g(f(a))| < .

Do la continuit de g f sur I.


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Proposition IV.19. Soient f: I R une fonction relle dfinie sur un intervalle I eta I. Alors f est continue si et seulement si pour tout suite (un)nN converge vers a, lasuite (f(un))

nNconverge vers f(a).

Dmonstration. () On suppose que f est continue en a et (un)nN converge vers a.On veut dmontrer que (f(un))nN convrege vers f(a), cest--dire :

> 0, N N, n N, f(un) f(a) < .On sait que f est continue en a donc f(x) f(a), cest--dire :

> 0, a > 0, x ]a , a + [, |f(x) f(a)| < . (IV.1)On sait aussi que (un)nN a, do

> 0, N N, n N, |un a| < . (IV.2)Soit > 0, on prend > 0 donn par (IV.1). Dans (IV.2), on prend = alors

N, n N, (|un a| < |f(un) f(a)| < .() On dmontre par contrapose la proposition, cest--dire on montre que si f nest

pas continue alors il existe un qui converge vers a mais f(un) ne converge pas versf(a). En particulier, pour tout n N, on peut prendre = 1

n> 0, Donc :

xn

I,

|xn

a

| 0, x [a , b], |M | f(x) M.

On pose = 1m , on obtient :

n N, xn [a , b], M 1m

f(xn) M.

Lorsque n tend vers +, lim f(xn) = M. On a, pour tout n, f(xn) A, cest--dire(xn)nN est borne (pour tout n, a xn b). Le thorme de Bolzano-Weirestrass nousdit quil existe une sous-suite (x(n)) une sous-suite de xn qui converge. On note salimite, est dans lintervalle [a , b]. Donc comme f est continue en et x(n) , on af(x(n)) f(). Or,

f(x(n))

nN est une sous-suite de (f(xn))nN qui converge vers M

donc lim(x(n)) = M. Donc M = f().

Thorme IV.25 (Thorme des valeurs intermdiaires, cas o = 0). Soitf: [a , b] Rune fonction continue. Si f(a) f(b) < 0 alors il existe c ]a , b[, f(c) = 0.Dmonstration, [1]. On suppose que f(a) f(b) (le cas f(a) f(b) est semblable). Onsuppose que 0 est dans lintervalle [f(a) , f(b)]. On pose :

A = {x [a , b], f(x) 0} .Lensemble A est non vide (car il contient a) et est major par b. Il admet donc une bornesuprieure quon note c. On a, a c b (a A et b est un majorant de A). On va montrer


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IV.2. CONTINUIT 45

que f(c) = 0. On commence par remarquer quil existe une suite (cn)nN de points de Atel que limn+ cn = c. Par continuit de f en c, on a donc f(c) = limn+ f(cn) et donc,comme f(cn)

0 pour tout n

N, on en dduit que f(c)

0.

On suppose maintenant que f(c) < 0 et on montre que ceci est impossible. On a doncc < b (car f(b) 0). Posons = f(c) > 0. Par continuit de f en c, il existe donc > 0tel que :

x [a , b], |x c| |f(x) f(c)| .On a donc, en particulier, avec = min(, b c) > 0,

c x c + f(x) f(c) + = 0.

Ceci prouve que c + A, en contradiction avec la dfinition de c (qui est c = sup A). Ona ainsi montr que f(c) nest pas strictement infrieur 0. Donc f(c) = 0.

Il existe une gnralisation de ce thorme :

Thorme IV.26 (Thorme des valeurs intermdiaires). Soient f: [a , b] R une fonc-tion continue et un rel compris entre f(a) et f(b). Alors il existe un c [a , b] tel quef(c) = .

Dmonstration. Si = f(a), on prend c = a et si = f(b), on prend c = b. Donc = f(a) = f(b). Soit la fonction

g : [a , b]

R

x g(x) = f(x) x .

La fonction g est continue sur [a , b] et g(a)g(b) < 0 donc il existe c [a , b] tel que g(c) = 0.Or,

g(c) = f(c) = 0 f(c) = .

Corollaire IV.27. Soit f: I R une fonction continue sur un intervalle I. Alors f(I)est un intervalle.

Dmonstration. On note J := f(I) = {f(x), x I}. Soient y1, y2 f(I) avec y1 y2 et [y1 , y2]. On montre que I. On a y1 f(I) donc il existe x1 I (resp. x2 I) tel quey1 = f(x1) (resp. y2 = f(x2)). Daprs le thorme des valeurs intermdiaires la fonctionf sur [x1 , x2], il existe c [x1 , x2] tel que f(c) = . On a donc c I et [x1 , x2] I.Corollaire IV.28. Soit f: [a , b] R une fonction continue. Alors f([a , b]) est un inter-valle ferme borne.

Remarque IV.29. Limage dun intervalle par une fonction continue est un intervalle demme nature.


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IV.3 Fonctions rciproques

1 Thorme dexistence des fonctions rciproques

Thorme IV.30. Soient I un intervalle de R et f: I R une fonction continue etstrictement montone sur I. Alors f tablit une bijection de I sur lintervalle J = f(I).Lapplication rciproque de f, note f1, est continue sur J et a la mme montonie que f.

Dmonstration. Soit f: I J = f(I) quon suppose strictement croissante. Par dfinitionde J, f: I J est surjective,

x J, x I, y = f(x).

On montre que f est injective. Soient x, x

I tel que f(x) = f(x). Mais comme f est

strictement croissante, f(x) = f(x) implique que x = x. Donc f est injective et surjectivedonc f est bijective de I sur J. Soit f1 : J I lapplication rciproque de f (si y = f(x)alors x = f1(y)). On montre que f1 est strictement croissante sur J. Soient y1, y2 Jtel que y1 < y2 alors il existe un unique x1 I et un unique x2 I tels que y1 = f(x1) ety2 = f(x2). On a y1 < y2 et comme f est strictement croissante, on a :

f(x1) < f(x2) x1 < x2De plus, x1 = f1(y1) et x2 = f1(y2), do f1(y1) < f1(y2). Donc : f1 est strictementcroissante sur J. Maintenant, on montre que f1 est continue sur J. On suppose que f est

strictement croissante sur I et on fixe y0 J. Soit > 0. Pour prouver la continuit de f1

en y0, on doit montrer que :

> 0, y f(I), |y y0| < f1(y) f1(y0) < .

On note x0 = f1(y0). On distingue deux cas :

1) Si x0 est lintrieur de I alors, dans ce cas, il existe > 0 tel que ]x0 , x0 + [ I.On note = min {, }, ainsi ]x0 , x0 + [ I. On a les quivalences suivantes (ladernire dcoulant du fait que f est strictement croissante sur I) :

|x x0| < x [x0 , x0 + ] x0 < x < x0 f(x0 ) < f(x) < f(x0 + ).

On note y = f(x), 1 = f(x0) f(x0 ) et 2 = f(x0 + ) f(x0). On remarque que1 et 2 sont strictement positifs car f est strictement croissante sur I. Ainsi :

|x x0| < y0 1 < y < y0 + 2.

On sait que y0 1 et y0 + 2 sont dans f(I). Comme f est continue sur I, f(I) est unintervalle donc ]y0 1 , y0 + 2[ f(I). On note = min {1, 2}. On a donc galement


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IV.3. FONCTIONS RCIPROQUES 47

]y0 , y0 + [ f(I). On remarque que 1 et 2 (et donc ) ne dpendent pas de y0.Ainsi, on a, pour tout y f(I) :

|y y0| < y0 < y < y0 + y0 1 < y < y0 + 2 |x x0| < |x x0| < ,

cest--dire :

|y y0| < f1(y) f1(y0) < .

2) On se place dans le cas o x0 est une borne de I (on supposera que x0 est la borneinfrieure de I, lautre cas sadapte facilement celui-ci). Comme f est strictementcroissante sur I, y0 est la borne infrieure de f(I). Dans ce cas, il existe > 0 tel que

]x0 , x0 + [ I. On note = min {, }, ainsi : ]x0 , x0 + [ I. On a, comme avant,les quivalences suivantes (la dernire dcoulant du fait que f est strictement croissantesur I)

x [x0 , x0 + [ x0 < x < x0 + f(x0) f(x) < f(x0 + ).

On note y = f(x), = y0 f(x0 ) = f(x0) f(x0 ) > 0. Ainsi :

x ]x0 , x0 + ] y0 y < y0 + .

On sait que y0 + est dans f(I). Comme f est continue sur I, f(I) est un intervalledonc [y0 , y0 + [ f(I). Ainsi, on a, pour tout y f(I) :

|y y0| < y0 y < y0 + x0 x < x0 + x0 x < x0 + |x x0| < ,

cest--dire

|y y0| < f1(y) f1(y0) < .

On conclut que dans tous les cas, il existe > 0 tel que :

y f(I), |y y0| < f1(y) f1(y0) < .

Ce raisonnement tant valable pour tout y0 f(I), la fonction rciproque f1 est donccontinue sur f(I).

Dans un repre orthonorm, la courbe reprsentative de f1 est obtenue en faisant unesymtrie de f par rapport la premire bissectrice du repre.


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2 Fonctions rciproques usuelles

2.1 La fonction exponentielle

La fonction logarithme (quon note ln : R+ R) est continue et strictement croissante.On a ln(R+) = R, donc elle tablit une bijection de R+ sur R et sa fonction rciproque estla fonction exponentielle (note ex ou exp(x)) :

exp : R R+x exp(x) .

Si x > 0, on a :y = ln(x) x = ey.

Les courbes reprsentatives de exp et ln sont dessines en figure IV.3.

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

y

5 5x

y = exp(x)

y = ln(x)y = x

Figure IV.3 Courbes reprsentatives des fonctions logarithme et exponentielle

2.2 La fonction racine ne

Soit n N, la fonction puissance n dfinie de R dans R par x xn est continue surR.

Si n est impair, elle est strictement croissante sur R donc elle est bijective sur R. Si n est pair, elle est strictement croissante sur R+ donc elle est bijective sur R+.Elle admet donc une fonction rciproque appele racine ne et note x nx = x1/n. Si n est impair alors pour tout x, y R,

y = x2k+1 x = 2k+1y.


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Si n est pair alors pour tout x, y R+,y = x2k

x = 2k

y.

Les courbes reprsentatives de x2, x, x3 et 3x sont dessines la figure IV.4.

1

1

2

3

4

5

y

2, 5 5

x

y = x2

y =x

y = x

1

1

2

3

4

5

y

2, 5 5

x

y = x3

y = 3x

y = x

Figure IV.4 gauche, les courbes reprsentatives de la fonction carr et racine carr et droite, les courbes reprsentatives de la fonction cube et racine cubique

2.3 La fonction arccosinus

La fonction cosinus est continue, strictement croissante sur [0 , ]. Elle tablit donc unebijection de [0 , ] sur [1 , 1]. Sa fonction rciproque arccosinus et se note

arccos : [1 , 1] [0 , ]x arccos(x) .

On a, pour tout x [0 , ] et y [1 , 1] : :y = cos x arccos y = x.

Les courbes reprsentatives de cos et arccos sont dessins la figure IV.5. La fonctionarccos est continue et strictement dcroissante sur [

1 , 1].

Exemples IV.31. 1. arccos(0) = x cos(x) = 0 x = 2

(mod ),

2. arccos(cos 6

) = 6

,

3. arccos(cos 6

) = 6

.

Remarque IV.32. On a les relations suivantes : arccos(x) = arccos(x), Pour tout x [1 , 1], cos(arccos(x)) = x, Pour tout [0 , ], arccos(cos()) = , mais cette relation est fausse si appartient

un autre intervalle comme le montre lexemple IV.31-2 et IV.31-3.


58/82


1

1

2

3

y

1 1 2 3x

y = cos(x)

y = xy = arccos(x)

Figure IV.5 Courbes reprsentatives des fonctions logarithme et exponentielle

2.4 La fonction arcsinus

La fonction sinus est continue sur R et strictement croissante sur [2

, 2

]. Elle tablitune bijection sur [

2, 2

] sur [1 , 1]. Sa fonction rciproque sappelle arcsinus, elle est aussicontinue, strictement croissante sur [

1 , 1]. Elle est aussi impaire.

arcsin : [1 , 1] [2

, 2

]y arcsin(y) .

Si 2

x 2

et 1 y 1, on a :sin(x) = y arcsin(y) = x.

La figure IV.6 donnne la courbe reprsentative des fonctions sinus et arcsinus.

2.5 La fonction arctagente

La fonction tangente est dfinie sur R\

2+ k, k

Z, elle est cotinue et strictement

croissante sur lintervalle ]2

, 2

[. Elle tablit donc une bijection de ]2

, 2

[ sur ] , +[.Sa fonction rciproque sappelle arctangente, elle est aussi continue et strictement croissantesur R :

arctan : R ]2

, 2

[y arctan(y)

et on a, pour tout x ]2

, 2

[ et y R :tan x = y arctan(y) = x.

La figure IV.7 donnne la courbe reprsentative des fonctions tangente et arctangente.


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1

1

y

1 1x

y = sin(x)

y = x

y = arcsin(x)

Figure IV.6 Courbes reprsentatives des fonctions sinus et arcsinus

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5y

5 5x

y = tan(x)

y = x

y = arctan(x)

Figure IV.7 Courbes reprsentatives des fonctions tangente et arctangente


60/82


2.6 Les fonctions trigonomtriques hyperboliques et leur rciproque

Dfinition IV.33 (Sinus hyperbolique). La fonction sinus hyperbolique est dfinie par :

sinh : R Rx sinh(x) = exex

2

.

Le sinus hyperbolique est une bijection de R dans R strictement croissante, et impaire.Sa drive est le cosinus hyperbolique. Son application rciproque sappelle argument sinushyperbolique et est note argsinh.

Dfinition IV.34 (Cosinus hyperbolique). La fonction cosinus hyperbolique est dfiniepar :

sinh : R

R

x cosh(x) = ex

+ex

2 .

Le cosinus hyperbolique est une bijection de R dans [1 , +[ strictement croissante surR+,et paire. Sa drive est le sinus hyperbolique. Son application rciproque sappelle argumentcosinus hyperbolique et est note argcosh.

Dfinition IV.35 (Tagente hyperbolique). La fonction tangente hyperbolique est dfiniepar :

sinh : R Rx tanh(x) = sinh(x)

cosh(x)

.

La tangente hyperbolique est une bijection de R dans ]1 , 1[ strictement croissante, etimpaire. Sa drive est1

cosh2(x)= 1 tanh2(x).

Son application rciproque sappelle argument tangente hyperbolique et est note argtanh.

Proposition IV.36 (Expression en fonction de la fonction logarithme). On a :

x [1 , +[, argcosh(x) = ln(x + x2 1),x R, argsinh(x) = ln(x +

x2 + 1),

x ]1 , 1[, argtanh(x) =1

2 ln1 + x

1 x .Pour terminer ce chapitre, on pourra regarder les courbes reprsentatives des fonctions

hyperboliques et leur rciproque la figure IV.8.

IV.4 Exercices

Exercice IV.1. En utilisant la dfinition dune limite, montrer que :

1. limx2(2x + 1) = 5 ;


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IV.4. EXERCICES 53

3

2

1

1

2

3

4y

2 1 1 2x

y = sinh(x)y = x y = arg sinh(x) 2

1

1

2

3

4

y

2, 5x

y = cosh(x)y = xy = arg cosh(x)

y = x

4

2

2

4

y

2 1 1 2x

y = tanh(x)y = arg tanh(x)

Figure IV.8 Courbes reprsentatives des fonctions hyperboliques et leur rciproque


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2. limx1(x2 1) = 0 ;3. limx 2

3(3x + 2)sin

13x+2 = 0 ;

4. limx0+ 21+e1/x = 2 ;

5. limx+ 1x = 0 ;

6. limx ex2

= +.Exercice IV.2. 1. Montrer que toute fonction priodique et non constante nadmet

pas de limite en +.2. Montrer que toute fonction croissante et majore admet une limite finie en +.

Exercice IV.3. On rappelle les limites :

limx0

sin(x)x

= 1 et limx0

1 cos xx2

=12

.

Calculer les limites suivantes :

a) limx0+

x sin

1x

,

b) limx0 sin 2xsin 3x ,

c) limx0 x sinx1cosx ,

d) limx0 sinxsin2xx2 ,

e) limx

0tan x

cos2 x1,

f) limx0 tanxsinxsin3(x/2) .

Exercice IV.4. Calculer les limites suivantes :

1. limx0+ xE1x

,

2. limx+ xE1x

,

3. limx0+

xE1x

,

4. limx+

x+x+

x

x+1.

Exercice IV.5. tudier la continuit sur R des fonctions suivantes :1. f1(x) = x2 cos 1x si x = 0 et f1(0) = 0 ;2. f2(x) = sin(x) sin

1x

si x = 0 et f2(0) = 0 ;

3. f3(x) = xE (x) ;

4. f4(x) = E (x) sin(x).

Exercice IV.6. Les fonctions suivantes sont-elles prolongeables par continuit sur R ?

a) f(x) = sin(x) sin1x

;


63/82

IV.4. EXERCICES 55

b) g(x) = 1x

lnex+ex

2

;

c) h(x) = 11x 21x2 .

Exercice IV.7. Soient n N et d R+. Dmontrer, en utilisant le thorme des valeursintermdiaires que le polynme P(X) = Xn d a au moins une racine dans R.Exercice IV.8. Soit f la fonction relle valeurs relles, strictement croissante dfiniepar :

f(x) =

x si x < 1,x2 si 1 x 4,8

x si x > 4.

Exercice IV.9. Existe-il une bijection continue de ]0 , 1] sur R ?

Exercice IV.10. crire sous forme dexpression algbrique :

1. sin(arccos(x)),

2. cos(arcsin(x)),

3. sin(3 arctan(x)).

Exercice IV.11. Rsoudre dans R, lquation :

arctan(x) + arctan(

3x) =7

12.

Exercice IV.12. Vrifier que :1. arcsin(x) + arccos(x) =

2,

2. arctan(x) + arctan(1/x) = sign(x) 2

o la fonction sign(x) est dfinie de la maniresuivante :

sign(x) =

1 si x 01 si x < 0


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65/82

CHAPITRE V

FONCTIONS DRIVABLES

V.1 Drivabilit

1 Drive en un point et en un interavlle

Dfinition V.1 (Drive en un point). Soient I un intervalle ouvert de R et f: I Rune fonction. On dit que f est drivable en un point x0 I si la limite :

limxx0

f(x) f(x0)x x0

existe et est finie. Si cest le cas, on note f(x0) et on appelle nombre drive de f en x0cette limite.

Dfinition V.2 (Drive en un intervalle). SoientI un intervalle ouvert de R etf: I Rune fonction. On dit que f est drivable sur I si f est drivable en chaque point de I. Onobtient alors une fonction

f : I Rx f(x)

drive de f sur I.

On a une dfinition quivalente la dfinition V.1.

Proposition V.3. Soient I un intervalle ouvert de R et f: I R une fonction. On ditque f est drivable en un point x0 I. La fonction f est drivable en x0 si et seulement siil existe un rel et une fonction tels que pour tout h tel que x0 + h I :

f(x0 + h) = f(x0) + h + h(h)

o limh0 (h) = 0.

Dmonstration,[19]. (Def. V.1 Prop. V.3) On suppose la dfinition V.1 : il existedonc R tel que

limh0

f(x0 + h) f(x0)h

= .

57


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58 CHAPITRE V. FONCTIONS DRIVABLES

On pose, pour h = 0,(h) =

f(x0 + h) f(x0)h

.Par hypothse, on a ainsi limh0 (h) = 0. De plus :

h(h) = f(x0 + h) f(x0) h,do la proposition V.3.

(Prop. V.3 Def. V.1) Il existe R et une fonction tel que :f(x0 + h) = f(x0) + h + h(h)

o limh0 (h) = 0. Pour h = 0, on a :f(x0 + h) f(x0)

h= + (h),

et comme limh0 (h) = 0, il vient :

limh0

f(x0 + h) f(x0)

= ,

do la dfinition V.1.

2 Tangente en un point

Dfinition V.4 (Tangente en un point, [20]). SoientI un intervalle ouvert de R, f: I Rune fonction quon suppose drivable en un point M de la courbe et M0 un autre point de la

courbe. La tangente la courbe en un point M est la droite limite prise par les droites(M M0) lorsque le point M0 se rapproche indfiniment du point M tout en restant sur laditecourbe.

Proposition V.5. Soient I un intervalle de R et f: I R une fonction quon supposedrivable en un point x0 de I. Alors le nombre drive de f en x0 reprsente le coefficientdirecteur de la tangente de f en x0.

Proposition V.6 (quation de la tangente). SoientI un intervalle ouvert de R, f: I Rune fonction drivable en x0 et M = (x0, y0) sur la courbe de f. Lquation de la tangenteT au point M0 est :

y = f(x0)(x

x0) + f(x0).

Dmonstration. Une tangente a ncessairement une quation du type ax + b car cest unedroite. La proposition V.5 nous dvoile que a = f(x0). Or, daprs la dfinition de ladrivabilit dune fonction :

f(x) f(x0)x x0 = f

(x0) f(x0)(x x0) = f(x) f(x0).On note y = f(x0) et on obtient bien lquation de la tangente au point M0 :

y = f(x0)(x x0) + f(x0).


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V.1. DRIVABILIT 59

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

y

1 2 3x

Figure V.1 Tangente la courbe de x2 en 2

3 Rapport avec la continuit

Proposition V.7. Soit I un intervalle ouvert de R et f: I R une fonction. Si f estdrivable en x0 alors f est continue en x0.

Dmonstration. Si f est drivable en x0 alors, daprs la proposition V.3, il existe unefonction tel que :

f(x) = f(x0) + (x x0)f(x0) + (x x0)(x).

On fait tendre x vers x0, on obtient donc :

limxx0

f(x) = f(x0) + 0 + 0 = f(x0),

do f est continue en x0.

Remarque V.8. La rciproque est fausse. Prenons, par exemple, la fonction :

f : R Rx |x| .

La fonction est bien continue en 0 (le lecteur pourra le montrer trs facilement). On tudiesa drivabilit en 0. On a, pour x = 0,

f(x) f(0)x

=|x|x

.


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Pour x > 0, on obtient |x|x

= 1 et x < 0, |x|x

= 1. Donc, on a :

limx0f(x)

f(0)

x = 1 = limx0+f(x)

f(0)

x = 1.

f nest donc pas drivable en 0. Par contre, on peut dire que f est drivable droite en 0(avec fd(0) = 1) et drivable gauche en 0 (avec f

g(0) = 1).

V.2 Proprits

1 Somme et produit de deux fonctions drivables

Proposition V.9 (Somme de deux fonctions drivables). Soient I un intervalle ouvert de

R, f: I R et g : I R deux fonctions drivables en un point x0 I. Alors f + g estdrivable en x0 et on a :

(f + g)(x0) = f(x0) + g(x0).

Proposition V.10 (Produit de deux fonctions drivables). Soient I un intervalle ouvertde R, f: I R et g : I R deux fonctions drivables en un point x0 I. Alors f g estdrivable en x0 et on a :

(f g)(x0) = f(x0) g(x0) + f(x0) g(x0).

Proposition V.11 (Produit dune fonction drivable avec un scalaire). Soient I un inter-valle ouvert de R, un rel R et une fonction f: I R drivable en x0 I. Alors fest drivable en x0 et on a :

( f)(x0) = f(x0).

2 Drive de linverse et du quotient

Proposition V.12 (Inverse dune fonction drivable). Soient I un intervalle ouvert de R,une fonction f: I R drivable en x0 I. Si f(x0) = 0 alors 1f est drivable en x0 et ona : 1

f

(x0) = f(x0)f(x0)2

.

Proposition V.13 (Quotient de deux fonctions drivables). Soient I un intervalle ouvertde R, f: I R et g : I R deux fonctions drivables en un point x0 I tels queg(x0) = 0. Alors fg est drivable en x0 et on a :

f

g

(x0) =

f(x0)g(x0) f(x0)g(x0)g(x0)2

.


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V.2. PROPRITS 61

3 Drive de la compose

Proposition V.14. Soient I et J deux intervalles ouverts de R, f: I

R et g : I

R

deux fonctions telle que f(I) J. On considre la compose g f: I R. Sif est drivableen x0 I et si g est drivable en y0 = f(x0) J alors g f est drivable en x0 et on a :

(g f)(x) = g(f(x0)) f(x0).

Consquence V.15 (Drive dune puissance). Soient I un intervalle ouvert de R, unefonction f: I R drivable en x0 I. Soit n Z, on considre :

fn : I Rx fn(x) = f(x)n .

Alors fn est drivable en x0 et on a :

(fn)(x0) = nfn1(x0) f(x0).

Exemple V.16. Soit la fonction :

f : R Rx f(x) = cos(2ex2 + x) .

On dcompose la fonction f de la manire suivante :

x x2 ex2

2ex2

2ex2

+ x cos(2ex2

+ x).

On pose, pour tout x R, g(x) = cos(x) et h(x) = 2ex2 + x et on constate que f = g h.On a donc :

f(x) = sin(h(x)) h(x) = sin(2ex2 + x) h(x) = sin(2ex2 + x) (4ex2 + 1).

4 Drive dune fonction rciproque

Proposition V.17. SoientI un intervalle ouvert de R et f: I R une fonction continueet strictement montone sur I. On pose J = f(I). f tablie donc une bijection entre I et

f(I) = J. On note f1 : J I sa fonction rciproque. Si f est drivable en x0 tel quef(x0) = 0 alors f1 est drivable en y0 = f(x0) et on a :

(f1)(y0) =1

f(f1(y0)).

Dmonstration,[19]. On note x = f1(y), on a donc :

f1(y) f1(y0)y y0 =

x x0f(x) f(x0) .


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Or, f1 est continue en y0 donc

limyy0

f1(y) = f1(y0) ou limyy0

x = x0,

autrement dit, lorsque y tend vers y0, x tend vers x0, ce qui permet dcrire :

limyy0

f1(y) f1(y0)y y0 = limxx0

x x0f(x) f(x0) =

1

f(x0)

puisque f est drivable en x0 avec f(x0) = 0. On a donc prouv que la fonction rciproquef1 est drivable en y0 et :

(f1)(y0) =1

f(f1(y0)).

V.3 Drives des fonctions usuelles

Les tables V.1V.3 nous donnent les drives des fonctions usuelles.

Fonction f Fonction drive f Domaine de df. de f

f(x) = k f(x) = 0 Rf(x) = x f(x) = 1 R

f(x) = ax + b f(x) = a Rf(x) = xn (pour n

Z) f(x) = nxn1 R si n > 0, R si n < 0.

f(x) = x f(x) = 12

xR+

f(x) =1

Documents

M102 : Fondements de l'analyse 1