M103 Linearna algebra 1 - fizika.unios.hr · Neka je Vvektorski prostor nad F i M V, M6= ;. Ako je i (M;+;) vektorski prostor nad F uz iste operacije iz V, kazemo da je ˇ Mpotprostor

M103 Linearna algebra 1

Tema: Potprostor. Unitarni prostori.

8. 5. 2017.

predavac: Darija Markovic asistent: Ivan Soldo

http://www.fizika.unios.hr/la1/

P 1Potprostor Unitarni prostori

1 Potprostor

2 Unitarni prostori

M103 Linearna algebra 1 Potprostor. Unitarni prostori. 2/13




Definicija

Neka je V vektorski prostor nad F i M ⊆ V , M 6= ∅. Ako je i (M,+, ·)vektorski prostor nad F uz iste operacije iz V , kazemo da je M potprostorod V .

Kada je M potprostor od V , pisat cemo M ≤ V .

Propozicija

Neka je V vektorski prostor nad F i M neprazni podskup od V . Tada jeM potprostor od V ako i samo ako vrijedi

(i) a+ b ∈M, ∀a, b ∈M ,

(ii) αa ∈M, ∀α ∈ F, ∀a ∈M .





Definicija



Propozicija


(i) a+ b ∈M, ∀a, b ∈M ,

(ii) αa ∈M, ∀α ∈ F, ∀a ∈M .





Definicija



Propozicija


(i) a+ b ∈M, ∀a, b ∈M ,

(ii) αa ∈M, ∀α ∈ F, ∀a ∈M .





KorolarNeka je V vektorski prostor nad F i M neprazni podskup od V . Tada jeM potprostor od V ako i samo ako vrijedi

(i’) αa+ βb ∈M, ∀α, β ∈ F, ∀a, b ∈M .

Primjer

Oznacimo sMn skup svih kvadratnih matrica reda n, G skup svihgornjetrokutastih matrica reda n, a s D skup svih donjetrokutaskih matricareda n. Vrijedi G ≤Mn i D ≤Mn.

Primjer

Oznacimo sa S skup svih simetricnih matrica reda n, a s A skup svihantisimetricnih matrica reda n. Vrijedi S ≤Mn i A ≤Mn.






(i’) αa+ βb ∈M, ∀α, β ∈ F, ∀a, b ∈M .

Primjer


Primjer







(i’) αa+ βb ∈M, ∀α, β ∈ F, ∀a, b ∈M .

Primjer


Primjer






Primjer

Neka je V vektorski prostor nad F i S ⊂ V . Tada je [S] potprostor od V .

Propozicija

Neka je V vektorski prostor takav da je dimV = n <∞, te neka je Mpotprostor od V . Tada je dimM ≤ n.Ako je M potprostor od V takav da je dimM = n, onda je M = V .





Primjer

Neka je V vektorski prostor nad F i S ⊂ V . Tada je [S] potprostor od V .

Propozicija

Neka je V vektorski prostor takav da je dimV = n <∞, te neka je Mpotprostor od V . Tada je dimM ≤ n.Ako je M potprostor od V takav da je dimM = n, onda je M = V .





Propozicija

Neka je V vektorski prostor te neka su L i M njegovi potprostori. Tada je iL ∩M potprostor od V .

Definicija

Neka je V vektorski prostor, te neka su L i M njegovi potprostori. Sumapotprostora L i M oznacava se s L+M i definira kao

L+M = [L ∪M ].

Propozicija

Neka je V vektorski prostor, te neka su L i M njegovi potprostori. Tada je

L+M = {x+ y | x ∈ L, y ∈M}.





Propozicija


Definicija


L+M = [L ∪M ].

Propozicija


L+M = {x+ y | x ∈ L, y ∈M}.





Propozicija


Definicija


L+M = [L ∪M ].

Propozicija


L+M = {x+ y | x ∈ L, y ∈M}.





Definicija

Neka je V vektorski prostor, te neka su L i M njegovi potprostori.Kazemo da je suma potprostora L i M direktna i tada je oznacavamo sLuM ako je

L ∩M = {0}.

Propozicija

Neka su L i M potprostori vektorskog prostora V . Suma L+M jedirektna ako i samo ako svaki vektor v ∈ L+M dopusta jedinstvenprikaz u obliku

v = a+ b, a ∈ L, b ∈M.





Definicija

Neka je V vektorski prostor, te neka su L i M njegovi potprostori.Kazemo da je suma potprostora L i M direktna i tada je oznacavamo sLuM ako je

L ∩M = {0}.

Propozicija

Neka su L i M potprostori vektorskog prostora V . Suma L+M jedirektna ako i samo ako svaki vektor v ∈ L+M dopusta jedinstvenprikaz u obliku

v = a+ b, a ∈ L, b ∈M.





TeoremNeka je V konacnodimenzionalni prostor, te neka su L i M potprostori odV . Tada je

dim(L+M) + dim(L ∩M) = dimL+ dimM.

KorolarNeka potprostori L i M konacnodimenzionalnog prostora V cine direktnusumu. Tada je

dim(LuM) = dimL+ dimM.





TeoremNeka je V konacnodimenzionalni prostor, te neka su L i M potprostori odV . Tada je

dim(L+M) + dim(L ∩M) = dimL+ dimM.

KorolarNeka potprostori L i M konacnodimenzionalnog prostora V cine direktnusumu. Tada je

dim(LuM) = dimL+ dimM.





Primjer

Promotrimo potprostore G i D prostoraMn.

Primjer

Promotrimo potprostore S i A prostoraMn.





Primjer

Promotrimo potprostore G i D prostoraMn.

Primjer

Promotrimo potprostore S i A prostoraMn.





Definicija

Neka je V vektorski prostor, te neka je L potprostor od V . Potprostor Mprostora V se naziva direktan komplement od L ako vrijedi

LuM = V.

TeoremNeka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor i L njegov potprostor.Tada postoji direktan komplement od L u V .

NapomenaU proizvoljnom vektorskom prostoru niti jedan netrivijalni potprostor nemajedinstven direktan komplement.





Definicija


LuM = V.







Definicija


LuM = V.







1 Potprostor

2 Unitarni prostori





Definicija

Neka je V vektorski prostor nad poljem F. Skalarni produkt na V jepreslikavanje

〈·, ·〉 : V × V → F

koje ima sljedeca svojstva:

(1) 〈x, x〉 ≥ 0, ∀x ∈ V ;

(2) 〈x, x〉 = 0⇔ x = 0;

(3) 〈x1 + x2, y〉 = 〈x1, y〉+ 〈x2, y〉, ∀x1, x2, y ∈ V ;

(4) 〈ax, y〉 = a〈x, y〉, ∀a ∈ F, ∀x, y ∈ V ;

(5) 〈x, y〉 = 〈y, x〉, ∀x, y ∈ V.

DefinicijaVektorski prostor na kojem je definiran skalarni produkt zove se unitaranprostor.





Definicija

Neka je V vektorski prostor nad poljem F. Skalarni produkt na V jepreslikavanje

〈·, ·〉 : V × V → F

koje ima sljedeca svojstva:

(1) 〈x, x〉 ≥ 0, ∀x ∈ V ;

(2) 〈x, x〉 = 0⇔ x = 0;

(3) 〈x1 + x2, y〉 = 〈x1, y〉+ 〈x2, y〉, ∀x1, x2, y ∈ V ;

(4) 〈ax, y〉 = a〈x, y〉, ∀a ∈ F, ∀x, y ∈ V ;

(5) 〈x, y〉 = 〈y, x〉, ∀x, y ∈ V.

DefinicijaVektorski prostor na kojem je definiran skalarni produkt zove se unitaranprostor.





Definicija

Neka je V unitaran prostor. Norma na V je funkcija

‖ · ‖ : V → R

definirana s‖x‖ =

√〈x, x〉.

Propozicija

Norma na unitarnom prostoru V ima sljedeca svojstva:

(1) ‖x‖ ≥ 0, ∀x ∈ V ;

(2) ‖x‖ = 0⇔ x = 0;

(3) ‖ax‖ = |a|‖x‖, ∀a ∈ F, ∀x ∈ V ;

(4) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖, ∀x, y ∈ V.





Definicija

Neka je V unitaran prostor. Norma na V je funkcija

‖ · ‖ : V → R

definirana s‖x‖ =

√〈x, x〉.

Propozicija

Norma na unitarnom prostoru V ima sljedeca svojstva:

(1) ‖x‖ ≥ 0, ∀x ∈ V ;

(2) ‖x‖ = 0⇔ x = 0;

(3) ‖ax‖ = |a|‖x‖, ∀a ∈ F, ∀x ∈ V ;

(4) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖, ∀x, y ∈ V.



Documents

M103 Linearna algebra 1 - fizika.unios.hr · Neka je Vvektorski prostor nad F i M V, M6= ;. Ako je i (M;+;) vektorski prostor nad F uz iste operacije iz V, kazemo da je ˇ Mpotprostor