Macierze i wyznaczniki - enauczanie.pg.edu.pl · Macierze Wstęp Zastosowania Nawigacja Kryptograﬁa Przetwarzanie obrazów M.Łapińska, sem.1 (2017/2018) Matematyka #1: Algebra

Macierze i wyznaczniki

M.Łapińska, sem.1 (2017/2018) Matematyka #1: Algebra liniowa 1 / 34

Macierze Wstęp

ZastosowaniaNawigacjaKryptografiaPrzetwarzanie obrazów


Macierze Definicje

DefinicjaMacierzą A nazywamy prostokątną tablicę złożoną z liczb.

Macierze oznaczamy zwykle poprzez duże litery

A =

1 1 14 2 19 3 1

B =

7 1−4 08 5

C =

[2 0 −3 26 −9 5 1

]

Wiersze i kolumny. Macierz składa się z wierszy i kolumn

Macierz B ma 3 wierszy i 2 kolumn:

wiersz 1 = [7, 1], wiersz 2 = [−4, 0], wiersz 3 = [8, 5]

kolumna 1 =

7−48

, kolumna 2 =

105


Macierze Definicje



A =

1 1 14 2 19 3 1

B =

7 1−4 08 5

C =

[2 0 −3 26 −9 5 1

]




kolumna 1 =

7−48

, kolumna 2 =

105


Macierze Definicje



A =

1 1 14 2 19 3 1

B =

7 1−4 08 5

C =

[2 0 −3 26 −9 5 1

]




kolumna 1 =

7−48

, kolumna 2 =

105


Macierze Definicje



A =

1 1 14 2 19 3 1

B =

7 1−4 08 5

C =

[2 0 −3 26 −9 5 1

]




kolumna 1 =

7−48

, kolumna 2 =

105


Macierze Definicje



A =

1 1 14 2 19 3 1

B =

7 1−4 08 5

C =

[2 0 −3 26 −9 5 1

]




kolumna 1 =

7−48

, kolumna 2 =

105


Macierze Definicje

Podmacierz. Podmacierz danej macierzy to dowolny układ jejelementów powstały przez „skreślenie” pewnej liczby wierszy ikolumn- sam tworzący macierz;

A =

−2 1 54 2 09 3 18 −6 7

, P =

−2 14 29 3

, Q =

123−6

, R =

[−2 59 1

]

Wymiar. Wymiar macierzy określony jest poprzez liczbę kolumn iwierszy.

macierz wymiar notacjaA 4× 3 A4×3P 3× 2 P3×2Q 4× 1 Q4×1R 2× 2 R2×2

Am×n – macierz z m wierszami i n kolumnami


Macierze Definicje


A =

−2 1 54 2 09 3 18 −6 7

,

P =

−2 14 29 3

, Q =

123−6

, R =

[−2 59 1

]





Macierze Definicje


A =

−2 1 54 2 09 3 18 −6 7

, P =

−2 14 29 3

,

Q =

123−6

, R =

[−2 59 1

]





Macierze Definicje


A =

−2 1 54 2 09 3 18 −6 7

, P =

−2 14 29 3

, Q =

123−6

,

R =

[−2 59 1

]





Macierze Definicje


A =

−2 1 54 2 09 3 18 −6 7

, P =

−2 14 29 3

, Q =

123−6

, R =

[−2 59 1

]





Macierze Definicje


A =

−2 1 54 2 09 3 18 −6 7

, P =

−2 14 29 3

, Q =

123−6

, R =

[−2 59 1

]


macierz wymiar notacja

A 4× 3 A4×3P 3× 2 P3×2Q 4× 1 Q4×1R 2× 2 R2×2



Macierze Definicje


A =

−2 1 54 2 09 3 18 −6 7

, P =

−2 14 29 3

, Q =

123−6

, R =

[−2 59 1

]


macierz wymiar notacjaA 4× 3 A4×3

P 3× 2 P3×2Q 4× 1 Q4×1R 2× 2 R2×2



Macierze Definicje


A =

−2 1 54 2 09 3 18 −6 7

, P =

−2 14 29 3

, Q =

123−6

, R =

[−2 59 1

]


macierz wymiar notacjaA 4× 3 A4×3P 3× 2 P3×2

Q 4× 1 Q4×1R 2× 2 R2×2



Macierze Definicje


A =

−2 1 54 2 09 3 18 −6 7

, P =

−2 14 29 3

, Q =

123−6

, R =

[−2 59 1

]


macierz wymiar notacjaA 4× 3 A4×3P 3× 2 P3×2Q 4× 1 Q4×1

R 2× 2 R2×2



Macierze Definicje


A =

−2 1 54 2 09 3 18 −6 7

, P =

−2 14 29 3

, Q =

123−6

, R =

[−2 59 1

]





Macierze Definicje


A =

−2 1 54 2 09 3 18 −6 7

, P =

−2 14 29 3

, Q =

123−6

, R =

[−2 59 1

]





Macierze Definicje

Pozycjaaij – element leżący w i-tym wierszu i j-tej kolumnie

Am×n =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

.... . .

...am1 am2 . . . amn

Rodzaj (wymiar).

Jeżeli m = n macierz nazywamy kwadratową.Jeżeli m = 1 macierz nazywamy wierszową.Jeżeli n = 1 macierz nazywamy kolumnową.


Macierze Definicje


Am×n =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

.... . .

...am1 am2 . . . amn

Rodzaj (wymiar).



Macierze Definicje


Am×n =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

.... . .

...am1 am2 . . . amn

Rodzaj (wymiar).

Jeżeli m = n macierz nazywamy kwadratową.

Jeżeli m = 1 macierz nazywamy wierszową.Jeżeli n = 1 macierz nazywamy kolumnową.


Macierze Definicje


Am×n =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

.... . .

...am1 am2 . . . amn

Rodzaj (wymiar).

Jeżeli m = n macierz nazywamy kwadratową.Jeżeli m = 1 macierz nazywamy wierszową.

Jeżeli n = 1 macierz nazywamy kolumnową.


Macierze Definicje


Am×n =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

.... . .

...am1 am2 . . . amn

Rodzaj (wymiar).



Macierze Definicje

Rodzaj.

Górno(Dolno)trójkątna macierz – wszystkie elementy poniżej(nad) diagonalnej(przekątnej) są 0.

U =

a11 a12 . . . a1n0 a22 . . . a2n...

.... . .

...0 0 . . . ann

L =

a11 0 . . . 0a21 a22 . . . 0...

.... . .

...am1 am2 . . . amm

Macierz diagonalna –macierz kwadratowa, której wszystkieelementy poza przekątna macierzy sa równe 0.

D =

d11 0 . . . 00 d22 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . dnn


Macierze Definicje

Rodzaj.


U =

a11 a12 . . . a1n0 a22 . . . a2n...

.... . .

...0 0 . . . ann

L =

a11 0 . . . 0a21 a22 . . . 0...

.... . .

...am1 am2 . . . amm


D =

d11 0 . . . 00 d22 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . dnn


Macierze Definicje

Rodzaj.


U =

a11 a12 . . . a1n0 a22 . . . a2n...

.... . .

...0 0 . . . ann

L =

a11 0 . . . 0a21 a22 . . . 0...

.... . .

...am1 am2 . . . amm


D =

d11 0 . . . 00 d22 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . dnn


Macierze Definicje

Macierz jednostkowa – Macierz kwadratowa z 1 na głównejprzekątnej (aii) i z zerami w pozostałych miejscach.

I2 =

[1 00 1

], I3 =

1 0 00 1 00 0 1

, I4 =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

Macierz zerowa – wszystkie elementy są zerami.

Om×n =

0 0 . . . 00 0 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 0


Macierze Definicje


I2 =

[1 00 1

],

I3 =

1 0 00 1 00 0 1

, I4 =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1


Om×n =

0 0 . . . 00 0 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 0


Macierze Definicje


I2 =

[1 00 1

], I3 =

1 0 00 1 00 0 1

,

I4 =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1


Om×n =

0 0 . . . 00 0 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 0


Macierze Definicje


I2 =

[1 00 1

], I3 =

1 0 00 1 00 0 1

, I4 =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1


Om×n =

0 0 . . . 00 0 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 0


Macierze Definicje


I2 =

[1 00 1

], I3 =

1 0 00 1 00 0 1

, I4 =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1


Om×n =

0 0 . . . 00 0 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 0


Macierze Działania na macierzach

Działania na macierzach

Dodawanie macierzyNiech A i B będą tego samego wymiaru. Suma C = A+B jestmacierzą powstałą poprzez dodanie elementów macierzy A i Bznajdujących się na tych samych pozycjach.

cij = aij + bij dla wszystkich i, j

Mnożenie macierzy przez skalarNiech A będzie macierzą a c skalarem (liczbą). B = cA jest macierząpowstałą poprzez wymnożenie każdego elementu A przez c.

bij = c · aij dla wszystkich i, j

















WłasnościNiech A,B,C będą macierzami tego samego rozmiaru oraz a, b, c będąskalarami.

A+B = B +A

A+ (B + C) = (A+B) + C

A+O = O +A = A, (O jest macierzą zerową)

c(A+B) = cA+ cB

(a+ b)C = aC + bC

a(bC) = (ab)C




A+B = B +A

A+ (B + C) = (A+B) + C


c(A+B) = cA+ cB

(a+ b)C = aC + bC

a(bC) = (ab)C




A+B = B +A

A+ (B + C) = (A+B) + C


c(A+B) = cA+ cB

(a+ b)C = aC + bC

a(bC) = (ab)C




A+B = B +A

A+ (B + C) = (A+B) + C


c(A+B) = cA+ cB

(a+ b)C = aC + bC

a(bC) = (ab)C




A+B = B +A

A+ (B + C) = (A+B) + C


c(A+B) = cA+ cB

(a+ b)C = aC + bC

a(bC) = (ab)C



Mmnożenie macierzy

Zasada: ”wiersz razy kolumna”’

1 23 45 6

[25

]=

[1 2

]·[25

][3 4

]·[25

][5 6

]·[25

]

=

1 · 2 + 2 · 53 · 2 + 4 · 55 · 2 + 6 · 5

=

122640



Mmnożenie macierzy


1 23 45 6

[25

]=

[1 2

]·[25

][3 4

]·[25

][5 6

]·[25

]

=

1 · 2 + 2 · 53 · 2 + 4 · 55 · 2 + 6 · 5

=

122640



Mmnożenie macierzy


1 23 45 6

[25

]=

[1 2

]·[25

][3 4

]·[25

][5 6

]·[25

]

=

1 · 2 + 2 · 53 · 2 + 4 · 55 · 2 + 6 · 5

=

122640



Mmnożenie macierzy


1 23 45 6

[25

]=

[1 2

]·[25

][3 4

]·[25

][5 6

]·[25

]

=

1 · 2 + 2 · 53 · 2 + 4 · 55 · 2 + 6 · 5

=

122640



Mmnożenie macierzy


1 23 45 6

[25

]=

[1 2

]·[25

][3 4

]·[25

][5 6

]·[25

]

=

1 · 2 + 2 · 53 · 2 + 4 · 55 · 2 + 6 · 5

=

122640



Mmnożenie macierzy


1 23 45 6

[25

]=

[1 2

]·[25

][3 4

]·[25

][5 6

]·[25

]

=

1 · 2 + 2 · 53 · 2 + 4 · 55 · 2 + 6 · 5

=

122640



Mnożenie maciezryNiech liczba kolumn w macierzy A będzia taka sama co liczba wierszyw macierzy B, czyli Am×r i Br×n, wtedy Cm×n = AB istnieje ielement leżący w i-tym wierszu i j-tej kolumnie jest otrzymanypoprzez

cij = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ ainbnj

Mnożenie macierzy nie jest przemienne !!!

AB 6= BA






AB 6= BA






AB 6= BA



WłasnościNiech A,B,C będą macierzami odpowiedniego wymiaru i niech cbędzie skalarem.

A(BC) = (AB)C

A(B + C) = AB +AC

(A+B)C = AC +BC

c(AB) = (cA)B = A(cB)

AIn = A

ImA = A

AB 6= BA




A(BC) = (AB)C

A(B + C) = AB +AC

(A+B)C = AC +BC


AIn = A

ImA = A

AB 6= BA




A(BC) = (AB)C

A(B + C) = AB +AC

(A+B)C = AC +BC


AIn = A

ImA = A

AB 6= BA




A(BC) = (AB)C

A(B + C) = AB +AC

(A+B)C = AC +BC


AIn = A

ImA = A

AB 6= BA




A(BC) = (AB)C

A(B + C) = AB +AC

(A+B)C = AC +BC


AIn = A

ImA = A

AB 6= BA




A(BC) = (AB)C

A(B + C) = AB +AC

(A+B)C = AC +BC


AIn = A

ImA = A

AB 6= BA




A(BC) = (AB)C

A(B + C) = AB +AC

(A+B)C = AC +BC


AIn = A

ImA = A

AB 6= BA



Tranpozycja

Macierz transponowana

Macierz transponowaną oznaczamy poprzez AT , i jest to macierzpowstała poprzez zamianę wierszy z kolumnami.

Własności(A+B)T = AT +BT

(cA)T = cAT

(AT )T = A

(AB)T = BTAT

Macierz symetryczna Jest to macierz dla której

A = AT



Tranpozycja




(cA)T = cAT

(AT )T = A

(AB)T = BTAT


A = AT



Tranpozycja



Własności

(A+B)T = AT +BT

(cA)T = cAT

(AT )T = A

(AB)T = BTAT


A = AT



Tranpozycja




(cA)T = cAT

(AT )T = A

(AB)T = BTAT


A = AT



Tranpozycja




(cA)T = cAT

(AT )T = A

(AB)T = BTAT


A = AT



Tranpozycja




(cA)T = cAT

(AT )T = A

(AB)T = BTAT


A = AT



Tranpozycja




(cA)T = cAT

(AT )T = A

(AB)T = BTAT


A = AT


Wyznaczniki Definicja

Wyznacnik macierzy kwadratowj

DefinitionWyznacznik macierzy kwadratowej A jest funkcją, która przypisujemacierzy A określoną liczbę. Notacja:

det (A) lub detA lub |A|

Wyznacznik macierzy 2× 2∣∣∣∣∣a bc d∣∣∣∣∣ = ad− bc

Wyznacznik macierzy 3× 3∣∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i

∣∣∣∣∣∣∣ = (aei+ dhc+ gbf)− (ceg + fha+ ibd)



Wyznacnik macierzy kwadratowjDefinitionWyznacznik macierzy kwadratowej A jest funkcją, która przypisujemacierzy A określoną liczbę. Notacja:





















DefinicjaMinor elemntu aij , oznaczamy poprzez Mij i jest to wyznacznik zpodmacierzy powstałej po skreśleniu i-tej kolumny i j-tego wiersza zmacierzy A.

Dopełnienie algebraiczne elementu aij , oznaczamy poprzez Dij

Dij = (−1)i+jMij

Wyznacznik macierzy n× n

det (A) = a11D11 + a12D12 + a13D13 + · · ·+ a1nD1nRozwinięcie Laplace’a względem pierwszego wiersza.

Wyznacznik macierzy może być rozwinięty względem dowolnegowiersza lub kolumny.





Dij = (−1)i+jMij








Dij = (−1)i+jMij





Wyznaczniki Własności

Własności wyznacznikówNiech A mędzie macierzą niezerową n× n i c będzie niezerowymskalarem.

1 Jeżeli wszystkie elementy pewnej kolumny (pewnego wiersza)macierzy kwadratowej zawierają wspólny czynnik, to czynnik tenmożna wyłączyć przed wyznacznik tej macierzy.

|B| = c|A|

2 Wyznacznik macierzy kwadratowej zmieni znak, jeżeliprzestawimy między sobą dwie kolumny (dwie wiersze)

|B| = −|A|

3 Wyznacznik macierzy nie zmieni się jeżeli do elementów dowolnejkolumny (wiersza) dodamy odpowiadające im elementy innejkolumny (innego wiersza) tej macierzy pomnożone przez dowolnąliczbę.





|B| = c|A|


|B| = −|A|






|B| = c|A|


|B| = −|A|






|B| = c|A|


|B| = −|A|






|B| = c|A|


|B| = −|A|




PraktykaZ wykorzystaniem operacji elentarnych możesz doprowadzićmacierz do postaci macierzy trójkatnej.

Wyznacznik z macierzy trójkątnej równy jest iloczynowielementów stojących na głównej przekątnej.



DefinicjaMacierz kwadratową A nazywamy osobliwą jeżeli |A| = 0. A jestnieosobliwa gdy |A| 6= 0.

Jesli wszytskie elementy w wierszu (kolumnie) to zera, towyznacznik wynosi zero.

Jeśli dwa wiersze(kolumny) sa równe, to wyznacznik wynosi zero.

Jeśli dwa wiersze(kolumny) są proporcjonalne, to wyznacznikwynosi zero.

Operacja na wyznacznikach|AB| = |A||B||AT | = |A||cA| = cn|A|




























Operacja na wyznacznikach

|AB| = |A||B||AT | = |A||cA| = cn|A|







Operacja na wyznacznikach|AB| = |A||B|

|AT | = |A||cA| = cn|A|







Operacja na wyznacznikach|AB| = |A||B||AT | = |A|

|cA| = cn|A|









Macierz odwrotna

Macierz odwrotna


Macierz odwrotna Definicja

Co jest odwrotnością liczby a ?

Jest to inna liczba b taka, że

a · b = 1 i b · a = 1

Macierz jednostkowa

In =

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 1

Macierz odwrotnaMacierz kwadratowa A jest odwracalna jeśli istnieje macierz A−1

taka, żeAA−1 = AA−1 = In



Co jest odwrotnością liczby a ? Jest to inna liczba b taka, że

a · b = 1 i b · a = 1

Macierz jednostkowa

In =

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 1






a · b = 1 i b · a = 1

Macierz jednostkowa

In =

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 1






a · b = 1 i b · a = 1

Macierz jednostkowa

In =

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 1




Macierz odwrotna Obliczanie macierzy odwrotnej

Macierz dopełnieńA jest macierzą kwadratową i Dij jets dopełnieniem algebraicznymelementu aij .

adj(A) =

D11 D12 . . . D1nD21 D22 . . . D2n

......

...Dn1 Dn2 . . . Dnn

T

Macierz odwrotnaJeśli A jest nieosobliwa (|A| 6= 0) wtedy

A−1 =1|A|

adj (A)




adj(A) =

D11 D12 . . . D1nD21 D22 . . . D2n

......

...Dn1 Dn2 . . . Dnn

T


A−1 =1|A|

adj (A)




adj(A) =

D11 D12 . . . D1nD21 D22 . . . D2n

......

...Dn1 Dn2 . . . Dnn

T


A−1 =1|A|

adj (A)



Własności macierzy odwrotnej

detA−1 = 1detA

(A−1)−1 = A

(cA)−1 = 1cA−1

(AB)−1 = B−1A−1

(AT )−1 = (A−1)T




detA−1 = 1detA

(A−1)−1 = A

(cA)−1 = 1cA−1

(AB)−1 = B−1A−1

(AT )−1 = (A−1)T




detA−1 = 1detA

(A−1)−1 = A

(cA)−1 = 1cA−1

(AB)−1 = B−1A−1

(AT )−1 = (A−1)T




detA−1 = 1detA

(A−1)−1 = A

(cA)−1 = 1cA−1

(AB)−1 = B−1A−1

(AT )−1 = (A−1)T




detA−1 = 1detA

(A−1)−1 = A

(cA)−1 = 1cA−1

(AB)−1 = B−1A−1

(AT )−1 = (A−1)T


Macierz odwrotna Eliminacja Gaussa-Jordana

Inna metoda znaleznienia A−1

Operacje elementarne na wierszach1 Zamiana dwóch wierszy w macierzy.2 Pomnożenie wiersza przez stałą.3 Dodanie odpowiednich elementów wierszy do siebie.




Operacje elementarne na wierszach1 Zamiana dwóch wierszy w macierzy.

2 Pomnożenie wiersza przez stałą.3 Dodanie odpowiednich elementów wierszy do siebie.




Operacje elementarne na wierszach1 Zamiana dwóch wierszy w macierzy.2 Pomnożenie wiersza przez stałą.

3 Dodanie odpowiednich elementów wierszy do siebie.




Operacje elementarne na wierszach1 Zamiana dwóch wierszy w macierzy.2 Pomnożenie wiersza przez stałą.3 Dodanie odpowiednich elementów wierszy do siebie.



Eliminiacja Gaussa Jordana A−1

[A | In]elementarne−−−−−−−−→operacje

[In |B]



Eliminiacja Gaussa Jordana A−1

[A | In]elementarne−−−−−−−−→operacje

[In |B]


Układy równań

Układy równań


Układy równań Przykład

Obwód elektryczny

B : I1 + I2 = I3

D : I3 = I1 + I2

ABDA : 2I1 + 1I3 + 2I1 = 8

CBDC : 4I2 + 1I3 = 16

Prawo Kirchhoffa: Dla węzła obwodu elektrycznego suma algebraicznanatężeń prądów wpływających(+) i wypływających(–) jest równa zeru



Obwód elektryczny

B : I1 + I2 = I3

D : I3 = I1 + I2

ABDA : 2I1 + 1I3 + 2I1 = 8

CBDC : 4I2 + 1I3 = 16




Obwód elektryczny

B : I1 + I2 = I3

D : I3 = I1 + I2

ABDA : 2I1 + 1I3 + 2I1 = 8

CBDC : 4I2 + 1I3 = 16




Obwód elektryczny

B : I1 + I2 = I3

D : I3 = I1 + I2

ABDA : 2I1 + 1I3 + 2I1 = 8

CBDC : 4I2 + 1I3 = 16




Obwód elektryczny

B : I1 + I2 = I3

D : I3 = I1 + I2

ABDA : 2I1 + 1I3 + 2I1 = 8

CBDC : 4I2 + 1I3 = 16




Obwód elektryczny

B : I1 + I2 = I3

D : I3 = I1 + I2

ABDA : 2I1 + 1I3 + 2I1 = 8

CBDC : 4I2 + 1I3 = 16




I1 + I2 − I3 = 0

4I1 + I3 = 8

4I2 + I3 = 16

=⇒

1 1 −14 0 10 4 1

I1I2I3

=

0816

Możemy to zapisać

A · x = b

gdzie x = [I1, I2, I3]T jest naszą niewiadomą.

Rozwiązanie otrzymujemy poprzez znalezienie A−1

x = A−1 · b



I1 + I2 − I3 = 0

4I1 + I3 = 8

4I2 + I3 = 16

=⇒

1 1 −14 0 10 4 1

I1I2I3

=

0816

Możemy to zapisaćA · x = b



x = A−1 · b



I1 + I2 − I3 = 0

4I1 + I3 = 8

4I2 + I3 = 16

=⇒

1 1 −14 0 10 4 1

I1I2I3

=

0816

Możemy to zapisać

A · x = b



x = A−1 · b



I1 + I2 − I3 = 0

4I1 + I3 = 8

4I2 + I3 = 16

=⇒

1 1 −14 0 10 4 1

I1I2I3

=

0816

Możemy to zapisać

A · x = b



x = A−1 · b


Układy równań Podstawy

Każdy liniowy układ równań możemy zapisać w postacia11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2. . .

am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm

A · x = b

gdzie A jest m× n macierzą współczynników aij , b prawa strona i xwektor niewiadomych xk.



Ropwiązania Ax = bUkład równań może mieć

1 dokładnie jedno rozwiązanie lub2 nieskończenie wiele rozwiązań lub3 brak rozwiązań.

W 1 układ równań nazywamy oznaczonym, w 2 nieoznaczonym, aw 3 sprzecznym.

n równań, n niewiadomychW przypadku gdy Ax = b ma n równań i n niewiadomych,

jeśli detA 6= 0 układ ma jedno rozwiązanie.

jesli detA = 0 ma wiele rozwiązań lub nie ma rozwiązania.














n równań, n niewiadomych

W przypadku gdy Ax = b ma n równań i n niewiadomych,




















Układy równań Układ Cramera (jedno rozwiązanie)

Jak znaleźć rozwiązanie Ax = b ?

1 Przypadek pierwszy : dokładnie jedno rozwiązanie

Metoda mecierzowa z wykorzystaniem macierzy odwrotnejJeżeli A jest macierzą kwadratowa i niech detA 6= 0, wtedy istniejeA−1,

x = A−1b

CramerNiech Ax = b ma n równań i n niewiadomych oraz detA 6= 0.Rozwiązania

x1 =|A1||A|, x2 =

|A2||A|, . . . , xn =

|An||A|.






x = A−1b


x1 =|A1||A|, x2 =

|A2||A|, . . . , xn =

|An||A|.






x = A−1b

Cramer

Niech Ax = b ma n równań i n niewiadomych oraz detA 6= 0.Rozwiązania

x1 =|A1||A|, x2 =

|A2||A|, . . . , xn =

|An||A|.






x = A−1b


x1 =|A1||A|, x2 =

|A2||A|, . . . , xn =

|An||A|.


Układy równań Eliminacja Gaussa

Eliminacja Gaussa

Elimację Gaussa można zastosować w każdym przypadku (jednorozwiązanie, wiele rozwiązań, nieskończenie wiele rozwiązań).

Eliminację Gaussa można zastosować dla każdego wymiaru , naprzykład m równań i n niewiadomych, dla każdego m i n.



Eliminacja Gaussa





Eliminacja Gaussa





1© 2 1 8 20 0 1© 2 00 0 0 1© −10 0 0 0 0

−→

1© 2 0 0 40 0 1© 0 20 0 0 1© −10 0 0 0 0



Rozwiązanie Ax = b używając eliminacji Gaussa1 Zapisz

[A |b]

2 Skorzystaj z przekształceń elmentarnych

[A |b] elementarne−−−−−−−−→operacje

[Rn | c]

3 Napisz rozwiązań




[A |b]



[Rn | c]





[A |b]



[Rn | c]



Układy równań Rząd macierzy

Określenie liczby rozwiązań

Rząd macierzy ARzędem macierzy nazywamy największy stopień jej niezerowegominora. Rząd macierzy oznaczamy przez rz(A) lub rank(A) .Przyjmujemy, że rząd macierzy zerowej jest równy zero.

Rząd i liczba rozwiązańAx = b z n niewiadomymi.

1 Jeżeli rz(A) = rz([A|b]) = n jedno rozwiązanie.2 Jeżeli rz(A) = rz([A|b]) = r < n układ równań nieskończenie

wiele rozwiązań zależnych od (n− r) parametrów.3 Jeżeli rz(A) 6= rz([A|b]) nie ma rozwiązań.












Rząd i liczba rozwiązań

Ax = b z n niewiadomymi.1 Jeżeli rz(A) = rz([A|b]) = n jedno rozwiązanie.2 Jeżeli rz(A) = rz([A|b]) = r < n układ równań nieskończenie














1 Jeżeli rz(A) = rz([A|b]) = n jedno rozwiązanie.

2 Jeżeli rz(A) = rz([A|b]) = r < n układ równań nieskończeniewiele rozwiązań zależnych od (n− r) parametrów.

3 Jeżeli rz(A) 6= rz([A|b]) nie ma rozwiązań.







wiele rozwiązań zależnych od (n− r) parametrów.

3 Jeżeli rz(A) 6= rz([A|b]) nie ma rozwiązań.









Documents

Macierze i wyznaczniki - enauczanie.pg.edu.pl · Macierze Wstęp Zastosowania Nawigacja Kryptograﬁa Przetwarzanie obrazów M.Łapińska, sem.1 (2017/2018) Matematyka #1: Algebra