Macierze, wyznaczniki, odwracanie macierzy i wzory Cramera

Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 1

Macierze, wyznaczniki, odwracanie macierzy

i wzory Cramera


Macierze - definicjaDefinicja: Macierzą nazywamy prostokątną tablice

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

21

22221

11211

utworzoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) aij (i=1,…,m; j=1,…,n), gdzie aij jest wyrazem (lub elementem) macierzy znajdującym się na skrzyżowaniu i-tego wiersza i j-tej kolumny.

Macierz o m wierszach i n kolumnach oznaczamy [aij], [ aij]m×n, Am×n lub A i nazywamy macierzą o wymiarze m×n.

Jeżeli w macierzy jest m = n, to macierz tą nazywamy kwadratową stopnia n.


Macierze – podstawowe wiadomościDefinicja (równość macierzy):Macierze A= [aij] i B= [bij] nazywamy macierzami równymi, co zapisujemy A = B, jeżeli mają ten sam wymiar m×n i jeżeli aij = bij dla i=1,…, m oraz j=1,…, n.

Definicja (macierz transponowana):Macierz A’, która uzyskana z macierzy A przez zamianę wierszy macierzy A w miejsce kolumn (i odwrotnie) z zachowaniem ich kolejności nazywa się macierzą transponowana (względem A) lub macierzą przestawioną.

Zachodzi też zależność: (A’)’ = A

521412371

A

543217121

'A


Macierze – podstawowe wiadomości

Definicja (macierz jednostkowa):Macierzą jednostkową oznaczana przez E lub En, gdzie n jest jej stopniem, nazywamy macierz diagonalną o jedynkach na głównej przekątnej.

Definicja (macierz zerowa):Macierzą zerową, oznaczaną symbolem 0, nazywamy każdą macierz, której wszystkie elementy są zerami.

100

010001

E


Macierze – podstawowe działania

Definicja (suma macierzy):Sumą macierzy A= [aij] i B= [bij] o tym samym wymiarze m×n nazywamy macierz C= [cij] o tymże wymiarze, której elementy są sumami odpowiednich elementów macierzy A i B, mianowicie:

C=A+B= [aij] + [bij]= [aij+bij]= [cij]



Definicja (mnożenie macierzy przez liczbę):Iloczynem macierzy A przez liczbę α nazywamy macierz B= αA, której każdy element jest iloczynem odpowiedniego elementu macierzy A przez liczbę α.

α[aij] =[α aij]

4321

A

8642

AaaA

2a



Uwaga: Iloczyn macierzy A i macierzy B jest określony wtedy, gdy „długość” wiersza macierzy A jest równa „wysokości” kolumny macierzy B.

Definicja (iloczyn macierzy):Iloczynem AB macierzy Amxn=[aij] i macierzy Bnxr=[bjk] nazywamy taką macierz Cmxr=[cik], której wyrazami są liczby:

cik=ai1 b1k +ai2 b2k +…+ain bnk

4321

A

36241612

6443640362416201

BAAB

6640

B


Wyznaczniki


Wyznacznik - definicja

),...,,( 21 njjjinvt

Definicja: Wyznacznikiem det A macierzy kwadratowej A=[aij] nazywamy liczbę

gdzie suma jest rozciągnięta na wszystkie możliwe permutacje drugich wskaźników j1, j2, … , jn liczb 1, 2, …,n, przy czym

jest ilością inwersji permutacji j1, j2, … , jn.

n

njjj

njjjt aaa

,...,,21

21

21...)1(



1111]det[ aa

0)2,1( invt1)1,2( invt

2112221121121

22110

2221

1211 )1()1(det aaaaaaaaaaaa

A

Obliczanie wyznacznika macierzy z definicji:

• Dla n=2:

możliwe permutacje: 1, 22, 1

• Dla n=1:



0)3,2,1( invt2)1,3,2( invt2)2,1,3( invt3)1,2,3( invt1)2,3,1( invt

1)3,1,2( invt

333231

232221

131211

detaaaaaaaaa

A

3321121

3223111

3122133

3221132

3123122

3322110 )1()1()1()1()1()1( aaaaaaaaaaaaaaaaaa

332112322311312213322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa

• Dla n=3:

możliwe permutacje: 1, 2, 3 2, 3, 1 3, 1, 2

3, 2, 1 1, 3, 2 2, 1, 3


Schemat SarrusaSchemat Sarrusa to prosty algorytm na obliczenie wyznacznika:

333231

232221

131211

detaaaaaaaaa

A 332211 aaa 312312 aaa 322113 aaa 312213 aaa 322311 aaa 332112 aaa


Wyznacznik – rozwiniecie Laplace’aZdefiniujmy pojęcia minoru i dopełnienia algebraicznego:

Definicja: Minorem Mik elementu aik wyznacznika macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy wyznacznik macierzy stopnia n-1, która powstaje z macierzy A po opuszczeniu i-tego wiersza i k-tej kolumny.

Definicja: Dopełnieniem algebraicznym Aik elementu aik wyznacznika nazywamy iloczyn:

ikki

ik MA )1(


Wyznacznik – rozwiniecie Laplace’aTwierdzenie (Laplace’a): Wyznacznik macierzy A stopnia n jest równy sumie iloczynów każdego elementu dowolnego wiersza (kolumny) i odpowiadającego temu elementowi dopełnienia algebraicznego:

ininiiii AaAaAaA ...|| 2211 )1( ni

nknkkkkk AaAaAaA ...|| 2211 )1( nk


Własności wyznacznika

'detdet AA

AcB detdet

Tw.1. Wyznacznik macierzy A jest równy wyznacznikowi jej macierzy przestawionej:

Tw.3. Jeśli macierz B powstaje z macierzy A przez pomnożenie wszystkich elementów jednego wiersza lub kolumny przez c, to:

Tw.2. Wyznacznik macierzy o dwóch jednakowych wierszach (kolumnach) jest równy zeru.


Tw.4. Wyznacznik macierzy o dwóch proporcjonalnych wierszach (kolumnach) jest równy zeru.

Własności wyznacznika

Tw.6. Przez zmianę między sobą dwóch kolumn lub dwóch wierszy wyznacznika otrzymujemy wyznacznik, którego wartość różni się znakiem od wartości danego wyznacznika

Tw.5. Wyznacznik nie ulega zmianie, gdy do elementów jednej kolumny (wiersza) dodać odpowiednie elementy innej kolumny (wiersza) pomnożone przez dowolną stałą.


211221

521412321

Przykłady

1620831285

Przykład: Obliczymy wyznacznik macierzy:

22514231)1(223)1(42511521412321

det A

521412321

A


PrzykładyPrzykład:Obliczymy wyznacznik macierzy A korzystając z twierdzenia Laplace’a i podstawowych własności wyznacznika.

35242345

42535432

A


Przykłady

35242345

42535432

det

A

133801211211681

5432

2

2

13

12

14

wwwwww

13380115601681

716190

2 21

23

wwww

1338115671619

)1(

7311151251635

)1(2 23

21

kk

kk

185811001

1019135)1(

5

13

12

kkkk

2858185810191

)1)(1(


Odwracanie macierzy


Macierz odwrotna - definicjaDefinicja: Macierz B nazywa się macierzą odwrotną do macierzy A, jeśli:

gdzie E jest macierzą jednostkową.

Macierz A nazywa się macierzą odwracalną, jeśli istniej macierz odwrotna do macierzy A.

EBAAB


Macierz nieosobliwaDefinicja: Macierz kwadratową A, dla której detA ≠ 0, nazywamy macierzą nieosobliwą.

Twierdzenie: Macierz odwracalna A jest macierzą nieosobliwą


Macierz dołączana

nnnn

n

n

D

AAA

AAAAAA

A

21

22212

12111

Macierzą dołączaną AD macierzy kwadratowej A = [ aik ] nazywamy macierz transponowaną macierzy utworzonej z dopełnień algebraicznych elementów macierzy A, tzn.

gdzie Aik jest dopełnieniem algebraicznym elementu aik.


Wyznaczanie macierzy odwrotnej

EAAAAA DD

DA AA 11

Twierdzenie: Dla dowolnej macierzy kwadratowej A zachodzi równość:

Twierdzenie: Jeśli A jest macierzą nieosobliwą, to macierz

jest macierzą odwrotną do macierzy A.

gdzie E jest macierzą jednostkową.


Przykład

314320101

A

93132

11

A 123430

12

A 8

1420

13

A

13110

21

A 13411

22

A 1

1401

23

A

23210

31

A 33011

32

A 22001

11 A

Przykład 1.: Oblicz macierz odwrotną do macierzy

Rozwiązanie: Na początku sprawdzamy wyznacznik macierzy

Obliczamy dopełnienia algebraiczne elementów macierzy A:01det A


Przykład

2183112219

DA

2183112219

1A DA AA 11

Na podstawie wcześniejszych obliczeń tworzymy macierz dołączoną:

Zgodnie ze wzorem na macierz odwrotną otrzymujemy:

nnnn

n

n

D

AAA

AAAAAA

A

21

22212

12111


Przykład

314320101

APrzykład: Oblicz macierz odwrotną do macierzy A za pomocą przekształceń elementarnych

Rozwiązanie: Na początku sprawdzamy wyznacznik macierzy

Dostawiamy do macierzy A macierz jednostkową E:

01det A

100010001

314320101


PrzykładStosując przekształcenia elementarne dążymy po lewej stronie do macierzy jednostkowej:

100010001

314320101

104010001

110320101

104218

001

110100101

13 4ww

32 2ww

32 ww )1(*2 w


Przykład

218104001

100110101

2183112219

100010001

31 ww 32 ww

2183112219

1A

Ostatecznie otrzymujemy macierz odwrotną:


Wzory Cramera


Układ CrameraUkład n równań liniowych o n niewiadomych

nazywamy układem Cramera, jeśli

Macierz nazywamy macierzą układu, detA – wyznacznikiem układu.

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

2211

22222121

11212111

...................................

.0]det[det ijaA


Twierdzenie CrameraTwierdzenie: Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie, dane wzorem

gdzie Dk jest wyznacznikiem macierzy powstałej z macierzy A w wyniku zastąpienia w niej k-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych układu.

|| ADx k

k ),....,2,1( nk


PrzykładPrzykład: Rozwiązać układ równań:

Rozwiązanie: Obliczamy wszystkie potrzebne nam wyznaczniki:

76739223

74432632

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxx

035

67312213

44321321

||

A


Przykład

Na podstawie wzorów Cramera obliczamy wartości niewiadomych:

70

67372219

44371326

|| 1

D

35

67712293

44721361

|| 2

D

0

67312913

47321621

|| 3

D

70

773192137432

6321

|| 4

D

23570

||1

1 ADx

13535

||2

2

A

Dx

0350

||3

3 A

Dx

23570

||4

4

A

Dx


Koniec


BibliografiaProf.. Aleksander Romanowski: Algebra Liniowa, 2003

Documents

Macierze, wyznaczniki, odwracanie macierzy i wzory Cramera